Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner

Transkript

1 Eksmensspørgsmål: Potens-funktioner Definition:... 1, mønt flder ned:... 1 Log y er en liner funktion f log x... 2 Regneforskrift Smmenhæng mellem x og y ved potens-vækst... 3 Tegning f grf for en potens-funktion... 4 DIVERSE FORMLER... 5 Eksponenter... 5 Logritmer... 5 Vækst... 6 Lineær vækst... 6 Eksponentiel vækst... 6 Potens-vækst... 6 Definition: En funktion, der hr en regneforskrift f formen y = b x, hvor b>0 og x>0, kldes en potensfunktion. kn være et hvilket som helst tl forskelligt fr 0. Hvis <0 er funktionen ftgende., mønt flder ned: Hvis mn lder en mønt flde ned fr et højhus, kn fldet med god tilnærmelse beskrives ved modellen y = 5 x 2, hvor x er ntl sekunder efter, der er blevet givet slip på mønten og y er ntl meter, som mønten er fldet. I dette eksempel er b=5 og =2 b er y-værdien når x er 1 I det følgende får vi brug for disse logritmeformler: Formler Eksempler Log( b) = Log() + Log(b) Log(5 3) = Log 5 + Log(3) Log( x ) = x Log() Log(5 3 ) = 3 Log(5) Peter Sørensen: Mtemtik C interktivt. Potensfunktioner, side 1 / 6

2 Der gælder: Log y er en liner funktion f log x Det ses ved t tge logritmen på begge sider f lighedstegnet. Log y = Log (b x ) Ved nvendelse f en f logritmereglerne fås Log y = Log b +Log (x ) Ved t nvende en nden logritmeregel fås Log y = Log b + Log x, Herf ses, Log y er en lineær funktion f Log x, idet begyndelsesværdien er Log b og hældningskoefficienten er. Regneforskrift D Log(y) ved potensfunktion er en lineær funktion f Log(x) gælder: b findes ved y1 b x1 ( y1 x1 ) x 3 11 y Log(253) Log(57) = Log(11) Log(3) = 1,14704 = 1,1470 b = 57 /3 1,14704 = 16,1657 = 16,166 Regneforskriften bliver således: y = 16,166 x 1,470 Peter Sørensen: Mtemtik C interktivt. Potensfunktioner, side 2 / 6

3 Smmenhæng mellem x og y ved potens-vækst I det følgende får vi brug for denne formel: Formel ( b) p = p b p (5 7) 3 = Ld os betrgte potens-funktionen: y = 7 x 3 og ld os betrgte en x-værdi og den tilsvrende y-værdi: 7 x 3. Vi vil nu fremskrive x med 20%. Dvs. x gnges med fremskrivningsfktoren (1+20%) = 1,20. Den nye y-værdi bliver 7 (x 1,20) 3 = 7 x 3 1,20 3 = y 1,20 3 Altså: y skl gnges med 1,20 3 = 1,728 hvilket er det smme som t fremskrive y med (1,728 1) 100% = 72,8% Vi bemærker, t når x fremskrives med fktoren 1,20, så fremskrives y med fktoren 1,20 3 Eller sgt på en nden måde: Når x fremskrives med 20%, så fremskrives y med (1,20 3-1) 100% Generelt gælder om en potens-funktion: Når x fremskrives med fktoren (1+r), så fremskrives y med fktoren (1+r). Det bevises således: Vi betrgter y 1 = b x 1 og fremskriver x 1 med fremskrivningsfktoren (1+r) Det giver en ny x-værdi x 2 = x 1 (1+r) og en ny y-værdi y 2 = b ( x 1 (1+r)). Ud fr reglerne om regning med eksponenter fås: Peter Sørensen: Mtemtik C interktivt. Potensfunktioner, side 3 / 6

4 y 2 = b x 1 (1+r) y 2 = y 1 (1+r) og d y 1 = b x 1 fås Altså når x fremskrives med fktoren (1+r), så fremskrives y med (1+r) D r også kn skrives som p%, kn ovenstående også formuleres således: Når x fremskrives med fktoren (1+p%), så fremskrives y med fktoren (1+p%). Eller sgt på en nden måde: Dvs x ændres med p%, så ændres y med ((1+p%) 1) 100% Generelt gælder: Når x vokser med en bestemt procent, så vil y også vokse med en bestemt procent, og ud fr den %-vise vækst f x kn mn beregne den %-vise vækst f y. Det modstte gælder også: Enhver funktion, der hr ovenstående egenskb, er en potens-funktion. Det vil vi dog ikke bevise. Se evt. video: Video om opg Tegning f grf for en potens-funktion Hvis mn vil tegne en potens-funktion kn mn med fordel benytte et såkldt dobbelt logritmisk koordintsystem, hvor tllene på både x-ksen og y-ksen er plceret således, t grfen for en potens-funktion bliver en ret linje. Dobbelt logritmisk koordintsystem tegnes normlt i dobbelt logritmisk ppir. Hvis støttepunkterne i en tbel flugter en linje i et dobbelt logritmisk koordintsystem, kn mn konkludere, der med god tilnærmelse er tle om en potens-funktion. Peter Sørensen: Mtemtik C interktivt. Potensfunktioner, side 4 / 6

5 DIVERSE FORMLER Eksponenter Formel p q = p+q = ( b) p = p b p (5 7) 3 = p : b p = (/b) p 8 3 : 5 3 = ( 8 / 5 ) 3 ( p ) q -p = 1 p -1 = 1 pq (5 3 ) 4 = = = = = 5 1 = 5 0 = = 1 Logritmer Formel Log( b) = Log() + Log(b) Log( x ) = x Log() Log(5 3) = Log 5 + Log(3) Log(5 3 ) = 3 Log(5) Peter Sørensen: Mtemtik C interktivt. Potensfunktioner, side 5 / 6

6 Vækst Lineær vækst Eksponentiel vækst Potens-vækst Regneforskrift y x b y x b y bx b ( y ( x y ) x ) 2 1 ( ) 2 ( Log( y2) Log( y1)) x2 x1 ( ) ( Log( x ) ( 2 1 y )) 2 Log x1 1 y Log(2) Fordoblings- T konstnt 2 Log( ) Log(0,5) Hlverings- T konstnt ½ Log( ) Hvis x fremskrives med p% = r, så er fremskrivningsfktoren for x: (1+r) og fremskrivningsfktoren for y: (1+r) Procentvis ændring f y bliver: ( (1+r) 1) 100% Anbeflet koordintsystem Sædvnligt Enkelt logritmisk Dobbelt logritmisk Peter Sørensen: Mtemtik C interktivt. Potensfunktioner, side 6 / 6