Logik. Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen.

Logik Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen. 25. juni 2014

2

Indhold 1 Matematisk Logik 5 1.1 Udsagnslogik.................................... 5 1.2 Prædikatlogik.................................... 13 1.3 Formelle Beviser.................................. 18 1.4 Matematiske Beviser................................ 26 2 Mængder 29 3 Relationer 37 3.1 Relationsbegrebet.................................. 37 3.2 Relationsdatabaser................................. 37 4 De naturlige tal 41 4.1 Induktion...................................... 41 4.2 Division....................................... 46 3

4 INDHOLD

Kapitel 1 Matematisk Logik I almindelighed defineres logikken som læren om den rette tænkning. Dette skal forstås på den måde, at logikken undersøger, i hvilken udstrækning man ud fra bestemte forudsætninger kan drage en bestemt konklusion. Logikken beskæftiger sig ikke med, hvorledes mennesket rent faktisk bærer sig ad med at tænke, og den undersøger heller ikke om tænkningens resultater stemmer overens med virkeligheden. Logikkens emneområde er sammenhænge mellem forskellige påstande. Udgangspunktet for logikken er almindelig sund fornuft. Det burde således være klart, at ud fra forudsætningerne Peter er et menneske og Alle mennesker har to ben kan man drage konklusionen Peter har to ben. Når der kan opstå uenighed om, hvorvidt et argument er logisk korrekt eller ej, skyldes det ikke, at logikken i sig selv er specielt vanskelig. Problemet er, at når logikken benyttes, det være sig i almindelige samtaler, i diskussioner eller videnskaber, indgår der ofte en lang række overvejelser og påstande, hvis indre logiske sammenhænge det kan være svært at klargøre og overskue. Matematisk logik er en formalisering af logisk tænkning. Formaliseringen indebærer, at man mere præcist fastlægger, hvad der skal forstås ved logisk korrekt. En væsentlig opgave er herefter at finde regler og metoder af matematisk natur, ved hjælp af hvilke man kan afgøre, om et argument eller en påstået konklusion er logisk korrekt. Matematisk logik, der opstod omkring forrige århundredeskifte, er i dag en omfattende disciplin. I den følgende korte indføring lægges hovedvægten på at forklare de basale begreber og metoder. 1.1 Udsagnslogik Lad os betragte følgende to slutninger: Slutning (I): 1. Hvis det blæser, så sidder min hue ikke fast. 2. Det blæser. 3. Derfor, sidder min hue ikke fast. 5

6 KAPITEL 1. MATEMATISK LOGIK og Slutning (II): 1. Hvis solen skinner, så gælder, at hvis det regner, bliver jeg våd. 2. Hvis solen skinner, så er det sommer. 3. Det er ikke sommer. 4. Derfor, hvis solen skinner, så bliver jeg våd. Mens (I) forekommer helt oplagt, er (II) mere kompliceret. Der er vel dem, der vil sige, at eftersom konklusionen 4 ikke stemmer med erfaringen, er (II) en forkert slutning. Et sådant synspunkt beror imidlertid på en misforståelse. Om en slutning er logisk korrekt eller ej har intet at gøre med, om konklusionen passer med den virkelighed hvori en person p.t. befinder sig. Problemet i (II) er, om man givet 1,2 og 3 kan komme frem til 4 som nødvendig logisk konklusion. Udsagnslogikken kan opfattes som en matematisk model til undersøgelse af sådanne problemer. Som ved enhver modeldannelse søger man at koncentrere sig om det principielt væsentlige (for det problem der diskuteres, altså her logik), og man træffer undervejs en række valg i de tilfælde, hvor det sædvanlige sprog forekommer tvetydigt. Vi vil her tage udgangspunkt i (I) og vender senere tilbage til (II). Lad os starte med at analysere de enkelte dele af slutning (I). Den første sætning har formen hvis så og derudover indgår ìkke. Hvis vi kalder udtrykket det blæser for P og udtrykket min hue sidder fast for Q, kan den første sætning formuleres som hvis P så ikke Q. Den anden sætning er P og konklusionen i (I) er ikke Q. Vi kan herefter udtrykke hele slutning (I) som følger: Af de to sætninger hvis P så ikke Q og P kan man drage konklusionen ikke Q. Den rolle, P og Q spiller i denne sammenhæng har intet at føre med, hvad P og Q rent faktisk udtrykker i ord. Det afgørende er, at P enten er sand eller falsk, og tilsvarende at Q enten er sand eller falsk. I det følgende vil vi betragte sådanne udsagn, og vi understreger, at det, der kendetegner et udsagn er, at denten er sandt eller falsk, men ikke begge dele: Definition 1.1 (Udsagn). Et udsagn er karakteriseret udelukkende ved dets sandhedsværdi. Som eksempler på udsagn hentet fra matematikken kan nævnes 2 er større end 1, 3 + 4 = 8 og Alle trekanter er retvinklede. I det følgende benytter vi store bogstaver, og specielt P,Q,R,..., til at betegne udsagn. Vi er nu kommet så langt i modelleringsprocessen, at vi har fastlagt de objekter, vi vil behandle. Vi går nu over til at undersøge, hvordan man kan danne nye udsagn fra gamle, og også her lader vi os inspirere af de sproglige formuleringer af matematiske og dagligdags sætninger. Hvis P er et udsagn, og man vil udtrykke det modsatte, bruger man sprogligt udtrykket ikke P. Vi formaliserer dette ved at indføre symbolet P der læses ikke P, negationen af P eller not P ved følgende sandhedstavle:

1.1. UDSAGNSLOGIK 7 P Sand Falsk P Falsk Sand Tabel 1.1 For at gøre sandhedstavlerne mere overskuelige er det sædvane at benytte symbolet 1 for Sand og symbolet 0 for Falsk. Med denne konvention bliver sandhedstavlen for negationen altså P P 1 0 0 1 Tabel 1.2 Hvis P og Q er to udsagn, dannes et nyt, kaldet konjunktionen af P og Q, der betegnes med P Q, ved sandhedstavlen P Q P Q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Tabel 1.3 Udsagnet P Q er altså sandt netop hvis både P og Q er sande udsagn. I stedet for P Q benyttes også udtrykket P and Q. På lignende måde som ved konjunktionen, der ud fra to udsagn danner et tredje, indføres disjunktionen af to udsagn P og Q, betegnet P Q eller P or Q, ved sandhedstavlen P Q P Q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Tabel 1.4 Symbolet P Q læses som P eller Q, og vi understreger, at med den indførte definition er udsagnet P Q sandt, når mindst et af de indgående udsagn er sande. I sædvanligt sprog benyttes ordet eller ofte i betydningen præcis en af delene, men her er altså truffet et andet valg. Vi kan dog også sagtens udtrykke denne sproglige formulering symbolsk, nemlig ved (P Q) (P Q). Intuitivt er indholdet af dette sammensatte udsagn klart. En sandhedstavle kan fås på følgende måde:

8 KAPITEL 1. MATEMATISK LOGIK P Q P Q (P Q) P Q (P Q) (P Q) 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 Tabel 1.5 Her fås tredje og femte søjle direkte af tabel 1.3 og 1.4. Fjerde søjle fås af tredje ved at anvende tabel 1.2, og endelig fås sidste søjle ved at benytte tabel 1.3 på fjerde og femte søjle. Vi ser altså, at (P Q) (P Q) er sandt, netop hvis præcis et af de to udsagn P og Q er sandt. Man definerer symbolet xor, der kaldes exclusive or ved P xor Q. Sandhedstavlen for dette er altså den vi lige har fundet. Mange sætninger i matematik har formen hvis... så. Vi vil nu formalisere dette udtryk. Hvis P og Q er udsagn, fastlægges et nyt, der skrives P Q og læses P medfører Q, eller hvis P så Q eller if P then Q. Sandhedstavlen er P Q P Q 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 Tabel 1.6 Symbolet kaldes en implikationspil, og som det fremgår af sandhedstavlen, er P Q kun falsk i det tilfælde, hvor P er sand og Q er falsk. Her adskiller den indførte formalisme sig lidt fra dagligdags sprogbug, idet man i et udtryk som for eksempel Hvis det regner, så bliver gaden våd, normalt får ud fra, at der er en sammenhæng. I formalismen her er der ikke nødvendigvis en sammenhæng mellem P og Q i udsagnet P Q. Sådan som tingene er stillet op, er (2 = 3) (2 3) et sandt udsagn. Der er her tale om, at man har foretaget et valg, der heldigvis viser sig hensigtsmæssigt. Vi indfører P Q ved sandhedstabelen P Q P Q 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Tabel 1.7 Symbolet kaldes en biimplikation, og P Q læses P er ensbetydende med Q, eller P iff Q eller P hvis og kun hvis Q. Den indførte symbolik sætter os nu i stand til at formulere sammensatte udsagn, altså udsagn, der opbygges ved hjælp af symbolerne,,, og, og ved hjælp af sandhedstavlerne 1.2

1.1. UDSAGNSLOGIK 9 1.7 er vi i stand til at afgøre sandhedsværdien af et sammensat udsagn. Vi illustrerer dette i et eksempel. Eksempel 1.1. Vi vil opstille en sandhedstavle for udsagnet P ( Q R). P Q R Q Q R P ( Q R) 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 Tabel 1.8 Her er de tre første søjler de 2 3 = 8 forskellige muligheder for sandhedsværdier. Søjle 4 er fremkommet ved tabel 1.2, derefter er søjle 5 fremkommet af søjle 3 og 4 ved hjælp af tabel 1.4, og endelig er sidste søjle fremkommet ved at benytte tabel 1.6 på søjle 5 og 1. Hvis vi nu ser på udtrykket Hvis (2 = 3) så er (7 = 8) eller (11 < 12), så er dette altså et sandt udsagn, idet det svarer til fjerde række i sandhedstavlen. Vi vender nu tilbage til spørgsmålet om, hvad man mere præcist skal forstå ved, at en slutning eller et argument er logisk korrekt. Vi indfører først begrebet tautologi, hvorved forstås et altid sandt udsagn. Et sådant må nødvendigvis være et sammensat udsagt, og U er altså en tautologi, hvis U er sandt, uanset hvilke sandhedsværdier de enkelte udsagn har. Et simpelt eksempel på en tautologi er P P. På tilsvarende måde indføres en modstrid som et altid falsk udsagn. Et simpelt eksempel er P P. Definition 1.2. 1. Et (sammensat) udsagn B er en logisk konsekvens af et (sammensat) udsagn A, hvis A B er en tautologi. 2. To (sammensatte) udsagn A og B er logisk ækvivalente, hvis A B er en tautologi. I forbindelse med 1. bemærker vi, at A B ifølge tabel 1.6 automatisk er sandt, hvis A er falsk. At A B er en tautologi betyder altså reelt, at B er sand, når A er sand.

10 KAPITEL 1. MATEMATISK LOGIK Lad os dernæst vende tilbage til slutning (I) fra begyndelsen af afsnittet. Det første vi gjorde var at formalisere slutningens enkelte dele. Med den indførte formalisme er spørgsmålet herefter, om udsagnet Q er en logisk konsekvens af udsagnet (P Q) P, altså om [(P Q) P] Q, (1.1) er en tautologi. For at afgøre dette kan vi opstille en sandhedstavle: P Q Q P Q (P Q) P [(P Q) P] Q 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 Tabel 1.9 Det fremgår heraf, at der virkelig er tale om en tautologi, hvilket betyder, at slutningen heldigvis er logisk korrekt. I det betragtede tilfælde er det ikke nødvendigt at opstille hele sandhedstavlen, da, som nævnt tidligere, A B kun er falsk hvis A er sand, og B falsk. Sandhedstavlen for [(P Q) P] Q har kun én linje, hvor (P Q) P er sand, nemlig linje 3, så det er tilstrækkeligt at undersøge denne. Eksempel 1.2. Lad os betragte slutningen (II) fra begyndelsen af dette afsnit. Vi lader P = Solen skinner Q = Det regner R = Jeg bliver våd S = Det er sommer Konjunktionen af de første påstande er [P (Q R)] [P S] S, og konklusionen 4 er P R. Problemet er, om dette sidste udsagn er en logisk konsekvens af det første, altså om [[P (Q R)] [P S] S] [P R] (1.2) er en tautologi. Der er ingen principielle vanskeligheder i at afgøre dette, idet vi blot skal opstille en sandhedstavle. Lad os imidlertid få frem på en lidt anden måde. Vi behøver kun at betragte den situation hvor venstre side i (1.2) er sand. Når dette er tilfældet er S falsk. Da endvidere P S er sandt, er P nødvendigvis falsk. Men når P er falsk, er P R sandt. Altså, når venstre side i (1.2) er sand er højre side også sand. Der er derfor tale om en logisk korrekt slutning. Når man arbejder med udsagn, viser det sig ofte hensigtsmæssigt at erstatte et udsagn med et andet, som er logisk ækvivalent med det første. Lad os fx. se på de to udsagn P Q og P Q. Sandhedstavlen for P Q er tabel 1.6, og sandhedstavlen for P Q er

1.1. UDSAGNSLOGIK 11 P Q P Q 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 Tabel 1.10 Dette er præcis tabel 1.6, altså er (P Q) ( P Q) en tautologi, og udsagnene er altså logisk ækvivalente. Man siger også, at (P Q) ( P Q) er en logisk identitet. Meningen med dette er altså, at de to udtryk P Q og P Q har ens sandhedsværdier. Ved hjælp af sandhedstavler kan man bevise en lang række logiske identiteter. Et udvalg af disse er samlet i følgende tabel: Nummer Venstre Højre (1) P Q Q P (2) P Q Q P (3) P (Q R) (P Q) R (4) P (Q R) (P Q) R (5) P (Q R) (P Q) (P R) (6) P (Q R) (P Q) (P R) (7) P 0 P (8) P 1 P (9) P P 1 (10) P P 0 (11) P ( P) (12) (P Q) ( P Q) (13) (P Q) ( Q P) (14) (P Q) P Q (15) (P Q) P Q (16) P 0 0 (17) P 1 1 (18) P P P (19) P P P (20) (P Q) (P Q) (Q P) Tabel 1.11

12 KAPITEL 1. MATEMATISK LOGIK I tabel 1.11 betegner 0 et udsagn, der altid er falsk, og 1 et udsagn der altid er sandt. Identiteterne (9) og (10) er et udtryk for dette. Identiteterne (14) og (15) kaldes De Morgans love. Vi har allerede bevist identitet (12) og vil her yderligere bevise (6) og (14). De øvrige overlades til læseren. Beviset for P (Q R) (P Q) (P R) foretages som nævnt ved at opskrive sandhedstavlen: P Q R Q R P (Q R) P Q P R (P Q) (P R) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tabel 1.12 Her er 5. og 8. søjle ens, hvilket beviser identiteten. Identitet (14) bevises på samme måde ud fra følgende sandhedstabel: P Q P Q (P Q) P Q P Q 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 Tabel 1.13 Da 4. og 7. og søjle er identiske, har vi vist identiteten. De logiske identiteter kan benyttes til at simplificere sammensatte udsagn, som det kan ses af nedenstående eksempel. Eksempel 1.3. Vi ser på udsagnet [(P Q) (P R)] (Q R). Dette kan simplificeres på følgende måde, idet vi i hver linje noterer, hvilke logiske identiteter, der er benyttet:

1.2. PRÆDIKATLOGIK 13 [(P Q) (P R)] (Q R) via identitet (12) [( P Q) ( P R)] (Q R) via identitet (1) og (3) [ P P Q R] (Q R) via identitet (19) [ P Q R] (Q R) via identitet (11) og (14) [(P (Q R)] (Q R) via identitet (1) og (6) [P (Q R)] [ (Q R) (Q R)] via identitet (3) og (9) [P Q R] 1 via identitet (8) P Q R Tabel 1.14 1.2 Prædikatlogik Den formalisme, vi har indført i udsagnslogikken, viser sig utilstrækkelig til at beskrive og undersøge alle de logiske slutninger, vi er interesserede i. Hvis vi igen betragter den slutning, der er nævnt i introduktionen, hvor man ud fra forudsætningerne Slutning (III): 1. Alle mennesker har to ben. 2. Peter er et menneske. drager konklusionen 3. Peter har to ben, så er vi ikke i stand til udelukkende ved hjælp af udsagnslogikken at udtrykke den sammenhæng, der består mellem de tre udsagn. Lad os som et yderligere eksempel se på sætningen: Sætning (IV):

14 KAPITEL 1. MATEMATISK LOGIK Hvis x og y er reelle tal, og xy = 0, så gælder x = 0 eller y = 0. Dette er som bekendt en sand sætning, og her er det klart, at vi ikke kan udtrykke denne ved hjælp af udsagnslogik. Udtrykkene xy = 0, x = 0 og y = 0 er ikke udsagn deres sandhed eller falskhed afhænger jo af, hvilke reelle tal x og y er. Slutning (IV) er en typisk matematisk sætning, og en sådan indeholder ofte variable, her x og y. I det følgende vil vi udvide den modelopbygning, vi startede i afsnit 1.1, således at også udtryk og slutninger af ovenstående karakter kan behandles. Vi indfører først begrebet et prædikat, der fx. kan være udtrykket x = 0 eller udtrykket x er et menneske. I begge tilfælde indeholder udtrykket en variabel, nemlig x, der tænkes at kunne antage værdier fra en eller anden mængde. I det første tilfælde er der tale om mængden af reelle tal og i det andet tilfælde er der tale om mængden af alle pattedyr. Den mængde, den variable kan antage værdier i, kaldes universet, og vi understreger, at selv om det ikke altid nævnes eksplicit, så hører der til ethvert prædikat et univers. Den anden afgørende egenskab ved et prædikat er det faktum, at hvis man erstatter x med et bestemt element fra universet, så fås et udsagn, der altså enten er sandt eller falsk. Vi præciserer Definition 1.3. Ved et prædikat i n variable forstås et udtryk af formen P(x 1,x 2,...,x n ) med den egenskab, at der fremkommer et udsagn når man erstatter alle de variable med elementer fra en mængde, der kaldes et univers. Udtrykket x = 0 er altså et prædikat. Hvis vi betegner dette med N(x), kan vi ved hjælp af de tidligere indførte logiske symboler formulere en del af sætningen (IV) som N(xy) [N(x) N(y)]. Ifølge ovenstående er dette ligeledes et, omend sammensæt, prædikat. Ved at benytte andre logiske symboler sammen med prædikater, kan man på tilsvarende måde opnå andre sammensatte udtryk. Lad nu M(x) betyde x er et menneske og lad T (x) betyde x har to ben. Udtrykket M(x) T (x) er så den formelle oversættelse af sætningen: Hvis x er et mennesker, så har x to ben. Hvis lader p betegne Peter, så betyder M(p) derfor, at Peter er et menneske, T (p) at Peter har to ben.

1.2. PRÆDIKATLOGIK 15 For at kunne færdiggøre formaliseringen af slutning (III), mangler vi kun at indføre et symbol for udtrykket Alle. Lad P(x) være et prædikat. Ved symbolet P(x), der læses, for ethvert x P(x), forstås et udsagn, der er sandt, hvis P(a) er et sandt udsagn, uanset hvilket element a fra det betragtede univers, der er tale om. Symbolet kaldes for alkvantoren. Med betingelserne ovenfor er xm(x) et falsk udsagn, og xt (x) er ligeledes falsk, men x(m(x) T (x)) er sandt. Slutningen (III) kan nu formaliseres ved Slutning (III ): (1) x(m(x) T (x)) (2) M(p) (3) T (p) hvor den vandrette streg adskiller forudsætningerne fra konklusionen. At der her er tale om en logisk korrekt slutning, hvad der jo intuitivt er oplagt, afspejles nu i det faktum, at vi fra punkt (1) specielt har M(p) T (p), og at T (p) er en logisk konsekvens af (M(p) T (p)) M(p). At [(M(p) T (p)) M(p)] T (p) er en tautologi følger af udtrykket i ligning (1.1), hvor M(p) svarer til P, og T (p) svarer til Q. Sætningen (IV) kan ligeledes formaliseres. Vi ser, at den formelle oversættelse bliver Sætning (IV ) x y (N(xy) (N(x) N(y))). Hvis vi nu foretager en yderligere abstraktion og glemmer den konkrete betydning, vi har tillagt prædikaterne M(x), T (x) og N(x) og udelukkende opfatter disse som prædikatsymboler, ser vi, at der er en afgørende forskel på de to situationer. Slutningen (III ) er korrekt uanset betydningen af symbolerne M(x) og T (x), og uanset hvilket univers man betragter, mens sandhedsværdien af (IV ) afhænger af den konkrete betydning af N(x) og universet. Hvis N(x) betyder x = 1, og universet er de reelle tal, så er udsagnet jo falsk. Ved indførelsen af prædikater og alkvantoren har vi nu fået mulighed for at formalisere alle de udsagn, vi er interesserede i. I lighed med definition 1.2 indfører vi Definition 1.4. 1. Et (sammensat) udsagn B er en (prædikat-) logisk konsekvens af et (sammensat) udsagn A, hvis udsagnet A B er en tautologi uanset betydningen af de indgående prædikatsymboler, og uanset hvilket univers der betragtes. 2. To (sammensatte) udsagn A og B er (prædikat-) logisk ækvivalente hvis udsagnet A B er en tautologi uanset betydningen af de indgående prædikatsymboler, og uanset hvilket univers der betragtes.

16 KAPITEL 1. MATEMATISK LOGIK I lighed med de udsagnslogiske identiteter findes en række prædikatlogiske relationer, hvoraf nogle er samlet i tabel 1.15. Vi understreger dog, at det i almindelighed kan være svært at afgøre, om to udsagn er logisk ækvivalente, eller om et er en logisk konsekvens af et andet. I princippet skal man jo undersøge alle mulige betydninger af de indgående prædikatsymboler og alle mulige universer. Nummer Relation (1) x P(x) P(a), hvor a er et vilkårligt element i universet (2) P(b) x P(x), hvor b er et element i universet (3) x P(x) x P(x) (4) x P(x) x P(x) (5) xp(x) x P(x) (6) x P(x) x Q(x) x (P(x) Q(x)) (7) x P(x) x Q(x) x (P(x) Q(x)) (8) x (P(x) Q(x)) x P(x) x Q(x) (9) x (P(x) Q(x)) x P(x) x Q(x) Tabel 1.15 Det viser sig hensigtsmæssigt at indføre endnu et symbol. Lad os se på udsagnet x P(x). Dette betyder altså, at x P(x) er falsk, altså at det er falsk, at udsagnet P(a) er sandt for alle a i universet. Med andre ord findes der mindst et b i universet, således at udsagnet P(b) er falsk, hvad der jo er det samme som at P(b) er sandt. En kort skrivemåde for dette er x P(x), hvor symbolet kaldes for eksistenskvantoren, og udtrykket x læses der findes et x. Betydningen er altså fastlagt ved, at xp(x) og x P(x) er prædikatlogiske ækvivalente udsagn. Relationerne (1) (5) er en simpel følge af selve den måde, vi har indført symbolerne på. I relationerne (6) (9) er implikationen fra venstre mod højre, altså, igen en simpel konsekvens af symbolernes betydning. Implikationen den modsatte vej, altså, kan i (6) indses ved at benytte, at såvel P(c) som Q(c) er en udsagnslogisk konsekvens af P(c) Q(c). På tilsvarende måde kan i (8) bevises. Vi understreger, at i (7) og (9) er der kun tale om implikationer den enevej. Den modsatte implikation gælder simpelthen ikke. Dette kan indses ved at give et modeksempel. Hvis vi ser på relation (7) skal vi altså angive et univers og prædikater P(x) og Q(x), således at x P(x) x Q(x) er falsk. Lad universet bestå af tallene 0 og 1, lad P(x) betyde x = 0 og lad Q(x) betyde x = 1. Det er så klart, at x ((x = 0) (x = 1)) er sandt, mens det er lige så oplagt, at x (x = 0) (x = 1) er falsk.

1.2. PRÆDIKATLOGIK 17 Ved hjælp af den indførte formalisme er vi i stand til på en kompakt måde at udtrykke de fleste af de ting, vi er interesserede i indenfor matematikken, og vi har ligeledes en principiel mulighed for at undersøge, om en slutning er logisk korrekt. Hvis der er tale om udsagn uden kvantorer og prædikater, kan man træffe afgørelsen ved hjælp af sandhedstavler, men generelt kan det være mere vanskeligt. Vi illustrerer problemet i følgende eksempel. Eksempel 1.4. Vi vil undersøge om udsagnet x (P(x) R(x)) er en logisk konsekvens af de tre udsagn 1. x [P(x) (Q(x) R(x)] 2. x (P(x) S(x)) 3. x S(x) Lad derfor P(x), Q(x), R(x) og S(x) være vilkårlige prædikater og lad a være et vilkårligt element i det tilhørende univers. Vi betragter altså udsagnet [P(a) (Q(a) R(a))] (P(a) S(a)) S(a). Ifølge definition 1.4 er P(a) R(a) en logisk konsekvens af dette, og da a var et vilkårligt element, følger det så af selve betydningen af alkvantoren, at der gælder x (P(x) R(x)), som hermed er en prædikatlogisk konsekvens af udsagnene 1, 2 og 3. Som et eksempel på formalismens styrke minder vi om definitionen på, at en funktion er kontinuert i ethvert punkt: Eksempel 1.5. Lad f : R R være en funktion. f er kontinuert i punktet x 0, hvis ε > 0 δ > 0 x [ x x 0 < δ f (x) f (x 0 ) < ε]. At f ikke er kontinuert i x 0 betyder altså, at ( ε > 0 δ > 0 x [ x x 0 < δ f (x) f (x 0 ) < ε]). Ved hjælp af tabel 1.11 og 1.15 kan dette udtryk omskrives. Vi benytter først 1.11.(12) og får ( ε > 0 δ > 0 x [ ( x x 0 < δ) f (x) f (x 0 ) < ε]). Nu benyttes 1.15.(3) og 1.15.(4) ε > 0 δ > 0 x [ ( x x 0 < δ) f (x) f (x 0 ) < ε],

18 KAPITEL 1. MATEMATISK LOGIK der ved brug af 1.11.(11) og 1.11.(14) giver ε > 0 δ > 0 x [( x x 0 < δ) f (x) f (x 0 ) ε]. Hvis man i ord forsøger at udtrykke, at en funktion ikke er kontinuert i et punkt uden at benytte det formelle apparat vil man opleve, at dette giver svære vanskeligheder. 1.3 Formelle Beviser I de to foregående afsnit har vi indført en række begreber og symboler, der muliggør en præcis formulering af matematiske udtryk, og vi har baseret på den intuitive opfattelse af sand og falsk præciseret, hvad vi forstår ved udtrykket logisk konsekvens. I dette afsnit vil vi indføre begreberne slutningsregler og formelle beviser og hermed introducere en anden vigtig synsvinkel i logikken. Vi indskrænker os i det følgende til kun at betragte udsagn uden prædikater og kvantorer. Som bekendt er en matematisk sætning et udsagn, der kan bevises, og en matematiker er ikke tilfreds, før han eller hun er overbevist om korrektheden af beviset. I et bevis indgår der en eller flere slutninger af den art, vi har diskuteret i de foregående afsnit. Som vi har set, er udsagnet Q en logisk konsekvens af udsagnet (P Q) P. Dette kan formuleres som en slutningsregel, idet man ud fra udsagnene P Q og P drager slutningen Q. Vi skriver dette på følgende måde P Q P Q I denne formulering kaldes udsagnene over stregen for hypoteser eller præmisser og udsagnet under stregen for konklusionen. Vi noterer en række sådanne regler i tabel 1.16. SR1: P Q P Q SR2: P P Q SR3: P Q P SR4: P Q P Q SR5: P Q P R Q R Tabel 1.16 I den opsætning vi har valgt, er slutningsreglerne blot en anden måde at udtrykke, at konklusionen er en logisk konsekvens af konjunktionen af præmisserne. De slutningsregler, der er medtaget i tabel 1.16, er udtryk for et valg, og de er ikke uafhængige. For eksempel kan SR1 opfattes som et specialtilfælde af SR5, idet SR1 også kan skrives som P Q P 0 Q 0

1.3. FORMELLE BEVISER 19 lad nu P 1,P 2,...,P n og Q være udsagn. Ved et logisk argument forstås et skema af formen P 1 P 2. P n Q Det logiske argument siges at være gyldigt, hvis Q er en logisk konsekvens af P 1 P 2 P n, altså hvis udsagnet (P 1 P 2 P n ) Q er en tautologi. Specielt er slutningsreglerne i tabel 1.16 altså gyldige argumenter. Når man vil benytte et gyldigt logisk argument, er det oftest i den situation, hvor man ud fra sandheden af præmisserne ønsker at slutte sandheden af konklusionen. I selve den formelle opsætning er der dog intet krav om sandhed af præmisserne. Det logiske argument er gyldigt da (P P) Q, der er logisk ækvivalent med 0 Q altså 1, er en tautologi. Fra definition 1.4 har vi, at P (Q R) P S S P R P P Q er et gyldigt logisk argument. Gyldigheden blev bevist ved hjælp af sandhedstavler, og ethvert udsagnslogisk argument kan behandles på denne måde. Vi vil nu anlægge en lidt anden synsvinkel, idet vi indfører begrebet et formelt bevis for et logisk argument. Dette leder senere til en næsten automatisk procedure til at konstruere beviser for gyldigheden af logiske argumenter, men styrker af synspunktet kommer i realiteten først til sin ret, når det anvendes i mere generelle situationer, hvor sandhedstavlefilosofien ikke direkte anvendes. Vi illustrerer meningen med begrebet formelt bevis på ovenstående eksempel og vender senere tilbage til den præcise definition. Eksempel 1.6. Vi starter med at nummerere præmisserne Nummer Præmis (1) P (Q R) (2) P S (3) S Nu tilføjes en række nummererede udsagn, der fremkommer af de foregående ved at anvende tabel 1.11 eller tabel 1.16, og i hver linje noteres hvilke identiteter eller regler der er benyttet

20 KAPITEL 1. MATEMATISK LOGIK på hvilke af de foregående udsagn. Man får nu Nummer Præmis Regel/Identitet (4) S P 1.11(13) på præmis 2 (5) P 1.16SR1 på præmis (4) og (3) (6) P R 1.16SR2 på præmis (5) (7) P R 1.11(12) på præmis (6) og vi ser, at præmis (7) præcis er udsagnet under stregen. I dette tilfælde blev præmis (1) slet ikke benyttet. Lad os betragte et andet tilfælde i følgende eksempel. Eksempel 1.7. Vi har (1) (P Q) R (2) R S (3) S Q For at give et formelt bevis for dette fortsættes med Nummer Præmis Regel/Identitet (4) S R 1.11(13) på præmis (2) (5) R 1.16SR1 på præmis (3) og (4) (6) R (P Q) 1.11(14) på præmis (1) (7) (P Q) 1.16SR1 på præmis (5) og (6) (8) P Q 1.11(14) på præmis (7) (9) Q 1.16SR3 på præmis (8) Vi kan nu præcisere begrebet et formelt bevis.

1.3. FORMELLE BEVISER 21 Definition 1.5. Lad P 1 P 2. P n Q være et logisk argument. Ved et formelt bevis for det logiske argument forstås en nummereret liste af udsagn. Listen starter med P 1 P 2 P n og slutter Q, og ethvert udsagn på listen er fremkommet ved at anvende identiteterne fra tabel 1.11 eller reglerne fra tabel 1.16 på udsagn tidligere på listen. Ud fra ethvert udsagn angives, på hvilken måde dette er fremkommet. Det følger af en måde, vi har indført begrebet formelt bevis, at hvis der findes et formelt bevis for et logisk argument, så er argumentet gyldigt. Det er mere overraskende, men ikke desto mindre rigtigt, at ethvert gyldigt argument har et formelt bevis. Selvom gyldigheden af et logisk argument kan indses ved at benytte sandhedstavler, er formelle beviser generelt set mere velegnede i forbindelse med automatisering af logiske slutninger. Det er ikke umiddelbart indlysende, hvordan man skal gå frem for at give et formelt bevis for et logisk argument, men vi vil i det følgende beskrive en fremgangsmåde, faktisk næsten en algoritme, som man altid kan benytte ved konstruktion af formelle beviser i det her betragtede regi. Udgangspunktet er slutningsregel 1.16.SR5, altså: (1) P Q (2) P R (3) Q R Her kaldes udsagnet Q R for resolventen af udsagnene P Q og P R, og man siger, at konklusionen (3) er fremkommet ved at anvende resoluion på (1) og (2). Nu er det jo ikke altid tilfældet, at præmisserne i et forelagt logisk argument har en form, der med det samme tillader anvendelse af resolution. Der gælder imidlertid, at ethvert logisk argument kan bringes på en form, hvor dette er tilfældet. Det følgende går ud på at indse dette. Vi definerer først, at vi ved et simpelt udsagn forstår er udsagn af formen P eller P, hvor P er et udsagn, der ikke indeholder logiske operatorer. Et sammensat udsagn siges at være på konjunktiv normalform, hvis det er en konjunktion af udsagn, der enten er simple eller er en disjunktion af simple udsagn. Udsagnet P (Q R) S er på konjunktiv normalform, mens (P Q) (R P) ikke er det. Ved hjælp af tabel 1.15 kan det sidste udsagn omskrives til et dermed logisk ækvivalent på konjunktiv normalform. Omskrivningen kan for eksempel forløbe således (idet der henvises til reglerne i tabel 1.11):

22 KAPITEL 1. MATEMATISK LOGIK (P Q) (R P) via identitet (12) (P Q) (R P) via identitet (11) (P Q) (R P) via identitet (12) ( P Q) (R P) via identitet (6) ( P Q R) ( P Q P) via identitet (1), (9) og (17) ( P Q R) 1 via identitet (8) P Q R Udsagnet P Q R er altså på konjunktiv normalform, selv om der faktisk ikke optræder konjunktioner. De enkelte deludsagn i et udsagn på konjunktiv normalform kaldes klausuler. I udsagnet P (Q R) S er klausulerne P, Q R og S. Udsagnet P Q R indeholder kun en klausul, nemlig P Q R. Omskrivningen illustrerer følgende: Sætning 1.1. Ethvert udsagn er logisk ækvivalent med et udsagn på konjunktiv normalform. Bevis. Vi angiver det trin, der skal udføres for at omskrive et givent udsagn. (1) Fjern alle optrædende og ved at udnytte de logiske ækvivalenser (P Q) (P Q) (Q P) og (P Q) ( P Q). (2) Fjern negationer, eller flyt dem så langt muligt ind, ved at benytte ækvivalenserne P P, (P Q) P Q og (P Q) P Q.

1.3. FORMELLE BEVISER 23 (3) Benyt ækvivalenserne (P Q) R (P R) (Q R) P (Q R) R (P Q) (P R) Det er så forholdsvist nemt at indse, at denne proces fører til et udsagn på konjunktiv normalform. Vi kan nu angive en procedure til at angive et formelt bevis for et logisk argument: Først erstattes præmisserne med dermed ækvivalente udsagn på konjunktiv normalform. Hver enkelt præmis erstattes af klausulerne i den pågældende normalform, sagt på en anden måde anvendes slutningsregel 1.16.SR3 gentagne gange. Nu anvendes resolution, indtil man opnår et udsagn, som er logisk ækvivalent med den ønskede konklusion (på konjunktiv normalform). Vi illustrerer metoden i et eksempel: Eksempel 1.8. Vi vil angive et formelt bevis for det logiske argument (1) (P Q) R (2) T Q (3) W P (4) R W T Vi anvender den metode, der er skitseret ovenfor, og får Nummer Præmis Regel/Identitet (5) (P Q) R 1.11(12) på præmis (1) (6) P Q R 1.11(15) på præmis (5) (7) T Q 1.11(12) på præmis (2) (8) P R T Resolution på præmis (6) og (7) (9) W P 1.11(12) på præmis (3) (10) R T W Resolution på præmis (8) og (9) (11) T W Resolution på præmis (10) og (4) (12) W T 1.11(12) på præmis (11) og dette er den ønskede konklusion. Man kan med nogen ret indvende, at proceduren stadig ikke er helt mekanisk. Det er ikke klart, i hvilken rækkefølge og på hvilke udsagn resolution skal anvendes. Det er ikke desto mindre

24 KAPITEL 1. MATEMATISK LOGIK rigtigt, at man ved at anvende ovenstående procedure kan levere et formelt bevis for ethvert gyldigt logisk argument. Automatiske bevisførere (programmer) udnytter ofte resolution på en lidt anden måde, idet man kombinerer anvendelsen heraf med det indirekte bevis. Dette bygger på den kendsgerning, at det logiske argument P Q er gyldigt, netop hvis det logiske argument P Q 0 er gyldigt. Dette kan indses ved at benytte tabel 1.11 som følger: Udsagn Identitet P Q (12) P Q (11) og (15) (P Q) (7) (P Q) 0 (12) (P Q) 0 Heraf ses, at udsagnet P Q er en tautologi, hvis og kun hvis (P Q) 0 er en tautologi. Et indirekte bevis for P 1 P 2. P n Q består så i et bevis for P 1 P 2. P n Q 0

1.3. FORMELLE BEVISER 25 Eksempel 1.9. Vi vil undersøge, om P Q kan konkluderes ud fra præmisserne (1) (P R) (2) Q R Negationen af konklusionen, altså (P Q), er logisk ækvivalent med P Q, som er på konjunktiv normalform. Vi vil derfor besvare spørgsmålet ved at angive et formelt bevis for (1) (P R) (2) Q R (3) P (4) Q 0 ved at benytte den tidligere beskrevne metode. Vi får Heraf følger altså, at (5) ( Q) R 1.11(12) på præmis (2) (6) Q R 1.11(11) på præmis (5) (7) R Resolution på præmis (4) og (6)) (8) P R 1.11(15) på præmis (1) (9) R Resolution på præmis (3) og (8) (10) 0 Resolution på præmis (7) og (9) (P R) Q R P Q er et gyldigt argument, og ovenstående er et formelt bevis for dette. Vi har hidtil kun beskæftiget os med formelle beviser for logiske argumenter i udsagnslogikken. Det er imidlertid muligt, om end mere besværligt, at gennemføre en tilsvarende begrebsdannelse i prædikatlogik. Dette kan fx ske ved at inddrage som slutningsregler SR6: x P(x) P(c) for ethvert c SR7: P(a) for et eller andet a x P(x) Tabel 1.17 I lighed med udsagnslogikken gælder så også, at ethvert gyldigt logisk argument har et formelt bevis, og det er også muligt at formulere en generel version af resolutionsprincippet, således at det i en vis forstand er muligt at mekanisere bevisførelsen.

26 KAPITEL 1. MATEMATISK LOGIK 1.4 Matematiske Beviser Det kan måske forekomme lidt ejendommeligt, at vi efter afsnittet om formelle beviser har et afsnit med overskriften Matematiske Beviser. For der ligger jo heri en antydning af en forskel mellem to typer af beviser, og man skulle umiddelbart mene, at et bevis er et bevis, og at der ikke i matematikken kan være debat om den sag. Overskriften på afsnittet er da også lidt af en provokation, der imidlertid afspejler en reel forskel mellem en meget formel fremgangsmåde og en mere bredt anlagt anskuelsesform, hvor den formelle logik godt nok ligger til grund for de slutninger, der drages, men hvor logikken først og fremmest manifesterer sig gennem sproget. Matematik som levende og kreativt fag handler om begrebet og logiske sammenhænge mellem begreber. Disse sammenhænge etableres gennem matematiske beviser, der kan have forskellige grundlæggende strukturer og kan fremtræde på forskellige måder. En mulighed er, at begreberne og det givne er formaliseret i en sådan udstrækning, at man kan gennemføre et formelt bevis. Om end noget sådant for mange står som idealet for matematisk tænkning, er det dog kun i ringe udstrækning blevet realiseret for interessante matematiske sætninger. Den fuldt ud formelle bevisførelse er central i debatten om matematikkens (filosofiske) grundlag og i alle situationer, hvor logisk tænkning søges gennemført maskinelt. Men i selve matematikken som fag betragtet, spiller formelle beviser en yderst tilbagetrukken rolle. Nu er de ovenstående bemærkninger måske placeret lovligt tidligt, idet resten af bogen handler om matematiske sætninger og matematiske beviser. Først når man har fået en grundlæggende forståelse af, hvad et matematisk bevis er, kan man for alvor forholde sig til den formelle logiks betydning for matematikken. På dette sted vil vi præsentere en række eksempler, der illustrerer forskellige bevisteknikker og -metoder. Eksempel 1.10. Vi ser først på den sætning, der blev nævnt i afsnit 1.2, nemlig Hvis x og y er reelle tal, og xy = 0, så gælder x = 0 eller y = 0. Dette er et eksempel på en (simpel) interessant matematisk sætning. Som vi har set, kan den formuleres ved hjælp af prædikater, men konklusionen er ikke en prædikatlogisk konsekvens af præmisserne. Det er præcis derfor, at sætningen har et egentligt matematisk indhold. Sætningen kan for eksempel bevises på følgende måde: Vi har xy = 0, og hvis x er forskellig fra 0, så findes et reelt tal x 1, således at x 1 x = 1. Af xy = 0 følger så x 1 (xy) = x 1 0. Når man regner med reelle tal, kan man som bekendt flytte parenteser, så vi får (x 1 x)y = x 1 0 og derfor 1y = x 1 0. Nu er 1y = y og x 1 0 = 0, så vi får y = 0, og hermed er sætningen bevist. Ingen matematiker vil indvende noget imod ovenstående bevis, selv om det selvfølgelig er langt fra at være et formelt bevis i den forstand, vi har defineret dette. Alligevel udnyttes i beviset en del af de metoder, vi har beskæftiget os med i det foregående. Sætningen far formen P (Q R), mens den sætning der faktisk bevises er (P Q) R. Begge disse udsagn er jo logisk

1.4. MATEMATISKE BEVISER 27 ækvivalente med udsagnet P Q R, så vi har bevist en sætning, der er logisk ækvivalent med den oprindelige, og det er jo fuldt tilstrækkeligt. Beviset udnytter endvidere en række egenskaber ved de reelle tal: eksistensen af x 1, når x er forskellige fra 0, at man kan flytte parenteser, at 1y = y, og at a0 = 0. Disse egenskaber er enten fundamentale for de reelle tal, eller kan bevises for sig. Det vil sige, at beviset udnytter en række allerede beviste sætninger om reelle tal uden egentlig at gå helt formelt til værks. I princippet er det muligt ud fra de fundamentale egenskaber for de reelle tal, de såkaldte aksiomer, ved brug af de logiske identiteter, de logiske relationer og slutningsreglerne, at bevise sætningen på en måde, der ligger meget tæt på et formelt bevis. En sådan fremgangsmåde ville dog give et urimeligt langt og uigennemskueligt bevis, og det ville, hvad der er værre, ikke bidrage til forståelsen. Ovenstående bevis er et eksempel på et såkaldt direkte bevis, hvor man altså ud fra præmisserne ved at (1) regne, (2) udnytte tidligere beviste sætninger, (3) benytte logiske identiteter og (4) slutningsregler, når frem til konklusionen. Den bevisteknik som består i direkte at bevise et udsagn, der er logisk ækvivalent med det, man faktisk ønsker, har vi allerede set et eksempel på. Specielt hvis sætningen fra formen P Q, er det ofte nemmere at bevise udsagnet Q P. Dette kaldes kontraposition. Eksempel 1.11. Lad os se på følgende sætning om de hele tal: Hvis x 2 er lige, så er x lige. Vi beviser den hermed ækvivalente påstand, altså Hvis x er ulige, så er x 2 ulige. på følgende måde: Da x er ulige, er x = 2y + 1, og derfor x 2 = 4y 2 + 4y + 1, som jo er ulige. En anden bevisteknik, det såkaldte indirekte bevis, er allerede omtalt i afsnit 1.3. Metoden består i, at man til præmisserne føjer negationen af konklusionen, og så heraf udleder en modstrid. Et klassisk eksempel på denne metode er følgende bevis for, at 2 er et irrationelt tal. Beviset bygger selvfølgelig på læserens viden om de rationelle tal, altså at disse er brøker af hele tal, og specielt at ethvert rationelt tal kan skrives som en uforkortelig brøk. Eksempel 1.12. Her er så beviset: Vi går altså ud fra, x 2 = 2. Negationen af konklusionen er, at x = b a, hvor brøken a b ikke kan forkortes. Med udgangspunkt i disse to udsagn får vi så 2 = a2, og derfor b 2 2b 2 = a 2. Da 2b 2 er et lige tal, må a 2 være et lige tal. Men så er a selv lige (ifølge ovenstående), så a = 2c. Heraf fås 2b 2 = (2c) 2, og derfor b 2 = 2c 2. Da 2c 2 er et lige tal, er b 2 lige, og derfor er b et lige tal. Altså har vi nu, at såvel a som b er et lige tal, og b a kan derfor forkortes med 2, i modstrid med uforkorteligheden.

28 KAPITEL 1. MATEMATISK LOGIK Hermed er det indirekte bevis tilendebragt. Indirekte beviser benyttes oftest i de tilfælde, hvor man skal bevise, at noget ikke er opfyldt. Senere i bogen møder man mange flere beviser, og det er bestemt en ikke triviel opgave at konstruere sådanne. At kunne dette er en nødvendig betingelse for at dyrke matematik.

Kapitel 2 Mængder Formålet med dette afsnit er at minde om begrebet en mængde, der er fundamentalt for moderne matematik og datalogi. Hovedvægten er lagt på de operationer, man kan foretage på mængder for at danne nye mængder, samt de regler, der gælder i denne forbindelse. Ved en mængde forstås intuitivt en samling af objekter således, at det i princippet er muligt for ethvert objekt at afgøre, om det er med i samlingen eller ej. De objekter, der er med i samlingen, kaldes mængdens elementer. Hvis x er et element i en mængde A, skrives x A, i modsat fald skrives x / A. Typisk kan en mængde angives ved en opremsning af dens elementer, og man benytter krøllede paranteser uden om elementerne til at angive selve mængden. For eksempel, A = {1,2,7} eller A = {1,2,3,...,98}. En anden hyppig anvendt angivelse af mængder er {x M P(x)}. Her er P(x) et prædikat, og skrivemåden benyttes til at angive de elementer fra M, som gør prædikatet sandt. Vi tillader også skrivemåden x P(x), hvis det er underforstået eller fremgår af sammenhængen, hvorfra objekterne x hentes. Der er selvfølgelig intet i vejen for at elementerne i en mængde selv kan være mængder, så det er helt lovligt at skrive {{1,2},{1}}. Det viser sig også hensigtsmæssigt at kunne tale om en mængde uden elementer. Denne kaldes den tomme mængde og betegnes med /0. For den tomme mængde gælder altså x(x / /0). Overdreven og uforsigtig brug af ovennævnte symbolik kan imidlertid føre til paradokser. Disse kan kun undgås, hvis man går formelt til værks og opstiller et egentligt aksiomssystem for mængdelæren. En sådan fremgangsmåde falder uden for denne bogs rammer og er da også helt unødvendig i den daglige matematiske praksis, hvor man er omhyggelig med kun at benytte symbolikken og begreberne i overensstemmelse med deres intuitive indhold. I det følgende præciseres en række begreber, der benyttes i mængdelæren. Mængder er betegnet med store bogstaver og elementer med små. De elementer, der er tale om, er tænkt valgt fra en fast mængde M, selv om vi ikke altid nævner dette eksplicit. 29

30 KAPITEL 2. MÆNGDER Definition 2.1. Lad A og B være mængder. (1) A = B hvis A og B har præcis de samme elementer. (2) A B hvis ethvert element i A også er element i B. Her er (1) blot en præcisering af, at en mængde er karakteriseret alene ved de elementer, den indeholder. For eksempel, {0,1,4,9,16,25} = {x 2 x N x 5}. Når A B siges A at være en delmængde af B. Det følger af (2), at /0 A lige meget hvilken mængde A, der er tale om. Ligeledes gælder A A og endvidere, at A = B (A B) (B A). (2.1) Definition 2.2. Lad A være en mængde. Ved P(A) forstås mængden af delmængder af A. Eksempel 2.1. Hvis A = {1, 2, 3} er P(A) = {/0,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}. I det trivielle tilfælde hvor A = /0 er P(A) = {/0}. Elementerne i P(A) er altså mængder, nemlig præcis alle de mængder, som er delmængder af A. Sætning 2.1. Hvis A er en endelig mængde med n elementer, så er der 2 n elementer i P(A). Bevis. Lad A s elementer være a 1,a 2,...,a n i denne bestemte rækkefølge. En delmængde D kan så entydigt karakteriseres ved en bitstrengen (x 1,x 2,...,x n ) hvor x i {0,1}, idet vi sætter x i = 1 hvis a i D og x i = 0 hvis a i / D. Det vil sige at bitstrengen (0,0,...,0) svarer til /0, og at bitstrengen (1, 1,..., 1) svarer til A. Nu er det klart, idet der på hver af de n pladser er to muligheder, antallet af sådanne bitstrenge er 2 n, og hermed er sætningen bevist.

31 Definition 2.3. Lad A og B være mængder (delmængder af M). (1) A B er mængden af elementer, der er med i både A og B. (2) A B er mængden af elementer, der er med i mindst én af mængderne A og B. (3) A er mængden af elementer fra M, der ikke er med i A. (4) A \ B er mængden af elementer fra A, der ikke er med i B. A B kaldes fællesmængden af A og B, og der gælder altså A B kaldes foreningsmængden af A og B, og der gælder A B = {x M (x A) (x B)}. (2.2) A B = {x M (x A) (x B)}. (2.3) A kaldes A s komplementærmængde, og A\B kaldes differensmængden mellem A og B, og vi har A = {x M x / A}, (2.4) A \ B = {x M (x A) (x / B)}. (2.5) Det er ikke vanskeligt at indse, at der er en række sammenhænge mellem disse mængder. Vi fremhæver nogle af egenskaberne i Lad A,B og C være delmængder af en mængde M. Så gælder (1) A B = B A (2) A B = B A (3) A (B C) = (A B) C (4) A (B C) = (A B) C (5) A (B C) = (A B) (A C) (6) A (B C) = (A B) (A C) (7) A /0 = A (8) A M = A (9) A A = M (10) A A = /0 Tabel 2.1 De fleste af disse påstande følger direkte af definitionerne, men man kan også indse mange af konsekvenserne ved at visualisere mængderne i såkaldte Venn diagrammer som det i Figur 2.1. Hvis man vil bevise relationerne algebraisk kan (5) for eksempel indses på følgende måde: A (B C) = {x M (x A) (x B x C)}, = {x M (x A x B) (x A x C)}, = {x M x (A B) x (A C)}, = (A B) (A C).

32 KAPITEL 2. MÆNGDER Figur 2.1: Eksempler på Venn diagrammer. Beviset bygger altså udelukkende på definitionerne og omskrivninger af disse samt en anvendelse af den logiske identitet i Tabel 1.11.(5). Denne fremgangsmåde kan ofte benyttes til at vise lighed mellem mængdeudtryk, som illustreret i følgende eksempel. Eksempel 2.2. Lad A og B være delmængder af en mængde M. Vi vil vise at A B = A B : Udsagn Identitet A B = {x M (x A x B)} Ligning (2.2) og (2.4) A B = {x M (x A) (x B)} Tabel 1.11.(15) A B = A B Ligning (2.3) og (2.4) Tilsvarende kan det vises at A B = A B. Disse to identiteter kaldes De Morgans Love ligesom de udsagnslogiske identiteter i Tabel 1.11.(14)-(15). I almindelighed, det vil sige, når der er tale om mere indviklede relationer mellem mængder, er en sådan simpel omskrivningsmetode ikke fremkommelig. I stedet kan man med fordel udnytte Ligning (2.1). Vi illustrerer dette i de næste to eksempler. Eksempel 2.3. Lad A, B og C være mængder. Så gælder A (B \C) = (A B) \ (A C). Dette kan indses på følgende måde. Lad x A (B \C), så gælder x A og x B og x / C. Heraf fås x A B og x / A C. Følgelig er x (A B)\(A C), og vi har vist, at mængden på venstre side af lighedstegnet er en delmængde af mængden på højre side.

33 A A C C B = A = B \ C = A (B \ C) B = A B = A C = (A B) \ (A C) Figur 2.2: Til venstre er et Venn diagram som er arbejdet frem fra A (B \C). Til højre er det tilsvarende resultat for (A B) \ (A C). Det er visuelt klart at de to mængder er ens. Lad så x (A B) \ (A C). Dette betyder jo x A B og x / A C. Heraf sluttes x A, x B, og da altså x A, men x / A C, må der gælde x / C. Altså gælder x B \C, så i alt fås x A (B \C). Mængden på højre side af lighedstegnet er altså en delmængde af mængden på venstre side. Sammenholdes disse to resultater er ligheden vist. I Figur 2.2 er et Venn diagram som viser resultatet grafisk. Eksempel 2.4. Vi vil vise, at hvis A B = M og A B = /0, så gælder B = A. For at bevise dette antages det, at A B = M og A B = /0. Det skal så vises at B = A. Lad x B. Da A B = /0 gælder x / A og derfor x A. Hermed har vi vist, at B A. Lad så y A, det vil sige y / A. Hvis nu y / B er y / A B = M, hvad der jo er en modstrid, så derfor gælder y B. Vi har nu vist Sammenholdt med B A giver dette B = A. A B. Bevisgangen her er altså lige som ovenfor, at man for at vise ligheden viser de to inklusioner hver for sig. Man kan her også nyde, at det bliver helt klart, hvor de to forudsætninger benyttes i beviset. Begreberne forenings- og fællesmængde kan på naturlig måde udvides til at omfatte uendelig

34 KAPITEL 2. MÆNGDER mange mængder. Vi illustrer dette i Eksempel 2.5. For ethvert reelt tal a er M a = {(x,y) R 2 (x a) 2 + y 2 1} mængden af punkter i planen, der ligger på eller inden for en cirkel med centrum i (a,0) og radius 1. Ved a R M a forstås så mængden af punkter i planen, som ligger i mindst en af mængderne M a, og ved a R M a forstås mængden af punkter i planen, som ligger i enhver af mængderne M a. På Figur 2.3 er cirklerne tegnet for forskellige værdier af tallet a. En sådan tegning er en god hjælp til at få ideer. Her ser det ud som at M a = {(x,y) R 2 y 1}. a R Det er rigtig nok, her er beviset: Antag at (u,v) a R M a. Så findes der mindst ét reelt tal â, således at (u â) 2 +v 2 1. Derfor gælder v 2 1 så (u,v) {(x,y) R 2 y 1}. Dermed er M a {(x,y) R 2 y 1}. (2.6) a R På den anden side, hvis (u,v) {(x,y) R 2 y 1} gælder altså v 2 1 og så gælder (u,v) M u, idet dette er tilfældet præcis når (u u) 2 + v 2. Altså har vi (u,v) a R M a og dermed Sammenholdes de to inklusioner, er påstanden vist. {(x,y) R 2 y 1} M a. (2.7) a R Af hensyn til senere anvendelser nævner vi her Definition 2.4. Lad A og B være mængder. Ved det kartetiske produkt af A og B, A B, forstås mængden af ordnede par a,b, hvor a A og b B. I denne forbindelse indgår begrebet et ordnet par, men det er jo intuitivt klart hvad der menes med dette. Parret 2, 1 er således forskelligt fra parret 1, 2. Definitionen udvides på oplagt måde til at omfatte mere end to mængder. I stedet for A A benyttes også betegnelsen A 2, og for A A A benyttes A } {{ } m. m

35 Figur 2.3: En skitse af cirklerne M a for forskellige værdier af a. Eksempel 2.6. Den repræsentation af delmængder af en given mængde, der blev anvendt i beviset for Sætning 2.1, kan med fordel anvendes i en computer. Vi forudsætter altså, at de mængder, vi opererer på, er delmængder af en mængde A, hvis elementer er angivet i en bestemt rækkefølge a 1,a 2,...,a n. Lad nu A = {a,b,c,d,e}, delmængden D 1 = {a,c} er så repræsenteret ved bitstrengen 10100, og delmængden D 2 = {c,e} repræsenteres ved 00101. For at finde en repræsentation af D 1 D 2 udfører vi operationen 10100 and 00101, som står for AND på sammenhørende bits. Vi får derfor 00100 som resultat. Ligeledes kan vi bestemme D 1 D 2 ved 10100 or 00101, altså ved OR på sammenhørende bits. Dette giver 10101, som repræsenterer {a,c,e}.

36 KAPITEL 2. MÆNGDER

Kapitel 3 Relationer Ordet relation indgår i dagligsproget, for eksempel i far-datter relationen, bror-søster relationen og så videre. Fra tallene er udtrykket større end og lig med ligeledes eksempler på relationer. Her er der tale om relationer mellem to objekter, men vi kender også relationer mellem tre eller flere objekter, for eksempel mellem forældre og børn. Relationsbegrebet spiller en fundamental rolle i moderne matematik og datalogi, og i det følgende vil vi give en præcis matematisk definition af begrebet en relation samt specielt behandle to vigtige typer af binære relationer. 3.1 Relationsbegrebet Definition 3.1. Lad A 1,A 2,...,A n være mængder. Ved en relation på A 1 A 2 A n forstås en delmængde R af A 1 A 2 A n. 3.2 Relationsdatabaser Overskriften er måske en lille msule misvisende. Det er ikke hensigten her at gennemgå en fuldstændig teori for relationsdatabaser, men blot påpege anvendelsen af relationsbegrebet og operationer på relationer i forbindelse med relationsbegrebet og operationer på relationer i forbindelse med relationsdatabasesystemer. I relationsmodellen er en database en samling n-ære relationer, der svarer til filer eller tabeller i mere traditionel datasprogbrug. For eksempel kan en fabrikant, der ønsker at opbevare information om levering af råvarer, gøre dette i form af nedenstående tre relationer. Relation nr. 1, der kan kaldes Leverandør, er en delmængde af N {navne} {0,1,2,3,4} {adresser}. 37