3. Hall undergrupper og komplementer G version
|
|
- Pernille Schmidt
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 1 3. Hall undergrupper og komplementer G version I dette kapitel betragtes kun endelige grupper. Lad altså G være en endelig gruppe. Definition: En undergruppe H i G kaldes en Hall undergruppe, hvisder gælder ( H, G : H ) =1, dvsȧt H s orden er relativ prim til dens indeks i G. (Philip Hall ). Ifølge definitionerne er enhver p Sylow gruppe i en endelig gruppe også en Hall undergruppe. Ligeledes er de trivielle undergrupper {1} og G af G Hall undergrupper. Lad π være en vilkårlig mængde af primtal. Hvis n er et naturligt tal a1 a skrives n = p 1 p k,hvorp1 k,,p k er forskellige primtal, og a 1,,a k N. Vi definerer n π = a p i i, n π = n/n π. {i p i π} (Så hvisn = 60, π = {2, 3}, ern π = 12, n π =5.) Bemærk,athvis π er mængden af de primtal, der ikke er i π, såern π = n π. Vi definerer n =1. En π Hall undergruppe i gruppen G er en undergruppe af orden G π.fx. er p Sylow grupperne også π Hall undergrupper, hvor π = {p}. Enπ Hall undergruppe i G er en undergruppe af orden G π. Eksempel: Den alternerende gruppe A 5 har ingen {3, 5} Hall undergruppe. En sådan undergruppe skulle have orden 15. Enhver gruppe af orden 15 er cyklisk. (CUJ). Men det er klart, at A 5 (eller S 5 ) ikke indeholder et element af orden 15. (Se på cykel strukturen af et sådant element). Bemærkning: Hvis M er en π Hall undergruppe af G og der også findes en en π Hall undergruppe N i G, såern et komplement til M i G. (Se forrige kapitel). Generelt kan Sylow s sætninger altså ikke udvides til udsagn om eksistens af Hall undergrupper. Men en berømt sætning af Philip Hall viser, at Sylows sætninger kan udvides til vilkårlige Hall undergrupper, hvis vi antager, at G er opløselig, og at de kun kan udvides på denne måde, når G er opløselig. (3A) Sætning: (P. Hall) Lad G være en opløselig gruppe. Antag, at G = nm, hvor(n, m) =1. Der gælder:
2 2 (1) G indeholder en Hall undergruppe af orden m; (2) To Hall undergrupper af orden m i G er konjugerede i G; (3) En undergruppe af G, hvis orden går op i m er indeholdt i en Hall undergruppe af orden m. Bemærkning: Man kan også vise et udsagn om antallet af Hall undergrupper af G af orden m (svarende til Sylow s 3. sætning.) Udsagnet er, at dette antal er et produkt af faktorer a i, hvor der for hvert a i findes en primdivisor p i m, så a i 1 (mod p i ), men vi vil ikke bevise dette sidste udsagn, selv om det ikke er vanskeligt. Bevis for (3A): Vi benytter den kendsgerning, at undergrupper og faktorgrupper af opløselige grupper igen er opløselige (CUJ). Beviset er ved induktion efter G. Hvis G = 1, er der intet at bevise. Antag nu, at G > 1og at sætningen er rigtig for alle (opløselige) grupper af orden < G. Vi betragter to tilfælde, der omfatter alle muligheder: (I) Antag, at der findes en normal undergruppe T G, T {1}, T G, således at n T. (II) Antag, at enhver T G, T {1} opfylder at n T. (I): I dette tilfælde (som er det lette tilfælde) skriver vi T = m 1 n 1, hvor m 1 m, n 1 n, og tilsvarende G : T = m 2 n 2,hvorm 2 m, n 2 n. Viharså m = m 1 m 2, n = n 1 n 2.Dan T må n 1 <n, og derfor også n 2 1. Betragt faktorgruppen G = G/T af orden m 2 n 2. Da G er opløselig, er også G opløselig. Da (m, n) = 1, må(m 2,n 2 ) = 1, da m 2 m, n 2 n. Da T {1}, er G < G. Ifølge induktionsantagelsen indeholder G en undergruppe D med D = m 2.LadDvære dens urbillede i G. (Detvilsige: D = {g G g = gt D}.) Der gælder så, at D = D T = m 2 m 1 n 1 = mn 1. Da n 1 n er D < G. Da D er undergruppe af den opløselige gruppe G, er D opløselig. Endvidere er D = mn 1,hvor(m, n 1 ) = 1. Ifølge induktionsantagelsen indeholder D en undergruppe H af orden m. H er selvfølgelig også undergruppe i G, så (1) er bevist i dette tilfælde.
3 3 Hvis nu H, H er undergrupper af orden m i G betragtes undergrupperne D = TH, D = TH i G. Der gælder ifølge (2A) D T H = m 1 n 1 m 1 m 2 = mn 1 m 1 og D G = mn så D (mn 1 m 1,mn)=mn 1.Davipåden anden side har, at m = H D og n 1 T D, fås D = mn 1, og analogt ses D = mn 1. Derfor er D = D/T og D = D /T undergrupper i G = G/T af orden D : T = D : T = m 2. Ifølge induktionsantagelsen er D og D konjugerede i G. Der findes altså x G, så xd x 1 = D. Hvis x er et urbillede af x i G, fås xd x 1 = D. SåerxH x 1 xd x 1 = D, således at xh x 1 og H, begge er undergrupper i D af orden m. Induktionsantagelsen anvendt på D viser, at der findes y H, så y(xh x 1 )y 1 = H. DermederH og H konjugerede i G, så (2) er bevist i dette tilfælde. Lad endelig U være en undergruppe af G med U m. Ifølge (2A) er UT : T = U : U T U m. Vi betragter UT = UT/T i G = G/T. Da vi lige har vist, at UT mog vi ved, at G = m 2 n 2,fås UT m 2. Ifølge induktionsantagelsen anvendt på G findes en undergruppe D G med D = m 2 og UT D. For urbillederne gælder U UT D, og D = D T = m 2 m 1 n 1 = mn 1 < G. Ifølge induktionsantagelsen anvendt på D findes der en undergruppe H i D med H = m og U H. DaH også er undergruppe i G er hele sætning (3A) bevist i tilfældet (I). (II): Vi antager nu, at enhver normal undergruppe T G, T {1} opfylder n T. Lad K være en minimal normal undergruppe i G. Ifølge (1D) er K en elementær abelsk p gruppe for et primtal p; lad os sige, at K = p a. Så gælder n p a,ogdap a G = nm og (n, m) =1,fås n = p a.. Endvidere må enhver minimal undergruppe af G have orden p a. En undergruppe af orden n = p a er jo i øvrigt en p Sylow gruppe i G, ogdap Sylow gruppen K er normal i G, er ifølge Sylows sætning, K den eneste p Sylow gruppe i G, og dermed også den eneste minimale normale undergruppe i G! (På dette tidspunkt ville vi ved hjælp af Schur Zassenhaus sætning (se (3G)) kunne udlede eksistensen af et komplement til K i G, hvilketidette
4 4 tilfælde har orden m(!), således at (1) er opfyldt, men vi fortsætter vores induktionsbevis). Hvis m = 1 er der intet at bevise. Vi antager m > 1, således at G = G/K {1}. DaG er opløselig, vil en minimal normal undergruppe L G være elementær abelsk af orden q b,hvorq er et primtal, b N. (Igen (1D).) Lad os bemærke, at q p, daq m, p m. Lad L være urbilledet af L i G, så L = L K = q b p a. Lad Q Syl q (L), så Q = q b. Ifølge (2A) fås L = QK, således at L = QK. DaL G, fås L G. Vi anvender Frattini argumentet (Sætning(1E)) på G, L, Q til at få, at G = LN G (Q). Da L = KQ = QK og Q N G (Q) fås G = KN G (Q) =KN, hvor vi har sat N = N G (Q). Lad R = K N. Da R K er R elementær abelsk, og da K G, err N. DaQ N ses, at der gælder [Q, R] Q R = {1}. (Jfr. lemmaet i sætning 6 i CUJ). Vi får nu at R Z(L): Da R K er R s elementer ombyttelige med elementerne i K, og det ovenstående viser, at R s elementer er ombyttelige med Q s elementer. Da L = KQ fås påstanden. Da Z(L) charl G fås Z(L) G ifølge (1A) (3). Så må K Z(L) G. Da K er en minimal normal undergruppe i G fås enten (i) K Z(L) =K eller (ii) K Z(L) ={1}. Hvis (i) eropfyldt,såerk Z(L), og da L = KQ får vi, at L er et (indre) direkte produkt af K og Q, L = K Q. Specielt er Q L, så Q er den eneste q Sylow gruppe i L. Vifår QcharL G, så Q G, stridende mod, at vi er i tilfælde (II). Derfor gælder (ii), og vi får R K Z(L) ={1}, altså R = K N = {1}. Da G = KN fås så fra (2A) at G = K N således at N = m. Hermeder(i) vist. Lad nu M være en vilkårlig undergruppe af orden m i G. Viviser,atM er konjugeret til N = N G (Q). Da M = m fås fra (2D), at G = ML.
5 5 Derfor er G : L = ML : L = M : M L ifølge (2A). Da G : L = m/q b fås M L = q b.derforer Q = M L Syl q (L). Da L G fås Q M, således at M N G ( Q). Men da Q og Q er konjugerede i L (ifølge Sylows sætning) og dermed konjugerede i G, fås også at deres normalisatorer N = N G (Q) ogn G ( Q) er konjugerede i G. Specielt er m = N = N G ( Q). Da M N G ( Q) og M = m, fås M = N G ( Q), så (2)er vist. Lad nu U G være en undergruppe med U m. Lad M G have orden m. Sæt U = M (UK). Ifølge (2D) er G = M(UK), således at, ifølge (2A), (anvendt 2 gange) p a = G : M = UK : U = U K / U. Vi får U = U da p a = K. DermederU og U Hall undergrupper i UK, så ifølge (2) (som er bevist), er U og U konjugerede i UK,ogdermediG. Da U M, eru indeholdt i en til M konjugeret undergruppe (der altså også har orden m). Som det næste beviser vi, at det kun er for opløselige grupper, at udsagnene i (3A) kan være opfyldt. Beviset for dette vil være baseret på følgende sætning, som kan bevises som en anvendelse af repræsentationsteorien (behandlet i kurset Matematik 3 RE). (3B) Sætning: (Burnside) Lad G være en endelig gruppe af orden p a q b, hvor p og q er primtal. Så erg opløselig. Bevis: Udelades! Som en forberedelse viser vi en hjælpesætning. (3C) Lemma: Antag, at G = p a q b m, hvor p og q er forskellige primtal, a, b N og (p, m) =(q, m) =1. Antag yderligere, at G indeholder 3 undergrupper H, A og B, som opfylder (1) H = p a q b ; (2) A G, G : A p a ; (3) B G, G : B q b.
6 6 SåerG ikke simpel. Bevis Ifølge (3B) er H opløselig. Vælg en minimal normal undergruppe N i H. N er elementær abelsk ifølge (1D), og vi kan antage, at N er en p gruppe (ved i givet fald at bytte om på p og q). Ifølge (3) indeholder B en p Sylow gruppe P for G. Ifølge Sylow s sætning er N konjugeret til en undergruppe af P. Ved i givet fald at erstatte H med en konjugeret undergruppe kan vi antage, at N P. Da ( G : H, G : B ) = 1 ifølge antagelserne, gælder G = BH (Sætning (2B)). Lad X = g G g 1 Bg. Det er klart at X G, ogatx G. Viviser,at X {1} ved at vise, at N X. Lad g G. Skriv g = bh, b B, h H. Såerg 1 Bg = h 1 b 1 Bbh 1 = h 1 Bh. Derforgælder,atX = h H h 1 Bh. Lad h H. Da N P B, erh 1 Nh h 1 Bh. Men da N H, er h 1 Nh = N, så N h 1 Bh. Da dette gælder for alle h H fås N X, som ønsket. Vi kan nu vise (3D) Sætning: Antag, at den endelige gruppe G har et p-komplement for alle primtal p med p G. SåerGopløselig. Bemærkning: Et p komplement er en π Hall undergruppe, hvor π = {p} og kaldes også en p Hall undergruppe (ligesom en p Sylow gruppe er en p Hall undergruppe ). Derfor har (3D) den følgende konsekvens. (3E) Korollar: Antag, at gruppen G har en Hall undergruppe af orden m for enhver faktorisering G = mn, (m, n) =1af G s orden. Så erg opløselig. a Bevis for (3D): Induktion efter G. Viskriver G = p 1 a2 a 1 p 2 p r r,hvor p i erne er forskellige primtal og a i N, 1 i r. Hvisr 2 er sætningen a3 a rigtig ifølge (3B). Antag, at r 3ogsætm = p 3 p r r. Vi ønsker at anvende (3C) med p a a = p 1 1, q b a = p 2 2. Lad for 1 i r, K i være et p i Sylow komplement i G. SætA = K 1, B = K 2 og H = K 3 K 4 K r.det a er klart, at A og B opfylder (2) og (3) i (3C), og ifølge (2E) er H = p 1 a 1 p 2 2, så også (1) er opfyldt. Ifølge (3C) er G ikke simpel. Lad D G, D {1}, D G. Ifølge (2G) opfylder både D og G/D betingelserne i (3D). Derfor er de opløselige ifølge induktionsantagelsen. Det følger at G er opløselig (CUJ). Ifølge Hall s sætning indeholder en gruppe G kun π Hall undergrupper for alle valg af primtalsmængden π, når G er opløselig. En ikke opløselig gruppe kan under bestemte omstændigheder indeholde Hall undergrupper for specielle valg af π. Eksempler på dette er Burnsides sætning om eksistens
7 7 af et normalt p komplement (som vises i Kapitel 6; se også CUJ, s. 36). I dette kapitel beviser vi nu Schur Zassenhaus sætning, som siger, at hvis G har en normal π Hall undergruppe, så har denne et komplement (ikke nødvendigvis normalt) som altså erenπ Hall undergruppe i G. Først vises sætningen under en stærkere forudsætning. Før vi starter skal det nævnes, at bevismetoden for (3F) og den senere sætning (3I) er kohomologisk og afbildningen t, der forekommer i beviserne, er en 2-kocykel. Man kan finde mere om kohomologiteori for grupper i adskillige bøger, for eksempel i denne bog: B. Huppert: Endliche Gruppen I. (3F) Sætning: (Schur) Lad M være en normal abelsk Hall undergruppe i G. Så eksisterer der et komplement N til M i G. Bevis: Vi antager, at M = m og at G : M = n, hvor(m, n) =1. Lad Y være faktorgruppen G/M, Y = G/M, Y = n. ElementerneiY er altså sideklasser til M i G. Vi vil (undtagelsesvis) betegne gruppen Y s elementer med græske bogstaver. For ethvert α Y vælger vi et element x α iden tilsvarende sideklasse til M: Vi har så, at α = x α M, x α G. G = x α M. α Y Lad nu α, β Y.Viharx α α, x β β og derfor er x α α β x αβ M.Der eksisterer altså for ethvert valg af α, β Y et element t(α, β) M således, at (1) x α x β = x αβ t(α, β) Vi ønsker at justere sideklasserepræsentanterne x α til elementer y α α, der skal opfylde (2) α, β Y : y α y β = y αβ. Disse elementer vil så danne det ønskede komplement N = {y α α Y }. Vi må først undersøge elementerne t(α, β) nærmere. Forα, β, γ Y er (x α x β )x γ = x α (x β x γ ). Ved hjælp af (1) fås: (x α x β )x γ = x αβ t(α, β)x γ = x αβ x γ (x 1 γ t(α, β)x γ )=x (αβ)γ t(αβ, γ)t(α, β) xγ,
8 8 (hvor generelt i en gruppe y x := x 1 yx) og x α (x β x γ )=x α x βγ t(β,γ)=x α(βγ) t(α, βγ)t(β,γ). Vi får (ved at forkorte x (αβ)γ = x α(βγ) ) (3) α, β, γ Y : t(α, βγ)t(β,γ)=t(αβ, γ)t(α, β) xγ. Lad os igen bemærke, at de fire faktorer, der indgår i ligningen (også t(α, β) xγ ), er elementer i den abelske (normale) undergruppe M. Lad os for β Y definere c β := α Y t(α, β). Rækkefølgen i produktet er underordnet, da M er abelsk. Vi multiplicerer for fastholdt β og γ ligningerne (3) med α løbende gennem hele Y.DaMer abelsk får vi (4) t(α, βγ) t(β,γ)= t(αβ, γ) t(α, β) xγ. α Y α Y α Y α Y Med α gennemløber også αβ hele Y.Vifår fra (4) (5) c βγ t(β,γ) n = c γ c xγ β. Vi har antaget, at M = m og G : M = Y = n er relativt prime, (m, n) = 1. Ifølge en velkendt talteoretisk sætning (Bézout s sætning) findes der hele tal k, l, således at km + ln = 1. Specielt er ln 1 (mod m). Så sættes d β := c l β M for β Y. Ved at opløfte ligningen (5) til ( l) te potens fås for alle β,γ Y (6) d βγ t(β,γ) 1 = d γ d xγ β, idet (t(β,γ) n ) l = t(β,γ) 1 fordi t(β,γ) M har en orden, der går op i m. Vi kan nu definere vores justerede sideklasserepræsentanter y α ved y α := x α d α. (Bemærk at y α α, dax α α og d α M). For α, β Y har vi y α y β = x α d α x β d β = x α x β (x 1 β d αx β )d β
9 9 = x α x β d β d x β α (idet M er abelsk) = x α x β t(α, β) 1 d αβ (ifølge (6)) = x αβ d αβ (ifølge (1)) = y αβ. Hermed er altså y α y β = y αβ for alle α, β Y,ogdermed{y α α Y } det ønskede komplement til M. Vi viser nu, at betingelsen M abelsk ikke er nødvendig i (3F), og får Schur Zassenhaus sætningen. (Issai Schur , Hans Zassenhaus Schur beviste (3F) og Zassenhaus på basis deraf (3G)). Sætning (3G): (Schur Zassenhaus sætning) Lad M være en normal Hall undergruppe i G af orden m. Så eksisterer der et komplement N til M i G. Bevis: Induktion efter G + m. Antag G : M = n, (m, n) =1. Bemærk, at når G = 1 eller m =1,så er sætningen rigtig. Lad p m, p primtal og lad P Syl p (M). Da M er Hall undergruppe i G er også P Syl p (G).Frattini argumentet (1E) viser, at G = MN G (P ). Vi har ifølge (2A), at n = G : M = N G (P ):N G (P ) M, således, at n N G (P ). Hvis N G (P) G, såer N G (P ) < G, ogn G (P ) har en normal Hall undergruppe N G (P ) M. Ifølge induktionsantagelsen har N G (P ) en undergruppe af orden n, og det har G altså også. Denne undergruppe er et komplement til M i G. Hvis N G (P) =G, såerp G. DerforerP en normal Hall undergruppe i G. Hvis nu P M,såharP ifølge induktionsantagelsen (bemærk G + P < G +m) etkomplementk i G, K = G : P < G. DaPK = G og P M, er MK = G. Vifår igen fra (2A), at n = G : M = K : K M, således, at m K. Nu er M K en normal Hall undergruppe i K. Ifølge induktionsantagelsen har K, og dermed G, en undergruppe af orden n. Vi kan altså antage, at M = P er en p Sylow gruppe. Da en p gruppe er opløselig (CUJ, sætning 32) er P P.HvisP = {1}, erp abelsk, og vi
10 10 er færdige ifølge (3F). Vi kan altså antage P {1}. NuerP charp G, så P G ifølge (1A). Betragt faktorgruppen G = G/P. Her er P/P en normal Hall undergruppe P = P/P.DerforharP ifølge induktionsantagelsen (eller (3F))etkomplementX af orden Urbilledet X af X i G har orden X = G : P = G : P = n. X = X P = n P < G. Da P er en normal Hall undergruppe i X, er der ifølge induktionsantagelsen et komplement til P i X. Dette komplement har igen orden X : P = n. Hermed er beviset afsluttet. (3H) Korollar: Hvis P Syl p (G), så har P et komplement K i N G (P ), således at N G (P )=PK. (N G (P ) er et semidirekte produkt af P og K. Se næste kapitel). Bevis: P er en normal Hall undergruppe i N G (P ). Anvend (3G). Bemærkning: I fortsættelse af (3G) kan man spørge, om to komplementer til M i G er konjugerede i G. Det er tilfældet, men vi vil ikke kunne bevise det her. Hvad man kan vise uden stort besvær er, at hvis M G er en Hall undergruppe, og hvis enten M eller G/M er opløselig, så er alle komplementer til M i G konjugerede i G. (Se f.eks. Sætning i D. Gorensteins bog Finite Groups). I 1963 beviste Feit og Thompson, at enhver gruppe af ulige orden er opløselig. Men hvis M G er en Hall undergruppe, så er ( G : M, M ) = 1, og så måenten G : M eller M være ulige. Dermed må, ifølge Feit Thompson, enten G/M eller M være opløselige. Feit Thompsons bevis fylder over 250 sider (Pacific Journal of Mathematics (1963)). Der findes en lærebog, som behandler en væsentlig del af beviset (H. Bender G. Glauberman: Local analysis for the odd order theorem). Den næste sætning ser ikke umiddelbart ud til at have noget at gøre med Sætning (3F), men beviserne ligner hinanden en del. Fællesstrækket er eksistensen af en normal abelsk undergruppe af G, og begge sætninger er indeholdt i en mere generel sætning af Gaschütz, se f.eks. Hauptsatz 17.4 i Huppert: Endliche Gruppen I, s (3I) Sætning: (Gaschütz) Lad M være en normal abelsk p-undergruppe i G. LadP være en p-sylow gruppe i G. Følgende udsagn er ensbetydende
11 11 (i) M har et komplement i P (ii) M har et komplement i G. Bevis: (ii) (i): Hvis K er et komplement til M i G, såerk P et komplement til M i P. (Overvej dette!). (i) (ii): Vi antager nu, at L er et komplement til M i P. Der gælder P = LM = ML,således at L er en (venstre- og højre-)transversal til M i G. Vælg en højretransversal T 1 til P i G, således at G = PT 1 = M(LT 1 ). (Jfr. (2O)). Da M G er G =(LT 1 )M, således at T = LT 1, er en (venstre- )transversal til M i G. Som i beviset for (3F) sættes Y = G/M. For ethvert α Y findes præcis et element x α T,så α = x α M. Som i (3F) ses, at der for α, β Y findes t(α, β) M så og at der så gælder x α x β = x αβ t(α, β), (1) α, β, γ Y : t(α, βγ)t(β,γ)=t(αβ, γ)t(α, β) xγ. Ifølge definitionen af T gælder T = LT 1. Endvidere er P = P/M = LM/M L en p-sylow gruppe i Y. Hvis α P og β Y,såerx α L og x β T således at x α x β LT = T.Da fås således at Fra (1) og (2) fås at x α x β M = αβ = x αβ M og x α x β T x α x β = x αβ for alle α P,β Y, (2) α P,β Y : t(α, β) =1. (3) α P,β,γ Y : t(β,γ)=t(αβ, γ).. Bemærk, at da T 1 er en højretransversal for P i G,såerT 1 en højretransversal for P i G = Y. Vi definerer for γ Y c γ = β T 1 t(β,γ).
12 12 Hvis nu T 1 er en anden højretransversal for P i Y,såharethvert β T 1 formen αβ, hvorα P og β T 1, og derfor er ifølge (3) t(β,γ)=t(β,γ). Vi slutter heraf, at c γ = t(β,γ). β T 1 Specielt fås heraf, at for alle δ Y er c γ = β T 1 t(βδ,γ). fordi T 1 δ er en højretransversal for P i G. Vi multiplicerer ligningen (1) over alle α T 1,ogfår for alle β,γ Y at (4) c βγ t(β,γ) T 1 = c γ c xγ β. (husk at M er abelsk!). Da T 1 = T 1 = G : P, er( T 1, P ) =1. Vælg hele tal k, l så k P + l T 1 =1,ogsætd γ = c l γ. Beviset er nu analogt til (3F): Opløft (4) til den ( l) te potens. Vi får fordi d βγ t(β,γ)=d γ d xγ β t(β,γ) T l = t(β,γ), da jo t(β,γ) P =1. Hvis vi sætter y α = x α d α for α Y, så viser en beregning som i (3F), at α, β Y : y α y β = y αβ. Hermed er K = {y α y Y } et komplement til M i G.
Gruppeteori Abstrakt gruppeteori Noter ved Jørn B. Olsson Version 2009
Gruppeteori Abstrakt gruppeteori Noter ved Jørn B. Olsson Version 2009.. what wealth, what a grandeur of thought may spring from what slight beginnings. (H.F. Baker on gruppebegrebet) 1 INDHOLD: 1. Lidt
Læs mere6. Fokale undergrupper, Grün s sætninger, Z grupper G version
6. Fokale undergrupper, Grün s sætninger, Z grupper G6-2004-version Vi starter med et par generelle bemærkninger. Som sædvanligt betegner G =[G, G] kommutatorundergruppen i gruppen G. (6A) Lemma: Lad H
Læs mereMatematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.
Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs meret a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36
Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er
Læs mereTalteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007
Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs mereUniversity of Copenhagen Faculty of Science Written Exam April Algebra 3
University of Copenhagen Faculty of Science Written Exam - 16. April 2010 Algebra This exam contains 5 exercises which are to be solved in hours. The exercises are posed in an English and in a Danish version.
Læs mere2. Gruppen af primiske restklasser.
Primiske restklasser 2.1 2. Gruppen af primiske restklasser. (2.1) Setup. I det følgende betegner n et naturligt tal større end 1. Den additive gruppe af restklasser modulo n betegnes Z/n, og den multiplikative
Læs mereOversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger
Oversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger (G, ) kaldesengruppe, når følgende aksiomer er opfyldt: 0) (G, ) er en organiseret (stabil) mængde: a, b G a b G 1) Den associative lov gælder, dvs.
Læs mereGruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.
Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,
Læs mereMatematisk induktion
Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag
Læs mereMatematik 2AL, vinteren
EO 1 Matematik 2AL, vinteren 2002 03 Det er tilladt at skrive med blyant og benytte viskelæder, så længe skriften er læselig, og udviskninger foretages grundigt. Overstregning trækker ikke ned og anbefales
Læs merePolynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.
Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereTalteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.
Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske
Læs mereGult Foredrag Om Net
Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges
Læs mereTalteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.
Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske
Læs mereJeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som
Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til
Læs mereAdditionsformlerne. Frank Villa. 19. august 2012
Additionsformlerne Frank Villa 19. august 2012 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereMatematiske metoder - Opgavesæt
Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )
GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder
Læs mereArchimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011
Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereFacitliste 1 MAT 2AL. 5. f (x) er irreducibel i Z 5 [X].
Facitliste 1 Facitliste til eksamensopgaver Facit til de første 14 opgavesæt er blevet til paa basis af Jonas B. Rasmusssens facitliste. Han regnede størstedelen af opgaverne, medens han fulgte kurset,
Læs mereMordell s Sætning. Henrik Christensen og Michael Pedersen. 17. december 2003
Mordell s Sætning Henrik Christensen og Michael Pedersen 17. december 2003 Mordells sætning siger at gruppen C(Q) af rationale punkter over en ellipse C er en endeligt frembragt abelsk gruppe. Elliptiske
Læs merePrimtal - hvor mange, hvordan og hvorfor?
Johan P. Hansen 1 1 Institut for Matematiske Fag, Aarhus Universitet Gult foredrag, EULERs Venner, oktober 2009 Disposition 1 EUKLIDs sætning. Der er uendelig mange primtal! EUKLIDs bevis Bevis baseret
Læs mere3.1 Baser og dimension
SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V
Læs mere6.1 Reelle Indre Produkter
SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II
Læs mereMM05 - Kogt ned. kokken. Jacob Aae Mikkelsen. 23. januar 2007
MM05 - Kogt ned Jacob Aae Mikkelsen kokken 23. januar 2007 1 INDHOLD 1 ARITMETIK I Z Indhold 1 Aritmetik i Z 2 2 Kongruens i Z 4 3 Ringe 6 4 Aritmetik i F[x] 9 5 Kongruens i F[x] og kongruensklasse aritmetik
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereSammenhængskomponenter i grafer
Sammenhængskomponenter i grafer Ækvivalensrelationer Repetition: En relation R på en mængde S er en delmængde af S S. Når (x, y) R siges x at stå i relation til y. Ofte skrives x y, og relationen selv
Læs mereProjekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet
Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt
Læs mere10. Nogle diofantiske ligninger.
Diofantiske ligninger 10.1 10. Nogle diofantiske ligninger. (10.1). I dette kapitel betragtes nogle diofantiske ligninger, specielt nogle af de ligninger, der kan behandles via kvadratiske talringe. Ligningerne
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereUniversity of Copenhagen Faculty of Science Written Exam - 3. April Algebra 3
University of Copenhagen Faculty of Science Written Exam - 3. April 2009 Algebra 3 This exam contains 5 exercises which are to be solved in 3 hours. The exercises are posed in an English and in a Danish
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)
Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder
Læs mereEuler-karakteristik for fusionskategorier
Euler-karakteristik for fusionskategorier Martin Wedel Jacobsen 17. april 2010 Indledning Der findes mange forskellige metoder til delvis klassifikation af endelige grupper. En af de mest velkendte er
Læs mereAnalyse af ombytningspuslespil
Analyse af ombytningspuslespil 1 / 7 Konkret eksempel på algoritmeanalyse Prøv ombytningspuslespillet på kurset webside. Spørgsmål: Hvilken bedste (laveste) score kan du opnå på 5 forsøg? Hvilken algoritme
Læs mereAnalyse af ombytningspuslespil
Analyse af ombytningspuslespil 1 / 7 Konkret eksempel på algoritmeanalyse Prøv ombytningspuslespillet på kurset webside. 2 / 7 Konkret eksempel på algoritmeanalyse Prøv ombytningspuslespillet på kurset
Læs mereDivisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så
Introduktion 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal Primtal 2) Formalistisk struktur Definition Lemma Divisorer Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal Hvis der findes et helt tal q så d q =
Læs mereEksempel på den aksiomatisk deduktive metode
Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13
Læs mereTALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.
Følger og den kinesiske restklassesætning, december 2006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man
Læs mere12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen
SEKTION 12.1 CAYLEY-HAMILTON-SÆTNINGEN 12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen Sætning 12.1.1 (Cayley-Hamilton) Lad A Mat n,n (C). Så gælder p A (A) =. Sætningen gælder faktisk over et vilkårligt legeme, men vi
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs mereMatematikken bag kryptering og signering RSA
Matematikken bag kryptering og signering RSA Oversigt 1 Indbyrdes primiske tal 2 Regning med rester 3 Kryptering og signering ved hjælp af et offentligt nøgle kryptosystem RSA Indbyrdes primiske hele tal
Læs mereMatematiske metoder - Opgaver
Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereAlgebra. Anders Thorup. Matematisk Afdeling Københavns Universitet
Algebra Anders Thorup Matematisk Afdeling Københavns Universitet Anders Thorup, e-mail: thorup@math.ku.dk Algebra, 3. udgave Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø ISBN 87-91180-28-7
Læs mereDM517:Supplerende noter om uafgørlighedsbeviser:
DM517:Supplerende noter om uafgørlighedsbeviser: Jørgen Bang-Jensen October 9, 2013 Abstract Formålet med denne note er at give en form for kogebogsopskrift på, hvorledes man bygger et uafgørlighedsbevis
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42
Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereMatematikken bag kryptering og signering RSA
Matematikken bag kryptering og signering RSA Oversigt 1 Indbyrdes primiske tal 2 Regning med rester 3 Kryptering og signering ved hjælp af et offentligt nøgle kryptosystem RSA Indbyrdes primiske hele tal
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereSubstitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer
Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer Erik Bennike 14. november 2009 Denne note giver en beskrivelse af de relevante begreber omkring substitutions- og indkomsteffekter i mikroøkonomi. 1 Introduktion
Læs mereAsymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul
Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereNote om endelige legemer
Note om endelige legemer Leif K. Jørgensen 1 Legemer af primtalsorden Vi har i Lauritzen afsnit 2.1.1 set følgende: Proposition 1 Lad n være et positivt helt tal. Vi kan da definere en komposition + på
Læs mereAlgebra2 Obligatorisk opgave
Algebra2 Obligatorisk opgave Anders Bongo Bjerg Pedersen, 070183 Eksamensnummer 45 23. maj 2005 Opgave 1 Vi har: σ = σ 6 5 = (σ 3 ) 2 (σ 5 ) 1 = (1 3 5 2 4)(8 7 6). b) Ordnen af en p-cykel er (jfr. 2.18)
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereLineær Algebra F08, MØ
Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereIndhold. Litteratur 11
Indhold Forord ii 00-sættet 1 Opgave 1....................................... 1 Spørgsmål (a).................................. 1 Spørgsmål (b).................................. 1 Spørgsmål (c)..................................
Læs mereBOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik
ε > 0. δ > 0. x. x a < δ f (x) L < ε February 8, 2012 Prædikater Vi skal lære om prædikatslogik lad os starte med prædikater. Et prædikat er et orakel der svarer ja eller nej. Eller mere præcist: Prædikater
Læs mereGrådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for
Læs mereMomenter som deskriptive størrelser. Hvad vi mangler fra onsdag. Momenter for sandsynlighedsmål
Hvad vi mangler fra onsdag Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er komplicerede objekter de tildeler numeriske værdier til alle hændelser i en σ-algebra. Vi har behov for simplere, deskriptive
Læs mereHvad vi mangler fra onsdag. Vi starter med at gennemgå slides fra onsdag.
Hvad vi mangler fra onsdag Vi starter med at gennemgå slides 34-38 fra onsdag. Slide 1/17 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 6. December, 2013 Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er
Læs mereHeisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013
Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mere6. december. Motivation. Internettet: Login til DIKU (med password) Handel med dankort Fortrolig besked Digital signatur
6. december Talteoretiske algoritmer, RSA kryptosystemet, Primtalstest Motivation Definitioner Euclids algoritme Udvidet Euclid RSA kryptosystemet Randominserede algoritmer Rabin-Miller primtalstest Svært
Læs mereaf koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning
EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens
Læs mereProjekt 7.9 Euklids algoritme, primtal og primiske tal
Projekter: Kapitel 7 Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projektet giver et kig ind i metodee i modee talteori Det kan udbygges med
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereGödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931
Kommentar til 1 Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Denne afhandling af den 24-årige Kurt Gödel er blevet en klassiker. Det er vist den eneste
Læs mereLineær Algebra, TØ, hold MA3
Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet
Læs mereVinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014
Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereNoter til Computerstøttet Beregning Taylors formel
Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Arne Jensen c 23 1 Introduktion I disse noter formulerer og beviser vi Taylors formel. Den spiller en vigtig rolle ved teoretiske overvejelser, og også
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereEulers sætning Matematikken bag kryptering og signering v.hj.a. RSA Et offentlig nøgle krypteringssytem
Eulers sætning Matematikken bag kryptering og signering v.hj.a. RSA Et offentlig nøgle krypteringssytem Johan P. Hansen 18. april 2013 Indhold 1 Indbyrdes primiske hele tal 1 2 Regning med rester 3 3 Kryptering
Læs mereModule 1: Lineære modeller og lineær algebra
Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........
Læs mere83 - Karakterisation af intervaller
83 - Karakterisation af intervaller I denne opgave skal du bevise, at hvis A er en delmængde af R med følgende egenskab: x, y, z R : x, y A og x < z < y z A (1) så er A enten et interval eller en mængde
Læs mereNogle grundlæggende begreber
BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element
Læs mereEgenskaber ved Krydsproduktet
Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereSkriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508)
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET, ODENSE Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) Mandag d. 14. januar 2007 2 timer med alle sædvanlige hjælpemidler tilladt. Opgavesættet
Læs mereTALTEORI Ligninger og det der ligner.
Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter
Læs mereOpgaver. Kapitel 1 fra Bogen. Georg Mohr-Konkurrencens vinderseminar 1. udgave 2. oplag 2007
Opgaver Kapitel 1 fra Bogen Georg Mohr-Konkurrencens vinderseminar 1. udgave 2. oplag 2007 Dette kapitel indeholder opgaver af ret varierende sværhedsgrad. De letteste ligger i forlængelse af, hvad der
Læs mereTal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.
1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber
Læs mereImplicit givne og inverse funktioner
Implicit givne og inverse funktioner Morten Grud Rasmussen 1 11. april 2016 1 Implicit givne funktioner I lineær algebra har vi lært meget om at løse lineære ligningsystemer og om strukturen af løsningsmængden.
Læs mereEksamen i Diskret Matematik
Eksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 29. maj 2017. Kl. 9-13. Nærværende eksamenssæt består af 11 nummererede
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på
Læs mereMASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 10. september Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 10. september 2018 Oversigt Relle tal Notation Tal Største og mindste element, mindste overtal og største undertal
Læs mereSylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder
Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme
Læs mereDesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier
DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil
Læs mereEn differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby
24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder
Læs merePolynomier af én variabel
enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal, og kendskab til reelle polynomier af
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 5
ANALYSE, 204, Uge 5 Afleveringsfrist for Prøve 2 er Tirsdag den 20/5 kl 0:5. Forelæsninger Tirsdag Vi går videre med Afsnit 4 om uniform konvergens af Fourierrækker, hvor hovedsætningen er Sætning 4.3.
Læs mereJa! det beviste vi uge 16+17
Ugens emner Lukketheds- og afgørlighedsegenskaber [5.3-5.5] lukkethed under,,,, * lukkethed under homomorfi og invers homomorfi pumping -lemmaet beslutningsproblemer: membership, emptiness, finiteness
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4 Sættet består af 3 opgaver med ialt 15 delopgaver. Besvarelsen vil blive forkastet, medmindre der er gjort et
Læs mere