Polynomier af én variabel

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Polynomier af én variabel"

Transkript

1 enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal, og kendskab til reelle polynomier af én reel variabel er en fordel. Version Karsten Schmidt Indledning Polynomier forekommer overalt i den tekniske litteratur som matematiske modeller for fysiske problemer. En stor fordel ved polynomier er at de er uhyre simple i beregninger da de kun kræver addition, multiplikation og potensopløftning. Derfor er polynomier bl.a. populære ved approksimation af mere komplicerede funktionstyper. Kendskab til polynomiers rødder er en kongevej til forståelsen af deres egenskaber og effektive brug og vil derfor være et hovedemne i det følgende. Men først introducerer vi nogle generelle egenskaber. Definition 30.1 Ved et polynomium af grad n forstås en funktion der kan skrives på formen P(z) = a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0 (30-1) hvor a 0, a 1,..., a n variabel. er komplekse konstanter med a n = 0, og z er en kompleks a k kaldes koefficienten for z k, k = 0, 1,..., n, og a n er den ledende koefficient. Et reelt polynomium er et polynomium hvori alle koefficienterne er reelle. Et reelt polynomium af en reel variabel er et reelt polynomium hvori z R.

2 enote POLYNOMIERS RØDDER 2 Polynomier navngives ofte med et stort P eller tilsvarende bogstav Q, R, S... Hvis det i situationen er naturligt at medtage variabelnavnet, skrives polynomiet som P(z) hvor det underforstås at z er en uafhængig kompleks variabel. Eksempel 30.2 Eksempler på polynomier P(z) = 2 z 3 + (1 + i) z + 5 er et tredjegradspolynomium. Q(z) = z er et reelt andengradspolynomium. R(z) = 17 er et 0 te-gradspolynomium. S(z) = 0 kaldes 0-polynomiet og tildeles ingen grad. T(z) = 2 z z 4 er ikke et polynomium. Når man ganger et polynomium med en konstant, og når man adderer, subtraherer, multiplicerer og sammensætter polynomier med hinanden, får man et nyt polynomium. Dette polynomium kan reduceres ved at led af samme grad samles så formen (30.1) opnås. Eksempel 30.3 Addition og multiplikation af polynomier To polynomier P og Q er givet ved P(z) = z 2 1 og Q(z) = 2 z 2 z + 2. Polynomierne R = P + Q og S = P Q bestemmes således: R(z) = (z 2 1) + (2 z 2 z + 2) = (z z 2 ) + ( z) + ( 1 + 2) = 3 z 2 z + 1. S(z) = (z 2 1) (2 z 2 z + 2) = (2 z 4 z z 2 ) + ( 2 z 2 + z 2) = 2 z 4 z 3 + (2 z 2 2 z 2 ) + z 2 = 2 z 4 z 3 + z Polynomiers rødder Definition 30.4 Rod i polynomium Ved en rod i et polynomium P(z) forstås et tal z 0 for hvilket P(z 0 ) = 0.

3 enote POLYNOMIERS RØDDER 3 Eksempel 30.5 Om et givet tal er rod i et polynomium Vis at 3 er rod i P(z) = z 3 5 z 12, og at 1 ikke er rod. Da P(3) = = 0, er 3 rod i P. Da P(1) = = 16 = 0, er 1 ikke rod i P. Til at udvikle teorien for polynomiers rødder får vi brug for følgende hjælpesætning. Hjælpesætning 30.6 Nedstigningssætningen Et n te-gradspolynomium P er givet ved P(z) = a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0. (30-2) Hvis z 0 er et vilkårligt tal, og Q er det n-1 te-gradspolynomium som er givet ved koefficienterne b n 1 = a n (30-3) b k = a k+1 + z 0 b k+1 for k = n 2,..., 0, (30-4) så gælder der at P kan skrives på den faktoriserede form hvis og kun hvis z 0 er rod i P. P(z) = (z z 0 )Q(z) (30-5) Bevis Lad polynomiet P være givet som i sætningen, og lad α være et vilkårligt tal. Betragt et vilkårligt n-1 te-gradspolynomium Ved simpel udregning fås Q(z) = b n 1 z n 1 + b n 2 z n b 1 z + b 0. (z α)q(z) = b n 1 z n + (b n 2 αb n 1 ) z n (b 0 αb 1 )z αb 0. Det ses at polynomierne (z α)q(z) og P(z) har samme forskrift hvis vi successivt fastsætter b k -koefficienterne for Q som angivet i (30-3) og (30-4), og der samtidig gælder: αb 0 = a 0 b 0 α = a 0.

4 enote POLYNOMIERS RØDDER 4 Vi undersøger om denne betingelse er opfyldt ved at benytte (30-3) og (30-4) i modsat rækkefølge: b 0 α = (a 1 + αb 1 )α = b 1 α 2 + a 1 α = (a 2 + αb 2 )α 2 + a 1 α = b 2 α 3 + a 2 α 2 + a 1 α. = b n 1 α n + a n 1 α n a 2 α 2 + a 1 α = a n α n + a n 1 α n a 2 α 2 + a 1 α = a 0 P(α) = a n α n + a n 1 α n a 2 α 2 + a 1 α + a 0 = 0. Det ses at betingelsen er opfyldt hvis og kun hvis α er rod i P. Hermed er beviset fuldført. Eksempel 30.7 Nedstigning Givet polynomiet P(z) = 2z 4 12z z 2 6z + 9. Det ses at 3 er en rod idet P(3) = 0. Bestem et tredjegradspolynomium Q således at P(z) = (z 3)Q(z). Vi sætter a 4 = 2, a 3 = 12, a 2 = 19, a 1 = 6 og a 0 = 9 og finder koefficienter for Q ved hjælp af (30-3) og (30-4): b 3 =a 4 = 2 b 2 =a 3 + 3b 3 = = 6 b 1 =a 2 + 3b 2 = ( 6) = 1 b 0 =a 1 + 3b 1 = = 3. Vi konkluderer at så Q(z) = 2z 3 6z 2 + z 3 P(z) = (z 3) (2z 3 6z 2 + z 3). Når et polynomium P med roden z 0 er skrevet på formen P(z) = (z z 0 )Q 1 (z), hvor Q 1 er et polynomium, kunne det tænkes at z 0 også er rod i Q 1. I så fald kan Q 1 tilsvarende skrives som Q 1 (z) = (z z 0 )Q 2 (z) hvor Q 2 er et polynomium. Og således vil nedstigningen successivt kunne videreføres indtil P(z) = (z z 0 ) m R(z) hvor R er et polynomium hvori z 0 ikke er rod. Vi viser nu at denne faktorisering er unik.

5 enote POLYNOMIERS RØDDER 5 Sætning 30.8 En rods multiplicitet Hvis z 0 er rod i polynomiet P, kan det på netop én måde skrives på faktoriseret form således: P(z) = (z z 0 ) m R(z) (30-6) hvor R(z) er et polynomium hvori z 0 ikke er rod. Eksponenten m kaldes den algebraiske multiplicitet af roden z 0. Bevis Antag at α er rod i P, og at der (i modsætning til påstanden i sætningen) findes to forskellige faktoriseringer P(z) = (z α) r R(z) = (z α) s S(z) hvor r > s, og R(z) henholdsvis S(z) er polynomier hvori α ikke er rod. Vi får da (z α) r R(z) (z α) s S(z) = (z α) s( (z α) k R(z) S(z) ) = 0, for alle z C hvor k = r s. Denne ligning er kun opfyldt hvis (z α) k R(z) = S(z) for alle z = α. Da venstre- og højresiden i denne ligning er kontinuerte funktioner, må de også have samme værdi i α. Herved opnår vi S(α) = (z α) k R(α) = 0 hvilket er i modstrid med antagelsen, at α ikke er rod i S. Eksempel 30.9 I eksempel 30.7 fandt vi at P(z) = (z 3) (2z 3 6z 2 + z 3) hvor 3 er rod. Men 3 er også rod i den anden faktor 2z 3 6z 2 + z 3. Ved at benytte nedstigningssætningen, sætning 30.6, på dette polynomium får vi P(z) = (z 3) (z 3)(2z 2 + 1) = (z 3) 2 (2z 2 + 1). Da 3 ikke er rod i 2z 2 + 1, har roden 3 i P multipliciteten 2. Nu har vi startet en nedstigningsproces! Hvor langt kan vi komme ad den vej? For

6 enote POLYNOMIERS RØDDER 6 at komme videre i undersøgelsen får vi brug for et grundlæggende resultat, nemlig fundamentalsætningen Algebraens fundamentalsætning En afgørende motivation for indføringen af komplekse tal er at ethvert polynomium har rødder inden for de komplekse tal. Dette resultat blev vist af matematikeren Gauss i hans ph.d.-afhandling fra Beviset for sætningen er krævende, og Gauss arbejdede videre på det hele sit liv for at gøre det endnu mere elegant. Hele fire versioner foreligger der fra hans hånd, så ingen tvivl om at han lagde meget stor vægt på sætningen. Her tillader vi os at angive Gauss resultat uden bevis: Sætning Algebraens fundamentalsætning Ethvert polynomium af grad n 1 har inden for de komplekse tal mindst én rod. Polynomiet P(z) = z har ingen rødder inden for de reelle tal. Men inden for de komplekse tal har det hele to rødder i og i fordi P(i) = i = = 0 og P( i) = ( i) = i = 0. Vejen fra algebraens fundamentalsætning til fuldt kendskab til antallet af polynomiers rødder er ikke lang. Vi skal blot videreudvikle idéen i nedstigningssætningen. Vi betragter et n te-gradspolynomium P med ledende koefficient a n. Hvis n 1, har P ifølge algebraens fundamentalsætning en rod α 1 og kan derfor med koefficientmetoden i nedstigningssætningen, sætning 30.6, skrives som P(z) = (z α 1 )Q 1 (z) (30-7) hvor Q 1 er et polynomium af grad n-1 med ledende koefficient a n. Hvis n 2, så har Q 1 en rod α 2 og kan skrives som Q 1 (z) = (z α 2 )Q 2 (z) hvor Q 2 er et polynomium af grad n-2 ligeledes med ledende koefficient a n. Ved indsættelse fås nu P(z) = (z α 1 )(z α 2 )Q 2 (z). Således fortsættes konstruktionen af nedstigningspolynomier Q k af graden n k for k = n 1,..., 0 indtil vi når polynomiet Q n af graden n-n = 0 der som angivet i

7 enote POLYNOMIERS RØDDER 7 eksempel 30.2, er lig med sin ledende koefficient a n. Herefter kan P opskrives på fuldstændig faktoriseret form: I dette udtryk skal vi bemærke tre ting: P(z) = a n (z α 1 )(z α 2 ) (z α n ). (30-8) Den første er at alle de n tal α 1,..., α n der er oplistet i (30-8), er rødder i P da de ved indsættelse i forskriften giver værdien 0. Den anden ting vi bemærker, er at P ikke kan have andre rødder end de n nævnte. At der ikke kan være flere, ses nemt således: Hvis et vilkårligt tal α = α k, k = 1,..., n, indsættes på z s plads i (30-8), vil samtlige faktorer på højresiden af (30-8) være forskellige fra nul. Dermed vil også deres produkt være forskelligt fra nul. Derfor er P(α) = 0, og α er ikke en rod i P. Den sidste ting vi bemærker i (30-8), er at rødderne ikke nødvendigvis er forskellige. Hvis z 1, z 2,..., z p er de p forskellige rødder som P har, og m k er multipliciteten (antal forekomster) af z k, k = 1,..., p, så kan den fuldstændigt faktoriserede form (30-8) reduceres til P(z) = a n (z z 1 ) m 1 (z z 2 ) m2 (z z p ) m p (30-9) hvor der gælder: m 1 + m 2 + m p = n. Efter dette er vi nu klar til at præsentere følgende udvidede udgave af algebraens fundamentalsætning. Sætning Algebraens fundamentalsætning version 2 Ethvert polynomium af grad n 1 har inden for de komplekse tal netop n rødder, når rødderne regnes med multiplicitet. Eksempel Andengradspolynomier på fuldstændig faktoriseret form Et vilkårligt andengradspolynomium P(z) = az 2 + bz + c kan skrives på formen P(z) = a(z α)(z β) hvor α og β er rødder i P. Hvis α = β, har P to forskellige rødder, hver med algebraisk multiplicitet 1. Hvis α = β, har P én rod med algebraisk multiplicitet 2. Roden kaldes da en dobbeltrod.

8 enote IDENTISKE POLYNOMIER 8 Eksempel Algebraisk multiplicitet Et polynomium P er angivet på fuldstændig faktoriseret form således: P(z) = 7(z 1) 2 (z + 4) 3 (z 5). Vi ser at P har tre forskellige rødder: 1, 4 og 5 med de algebraiske multipliciteter 2 henholdsvis 3 og 1. Det bemærkes at summen af de algebraiske multipliciteter er 6 hvilket er lig med graden af P i overensstemmelse med algebraens fundamentalsætning, version 2. Eksempel Algebraisk multiplicitet Angiv antallet af rødder i P(z) = z 3. P har kun én rod z = 0. Rodens algebraiske multiplicitet er 3. Man siger at 0 er en trippelrod i polynomiet Identiske polynomier To polynomier P og Q kaldes ens hvis P(z) = Q(z) for alle z. Men hvad skal der til for at to polynomier er ens? Kunne man for eksempel tænke sig at et fjerdegrads- og et femtegradspolynomium har samme værdi i alle variable hvis man blot vælger de rette koefficienter? Dette er ikke tilfældet idet der gælder følgende sætning. Sætning Identitetssætning for polynomier To polynomier er ens hvis og kun hvis de er af samme grad, og alle koefficienter for led af samme grad fra de to polynomier er ens. Bevis Vi betragter to vilkårlige polynomier P og Q. Hvis de har samme grad, og alle koefficienterne for led af samme grad er ens, må de klart have samme værdi i alle variable og er derfor identiske. Hermed er første del af Identitetssætningen vist.

9 enote POLYNOMIUMSLIGNINGER 9 Antag herefter at P og Q er identiske, men at ikke alle koefficienterne for led af samme grad fra de to polynomier er ens. Vi antager videre at P har grad n og Q grad m hvor n m. Lad a k være koefficienterne for P og lad b k være koefficienterne for Q, og betragt differenspolynomiet R(z) =P(z) Q(z) (30-10) =(a n b n )z n + (a n 1 b n 1 )z n (a 1 b 1 )z + (a 0 b 0 ) hvor vi i tilfældet n > m sætter b k = 0 for m < k n. Vi bemærker at 0 tegradskoefficienten (a 0 b 0 ) ikke kan være den eneste for R(z) som er forskellig fra 0, for så ville P(z) Q(z) = (a 0 b 0 ) = 0 hvilket er i modstrid med at P og Q er identiske. Derfor er graden af R større end eller lig med 1. På den anden side viser (30-10) at graden af R højst er n. Lad nu z k, k = 1,..., n + 1, være n + 1 forskellige tal. De er alle rødder i R idet R(z k ) = P(z k ) Q(z k ) = 0, k = 1... n + 1. Dette er imidlertid i modstrid med Algebraens fundamentalsætning, version 2, sætning 30.11: R kan ikke have et antal rødder der er højere end dets grad. Antagelsen, at ikke alle koefficienterne for led af samme grad fra P og Q er ens, må derfor være forkert. Heraf følger også at P og Q har samme grad. Hermed er anden del af Identitetssætningen er bevist. Eksempel Ligningen To identiske polynomier 3 z 2 z + 4 = a z 2 + b z + c er opfyldt for alle z netop når a = 3, b = 1 og c = 4. Opgave To identiske polynomier Bestem tallene a, b og c således at (z 2)(a z 2 + b z + c) = z 3 5 z + 2 for alle z. I det følgende afsnit behandler vi metoder til at finde rødder for visse typer af polynomier Polynomiumsligninger Fra algebraens fundamentalsætning, sætning 30.10, ved vi at ethvert polynomium af grad større end eller lig med 1 har rødder. I dens udvidede version, sætning 30.11,

10 enote POLYNOMIUMSLIGNINGER 10 slås det endog fast at for ethvert polynomium er graden lig antallet af rødder hvis rødderne regnes med multiplicitet. Men sætningen er en teoretisk eksistenssætning som ikke hjælper os med at bestemme rødderne. I det følgende introduceres metoder til at finde rødderne for simple polynomier. Men lad os holde ambitionsniveauet på et rimeligt niveau for i begyndelsen af 18-hundredtallet beviste den norske algebraiker Abel at der ikke kan opstilles generelle metoder til at finde rødderne i vilkårlige polynomier af grad større end fire! For polynomier af højere grad end fire findes der en række smarte tricks hvorved man kan være heldig at finde en enkelt rod. Herefter nedstiger man til et polynomium af én lavere grad og kan måske gradvist nå ned til et polynomium af fjerde grad eller lavere hvortil der findes generelle metoder til at finde de resterende rødder. Lad os indledningsvist slå fast at når man ønsker at finde rødderne for et polynomium P(z), skal man løse den tilsvarende polynomiumsligning P(z) = 0. Som en simpel illustration kan vi se på roden for et vilkårligt førstegradspolynomium: For at finde den skal vi løse ligningen P(z) = az + b. az + b = 0. Det er ikke svært. Den har løsningen z 0 = b a som derfor er rod i P(z). Når man skal finde rødderne for et polynomium P, finder man løsningerne på polynomiumsligningen P(z) = 0. Eksempel Roden i et førstegradspolynomium Find roden til førstegradspolynomiet P givet ved P(z) = (1 i) z (5 + 2i). Vi skal løse ligningen (1 i) z (5 + 2i) = 0 (1 i) z = (5 + 2i). Vi isolerer z på venstre side: z = 5 + 2i 1 i = (5 + 2i)(1 + i) (1 i)(1 + i) = 3 + 7i = i. Altså har ligningen løsningen z 0 = i som samtidig er P s rod.

11 enote POLYNOMIUMSLIGNINGER Binome ligninger En binom ligning er en n tegradsligning hvor kun koefficienterne a n (højestegradsleddet) og a 0 (konstantleddet) er forskellige fra 0. En given binom ligning kan reduceres til den følgende form: Definition Binom ligning En binom ligning har formen z n = w hvor w C og n N. For binome ligninger findes en eksplicit løsningsformel som vi præsenterer i den følgende sætning. Sætning Binom ligning løst vha. eksponentiel form Lad w = 0 være et komplekst tal med den eksponentielle form w = w e iv. Den binome ligning z n = w (30-11) har n forskellige løsninger givet ved formlen z p = w n e i( n v +p 2π n ) hvor p = 0, 1,..., n 1. (30-12) Bevis For ethvert p {0, 1,..., n 1} er z p = n w e i( v n +p 2π n ) en løsning til (30-11), idet ( ) n (z p ) n n = w e i( n v +p 2π n ) = w e i(v+p 2π) = w e iv = w. Det ses at de n løsninger set som punkter i den komplekse talplan alle ligger på en cirkel med centrum i Origo, radius n w og en fortløbende vinkelafstand på 2π n. Forbindelseslinjerne mellem Origo og løsningerne deler med andre ord cirklen i n lige store vinkler. Det følger heraf at de n løsninger er indbyrdes forskellige. At der ikke er flere løsninger, er en følge af algebraens fundamentalsætning, version 2, sætning Hermed er sætningen bevist.

12 enote POLYNOMIUMSLIGNINGER 12 Vi vil i de næste eksempler betragte nogle vigtige særtilfælde af binome ligninger. Eksempel Binom andengradsligning Vi betragter et komplekst tal på eksponentiel form w = w e iv. Det følger af (30-12) at andengradsligningen z 2 = w har to løsninger z 0 = w e i v 2 og z 1 = w e i 2 v. Eksempel Binom andengradsligning med negativ højreside Lad r være et vilkårligt positivt reelt tal. Ved i eksempel at sætte v = Arg( r) = π ses at den binome andengradsligning z 2 = r har to løsninger z 0 = i r og z 1 = i r. Med et konkret eksempel har ligningen z 2 = 16 løsningerne z = ±i 4. Den benyttede metode i eksempel kan i mange tilfælde være vanskelig at gennemføre. I det følgende eksempel vises en alternativ metode. Eksempel Binom andengradsligning, metode 2 Løs ligningen z 2 = 8 6i. (30-13) Da vi forventer at løsningerne for z kan være på kompleks form, sætter vi z = x + iy hvor x og y er reelle tal. Hvis vi kan finde x og y, så har vi fundet løsningerne for z. Vi har derfor z 2 = (x + iy) 2 = x 2 y 2 + 2xyi og ser at (30-13) er ækvivalent med x 2 y 2 + 2xyi = 8 6i. Da en kompleks ligning er sand netop når såvel realdelen som imaginærdelen af ligningens højreside og venstreside er identiske, må (30-13) videre være ækvivalent med x 2 y 2 = 8 og 2xy = 6. (30-14) Indsættes y = 6 2x = 3 x i x2 y 2 = 8, og sættes x 2 = u, opnås en andengradsligning som kan løses:

13 enote POLYNOMIUMSLIGNINGER 13 ( x 2 3 ) 2 = 8 x 2 9 x x 2 = 8 (x 2 9x ) 2 x 2 = 8x 2 x 4 9 = 8x 2 x 4 8x 2 9 = 0 u 2 8u 9 = 0 u = 9 eller u = 1. Ligningen x 2 = u = 9 har løsningerne x 1 = 3 og x 2 = 3, mens ligningen x 2 = u = 1 ingen løsninger har, da x og y skal være reelle tal. Indsættes x 1 = 3 henholdsvis x 2 = 3 i (30-14), fås de tilsvarende y-værdier y 1 = 1 og y 2 = 1. Hermed konkluderes at den givne ligning (30-13) har rødderne z 1 = x 1 + iy 1 = 3 i og z 2 = x 2 + iy 2 = 3 + i Andengradsligninger Til løsning af andengradsligninger opstiller vi nedenfor den formel der svarer til den velkendte løsningsformel for reelle andengradsligninger. Der er dog en enkelt afvigelse, nemlig at vi ikke tager kvadratroden af diskriminanten hvilket skyldes at vi ikke her forudsætter kendskab til kvadratrødder af komplekse tal. Sætning Løsningsformel for andengradsligning For andengradsligningen az 2 + bz + c = 0, a = 0 (30-15) indføres diskriminanten D ved D = b 2 4ac. Ligningen har to løsninger z 1 = b w 0 2a og z 2 = b + w 0 2a (30-16) hvor w 0 er en løsning til den binome andengradsligning w 2 = D. Hvis specielt D = 0, gælder der at z 1 = z 2 = b 2a.

14 enote POLYNOMIUMSLIGNINGER 14 Bevis Lad w 0 være en vilkårlig løsning til den binome ligning w 2 = D. Der gælder da: ( az 2 + bz + c = a z 2 + b a z + c ) a ( ( = a z + b ) ) 2 b2 2a 4a 2 + c a ( ( = a z + b ) ) 2 b2 4ac 2a 4a 2 ( ( = a z + b ) ) 2 D 2a 4a 2 ( ( = a z + b ) ) 2 w2 0 2a 4a 2 (( = a z + b ) + w ) (( 0 z + b ) w ) 0 2a 2a 2a 2a ( = a z + b + w ) ( 0 z + b w ) 0 = 0 2a 2a z = b w 0 2a Hermed er løsningsformlen (30-16) udledt. eller z = b + w 0 2a. Eksempel Reel andengradsligning med positiv diskriminant Løs følgende andengradsligning med reelle koefficienter: 2z 2 + 5z 3 = 0. Vi identificerer koefficienterne: a = 2, b = 5, c = 3. Diskriminanten findes: D = ( 3) = 49. Det ses at w 0 = 7 er en løsning til den binome andengradsligning w 2 = D = 49. Nu kan løsningerne udregnes: z 1 = = 1 2 og z 2 = = 3. (30-17)

15 enote POLYNOMIUMSLIGNINGER 15 Eksempel Reel andengradsligning med negativ diskriminant Løs følgende andengradsligning med reelle koefficienter: z 2 2z + 5 = 0. Vi identificerer koefficienterne: a = 1, b = 2, c = 5. Diskriminanten findes: D = ( 2) = 16. Ifølge eksempel er en løsning til den binome andengradsligning w 2 = D = 16 givet ved w 0 = 4i. Nu kan løsningerne udregnes: z 1 = ( 2) + 4i 2 1 = 1 + 2i og z 2 = ( 2) 4i 2 1 = 1 2i. (30-18) Eksempel Andengradsligning med komplekse koefficienter Løs andengradsligningen z 2 (1 + i)z 2 + 2i = 0. (30-19) Lad os først identificere koefficienterne: a = 1, b = (1 + i), c = 2 + 2i. Diskriminanten findes: D = ( (1 + i)) ( 2 + 2i) = 8 6i. Fra eksempel ved vi at en løsning til den binome ligning w 2 = D = 8 6i er w 0 = 3 i. Herefter findes løsningerne for (30-19) ved z 1 = ( (1 + i)) + (3 i) 2 1 = 2 og z 2 = ( (1 + i)) (3 i) 2 1 = 1 + i. (30-20) Tredje- og fjerdegradsligninger Fra antikken kendes geometriske metoder til løsning af (reelle) andengradsligninger. Men først omkring år 800 e.kr. blev algebraiske løsningsformler kendt via den persiske (arabisk skrivende) matematiker Muhammad ibn Musa al-khwarismes berømte bog al- Jabr. Navnet al-khwarisme blev i Vesten til det velkendte ord algoritme, mens bogens titel blev til algebra. Tre hundrede år senere gentog historien sig. Omkring år 1100 e.kr. angav en anden per-

16 enote REELLE POLYNOMIER 16 sisk matematiker (og digter) Omar Khayyám eksakte metoder til hvordan man finder løsninger til reelle tredje- og fjerdegradsligninger ved hjælp af mere avancerede geometriske konstruktioner. For eksempel løste han ligningen x x = 20x ved skæring mellem en cirkel og en hyperbel hvis ligninger han kunne udlede af tredjegradsligningen. Omar Khayyám mente ikke det ville være muligt at opstille algebraiske formler for løsninger til ligninger af grad større end to. Her tog han dog fejl idet italieneren Gerolamo Cardano i 1500-tallet offentliggjorde formler til løsning af tredje- og fjerdegradsligninger. Khayyáms metoder og Cardanos formler ligger ikke inden for rammerne af denne enote. Her giver vi blot se eksempel 30.9 tidligere samt nedenstående eksempel enkelte eksempler på hvordan man ved hjælp af nedstigningsmetoden, sætning 30.6, kan finde alle løsninger til ligninger af grad større end to hvis man i forvejen kender eller kan gætte et tilstrækkeligt antal af løsningerne. Eksempel En tredjegradsligning med et indledende gæt Løs tredjegradsligningen z 3 3z 2 + 7z 5 = 0. Det gættes nemt, at 1 er en løsning. Ved hjælp af nedstigningsaloritmen får man nemt faktoriseringen: z 3 3z 2 + 7z 5 = (z 1)(z 2 2z + 5) = 0. Vi ved at 1 er en løsning, de resterende løsninger fås ved løsning af andengradsligningen z 2 2z + 5 = 0, som ifølge eksempel har løsningerne 1 + 2i og 1 2i. Samlet har tredjegradsligningen løsningerne 1, 1 + 2i og 1 2i Reelle polynomier Teorien som har været udfoldet i de forrige afsnit, gælder for alle polynomier med komplekse koefficienter. I dette afsnit vil vi præsentere to sætninger der kun gælder for polynomier med reelle koefficienter altså den delmængde som kaldes de reelle polynomier. Den første sætning viser at ikke-reelle rødder altid optræder i par.

17 enote REELLE POLYNOMIER 17 Sætning Rødder i reelle polynomier Hvis tallet a + ib er rod i et polynomium som kun har reelle koefficienter, så er også det konjugerede tal a ib rod i polynomiet. Lad Bevis P(z) = a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0 være et reelt polynomium. Ved brug af regneregler for konjugering af sum og produkt af komplekse tal (se enote 29 om komplekse tal) samt forudsætningen at alle koefficienterne er reelle, fås P(z) = a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0 = a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0 = P(z). Hvis z 0 er rod i P, får vi P(z 0 ) = 0 = 0 = P(z 0 ) hvoraf det ses at også z 0 er rod. Hermed er sætningen bevist. Eksempel Konjugerede rødder Det oplyses, at polynomiet P(z) = 3z 2 12z + 39 (30-21) har roden 2 3i. Bestem alle rødder i P, og opskriv P på fuldstændig faktoriseret form. Vi ser at alle tre koefficienter for P er reelle. Derfor er også den oplyste rods konjugerede 2 + 3i rod i P. Da P er et andengradspolynomium, er der ikke flere rødder. Ifølge eksempel er den fuldstændigt faktoriserede form for P : P(z) = 3 (z (2 3i))(z (2 + 3i)). I et polynomiums fuldstændigt faktoriserede form vil de to faktorer der svarer til et par af konjugerede rødder, altid kunne ganges sammen til et reelt andengradspolynomium

18 enote REELLE POLYNOMIER 18 således: (z (a + ib))(z (a ib)) = ((z a) + ib))((z a) ib) = (z a) 2 (ib) 2 = z 2 2az + (a 2 + b 2 ). Fra sætning ved vi at komplekse rødder i et reelt polynomium altid optræder i konjugerede par. Heraf udspringer følgende sætning: Sætning Reel faktorisering Et reelt polynomium kan skrives som et produkt af reelle førstegradspolynomier og reelle andengradspolynomier som ikke har reelle rødder. Eksempel Reel faktorisering Om et reelt syvendegradspolynomium P oplyses at det har rødderne 1, i, 1 + 2i samt dobbeltroden 2, og at koefficienten til dets højestegradsled er a 7 = 5. Skriv P som et produkt af reelle førstegradspolynomier og reelle andengradspolynomier der ikke har reelle rødder. Vi udnytter at de komplekse rødders konjugerede også er rødder, og sætter P på fuldstændig faktoriseret form: P(z) = 5 (z 1)(z i)(z + i)(z (1 + 2i))((z (1 2i))(z + 2) 2. Der er to par af faktorer der svarer til konjugerede rødder. Når de ganges sammen, fås den ønskede form: P(z) = 5 (z 1)(z 2 + 1)(z 2 2z + 5)(z + 2) 2. Hermed afsluttes behandlingen af polynomier af én variabel.

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

Noter om komplekse tal

Noter om komplekse tal Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil

Læs mere

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til

Læs mere

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

DiMS 2010 Uge 7,

DiMS 2010 Uge 7, DiMS 2010 Uge 7, 18.10.10 24.10.10 Læsevejledning Emnerne i denne uge er polynomier og komplekse tal. De kan ikke siges at henhøre under diskret matematik som sådan og er ikke dækket af KBR, så vi skal

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til. Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter

Læs mere

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Lidt historisk om tredje- og fjerdegradsligningen

Lidt historisk om tredje- og fjerdegradsligningen Lidt historisk om tredje- og fjerdegradsligningen Vi laver et hop til renæssancens Norditalien. Her udarbejdede nogle matematiker i begyndelsen af 1500-tallet algoritmer for tredje- og fjerdegradsligningerne.

Læs mere

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner. Komplekse tal Mike Auerbach Odense 2012 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She

Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She Substitutionernes fest 53 Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She Substitution en masse Vi vil i denne artikel vise, hvorledes man kan løse den generelle tredjegradsligning

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober - 12. oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med

Læs mere

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Komplekse tal. Mike Auerbach. Tornbjerg Gymnasium, Odense 2015

Komplekse tal. Mike Auerbach. Tornbjerg Gymnasium, Odense 2015 Komplekse tal Mike Auerbach Tornbjerg Gymnasium, Odense 2015 Indhold 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner 2 1.1 Radianer................................................ 2 1.2 Cosinus og sinus som

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 37, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm 2009 bearbejdet af Jessica Carter 2010 1 Hvad er et komplekst tal? Hvordan regner man med komplekse tal? Man kan betragte udvidelsen

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006

Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006 Komplekse tal Preben Alsholm Juli 006 Talmængder og regneregler for tal. Talmængder Indenfor matematikken optræder der forskellige klasser af tal: Naturlige tal. N er mængden af naturlige tal, ; ; 3; 4;

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Egenværdier og egenvektorer

Egenværdier og egenvektorer enote 9 enote 9 Egenværdier og egenvektorer Denne note indfører begreberne egenværdier og egenvektorer for lineære afbildninger i vilkårlige generelle vektorrum og går derefter i dybden med egenværdier

Læs mere

Tilsvarende har vbi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet

Tilsvarende har vbi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet Projekt 3 Fjerdegradspolynomiets symmetri Indledning: Symmetri for polynomier I kapitel har vi set at grafen for et andengradspolynomiet altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x a p x a x x c ()

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri

Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri I kapitel 3 har vi set at grafen for et andengradspolynomiet p x a x x c () altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x. a Tilsvarende er grafen for tredjegradspolynomiet

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Kursusnoter til BasisMat

Kursusnoter til BasisMat Kursusnoter til BasisMat Peter Beelen Søren Thomsen Peter Nørtoft Morten Brøns Im z=re iα z =r arg(z)=α Re e iπ + 1 = 0 INSTITUT FOR MATEMATIK OG COMPUTER SCIENCE DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET 2016 Indhold

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Eulers equidimensionale differentialligning

Eulers equidimensionale differentialligning Eulers equidimensionale differentialligning Projektbesvarelse for MM501, udformet af Hans J. Munkholm Differentialligningen September-oktober 2009 For at kunne referere let og elegant gentages differentialligningen

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget

Læs mere

(Prøve)Eksamen i Calculus

(Prøve)Eksamen i Calculus (Prøve)Eksamen i Calculus Sæt 1, april 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende (prøve)eksamenssæt består af 7 nummererede sider

Læs mere

Komplekse tal og polynomier

Komplekse tal og polynomier Komplekse tal og polynomier John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal, polynomier og legemsudvidelser. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Reeksamen i Calculus

Reeksamen i Calculus Reeksamen i Calculus Torsdag den 11. august 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede sider

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Mundtlige spørgsmål til 2v + 2b. mat B, sommer Nakskov Gymnasium & Hf.

Mundtlige spørgsmål til 2v + 2b. mat B, sommer Nakskov Gymnasium & Hf. Mundtlige spørgsmål til 2v + 2b. mat B, sommer 2010. Nakskov Gymnasium & Hf. Eksaminator: Ulla Juul Franck Der er 20 spørgsmål i alt, og bilag til spørgsmål 14 og 15. 1. Andengradspolynomier og parabler.

Læs mere

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Analytisk plangeometri 1

Analytisk plangeometri 1 1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

OPGAVER 1. Løsning af ligningssystemer Disse første opgaver er introducerer til løsning af lineære ligningssystemer. De løses alle ved håndregning.

OPGAVER 1. Løsning af ligningssystemer Disse første opgaver er introducerer til løsning af lineære ligningssystemer. De løses alle ved håndregning. OPGAVER 1 Opgaver til Uge 5 Store Dag Opgave 1 Løsning af ligningssystemer Disse første opgaver er introducerer til løsning af lineære ligningssystemer. De løses alle ved håndregning. a) Find den fuldstændige

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Ligninger med reelle løsninger

Ligninger med reelle løsninger Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Her er der en kort introduktion til forskellige teknikker efterfulgt af opgaver hvor man kan

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

OPGAVER 1. Approksimerende polynomier. Håndregning

OPGAVER 1. Approksimerende polynomier. Håndregning OPGAVER 1 Opgaver til Uge 4 Store Dag Opgave 1 Approksimerende polynomier. Håndregning a) Find for hver af de følgende funktioner deres approksimerende polynomiumer af første og anden grad med udviklingspunkt

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

SUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI F2005

SUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI F2005 SUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI F2005 0. maj, 2005 version nr. 8 JØRGEN VESTERSTRØM Indledende bemærkninger De foreliggende opgaver udgør et supplement til lærebogens opgaver. Afsnitsnummereringerne

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra Tip til. runde af - Algebra, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en særlig teoretisk indføring, men der er i stedet fokus

Læs mere

Kompleks Funktionsteori

Kompleks Funktionsteori Kompleks Funktionsteori Formelræs Holomorfe funktioner Sætning. (Caucy-Riemans ligninger). Funktionen f : G C, f = u+iv er holomorf i z 0 = x 0 + iy 0 hvis og kun hvis i punktet (x 0, y 0 ). du dx = dv

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5 SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Henrik S. Hansen, version 1.5 Indhold Tallenes udvikling... 2 De naturlige tal... 2 De hele tal... 2 De rationale tal... 3 De reelle tal... 3 De komplekse tal... 4 Indledning...

Læs mere

Hans J. Munkholm: En besvarelse af

Hans J. Munkholm: En besvarelse af Hans J. Munkholm: En besvarelse af Projekt for MM501, Lineære differentialligninger November-december 2009 Nummererede formler fra opgaveformuleringen Her samles alle opgavens differentialligninger og

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere