Et udvalg af funktionerne tegnet på grafregneren (eller her med Derive)

Transkript

1 GDS, opgve 85 En strt på opgven (undervisnings- og tvleprotokol): En milie unktioner hr orskrit 4 ( ) + R, Et udvlg unktionerne tegnet på grregneren (eller her med Derive)

2 Værdier tllet, or hvilke hr henholdsvis 1, eller 3 vndrette tngenter Vndrette tngenter hr hældning, vi skl ltså se på ligningen ( ) (*) ( ) + + (**) Fr den ørste ligning (en ørstegrdsligning) er ltid én løsning, ntllet løsninger r den nden ligning (en ndengrdsligning) kn bestemmes ved hjælp diskriminnten d 4 og ved t se på denne diskriminnts ortegn. Et problem er så, t én de eventuelt eksistente løsninger r ndengrdsligningen eventuelt kn være identisk med løsningen r ørstegrdsligningen. Vi kn ltså skelne mellem situtionerne d 4 Her hr ndengrdsligningen i (**) ovenor ltså én løsning. Om vi smlet i (*) hr én eller to løsninger, kn vi ørst inde ud ved t se på ± den konkrete løsning r ndengrdsligningen, der jo åbenbrt ltid er. Denne løsning er ktisk også løsning or ørstegrdsligningen i (**). Smlet hr vi her ltså kun én løsning til ligningen i (*) og kun én vndret tngent. d 4 > < Her hr ndengrdsligningen i (**) ltså to løsninger. Om én de to eventuelt er identisk med løsningen r ørstegrdsligningen, kn vi ørst inde ud ved t se på de konkrete løsninger r ndengrdsligningen ± 8 8 ±, der jo åbenbrt ltid er orskellige r 4 løsningen r ørstegrdsligningen i (**). Smlet hr vi her ltså tre orskellige løsninger til ligningen i (*) og tre vndrette tngenter. d 4 < > Her hr ndengrdsligningen i (**) ingen løsninger. Smlet hr vi ltså kun én løsning til ligningen i (*) og kun én vndret tngent. Smlet hr vi ltså tre vndrette tngenter or < én vndret tngent or to vndrette tngenter er or intet R muligt

3 Et lterntiv (som vi ikke ik snkket om i undervisningen) kunne være ølgende nemlig t se mere konkret på løsningerne: Vndrette tngenter hr hældning, vi skl ltså se på ligningen ( ) (*) ( ) + (***) hvor kvdrtrødderne selvølgelig kun giver mening, hvis Vi kn ltså skelne mellem situtionerne < : her er der ltså tre løsninger or ligningen (*) og dermed tre vndrette tngenter : her er der ltså kun én løsning or ligningen (*) og kun én vndret tngent, d de tre udtrk ovenor ved (***) lle er ens > : her er der ltså kun én løsning or ligningen (*) og kun én vndret tngent, d kvdrtrødderne ikke giver mening (eller d ligningen åbenlst ikke kn hve nogle løsninger or > ) Smlet hr vi ltså tre vndrette tngenter or < én vndret tngent or to vndrette tngenter er or intet R muligt

4 Slutbemærkning Er det egentligt entdigt, hvordn vi tæller ntllet tngenter? For hr vi uhængigt værdien tllet ltid en vndret tngent, nemlig tngenten med ligningen ( ) ( )( ) Det vil sige, t -ksen ltid er vndret tngent til gren or. For hr vi én vndret tngent og det er vel uproblemtisk t tælle så lngt. Men: For < hr vi tre vndrette tngenter, dermed mener vi, t der or tre orskellige steder på -ksen, ltså or røringspunkter med tre orskellige -værdier indes vndrette tngenter. Hvis vi går ind og inder ligningerne or disse, vil vi opdge, t to disse tngenter med orskellige røringspunkter ktisk hr smme ligning vi kommer ltså ktisk til kun t tegne to streger (selvom vi tler om tre tngenter): Tngent or hældningen er jo [ et ntl mellemregninger ] 4 Tngent or [ et ntl mellemregninger ] 4

5 ltså smme ligning som ør (der er jo kun ortegnet til orskel mellem de 4 to -værdier og d kun indeholder og spiller ortegnet ingen rolle). På grregneren (eller med Derive) kunne vi hurtigt å indtegnet tngenterne or nogle værdier tllet