ISBN 978-87-7066-9- Pojekte: Kapitel Vaiabelsammenænge. Pojekt.8 Design en optimal flaske Pojekt.8 Design en optimal flaske Fimaet PatyKids ønske at elancee dees enegidik Enegize. Den skal ave et nyt navn og lancees i en ny og smat flaske. Som abejdstitel kalde de det nye podukt Funegize, men de tage gene imod ande foslag. Fimaet vil også gene femstå som et fima, de tage ensyn til essouce, og som optæde bæedygtigt, så de smate nye flaske skal ave et minimalt mateialefobug. I udgø abejdsteams de skal komme med et bud på et design til en sådan ny smat flaske. Flasken skal kunne umme 50 cl., den skal væe opbygget af to umlige figue (geometiske figue). og ave det mindst mulige mateialefobug fo en flaske af pågældende facon. Fomål Fomålet med pojektet e, at I gennem et poblemoienteet pojektabejde udvikle en foståelse af matematisk modelleing, eunde specielt af styken i vaiabelbegebet og en foståelse af de fie epæsentationsfome fo vaiabelsammenænge. Abejdsplan Gennem to lektione abejde I je igennem føste del, vo et konket pojekt e gennemgået som eksempel og inspiation. I skal selv taste med, egne med og løse øvelsene, og I skal væe sike på, I a sty på jees væktøj. I skal give je selv lektie fo, så I nå det. De samles op i. lektion på evt. spøgsmål. Gennem te lektione skal I løse opgaven med at designe en ny flaske. Vi afslutte med at I femlægge esultatene fo klassen. Poduktkav En appot, I a samlet mateiale til i løbet af lektionene og abejdet jemme, og som I aflevee guppevis en uge efte femlæggelsen. Rappoten indeolde jees sva på spøgsmålet ovenfo. Rappoten skal indeolde en indledende pæsentation af poblemstillingen og en beskivelse af de metode, som I a benyttet til at løse poblemet med at finde det mindst mulige mateialefobug. Denæst skal appotens oveddel væe en detaljeet edegøelse fo metode og beegninge, dokumenteet med tabelle og gafe, fo jees løsning på poblemet. Endelig skal appoten indeolde en konklusion og evt. en kitisk vudeing af det design I valgte, i foold til at finde optimale løsninge på poblemet. Bilag med fomelsamling fo umlige figue Som støtte fo pojektet ligge de i et bilag en omfattende fomelsamling ove umfang og ovefladeaeale. Ved at blade igennem den vil I sikket få inspiation til, vodan jees flaske ( funegizeen ) kan se ud. 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagegade DK-8 Købenavn K Tlf: 5000 Email: info@lu.dk
ISBN 978-87-7066-9- Pojekte: Kapitel Vaiabelsammenænge. Pojekt.8 Design en optimal flaske Eksempel på et design af en ny flaske Vi ønske at konstuee en smat flaske ud fa en alvkugle og en kegle (en lille tumling): Rumfanget af alvkuglen e givet ved V = π = π. alvkugle Rumfanget af keglen e givet ved V = G = kegle π Da det samlede umfang skal væe cl = 0 cm fås defo betingelsen V + V = 0, vo vi egne i cm. Denne betingelse knytte adius og alvkugle kegle øjden sammen i ligningen: 0 = π + π Vi ønske at eliminee den ene af de vaiable, så vi kan nå fem til at skive ovefladeaealet som en funktion af én vaiabel. He e de ikke givet på foånd, vilken af de vaiable, vi skal eliminee, men vi vil nomalt gå efte det simplest mulige. s I det samlede umfang indgå øjden lineæt (føstegadsled), mens adius indgå både med et andengads og et tedjegadsled. Vi kan defo fooldsvis let isolee, mens det kan vise sig umuligt at isolee den anden vaiable. Så e e valget let: Vi isolee, dvs vi løse ligningen med ensyn til. Øvelse. Gø det føst selv i ånden. He få du bug fo nogle ligningsløsningsegle! Note vilke du a bugt.. Udnyt denæst væktøjets solve-funktion: 990 solve(0 = π + π, ) = - π. Kontolle, at du a fået det samme i ) og ). He få du sikket bug fo nogle bøkegneegle! Note vilke du a bugt. Udtykket fo e lidt svæt at oveskue, men da de indgå et led med minus, kunne vi få mistanke om, at udtykket kunne blive negativ. Og en øjde må natuligvis ikke væe negativ. Defo tegne vi som kontol en gaf af øjden som funktion af adius (tegn selv med!): Gafen vise, at øjden kun e positiv fo adius unde 5.0 cm, svaende til at alvkuglen alene nu e nået op på umfanget cl. Husk at tjekke denne type pobleme. He lave vi en foeløbig konklusion: De tilladte 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagegade DK-8 Købenavn K Tlf: 5000 Email: info@lu.dk
ISBN 978-87-7066-9- Pojekte: Kapitel Vaiabelsammenænge. Pojekt.8 Design en optimal flaske -vædie e tallene fa 0 til 5, (Vi sige også: Definitionsmængden, Dm = ]0 ; 5,[ ). Vi se nu på mateialefobuget. Vi antage mateialet a samme tykkelse alle stede på dåsen, så det samlede mateialefobug e popotionalt med det samlede aeal af den kumme oveflade af alvkuglen og keglen. Vi ente defo fomlene fo den kumme oveflade af de to komponente: O = π = π O alvkugle kegle = π s He komme en ny vaiabel s ind på banen. Den ønske vi elimineet. Øvelse. Vis ud fa figuen (keglen i bilaget) at vi kan udtykke den skå side s ved jælp af øjden : s= +.. (svæ!) Vis fomlen O = π s. kegle (jælp: klip keglen op langs siden s og bed den ud. Hvad e det fo en figu? Ovefladeaealet af keglen e lig med aealet af denne figu) Indsættes s i Okegle = π s få vi: O = π s= π + kegle Vi finde defo den samlede kumme oveflade til at væe O= π + π + æ 990 ö π π, o ( ) = + + ç - vo vi a indsat det fundne udtyk f èπ ø Nu a vi nået føste skidt i matematiseingen af poblemet: Vi a ovesat det spogligt fomuleede poblem til et spøgsmål om at bestemme mindstevædi af funktion O () med ovenstående fomeludtyk. Den uafængige vaiabel vaiee fa (tæt ved) 0 til 5,. Men vo stoe talvædie e egentlig ovefladeaealet? Det e vi inteesseet i at vide af flee gunde, fx i fobindelse med tegning af en gaf: Nogle væktøje a indbyggede facilitete, så de automatisk give et gafvindue, vo vi kan se gafen, men det e ofte ikke det vindue, vi ønske. Man kan også komme ud fo situatione, vo de tilsyneladende ikke e nogen gaf den befinde sig blot uden fo det vindue vi se. Det e kot sagt en fodel selv at kunne indette gafummet, og detil skal vi kende voledes de vaiable vaiee. Fo at få et indtyk af dette og af, vodan ovefladeaealet afænge af adius kan vi opstille en tabel, vo et udsnit kan se således ud (Opstil selv en tabel!) 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagegade DK-8 Købenavn K Tlf: 5000 Email: info@lu.dk
ISBN 978-87-7066-9- Pojekte: Kapitel Vaiabelsammenænge. Pojekt.8 Design en optimal flaske Tabellen give indtyk af, at ovefladeaealet blive meget stot, nå adius blive meget lille (Vi sige, at ovefladeaealet gå mod uendelig, nå adius gå mod 0, og skive det således: O nå ). Endvidee blive O () minde og minde (vi sige, at funktionen O () aftage) nå vokse, indtil ca,7, voefte ovefladeaealet vokse lidt igen. De se altså ud til at væe et minimum omking =,7. Vi indette nu et gafvindue ud fa tabellens oplysninge om vodan den uafængige vaiabel og den afængige vaiabel O () vaiee. (De e ikke ét sva på vilket gafvindue, de e bedst det afænge altid af, vad de spøges om: i dette tilfælde om et minimum, vofo voes gafvindue skal ave fokus på, at vi kan aflæse et evt. minimum). Tegne vi gafen fo den kumme oveflade kan det se således ud: Vi a samtidig anvendt gafvæktøjets facilitet til at bestemme minimum. Vi se da at gafen a et minimumspunkt fo =.65 cm. Dette svae fint til tabellens oplysninge og tallet ligge unde den øve gænse fo de tilladte vædie af adius, dvs. 5.0 cm. Husk at inddage dette fø konklusionen dages. (Bemæk, at gafvæktøjets minimumsfacilitet bestemme minimum i det vindue vi se. Det kunne væe, de va ande sva i ande vindue men det e ikke tilfældet e). Øvelse. Den tiløende øjde finde vi ved at indsætte vædien af i fomlen: 990 = - π Vis, at dette give: = 5. cm.. Det minimale ovefladeaeal kan aflæses af gafen, elle bestemmes ved at indsætte vædien af i O (): Indsæt og vis, at O (,65) = 8,57 Konklusion Vi udtykke konklusionen på voes matematiske analyse af poblemet således: Funktionen O () a minimum fo =,56, med vædi O (,65) = 8,57 Nå det e opgave, som e, de andle om noget, så udtykke vi den endelige konklusion i det spog, som opgaven e fomuleet i. I dette tilfælde svae vi: Voes flaske, de skal umme cl, a det mindste mateialefobug, nå dimensionene e: adius =,56 cm og øjde = 5, cm. Øvelse I løbet af gennemgangen anvendte vi en ække matematiske begebe. Fokla på skift fo inanden: - egle fo ligningsløsning, som I a anvendt 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagegade DK-8 Købenavn K Tlf: 5000 Email: info@lu.dk
ISBN 978-87-7066-9- Pojekte: Kapitel Vaiabelsammenænge. Pojekt.8 Design en optimal flaske - bøkegningsegle, som I a anvendt - de epæsentationsfome fo vaiabelsammenænge og de enkeltes styke og svagede - vad e definitionsmængden fo en funktion? - vad menes de med minimum (og maksimum) fo en funktion? - vad menes de med at en funktion e aftagende (og voksende)? - vi anvendte undevejs Pytagoas læesætning vad sige denne sætning elt pæcis? Øvelse (kæve kendskab til diffeentialegning) Vi omtalte ovenfo, at en gafisk bestemmelse af maksimum elle minimum kan væe usikke, da vi ikke nødvendigvis a ele gafen i vinduet. Unde emnet diffeentialegning få man væktøje til ådiged, de med sikkeed kan afgøe den slags spøgsmål. Ha man kendskab til diffeentialegning, så kan man bakke den gafiske analyse op med en symbolsk udegning af diffeentialkvotienten.. Gø det, dvs bestem diffeentialkvotienten af O (). Dette give et så kompliceet udtyk, at det kan væe svæt at komme videe. Fo næste tin e at sætte denne diffeentialkvotient O = 0.. Gø det. Du skal muligvis jælpe pogammet med at gætte på en løsning fx x= idet pogammet skift fo skidt abejde sig fem til at bestemme løsningen. Det ele kan se ud som følge: Vi få bekæftet den gafiske løsning!. Vi kan altså bygge en flaske (en funegize ) med målene: =.65 cm og = 5. cm. Den se sådan ud: God fonøjelse! 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagegade DK-8 Købenavn K Tlf: 5000 Email: info@lu.dk 5
ISBN 978-87-7066-9- Pojekte: Kapitel Vaiabelsammenænge. Pojekt.8 Design en optimal flaske Bilag: Fomelsamling fo umlige figue Betegnelse V = Volumen = Rumfang O = Samlet Oveflade; K = Kum oveflade G = Aeal af gundflade; M = Aeal af midtflade; T = Aeal af topflade = Højde Polyede Retvinklet kasse V= abc O= ( a b+ b c+ c a) d= a + b + c Pisme Alment pisme V= G O= ( a+ b+ c+...) + G Ligesidet tekantet pisme (se figu) O= a + a V = a Pismatoid Paallel bundflade og topflade. Sidefladene e enten tekante elle tapeze. Fx e et antipisme ('tomme') et eksempel på en pismatoid (se figu). V = ( G+ M+ T) 6 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagegade DK-8 Købenavn K Tlf: 5000 Email: info@lu.dk 6
ISBN 978-87-7066-9- Pojekte: Kapitel Vaiabelsammenænge. Pojekt.8 Design en optimal flaske Pyamide Almen pyamide V= G Kvadatisk pyamide (se figu) V = a O a a = + + a Pyamidestub V = G+ G T + T Tilfældet med en kvadatisk pyamide: V = a + a b+ b De egulæe polyede Regulæt Tetaede V = a O= a R= a 6 (adius i omskeven kugle) = a 6 (adius i indskeven kugle) Tening V = a O= 6a R= a (adius i omskeven kugle) = a (adius i indskeven kugle) 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagegade DK-8 Købenavn K Tlf: 5000 Email: info@lu.dk 7
ISBN 978-87-7066-9- Pojekte: Kapitel Vaiabelsammenænge. Pojekt.8 Design en optimal flaske Regulæt Oktaede V = a O= a R= a (omskeven kugle) = a 6 6 (indskeven kugle) Regulæt Dodekaede (sidelængden e a) V = a + ( 5 7 5) O= + a 5 5 5 R= + 5 (omskeven kugle) 50 + 5 = a (indskeven kugle) 5 Regulæt Ikosaede (sidelængden e a) ( 5) 5 V = a + O= 5a R= a ( 5+ 5) (omskeven kugle) 7+ 5 = a (indskeven kugle) 6 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagegade DK-8 Købenavn K Tlf: 5000 Email: info@lu.dk 8
ISBN 978-87-7066-9- Pojekte: Kapitel Vaiabelsammenænge. Pojekt.8 Design en optimal flaske Omdejningslegeme Cylinde V = π K= π O= π + π Kegle π K = π s O= π s+ π V = s= + Keglestub V = π ( G + G T + T ) K = + s π G T O= π + s+ π + π G T G T Tous ('badeing') V = π R O= π R 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagegade DK-8 Købenavn K Tlf: 5000 Email: info@lu.dk 9
ISBN 978-87-7066-9- Pojekte: Kapitel Vaiabelsammenænge. Pojekt.8 Design en optimal flaske Kugle V = π R O= π R Kuglezone V = π ( G + T + ) 6 K= π R O= π R + π + π G T Kugleudsnit π O= π R + π R V = R Kugleafsnit (kuglekalot) æ ö ç è ø 6 ( G ) V = π R- = π + K = π R = π G + O= π + π G 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagegade DK-8 Købenavn K Tlf: 5000 Email: info@lu.dk 0
ISBN 978-87-7066-9- Pojekte: Kapitel Vaiabelsammenænge. Pojekt.8 Design en optimal flaske Omdejningsellipsoide Ellipsen a stoakse a og lilleakse b. ε angive ekcenticiteten, de e et mål fo fladtykteden. Ved omdejning omking stoeaksen a: ('langstakt'): π V= a b a b - O= π b + π sin (ε) ε ε= - b a Ved omdejning omking lilleaksen b: ('fladtykt'): π V = a b b + ε O= π a + π ln ε -ε ε= - b a Omdejningspaaboloide π V = K = π ( ( + ) - ) (6 ) Paaboloidestub π ( G T ) V = + K = π 6 ( T + ( T -G ) ) - G + ( T -G ) ( T -G ) 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagegade DK-8 Købenavn K Tlf: 5000 Email: info@lu.dk