Elementær Matematik. Differentiallignings-modeller

Transkript

1 Elementær Matematik Differentiallignings-modeller Ole Witt-Hansen 8

2 Indold Indold Eksempler på problemer, der fører til differentialligninger Trkkets afængiged af øjden over jordoverfladen Kædelinien...4. Numerisk integration af differentialligninger Differentialligningsmodeller Forløbet af en influenza epidemi Differentialligning for vekselvirkning mellem to drearter Konkurrerende arter...13

3 1. Eksempler på problemer, der fører til differentialligninger I alle naturvidenskaber, men også i biologi og økonomi, optræder differentialligninger, som svar på problemer. Vi vil er give nogle eksempler, entet fra fsikken. 1.1 Trkkets afængiged af øjden over jordoverfladen Vi betragter et kasseformet udsnit af atmosfæren. Arealet af ende fladerne betegnes A. Kassen befinder sig i øjden over jordoverfladen. Kassen ar øjden Δ. Trkket på overside og underside betegnes p(+ Δ) og p(). Masseflden for luften i øjden betegnes ρ(). Vi minder om at kraften på en flade med areal A er F = pa, vor p er trkket på fladen. Vi urkker nu, at forskellen i kraften på underside og overside er lig med tngden af den luft, der befinder sig i kassen. Dette fordi luften i kassen er i vile. p( ) p( ) dp (1.1) ( ) g d p()a - p(+ Δ)A = m luft g= ρ()v luf t g = ρ()aδg Divideres denne ligning med AΔ får man: For at løse differentialligningen (1.1), må vi imidlertid kende endnu en sammenæng mellem masseflden ρ() og trkket p(). Den kan vi imidlertid få af : 1. Tilstandsligningen for ideale gasser: PV = nrt. Definition af molmassen: m nm m n M m 3. Definition af masseflde: V m V Indsættes nemlig de to sidste ligninger i tilstandsligningen finder man: PV nrt m M RT V M RT M RT P Dette urk for masseflden indsættes så i (3.1), som erefter giver: dp Mg (1.) p d RT Som beken aftager temperaturen ca. med 1 o C for ver m, man kommer til vejrs, men vi antager først, at temperaturen er konstant op igennem atmosfæren. Løsningen til differentialligningen (1.) er ken som en eksponentialfunktion, så vi finder:

4 (1.3) p( ) p e Mg RT Indsættes de kene værdier for konstanterne: M =9 g/mol, g = 9.8 m/s, R= 8.31 J/(molK) og T = 73 K, finder man: (1.4) p( ) pe vor skal måles i m. Dette giver et trkfald på 1,3% pr. 1 m og 1% pr. 1 m. Vi ser dernæst på løsningen til differentialligningen, vis temperaturen aftager lineært med 1 C, pr. m. Temperaturen ved jordoverflade sættes til C = 93 K. Temperaturen i øjden er derfor: T = T() = 93 /. Differentialligninger bliver erefter: dp Mg (1.5) p d R(93 ) Denne ligning løses på sædvanlig vis ved separation af de variable og integreres derefter: p p p p dp p dp p Mg 1 d R 93 Mg 1 93 d med R Ligningen integreres til at give: (1.6) p Mg ln( ) ln(1 ) p 93R p p Mg 93R (1 ) Udregnes trkket efter (1.6) giver det kun anledning til afvigelser fra (3.4) på,1, %.

5 1. Kædelinien Kædelinien er betegnelsen for den kurve = f(), som en kæde (tov, kabel) danner, når den er opængt i to punkter. F () betegner den tangentielle kraft, som kæden er påvirket af ved. Den vandrette komposant F er uafængig af, da kæden er i vile i vandret retning. Den lodrette komposant af kraften F ( )= i minimumspunktet =, da kraften F () er vandret i dette punkt. Af dette følger, at F () er lig med tngdekraften, der virker på kæden fra til. For længden af kurven, givet ved = f(), fra til, ar vi i integralregningen udle urkket (1.7) l( ) 1 f '( ) d Hvis kædens masse pr. længdeened er μ, er μ l g tngden af stkket l, vor g som sædvanlig betegner tngdeaccelerationen g = 9,8 m/s. Kraften F () = F tanθ, vor θ betegner tangentældningen, og dermed F ()= F f (). Vi sammenfatter dette. l( ) 1 f '( ) d og F ( ) F ) F f '( ) g 1 f '( d g (1.8) f '( ) f d F 1 '( ) f '( ) l( ) g

6 Af denne differentialligning ses, at f '( ) er en stamfunktion til derfor: (1.9) g f ''( ) F ' ' k 1 ' 1 f '( ), vor g F 1 f '( ), som er en differentialligning af tpen: g k er en positiv konstant. F og der gælder For at løse den, sætter vi z = og dermed z =. Her efter er ligningen reduceret til følgende 1.ordens differentialligning: (1.1) z' k 1 z Ligningen (1.1) kan løses, men det kræver kendskab til de såkale perbolske funktioner Eksempel. Hperbolske funktioner. Man definerer perbolsk cosinus (skrives cos) og perbolsk sinus (skrives sin), ved ligningerne: 1 1 (1.1) cos ( e e ) og sin ( e e ) navnet for disse funktioner kommer af, at de ar mange egenskaber, som ligner dem vi kender fra sin og cos. For eksempel får man ved differentiation: (1.13) (cos )' sin og (sin )' cos Endvidere gælder grundrelationen mellem cos og sin i en li modificeret form: cos sin 1 4 ( e e Der gælder altså (1.14) cos sin 1 ) 1 4 ( e e Vi løser nu differentialligningen (1.1) ved separation. ) 1 4 (4e e ) 1 z' k 1 z dz d k 1 z dz 1 z kd dz 1 z kd For at udregne integralet på venstre side, foretager vi substitutionen z = sin t => dz = cost vor t = sin -1 z. Vi får derefter dz 1 z kd cos t 1 sin t kd

7 cos t k c cos t 1 k c 1 t k c 1 1 sin z k c1 z sin( k c1 ) Idet = z integreres den sidste ligning til: 1 f ( ) cos( k c ) 1 c k g Substituerer vi nu tilbage i den oprindelige ligning k finder man sluttelig: F g (1.15) f ( ) cos( c1) c g F F Det sidste urk viser, at den kurve som en kæde indstiller sig efter er en perbolsk cosinusfunktion. Konstanterne c 1 og c bestemmes ved begndelsesbetingelserne.. Numerisk integration af differentialligninger Som omtalt i indledningen af afsnittet om differentialligninger, er det kun få tper af ligninger, der ar en analtisk løsning. Det sidste betder, at man kan bestemme en forskrift = f() urkt med almindelige funktionstegn, som tilfredsstiller differentialligningen. I andre tilfælde, er man envist til at løse ligningen numerisk, vilket betder, at man starter med en begndelsesbetingelse og regner sig frem i små skri. Der findes adskillige metoder til at løse differentialligninger numerisk. Disse metoder er en del af den matematiske disciplin, der kaldes numerisk analse. Andre eksempler på numerisk analse er f.eks. nulpunkter for en funktion ved Newton-Rapsons metode eller numerisk udregning af integraler ved Simpsons formel. Vi skal kun se på den meste simple metode, som også kaldes for Eulers metode. Eulers metode er baseret på det approksimerende 1. grads polnomium, som er blevet omtalt i differentialregningen. At en funktion = f() er differentiabel i er ensbetdende med. (.1) f( +) = f( ) + f ( )+ ε(), vor ε() er en epsilonfunktion defineret ved: ε() > for >. I det approksimerende 1. grads polnomium er f( +) approksimeret ved 3 led. Det første er af nulte orden i (en konstant), det næste er af første orden i (proportional med ) og det sidste er af øjere orden (proportional med ε()). Hvis er et lille tal, f.eks. =,1, så er =1-4, og af den grund får det sidste led mindre betdning, og betdningen aftager jo mindre er. Lad os antage, at vi ar givet en differentialligning: ' = g(,)

8 Hvis (, ) er begndelsespunktet og ( 1, 1) er det første punkt, så er Eulers metode derfor at approksimere f( 1 ) = f( +) med f( )+ f ( ). Dette vil give følgende værdier: = f( ) (.) 1 = f( 1 ) = f( +) = f( )+ f ( ) = + g(, ) = f( ) = f( 1 +) = f( 1 )+ f ( 1 ) = 1 + g( 1, 1 ) Fejlen i vert skri er proportional med, men vis f () ar samme fortegn, vil fejlene akkumulere, dvs. trække i den samme retning. En bedre metode, som tilskrives Aitken, kan angives, vis man som begndelsesværdier kender ( ) f f ) og f ). Funktionsværdien f ) kan f.eks. være fundet ved jælp af ( ( ( Eulers metode ud fra f ( ) med en skrilængde på ½. Man bestemmer da f ( ) på følgende måde: f ( 1 ) f ( ) f ( ) f '( ) f ( ) g(, ) f ( ) f ( 1 ) f ( 1 ) f '( 1) f ( 1 ) g( 1, 1) Og sådan fremdeles. Man kan vise, at fejlen ved denne metode vert skri er proportional med 3. Ved at foretage en Talor udvikling af f ) f ) i ligningen: ( ( ( ) f = f ) g(, ) ( f ( ) f ( ) f '( ) f ''( )( ) ( ) f ( ) f ( ) f '( ) f ''( )( ) ( )

9 Hvis vi trækker den sidste ligning fra den første, finder man: f ( ) f ( ) f '( ) 1( ) Hvoraf det ses at fejlen på f ) er af orden 3 (større end ). Dette i modsætning til Eulers ( metode vor: f( +) = f( )+ f ( )+ ε(). (fejlen er af orden ) Ovenfor er de to metoder forsøgt illustreret grafisk. I praksis anvender man endnu mere avancerede metoder. De fleste programmer anvender nu den såkale Runge-Kutta 4. ordens metode, vor fejlen er proportional med 4. Nedenfor er vist den analtiske og den numeriske løsning af differentialligningen d d, som vi tidligere ar vist ar løsningen: = tan(). Bortset fra meget små afvigelser, som lige så go kan skldes grafikken, fretræder de to kurver kun som en kurve, så den numeriske metode er meget god i dette tilfælde. 3. Differentialligningsmodeller Når man taler om en model, mener man ofte et matematisk urk, der kan beskriver nogle data, som i almindeliged også er beæftet med statistisk usikkered. Når man anvender ordet model, så er det i almindeliged, fordi beskrivelsen ikke bgger på en teori, som ikke kan forbedres, men blot er baseret på nogle rimelige ofte simple antagelser. For det samme fænomen, kan man ofte opstille flere modeller, der ver for sig beskriver dele af data med rimeliged.

10 Som eksempel på en teori, kan man i matematikken nævne plangeometrien, differential- og integralregningen og i den klassiske fsik f.eks. Newtons gravitationslov og Einsteins relativitetsteori, vorimod tilstandsligningen for ideale gasser er teori, vis idealgasser eksisterede i naturen, (vilket de næsten gør), men af samme grund nogen gange betegnes som en model. De eksempler vi skal se på er er imidlertid egentlige modeller, som langt fra rummer alle detaljerne fra det, som de repræsenterer. 3.1 Forløbet af en influenza epidemi Udbredelse af en epidemi er i almindeliged en meget kompliceret proces, der ofte skldes tilfældigeder. Den dødelige SARS, der blev udbre i flere lande, værst i Kina og i det vestlige Canada, skldes den omstændiged, at en fjerkræ-andler overnattede på et internationalt otel, vorefter sgdommen urtigt blev spre til flere lande gennem luftavnsterminaler mv. Det ligger i sagens natur, at man ikke kan opstille en matematisk model for en sådan udbredelse. Et bedre eksempel er de influenza epidemier, der med jævne mellemrum rammer Europa og USA. Her kan man go opstille en simpel model for udbredelsen i en tæt population med N individer. Det kan f.eks. være en storb. Da influenza smitte overføres ved dråbe infektion (udånding), er det væsentligt at ele populationen ar muliged direkte eller indirekte at være i fsisk kontakt med inanden. Vi indfører først nogle betegnelser: R(t) = Raske: Antallet af personer, der endnu ikke er smittede til tidspunktet t S(t) = Sge: Antallet af personer, der er smittede, og som kan overføre smitten til tidspunktet t. I(t) = Immune: Antallet af personer, der ar været sge, og som er blevet immune tidspunktet t. Der vil til etvert tidspunkt gælde: R(t)+ S(t) + I(t) = N Da modellen er baseret på et sandsnligedsargument, indfører vi også de tilsvarende brøkdele: R( t) r( t) : Brøkdelen af raske personer. N S( t) s( t) : Brøkdelen af sge personer. N I( t) i( t) : Brøkdelen af immune personer. N Der vil til etvert tidspunkt gælde: r(t)+ s(t) + i(t) = 1 Som altid angiver differentiation med ensn til tiden astigeden, vormed en størrelse ændres. Hvis, der er mindst en sg vil r(t) være en aftagende funktion. Hastigeden, vormed den aftager vil (under den mest simple antagelse), være proportional med sandsnligeden for at en rask møder en sg. Denne sandsnliged er igen proportional med antallet (brøkdelen) af sge gange (antallet) brøkdelen af raske. Vi kan således skrive, (vor a er en proportionalitetskonstant):

11 dr (3.1) a r( t) s( t) Da en sg person efter et tidsrum bliver rask (eller dør), må astigeden, vormed man bliver immun være proportional med brøkdelen af sge s(t), (med en proportionalitetskonstant b). di (3.) bs(t) For at opstille en differentialligning for s(t), anvender vi normaliseringsbetingelsen r(t)+ s(t) + i(t) = 1, som vi differentierer: dr ds di ds dr di Indsætter vi eri de ovenfor fundne urk for dr og di finder man: ds (3.3) a r( t) s( t) bs( t) Man kan også direkte indse (3.3), idet en person, der ikke længere er rask, er blevet sg. Så brøkdelen af sge vokser med en faktor a r( t) s( t), men aftager samtidig proportionalt med s(t), da en sg bliver rask (eller dør) efter en vis periode. De 3 koblede differentialligninger (5.1) (5.3) ar ikke nogen ken analtisk løsning. Differentialligningerne løses imidlertid på en Computer og et passende matematikprogram. ( (Programmet, som viser løsningerne på nedenstående grafer, er mit eget, som er DOS-baseret (ikke windows) program, skrevet i Turbo Pascal 7.. (Kan ike afvikles på maskiner efter Windows XP) Fastsættelsen af konstanterne a og b, kan f.eks. ske ved at sammenligne med aktuelle data, og er ar vi ret vilkårligt valgt, at sætte a=.5 og b=.33. Den sidste konstant kan begrundes ved at en smittet person kan overføre smitte i 3 dage, så en tredjedel=.333 bliver immune over et døgn. På den næste graf ar vi igen sat a=.5, men antaget at perioden, vor man kan smitte er 7 dage, så b=.141 (=1/7). I begge tilfælde ser man at antallet af sge vokser op, for derefter at falde igen. Bemærk, at man i modellen antager at sgdommen udvikler sig elt frit, og at man ikke vaccinerer eller isolerer de sge, som det var tilfældet med SARS. I det første tilfælde er det maimale antal sge 8%, mens det i det andet tilfælde er ca. 38% - en meget væsentlig forskel. I det første tilfælde bliver ca. 58% smittede, mens det i det andet tilfælde er elt oppe på 96%. Hvis man justerer på a, får man naturligvis elt andre kurver.

12 Modellen kan anvendes, vis man i starten af en epidemi ar nok indsamlet data til at kunne skønne over a og b, så kan man få et skøn over vor længe epidemien vil vare og vor mange sgdomstilfælde, man kan forvente. 3. Differentialligning for vekselvirkning mellem to drearter En af de mere kene matematiske modeller er den, som beskriver vekselvirkningen mellem to drearter. Vi vil er beandle to forskellige tper af vekselvirkning, nemlig rovdr-btte og to arter, der konkurrerer om samme adgang til føde. Som i det forrige tilfælde, bgger modellen på nogle elt simple antagelser, der slet ikke tager øjde for detaljer eller tilfældigeder, vilket ellers altid er tilfældet i naturen. Alligevel kan modellen måske give en generel beskrivelse af udviklingen i naturen. Lad os antage, at der i en skov lever ræve og mus. Antallet af ræve til tidspunktet t, betegner vi r(t), mens vi betegner antallet af mus til tidspunktet t med m(t). Hvis der var tale om ubegrænset adgang til føde for begge parter, og vis ingen af arterne var bttedr for en andet art, så ville såvel r(t) og m(t) udvikle sig eksponentielt, og derfor tilfredsstille differentialligningerne: dr dm (3.4) krr( t) og kmm( t) Nu er adgangen til føde for rævene afængig af antallet af mus, og dette vil vi på den mest simple måde indbgge i modellen ved at gøre k r = k r (m) til en funktion af m= m(t), antallet af mus. Hvordan k r (m) afænger af m, kan vi ikke vide, andet end at k r (m) må være en voksende funktion af m. Den mest simple antagelse er derfor, at k r (m) er en voksende lineær funktion af m, således, at (3.5) k r (m) = a m - b, vor a og b er positive konstanter, der er bestemt af vad modellen skal anvendes på.

13 På elt tilsvarende vis kan man argumentere for at k m = k m (r) er en aftagende funktion af r= r(t), antallet af ræve. Vælger vi også er en lineær sammenæng (5.6) k m (r)= c - d r får man to ne differentialligninger: dr dm (5.7) ( a m b) r og ( c d r) m Bemærk ligeden med den logistiske ligning. Begge ligninger ville nemlig være logistiske, vis man erstattede m med r i den første ligning og r med m i den anden ligning. Disse ligninger ar eller ikke nogen analtisk løsning, men de kan løses numerisk på samme måde, som vi gjorde det i det første eksempel. Nedenfor er vist en løsning, vor vi ar valgt begndelsesværdierne (m, r ) = (9, 354), indsamlet fra en svensk skov. De indgående konstanter er fastlagt ved a =,1, b =.8, c = 1, d =.. Man ser tdeligt, at en periode med mange mus får bestanden af ræve til at vokse, som derefter får bestanden af mus til at falde, som får bestanden af ræve til at falde, som får bestanden af mus til at vokse. Der er et cklisk forløb, og de to arter lever i en slags økologisk smbiose. Det bemærkelsesværdige er, at selv om det er rovdr og bttedr, så kan ingen af dem overleve uden den anden. Hvis man udrdder alle rævene, vil musenes antal vokse ud over den grænse, vor de kan finde føde til alle. Resultatet er eventuelt, at de alle dør. Figuren nedenfor til venstre viser bestanden af ræve og bestanden af mus, som funktion af tiden.

14 Dividerer vi den sidste af differentialligningerne (3.7) op i den første finder vi følgende ligning (3.8) dr dm ( a m b) r ( c d r) m Denne ligning kan imidlertid separeres til at give: ( c d r) ( a m b) (3.9) dr dm r m Ligningen kan nu integreres. c r b m (3.1) ( d) dr ( a ) dm cln( r) r d a m bln( m) Hvor k er en integrationskonstant, der er bestemt af begndelsesbetingelserne. Ligningen (3.1) er imidlertid transcendent og kan derfor verken løses mt. til r eller m. Man kan dog slutte sig til nogle generelle egenskaber ud fra (3.9). c For r er dm=, og ar fortegnsvariationen +,, -, vis dr er positiv, og fortegnsvariationen d -,, + vis dr er negativ. Dette viser at m ar såvel et maimum og et minimum og bevæger sig mellem disse to værdier. Noget elt tilsvarende kan siges om r. I stedet for at anvende (3.1), for at fastlægge sammenængen mellem r og m grafisk, vil vi igen løse de to differentialligninger (3.7) numerisk, men afbilde (r(t), m(t)) som en parameterkurve, som vist på grafen ovenfor til øjre. Indata er taget fra en skov i Sverige, vor vi ar valgt begndelsesbetingelserne: (m, r ) = (9, 354), and a =,1, b =.8, c = 1, d =.. Ovenstående graf er sådan set ikke overraskende, men den indeolder nogle generelle træk, som man ikke kan slutte sig til uden anvendelsen af en matematisk model. 3.3 Konkurrerende arter Vi skal nu se på et eksempel på en model, der beskriver to drearter, der konkurrerer om en begrænset mængde føde. Vi vil olde de to populationer anonme, og betegne dem med og, så (t) betegner antallet af individer til tidspunktet t og (t) betegner antallet af individer til tidspunktet t. Den logistiske ligning er en model for en population, vis størrelse ar en øvre grænse. Dette er f.eks. tilfældet, vis der kun er en begrænset mængde føde til rådiged. Det er derfor rimeligt i første omgang, at opstille den logistiske ligning for de to populationer. d d (3.11) a( M ) og a ( M ) Imidlertid æmmer de to populationer inandens vækst, så vi tilføjer et æmmende led for den anden population i ver af de to ligninger. k

15 d d (3.1) a( M b ) og a ( M b ) Før vi ser på eksempler på en numerisk løsning, vil vi lave nogle generelle betragtninger. Hvis d/ = (t)= er bestanden af er konstant, (der er i ligevægt). Tilsvarende, vis d/ = (t)= er bestanden konstant. Dette føre til ligningerne. (3.13) a ( M b ) og a ( M b ) Ligninger ar ud over de trivielle løsninger: Løsningerne M eller M (3.14) M b og M b eller b M og b M De to ligninger fremstiler ver en ret linie i - planen. Hvis linierne ar et skæringspunkt, ar vi en samtidig ligevægt for de to populationer. Ligningssstemets determinant er imidlertid D = b b - 1, så D b b 1. Hvis b b = 1 eller < eller <, så er der ingen fælles ligevægtstilstand (andet end den trivielle = eller =) for de to populationer. Selv om der findes en ligevægtstilstand, så er det ikke sikkert, at den er stabil. Stabilitet kræver, at en forskdning fra ligevægtsstilstanden fører tilbage til ligevægtstilstanden og ikke længere bort fra den. Som eksempel på en stabil ligevægt, kan man tænke på en bold, der ligger i bunden af en alvkugleformet skål. En forskdning fra ligevægtstilstanden vil føre kuglen tilbage mod bunden. Er bolden derimod placeret på toppen af en kugleskal, er det en ustabil ligevægt, idet enver forskdning vil føre den bort fra ligevægten. Nedenfor er vist 4. grafer fig. (5.5) til fig. (5.8), vor de to linier (3.14) er inegnet for forskellige værdier af de indgående parametre. Endvidere er fortegnene for d/ og d/ markeret med pile. Som man ser, er der ingen ligevægt på de to første figurer. Enver forskdning vil føre til udrddelse af den ene art. På fig. (5.7) er der et fælles punkt med ligevægt, men denne ligevægt er ikke stabil. I fig. (5.8), derimod er der en stabil ligevægtstilstand, som kan fortolkes på følgende måde: Hvis der for begge arter gælder, at den ene art æmmer den anden art mindre end den æmmer sig selv, så er der en muliged for stabil ligevægt.

16 Nedenfor er vist eksempler på en numerisk løsning på differentialligningerne. Dette er med værdierne: M = 1; a =,; b =,8; M = 6; a =,5 ; b =,5. Nedenfor til venstre er vist en løsning, vor man ar afsat ((t), (t)), men vor man ar startet med 5 forskellige begndelsesværdier. Som det fremgår, konvergerer løsningen i alle tilfælde mod den samme ligevægtstilstand (84, 15). Nedenfor til øjre er vist separate grafer for (t) og (t), svarende til en af graferne til venstre. Bemærk, at disse værdier opflder betingelserne på fig. (5.8). Efter nogle ret idsige ændringer i begndelsen stabiliser de sig ved det samme konvergenspunkt, som vist på den første graf.