Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507)

Transkript

1 Skriftlig Eksmen Algoritmer og Dtstrukturer (DM507) Institut for Mtemtik og Dtlogi Synsk Universitet, Oense Torsg en 26. juni 2008, kl. 9 3 Alle sævnlige hjælpemiler (lærebøger, notter, osv.) smt brug f lommeregner er tillt. Eksmenssættet består f 6 opgver på 8 nummereree sier ( 8). Ful besvrelse er besvrelse f lle 6 opgver. De enkelte opgvers vægt ve beømmelsen er ngivet i proent. Der må gerne refereres til lgoritmer og resultter fr lærebogen inklusive øvelsesopgverne. Henvisninger til nre bøger epteres ikke som besvrelse f et spørgsmål. Bemærk, t hvis er er et spørgsmål, mn ikke kn besvre, må mn gerne besvre e efterfølgene spørgsmål og blot ntge, t mn hr en løsning til e foregåene spørgsmål. Husk t begrune ine svr!

2 Opgve (5%) Spørgsmål (5%): Ufør rix sort me rix 0 på tllene 747, 765, 544, 754, 43, 23, 222 Vis resulttet efter hver itertion. Spørgsmål b (0%): Angiv best-se og worst-se køreti smt køretien for sorteret input for Insertion Sort, Merge Sort og Quiksort. Best-se Worst-se Sorteret input Insertion Sort Merge Sort Quiksort Husk t begrune ine svr. Opgve 2 (0%) Spørgsmål (0%): Angiv en symptotiske rækkefølge f følgene funktioner. n, 2 n, (log 0 n) 2, n, log 2 n

3 Opgve 3 (25%) Denne opgve hnler om ttypen isjunkte mænger. Eksempel: Betrgt sekvensen f Union-instruktioner i figur (). I figur (b) vises en resulterene tstruktur, hvis mn bruger lister til t repræsentere e isjunkte mænger. Tllene u for e enkelte links ngiver, hvilke Union-instruktioner er forårsgee em. Tilsvrene viser figur () resulttet, hvis mn bruger træer til t repræsentere e isjunkte mænger.. Union(b, ) 2. Union(, ) 3. Union(, b) b 3 2 b 3 2 () (b) () Figur : Et lille eksempel Spørgsmål (6%): I ette spørgsmål ntger vi, t e isjunkte mænger repræsenteres f hægtee lister, og t er bruges vægtet union. Hvis Union(x, y) resulterer i, t to lister me smme vægt hægtes smmen, hægtes listen, som ineholer x, efter listen, som ineholer y (ligesom i eksemplet ovenfor). Tegn en liste, som er resulttet f Union-instruktionerne i figur 2. Angiv for hvert link, hvilken Union-instruktion er forårsgee et, ligesom i eksemplet. Spørgsmål b (6%): I ette spørgsmål ntger vi, t e isjunkte mænger repræsenteres f hægtee træer, og t er bruges union by rnk (som efineret i lærebogen s. 508) men ikke pth ompression. Husk, t hvis Union(x, y) resulterer i, t to træer me smme rng hægtes smmen, bliver roen i træet, som ineholer x, brn f roen i træet, som ineholer y (ligesom i eksemplet ovenfor). 2

4 . Union(b, ) 2. Union(b, ) 3. Union(e, ) 4. Union(e, ) 5. Union(g, f) 6. Union(e, g) Figur 2: Union-instruktionerne brugt i spørgsmål, b og Tegn et træ, som er resulttet f Union-instruktionerne i figur 2. Angiv for hvert link, hvilken Union-instruktion er forårsgee et, ligesom i eksemplet. Spørgsmål (6%): I ette spørgsmål ntger vi, t e isjunkte mænger repræsenteres f træer, og t er bruges union by rnk og pth ompression. Tegn et træ, som er resulttet f Union-instruktionerne i figur 2. Angiv for hvert link, hvilken Union-instruktion er forårsgee et, ligesom i eksemplet. Spørgsmål (7%): Betrgt træet i figur 3, og ntg t et er skbt vh. union by rnk. I figur 4 er vist fire vægtee grfer. Antg, t vi ufører Kruskls lgoritme på hver f em. Hvilke f em kunne resultere i træet i figur 3? Husk t begrune it svr. b e f Figur 3: Træet brugt i spørgsmål 3

5 b e f () b e f (b) 7 4 f b 2 f b e e 0 9 () () Figur 4: Fire vægtee grfer 4

6 Opgve 4 (0%) Spørgsmål (4%): Tegn lle mulige binære min-hobe, som ineholer fire knuer me prioriteterne, 2, 3 og 4. Spørgsmål b (6%): Tegn lle mulige binære søgetræer, som hr høje 2 og ineholer fire knuer me nøglerne, 2, 3 og 4. 5

7 Opgve 5 (5%) I enne opgve skl vi se på en lgoritme til t beregne b, hvor og b er heltl. Vi skl bruge en binære repræsenttion f b. L b = 2 k b k + 2 k b k b 0 vs. b k er mest betyene bit i b, og b 0 er minst betyene bit. D kn vi repræsentere b vh. et rry B f længe k +, hvor B[i] = b i. Betrgt følgene lgoritme til t beregne b : Eksp(, B) k length(b) for i k ownto 0 if B[i] = return Spørgsmål (0%): L B i+ være tllet repræsenteret ve e k i mest betyene bits i b; vs. B k+ = 0 B k = b k B k = 2b k + b k B k 2 = 4b k + 2b k + b k 2. B 0 = 2 k b k + 2 k b k b 0 = b Bevis følgene invrint for for-løkken: I strten f for-løkken (vs. lige efter opteringen f i) er = B i+ Spørgsmål b (5%): Brug resulttet fr spørgsmål til t rgumentere for, t lgoritmen Eksp er korrekt. 6

8 b f e 3 0 g 2 4 () Et binært træ me vægtee knuer x b e f g W(x) (b) Vægten f en optiml sti-ækning for hvert unertræ Opgve 6 (25%) Figur 5: Et lille eksempel I enne opgve er er givet et binært træ, hvis knuer hr vægte. Vægtene er positive heltl. Det gæler om t vælge en elmænge f knuerne me størst mulig smlet vægt. Hver sti fr roen til et bl skl inehole præis én f e vlgte knuer. En sti-ækning f et binært træ er en elmænge X f knuerne, som opfyler, t hver sti fr roen til et bl ineholer præis én knue fr X. En optiml løsning er ltså en sti-ækning me størst mulig smlet vægt. Bemærk, t roen i et træ f.eks. ugør en sti-ækning f træet. Ligelees ugør mængen f lle ble i træet en sti-ækning. Disse sti-ækninger er og ikke nøvenigvis optimle sti-ækninger, vs. e hr ikke nøvenigvis størst mulig vægt. Eksempel: I figur 5() er vist et træ me vægtee knuer. Knuerne b og ugør tilsmmen en optiml sti-ækning. Det smme gør knuerne, e og. De to sti-ækninger hr hver især smlet vægt 8. For en knue x betegner W(x) en smlee vægt f en optiml sti-ækning f unertræet me ro i x. I figur 5(b) er vist en tbel, som for hver knue x i træet ngiver W(x). 7

9 b e f g h 6 i 4 Figur 6: Et binært træ me vægtee knuer Spørgsmål (0%): Ufyl neenståene tbel for træet vist i figur 6. x b e f g h i W(x) Spørgsmål b (5%): Betrgt igen træet i figur 6. Angiv en sti-ækning me størst mulig smlet vægt. Dvs. ngiv en knuemænge svrene til en vægt, u skrev i et første felt i tbellen. Spørgsmål (0%): Angiv en lgoritme bseret på ynmisk progrmmering, som givet et vægtet binært træ finer en størst mulige vægt f en sti-ækning. Hv er in lgoritmes køreti og plsforbrug? 8