Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde

Transkript

1 Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den smlede løsning får tilsvrende point. Opgve 1 Beregningen f ntllet f elever med score over gennemsnittet hr tre skridt: Multipliktionen 4 3 for t finde hvor meget summen f point vokser. Division f dette resultt med 4 for t finde hvor mnge elever der scorede under gennemsnittet. Subtrktion f dette resultt fr 4 3 for t finde hvor mnge elever der scorede over gennemsnittet. Hele beregningen eller dele f den kn være udformet som løsning f en ligning, hvilket gør det muligt t ovenstående regneopertioner eller deres omvendte optræder i ndre rækkefølger. Der gives 1 point for hver f de nævnte opertioner som optræder enten direkte eller omvendt i besvrelsen, og 1 point for konklusionen t 3 elever hvde et score over gennemsnittet. Bemærkning: Det er en forudsætning for t disse point kn gives, t udregningerne indgår i en logisk rigtig smmenhæng, og konklusionen bygger på et logisk rigtigt rgument. Eksempelvis giver en besvrelse som følger, hvor tilstrækkelighed forveksles med nødvendighed, ingen point:»der er 3 elever med score over gennemsnittet, for så hr = 18 elever scoret under gennemsnittet, summen f point er øget med 18 4 = 7 og gennemsnittet med 7/4 = 3.«Hvis dele f en udregning er logisk rigtig, gives der point for dén del. Eksempelvis giver følgende besvrelse 1 point for rgumentets sidste del:»der er 18 elever med score under gennemsnittet, for så er summen f point øget med 18 4 = 7 og gennemsnittet med 7/4 = 3. Dermed hr = 3 elever scoret over gennemsnittet.«1

2 Opgve 3 point for t vise t flden ikke kn være grøn. Additive delpoint kn opnås ved: 1 point for t skrive t lle de flder der forbinder klodserne i en række, hr smme frve, og tilsvrende for en søjle, eller blot bruge dette i et rgument. 1 point for t vise ét f følgende. Enten i lle rækker eller i lle søjler hr forbindelsesflderne smme frve. Forbindelsesflderne i. og 5. søjle fr venstre på figuren er henholdsvis røde og blå. I øverste række vender den. klods fr venstre sin blå side mod beskueren f figuren og den 5. klods fr venstre sin røde side dén vej. 1 point for t vise t der både findes et rrngement f klodserne som giver de frver der er ngivet på figuren, og hvor flden er blå, og ét hvor denne flde er rød. Opgve 3 3 point i henhold til ét f nedenstående skemer ) - d). Yderligere 1 point for t udlede f de opnåede resultter t lle firknter som beskrevet i opgven hr smme rel. D(0, 0) A(x, 0) G v C(0, 1 x) E F y x B( 1, 1 )

3 ) Opdeling i treknterne ABC og ADC 1 point for et udtryk for firkntens rel som bygger på opdeling i treknterne ABC og ADC. Yderligere 1 point for omformning f udtrykket med brug f Pythgors sætning for treknt ADC eller en dertil svrende omformning f udtrykket. Yderligere 1 point for reduktion f udtrykket så det ses t være konstnt. b) Smmenligning med nden figur 1 point for t indføre et punkt, her betegnet E, på DA s forlængelse ud over A så AE = CD. Yderligere 1 point for t bevise t treknt BAE = treknt BCD. Yderligere 1 point for t bevise t treknt BDE er ligebenet og retvinklet med hypotenuse 1. Bemærkning: Tilsvrende point opnås ved tilsvrende nvendelse f et punkt, her betegnet E, på DC s forlængelse ud over C så CE = AD, eller B s projektioner E og E på linjerne DA og DC, som dnner kvdrtet DE BE med sidelængde 1/. Bemærkning: Hvis der indføres endnu en firknt A B C D som beskrevet i opgven, hvor A og A ligger på smme hlvlinje fr D, og C og C på smme hlvlinje fr D, fås det ndet point for t vise t hvis B B, ville firknterne AA B B og CC B B være kongruente, og det tredje for herf t udlede B = B og dermed t treknt AA B = treknt CC B. c) Benytte t DB hlverer vinkel D 1 point for t bevise t DB hlverer vinkel D, for eksempel ved først t vise t firknten er indskrivelig. Yderligere 1 point for t udtrykke firkntens rel som 1 AC BD sin v, 1 BD ( AF + CG ), 1 ( AF BF + AF DF + CG BG + CG DG ) eller tilsvrende, hvor v er en vinkel mellem AC og BD, og F og G er projektionerne f A og C på BD, og bevise ét f følgende: AD + CD 1) AC sin v =. ) AF = AD og CG = CD. 3) BD = AD + CD. 4) BD = AF + CG. 5) BG = AF og BF = CG. Yderligere 1 point for t bevise t firkntens rel kun fhænger f AD + CD. d) Anlytisk løsning 1 point for t nbringe nogle f firkntens hjørner hensigtsmæssigt i et koordintsystem med brug f én eller flere vrible, for eksempel sætte D = (0, 0), A = (x, 0) og vælge ndenksens retning så C hr positiv ndenkoordint. Yderligere 1 point for t udtrykke koordinterne til de restende hjørner ved den eller de indførte vrible. I eksemplet opnå C = (0, 1 x) og B = (1/, 1/). Yderligere 1 point for t udtrykke firkntens rel ved de indførte vrible og reducere udtrykket så det ses t være konstnt. 3

4 Opgve 4 point for t beskrive en strtegi som sikrer B sejren. Herf kn 1 point gives for rgumenter der begrunder t det er hensigtsmæssigt for B t sikre t der er et lige ntl runde brikker, et lige ntl trekntede brikker og et lige ntl firkntede brikker hver gng A skl trække. Yderligere 1 point for hvert f følgende: Vise t den beskrevne strtegi ltid kn følges. Vise t B vinder hvis hun følger den beskrevne strtegi. Opgve 5 Bemærkning: Hvis der ikke er opnået ndre point, giver det 1 point t vise t tlværdierne 6, 7 og 8 er mulige. Det giver 0 point t vise t nogle f disse værdier er mulige. Bemærkning: Det forudsættes i det følgende t deltgeren hr skrevet t mn uden tb f lmenhed kn forudsætte b c. Denne eller en tilsvrende igttgelse giver ikke point i sig selv, men hvis et sådnt udsgn mngler, må tilsvrende flere tilfælde være diskuteret for t nedenstående point kn opnås fuldt ud. Der trækkes højst 1 point for mnglende tilfælde hvis det er åbenlyst t de kn behndles på smme måde som dem der er dækket i besvrelsen. ) Opdeling i tilfældene b + c = og b + c = 1 point for t vise t b + c medfører b + c = eller b + c =. 1 point for t vise t b + c = og b + c medfører b = c eller b = c, og t brøkerne + b, + c og b + c er positive hele tl i disse tilfælde. 1 point for t vise t b + c = medfører = b = c, og t brøkerne + b, + c b + c er positive hele tl i dette tilfælde. 1 point for t beregne n = + b c og (c, c). + + c b + b + c og i de tre tilfælde (, b) = (c, c), (3c, c) 4

5 b) Opdeling i tilfældene = b = c, = b > c, > b = c og > b > c. 1 point for t vise t hvis = b = c, så er brøkerne + b, + c tl, og t vise t = b > c ikke er muligt. og b + c 1 point for t vise t hvis > b = c, så er = b, og t brøkerne + b, + c er positive hele tl i dette tilfælde. positive hele og b + c 1 point for t vise t hvis > b > c, så er = 3c og b = c, og t brøkerne + b, + c og b + c er positive hele tl i dette tilfælde. 1 point for t beregne n = + b c og (3c, c). + + c b + b + c i de tre tilfælde (, b) = (c, c), (c, c) c) Reduktion til opløsning f 1 som sum f tre stmbrøker 1 point for t vise t b+c, b +c og c +b er ensbetydende med s = k = lb = mc, hvor s = + b + c, og k, l og m er positive hele tl som opfylder 1 k + 1 l + 1 = 1 (*) (og m k l m når b c). 1 point for t vise t hvis (*) er opfyldt, er k = eller k = 3. 1 point for t vise t hvis k =, er (*) opfyldt hvis og kun hvis (l, m) = (3, 6) eller (4, 4), og hvis k = 3, er (*) opfyldt hvis og kun hvis (l, m) = (3, 3). 1 point for t beregne n = k + l + m 3 for (k, l, m) = (, 3, 6), (, 4, 4) og (3, 3, 3). Bemærkning: Selv om det er forholdsvis kendt t 1/+1/3+1/6, 1/+1/4+1/4 og 1/3+1/3+1/3 er de eneste opløsninger f 1 som sum f tre stmbrøker, kræves dette bevist. Det er ikke tilstrækkeligt t skrive t det er et kendt resultt. d) Regning med divisorerne u = + b, v = + c og w = b + c 1 point for t vise t ligningerne + b = uc, + c = vb og b + c = w, hvor u, v og w er positive hele tl, hr løsninger med positive hele tl, b og c hvis og kun hvis uvw u v w = 0 (**) (og u v w når b c). point for t løse ligningen (**) for positive hele u, v og w, herf 1 point for t vise t løsningerne opfylder uv u v point for t beregne n = u + v + w for (u, v, w) = (,, ), (3, 3, 1) og (5,, 1). Bemærkning: Med (k, l, m) = (w + 1, v + 1, u + 1) er ligningerne (*) og (**) ensbetydende. Der kn derfor forekomme besvrelser der kombinerer elementer f løsningerne c) og d). I bedømmelsen f sådnne besvrelser kombineres tilsvrende dele f de to pointskemer efter censorernes skøn. 5