Elementær Matematik. Ligninger og uligheder

Transkript

1 Elementær Mtemtik Ligninger og uligheer Ole Witt-Hnsen 0

2 Inhol. Førstegrsligninger.... Nulreglen.... Uligheer og regning me uligheer.... Doeltuligheer.... Anengrsligningen...

3 Ligninger og uligheer. Førstegrsligninger En ligning er et åent usgn, hvor en vrile i lminelighe etegner et reelt tl. At løse ligningen etyer t estemme snhesmængen for et åne usgn. Snhesmængen kn eventuel være tom eller være lle reelle tl. Lighestegnet = mellem to tlstørrelser etyer, t eres forskel er nul. = = 0. Herf følger umielrt to grunlæggene regler for ligninger:. Mn kn lægge et smme tl til eller trække et smme tl fr på egge sier f ligningen. Vi nøjes me t evise et for ition. c c c ( c) 0 c c 0 0. Mn kn gnge eller iviere me smme tl (forskellig fr nul) på egge sier f ligningen. Vi nøjes me t evise et for multipliktion. c c c c 0 ( ) c 0 0 I lminelighe vil mn ikke nvene isse to regler irekte, men i steet nogle enklere regler som kn flees f isse to regler, hvilket vi nu vil vise. Små ogstver etegner lle reelle tl. c c c. Vi hr nvent en første f e to grunregler. Springer mn en miterste ligning over, ser mn t vi hr ulet en ny regel. Mn kn flytte et le fr en ene sie f lighestegnet til en nen ve t skifte fortegn. Vi ser ernæst på et generelt eksempel på en nen regel. Vi hr nvent en nen f e to grunregler, iet vi hr ivieret me 0 på egge sier. Springer mn en miterste ligning over, ser mn t vi hr ulet en ny regel. Mn kn flytte en fktor (forskellig fr nul) over på en nen sie f lighestegnet som ivisor.

4 Ligninger og uligheer Vi hr nvent en nen f e to grunregler. Springer mn en miterste ligning over, ser mn t vi hr ulet en ny regel. Mn kn flytte en ivisor over på en nen sie f lighestegnet som fktor. Når mn løser ligninger, skl mn (hurtigt) vænne sig til t nvene e flete regler. Det er for et første hurtigere og for et net er et lngt mere overskueligt i mere kompliceree utryk. Mn kn flee ennu en regneregel, som mn ret ofte gør rug f. c c Vi hr nvent en nen regneregel to gnge, ve først t gnge me og erefter me c. Ufører mn opertionen i et hug, kles et t gnge over kors. Eksempel Nulreglen Nogle ligninger kn reuceres til førstegrsligninger ve rug f nulreglen: Et proukt er nul, hvis og kun hvis minst en f fktorerne er nul y 0 0 y 0 Eksempel y z 0 0 y 0 z 0 osv. ( )( 6) Det ør også nævnes, t En røk er nul, hvis og kun hvis tælleren (og kun tælleren) er nul Eksempel ( ) 0 ( 6) 0. Uligheer og regning me uligheer I et følgene etegner,,c,,.. vilkårlige reelle tl. Iet R + etegner mængen f positive relle tl og R - etegner mængen f negtive reelle tl, efinerer vi uligheerne

5 Ligninger og uligheer > ( er større en ) og < ( er minre en ) ve: > - R+ og < - R- Enviere efineres ( er større en eller lig ) og ( er minre en eller lig ) ve > = og < = Vi vil vise nogle sætninger om uligheer og regning me uligheer. Sætning: (triviel) > 0 R+ > 0-0 R+ R+ På tilsvrene måe vises, t < 0 R- Sætning: (triviel) > < > - R+ -( - ) R- - R- < Sætning: Smmenligningsreglen (triviel) > > c > c Sætning: > > c - R+ - c R+ ( - ) + ( - c) R+ - c R+ > c Mn kn ere et smme (positive eller negtive) tl på egge sier f uligheen. > + c > + c + c > + c (+c) - (+c) R+ - R+ > Sætning:

6 Ligninger og uligheer Mn kn flytte et le over på en nen sie f ulighestegnet ve t skifte fortegn. + c > > - c Vi erer -c på egge sier f uligheen + c > + c + (-c) > + (-c) > - c Sætning: uligheen Mn kn gnge eller iviere me et smme positive tl på egge sier f k R+ > k > k k R+ > k R+ - R+ k( - ) R+ k - k R+ k > k Hvis mn ivierer me et positivt tl k, er et smme som t gnge me /k, så et er overfløigt t vise sætningen for ivision. Sætning: Mn kn gnge eller iviere me et smme negtive tl, hvis mn smtiig vener ulighestegnet. k R- > k < k k R- > k R- - R+ k(-) R- k < k Sætning: Mn kn ere to uligheer, når ulighestegnet vener smme vej < c < + c < + Vi erer c på egge sier i en første ulighe og på egge sier i en nen, og nvener erefter smmenligningsreglen. < c < +c < + c + c < + + c < + Sætning: For positive tl,, c og kn mn multiplicere to uligheer me hinnen, når ulighestegnet vener smme vej. > c > c >

7 Ligninger og uligheer Vi multiplicerer en første ulighe me c og en nen me, og nvener erefter smmenligningsreglen. > c > c > c c > c > Som konsekvens f enne sætning følger for positive tl og sætningen: > > >... n > n Eksempler. Hvilket tl er størst eller. Vi skriver uligheen. Altså er <. Løs uligheen - < Doeltuligheer Doeltuligheer er to uligheer, er skl være opfylt smtiig eller, hvor minst en f uligheerne skl være opfylt. Vi illustrerer me et pr eksempler: ) Neenfor er løsningsmængen illustreret på en tllinie. Det er vigtigt, t mn husker et siste skrit. Det er ikke tilstrækkeligt, t løse e to uligheer seprt. Mn skl læse løsningsmængen.

8 Ligninger og uligheer 6 ) ( tom er løsningsmængen Ø L Neenfor er løsningsmængen illustreret på en tllinie Neenfor er løsningsmængen illustreret på en tllinie. Nogen uligheer me et proukt eller en kvotient f førstegrsutryk fører til oeltuligheer. Vi ser først på et eksempel me et proukt. ) ( ) ( 0) 0 ( 0) 0 ( 0 ) )( ( Vi ser ernæst på en kvotient: For t løse uligheen vil vi gnge over me +, men for t gøre ette må vi ele op i to tilfæle. Det ene, hvor > - og et net, hvor < -, hvor vi skl vene ulighestegnet, + er negtiv. Regningerne forløer herefter:

9 Ligninger og uligheer ( ) ( ) Også numerisk væri i en ulighe fører til oeltuligheer: Vi ser på uligheen: ( ). Anengrsligningen En nengrsligning er en ligning f typen (.) + + c = 0, hvor, og c er reelle tl og 0 For t fine en løsningsformel for enne ligning, ser vi først på et simpelt speciltilfæle, hvor =, = 0 og c = -k. Ligningen liver så: Vi eler op i tilfæle: = k. k < 0 : Ligningen hr ingen løsninger, lrig er negtiv.. k = 0 : Ligningen hr netop en løsning = 0. k > 0 : Ligningen hr netop to løsninger: = k = - k Vi erinrer om, t giver k, og 0 = 0. k for k > 0 er efineret som et positive tl, som opløftet til nen potens Eksempel: Vi vil løse ligningen = 9 D k = 9 > 0, er er to løsninger: = - =

10 Ligninger og uligheer 8 For t løse en oprinelige ligning, vil vi søge t omskrive en, så en kommer på smme form f et simple tilfæle. Vi viser først fremgngsmåen me et eksempel, iet vi ser på ligningen: Først ivierer vi me (me ) og får = = 0 Dernæst søger vi t omskrive ligningen, så leene me skrives som kvrtet på en toleet størrelse. I så tilfæle, må være et første le, - et oelte proukt og et net le er. ( - ) - - = 0 Ve omskrivningen kvrtet på en toleet størrelse, får vi gnske vist et le = for meget, når vi uregner prentesen, så et hr vi trukket fr. Ligningen kn nu skrives: ( - ) = 6 Denne ligning er på formen = k (noget i nen potens er lig me et tl), og en kn irekte løses - = - = - = = - Vi følger nu nøjgtig en smme fremgngsmåe me en oprinelige ligning, iet vi først ivierer ligningen me. c 0 Hvis vi skl lve omskrivningen til kvrtet på en toleet størrelse ( + y), skl (/) være et oelte proukt. Sætter vi y = (/), ser vi t et net le y = /(). Vi foretger omskrivningen: c 0 Vi smler tllene på højre sie, og sætter på fælles røkstreg c Ligningen hr nu smme form som en simple ligning, og kn umielrt løses. Mn sætter = - c Denne størrelse kles for ligningens iskriminnt. Ligningen liver :

11 Ligninger og uligheer 9 D > 0 eler vi igen op i tilfæle: < 0 : Ligningen hr ingen løsninger. = 0 : Ligningen hr netop. løsning. > 0 : Ligningen hr to forskellige løsninger, iet mn finer: c hvor, Det siste utryk er en lminelige løsningsformel for nengrsligningen. Bemærk, t ette utryk også er gyligt, selvom = 0. Når mn skl løse til en nengrsligning, egyner mn lti me t uregne iskriminnten. Hvis < 0 hr ligningen ingen løsninger, og et er nytteløst (og heller ikke tilråeligt), t fortsætte uregningerne. Hvis > 0 insættes i løsningsformlen. Hvis = 0, kn mn nvene en simple løsningsformel, men en generelle løsningsformel kn også nvenes for =0. Eksempel Vi vil løse ligningen = 0 Først uregner vi iskriminnten: = - (-) = 9=, så > 0 D > 0 hr ligningen to løsninger. Vi insætter i løsningsformlen. 6

12 Ligninger og uligheer 0