Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.

Transkript

1 Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer er prler og rette linier Ld os prøve t finde en formel for toppunkt og nulpunkter for prlen Nulpunkter (skæringspunkter med x-ksen) SÆTNING 1 Prlen med formlen y = x + x + c hr nulpunkter P hvor d = 4 c, d, 0 og Q + d, 0, forudst t d 0 (og læg mærke til t hvis d = 0, så er de to nulpunkter ens, ltså kun ét nulpunkt); og hvis d < 0, så hr prlen ingen nulpunkter JL ~~~ s -1

2 For t finde nulpunkter skl vi løse ligningen D 0 kn vi omskrive til: D x + x = x + + = x + + x kn vi skrive videre om til: x + x + c = 0 x x c + + = 0 c x + + = 0 c c c d, hvor vi lot indfører d = 4 c for t skrive det hele lidt nemmere d kldes diskriminnten (det vil sige den der gør en forskel ) Vi hr ltså fundet ud f: x + x + c = 0 d Ld os kigge på tre forskellige situtioner - lt efter om d er negtiv, nul eller positiv 1) d < 0 Ligningen kn ikke hve nogen løsninger (noget positivt eller nul = noget negtivt) det vil sige L = Ø Det vil sige, der er ingen nulpunkter JL ~~~ s -

3 ) d = 0 Så hr vi ltså ligningen: 0 x + = 0 x = det vil sige L = x x = Det vil sige, der er ét nulpunkt:, 0 3) d > 0 d x + = x + = x + = x + = (*) Her liver det lidt kompliceret - for hvd er? hvis < 0 er =, feks er ( ) 3 = 9 = 3 = ( 3 ) hvis 0 er =, feks er 3 = 9 = 3 hvis < 0 hr vi ltså i ligningen (*) ovenfor: d d x + = = x + = = ( ) ( ) hvis 0 hr vi derimod i ligningen (*) ovenfor: x + = x + = Læg lige mærke til, t vi fktisk hr fået det smme i egge tilfælde JL ~~~ s -3

4 Altså: d x + = x + = x = + x = x = + x = det vil sige L = x x = + x = d Det vil sige, der er to nulpunkter:, 0 og + d, 0 Hermed hr vi evist sætningen ovenfor JL ~~~ s -4

5 EKSEMPEL 1 x 1x + 16 = 0 ( 1) 4 ( ) x = x = x = x = x = x = 4 4 x = x = 4 = = 1 c = 16 ( ) d = = = 4 Det vil sige prlen y = x 1x + 16 hr nulpunkterne (, 0 ) og ( 4 0 ) Vi kn lve prøve for vores resultt ved t sætte x -værdierne ind og kontrollere om vi får de tilhørende y -værdier, feks y = = = 0, ltså psser det ndet f de to nulpunkter På tilsvrende måde kun vi efterprøve det første f nulpunkterne, JL ~~~ s -5

6 Toppunkt SÆTNING Prlen med formlen y = x + x + c hr toppunkt T hvor d = 4 c d,, Sætningen gælder unset fortegnet for diskriminnten d Men vi vil kun rgumentere for sætningen for d > 0 I denne sitution hr prlens to nulpunkter førstekoordinterne x = + og x = Toppunktet må hve 1koordint (x-værdi) præcist midt imellem de to nulpunkters 1koordinter, ltså: xt = Toppunktets koordint (y-værdi) kn vi så finde ved t sætte ind i y = x + x + c på x s plds: y T = c c d c = + c = + = + 4 = Det vil sige, toppunktet er T d, EKSEMPEL Prlen y = x 1x + 16 (smmenlign med eksempel 1) hr toppunktet ( ) T , =, = ( 3, ) JL ~~~ s -6

7 Vi kn også finde skæringspunkter mellem prler og rette linier Ld os se på et eksempel: EKSEMPEL 3 Prel: y = x 10x + 8 Ret linie: y = x Hvis vi vil regne os frem til skæringspunkterne, skl vi løse ligningssystemet: Det vil sige, vi hr skæringspunkterne y = x 10x + 8 y = x x 10x + 8 = x y = x x 1x + 16 = 0 y = x ( x = x = 4 ) y = x ( x = y = x ) ( x = 4 y = x ) ( x = y = ) ( x = 4 y = 4 ) ( x = y = 4 ) ( x = 4 y = 0 ) (, 4) og ( 4 0 ), Den første ligning (før og ) hr vi set på i eksempel 1 Vi kn lve prøve på vores skæringspunkter ved t sætte x -værdierne ind åde i udtrykket fr prlen og i udtrykket fr linien og se om vi får y -værdierne Konkret feks: y = = = 4, dvs, t det første punkt psser ind i prlens ligning, og y = = 4 = 4, dvs, t det første punkt psser ind i liniens ligning Tilsvrende skulle vi så lve prøve for det ndet punkt, ltså indsætte x = 4 og se om vi i egge ligninger får y = 0 JL ~~~ s -7

8 Opgve 1 1 Beregn koordintsættet til toppunktet for prlen med ligningen y = x + x Beregn nulpunkter for smme prel Opgve To funktioner f og g er estemt ved 1 f ( x) = x x = x g( x) Løs ligningen f ( x) = g( x) Skitsér grferne for f og g Løs uligheden f ( x) g( x) Løs uligheden f ( x) > g( x) JL ~~~ s -8