Komplekse Tal. Frank Villa. 22. februar 2013

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Komplekse Tal. Frank Villa. 22. februar 2013"

Transkript

1 Komplekse Tal Frank Villa 22. februar 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk IT Teaching Tools. ISBN-13: Se yderligere betingelser for brug her.

2 Indhold 1 Introduktion Lidt pseudohistorie om talbegrebet Og nu: De komplekse tal Den hurtige (og upræcise) definition Hvad så med division? Geometrisk Tolkning Om aksiomer og konstruktioner Den præcise (langsomme) definition De komplekse tal Geometrisk tolkning Egenskaber ved de komplekse tal Fortegnsskift og differens Lidt snik snak om aksiomer Norm og konjugering Division Polarform af komplekse tal Polære koordinater i planen Hovedargumentet Komplekse tal på polarform Geometrisk tolkning af produkt og potensopløftning 36 5 Potensopløftning og rødder Enhedsrødderne Rødder af komplekse tal Algebraens fundamentalsætning

3 6 Intermezzo om Taylorrækker Eksponentialfunktionen og de trigonometriske funktioner Taylorrækker Funktioner på de komplekse tal Eulers Identitet De hyperbolske trigonometriske funktioner Er vi færdige nu? Men så alligevel ikke Meningsløse udvidelser Riemannflader Divisionsringe

4 Resumé I dette dokument introduceres de komplekse tal. Vi starter med at definere dem (på to forskellige måder). Derefter bevæger vi os frem imod at opdage Eulers identitet (på den samme måde som Euler formodentlig opdagede den). Vi når også lige at gå i selvsving med nogle meget avancerede emner til allersidst. Dette er selvfølgelig mest medtaget som underholdning. 1 Introduktion De komplekse tal er en udvidelse af talbegrebet fra de reelle tal. Det vil sige at de komplekse tal består af de reelle tal som vi allerede kender samt en hel masse nye tal. Som man kan høre på navnet (nogle af de komplekse tal kaldes endda for imaginære 1 ) har folk haft meget svært ved at vænne sig til disse tal. Det skyldes måske at de fleste målbare størrelser kan angives med et reelt tal. Der findes f.eks. ikke pinde hvis længde er et imaginært tal, og man kan ikke sætte et imaginært pengebeløb ind på sin bankkonto. Ikke desto mindre findes der fysiske størrelser som på en meget naturlig måde kan angives med komplekse tal. Hele kvantemekanikken er f.eks. født til at handle om komplekse tal, og den kan slet ikke formuleres uden dem. Vi laver to forskellige definitioner af de komplekse tal: En hurtig (og upræcis) og en langsom (men præcis). Du kan faktisk vælge frit mellem disse to definitioner. Resten af dokumentet kan forstås uanset hvad du vælger. Men den bedste forståelse får du nok af at læse dem begge. 1 Hvis man har læst Steen og Stoffer skal man være opmærksom på at deres definition af imaginære tal (se her) ikke er helt den samme som vi skal lave her. side 1

5 Forudsætninger Du skal være gode venner med de reelle tal inden du læser dette dokument. Desuden vil vi bruge de todimensionelle vektorer i definitionen af komplekse tal, så dem bør du også kende til. For at opdage Eulers identitet vil vi arbejde med Taylorrækker. Du behøver ikke at kende til Taylorrækker i forvejen, men du skal være rimeligt god til differentiation for at forstå det. Hvis du har travlt og kun skal lære at regne med de komplekse tal, så kan du nøjes med at læse kapitel 2 og derefter kapitel 39. Derefter kan du enten læse kapitel 5 hvis du vil se hvad al snakken om polære koordinater skal bruges til, eller du kan bladre om til kapitel 6 og 7 hvis du vil se en ufatteligt smuk sætning om de komplekse tal. 1.1 Lidt pseudohistorie om talbegrebet Hvis man tænker lidt tegneserieagtigt 2 over hvordan talbegrebet har udviklet sig, så har alle opfindelser af nye tal været motiveret af en naturligt forekommende ligning uden løsninger: Opfindelsen af de hele tal I starten brugte man tallene til at tælle med. Eftersom de ting man talte dengang var heste, geder og den slags, havde man kun brug for naturlige tal. Men en eller anden dag har en gedehyrde måske stået helt uden geder og haft brug for at betale en ged til sin nabo. De er så blevet enige om at den første bonde skulle skylde den anden en ged. Dermed var den første hyrdes beholdning af geder nu sådan at hvis han nogensinde fik en ged mere, så ville han have nul geder i alt. Med andre ord kunne hans beholdning af geder beskrives med et tal, x, 2 Jeg er ikke historiker, men jeg er helt sikker på at den rigtige historiske udvikling er meget mere kompliceret end der gives indtryk af her. side 2

6 som opfyldte ligningen: x + 1 = 0 Denne ligning havde dog ingen løsninger i de naturlige tal, så derfor opfandt man nogle nye tal, nemlig de negative. Den nye talmængde som bestod af de gamle, naturlige tal, og de nye, negative tal kaldte man for de hele tal, Z. Opfindelsen af de rationelle tal Senere stod en gammel hyrde måske med en enkelt ged og skulle dele den mellem to sønner. De skulle altså hver have et antal geder, x, hvor: 2 x = 1 Men denne ligning havde ingen løsninger i de hele tal, så man måtte tilføje nogle flere tal: brøkerne. Den nye talmængde kaldte man for de rationelle tal, Q. Opfindelsen af de reelle tal Mange år senere stod en fyr ved navn Pythagoras med en retvinklet trekant, hvor de to kateter havde en længde på præcis 1. (Se figur 1.) Han spurgte nu hvor lang hypotenusen var, og det viste sig at den havde en længde, x, som måtte opfylde ligningen: x 2 = = 2 Det er lidt sværere at indse end i de tidligere eksempler 3, men det viser det sig at intet rationelt tal nogensinde vil kunne opfylde denne ligning. Man kan finde rationelle tal y hvor y 2 er lige så tæt på 2 som man har lyst til. Men man kan aldrig ramme 2 præcist. Det føles næsten som om der er et hul i tallinjen lige præcis der hvor kvadratroden 3 Du kan finde et bevis for at kvadratroden af 2 er irrationel her side 3

7 Figur 1: En retvinklet trekant, hvor begge kateter har længde 1. 1 x 1 af 2 burde være. Altså måtte man på den igen og opfinde nogle nye tal for at fylde hullerne på tallinjen, sådan at alle længder kunne måles. Den nye talmængde kaldte man for de reelle tal, R. Denne udvidelse at langt mere kompliceret end de foregående (og også mere kompliceret end den vi skal lave af de komplekse tal lige om lidt). Hvis du har mod på det, kan du læse (lidt) mere om hvad de reelle tal i virkeligheden er her. 1.2 Og nu: De komplekse tal Der er stadig ligninger som mangler løsninger. F.eks. har ligningen: x = 0 ikke nogen løsninger i de reelle tal. Der findes nemlig ikke noget reelt tal som giver 1 når det opløftes i anden potens. Det har ikke ret meget med geder at gøre, men det er da alligevel forståeligt at nogen har drømt om et sådant tal. Og drømmen bliver meget mere naturlig hvis man beskæftiger sig med avancerede fysiske fænomener, såsom bølgefænomener og (i meget høj grad) kvantemekanik. Så dukker der nemlig en masse størrelser op, hvor side 4

8 der er meget naturligt at de skal kunne have værdier der opfylder ligningen oven over. Faktisk ville kvantemekanik aldrig nogensinde kunne formuleres uden at tale om komplekse tal. Det er præcis denne drøm som lige straks går i opfyldelse: Jeg kan allerede afsløre nu at et af de komplekse tal hedder 4 i, og det opfylder at i 2 = 1 Desværre er det ikke godt nok bare at proppe sådan et tal ind i vores talmængde. Man er nødt til at definere hvordan dette tal opfører sig når man f.eks. lægger det sammen eller ganger det med et af de andre tal. (Dette problem har vi lige så stille glemt at fortælle om i forbindelse med de tidligere udvidelser, men det har faktisk været aktuelt hver gang. F.eks. kan man ikke bare opfinde de negative tal uden også at definere hvordan man lægger dem sammen og ganger dem, både med hinanden og med de tal vi havde i forvejen.) Derfor bliver der brug for mange flere nye tal. Og samtidigt vil vi gerne sørge for at de regneregler som vi kender fra de reelle tal stadig gælder, så man kan ikke bare lave definitionerne helt uden at tænke sig om. 2 Den hurtige (og upræcise) definition. Læs dette afsnit hvis du er ligeglad med om tingene bliver gjort ordenligt, men gerne vil hurtigt i gang med at regne med de komplekse tal. 4 Der er altid nogen som, når de læser dette, synes at det er mystisk at et tal bare kan hedde noget uden at man fortæller hvad dette tal er. Men tænk lige over det reelle tal som hedder 2; Har du nogensinde set hvad dette tal er lig med? Eller har du bare fået et vide at det er en smule større end 1,41, og så giver det i øvrigt 2 når man ganger det med sig selv? Det komplekse tal i er kun en anelse mere underligt end dette. Den eneste forskel er at vi ikke kan sige hvor stort det er ved at sige at det ligger mellem to rationelle (eller reelle) tal. Fordi som du vil se, så ligger det et helt andet sted. side 5

9 Der er i virkeligheden kun tre ting som man behøver at vide for at begynde at bruge de komplekse tal: De reelle tal (som vi allerede kender) ligger inde i de komplekse tal. Altså: R C Ethvert reelt tal er således også et komplekst tal. Et af de komplekse tal hedder i, og det opfører sig sådan at i 2 = 1 Alle de regneregler for plus, minus, gange og division som du kender fra de reelle tal gælder også i de komplekse tal. Prøv at lade disse tre ting være det eneste du ved om komplekse tal, og begynd at lege med dem. Det eneste sjove man kan finde på er selvfølgelig at bruge det nye tal, i sammen med de tal vi kender i forvejen. I første omgang må i + 8 og ( 3 ) i 4 give nogle andre komplekse tal. Eksempel 1. Hvordan kan vi være sikre på at i + 8 ikke giver et reelt tal? Jo, hvis det gjorde (lad os sige at det gav et reelt tal som vi kunne kalde for x), så ville i være lig med x 8. Men hvis x var et reelt tal, så ville x 8 jo også være et reelt tal, og i er ihvertfald ikke reelt (reelle tal bliver aldrig negative når de opløftes i anden potens). Af samme grund giver i + 8 side 6

10 ikke det samme komplekse tal som Fordi hvis det gjorde, så var: i + 8 = ( 3 ) i 4 ( 3 ) i 4 Men det kunne i så fald omskrives til: ( ) i = 8 4 dvs. i = Og så ville i igen være et reelt tal Faktisk, hver gang man finder på to reelle tal, a og b, så må a + i b nødvendigvis være et nyt komplekst tal. Men det viser sig ret hurtigt at der ikke behøver være andre komplekse tal end dem man kan lave på den måde. Eksempel 2. Lad os tage en ret vild udregning: (1 + i) (2 i 3) Er det så også et helt nyt tal? Nej, det viser sig at hvis vi omskriver det ved at bruge de regneregler som vi er vant til (såsom at man må side 7

11 gange ind i parenteser), så kan det skrives som: (1 + i) (2 i 3) = (1 + i) 2 (1 + i) (i 3) = i 2 (1 (i 3) + i (i 3)) = 2 + i 2 i 3 (i i) 3 = 2 + i (2 3) 3 i 2 = 2 + i ( 1) 3 ( 1) = 5 + i ( 1) = 5 i Altså bare noget som kan skrives på formen a + i b (I dette tilfælde svarer det til at a = 5 og b = 1). Øvelse 3. Omskriv følgende komplekse tal, så de er på formen a + i b Husk at avancerede regneregler, såsom de tre kvadratsætninger stadig gælder. (2 3i) 2 (1 + i) 2 (2 + i) (2 i) 2.1 Hvad så med division? Hvad så med division, siger du? Jo, der skal vi lige være en hel del mere smarte: side 8

12 Eksempel 4. Umiddelbart ser udregningen 6 + i 2 3i ud til at give være et komplekst tal som ikke lige kan omskrives til formen a + i b uden at begynde at opfinde forkerte brøkregneregler. Men hvis vi lige får en fremragende ide, så kan vi prøve at forlænge brøken ved at gange både tæller og nævner med det komplekse tal 2 + 3i Dermed kan vi omskrive: 6 + i 2 3i (6 + i) (2 + 3i) = (2 3i) (2 + 3i) i + 2i + (3i) ( 3i) = 4 + 6i 6i + (i) (3i) i + 3 ( 1) = 4 + ( 9) ( 1) = i 13 = i Tricket i dette eksempel var at forlænge brøken, så nævneren blev til et reelt tal, som vi derefter kunne dividere op i hvert af tællerens led. Vi skal senere se at dette trick er helt generelt når vi indfører begrebet konjugering. side 9

13 Øvelse 5. Udregn divisionen 2 3i 7 + 2i (Hjælp: Forlæng brøken med 7 2i). 2.2 Geometrisk Tolkning Det sidste du har brug for at vide om komplekse tal er en måde at se dem på, svarende til vores måde at se de reelle tal som punkter på en tallinje. Det viser sig at de komplekse tal skal ses som punkter i det todimensionelle koordinatsystem: De reelle tal ligger på x-aksen (lige som de plejer at ligge på en tallinje), mens alle de nye tal ligger i resten af koordinatsystemet. Helt præcist ligger tallet i i punktet (0; 1) - altså oppe på y-aksen. Og ethvert andet komplekst tal af typen z = a + i b skal man tænke på som om det ligger i punktet (a; b) Figur 2: Den komplekse plan side 10

14 2.3 Om aksiomer og konstruktioner Så er du i gang med at regne med komplekse tal! Denne måde at gøre tingene på svarer sikkert til den måde du i sin tid lærte at regne med reelle tal på: Man får nogle regneregler smidt i hovedet med forklaringen sådan er det bare, og så går man ellers i gang med at bruge dem. Dette kaldes en aksiomatisk tilgang, fordi man opstiller nogle grundregler (såkaldte aksiomer ) som ikke bevises, og så arbejder man bare løs under antagelse af at disse regler gælder. Den aksiomatiske tilgang er smart, fordi man lynhurtigt kan opfinde nye ting og komme i gang med at undersøge hvordan de opfører sig. Den er dog også farlig af flere grunde: De fleste aksiomsystemer er uinteressante For det første vil langt de fleste aksiomer man finder på beskrive ting som overhovedet ikke er interessante. F.eks. er der mange som drømmer om at have et ekstra reelt tal ved navn til de reelle tal, sådan at man f.eks. kan skrive at: 1 0 = Dette lyder umiddelbart dejligt, men det viser sig meget hurtigt at hvis man også skal definere hvad f.eks. 0 giver, så kan man bevise at det både skal give 0 og 1 på samme tid. Det betyder at 0 og 1 er nødt til at være ens, og (hvis man tænker lidt mere over det) at alle tal faktisk er nødt til at være ens. Aksiomsystemer kan være inkonsistente Et andet (endnu større) problem som man ofte støder på, hvis man selv opfinder sine aksiomer, er at de kan gå hen at modsige hinanden. Hvis man kan tage udgangspunkt i nogle aksiomer og derfra logisk side 11

15 bevise noget som man samtidigt (eventuelt med udgangspunkt i nogle af de andre aksiomer) kan bevise er forkert, så siger man at man har fundet en modstrid i aksiomsystemet. Dette er det værste som kan ske for et aksiomsystem, fordi det (logisk set) betyder at enhver påstand både er rigtig og forkert. Og så er der ikke meget matematik tilbage i det aksiomsystem. Aksiomsystemer bør kunne modelleres Det sidste problem er meget underligt. Hvem siger at de komplekse tal overhovedet findes? Når man tænker over det: Hvem siger så at de reelle tal overhovedet findes? Der er jo aldrig nogen som ligefrem har set tallet π gå rundt ude i haven. Selvom der i princippet ikke er noget som helst matematik der er virkeligt 5, så kan matematikere alligevel godt synes at nogle begreber er mere virkelige end andre. De fleste er f.eks. enige om at de naturlige tal eksisterer på en meget virkelig måde. Derfor: Hvis man kan bygge noget udelukkende ved at bruge de naturlige tal på en smart måde, så bliver det mere virkeligt end hvis man bare forestiller sig at det findes. Når man bygger et objekt som opfylder nogle bestemte aksiomer, så siger man at man konstruerer en model for aksiomsystemet. Det er en sådan konstruktion vi vil kaste os ud i nu. Vi starter dog ikke med de naturlige tal (selvom dette faktisk er muligt), men med de reelle tal. Så jeg håber at du tror på at de reelle tal eksisterer. 5 I den forstand at al matematik handler om abstrakte begreber som kun findes inde i vores hoveder side 12

16 3 Den præcise (langsomme) definition 3.1 De komplekse tal Vi vil nu definere de komplekse tal. Det kan godt virke lidt mystisk især fordi du sikkert aldrig har set en rigtig definition af nogen af de andre talmængder. Hvis du bliver forvirret, så kan du godt springe dette afsnit over. Det er nemlig den geometriske tolkning sammen med de algebraiske egenskaber ved de komplekse tal som er vigtige at huske, og egentlig ikke definitionen. Hvis du alligevel vælger at hænge på, skal du lige forberede dig lidt. Vi har nemlig ikke tænkt os at lave de komplekse tal ved at proppe nye tal ind i de reelle tal, sådan som man måske ville gætte på var det mest naturlige. I stedet viser det sig at være nemmere at starte med en helt anden mængde, som allerede har en fornuftig måde at lægge elementerne sammen på. I denne mængde opfinder vi så en måde at gange elementer sammen på, og til sidst opdager vi at nogle af elementerne derinde opfører sig præcis lige som de reelle tal, hvorfor vi lige så godt kan sige at det er vores gode gamle reelle tal. Den mængde som vi starter med er mængden af todimensionelle vektorer. Et komplekst tal er med andre ord præcis det samme som en todimensionel vektor. Det nye ligger i at vi definerer en anden struktur 6 på mængden, nemlig en måde at gange elementerne med hinanden på 7. 6 Ordet struktur er meget dybt i matematik og temmelig syret. Jeg vil ikke forsøge at forklare hvad det dækker over, men blot reklamere for at hvis du kan lide abstrakt tænkning, så kan du få rigtig meget ud af at tænke over hvordan ordet bruges lige her. 7 Den vakse læser vil måske påpege at mængden af todimensionelle vektorer allerede har et produkt, nemlig prikproduktet. Dette er dog ikke særlig brugbart, fordi prikproduktet af to vektorer ikke giver en ny vektor, men derimod et reelt tal. side 13

17 Definition 6. De komplekse tal, C er pr. definition bare mængden af todimensionelle vektorer: {( ) } x C = x R og y R y Udstyret med den sædvanlige addition ( plus ). Desuden udstyres den med et produkt ( gange ) defineret ved: ( x1 y 1 ) ( x2 y 2 ) = ( x1 x 2 y 1 y 2 x 1 y 2 + x 2 y 1 Det er faktisk ikke nødvendigt at huske denne definition, for det bliver snart lige straks meget nemmere at gange komplekse tal med hinanden. Hvis man alligevel har lyst til at huske den, så kan man bruge følgende huskeregel: Huskeregel Hvis du kan huske at vi allerede har to regneoperationer som man kan udføre med todimensionelle vektorer, nemlig prikproduktet og determinanten, så vil du opdage at det næsten er disse to operationer som er brugt til at lave henholdsvist førstekoordinaten og andenkoordinaten af produktet. Dog med en fortegnsfejl i dem begge: Prikproduktet kommer jo normalt med et plus, og determinanten med et minus. Her er det lige omvendt. Bliv ikke frustreret hvis definitionen virker totalt tilfældig ved første øjekast. Det vil snart vise sig at den er meget omhyggeligt valgt, sådan at vores nye talmængde får en hel masse behagelige egenskaber. Eksempel 7. Vi kan udregne produktet: ) side 14

18 ( 2 3 ) ( 4 1 ) = ( 2 ( 4) 3 ( 1) 2 ( 1) + ( 4) 3 ) = ( 5 14 ) Øvelse 8. Prøv at regne lidt med de specielle komplekse tal af typen: ( x 0 hvor x er et reelt tal. Prøv at gange to af dem med hinanden. Prøv at lægge to af dem sammen og gange to af dem med hinanden. Prøv især at lege med det helt specielle tal: ( 0 0 Kan du mærke at det føles præcis lige som at regne med gammeldags reelle tal? Der står bare et nul for neden hele tiden. Når du har lavet den foregående opgave, så giver den følgende definition god mening: Definition 9. Tallene af typen: ( x 0 kaldes de reelle tal og skrives som regel bare som: ( x 0 ) ) ) ) = x side 15

19 Det specielle element: ( 0 0 kaldes bare for nul. ) = 0 Den definition skal man lige vende et par gange i hovedet: Når vi arbejder med de komplekse tal og skriver det reelle tal så mener vi altså rent faktisk vektoren: ( ) Øvelse 10. Prøv nu at bruge de andre komplekse tal lidt også. Læg mærke til hvad der sker når et af de reelle tal ganges med et komplekst tal. Læg især mærke til hvad der sker når det reelle tal: 1 = ( 1 0 ganges med et andet komplekst tal. Prøv til sidst også at gange det komplekse tal: ( 0 1 med sig selv og se hvad det giver. Igen: Når du har lavet den foregående opgave, så giver følgende definition god mening. ) ) side 16

20 Definition 11. Det specielle element: ( 0 1 kaldes for den imaginære enhed, og skrives som regel bare som ( 0 1 ) ) = i 3.2 Geometrisk tolkning Hvis man husker at vektorer også kan betragtes som punkter i koordinatsystemet, kan vi altså tænke på de komplekse tal som punkter. Når man gør det, taler man om den komplekse plan (se figur 3). Figur 3: Den komplekse plan De tal som vi kalder de reelle tal består af punkterne på x- aksen. Derfor omtales x-aksen også som den reelle akse. Det specielle tal i ligger i punktet (0; 1). Man kalder derfor også y-aksen for den imaginære akse, og de andre komplekse tal som ligger på denne akse kaldes de imaginære tal. side 17

21 Det er en rigtig god ide at have et billede af den komplekse plan i hovedet mens man regner med komplekse tal. Kunsten er at få en god geometrisk fornemmelse af hvad der sker når to komplekse tal f.eks. lægges sammen eller ganges med hinanden. I første omgang er det vigtigt at indse følgende geometriske tolkninger. Skalering med reelle tal: Når det reelle tal 7 altså i virkeligheden vektoren på et komplekst tal så giver det: ( 7 0 ) ( x y ) = ( x y ) ( 7x 0y 7y + 0x ) = ( 7x 7y ( 7 0 ) ) ganges Det er præcis det samme som vi plejer at kalde skaleringen af vektoren. Når et reelt tal ganges på et komplekst tal, så svarer det altså til at skalere den vektor som er det komplekse tal. Hvis man tænker på det komplekse tal som et punkt, betyder det at punktet flytter sig væk fra nul (hvis det reelle tal er større end 1) eller tættere på nul (hvis det reelle tal er mindre end 1, men stadig positivt) langs en ret linje. Hvis det reelle tal er negativt svarer det til at punktet først bliver spejlet i origo og derefter rykket tættere på eller væk fra nul. (Se figur 4.) Den vigtigste konsekvens af dette er følgende: Sætning 12. Ethvert imaginært tal (altså dem på y-aksen) kan skrives som et reelt tal ganget med den imaginære enhed, i. side 18

22 Figur 4: Skalering med reelle tal i den komplekse plan Addition af komplekse tal: Når to komplekse tal lægges sammen, så svarer det til at man lægger punkternes førstekoordinater sammen og punkternes andenkoordinater sammen. Specielt kan ethvert komplekst tal fremkomme på præcis en måde ved at man lægger et reelt tal (et punkt med nul som andenkoordinat) sammen med et imaginært tal (et punkt med nul som førstekoordinat (se figur 5). Den vigtigste konsekvens af dette er følgende (og nu begynder det at se bekendt ud, ikke?) Sætning 13. Ethvert komplekst tal, z kan skrives på formen: hvor a og b er reelle tal. z = a + i b side 19

23 Figur 5: Ethvert komplekst tal kan fremkomme som summen af et reelt tal og et imaginært tal. 3.3 Egenskaber ved de komplekse tal Dette afsnit opsummerer nogle meget simple egenskaber ved de komplekse tal. Det fantastiske er, at hvis man lærer disse egenskaber (de fleste er så naturlige at det ville være svært ikke at lære dem, så kan man tillade sig helt at glemme hvordan de komplekse tal er defineret. Først opsummerer vi hvordan nogle specielle elementer i de komplekse tal virker: Sætning 14 (Struktur og specielle elementer). De komplekse tal er en mængde med to regneoperationer: Addition (plus) og multiplikation (gange). De reelle tal er en delmængde af de komplekse: R C side 20

24 Det reelle tal, 0, opfylder at: for alle komplekse tal, z. Det reelle tal, 1, opfylder at for alle komplekse tal, z. 0 + z = z 1 z = z De komplekse tal indeholder desuden et element, i, som opfylder at i i = 1 Dernæst opsummerer vi hvad vi opdagede i foregående afsnit: Sætning 15 (Notation). Ethvert komplekst tal, z, kan på præcis en måde skrives på formen: z = a + i b hvor a og b er to reelle tal. I den geometriske tolkning er a og b simpelt hen koordinaterne til det punkt som z svarer til. Tallet a kaldes for realdelen af z, og tallet b kaldes for imaginærdelen af z. Man skriver dette som: Re(z) = a og Im(z) = b Derudover gælder følgende regneregler. Du kan selv bevise dem allesammen hvis du har læst afsnit 3.1. Du skal bare skrive de omtalte komplekse tal som vektorerer (idet du navngiver deres koordinater) og udregne begge sider af lighedstegnet. For at indse at det giver det side 21

25 samme skal du i de fleste tilfælde benytte dig af at reelle tal opfylder den tilsvarende regneregel. Sætning 16 (Regneregler). For alle komplekse tal, z, w og u gælder: z + w = w + z (den kommutative lov for plus) (z + w) + u = z + (w + u) (den associative lov for plus) z w = w z (den kommutative lov for gange) (z w) u = z (w u) (den associative lov for gange) z (w + u) = z w + z u (den distributive lov) Med disse regneregler følger en masse andre regler som vi allerede kender fra de reelle tal. F.eks. er de tre kvadratsætninger bare en konsekvens af den distributive lov og de kommutative love, så dem kan vi tillade os at bruge i de komplekse tal også. Eksempel 17. Hvis man husker regnereglerne ovenover, og samtidigt husker at i 2 = 1 bliver det hurtigt meget nemt at regne med komplekse tal. Lad os f.eks. se på de tre komplekse tal: z = 3 + 2i og w = i u = 3 9i side 22

26 og udregne: z w + u = (3 + 2i) ( i) + ( 3 9i) = 3 ( 4) + 3 (12i) + 2i ( 4) + 2i (12i) + ( 3 9i) = i 8i i = i Så du hvor de 24 kom fra i tredie linje? 3.4 Fortegnsskift og differens Man skifter fortegn på et komplekst tal ved at skifte fortegn på begge koordinaterne. Fuldstændig lige som vi plejer at gøre med vektorer. Det svarer til at gange med det reelle tal 1, hvilket igen (i den geometriske tolkning) svarer til at spejle punktet i origo. Fortegnsskift har følgende fundamentale egenskab: Sætning 18 (Additiv invers). Til ethvert komplekst tal z, findes der et komplekst tal som vi skriver som z. Det har den egenskab at: z + ( z) = 0 I praksis kan z beregnes ved at gange z med 1. Denne egenskab sikrer at vi kan definere en omvendt regneoperation til addition, nemlig differens af komplekse tal: Definition 19 (Differens). Hvis z og w er to komplekse tal, så defineres differensen, z w som: z w = z + ( w) Igen betyder disse egenskaber at alle de regler som vi kender om fortegnsskift fra de reelle tal kan tages med ud i de komplekse. F.eks. side 23

27 er reglen om at hæve en minus parentes blot et specialtilfælde af den distributive lov, idet vi ganger 1 ind i parentesen. 3.5 Lidt snik snak om aksiomer Dette afsnit kan uden problemer springes over hvis du har travlt. Men måske har du undret dig over hvorfor sætning 14 ikke nævnte den vigtige egenskab at når man ganger et komplekst tal med nul, så giver det altid nul. Det er fordi denne egenskab faktisk er en direkte konsekvens af de andre, sammen med den distributive lov og sætning 18. Se selv: Sætning 20. For alle komplekse tal, z, er: 0 z = 0 Bevis. Den egenskab ved nul som er nævnt i sætning 14 betyder specielt at: 0 = Det betyder at hvis z er et andet komplekst tal, så er: 0 z = (0 + 0) z Men den distributive lov siger at dette kan omskrives videre: 0 z = (0 + 0) z = 0 z + 0 z Hvis man nu bruger at 0 z (hvad end det nu måtte være) kan trækkes fra på begge sider, giver det at: 0 = 0 z side 24

28 Læg mærke til at dette bevis overhovedet ikke benytter sig af hvordan de komplekse tal er lavet, men kun de egenskaber som vi har nævnt indtil nu. Derfor har man ikke lyst til at kalde denne egenskab ved nul for fundamental på samme måde som de andre. En samling af fundamentale egenskaber, hvorfra alle andre egenskaber kan bevises kaldes et aksiomsystem. Vi er faktisk meget tæt på at have et aksiomsystem for de komplekse tal. Vi mangler kun en enkelt fundamental egenskab, nemlig at man kan dividere med komplekse tal. Dertil har vi brug for nogle hjælpedefinitioner: 3.6 Norm og konjugering Nu skal vi indføre to nye regneoperationer. Den første er bare et nyt navn til noget vi kender i forvejen: Definition 21 (Norm). Hvis z = a + i b er et komplekst tal, så defineres normen af z (kaldes nogle gange også for længden af z eller med et rigtig fint ord: modulus af z) ved: z = a 2 + b 2 Hvis z opfattes som et punkt i den komplekse plan, så er z simpelt hen afstanden fra dette punkt til nul. Den anden definition er til gengæld ny. Men heldigvis er den meget nem at vænne sig til: Definition 22 (Konjugering). Hvis z = a + i b er et komplekst tal, så defineres den konjugerede af z ved: z = a i b side 25

29 I det geometriske billede af de komplekse tal svarer konjugering til at vi spejler punktet i den reelle akse. Eksempel 23. Hvis f.eks. z = i, så er: z = i = 2 4 i Bemærk at hvis vi konjugerer z, så får vi z tilbage. Altså: z = 2 4 i = i Man siger at 2 + 4i og 2 4i er hinandens konjugerede. Eksempel 24. Når matematiklærere skal være rigtigt sjove, så bruger de det store græske bogstav Ξ ( ksi ) til at betegne et komplekst tal. Så ser det nemlig rigtig godt ud når man skal skrive den konjugerede af dette tal på en tavle. Man kan endda skrive et meningsfyldt (og korrekt) udsagn udelukkende ved hjælp af vandrette streger: Ξ = Ξ Norm og konjugering hænger meget pænt sammen. Det viser følgende sætning: Sætning 25. Hvis z er et komplekst tal, så er: z z = z 2 Sagt i ord: Hvis man ganger et komplekst tal med dets konjugerede, så får man det samme som normen af det komplekse tal i anden potens. side 26

30 Bevis. Vi regner simpelt hen de to ting ud. Hvis z = a + i b så er: og: z z = (a + ib) (a ib) = a 2 (ib) 2 = a 2 + b 2 z 2 = ( a2 + b 2 ) 2 = a 2 + b Division Ved hjælp af det foregående afsnit kan vi opdage en sidste egenskab ved de komplekse tal som er meget, meget vigtig Nemlig at vi kan dividere med dem. Først opdager vi at alle komplekse tal undtagen nul har en reciprokværdi. Sætning 26 (Reciprokværdi). Til ethvert komplekst tal, z, undtagen nul, findes der et andet komplekst tal som vi vil betegne med z 1 med den egenskab at: I praksis kan z 1 beregnes som: z z 1 = 1 z 1 = 1 z 2 z (Bemærk at brøken består af reelle tal, og at nævneren er forskellig fra nul hvis bare z er forskellig fra nul.) side 27

31 Bevis. Denne sætning er ganske nem at bevise. Man skal bare tjekke at det tal der foreslås virker som reciprokværdi. z ( ) 1 z z = 1 (z z) 2 z 2 = 1 z 2 z 2 = 1 Øvelse 27. I beviset ovenover brugte vi både den kommutative lov og den associative lov for multiplikation (se sætning 16) samt sætning 25. Kan du se hvorhenne? Eksempel 28. Lad os udregne den reciprokke værdi af: Først udregner vi normen: z = i z = = 5 Og lad os også udregne den konjugerede for sig selv: z = 3 4 i Dermed er den reciprokke nem at udregne: z 1 = (3 4 i) = i side 28

32 Vi kan tjekke at den opfører sig som den skal: ( 3 z 1 z = 25 4 ) 25 i (3 + 4i) = i i i2 = ( 1) = = 1 Ligesom sætning 18 gjorde det muligt at definere en minus operation, kan vi nu definere en omvendt regneoperation til multiplikation, nemlig division: Definition 29. Hvis z og w er to komplekse tal, hvor w 0, så defineres z divideret med w som: z w = z w 1 Bemærkning Hvis vi indsætter udtrykket for hvordan den reciprokke værdi af w udregnes i denne definition, så får vi: z w = z 1 z w w 1 = z w = w 2 w 2 = z w w w Dermed kan vi tænke på definitionen som at vi bare forlænger med w i tæller og nævner. Det er meget rart når man skal dividere to komplekse tal i praksis: Eksempel 30. Begtragt de to komplekse tal: z = 4 + 3i side 29

33 og w = 2 + 6i Vi kan nu dividere z med w ved at udregne: z w = z w w w (4 + 3i) ( 2 6i) = ( 2 + 6i) ( 2 6i) i 6i = i 12i 10 30i = 40 = i Øvelse 31. Udfør divisionen: 6 3i 2 + 9i 4 Polarform af komplekse tal Nu skal vi indføre en ny måde at beskrive placeringen af et punkt i planen og dermed en ny måde at beskrive et komplekst tal på. 4.1 Polære koordinater i planen Som regel, når man skal angive et punkt i det todimensionelle koordinatsystem, så angiver man punktets x-koordinat og dets y-koordinat. Disse to koordinater kaldes nogle gange for punktets kartesiske koordinater (opkaldt efter Descartes som jo opfandt koordinatsystemet). Men der er andre måder at angive placeringen af et punkt på. Det er sådan en vi skal se på nu: side 30

34 Definition 32. Hvis P (0; 0) er et punkt i det todimensionelle koordinatsystem, så definerer vi P s polære koordinater til at være følgende to tal: Afstanden fra P til origo. Denne afstand benævnes ofte med bogstavet r og kaldes enten P s polarradius, radius, radialkoordinat, norm, eller når det skal være rigtig fint: modulus. Vinklen mellem x-aksen og linjestykket fra origo til P. Målt fra x-aksen til linjestykket. (Se figur 6). Denne vinkel benævnes ofte med bogstavet θ og kaldes enten P s polarvinkel, vinkelkoordinat eller når det skal være rigtig fint: argument eller ligefrem azimut (sidstnævnte bruges især i astronomi). Argumenter (polarvinkler) angives som regel i radianer. Kun i meget sjælde tilfælde (såsom allerførste gang man regner med polære koordinater) vil man angive den i grader. Figur 6: Et punkt i planen med markering af både kartesiske og polære koordinater side 31

35 Bemærkninger Læg mærke til at origo (altså punktet (0 : 0)) ikke har nogen polære koordinater. Man kan godt tale om en polarradius (nemlig nul), men det ville være problematisk at vælge et fornuftigt argument, fordi der ikke er nogen vinkel at tale om. Ovenstående definition er et ekstremt tilfælde af kært barn har mange navne. Vær forberedt på at møde alle de forskellige navne. I dette dokument vil vi primært bruge norm og argument fordi disse navne har tradition for at blive brugt når punkterne er komplekse tal. Lad mig lige skrive det sidste i en gul kasse, så jeg selv kan huske det: Vi vil i dette dokument bruge betegnelserne norm og argument for et punkts polære koordinater. Det er vigtigt at vide hvordan man omskriver mellem kartesiske ( almindelige ) koordinater og polære koordinater. Her er to øvelser hvor du kan træne denne manøvre: Øvelse 33. Find både norm og argument til punktet: P = (5; 7) Prøv at tegne punktet ind i et koordinatsystem, og indse at dette i virkeligheden er en opgave om en retvinklet trekant, hvor du kender de to kateter. Øvelse 34. Find koordinaterne til det punkt, P som har norm 7 og argument 36. (Eller mere korrekt angivet: Argument π ) (Igen: Lav problemet 5 om til at handle om en retvinklet trekant). side 32

36 Hvis du har regnet de foregående øvelser, så har du sikkert indset hvorfor følgende sætning er korrekt: Sætning 35 (Omskrivninger). Hvis et punkt (som ikke er origo) har cartesiske koordinater (x; y), så er de polære koordinater givet ved: og θ = r = cos ( ) 1 x r cos 1 ( x r x 2 + y 2, hvis y 0 ), hvis y < 0 Omvendt (og vigtigere): Hvis et punkt har polære koordinater r og θ, så er de cartesiske koordinater givet ved: x = r cos(θ) og y = r sin(θ) 4.2 Hovedargumentet Som du måske har tænkt allerede, så har de polære koordinater et lille problem som de cartesiske koordinater ikke har: To forskellige sæt polære koordinater kan godt angive det samme punkt. Helt præcist ligger problemet i at man altid kan lægge 2π (vi regner i radianer fra nu af!) til argumentet 8, og så angiver det stadig på det samme punkt. F.eks. kan det komplekse tal 1 + i både siges at have argumentet θ = π 4, θ = 6π + π 4 = 25π 4 eller for den sags skyld: θ = π 4 2π = 7π 4. 8 Hvis du kigger rigtig grundigt efter, så er dette grunden til at jeg har været utroligt forsigtig med aldrig at skrive argumentet (i bestemt form) før nu! side 33

37 For at undgå forvirring har man vedtaget at kalde en af de mulige vinkler for hovedargumentet: Definition 36. Hvis P er et punkt (som ikke er origo), så defineres hovedargumentet for P som den vinkel mellem x-aksen og linjestykket fra origo til P som ligger i intervallet ] π; π]. (Bemærk at π er med i intervallet, men π er ikke!). Her er en øvelse for at sikre at du har fanget det: Øvelse 37. Hvad er hovedargumentet af følgende punkter? (7; 0) (0; 1) ( 22; 0) (0; 4) Bemærk at omskrivningsreglen i sætning 35 er designet præcis sådan at den beregner hovedargumentet. 4.3 Komplekse tal på polarform Hvis vi benytter os at af et komplekst tal i virkeligheden bare er et punkt i koordinatsystemet, så kan vi fyre de polære koordinater af på dem. Det viser sig at være enormt nyttigt når vi skal forstå den geometriske betydning af multiplikation og potensopløftning. Definition 38. Hvis z = a + i b er et komplekst tal, så defineres normen af z som: z = a 2 + b 2 side 34

38 og hvis z 0 kaldes ethvert argument til punktet (a; b) et argument for z. Specielt defineres hovedargumentet af z som: Arg(z) = cos ( ) 1 x r cos 1 ( x r, hvis y 0 ), hvis y < 0 Disse to tal kaldes tilsammen de polære koordinater for z. Bemærk at vi allerede har defineret normen i definition 21. Bemærk også at de polære koordinater for z simpelt hen bare er de polære koordinater for punktet (a; b). Så der er intet nyt i denne definition. Figur 7: Et komplekst tal og dets polære koordinater. Når vi alligevel gentager definitionen så omhyggeligt, så er det fordi følgende sætning bringer os på sporet af noget fantastisk: side 35

39 Sætning 39 (Polarform af et komplekst tal). Hvis z er et komplekst tal og vi lader r og θ være dets polære koordinater, dvs: r = z og så kan z skrives som: θ = Arg(z) z = (r cos(θ)) + i (r sin(θ)) eller ved at sætte r uden for parentes: z = r (cos(θ) + i sin(θ)) Bevis. Dette er en direkte konsekvens af omskrivningsreglen i sætning 35. Det komplekse tal z er jo lig med a + i b hvor a og b er de cartesiske koordinater til punktet som z svarer til. Sætning 35 viser os hvordan vi skal finde disse ud fra de polære koordinater. 4.4 Geometrisk tolkning af produkt og potensopløftning Sjovt nok skulle vi hele denne omvej for at forstå hvordan produktet af to komplekse tal (se definition 6) ser ud i den geometrisk tolkning af de komplekse tal. Endnu sjovere er det måske at der er en dansker som har fået sit navn ind i matematikkens verdenshistorie for at være den der opdagede det. Danskeren hed Caspar Wessel, og han var egentlig hverken matematiker (han var landmåler ) eller dansker (strengt taget var han nordmand). Men han opdagede omkring år 1799 det som nogen i dag omtaler som Wessels sætning 9 : 9 Sandheden er at ingen i resten af verden hørte om Caspar Wessels opdagelse, side 36

40 Sætning 40 (Wessels sætning). Hvis z 0 og w 0 er to komplekse tal, så er z w lig med det komplekse tal der har normen: og argumentet enten: z w = z w eller: Arg(z w) = Arg(z) + Arg(w) Arg(z w) = Arg(z) + Arg(w) ± 2π Alt efter hvilken af disse muligheder der ligger i intervallet ] π; π]. Eller sagt på sloganform Man ganger to komplekse tal ved at gange deres normer og lægge deres argumenter sammen (og eventuelt justere argumentet sådan at det ligger mellem π og π.) Eksempel 41. Betragt de to komplekse tal: z = 3 + 4i og w = 8 15i fordi den kun blev udgivet i nogle danske tidsskrifter. Og nogle år senere var der andre (mere berømte) matematikere som genopdagede sætningen, og derfor er det stort set kun danske og norske matematikere med historisk interesse som kalder den for Wessels sætning. side 37

41 Lad os udregne deres polære koordinater: og og z = = 5 ( ) 3 Arg(z) = cos 1 0,927 5 w = ( 8) 2 + ( 15) 2 = 17 og ( ) 8 Arg(w) = cos 1 2, (Bemærk fortegnet i beregningen af Arg(w), som skyldes at w s imaginærdel er negativ). Hermed er det en smal sag at beregne normen og argumentet af produktet: r = z w = z w = 5 17 = 85 og θ = Arg(z w) = Arg(z) + Arg(w) 1,133 (Eftersom summen af de to argumenter ligger mellem π og π skal det ikke justeres med ±2π.) Nu har vi de polære koordinater for z w. Ved hjælp af sætning 39 kan vi derfor udregne: z w = r cos(θ) + i t sin(θ) = 36 77i Udregningen i ovenstående eksempel kunne naturligvis laves direkte: z w = (3 + 4i) ( 8 15i) = 24 45i 32i 60i 2 = 36 77i side 38

42 Så vi har altså bare opfundet en vildt besværlig måde at lave noget nemt på! Hvorfor i alverden er det smart? Jo, den besværlige måde er ganske vist upraktisk, men den har den enorme fordel at det er nemt at se hvordan man gør det baglæns. Det bliver dermed vores vigtigste værktøj i næste afsnit. 5 Potensopløftning og rødder Sætning 40 giver os en meget nem måde at opløfte et komplekst tal i potenser på: Sætning 42. Hvis n er et naturligt tal, og z er et komplekst tal med norm r og argument θ så er potensopløftningen z n = z z z z (n gange) simpelt hen det komplekse tal med norm: r n og argument: Sagt på en anden måde: Hvis n θ så er z = r (cos(θ) + i sin(θ)) z n = r n (cos(n θ) + i sin(n θ)) (Bemærk: Hvis man vil have hovedargumentet, kan det være nødvendigt at justere med et helt antal gange 2π.) Bevis. Dette er bare en anvendelse af sætning 40 flere gange. Hver gang man ganger med z skal man gange normen med z og lægside 39

43 ge Arg(z) til argumentet (og eventuelt justere med 2π hvis det er hovedargumentet man vil have). Eksempel 43. Lad os opløfte det komplekse tal z = 1 + i i 500 ene potens. Hvis du skulle gøre dette ud fra definitionen, så var du nødt til at opskrive: z 500 = (1 + i) 500 = (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) (500gange) og så ellers begynde at gange parenteser ud. Med sætning 42 er det ufatteligt meget nemmere. Vi finder de polære koordinater for z: z = = 2 og ( ) 1 Arg(z) = cos 1 2 = π 4 Nu giver sætning 42 og at z 500 har normen: og argument: r = z] 500 = = θ = 500 Arg(z) = 500π 4 = 125π side 40

44 Bemærk at dette er alt for stort til at være hovedargumentet. Vi kunne sagtens justere det med 2π indtil det lå mellem π og π, men det er ikke nødvendigt. Vi kan alligevel udregne: z 500 = r (cos(θ) + i sin(θ)) = ( 1 + i 0) = Så det blev sørme et (meget stort, negativt) reelt tal! Og endnu bedre: Denne sætning giver en næsten gratis opskrift på hvordan man kan finde rødder af et komplekst tal: Sætning 44. Hvis n er et naturligt tal (n 2) og z er et komplekst tal med norm r og argument θ, så kan man konstruere en n te rod af z (altså et tal, w som opfylder at w n = z) ved at lave et komplekst tal med norm og argument Det vil sige det komplekse tal: w = n r ( cos n r θ n ( ) θ + i sin n ( )) θ n Bevis. Hvis w bliver opløftet i n te potens, så opløftes normen i n te potens (dermed bliver den til r), og argumentet bliver ganget med n (dermed bliver det til θ). Derfor giver det z. Men som du allerede ved fra de reelle tal, så kan der sagtens være mere end et tal som giver et bestemt resultat når det f.eks. opløftes i anden potens. I de reelle tal er det noget frygteligt rod at holde styr på hvor mange rødder et bestemt tal har af forskellig orden. (F.eks. side 41

45 har 4 to kvadratrødder, 0 har en kvadratrod, og 4 har slet ingen kvadratrødder. Men de har alle tre præcis en kubikrod!) Lige straks vil du ikke bare se at det hele er meget nemmere i de komplekse tal. Du vil også se hvorfor der er så meget rod når man kun kender de reelle tal! Hvis vi skal holde styr på alle rødderne til et komplekst tal, så skal vi bruge nogle hjælpestørrelser med et sjovt navn: 5.1 Enhedsrødderne Enhedsrødderne lyder som en bande af småkriminelle unge socialister. Men det er altså et matematisk begreb: Definition 45. For hvert naturligt tal, n (n 1) definerer vi mængden af n te enhedsrødder som mængden: µ n = {ζ C ζ n = 1} Altså: de komplekse tal der giver 1 når de opløftes i n te potens. En anden grund til at enhedsrødderne er søde er at man plejer at bruge det græske bogstav ζ ( zeta ) til at symbolisere dem. Og man bliver glad af at skrive ζ er. Prøv selv! Takket være sætning 40 kan vi finde en rigtig pæn beskrivelse af de n te enhedsrødder: Sætning 46. Hvis n er et naturligt tal (n 1), så er de n te enhedsrødder givet ved de komplekse tal: hvor k {1, 2,... n}. ( ) ( ) k 2π k 2π ζ k = cos + i sin n n side 42

46 Bevis. Eksempel 47. Lad os kigge på det (meget vigtige, fordi 5 er et primtal!) eksempel hvor n = 5. Med andre ord: Lad os finde µ 5, altså mængden af femte enhedsrødder. Sætning 46 giver os at de er givet ved: ( ) ( ) 1 2π 1 2π ζ 1 = cos + i sin 0,309 + i 0, ( ) ( ) 2 2π 2 2π ζ 2 = cos + i sin 0,809 + i 0, ( ) ( ) 3 2π 3 2π ζ 3 = cos + i sin 0,809 i 0, ( ) ( ) 4 2π 4 2π ζ 4 = cos + i sin 0,309 i 0, ( ) ( ) 5 2π 5 2π ζ 5 = cos + i sin = Rødder af komplekse tal Sætning 48. Hvis z C, z 0 og n N, så har z præcis n n terødder. Sagt med andre ord: Der findes præcis n forskellige komplekse tal, w 1, w 2,... w n sådan at (w k ) n = z Endvidere: Hvis w 1 er et sådant tal (f.eks. lavet efter opskriften i sætning 44), så kan de andre laves ved at gange w 1 med hver af de n te enhedsrødder i µ n. side 43

47 Bevis. Vi beviser påstanden i to dele: Først beviser vi at hvis w 1 er lavet efter opskriften i sætning 44, så er alle de tal man laver ved at gange w 1 med en n te enhedsrod også rødder til z. Dermed har vi vist at der er mindst n rødder til z. Bagefter viser vi at enhver n te rod til z vil være lig med w 1 ganget med en n te enhedsrod, hvilket beviser at der ikke er mere end n rødder. Del 1 Antag at w 1 er lavet efter opskriften i sætning 44, sådan at: (w 1 ) n = z og lad ζ µ n være en n te enhedsrod. Så er (w 1 ζ) n = (w 1 ) n ζ n = z 1 = z Det viser at w 1 ζ) også er en n te rod til z. Bemærk at eftersom ζ = 1 altid er en af enhedsrødderne, så vil vi kun lave n 1 nye rødder på denne måde. Vi har altså vist at der er mindst n n te rødder til z og at de kan laves på den måde som sætningen påstår. Del 2 Antag nu at w er en helt tilfældig n te rod til z, altså at w n = n og at w 1 stadig er lavet efter opskriften i sætning??. Vi ser nu på udregningen: ( ) w n w n = = z z = 1 Det betyder at brøken er en n te enhedsrod! w 1 w n 1 ζ = w w 1 side 44

48 5.3 Algebraens fundamentalsætning Lad os slutte dette afsnit med en fantastisk sætning. Som navnet antyder, så er denne sætning helt oppe i toppen hvad angår vigtighed, sammen med analysens fundamentalsætning og aritmetikkens fundamentalsætning. Ikke fordi de er de sværeste sætninger at bevise (overhovedet), men fordi de udtrykker en sandhed der er så dyb og... ja, fundamental at den binder et kæmpe område af viden sammen. Her kommer den: Sætning 49 (Algebraens Fundamentalsætning). Hvis P er et polynomium givet ved: P (z) = a n z n + a n 1 z n a 1 a + a 0 hvor n er et natuligt tal (n 1), og a 0, a 1,... a n er komplekse tal, hvor a n 0, så findes der n (ikke nødvendigvis forskellige!) komplekse tal, z 1, z 2,..., z n som opfylder at: og dermed også at: P (z) = (z z 1 ) (z z 2 ) (z z n ) P (z 1 ) = 0, P (z 2 ) = 0,..., P (z n ) = 0 Sætningen formuleres ofte på sloganform som: I de komplekse tal har et n tegradspolynomium n (ikke nødvendigvis forskellige) rødder. Selvom parentesen med ikke nødvendigvis forskellige ser lidt kikset ud (det gør det alligevel lidt besværligt), så er dette stadig ufatteligt meget mere elegant end i de reelle tal! Ikke noget ævl om diskriminanter og ligninger som ikke har nogen løsninger! Et andenside 45

49 gradspolynomium har 2 rødder (som dog godt kan være ens). Basta. Er det ikke dejligt? 6 Intermezzo om Taylorrækker Dette er et lynkursus i Taylorrækker. Alle detaljer er gemt til en anden lejlighed. Vi starter med at definere de såkaldte Taylorpolynomier: Definition 50. Hvis n er et naturligt tal, større end 1, f er en funktion som er differentiabel n gange, og x 0 er et punkt i definitionsmængden, så defineres det approksimerende n tegradspolynomium til f omkring x 0 som funktionen p n givet ved: p n (x) = f(x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) + 1 2! f (x 0 ) (x x 0 ) ! f (x 0 ) (x x 0 ) n! f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n Eller skrevet ved hjælp af summationstegnet: p n (x) = n k=0 f (k) (x 0 ) k! (x x 0 ) k side 46

50 6.1 Eksponentialfunktionen og de trigonometriske funktioner Hvis en funktion er nem at differentiere mange gange, så er det ret let at udregne dens taylorpolynomier. Lad os starte med den nemmeste (og på en måde den vigtigste) af dem alle: Eksempel 51. Betragt funktionen f givet ved: f(x) = e x Eftersom f forbliver uændret når man differentierer den, er det nemt at opskrive dens taylorpolynomier omkring punktet Vi har nemlig at: x 0 = 0 f (k) (x 0 ) = e x 0 = e 0 = 1 for alle værdier af k. Derfor bliver Taylorpolynomiet af orden n til: p n (x) = x x ! x n! xn For at vise hvor fint Taylorpolynomierne tilnærmer den funktion vi startede med, har jeg nedenfor tegnet grafen for den naturlige eksponentialfunktion (med rødt) og grafen for det approksimerende 7.gradspolynomium (med blåt). I det viste grafudsnit er det meget svært at se forskel på de to grafer. Men selvfølgelig er det ikke den samme funktion. Hvis du prøver at tegne et større udsnit vil du opdage at tilnærmelsen kun virker når man er nogenlunde tæt på udgangspunktet (i dette tilfælde x 0 = 0). Går man f.eks. imod minus uendelig, så vil eksponentialfunktionen nærme sig nul, mens polynomiet vil drøne nedad imod. side 47

51 Figur 8: Grafer for den naturlige eksponentialfunktion og for dens approksimerende 7.gradspolynomium omkring x 0 = Det er heller ikke så svært at differentiere de trigonometriske funktioner, cosinus og sinus mange gange. Man skal bare lige huske at få fortegnet rigtigt. Eksempel 52. Betragt funktionen f, givet ved: f(x) = cos(x) 6.2 Taylorrækker 7 Funktioner på de komplekse tal Udover at taylorrækkerne giver en måde at approksimere komplicerede funktioner med polynomier, så åbner de en helt ny mulighed: Eftersom en taylorrække kun indeholder regneoperationerne plus, minus, gange, division og potensopløftninger i naturlige potenser, så er der ikke noget i vejen for at vi kan indsætte komplekse tal i dem. Med andre ord: Vi kan pludselig give mening til hvordan funktioner som cosinus, sinus og eksponentialfunktionen kan taget på komplekse tal! side 48

52 Definition 53. For ethvert komplekst tal, z, definerer vi: e z = k=0 1 k! zk sin(z) = ( 1) k 1 k=0 (2k + 1)! z2k+1 cos(z) = ( 1) k 1 k=0 (2k)! z2k Når z er et reelt tal, stemmer denne definition overens med den sædvanlige betydning af de tre funktioner. 7.1 Eulers Identitet Vi skal nu prøve at genopleve hvad Leonhard Euler formodentlig sad på sit arbejdsværelse og opdagede for cirka 300 år siden. Hvis man kigger godt på potensrækken for eksponentialfunktionen: e x = 1 + x x ! x ! x ! x ! x og sammenligner med rækkerne for cosinus og sinus: cos(x) = x ! x4 1 6! x sin(x) = x 1 3! x ! x5... så begynder man at fornemme en sammenhæng. Leddene fra de to nederste rækker udgør tilsammen leddene i den første, bortset fra fortegnene. side 49

Komplekse Tal. Frank Villa. 15. februar 2013

Komplekse Tal. Frank Villa. 15. februar 2013 Komplekse Tal Frank Villa 15. februar 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Komplekse Tal. Frank Nasser. 15. april 2011

Komplekse Tal. Frank Nasser. 15. april 2011 Komplekse Tal Frank Nasser 15. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en

Læs mere

Komplekse Tal. Frank Villa. 20. februar 2013

Komplekse Tal. Frank Villa. 20. februar 2013 Komplekse Tal Frank Villa 20. februar 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner. Komplekse tal Mike Auerbach Odense 2012 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 29. december 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Komplekse tal. Mike Auerbach. Tornbjerg Gymnasium, Odense 2015

Komplekse tal. Mike Auerbach. Tornbjerg Gymnasium, Odense 2015 Komplekse tal Mike Auerbach Tornbjerg Gymnasium, Odense 2015 Indhold 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner 2 1.1 Radianer................................................ 2 1.2 Cosinus og sinus som

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Differentiation af Trigonometriske Funktioner

Differentiation af Trigonometriske Funktioner Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

User s guide til cosinus og sinusrelationen

User s guide til cosinus og sinusrelationen User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 23. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 16. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011 Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 25. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Differentiation i praksis

Differentiation i praksis Differentiation i praksis Frank Villa 7. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5 SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Henrik S. Hansen, version 1.5 Indhold Tallenes udvikling... 2 De naturlige tal... 2 De hele tal... 2 De rationale tal... 3 De reelle tal... 3 De komplekse tal... 4 Indledning...

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011 Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Flere ligninger med flere ukendte

Flere ligninger med flere ukendte Flere ligninger med flere ukendte Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Tal og Regneoperationer

Tal og Regneoperationer Tal og Regneoperationer Frank Villa 3. juli 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Ordbog over Symboler

Ordbog over Symboler Ordbog over Symboler Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Stamfunktionsproblemet

Stamfunktionsproblemet Stamfunktionsproblemet Frank Villa 19. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Brug og Misbrug af logiske tegn

Brug og Misbrug af logiske tegn Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 37, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm 2009 bearbejdet af Jessica Carter 2010 1 Hvad er et komplekst tal? Hvordan regner man med komplekse tal? Man kan betragte udvidelsen

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Tal og Regneoperationer

Tal og Regneoperationer Tal og Regneoperationer Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Integration. Frank Villa. 8. oktober 2012

Integration. Frank Villa. 8. oktober 2012 Integration Frank Villa 8. oktober 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011 Pythagoras Sætning Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................

Læs mere

Vektorfunktioner. Frank Villa. 23. april 2013

Vektorfunktioner. Frank Villa. 23. april 2013 Vektorfunktioner Frank Villa 23. april 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

Grænseværdier og Kontinuitet

Grænseværdier og Kontinuitet Grænseværdier og Kontinuitet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Funktioner. Frank Villa. 23. januar 2014

Funktioner. Frank Villa. 23. januar 2014 Funktioner Frank Villa 23. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 2

Læs mere

Noter om komplekse tal

Noter om komplekse tal Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Todimensionale Vektorer

Todimensionale Vektorer Todimensionale Vektorer Frank Villa 6. december 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Afstand fra et punkt til en linje

Afstand fra et punkt til en linje Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste at mestre for at kunne begå sig i (samt

Læs mere

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner. Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder 3 Algebra Faglige mål Kapitlet Algebra tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Variable og brøker: kende enkle algebraiske udtryk med brøker og kunne behandle disse ved at finde fællesnævner. Den distributive

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Analytisk plangeometri 1

Analytisk plangeometri 1 1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Sætninger og Beviser

Sætninger og Beviser Sætninger og Beviser Frank Villa 12. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Funktioner. Frank Nasser. 12. april 2011

Funktioner. Frank Nasser. 12. april 2011 Funktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret

Læs mere

Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig

Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig Analyse : Eulers formel Sebastian rsted 9. maj 015 Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig for øje, hvor de matematiske resultater kommer fra, og hvad de baseres på;

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal, og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

De Komplekse Tal. Johan Martens og Jens-Jakob Kratmann Nissen 27/8-2011. God made the natural numbers; all else is the work of man.

De Komplekse Tal. Johan Martens og Jens-Jakob Kratmann Nissen 27/8-2011. God made the natural numbers; all else is the work of man. De Komplekse Tal Johan Martens og Jens-Jakob Kratmann Nissen 27/8-2011 1 Tal God made the natural numbers; all else is the work of man. Kronecker Det er ikke meningen, at vi skal dykke ned i teologien

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Kræfter og Arbejde. Frank Nasser. 21. april 2011

Kræfter og Arbejde. Frank Nasser. 21. april 2011 Kræfter og Arbejde Frank Nasser 21. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere