Gruppeteori Abstrakt gruppeteori Noter ved Jørn B. Olsson Version 2009

Transkript

1 Gruppeteori Abstrakt gruppeteori Noter ved Jørn B. Olsson Version what wealth, what a grandeur of thought may spring from what slight beginnings. (H.F. Baker on gruppebegrebet) 1

2 INDHOLD: 1. Lidt om normale og karakteristiske undergrupper. Frattini argumentet 2. Om produkter af undergrupper 3. Hall undergrupper og komplementer 4. Semidirekte produkter. 5. Undergrupper og Verlagerung 6. Fokale undergrupper, Grüns sætninger, Z-grupper 7. Grupper af en given endelig orden 8. Frattini undergruppen. Nilpotente grupper. Fitting undergruppen 9. Endelige p-grupper 2

3 1. Lidt om normale og karakteristiske undergrupper. Frattini argumentet G version. Vi minder om nogle begreber, som delvist er kendte i forvejen fra Matematik 2AL eller Matematik 3 AL. Gruppeteorinoterne fra Algebra 3 omtales som GT3 i disse noter. Faktisk er en væsentlig del af dette Kapitel også behandlet i GT3. En bijektiv homomorfi α af en gruppe G på sig selv kaldes en automorfi af G. Afbildningen α opfylder altså g 1, g 2 G : α(g 1 g 2 ) = α(g 1 )α(g 2 ) g G : α(g) = 1 g = 1 g G g G : α(g) = g. I dette tilfælde er den inverse afbildning α 1 to α også en automorfi. Det ses herfra, at mængden Aut(G) af automorfier af G danner en gruppe med sammensætning af afbildninger som komposition. Vi lader så Aut i (G) betegne undergruppen af Aut(G) bestående af de indre automorfier af G: For ethvert g G defineres ved κ g (h) := ghg 1, h G en indre automorfi af G. Det er let at se at for alle g 1, g 2 G er κ g1 κ g2 = κ g1 g 2. Specielt er κ g 1 invers afbildning til κ g for alle g G, så mangden af κ g er danner en undergruppe Aut i (G) af Aut(G). Lad H være en undergruppe af gruppen G. H kaldes normal undergruppe i G, hvis der gælder Dette kan også udtrykkes som g G, h H : ghg 1 H. α Aut i (G), h H : α(h) H, altså at enhver indre automorfi af G afbilder H i sig selv. Vi skriver H G, hvis H er normal undergruppe af G. H kaldes karakteristisk undergruppe i G, hvis der gælder α Aut(G), h H : α(h) H. 3

4 Det betyder, at enhver automorfi α af G afbilder H i sig selv. Vi skriver H char G, hvis H er en karakteristisk undergruppe af G. (1A) Sætning: (Vigtige egenskaber for og char) Lad H og K være undergrupper i gruppen G. Da gælder (1) H char G H G (2) H char K og K char G H char G (3) H char K og K G H G Bevis (1) Følger fra det ovenstående. (2) Lad α Aut(G). Lad α være indskrænkningen af α til K, altså α (k) = α(k) for alle k K. Så er α Aut(K), da K char G. Da H char K gælder α (h) H for alle h H. Men så er α(h) = α (h) H for alle h H. (3) Hvis g G, så er indskrænkningen k g af den indre automorfi k g til K en automorfi af K, da K G. Da H char K gælder ghg 1 = k g (h) = k g(h) H for alle h H. (1B) Bemærkning: Der gælder ikke H K, K G H G H K, K char G H G. I begge tilfælde vil følgende være et modeksempel i den alternerende gruppe af grad 4: G = A 4 K = {(1), (1, 2)(3, 4), (1, 4)(2, 3), (1, 3)(2, 4)}, H = {(1), (1, 2)(3, 4)}. K kaldes Klein s firegruppe. (Omtalt i GT3). Hvis M er en delmængde af gruppen G, så betegner M den af M frembragte undergruppe af G. M er defineret ved M = U. {U U undergruppe af G, M U} og er altså den mindste undergruppe af G som indeholder alle M s elementer. Der gælder, at M netop indeholder de elementer g G, for hvilke der eksisterer n N og elementer x 1,, x n, som opfylder: 4

5 Overvej dette! (Se også GT3). (1) g = x 1 x 2 x n (2) Enten er x i M eller x 1 i M. (1C): Eksempler på og bemærkninger om visse karakteristiske undergrupper. Ved anvendelse af den ovenstående beskrivelse af den af delmængden M frembragte undergruppe M af G ses let, at hvis M er lukket under automorfier af G, så er M char G: Antag, at M er en delmængde af G, således at α Aut(G) m M : α(m) M. Så er M char G. Der findes mange eksempler på delmængder af G som er lukkede under automorfier. Vi giver nu nogle eksempler derpå. (Jeg minder om, at når p er et primtal, så er et p element i en gruppe et element af endelig p potensorden.) Her er eksemplerne: E(G) = {m G m endelig} P p (G) = {m G m er et p element} D p (G) = {m G m endelig, p m } K(G) = {m G a, b G : m = [a, b]}. Her er [a, b] = aba 1 b 1 kommutatoren af a og b. Bemærk, at K(G) = G, G s kommutatorgruppe. (Se GT3). Hvis G er abelsk, så er E(G) netop G s torsionsundergruppe G T (også kaldet torsionen af G). I dette tilfælde er faktisk E(G) = E(G). Hvis G er en endelig gruppe med en p Sylow gruppe P, som opfylder P G, så er P = P p (G). Lad os bevise dette. Sylows sætninger er formuleret og bevist i GT3. Inklusionen er opfyldt, da P s elementer er p elementer. Lad m være et p element i G. Ifølge Sylows 2. sætning findes en p Sylow gruppe Q af G med m Q. Der findes ifølge Sylows 1. sætning et element g G så gp g 1 = Q, men da P G fås P = Q, altså m P. Vi har hermed også vist, at hvis P G er en p Sylow gruppe, så er P char G. 5

6 Generelt er i en endelig gruppe P p (G) den mindste normale undergruppe i G, som indeholder en (og dermed alle) af G s p Sylow grupper. Denne undergruppe betegnes som regel med O p (G). Tilsvarende er i en endelig gruppe D p (G) den mindste normale undergruppe i G, hvis indeks i G er en p potens. Denne undergruppe betegnes som regel med O p (G). Et bevis for dette gives i Sætning (2H). Vi benytter nogle af de ovenstående bemærkninger i beviset for den følgende sætning. En gruppe G kaldes elementær abelsk, hvis G er abelsk og der findes et primtal p, således at x p = 1 for alle x G. For definitionen af en opløselig gruppe henvises til GT3. (1D) Sætning: Lad N være en minimal normal undergruppe i den endelige opløselige gruppe G. Så er N elementær abelsk. Bevis: Lad N være minimal normal i G. Det betyder, at N {1}, N G, og at hvis {1} M G, M N så er M = N. Da N er opløselig og N 1 er N N. Så N char N G N G, ifølge Sætning (1A). Vi får altså N = {1}, så N er abelsk. Lad P være en p Sylow gruppe i N, hvor p N. Så er {1} P char N G P G P = N. Lad M = {x N x p = 1}. Så er {1} M en undergruppe af G, M char N M G M = N. Men så er M = N elementær abelsk. 6

7 Om Frattini argumentet Vi vil flere gange, især i induktive beviser, få brug for en elementær, men meget nyttig, konsekvens af Sylows sætninger. Hvis H, P G er undergrupper, så kaldes N H (P ) = {h H hp h 1 = P } for P s normalisator i H. Det er klart, at denne normalisator er en undergruppe af H. Endvidere er P N G (P ) og der gælder, at P G N G (P ) = G. Hvis H og K er undergrupper af G, så definerer man deres produkt HK = H K som delmængden HK = {g G h H, k K : g = hk}. (Se kapitel 2 for nærmere detaljer.) (1E) Sætning: (Frattini argumentet) Lad G være endelig, H G. Lad P være en p Sylow gruppe i H. Der gælder G = HN G (P ). Bevis: Inklusionen er triviel. Lad g G. Vi har gp g 1 H, da H G og P H. Da P = gp g 1, så er gp g 1 en p Sylow gruppe i H (!) Der findes altså ifølge Sylow s 1. sætning et h H, så gp g 1 = hp h 1. Så er (h 1 g)p (h 1 g) 1 = h 1 (gp g 1 )h = P altså h 1 g N G (P ). Dermed er g = h(h 1 g) H N G (P ), som ønsket. Vi kan anvende Frattini argumentet til at bevise (1F) Sætning: Lad P være en p Sylow gruppe i G. Lad K være en undergruppe i G, således at N G (P ) K. Så er K = N G (K). Bevis: Lad L = N G (K), så K L. Da P N G (P ) K, er P en p Sylow gruppe i K. Frattini argumentet anvendt på G = L, H = K viser, at L = KN L (P ). Men N L (P ) N G (P ) K, så vi får L K, altså L = K. 7

8 2. Om produkter af undergrupper G version Hvis H og K er undergrupper af G, så kan man, som vi har set, danne delmængden HK = H K = {g G h H, k K : g = hk} I almindelighed er HK ikke en undergruppe i G. Det ses let, at HK er en undergruppe HK = KH. Specielt fås: Hvis H G, så er HK en undergruppe. I dette tilfælde er det kendt, at HK/H K/K H således at specielt HK/H = K : H K eller HK = H K / H K, når G er endelig. Men dette gælder generelt: (2A) Sætning: Lad H og K være undergrupper af den endelige gruppe G. (1) Der gælder for delmængden HK, at HK = H K / H K. Specielt gælder (2) Der gælder HK H K. G : H K G : H G : K. (3) Hvis HK er en undergruppe af G, så gælder det stærkere udsagn G : H K G : H G : K. Bevis: Det er klart, at mængden HK er en foreningsmængde af højresideklasser til H på formen Hk, k K. Hvis k 1, k 2 K gælder Hk 1 = Hk 2 k 1 k2 1 H k 1 k2 1 H K (H K)k 1 = (H K)k 2. Heraf følger, at antallet af højresideklasser til H, som er indeholdt i HK, er lig K : H K, altså HK : H = K : H K, 8

9 så (1) er vist. Da HK G er HK G og så viser (1), at H K / H K G. Ved at dividere denne ulighed med H K og gange den med G fås (2). Udsagnet (3) bevises analogt til (2), idet vi dog nu ved, at HK G, fordi HK antages at være en undergruppe. (2B) Sætning: Hvis H og K er undergrupper af den endelige gruppe G, og hvis ( G : H, G : K ) = 1, så gælder G = HK. Bevis: Vi viser G HK. Da HK G fås så HK = G, altså G = HK. Lad p være et primtal, p G. Ifølge antagelsen gælder enten p G : H eller p G : K. Da G = G : H H = G : K K fås heraf, at H eller K indeholder en p Sylow gruppe P for G. Hvis P H gælder P H HK ifølge (2A). Hvis P K gælder P K HK ifølge (2A). Under alle omstændigheder fås P HK. Da p var en vilkårlig primdivisor i G fås G HK, som ønsket. Definition: Lad G = p a m, (p, m) = 1. En undergruppe M af G med M = m kaldes et p Sylow komplement i G. (M er en p Hall undergruppe. Se Kapitel 3.) Mængden af p Sylowgrupper i G betegnes Syl p (G). (2C) Korollar: Hvis P Syl p (G) og hvis M er et p Sylow komplement i G, så gælder G = P M, P M = {1}. Bevis: Anvend (2B) med H = P, K = M til at vise G = P M. ( P, M ) = 1 fås umiddelbart, at P M = {1}. Da Bemærkninger: 1. Som næste kapitel viser, behøver en gruppe G ikke indeholde p Sylow komplementer. Der gælder imidlertid, at hvis P Syl p (G), P G, så indeholder G et p Sylow komplement. Dette er et specielt tilfælde af Schur Zassenhaus sætning, som bevises i Kapitel Helt generelt kalder vi undergruppen K i G et komplement til undergruppen M, hvis der gælder G = MK og M K = {1}. (2D) Sætning: Lad H og K være undergrupper af den endelige gruppe G. Hvis det mindste fælles multiplum (mfm) af H og K er G gælder HK = G. 9

10 Bevis: Generelt har vi, at da H G, K G, så må mfm( H, K ) G. Ifølge (2A) gælder H HK og K HK, og derfor gælder G = mf m( H, K ) HK. Heraf fås sætningen umiddelbart. a1 a (2E) Sætning: Lad G = p 1 p r r, hvor p i p j, i j er primtal. Lad I {1,..., r}, således at der for alle i I gælder, at G har et p i Sylow komplement K i. Så gælder K i = a p j j. i I j / I Bevis: Induktion efter I. For I = 1 er det definitionen. Antag, at sætningen er vist for delmængder I I, I I. Lad I = I {k}, k / I. Så er K = K i. Ifølge induktionsantagelsen er K a = p k a k p j j. Da i I j / I K k = a p j j ser vi, at mfm ( K, K k ) = G. Ifølge (2A) er G = j k K K k / i I K i. Heraf fås påstanden ved en let udregning. Her en endnu en lille anvendelse af (2A): (2F) Sætning: Lad G være endelig og Q N G. Lad p være et primtal. Der gælder Q Syl p (N) P Syl p (G) : Q = P N. Bevis: Lad Q Syl p (N). Så er specielt Q en p undergruppe i G. Vælg, ifølge Sylows 2. sætning, P Syl p (H), så Q P. Nu er P N en p undergruppe af N, som indeholder Q. Da Q er en p Sylow gruppe i N, fås Q = P N. Lad P Syl p (G), og sæt Q = P N. Vi har ifølge (2A) / N : Q = N : P N = N P N = NP / P = NP : P som går op i G : P. Da P Syl p (G) gælder, at p G : P, og derfor gælder p N : Q. Da Q er en p undergruppe i N, fås Q Syl p (N) (2G) Sætning: Lad G være endelig, N G. Antag, at K er et p Sylow komplement i G. Så er N K et p Sylow komplement i N, og KN/N er et p Sylow komplement i G/N. Bevis: Det første udsagn bevises analogt til beviset for (2F). Da KN/N K er KN/N prim til p. På den anden side er P N/N en p undergruppe 10

11 af G/N, og da (KN)(P N) = KP = G, er (KN/N)(P N/N) = G/N. Heraf følger påstanden. Vi kan også bruge de ovenstående resultater til at uddybe påstandene i (1C) fra Kapitel 1. Den næste sætning omhandler fx. D p (G) fra (1C). (2H) Sætning: Lad G være endelig, p et primtal og D := g G p g. Så er D er en karakteristisk undergruppe af G og D er den mindste normale undergruppe i G hvis indeks i G er en p-potens. Bevis: Vi har set i (1C), at D char G. Specielt er D G. Lad P Syl p (G). Vi påstår at DP = G. Hvis q p er et primtal og q G, så indeholder D en q-sylow gruppe Q for G, idet alle g Q opfylder p g. Dermed fås DP = G (anvend f.eks. (2D)). Så er G : D = P : P D en p-potens. Antag nu, at N G og at G : N er en p-potens. Vi skal så vise, at D N. Det er tilstrækkeligt at vise, at hvis g G, p g, så er g N. Betragt sideklassen ḡ = gn som element i faktorgruppen Ḡ = G/N. Da ḡ g og p g må p ḡ. Hermed har ḡ på den ene side en orden prim til p, og på den anden side en orden, der er en p-potens, da Ḡ har p-potens orden. Vi får ḡ = 1, dvs g N. Undergruppen D fra (2H) betegnes som nævnt i (1C) med O p (G). Den indgår som én af fire karakteristiske undergrupper af den endelige gruppe G, associeret til et primtal p. Lad p være et primtal. En p-gruppe er en gruppe af p-potens orden. En p -gruppe er en gruppe af orden prim til p. Tilsvarende tales om p- og p -elementer. Det følgende er kun interessant, hvis p G. Vi definerer O p (G) er den mindste normale undergruppe i G, hvis index G : O p (G) er en potens af p. O p (G) er den største normale undergruppe i G, hvis orden O p (G) er en potens af p (p-undergruppe). O p (G) er den mindste normale undergruppe i G, hvis index G : O p (G) er prim til p. O p (G) er den største normale undergruppe i G, hvis orden O p (G) er prim til p (p -undergruppe). 11

12 Her er det selvfølgelig ikke klart, at undergrupperne ovenfor er veldefinerede. Hvad menes der med mindste/største? Det kunne være med hensyn til deres orden (antal elementer) eller med hensyn til inklusionsorden. I tilfældet med disse undergrupper er det faktisk ligegyldigt hvilken af disse ordensrelationer vi vælger på undergrupperne, som vi skal se om et øjeblik. Det skal selvfølgelig også undersøges, om det ovenstående er i overensstemmelse med bemærkningerne om O p (G) og O p (G) i (1C). Der vil blive klart (hvis det ikke allerede er det!), at der er tale om karakteristiske undergrupper i G. Lad os for en ordens skyld nævne, at hvis p G, så er det eneste p- element i G det neutrale element 1. Vi får i så tilfælde, at O p (G) = O p (G) = G og O p (G) = O p (G) = {1}. Man kan overveje, hvordan dette passer med sætning (2M) nedenfor. Hvis H og K er undergrupper af G og mindst en af dem er en normal undegruppe i G, så er HK igen en undergruppe, som nævnt i begyndelsen af dette kapitel. Vi kan så anvende hele Sætning (2A). Hvis H og K begge er normale, så er HK og H K igen normale. Hvis for eksempel G : H og G : K begge er prim til p, så følger fra sætning (2A)(3), at G : H K er prim til p. Derfor må også fællesmængden af alle normale undergrupper i G, hvis index er prim til p være en normal undergruppe med samme egenskab. Denne undergruppe er så O p (G). Tilsvarende kan man argumentere for de andre undergrupper. Eksempelvis er HK en normal p -undergruppe af G, hvis både H og K er det, fordi HK H K, ifølge (2A)(1). Derfor er produktet af alle sådanne undergrupper en normal p -undergruppe, altså O p (G). Vi har nu : (2I) Sætning: Undergruppen O p (G) kan beskrives på følgende ækvivalente måder (1) O p (G) = {A G G:A er p potens} A (2) O p (G) = g G g p element (3) O p (G) = Q Q {q primtal p} Syl q(g) (4) O p (G) = Q Q p undergruppe af G (2J) Sætning: Undergruppen O p (G) kan beskrives på følgende ækvivalente måder 12

13 (1) O p (G) = {A G p G:A } A (2) O p (G) = g G g p element (3) O p (G) = P P Syl p (G) (4) O p (G) = P P p undergruppe af G (2K) Sætning: Undergruppen O p (G) kan beskrives på følgende ækvivalente måder (1) O p (G) = A G A er p undergruppe (2) O p (G) = P Syl p(g) P (2L) Sætning: Undergruppen O p (G) kan beskrives på følgende måde (1) O p (G) = A G A p undergruppe Bevis for sætningerne: At grupperne er beskrevet ved egenskaben (1) følger fra Sætning (2A), som forklaret ovenfor i tilfældene O p (G) og O p (G). Bevis for (2I): I sætning (2H) er det vist, at (1) og (2) er ækvivalente. Lad X = Q Q {q primtal p} Syl q(g). Da elementerne i hver frembringende undergruppe Q for X består af p -elementer, viser (2) at X O p (G). På den anden side er X G, da mængden af frembringende undergrupper Q er lukket under konjugation. Da X indeholder q-sylow grupper for G for alle primtal q p, kan intet primtal q p gå op i G : X. Så G : X er en p-potens og derfor O p (G) X. Det ses let at beskrivelserne (2) og (4) er ækvivalente. (Overvej dette.) Bevis for (2J): Dette er en øvelsesopgave! Hints vil givet i kursets første opgavesæt. Bevis for (2K): Lad X = P Syl p(g) P. Antag at A G er en p-gruppe. Lad P Syl p (G). Så har undergruppen AP også p-potensorden ifølge (2A). Da P er en Sylowgruppe fås AP = P, dvs. A P. Vi ser altså at A X. Heraf fås ifølge (1) at O p (G) X. Da mængden af p-sylowgrupper er lukket under konjugation er X G. Vi får X O p (G). Fra beskrivelserne (1) i de fire sætninger er det klart, at vi har at gøre med karakteristiske undergrupper af G. 13

14 Man kan selvfølgelig kombinere O p, O p, O p, O p. For eksempel er O p (O p (G)) lig O p (H), hvor H = O p (G). Denne undergruppe betegnes også O pp (G). Man kan så fortsætte med O p pp (G), etc. og få stadig mindre undergrupper af G. Hvis vi på et eller andet tidspunkt i denne kæde når den trivielle underegruppe {1}, kaldes G p-opløselig. Analogt kan man betragte undergrupper som O p p(g) = O p (O p (G)). Det er let at se, at O p (O p (G)) = O p (G) og O p (O p (G)) = O p (G). (2M) Sætning: (1) Der gælder O p (G) O p (G) og O p (G) O p (G). (2) O p (G) = O p (G) G har et normalt p-komplement. (3) O p (G) = O p (G) G har en normal p-sylowgruppe. Bevis: (1) Da p O p (G) viser (2I)(4), at O p (G) O p (G). Den anden inklusion i (1) følger fra (2J)(4). (2) : Antag at O p (G) = O p (G) = K. Vi påstår, at K er et normalt p-komplement i G. Skriv G = p a m, hvor p m. Det følger fra (2I)(3), at m O p (G) = K. Men da K også er lig O p (G), som er en p -gruppe, må m = K. Dermed er K et normalt p-komplement. : Hvis K er et normalt p-komplement i G, så ses let, at K = O p (G) = O p (G). (3) Skriv igen G = p a m. Hvis O p (G) = O p (G) = P, så er P en normal p-sylowgruppe i G : Da G : O p (G) m, må p a O p (G) = P. Da P = O p (G) er en p-gruppe, fås K = p a. Omvendt, hvis P er en normal p-sylowgruppe i G, så er P = O p (G) = O p (G). Den sidste del af dette kapitel er en forberedelse til senere kapitler, bl.a. Kapitel 3. Definition: Lad M være en undergruppe i G. En delmængde X G kaldes (venstre-)transversal til M i G hvis G = x XxM. således at X indeholder præcis ét element fra hver sideklasse til M i G. Bemærk, at der gælder G = XM og X = G : M. Hvis M har et komplement i G, så er dette komplement også en transversal til M i G. Vi vil senere få brug for denne sætning: (2N) Sætning: Lad N M G være undergrupper. Hvis X er en transversal for M i G og Y en transversal for N i M, så er XY en transversal for N i G. 14

15 Bevis: Vi har M = y Y yn og G = x XxM, hvoraf G = x X xm = x X x( y Y yn) = t XY tn. Det har også mening at tale om en højretransversal til en undergruppe af G. X G er en højretransversal til undergruppen M G hvis G = x X Mx. Vi har i analogi med (2N) (2O) Sætning: Lad N M G være undergrupper. Hvis X er en højretransversal for M i G og Y en højretransversal for N i M, så er Y X en højretransversal for N i G. Bemærkning: 1. X er en (venstre-)transversal til M i G X 1 er en højretransversal til M i G. Vi har jo (xm) 1 = Mx Hvis M G, så er en højretransversal X til M i G også en venstretransversal og omvendt. Hvis undergruppen M ikke er normal i G, så kan man altid finde en (venstre-)transversal til M i G, som ikke er en højretransversal til M i G. (Øvelsesopgave). 15

16 3. Hall undergrupper og komplementer G version I dette kapitel betragtes kun endelige grupper. endelig gruppe. Lad altså G være en Definition: En undergruppe H i G kaldes en Hall undergruppe, hvis der gælder ( H, G : H ) = 1, dvsȧt H s orden er relativ prim til dens indeks i G. (Philip Hall ). Ifølge definitionerne er enhver p Sylow gruppe i en endelig gruppe også en Hall undergruppe. Ligeledes er de trivielle undergrupper {1} og G af G Hall undergrupper. Lad π være en vilkårlig mængde af primtal. Hvis n er et naturligt tal a1 a skrives n = p 1 p k k, hvor p1,, p k er forskellige primtal, og a 1,, a k N. Vi definerer n π = a p i i, n π = n/n π. {i p i π} (Så hvis n = 60, π = {2, 3}, er n π = 12, n π = 5.) Bemærk, at hvis π er mængden af de primtal, der ikke er i π, så er n π = n π. Vi definerer n = 1. En π Hall undergruppe i gruppen G er en undergruppe af orden G π. Fx. er p Sylow grupperne også π Hall undergrupper, hvor π = {p}. En π Hall undergruppe i G er en undergruppe af orden G π. Eksempel: Den alternerende gruppe A 5 har ingen {3, 5} Hall undergruppe. En sådan undergruppe skulle have orden 15. Enhver gruppe af orden 15 er cyklisk. (GT3). Men det er klart, at A 5 (eller S 5 ) ikke indeholder et element af orden 15. (Se på cykel strukturen af et sådant element). Bemærkning: Hvis M er en π Hall undergruppe af G og der også findes en en π Hall undergruppe N i G, så er N et komplement til M i G. (Se forrige kapitel). Generelt kan Sylow s sætninger altså ikke udvides til udsagn om eksistens af Hall undergrupper. Men en berømt sætning af Philip Hall viser, at Sylows sætninger kan udvides til vilkårlige Hall undergrupper, hvis vi antager, at G er opløselig, og at de kun kan udvides på denne måde, når G er opløselig. (3A) Sætning: (P. Hall) Lad G være en opløselig gruppe. Antag, at G = nm, hvor (n, m) = 1. Der gælder: 16

17 (1) G indeholder en Hall undergruppe af orden m; (2) To Hall undergrupper af orden m i G er konjugerede i G; (3) En undergruppe af G, hvis orden går op i m er indeholdt i en Hall undergruppe af orden m. Bemærkning: Man kan også vise et udsagn om antallet af Hall undergrupper af G af orden m (svarende til Sylow s 3. sætning.) Udsagnet er, at dette antal er et produkt af faktorer a i, hvor der for hvert a i findes en primdivisor p i m, så a i 1 (mod p i ), men vi vil ikke bevise dette sidste udsagn, selv om det ikke er vanskeligt. Bevis for (3A): Vi benytter den kendsgerning, at undergrupper og faktorgrupper af opløselige grupper igen er opløselige (GT3). Beviset er ved induktion efter G. Hvis G = 1, er der intet at bevise. Antag nu, at G > 1 og at sætningen er rigtig for alle (opløselige) grupper af orden < G. Vi betragter to tilfælde, der omfatter alle muligheder: (I) Antag, at der findes en normal undergruppe T G, T {1}, T G, således at n T. (II) Antag, at enhver T G, T {1} opfylder at n T. (I): I dette tilfælde (som er det lette tilfælde) skriver vi T = m 1 n 1, hvor m 1 m, n 1 n, og tilsvarende G : T = m 2 n 2, hvor m 2 m, n 2 n. Vi har så m = m 1 m 2, n = n 1 n 2. Da n T må n 1 < n, og derfor også n 2 1. Betragt faktorgruppen G = G/T af orden m 2 n 2. Da G er opløselig, er også G opløselig. Da (m, n) = 1, må (m 2, n 2 ) = 1, da m 2 m, n 2 n. Da T {1}, er G < G. Ifølge induktionsantagelsen indeholder G en undergruppe D med D = m 2. Lad D være dens urbillede i G. (Det vil sige: D = {g G g = gt D}.) Der gælder så, at D = D T = m 2 m 1 n 1 = mn 1. Da n 1 n er D < G. Da D er undergruppe af den opløselige gruppe G, er D opløselig. Endvidere er D = mn 1, hvor (m, n 1 ) = 1. Ifølge induktionsantagelsen indeholder D en undergruppe H af orden m. H er selvfølgelig også undergruppe i G, så (1) er bevist i dette tilfælde. 17

18 Hvis nu H, H er undergrupper af orden m i G betragtes undergrupperne D = T H, D = T H i G. Der gælder ifølge (2A) og D T H = m 1 n 1 m 1 m 2 = mn 1 m 1 D G = mn så D (mn 1 m 1, mn) = mn 1. Da vi på den anden side har, at m = H D og n 1 T D, fås D = mn 1, og analogt ses D = mn 1. Derfor er D = D/T og D = D /T undergrupper i G = G/T af orden D : T = D : T = m 2. Ifølge induktionsantagelsen er D og D konjugerede i G. Der findes altså x G, så xd x 1 = D. Hvis x er et urbillede af x i G, fås xd x 1 = D. Så er xh x 1 xd x 1 = D, således at xh x 1 og H, begge er undergrupper i D af orden m. Induktionsantagelsen anvendt på D viser, at der findes y H, så y(xh x 1 )y 1 = H. Dermed er H og H konjugerede i G, så (2) er bevist i dette tilfælde. Lad endelig U være en undergruppe af G med U m. Ifølge (2A) er UT : T = U : U T U m. Vi betragter UT = UT/T i G = G/T. Da vi lige har vist, at UT m og vi ved, at G = m 2 n 2, fås UT m 2. Ifølge induktionsantagelsen anvendt på G findes en undergruppe D G med D = m 2 og UT D. For urbillederne gælder U UT D, og D = D T = m 2 m 1 n 1 = mn 1 < G. Ifølge induktionsantagelsen anvendt på D findes der en undergruppe H i D med H = m og U H. Da H også er undergruppe i G er hele sætning (3A) bevist i tilfældet (I). (II): Vi antager nu, at enhver normal undergruppe T G, T {1} opfylder n T. Lad K være en minimal normal undergruppe i G. Ifølge (1D) er K en elementær abelsk p gruppe for et primtal p; lad os sige, at K = p a. Så gælder n p a, og da p a G = nm og (n, m) = 1, fås n = p a.. Endvidere må enhver minimal undergruppe af G have orden p a. En undergruppe af orden n = p a er jo i øvrigt en p Sylow gruppe i G, og da p Sylow gruppen K er normal i G, er ifølge Sylows sætning, K den eneste p Sylow gruppe i G, og dermed også den eneste minimale normale undergruppe i G! (På dette tidspunkt ville vi ved hjælp af Schur Zassenhaus sætning (se (3G)) kunne udlede eksistensen af et komplement til K i G, hvilket i dette 18

19 tilfælde har orden m(!), således at (1) er opfyldt, men vi fortsætter vores induktionsbevis). Hvis m = 1 er der intet at bevise. Vi antager m > 1, således at G = G/K {1}. Da G er opløselig, vil en minimal normal undergruppe L G være elementær abelsk af orden q b, hvor q er et primtal, b N. (Igen (1D).) Lad os bemærke, at q p, da q m, p m. Lad L være urbilledet af L i G, så L = L K = q b p a. Lad Q Syl q (L), så Q = q b. Ifølge (2A) fås L = QK, således at L = QK. Da L G, fås L G. Vi anvender Frattini argumentet (Sætning(1E)) på G, L, Q til at få, at G = LN G (Q). Da L = KQ = QK og Q N G (Q) fås G = KN G (Q) = KN, hvor vi har sat N = N G (Q). Lad R = K N. Da R K er R elementær abelsk, og da K G, er R N. Da Q N ses, at der gælder [Q, R] Q R = {1}. (Overvej). Vi får nu at R Z(L): Da R K er R s elementer ombyttelige med elementerne i K, og det ovenstående viser, at R s elementer er ombyttelige med Q s elementer. Da L = KQ fås påstanden. Da Z(L) charl G fås Z(L) G ifølge (1A) (3). Så må K Z(L) G. Da K er en minimal normal undergruppe i G fås enten (i) K Z(L) = K eller (ii) K Z(L) = {1}. Hvis (i) er opfyldt, så er K Z(L), og da L = KQ får vi, at L er et (indre) direkte produkt af K og Q, L = K Q. Specielt er Q L, så Q er den eneste q Sylow gruppe i L. Vi får QcharL G, så Q G, stridende mod, at vi er i tilfælde (II). Derfor gælder (ii), og vi får R K Z(L) = {1}, altså R = K N = {1}. Da G = KN fås så fra (2A) at G = K N således at N = m. Hermed er (i) vist. Lad nu M være en vilkårlig undergruppe af orden m i G. Vi viser, at M er konjugeret til N = N G (Q). Da M = m fås fra (2D), at G = ML. 19

20 Derfor er G : L = ML : L = M : M L ifølge (2A). Da G : L = m/q b fås M L = q b. Derfor er Q = M L Syl q (L). Da L G fås Q M, således at M N G ( Q). Men da Q og Q er konjugerede i L (ifølge Sylows sætning) og dermed konjugerede i G, fås også at deres normalisatorer N = N G (Q) og N G ( Q) er konjugerede i G. Specielt er m = N = N G ( Q). Da M N G ( Q) og M = m, fås M = N G ( Q), så (2) er vist. Lad nu U G være en undergruppe med U m. Lad M G have orden m. Sæt U = M (UK). Ifølge (2D) er G = M(UK), således at, ifølge (2A), (anvendt 2 gange) p a = G : M = UK : U = U K / U. Vi får U = U da p a = K. Dermed er U og U Hall undergrupper i UK, så ifølge (2) (som er bevist), er U og U konjugerede i UK, og dermed i G. Da U M, er U indeholdt i en til M konjugeret undergruppe (der altså også har orden m). Som det næste beviser vi, at det kun er for opløselige grupper, at udsagnene i (3A) kan være opfyldt. Beviset for dette vil være baseret på følgende sætning, som kan bevises som en anvendelse af repræsentationsteorien (behandlet i kurset Matematik 3 RE). (3B) Sætning: (Burnside) Lad G være en endelig gruppe af orden p a q b, hvor p og q er primtal. Så er G opløselig. Bevis: Udelades! Som en forberedelse viser vi en hjælpesætning. (3C) Lemma: Antag, at G = p a q b m, hvor p og q er forskellige primtal, a, b N og (p, m) = (q, m) = 1. Antag yderligere, at G indeholder 3 undergrupper H, A og B, som opfylder (1) H = p a q b ; (2) A G, G : A p a ; (3) B G, G : B q b. 20

21 Så er G ikke simpel. Bevis Ifølge (3B) er H opløselig. Vælg en minimal normal undergruppe N i H. N er elementær abelsk ifølge (1D), og vi kan antage, at N er en p gruppe (ved i givet fald at bytte om på p og q). Ifølge (3) indeholder B en p Sylow gruppe P for G. Ifølge Sylow s sætning er N konjugeret til en undergruppe af P. Ved i givet fald at erstatte H med en konjugeret undergruppe kan vi antage, at N P. Da ( G : H, G : B ) = 1 ifølge antagelserne, gælder G = BH (Sætning (2B)). Lad X = g G g 1 Bg. Det er klart at X G, og at X G. Vi viser, at X {1} ved at vise, at N X. Lad g G. Skriv g = bh, b B, h H. Så er g 1 Bg = h 1 b 1 Bbh 1 = h 1 Bh. Derfor gælder, at X = h H h 1 Bh. Lad h H. Da N P B, er h 1 Nh h 1 Bh. Men da N H, er h 1 Nh = N, så N h 1 Bh. Da dette gælder for alle h H fås N X, som ønsket. Vi kan nu vise (3D) Sætning: Antag, at den endelige gruppe G har et p-komplement for alle primtal p med p G. Så er G opløselig. Bemærkning: Et p komplement er en π Hall undergruppe, hvor π = {p} og kaldes også en p Hall undergruppe (ligesom en p Sylow gruppe er en p Hall undergruppe ). Derfor har (3D) den følgende konsekvens. (3E) Korollar: Antag, at gruppen G har en Hall undergruppe af orden m for enhver faktorisering G = mn, (m, n) = 1 af G s orden. Så er G opløselig. a Bevis for (3D): Induktion efter G. Vi skriver G = p 1 a2 a 1 p 2 p r r, hvor p i erne er forskellige primtal og a i N, 1 i r. Hvis r 2 er sætningen a3 a rigtig ifølge (3B). Antag, at r 3 og sæt m = p 3 p r r. Vi ønsker at anvende (3C) med p a a = p 1 1, q b a = p 2 2. Lad for 1 i r, K i være et p i Sylow komplement i G. Sæt A = K 1, B = K 2 og H = K 3 K 4 K r. Det a er klart, at A og B opfylder (2) og (3) i (3C), og ifølge (2E) er H = p 1 a 1 p 2 2, så også (1) er opfyldt. Ifølge (3C) er G ikke simpel. Lad D G, D {1}, D G. Ifølge (2G) opfylder både D og G/D betingelserne i (3D). Derfor er de opløselige ifølge induktionsantagelsen. Det følger at G er opløselig. Ifølge Hall s sætning indeholder en gruppe G kun π Hall undergrupper for alle valg af primtalsmængden π, når G er opløselig. En ikke opløselig gruppe kan under bestemte omstændigheder indeholde Hall undergrupper for specielle valg af π. Eksempler på dette er Burnside s sætning om eksistens af et normalt p komplement (som vises i Kapitel 6). I dette kapitel beviser 21

22 vi nu Schur Zassenhaus sætning, som siger, at hvis G har en normal π Hall undergruppe, så har denne et komplement (ikke nødvendigvis normalt) som altså er en π Hall undergruppe i G. Først vises sætningen under en stærkere forudsætning. Før vi starter skal det nævnes, at bevismetoden for (3F) og den senere sætning (3I) er kohomologisk og afbildningen t, der forekommer i beviserne, er en 2-kocykel. Man kan finde mere om kohomologiteori for grupper i adskillige bøger, for eksempel i denne bog: B. Huppert: Endliche Gruppen I. (3F) Sætning: (Schur) Lad M være en normal abelsk Hall undergruppe i G. Så eksisterer der et komplement N til M i G. Bevis: Vi antager, at M = m og at G : M = n, hvor (m, n) = 1. Lad Y være faktorgruppen G/M, Y = G/M, Y = n. Elementerne i Y er altså sideklasser til M i G. Vi vil (undtagelsesvis) betegne gruppen Y s elementer med græske bogstaver. For ethvert α Y vælger vi et element x α i den tilsvarende sideklasse til M: Vi har så, at α = x α M, x α G. G = x α M. α Y Lad nu α, β Y. Vi har x α α, x β β og derfor er x α α β x αβ M. Der eksisterer altså for ethvert valg af α, β Y et element t(α, β) M således, at (1) x α x β = x αβ t(α, β) Vi ønsker at justere sideklasserepræsentanterne x α til elementer y α α, der skal opfylde (2) α, β Y : y α y β = y αβ. Disse elementer vil så danne det ønskede komplement N = {y α α Y }. Vi må først undersøge elementerne t(α, β) nærmere. For α, β, γ Y er (x α x β )x γ = x α (x β x γ ). Ved hjælp af (1) fås: (x α x β )x γ = x αβ t(α, β)x γ = x αβ x γ (x 1 γ t(α, β)x γ ) = x (αβ)γ t(αβ, γ)t(α, β) xγ, 22

23 (hvor generelt i en gruppe y x := x 1 yx) og x α (x β x γ ) = x α x βγ t(β, γ) = x α(βγ) t(α, βγ)t(β, γ). Vi får (ved at forkorte x (αβ)γ = x α(βγ) ) (3) α, β, γ Y : t(α, βγ)t(β, γ) = t(αβ, γ)t(α, β) xγ. Lad os igen bemærke, at de fire faktorer, der indgår i ligningen (også t(α, β) xγ ), er elementer i den abelske (normale) undergruppe M. Lad os for β Y definere c β := α Y t(α, β). Rækkefølgen i produktet er underordnet, da M er abelsk. Vi multiplicerer for fastholdt β og γ ligningerne (3) med α løbende gennem hele Y. Da M er abelsk får vi (4) t(α, βγ) t(β, γ) = t(αβ, γ) t(α, β) xγ. α Y α Y α Y α Y Med α gennemløber også αβ hele Y. Vi får fra (4) (5) c βγ t(β, γ) n = c γ c xγ β. Vi har antaget, at M = m og G : M = Y = n er relativt prime, (m, n) = 1. Ifølge en velkendt talteoretisk sætning (Bézout s sætning) findes der hele tal k, l, således at km + ln = 1. Specielt er ln 1 (mod m). Så sættes d β := c l β M for β Y. Ved at opløfte ligningen (5) til ( l) te potens fås for alle β, γ Y (6) d βγ t(β, γ) 1 = d γ d xγ β, idet (t(β, γ) n ) l = t(β, γ) 1 fordi t(β, γ) M har en orden, der går op i m. Vi kan nu definere vores justerede sideklasserepræsentanter y α ved y α := x α d α. (Bemærk at y α α, da x α α og d α M). For α, β Y har vi y α y β = x α d α x β d β = x α x β (x 1 β d αx β )d β 23

24 = x α x β d β d x β α (idet M er abelsk) = x α x β t(α, β) 1 d αβ (ifølge (6)) = x αβ d αβ (ifølge (1)) = y αβ. Hermed er altså y α y β = y αβ for alle α, β Y, og dermed {y α α Y } det ønskede komplement til M. Vi viser nu, at betingelsen M abelsk ikke er nødvendig i (3F), og får Schur Zassenhaus sætningen. (Issai Schur , Hans Zassenhaus Schur beviste (3F) og Zassenhaus på basis deraf (3G)). Sætning (3G): (Schur Zassenhaus sætning) Lad M være en normal Hall undergruppe i G af orden m. Så eksisterer der et komplement N til M i G. Bevis: Induktion efter G + m. Antag G : M = n, (m, n) = 1. Bemærk, at når G = 1 eller m = 1, så er sætningen rigtig. Lad p m, p primtal og lad P Syl p (M). Da M er Hall undergruppe i G er også P Syl p (G).Frattini argumentet (1E) viser, at G = MN G (P ). Vi har ifølge (2A), at n = G : M = N G (P ) : N G (P ) M, således, at n N G (P ). Hvis N G (P) G, så er N G (P ) < G, og N G (P ) har en normal Hall undergruppe N G (P ) M. Ifølge induktionsantagelsen har N G (P ) en undergruppe af orden n, og det har G altså også. Denne undergruppe er et komplement til M i G. Hvis N G (P) = G, så er P G. Derfor er P en normal Hall undergruppe i G. Hvis nu P M, så har P ifølge induktionsantagelsen (bemærk G + P < G +m) et komplement K i G, K = G : P < G. Da P K = G og P M, er MK = G. Vi får igen fra (2A), at n = G : M = K : K M, således, at m K. Nu er M K en normal Hall undergruppe i K. Ifølge induktionsantagelsen har K, og dermed G, en undergruppe af orden n. Vi kan altså antage, at M = P er en p Sylow gruppe. Da en p gruppe er opløselig (GT3) er P P. Hvis P = {1}, er P abelsk, og vi er færdige 24

25 ifølge (3F). Vi kan altså antage P {1}. Nu er P charp G, så P G ifølge (1A). Betragt faktorgruppen G = G/P. Her er P/P en normal Hall undergruppe P = P/P. Derfor har P ifølge induktionsantagelsen (eller (3F)) et komplement X af orden Urbilledet X af X i G har orden X = G : P = G : P = n. X = X P = n P < G. Da P er en normal Hall undergruppe i X, er der ifølge induktionsantagelsen et komplement til P i X. Dette komplement har igen orden X : P = n. Hermed er beviset afsluttet. (3H) Korollar: Hvis P Syl p (G), så har P et komplement K i N G (P ), således at N G (P ) = P K. (N G (P ) er et semidirekte produkt af P og K. Se næste kapitel). Bevis: P er en normal Hall undergruppe i N G (P ). Anvend (3G). Bemærkning: I fortsættelse af (3G) kan man spørge, om to komplementer til M i G er konjugerede i G. Det er tilfældet, men vi vil ikke kunne bevise det her. Hvad man kan vise uden stort besvær er, at hvis M G er en Hall undergruppe, og hvis enten M eller G/M er opløselig, så er alle komplementer til M i G konjugerede i G. (Se f.eks. Sætning i D. Gorensteins bog Finite Groups). I 1963 beviste Feit og Thompson, at enhver gruppe af ulige orden er opløselig. Men hvis M G er en Hall undergruppe, så er ( G : M, M ) = 1, og så må enten G : M eller M være ulige. Dermed må, ifølge Feit Thompson, enten G/M eller M være opløselige. Feit Thompsons bevis fylder over 250 sider (Pacific Journal of Mathematics (1963)). Der findes en lærebog, som behandler en væsentlig del af beviset (H. Bender G. Glauberman: Local analysis for the odd order theorem). Den næste sætning ser ikke umiddelbart ud til at have noget at gøre med Sætning (3F), men beviserne ligner hinanden en del. Fællesstrækket er eksistensen af en normal abelsk undergruppe af G, og begge sætninger er indeholdt i en mere generel sætning af Gaschütz, se f.eks. Hauptsatz 17.4 i Huppert: Endliche Gruppen I, s (3I) Sætning: (Gaschütz) Lad M være en normal abelsk p-undergruppe i G. Lad P være en p-sylow gruppe i G. Følgende udsagn er ensbetydende 25

26 (i) M har et komplement i P (ii) M har et komplement i G. Bevis: (ii) (i): Hvis K er et komplement til M i G, så er K P et komplement til M i P. (Overvej dette!). (i) (ii): Vi antager nu, at L er et komplement til M i P. Der gælder P = LM = ML, således at L er en (venstre- og højre-)transversal til M i G. Vælg en højretransversal T 1 til P i G, således at G = P T 1 = M(LT 1 ). (Jfr. (2O)). Da M G er G = (LT 1 )M, således at T = LT 1, er en (venstre- )transversal til M i G. Som i beviset for (3F) sættes Y = G/M. For ethvert α Y findes præcis et element x α T, så α = x α M. Som i (3F) ses, at der for α, β Y findes t(α, β) M så og at der så gælder x α x β = x αβ t(α, β), (1) α, β, γ Y : t(α, βγ)t(β, γ) = t(αβ, γ)t(α, β) xγ. Ifølge definitionen af T gælder T = LT 1. Endvidere er P = P/M = LM/M L en p-sylow gruppe i Y. Hvis α P og β Y, så er x α L og x β T således at x α x β LT = T. Da fås således at Fra (1) og (2) fås at x α x β M = αβ = x αβ M og x α x β T x α x β = x αβ for alle α P, β Y, (2) α P, β Y : t(α, β) = 1. (3) α P, β, γ Y : t(β, γ) = t(αβ, γ).. Bemærk, at da T 1 er en højretransversal for P i G, så er T 1 en højretransversal for P i G = Y. Vi definerer for γ Y c γ = β T 1 t(β, γ). 26

27 Hvis nu T 1 er en anden højretransversal for P i Y, så har ethvert β T 1 formen αβ, hvor α P og β T 1, og derfor er ifølge (3) t(β, γ) = t(β, γ). Vi slutter heraf, at c γ = t(β, γ). β T 1 Specielt fås heraf, at for alle δ Y er c γ = β T 1 t(βδ, γ). fordi T 1 δ er en højretransversal for P i G. Vi multiplicerer ligningen (1) over alle α T 1, og får for alle β, γ Y at (4) c βγ t(β, γ) T 1 = c γ c xγ β. (husk at M er abelsk!). Da T 1 = T 1 = G : P, er ( T 1, P ) = 1. Vælg hele tal k, l så k P + l T 1 = 1, og sæt d γ = c l γ. Beviset er nu analogt til (3F): Opløft (4) til den ( l) te potens. Vi får fordi d βγ t(β, γ) = d γ d xγ β t(β, γ) T l = t(β, γ), da jo t(β, γ) P = 1. Hvis vi sætter y α = x α d α for α Y, så viser en beregning som i (3F), at α, β Y : y α y β = y αβ. Hermed er K = {y α y Y } et komplement til M i G. 27

28 4. Semidirekte produkter - teori og eksempler G version Semidirekte produkter er kort beskrevet i GT3, Chapter Vi går her meget mere detaljeret ind på dette emne. Lad G være en gruppe, og A en undergruppe af automorfigruppen Aut(G). Vi danner en ny gruppe kaldet G A, (det semidirekte produkt af G med A). Den underliggende mængde er G A. Kompositionen er defineret ved (g, ϕ)(g, ψ) = (gϕ(g ), ϕψ) for g, g G, ϕ, ψ A. Det er let at regne efter, at den associative lov er opfyldt. Det neutrale element er (1, 1), og det inverse element til (g, ϕ) er (ϕ 1 (g 1 ), ϕ 1 ) idet (g, ϕ)(ϕ 1 (g 1 ), ϕ 1 ) = (gϕ(ϕ 1 (g 1 )), ϕϕ 1 ) = (gg 1, ϕϕ 1 ) = (1, 1). Specielt kaldes G Aut(G) for holomorfet af G og betegnes Hol(G). Antag nu at G og H er grupper, og at der findes en homomorfi α : H Aut(G). Vi danner en ny gruppe kaldet G α H (det semidirekte produkt af G med H, relativ til α). Den underliggende mængde er G H, og kompositionen er defineret ved (g, h)(g, h ) = (gα(h)(g ), hh ). (Man kan her forestille sig at konjugation af g med h, altså hg h 1, i denne gruppe erstattes med α(h)(g ). For elementer i en vilkårlig gruppe gælder jo ghg h = g(hg h 1 )hh ). I G α H er igen (1, 1) det neutrale element, og det inverse element til (g, h) er (α(h 1 )(g 1 ), h 1 ), idet (g, h)(α(h 1 )(g 1 ), h 1 ) = (gα(h)(α(h 1 )(g 1 )), hh 1 ) = (g(α(h)α(h 1 ))(g 1 ), hh 1 ) = (gα(1)(g 1 ), hh 1 ) = (gg 1, hh 1 ) = (1, 1). Her blev det benyttet, at α er en homomorfi. Specielle tilfælde: (1) Hvis nu H Aut(G) og α er indlejringen af H i Aut(G), så falder de to ovenstående konstruktioner sammen. Derfor er den første et specielt tilfælde af den anden. 28

29 (2) Hvis α : H Aut(G) er defineret ved α(h) = 1 (identiteten), så er G α H = G H det sædvanlige direkte produkt. Når det er klart, hvad α er, vil vi ofte skrive G H i stedet for G α H. Man kan være interesseret i at realisere en given gruppe som et semidirekte produkt: På den ene side har vi følgende: Hvis X = G α H er et semidirekte produkt, så vil G = {(g, 1) g G}, H 0 = {(1, h) h H} være undergrupper af X. Afbildningerne g g = (g, 1), h h 0 = (1, h) er åbenbart isomorfier mellem G og G og mellem H og H 0. Det er klart at X = G H 0, og at G H 0 = {(1, 1)}. Endvidere er G X, hvilket let ses fra multiplikationsformlen og formlen for inverse elementer. Hvis g = (g, 1) G og h 0 = (1, h) H 0, så er h 0 g (h 0 ) 1 = (1, h)(g, 1)(1, h 1 ) = (α(h)(g), h)(1, h 1 ) = (α(h)(g), 1) = (α(h)(g)) På den anden side kan vi betragte følgende situation: Antag at Y er en gruppe med undergrupper G og H, som opfylder G Y, Y = GH. Så kan Y forbindes med et semidirekte produkt af G med H: For h H lader vi α(h) være indskrænkningen af den indre automorfi κ h af Y til G. Vi har altså α(h)(g) = hgh 1 for h H, g G. Så er α en homomorfi fra H til Aut(G), og vi kan altså danne X = G α H. Hvad har X og Y med hinanden at gøre? Svaret gives her: (4A) Sætning: Lad Y = GH og X = G α H være som ovenfor. defineres ved ρ(g, h) = gh en surjektiv gruppehomomorfi fra X til Y. Der gælder G H = {1} ρ er en isomorfi. 29 Så

30 Bevis: Lad g, g G, h, h H. Vi har ρ((g, h)(g, h )) = ρ(gα(h)(g ), hh ) (multiplikation i X) = ρ(g(hg h 1 ), hh ) (definition af α(h)) = g(hg h 1 )hh (definition af ρ) = ghg h (forkort h 1 h) = ρ(g, h)ρ(g, h ) (definition af ρ) Dermed er ρ en homomorfi, og da Y = GH er det klart, at ρ er surjektiv. Hvis G H = {1} ser vi, at ρ(g, h) = 1 gh = 1 g = h 1 G H = {1} g = h = 1, så ρ er injektiv i dette tilfælde. Hvis G H {1}, så er ρ(x, x 1 ) = 1 når x 1, x G H, så ρ er ikke injektiv. Den ovenstående sætning viser, at når G H = {1}, så giver Y en indre karakterisering af et semidirekte produkt. Et eksempel på en gruppe Y realiseret som semidirekte produkt, er Y = S n, G = A n, H = (1, 2) n 2. Et andet eksempel, som vi allerede har mødt, er resultatet i (3G). Hvis G har en normal Hall undergruppe M, så eksisterer der et komplement L til M i G. Dermed er G et semidirekte produkt af M med L. Lad os se på nogle flere eksempler af forskellig natur. (4B) Eksempel: Diedergrupperne. Hvis G = g er en cyklisk gruppe, så er afbildningen ι : g g 1 en automorfi af G. I denne situation er G ι en diedergruppe. Hvis G = n, betegnes G ι med D n. Vi har så åbenbart, at D n = 2n. Gruppen D n er frembragt af to elementer (g, 1) og (1, ι). Lad os bemærke, at (1, ι) = (g, ι) = 2 idet (g, ι) 2 = (gι(g), 1) = (gg 1, 1) = 1. Da D n frembringes af (g, ι) og (1, ι), ser vi, at en diedergruppe frembrages af 2 elementer af orden 2 (såkaldte involutioner ). På den anden side er en gruppe frembragt af 2 involutioner isomorf til en diedergruppe. Dette ses som følger. Antag at D = x, y, hvor x 2 = y 2 = 1, x y. Vi har så, at x 1 = x og y 1 = y. Sæt g = xy. Så er G := g cyklisk, 30

31 og D = g, y. Endvidere er ygy 1 = yxyy 1 = yx = y 1 x 1 = (xy) 1 = g 1. Så konjugation med y svarer til afbildningen ι ovenfor. Når n N, n 3, så kan D n realiseres som undergruppe af S n, idet vi betragter undergruppen D n = (1, 2,, n), τ = (1, n)(2, n 1) af S n. Hvis G = (1, 2,, n), H = τ, så er D n = GH og G D n, G H = {1}, idet jo τ(1, 2,, n)τ 1 = (n, n 1,, 2, 1) = (1, 2,, n) 1. Det er så klart at D n = D n. Vi har også at D 3 = S 3, idet de har samme orden. Lad os bemærke, at for n = 4 er D 4 = 8, således at D 4 er en 2 Sylow gruppe i S 4, (og i øvrigt også i S 5 ). Diedergruppernes definition kan umiddelbart udvides til tilfældet, hvor G er en abelsk gruppe. Afbildningen ι : g g 1 fra G G, er stadig en automorfi af G, så man kan danne en diabelsk gruppe G ι af orden 2 G. Vi vil i det følgende ikke skelne særskilt mellem den abstrakte gruppe D n og den konkrete permutationsgruppe D n (4C) Eksempel: Permutationsmatricer og monomiale grupper. Når R er en kommutativ ring med 1 element, n N, danner mængden af invertible n n matricer med koefficienter fra R en gruppe kaldet GL(n, R) (= {A Rn n det A invertibel i R}). Når π S n defineres en matrix P (π) Rn n ved P (π) = [a ij ] hvor a ij = δ iπ(j) (δ er Kronecker delta ). Det er klart, at P (π) har netop ét element 0 i hver søjle og i hver række. Induktiv anvendelse af søjleudviklingsreglen for determinanter viser, at det P (π) = ± 1, så P (π) GL(n, R). Hvis π, ρ S n gælder P (π)p (ρ) = P (πρ): Lad P (π)p (ρ) = [c ij ]; så er c ij = k δ iπ(k) δ kρ(j) 0 Der eksisterer et k så k = ρ(j) og π(k) = i πρ(j) = i, 31

32 dvs. c ij = δ iπρ(j). Det betyder, at P er en homomorfi fra S n til GL(n, R). Det er klart, at P er injektiv, så vi kan betragte S n som en undergruppe af GL(n, R). En matrix på formen P (π), π S n kaldes en (n n ) permutationsmatrix. Der gælder: det P (π) = sign(π), (π sfortegn) P (π) t = P (π 1 ) for alle π S n. Begge disse udsagn bevises ved at skrive π som et produkt af transpositioner (dvs. permutationer på formen (i, j)): Permutationsmatricen P ((i, j)) opnås fra enhedsmatricen E n ved at ombytte den i te og den j te søjle. Derfor er det P (τ) = 1, når τ er en transposition. Det er også klart, at P (τ) = P (τ) t, når τ er en transposition. Hvis π = τ 1 τ 2 τ k, hvor alle τ i er transpositioner, så er n det(p (π)) = det(p (τ i )) = ( 1) k = sign(π) og i=1 P (π) t = [P (τ 1 ) P (τ k )] t = P (τ k ) t P (τ i ) t = P (τ k ) P (τ 1 ) = P (τ k τ 1 ) = P (π 1 ). En permutationsmatrix består af nuller pånær netop ét ettal i hver række og i hver søjle. Man kan nu erstatte ettallerne i en permutationsmatrix P (π), π S n med n elementer fra en given gruppe G. Hvis g 1, g 2,..., g n G, π S n sættes P (g 1,..., g n ; π) = (δ iπ(j) g i ). Dette er selvfølgelig ikke længere et element i GL(n, R), men en matrix med elementer fra mængden G {0} (idet vi fastlægger, at δ ii g = g, δ ij g = 0 for i j). Hvis nu G er en gruppe og A en undergruppe af S n sættes Mon(G, A) = {P (g 1,, g n ; π) g i G π A}, en mængde af G monomiale matricer. Hvis vi yderligere fastlægger, at 0 + g = g + 0 = g for g G, vil G s komposition sammen med den sædvanlige matrixmultiplikation inducere en komposition på M on(g, A). Hvis vi multiplicerer matricerne P (g 1,, g n ; π) og P (h 1,, h n ; ρ) 32

33 under anvendelse af de ovennævnte regler, fås en matrix [c ij ], hvor c ij = k δ iπ(k) g i δ kρ(j) h k = δ iπρ(j) g i h ρ(j) = δ iπρ(j) g i h π 1 (i) således, at P (g 1,, g n ; π)p (h 1,, h n ; ρ) = P (g 1 h π 1 (1),, g n h π 1 (n); πρ). Med denne matrixmultiplikation bliver M on(g, A) en gruppe med P (1,, 1; (1)) som neutralt element, hvor P (g 1,, g n ; π) som inverst element har P (g 1 π(1),, g 1 π(n) ; π 1 ). Mon(G, A) kaldes en (G )monomial gruppe. Nu er Mon(G, A) et indre semidirekte produkt af den normale undergruppe G = {P (g 1,, g n ; (1)) g i G, i = 1, 2,, n}, (som er isomorf med } G {{ G } ) med undergruppen A = {P (1,, 1; π) n π A} (som er isomorf til A.) (4D) Eksempel: Lad os se på den monomiale gruppe M on(g, A) (som semidirekte produkt) udefra. Hvis A S n og G = } G {{ G } (= G n ), kan vi definere en homomorfi n α : A Aut(G ) ved α(π)(g 1,, g n ) = (g π 1 (1),, g π 1 (n)). Det kan virke mærkværdigt, at afbildningen β : A Aut(G ) givet ved β(π)(g 1,, g n ) = (g π(1),, g π(n) ) ikke er en homomorfi. Sammenhængen mellem α og β er at α(π) = β(π 1 ), så hvis en af afbildningerne er en homomorfi, så er den anden en antihomomorfi. At det er α, der er en homomorfi, ses som følger: Antag at π, ρ A. Lad α(ρ)(g 1,, g n ) = (h 1,, h n ) α(π)(h 1,, h n ) = (k 1,, k n ). 33

34 Ifølge definitionen er h i = g ρ 1 (i) og k i = h π 1 (i) for i = 1,, n. Vi får så at k i = h π 1 (i) = g ρ 1 (π 1 (i)) = g (πρ) 1 (i). Derfor er α(π) α(ρ)(g 1,, g n ) = (k 1,, k n ) = (g (πρ) 1 (1),, g (πρ) 1 (n)) = α(πρ)(g 1,, g n ), altså α(π) α(ρ) = α(πρ). Kun når A er abelsk, vil β være en homomorfi. Vi kan nu definere en isomorfi ϕ G α A ϕ = Mon(G, A) ved ϕ(g 1,, g n ; π) = P (g 1,, g n ; π). Multiplikationen i G A er jo (g 1,, g n ; π)(h 1,, h n ; ρ) = (g 1 h π 1 (1),, g n h π 1 (n); πρ). Det er jo nødvendigt men ikke så pænt, at man skal anvende π 1 på h i ernes indices. Dette kan undgås ved at bytte om på G og A, som vi gør i næste eksempel. (4E) Eksempel: (Kransprodukt, wreath produkt). Som i (4D) er A S n og G = G } {{ G }. Vi definerer en komposition på A G ved n (π; g 1,, g n )(ρ; h 1,, h n ) = (πρ; g ρ(1) h 1,, g ρ(n) h n ). Herved bliver A G en gruppe med ((1); 1,, 1) som neutralt element, og (π; g 1,, g n ) har (π 1 ; h 1,, h n ) som inverst element, hvor h i = g 1 π 1 (i). Denne gruppe kaldes for kransproduktet af G med A, og betegnes G A. Det viser sig, at G A også kan realiseres ved monomiale matricer, og at G A Mon(G, A). Hvis (π; g 1,, g n ) G A sættes P (π; g 1,, g n ) = (δ iπ(j) g j ). Den eneste forskel her fra P (g 1,, g n ; π) er, at g i er erstattet med g j. Hvis vi multiplicerer P (π; g 1,, g n ) med P (ρ; h 1,, h n ) fås P (πρ; g ρ(1) h 1,, g ρ(n) h n ) således at P matricerne danner en gruppe Mon (G, A), som er isomorf til G A. 34