ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG"

Transkript

1 ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel... side 5 2b Indsætte -værdi og beregne -værdi... side 6 2c Indsætte -værdi og beregne -værdi; det sker ved en ligning... side 7 2d Beregne -tllet, når vi kender to punkter på grfen... side 8 2e Finde b-tllet, når vi kender og et punkt på grfen... side 10 2f Beregne procentændringen i -værdi, når vi kender og procentændringen i -værdi... side 10 2g Beregne, når vi kender procentændringen i og dens tilhørende procentændring i... side 12 3 Blndede opgver med flere f begreberne (uden kontekst)... side 13 5 Tekstopgver, hvor begreberne bruges... side 14 6 Eksmensopgver... side 16

2 Øvehæfte mtemtik C. Potensiel smmenhæng Side 2 f 17 Potens-smmenhæng (potensudvikling), = b 1. Definition f potens-smmenhæng: = b, b positiv, positiv Omformning f = b : 1 b b b ( ) 2. Bestemmelse f ud fr to punkter ( 1, 1 ) og ( 2, 2 ) ( eller ) 3 Konstnten b Betdning i potensudviklingsmodel f og b Fremskrivningsfktorer. Når =1, er =b (om, se nedenfor, F og F ) 4. Fremskrivningsfktorer og vækstprocenter Når gnges med F, gnges med F F = (F ) og Hvor 1 F = 2 og 1 F = 2 Når ændres med p procent, ændres med p procent, hvor: p F 1 F = (F ) p = (F 1) (Kombintion f disse tre formler): p p Vækstegenskb Funktionen er voksende, når er positiv. Funktionen er ftgende, når er negtiv.

3 Øvehæfte mtemtik C. Potensiel smmenhæng Side 3 f 17 Uddbning f visse formler 1. Definition f potens-smmenhæng: = b, b positiv, positiv 3. Konstnten b Når =1, er =b Bevis: =1 indsættes i regneforskriften = b og vi får = b = b 1 = b 1 = b Vi kn også udtrkke konklusionen sådn t punket (,)=(1,b) ligger på grfen. Læg mærke til t b s betdning er nderledes her end ved lineære og eksponentielle smmenhænge. 4. Fremskrivningsfktorer og vækstprocenter Når gnges med F, gnges med F Bevis : F = (F ) og Vi nvender 1 F = 2 og 1 F = 2 smmen med regneforskriften = b og indskrænker os til et eksempel, hvor =3 (ellers skl mn bruge en potensregneregel). 1 = b 1 = b = b 2 Altså 2 = 1 (F ). = b 2 3 = b ( 1 F ) 3 = b 1 F 1 F 1 F Smmenholdt med 2 = 1 F ser vi t F = (F ) = b F F F = b 13 (F ) 3 = 1 (F ) 3 At lægge p procent til, er det smme som t gnge med fktoren F, hvor p F p At gnges med F er det smme som t ændres med p procent, hvor F 1 d.v.s. 100 p = (F 1) 100 Formlen F = (F ) p p kn kombineres på forskellige måder med F 1 og F Mest enkelt således: p p

4 Øvehæfte mtemtik C. Potensiel smmenhæng Side 4 f Bestemmelse f ud fr to punkter ( 1, 1 ) og ( 2, 2 ) Bevis: Formlen om fremskrivningsfktorer (4.) løses med hensn til (potensligning), og F og F indsættes til sidst: F F F F 5. Grferne

5 Øvehæfte mtemtik C. Potensiel smmenhæng Side 5 f 17 2 GRUNDLÆGGENDE FÆRDIGHEDER 2 Indentificere konstnterne og b i formlen = b Eksempel 1 Vi hr formlen = Bestem og b i potenssmmenhængen. Løsning: Tllet oven over er tllet 0.73; ltså er = 0.73 Tllet ikke-ved siden f er tllet 62; ltså er b = 62 Eksempel 2 Løsning: Vi hr formlen L = 0.27 h Bestem og b i potenssmmenhængen Her må L svre til, og h må svre til i formlen = b Tllet oven over h er tllet 1.17; ltså er = 1.17 Tllet ikke-ved siden f h er tllet 0.27; ltså er b = 0.27 Opgver Opg. 201 Vi hr formlen = Opskriv hvilken værdi og b hr: = b = Opg. 202 Vi hr formlen = Opskriv hvilken værdi og b hr: = b = Opg. 203 Vi hr formlen H = Opskriv hvilken værdi og b hr: = b = Opg. 204 Vi hr formlen = h -1 Opskriv hvilken værdi og b hr: = b = Opg. 205 Vi hr formlen P = Opskriv hvilken værdi og b hr: = b = Opg. 206 Vi hr formlen = 61.2 Opskriv hvilken værdi og b hr: = b = Opg. 207 Smmenhængen mellem dimeter og højde for visse meriknske træer kn beskrives ved modellen, hvor (meter) er træets dimeter 1,5 meter over jorden, og (meter) er træets højde. ) Identificer konstnterne og b i potens-modellen: = b =......

6 Øvehæfte mtemtik C. Potensiel smmenhæng Side 6 f 17 2b Indsætte -værdi og beregne -værdi Eksempel Vi hr formlen = Hvis vi indsætter = 7, får vi -værdien = = Hvis vi indsætter = 0.12, får vi -værdien = = Opgver Opg. 213 Den potensielle model er: = Beregn -værdien, når = 40: = 14: = 4.5: = 1550: Opg. 212 Den potensielle model er: = Beregn -værdien, når = 3: = 0.5: = 1: = 12: Opg. 214 Sturns mnge måner hr omløbstider, der fhænger f månernes fstnd fr Sturn. Smmenhængen kn beskrives ved, hvor T er omløbstiden, målt i døgn, og er fstnden, målt i tusind km. Afstnden fr Sturn til månen Clpso er 295 tusind km. ) Bestem Clpsos omløbstid.

7 Øvehæfte mtemtik C. Potensiel smmenhæng Side 7 f 17 2c Indsætte -værdi og beregne -værdi; det sker ved en ligning Eksempel Vi hr formlen = Bestem, når = 70 Løsning Hvis vi indsætter = 70, står der: 70 = Det er en ligning, hvor vi skl finde. Det kn vi gøre på tre måder: Metode 1 Metode 2 Vi bruger den færdige formel b eller 1 Heri indsætter vi = 70, = 2.74 og b = 450: Vi løser ligningen i hånden : så = , så = b Metode 3 Vi bruger lommeregnerens Solver. Opgver I de næste opgver skl du bruge lle tre metoder for t finde den metode, der er bedst for dig. Opg. 221 Potens-model: = Beregn -værdien, når = 29: = 0.13: = 300: Opg. 222 En potens- model: = Beregn -værdien, når = 6: = 0.5: = 16: = 45:

8 Øvehæfte mtemtik C. Potensiel smmenhæng Side 8 f 17 Opg. 223 Potens-model: = Beregn -værdien, når = 4: = 14: = 0.5: = 1550: Opgg.224 Ved undersøgelse f ørreder i Gudenåen og Rnders Fjord hr mn fundet følgende model for smmenhængen mellem en ørreds længde og dens vægt: hvor er længden (i cm) og vægten (i grm). b) Bestem længden f en ørred, der vejer 500 grm. Potenssmmenhænge, = b 2d Beregne tllet, når vi kender to punkter ( 1, 1 ) og ( 2, 2 ) på grfen Eksempel Grfen Grfen for =b går gennem punkterne (2, 14) og (9, 3). Bestem konstnten. Løsning 2 1 Vi skl indsætte i formlen 2 1 Vi nvngiver koordinterne: 1 = 2, 1 = 14 og så 2 = 9 og 2 = Så indsætter vi: Bemærk, t oplsningssættet»til = 2 svrer = 14 og til = 9 svrer = 3«i sit indhold er fuldstændig mgen til oplsningssættet med de to punkter.

9 Øvehæfte mtemtik C. Potensiel smmenhæng Side 9 f 17 Opgver Opg. 231 Grfen for =b går gennem punkterne (5, 14) og (2, 10). Bestem tllet. Skriv først: 1 =..., 1 =..., 2 =..., 2 =... Opskriv så formlen: = Opg. 232 Grfen for =b går gennem punkterne (15, 1.7) og (3, 1). Bestem tllet. Opg. 233 Grfen for =b går gennem punkterne (6, 7) og (1, 10). Bestem tllet. Opg. 234 For en potenssmmenhæng gælder, t til = 4 svrer = 0.16 og til = 0.35 svrer = 3. Bestem tllet. Opg. 235 Når en kvægvler skl bestemme vægten f en kvie, kn hn måle omkredsen f drets brst (bringemålet) og derefter finde vægten i en tbel. Tbellen viser smmenhængen mellem bringemål og vægt for kvier f Jerse-rcen. Bringemål (cm) Vægt (kg) Denne smmenhæng kn med god tilnærmelse beskrives ved = b, hvor er bringemålet (cm) og er vægten (kg). ) Bestem tllet.

10 Øvehæfte mtemtik C. Potensiel smmenhæng Side 10 f 17 2e Finde b-tllet, når vi kender og et punkt (, ) på grfen Formel: b Eksempel: Grfen for =b går gennem punkterne (2, 14) og (9, 3). Bestem konstnten b (forstsættelse f eksempel 2d på forrige side. Der fndt vi = ) Løsning 1: Som (, ) vælges et f de to opgivne punker, her vælger jeg (, ) = (2, 14), Tllene, og indsættes i formlen: 14 b Løsning 2: Som (, ) vælges et f de to opgivne punker, her vælger jeg (, ) = (2, 14), Tllene, og indsættes i regneforskriften, =b b = b = 14 (b isoleres ved t dividere med på begge sider 14 b b = 28,47 Løsning 3: Som (, ) vælges et f de to opgivne punker, her vælger jeg (, ) = (2, 14), Tllene, og indsættes i regneforskriften, = b : 14 = b Med CAS løses ligningen med hensn til b, og mn finder b = 28,47 Opgver: Bestem b i opgve ovenfor 2f Beregne procentændringen i -værdi, når vi kender og procentændringen i -værdi Metode 1 Eksempel: Vi hr en potenssmmenhæng = 0,5 2. Hvor mnge procent ændres med, når stiger med 20%? Løsning Vi vælger selv et tl-eksempel, her vælges 1 = 200. Når bliver 20% større, får vi: ( ) ( ) -værdierne udregnes: 1 = 0,5 1 2 = 0, = = 0,5 2 2 = 0, = Fremskrivningsfktor og procentændring i : ( ) ( ) Konklusion bliver 44% større, når stiger med 20%.

11 Øvehæfte mtemtik C. Potensiel smmenhæng Side 11 f 17 Metode 2 Vi hr en potenssmmenhæng = Hvor mnge procent ændres med, når flder med 25%? Løsning Vi hr = 1.1 D bliver 25% mindre, hr vi: p = 25 Vi kn bruge den kombinerede formel: p p p Konklusion bliver 37,2% større, når flder med 25%. Metode 3 Vi hr potens-smmenhængen = Hvor mnge procent stiger, når stiger 25%? Løsning Vi hr = 2.5 Når procentændringen på er p og procentændringen på er p, er formlerne: p F F ( F ) p ( F 1) 100 D bliver 25% større, hr vi: p = 25 p F 1 = =1.25 F = (F ) = = p = (F 1) 100 =( ) 100 = 74.7 Konklusion stiger 74.7%, når stiger med 25%. Opgver Opg. 251 Potens-smmenhængen er = Beregn den procentiske ændring i -værdien, når vokser med 55%: vokser med 2.7%: ftger med 16%:

12 Øvehæfte mtemtik C. Potensiel smmenhæng Side 12 f 17 Opg. 252 En potensmodel er = Beregn ændringen i -værdien, når bliver 3.8% større: bliver 27.6% mindre: flder med 0.5%: Opg. 253 Den potensielle smmenhæng er = Beregn ændringen i -værdien, når bliver 40% større: vokser med 100%: Opg. 254 Smmenhængen mellem dimeter og højde for visse meriknske træer kn beskrives ved modellen, hvor (meter) er træets dimeter 1,5 meter over jorden, og (meter) er træets højde. Et bestemt træs dimeter er over en periode vokset med 40 %. ) Hvor mnge procent højere er dette træ blevet? 2g Beregne, når vi kender procentændringen i og dens tilhørende procentændring i Eksempel Om en potens- smmenhæng oplses, t vokser med 14%, når bliver 25% større. Find. Løsning Vi isolerer i formlen ( ) og indsætter oplsningerne: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Opgver Find -tllet i de næste fire opgver: Opg. 261 Når bliver 6% større, vokser med 12% Opg. 262 Når bliver 81% større, bliver 29% mindre

13 Øvehæfte mtemtik C. Potensiel smmenhæng Side 13 f 17 Opg. 263 ftger med 7.8%, når vokser med 14.9% Opg. 264 Når bliver 19% mindre, ftger med 29% Opg. 265 Trfikken over Øresundsbroen er ikke så stor, som mn hvde forventet. I 2001 psserede der dgligt 8500 biler over broen, og den gennemsnitlige billetpris vr 120 kr. Ifølge modelberegninger, som selskbet Øresundsbron hr foretget, vil en nedsættelse f billetprisen med 10% øge ntllet f biler over broen med 28%. I det følgende ntges, t ntllet f biler, der dgligt psserer over broen, er givet ved regneforskriften = b, hvor er billetprisen i kr. (Kilde: Øresundsbron, 2001) ) Bestem konstnten 3 BLANDEDE OPGAVER UDEN KONTEKST Opg. 303 Vi hr formlen = b. Grfen går gennem punkterne (7, 1) og (2, 8.5) ) Bestem tllene og b. b) Hvilken -værdi svrer til = 35? c) bliver 35% større; hvor mnge procent ændres?

14 Øvehæfte mtemtik C. Potensiel smmenhæng Side 14 f 17 Opg. 305* Om en potens-smmenhæng, = b, oplses, t grfen går gennem punktet (1, 75) ) Bestem b-tllet i formlen. Endvidere oplses, t bliver 18% mindre, når vokser med 26%. b) Bestem -tllet i formlen. c) Bestem værdien f, når = 40 d) Hvor mnge procent ftger, når bliver 58% større? Kpitel 5 Blndede Opgver i potenssmmenhænge Opg. 501 Jo større en vindmølle er, desto større effekt kn den producere. Smmenhængen mellem dimeteren f vingerne og effekten beskrives ved en formel = b, hvor er dimeteren f vingerne. Hvis vingerne er 29 m i dimeter, producerer møllen 225 kw, og med dimeter 86 m produceres 2500 kw. ) Bestem en model, der beskriver smmenhængen mellem vingernes dimeter og den producerede effekt. b) Beregn dimeteren, når effekten er 1000 kw. En mølleejer hr to vindmøller. Mølle B hr 20% større vingedimeter end mølle A. c) Hvor mnge procent er effekten fr mølle B større end effekten fr mølle A?

15 Øvehæfte mtemtik C. Potensiel smmenhæng Side 15 f 17 Opg. 502 En kompressor producerer trkluft. Hvis der er et hul i et trkluftsrør, medfører det nedst effektivitet for kompressoren. Denne nedsættelse betegnes effekttbet. Hvis effekttbet kldes P, er P = b, hvor er dimeteren f hullet. Et hul på 3.0 mm giver et effekttb på 3.1 kw, og et hul på 7.0 mm giver et tb på 16 kw. ) Bestem tllene og b. b) Beregn effekttbet, når hullets dimeter er 4.0 mm. c) Find den dimeter, der giver et effekttb på 10 kw. Opg. 507 Hvis en bil kører ind i en mur med en hstighed på 50 km/t, svrer det til, t den rmmer jorden efter et frit fld fr 3. sl. En hstighed på 80 km/t svrer til et frit fld fr 8. sl. Det oplses, t hstigheden, målt i km/t, efter et frit fld fr te sl kn beskrives ved = b. ) Bestem tllene og b. b) Find hstigheden efter et frit fld fr 4. sl. c) Find, fr hvilken sl et frit fld mindst skl strte, for t hstigheden når op over 100 km/t.

16 Øvehæfte mtemtik C. Potensiel smmenhæng Side 16 f 17 6 EKSAMENSOPGAVER (Besvr på rk for sig med forklringer, mellemregninger, konklusioner) Opgve 1 En funktion er givet ved = 435 2, 56. ) Bestem, hvor mnge procent vokser, når vokser med 11% Opgve 2 Smmenhængen mellem indtgelse f frugt og grønt gennem længere tid og det årlige ntl kræftdødsfld i Dnmrk kn beskrives ved modellen hvor ngiver det årlige ntl kræftdødsfld i Dnmrk, og ngiver det gennemsnitlige dglige indtg f frugt og grønt i grm. ) Hvor mnge procent ville det årlige ntl kræftdødsfld være mindre, hvis det dglige indtg f frugt og grønt vr 20 % større? Opgve 3 Luftmodstnden på en bil fhænger f bilens frt. For en bestemt bil kn smmenhængen mellem bilens frt (målt i km/time) og luftmodstnden (målt i newton) beskrives ved ) Hvor stor er luftmodstnden, når bilens frt er 80 km/time? b) Hvor mnge procent vokser luftmodstnden, hvis bilens frt øges med 30%? Opgve 4 Smmenhængen mellem kropsvægt og skeletvægt for pttedr kn med god tilnærmelse beskrives ved modellen = b hvor er kropsvægten, målt i kg, og er skeletvægten, målt i kg. Et menneske, der vejer 70 kg, hr tpisk en skeletvægt på 5,9 kg. En hund, der vejer 20 kg, hr tpisk en skeletvægt på 1,5 kg. ) Bent disse oplsninger til t bestemme tllene og b. Skeletvægten for en elefnt er 787 kg. b) Bent modellen til t bestemme elefntens kropsvægt. En ktteejer hr to ktte, en benglkt og en simeserkt. Benglktten vejer 50 % mere end simeserktten. c) Hvor mnge procent er benglkttens skeletvægt større end simeserkttens skeletvægt?

17 Øvehæfte mtemtik C. Potensiel smmenhæng Side 17 f 17 Opgve 5 Ved undersøgelse f ørreder i Gudenåen og Rnders Fjord hr mn fundet følgende model for smmenhængen mellem en ørreds længde og dens vægt: hvor er længden (i cm) og vægten (i grm). ) Bestem vægten f en ørred, der hr længden 30 cm. b) Bestem længden f en ørred, der vejer 500 grm. c) Hvor mnge procent vokser vægten, når en ørred bliver 15 % længere? Opgve 6 Sturns mnge måner hr omløbstider, der fhænger f månens fstnd fr Sturn. Smmenhængen kn beskrives ved, hvor T er omløbstiden, målt i døgn, og er fstnden, målt i tusind km. Afstnden fr Sturn til månen Clpso er 295 tusind km. ) Bestem Clpsos omløbstid. Helene er også en f Sturns måner. Afstnden fr Sturn til Helene er 28 % større end fstnden fr Sturn til Clpso. b) Hvor mnge procent er omløbstiden for Helene større end omløbstiden for Clpso?

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...

Læs mere

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009. Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a.

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a. 5. FORSKRIFT FOR EN POTENSFUNKTION Vi hr i vores gennemgng f de forskellige funktionstper llerede være inde på udtrk, som indeholder forskellige potenser f I dette kpitel skl vi se på forskellige tper

Læs mere

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning

Læs mere

Potens regression med TI-Nspire

Potens regression med TI-Nspire Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner Eksmensspørgsmål: Potens-funktioner Definition:... 1, mønt flder ned:... 1 Log y er en liner funktion f log x... 2 Regneforskrift... 2... 2 Smmenhæng mellem x og y ved potens-vækst... 3 Tegning f grf for

Læs mere

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0. Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer

Læs mere

GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Udgve 014 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. VÄkstrte.... Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst 4.

Læs mere

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen, INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE Formelsamling... side Grundlæggende færdigheder... side 4 a Finde konstanterne a og b i en regneforskrift (og p eller r)... side 4 b

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER

STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 007 007-8-V MATEMATISK LINJE -ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER Tirsdg den 18 december 007 kl 900-1000 BESVARELSEN AFLEVERES KL 1000 Der

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Dæmonen. Efterbehandlingsark C. Spørgsmål til grafen over højden.

Dæmonen. Efterbehandlingsark C. Spørgsmål til grafen over højden. Efterbehndlingsrk C Dæmonen Nedenfor er vist to grfer for bevægelsen i Dæmonen. Den første grf viser hvor mnge gnge du vejer mere eller mindre end din normle vægt. Den nden grf viser højden. Spørgsmål

Læs mere

Matematikkens sprog INTRO

Matematikkens sprog INTRO Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

Eksamensopgave august 2009

Eksamensopgave august 2009 Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeborg 09-0-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Udrbejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger fejl i

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den

Læs mere

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

PotenssammenhÄnge. 2009 Karsten Juul

PotenssammenhÄnge. 2009 Karsten Juul PotenssmmenhÄnge y b y k k 009 Krsten Juul Dette häfte er en fortsättelse f häftet "Eksponentielle smmenhänge, 009". Indhold 4. Hvd er en potens-smmenhäng?... 83 5. Hvordn ser grfen ud for en potens-smmenhäng...

Læs mere

1. Honningpriser. Skemaet viser vregt og priser pi dansk og udenlandsk honning. Dansk honning

1. Honningpriser. Skemaet viser vregt og priser pi dansk og udenlandsk honning. Dansk honning , i 1. Honningpriser Skemet viser vregt og priser pi dnsk og udenlndsk honning. o Hvor stor er prisen i lt for 2 brgre lynghonning og 3 bregre okologisk honning. o Hvor stor er forskellen i pris pi den

Læs mere

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k 0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)

Læs mere

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul Kot om Potenssmmenhænge 011 Ksten Juul Dette hæfte indeholde pensum i potenssmmenhænge, heunde popotionle og omvendt popotionle vible, fo gymnsiet og hf. Indhold 1. Ligning og gf fo potenssmmenhænge...

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

Ligninger. 1 a 3 b 2 c 8 d 9 e 42 f 6 g 70 h 9 i 2 eller 2 j 13 k 8 l 9 eller 9

Ligninger. 1 a 3 b 2 c 8 d 9 e 42 f 6 g 70 h 9 i 2 eller 2 j 13 k 8 l 9 eller 9 Ligninger 1 3 2 c 8 d 9 e 42 f 6 g 70 h 9 i 2 eller 2 j 13 k 8 l 9 eller 9 2 c d e f 6 æg + 5 høns. 1 æle + 13 pærer. 5 myg + 1 flue. 6x + 5y + 13 3x + 5y 3 4 Gælder i nogle tilfælde. Gælder ltid. c Gælder

Læs mere

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet.

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet. !#" $ "&% (')"&*,+.-&/102%435"&6,+879$ *1')*&: or et system, hvor kun den termiske energi ændres, vil tilvæksten E term i den termiske energi være: E term A + Q hvor A er de ydre kræfters rbejde på systemet

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side 3 2b Indsætte x-værdi og

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17 Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil

Læs mere

114 Matematiske Horisonter

114 Matematiske Horisonter 114 Mtemtiske Horisonter Mtemtik i medicinudvikling Af Ph.d-studerende Ann Helg Jónsdóttir, Ph.d-studerende Søren Klim, Ph.d-studerende Stig Mortensen og Professor Henrik Mdsen, DTU Informtik Hovedpinen

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger Mtemtikkens msterier - på et højt niveu f Kenneth Hnsen 3. Differentilligninger N N N 3 A A k k Indholdsfortegnelse 3. Introduktion 3. Dnmiske sstemer 3 3.3 Seprtion f de vrible 8 3.4 Vækstmodeller 8 3.5

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Krumningsradius & superellipsen

Krumningsradius & superellipsen Krumningsrdius & suerellisen Side /5 Steen Toft Jørgensen Krumningsrdius & suerellisen Formålet med dette mini-rojekt er t erhverve mtemtisk viden om krumningsrdius f en kurve og nvende denne viden å det

Læs mere

Differentialregning. integralregning

Differentialregning. integralregning Differentilregning og integrlregning Ib Micelsen Ikst 013 Indoldsfortegnelse Tegneøvelser...3 Introduktion... Definition f differentilkvotient og tngent...6 Tngentældninger...7 Den fledte funktion...7

Læs mere

Vektorer. koordinatgeometri

Vektorer. koordinatgeometri Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl VEKTORER Koordinter til pnkt i plnen Koordinter til pnkt i rmmet Vektor: Definition, sprogrg, mm 4 Vektor: Koordinter 5 Koordinter til ektors

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grønlnd Mtemtisk formelsmling til B-niveu, GUX Grønlnd Deprtementet for uddnnelse 05 Redktion: Rsmus Andersen, Jens Thostrup MtemtiskformelsmlingtilB-niveu GUX Grønlnd FORORD

Læs mere

Et udvalg af funktionerne tegnet på grafregneren (eller her med Derive)

Et udvalg af funktionerne tegnet på grafregneren (eller her med Derive) GDS, opgve 85 En strt på opgven (undervisnings- og tvleprotokol): En milie unktioner hr orskrit 4 ( ) + R, Et udvlg unktionerne tegnet på grregneren (eller her med Derive) Værdier tllet, or hvilke hr henholdsvis

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold BRØER... PARENTESER...3 PROCENT...4 RENTE...5 INDES...6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... Ret- vinklet treknt...8

Læs mere

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til Niels Junges formelsmling Formelsmling i Mtemtik på C og B og A niveu Dette er en formelsmling der er under konstnt udvikling Så hvis du hr ønsker til denne så sig til Indhold Tble of Contents Specielle

Læs mere

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse FOMELSAMLNG ndholdsfortegnelse ndholdsfortegnelse... EL-LÆE...3 Ohm s lov:...3 Effekt lov:...3 egler ved måling:...3 egler ved serieforbindelser:...3 egler ved prllelforbindelser:...4 egler ved blndede

Læs mere

1. Eksperimenterende geometri og måling

1. Eksperimenterende geometri og måling . Eksperimenterende geometri og måling Undersøgelse Undersøgelsen drejer sig om det såkldte Firfrveproblem. For mere end 00 år siden fndt mn ved sådnne undersøgelser frem til, t fire frver er nok til t

Læs mere

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler Mt. B (Sån huskes fomlerne) Formler, som skl kunnes til prøven uen hjælpemiler Inhol Her er tilføjet emærkninger til nogle f formlerne BRØKER... PARENTESER... EKSPONENTER... LOGARITMER... GEOMETRI... Arel

Læs mere

KEGLESNIT OG BANEKURVER

KEGLESNIT OG BANEKURVER KEGLESNIT OG BANEKURVER x-klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium INDHOLDSFORTEGNELSE INDHOLDSFORTEGNELSE... BEGREBET KEGLE... 3 KEGLESNIT... 5 Cirkel... 6 Ellipse... 8 Prbel... 15 Hyperbel... 19 Keglesnitsligninger

Læs mere

- 81 - , x I. kmx. Sætningen bevises ikke her. Interesserede læsere henvises til bogen: Differentialligninger og matematiske

- 81 - , x I. kmx. Sætningen bevises ikke her. Interesserede læsere henvises til bogen: Differentialligninger og matematiske - 8 - Appendi : Logistisk vækst og integrlregning. I forbindelse med eksponentielle vækstfunktioner er der tle om en vækstform, hvor funktionens væksthstighed er proportionl med den ktuelle funktionsværdi,

Læs mere

SoundSations! Sow[' 9arcft LtbrarY- 'M6k:::'t;q:v:,& l. l(rb af datamaskine. 2. llusikplogram. Pia overvejer at ksbe en datamaskine.

SoundSations! Sow[' 9arcft LtbrarY- 'M6k:::'t;q:v:,& l. l(rb af datamaskine. 2. llusikplogram. Pia overvejer at ksbe en datamaskine. l. l(rb f dtmskine Pi overvejer t ksbe en dtmskine. Hvor meget ville Pi komme til t betle for dtmskinen PC 386, nar der betles 295 kr. pr. maned i36 maneder? Hvor meget ville hun spre ved t kobe kontnt?

Læs mere

Analyse 30. januar 2015

Analyse 30. januar 2015 30. jnur 2015 Større dnsk indkomstulighed skyldes i høj grd stigende kpitlindkomster Af Kristin Thor Jkosen Udgivelsen f Thoms Pikettys Kpitlen i det 21. århundrede hr fstedkommet en del diskussion f de

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf 013 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde.... 1 LineÄr väkst. LineÄr funktion... 3. LineÄr väkst... 4. Skriv

Læs mere

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011 Mtemtik - introduktion Mrtin Luesen Februry 23, 2011 1 Contents 1 Aritmetik og elementær lgebr 3 1.1 Symboler............................... 3 1.1.1 ligheder............................ 4 1.1.2 uligheder...........................

Læs mere

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2-3

Læs mere

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....

Læs mere

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE... MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri Mtemtikkens mysterier - på et oligtorisk niveu f Kenneth Hnsen 2. Trigonometri T D Hvd er fstnden fr flodred til flodred? 2. Trigonometri og geometri Indhold.0 Indledning 2. Vinkler 3.2 Treknter og irkler

Læs mere

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion)

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion) Mere end lot lektiehjælp Få topkrkter i din SRP 12: Hovedfsnittene i din SRP (Redegørelse, nlyse, diskussion) Hjælp til SRP-opgven Sidste år hjlp vi 3.600 gymnsieelever med en edre krkter i deres SRP-opgve.

Læs mere

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen Gmnsie-Mtemtik Søren Toftegrd Olsen Søren Toftegrd Olsen Skovvænget 6-B 7080 Børkop Gmnsie-Mtemtik. udgve, revision 0 ISBN 978-87-99996-0-0 VIGTIGT: Denne og må ikke sælges eller ændres; men kn frit kopieres.

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

Opgave 1 ( Toppunktsformlen )

Opgave 1 ( Toppunktsformlen ) Opgve 1 ( Toppunktsformlen ) Et nengrspolynomium er givet ve f x x 2 b x c. For t fine toppunktet vil vi først ifferentiere f x Derefter løser vi ligningen f ' x x b f ' x 0 x b 0 x b D f ' x x b er en

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 1 Introduktion... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 4 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side

Læs mere

Lukkede flader med konstant krumning

Lukkede flader med konstant krumning Lukkede flder med konstnt krumning Hns Anton Slomonsen Arhus Universitet Mrch 13, 2015 En flde i rummet B A giver nledning til to mål for fstnden mellem to punkter A og B på flden: - længden f den rette

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 39, 009 Produceret f Hns J. Munkholm 1 Linerisering s. 66-67 Lineriseringen f f omkring x =, er den lineære funktion, der hr tngenten som grf. Klder mn den L er forskriften

Læs mere

gudmandsen.net Geometri C & B

gudmandsen.net Geometri C & B gudmndsen.net Geometri C & B Indholdsfortegnelse 1 Geometri & trigonometri...2 1.1 Område...2 2 Ensvinklede treknter...3 2.1.1 Skleringsfktoren...4 3 Retvinklede treknter...5 3.1 Pythgors lærersætning...5

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul Bogstvregning En indledning for st og f. del 008 Krsten Juul ) )( ( ) ( ) ( Indold 0. Gnge to prenteser....,, osv... 7. Kvdrtsætninger... 0. Brøer. del... Bogstvregning. En indledning for st og f.. del.

Læs mere

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning 1 Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning 1.1 Fremdregning og tilgeregning...2 1.2 Æskeregning...2 1.3 Høseringe-regning, indkodning og fkodning...3 1.4 Vndret tilgeregning, t dnse en ligning...3

Læs mere

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til Niels Junges formelsmling Formelsmling i Mtemtik på C og B og A niveu Dette er en formelsmling der er under konstnt udvikling Så hvis du hr ønsker til denne så sig til Indhold Tble of Contents Specielle

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12 Mtemtisk modellering numeriske metoder Lektion 12 Morten Grud Rsmussen 21. oktober, 213 1 Prtielle differentilligninger 1.1 Løsning f vrmeligningen vh. Fourierrækker [Bens sektion 12.6 på side 558] Vi

Læs mere

Elementær Matematik. Plangeometri

Elementær Matematik. Plangeometri Elementær Mtemtik Plngeometri Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 006 Kp Indhold. Plngeometriens Aksiomer.... Vinkler.... Et pr simple geometriske sætninger...3 Kp. Trekntskonstruktion...5. Kongruenssætningerne...5.

Læs mere

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º). Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter

Læs mere

Et liv uden styrende rusmidler. Fylder alkohol for meget?

Et liv uden styrende rusmidler. Fylder alkohol for meget? Et liv uden styrende rusmidler Fylder lkohol for meget? 2 Novvis tilbud Novvi vretger blndt ndet lkoholbehndlingen for mnge f kommunerne på Sjællnd. Foregår mbulnt uden indlæggelse, så du kn psse dine

Læs mere

Projekt 4.1 Potensbegrebet og geometriske rækker

Projekt 4.1 Potensbegrebet og geometriske rækker Hvd er mtemtik? C, i-bog ISBN 978 87 766 499 8 Projekter: pitel 4 Projekt 4. Potesbegrebet og geometriske rækker Vi hr defieret e ekspoetiel vækst, som e vækstmodel, hvor de fhægige vribel, - værdie, fremskrives

Læs mere

Integralregning. Erik Vestergaard

Integralregning. Erik Vestergaard Integrlregning Erik Vestergrd Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, Hderslev 4 Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse. Indledning 4. Stmfunktioner 4. Smmenhængen

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C RENTESREGNING

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C RENTESREGNING ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C RENTESREGNING hvor a INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Introduktion... side 1 Renters rente på 4 måder... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2c Anvendelse af kapitalfremskrivningsformlen

Læs mere

International økonomi

International økonomi Interntionl økonomi Indhold Interntionl økonomi... 1 Bilg I1 Oversigt over smmenhæng mellem kompetencer og kernestof i 3 skriftlige eksmensopgver i Interntionl økonomi A.... 2 Bilg I2 Genrer i IØ fr oplæg

Læs mere

GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner GrundlÄggende funktioner for B-niveu i st Udgve 016 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i st Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. VÄkstrte.... Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst. LineÄr

Læs mere

Om Dido var kyndig i matematik er nok tvivlsomt, men hun havde i hvert fald en veludviklet logisk sans, som vi skal se.

Om Dido var kyndig i matematik er nok tvivlsomt, men hun havde i hvert fald en veludviklet logisk sans, som vi skal se. Forord. Det isoperimetriske problem går i l sin enkelhed ud på t finde den lukkede kurve i plnen, blndt en mængde f kurver lle med smme omkreds, som fgrænser det størst mulige rel. Løsningen til det isoperimetriske

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere

K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN. Matematik F Geometri

K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN. Matematik F Geometri K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN Mtemtik F Geometri www.if.dk Mtemtik F Geometri Forord Redktør Hgen Jørgensen År 2004 est. nr. Erhvervsskolernes Forlg Munkehtten 28 5220 Odense

Læs mere

Eksamen Analyse 1, Juni 2015, Besvarelse 1. Opgave 1. ( ln x) q x p dx =

Eksamen Analyse 1, Juni 2015, Besvarelse 1. Opgave 1. ( ln x) q x p dx = Eksmen Anlyse, Juni 25, Besvrelse Ld p >, q, og r. Opgve () Vis t integrlet ( ln x)r x p dx konvergerer. [Vink: Smmenlign med x s for pssende vlgt s.] ( ln x)q x p dx. [Vink: Anvend (b) Bevis formlen (

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningseskrivelse Stmoplysninger til rug ved prøver til gymnsile uddnnelser Termin Juni 2016 Institution Uddnnelse Fg og niveu Lærere Hold Fvrskov Gymnsium Stx Mtemtik A Peter Lundøer (Lu) 3k Mtemtik

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

- 77 - i stedet for ( f ), så vi har, at f (x) = 6x, x R. Funktionen f

- 77 - i stedet for ( f ), så vi har, at f (x) = 6x, x R. Funktionen f - 77 - Appendi : Den delt fledede f en funktin. Sm eken gælder der, t funktinen f() 3 er differentiel fr lle R, g t f () 3. Vi kn derfr til et vilkårligt punkt tilrdne differentilkvtienten f f i, hvrved

Læs mere