2 Erik Vestergaard

Transkript

1

2 Erik Vestergrd

3 Erik Vestergrd 3 Definition 1 En funktion på formen f ( x) = b x, x R +, hvor b R + og R er konstnter, kldes for en potensudvikling eller en potensiel funktion. Bemærk, t mn konsekvent hr vlgt t definere funktionerne for udelukkende positive x-værdier, selvom mn for visse værdier f godt kunne hve indst negtive værdier f x. For ndre værdier f, for eksempel = ½, vil det derimod ikke give mening t indsætte negtive x-værdier (Overvej!). Hvis b= 1 kldes funktionen for en potensfunktion. Eksempel Nedenfor er fbildet grferne for forskellige potensfunktioner (dvs. b= 1). Vi ser, t potensfunktionen er voksende når > 0 og ftgende når < 0. For = 0 er funktionen konstnt. Hvis mn ændrer på b-værdierne i forskrifterne for de fbildede funktioner, så vil de nye grfer ikke være en prllelforskydning i forhold til de gmle; derimod vil der være tle om en sklering i y-ksens retning. Det vil svre til, t mn strækker eller komprimerer grfen i y-ksens retning (Overvej hvorfor!).

4 4 Erik Vestergrd Sætning 3 Ld f ( x) = b x ; x R +. D gælder: ) Grfen for f går igennem punktet (1, b ). b) x gnges (fremskrives) med k y gnges (fremskrives) med c) Funktionen er voksende, hvis > 0, ftgende, hvis < 0 og konstnt, hvis = 0. k. Bevis: f (1) = b 1 = b 1= b. Dette viser ). For t vise b) indsætter vi k x i forskriften for f og omskriver: (1) y = f ( k x) = b ( k x) = b k x = k ( b x ) = k f ( x) = k y1 hvor vi for t få tredje lighedstegn hr benyttet en f potensreglerne. Udregningen (1) viser, t hvis x gnges med k, så bliver den nye y-værdi k gnge så stor som den forrige y-værdi. c) Overldes til læseren t overveje. Bemærk, t sætning 3b) fortæller os, t hvis x gnges med et bestemt tl, så gnges også y med et bestemt tl ufhængigt f hvilket x mn strtede med!

5 Erik Vestergrd 5 Husk fr rentesregningen, t når mn gnger med et tl F (fremskrivningsfktoren), så svrer det til t lægge renten r til, hvor smmenhængen mellem F og r er F = 1+ r. At lægge 5% til 500 svrer ltså til t gnge 500 med 1,5, idet F = 1+ r = 1+ 0, 5= 1, 5. Vi siger, t 500 hr fået en reltiv tilvækst på 0,5 eller 5%. Omvendt svrer en fremskrivningsfktor på 0,88 til t trække 1% fr, idet r= F 1= 0,88 1= 0,1= 1%. Denne smmenhæng mellem fremskrivningsfktoren F og den reltive tilvækst r betyder, t vi kn omformulere sætning 3b). D vi hr t gøre med fremskrivning f både x og y, vil vi indføre betegnelsen F 1, som det x fremskrives med, mens F skl betegne det, som y fremskrives med. Tilsvrende vil vi lde r 1 betegne den reltive tilvækst i x, mens r skl betegne den reltive tilvækst i y. Vi hr dermed () F1 = 1+ r1 og F = 1+ r Sætning 3b) kn dermed udtrykkes på følgende måde: F1 = k F = k, hvormed (3) F = F1 Indsættes udtrykkene fr () i (3), fås følgende sætning: Sætning 4 (Reltive tilvækster) Givet en potensiel udvikling. Hvis x gives en reltiv tilvækst på r 1, så får y en reltiv tilvækst på r, bestemt ved: (4) 1 + r = (1 + r1 ) Eksempel 5,3 Betrgt potensudviklingen med forskrift f ( x) = x. ) Hvd sker der med y, hvis x gnges med 1,1? b) Oversæt det, som sker i spørgsmål ), til reltive tilvækster i x og y. c) Hvor meget skl mn gnge x med, for t y fordobles? Løsning: ) Ifølge (3) fås: 1 1,3 F = 1,1 F = F = 1,1 = 1, 98, så y gnges med 1,98. b) Ifølge () hves: r 1 = F 1 1= 1,1 1= 0,1= 1% og r = F 1= 1,98 1= 0, 98 = 9,8%. En reltiv tilvækst på 1% i x giver ltså en reltiv tilvækst på 9,8% i y. c) D F = fås ifølge (3): er ltså, t x skl gnges med 1,35.,3, ,35 1 F = F = F = F = F. Svret Figuren på næste side illustrerer skemtisk situtionen i spørgsmålene ) og b).

6 6 Erik Vestergrd Eksempel 6 0,54 Betrgt potensudviklingen med forskrift f ( x) = 13, 4 x. ) Hvis x vokser med 17%, hvor mnge procent vokser y d med? b) Hvor mnge procent skl x vokse med, for t y vokser med 7%? Løsning: Vi benytter sætning 4. ) b) 0,54 0, r = (1 + r ) 1 + r = (1+ 0,17) 1+ r = 1,17 1+ r = 1, 088 r = 1, 088 1= 0, 088= 8,8% Svret er ltså, t y vokser med 8,8%. 0,54 0,54 0, r = (1 + r ) 1+ 0, 7 = (1 + r ) 1, 7 = (1 + r ) 1, 7 = 1+ r 1,557 = 1+ r 1,557 1= r 0,557= r 55,7% = r Dermed konkluderer vi, t x skl vokse med 55,7%, for t y vokser med 7%. Eksempel 7 Ld 0,84 = x. Hvor mnge procent øges y med, hvis x reduceres med %? f ( x) 480 Løsning: Vi benytter igen sætning 4. 0,84 0, r = (1 + r ) 1 + r = (1 + ( 0, )) 1+ r = 0, r = 1, 3 r = 1, 3 1= 0, 3= 3, %. Vi konkluderer, t y vokser med 3,3%.

7 Erik Vestergrd 7 Forskriften ud fr to støttepunkter Vi hr tidligere set, t mn kn bestemme forskriften for en lineær funktion og en eksponentiel funktion, når mn kender to punkter på funktionens grf. Dette er også tilfældet med potensudviklinger. Det vil vi se på nu. Sætning 8 Ld f ( x) = b x og ld ( x1, y 1) og ( x, y ) være to punkter på grfen for f. D kn eksponenten bestemmes ved følgende formel: log( y) log( y1) (5) = log( x ) log( x ) 1 Bevis: D punkterne ligger på grfen, hves y1 = b x1 og y = b x, som ngivet på figuren. x1, x, y1 og y skl her ntges t være kendte. Derimod er og b ukendte. Mn ser snedigt, t mn kn skffe sig f med den ene ubekendte, b, ved t tge forholdet mellem de to y-værdier: y b x x x (6) y1 b x1 x1 x1 = = = hvor vi blndt ndet hr brugt en potensregel. For t isolere tger vi logritmen på begge sider f (6). Herved fås:

8 8 Erik Vestergrd y log y x = log x 1 1 (7) log( y ) log( y ) = [ log( x ) log( x )] = 1 1 log( y) log( y1) log( x ) log( x ) 1 hvor logritmereglerne er blevet nvendt. Eksempel 9 Bestem forskriften for den potensielle funktion, hvis grf går igennem følgende to punkter: (,5) og (6,7). Løsning: log( y ) log( y ) log(7) log(5) log( x ) log( x ) log(6) log() 1 = = = 1 1,5350 1,5350 Dermed hves foreløbigt: f ( x) = b x. For t bestemme b indsættes ét f de to opgivne dtpunkter, ligegyldigt hvilket. Vi vælger (,5): 1, = b = b 1, 754 = b 1,5350 Altså fås 1,5350 = x. f ( x) 1,754 Bemærkning 10 For t finde b, kn du også skrive mere direkte: b = y 5 = 1,5350 x = 1, 754. Bemærkning 11 Af (7) fremgår det, t mn kn bruge følgende lterntive udtryk for : (8) = y log y 1 x log x 1