ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG

Transkript

1 ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel... side 5 2b Indsætte -værdi og beregne -værdi... side 6 2c Indsætte -værdi og beregne -værdi; det sker ved en ligning... side 7 2d Beregne -tllet, når vi kender to punkter på grfen... side 8 2e Finde b-tllet, når vi kender og et punkt på grfen... side 10 2f Beregne procentændringen i -værdi, når vi kender og procentændringen i -værdi... side 10 2g Beregne, når vi kender procentændringen i og dens tilhørende procentændring i... side 12 3 Blndede opgver med flere f begreberne (uden kontekst)... side 13 5 Tekstopgver, hvor begreberne bruges... side 14 6 Eksmensopgver... side 16

2 Øvehæfte mtemtik C. Potensiel smmenhæng Side 2 f 17 Potens-smmenhæng (potensudvikling), = b 1. Definition f potens-smmenhæng: = b, b positiv, positiv Omformning f = b : 1 b b b ( ) 2. Bestemmelse f ud fr to punkter ( 1, 1 ) og ( 2, 2 ) ( eller ) 3 Konstnten b Betdning i potensudviklingsmodel f og b Fremskrivningsfktorer. Når =1, er =b (om, se nedenfor, F og F ) 4. Fremskrivningsfktorer og vækstprocenter Når gnges med F, gnges med F F = (F ) og Hvor 1 F = 2 og 1 F = 2 Når ændres med p procent, ændres med p procent, hvor: p F 1 F = (F ) p = (F 1) (Kombintion f disse tre formler): p p Vækstegenskb Funktionen er voksende, når er positiv. Funktionen er ftgende, når er negtiv.

3 Øvehæfte mtemtik C. Potensiel smmenhæng Side 3 f 17 Uddbning f visse formler 1. Definition f potens-smmenhæng: = b, b positiv, positiv 3. Konstnten b Når =1, er =b Bevis: =1 indsættes i regneforskriften = b og vi får = b = b 1 = b 1 = b Vi kn også udtrkke konklusionen sådn t punket (,)=(1,b) ligger på grfen. Læg mærke til t b s betdning er nderledes her end ved lineære og eksponentielle smmenhænge. 4. Fremskrivningsfktorer og vækstprocenter Når gnges med F, gnges med F Bevis : F = (F ) og Vi nvender 1 F = 2 og 1 F = 2 smmen med regneforskriften = b og indskrænker os til et eksempel, hvor =3 (ellers skl mn bruge en potensregneregel). 1 = b 1 = b = b 2 Altså 2 = 1 (F ). = b 2 3 = b ( 1 F ) 3 = b 1 F 1 F 1 F Smmenholdt med 2 = 1 F ser vi t F = (F ) = b F F F = b 13 (F ) 3 = 1 (F ) 3 At lægge p procent til, er det smme som t gnge med fktoren F, hvor p F p At gnges med F er det smme som t ændres med p procent, hvor F 1 d.v.s. 100 p = (F 1) 100 Formlen F = (F ) p p kn kombineres på forskellige måder med F 1 og F Mest enkelt således: p p

4 Øvehæfte mtemtik C. Potensiel smmenhæng Side 4 f Bestemmelse f ud fr to punkter ( 1, 1 ) og ( 2, 2 ) Bevis: Formlen om fremskrivningsfktorer (4.) løses med hensn til (potensligning), og F og F indsættes til sidst: F F F F 5. Grferne

5 Øvehæfte mtemtik C. Potensiel smmenhæng Side 5 f 17 2 GRUNDLÆGGENDE FÆRDIGHEDER 2 Indentificere konstnterne og b i formlen = b Eksempel 1 Vi hr formlen = Bestem og b i potenssmmenhængen. Løsning: Tllet oven over er tllet 0.73; ltså er = 0.73 Tllet ikke-ved siden f er tllet 62; ltså er b = 62 Eksempel 2 Løsning: Vi hr formlen L = 0.27 h Bestem og b i potenssmmenhængen Her må L svre til, og h må svre til i formlen = b Tllet oven over h er tllet 1.17; ltså er = 1.17 Tllet ikke-ved siden f h er tllet 0.27; ltså er b = 0.27 Opgver Opg. 201 Vi hr formlen = Opskriv hvilken værdi og b hr: = b = Opg. 202 Vi hr formlen = Opskriv hvilken værdi og b hr: = b = Opg. 203 Vi hr formlen H = Opskriv hvilken værdi og b hr: = b = Opg. 204 Vi hr formlen = h -1 Opskriv hvilken værdi og b hr: = b = Opg. 205 Vi hr formlen P = Opskriv hvilken værdi og b hr: = b = Opg. 206 Vi hr formlen = 61.2 Opskriv hvilken værdi og b hr: = b = Opg. 207 Smmenhængen mellem dimeter og højde for visse meriknske træer kn beskrives ved modellen, hvor (meter) er træets dimeter 1,5 meter over jorden, og (meter) er træets højde. ) Identificer konstnterne og b i potens-modellen: = b =......

6 Øvehæfte mtemtik C. Potensiel smmenhæng Side 6 f 17 2b Indsætte -værdi og beregne -værdi Eksempel Vi hr formlen = Hvis vi indsætter = 7, får vi -værdien = = Hvis vi indsætter = 0.12, får vi -værdien = = Opgver Opg. 213 Den potensielle model er: = Beregn -værdien, når = 40: = 14: = 4.5: = 1550: Opg. 212 Den potensielle model er: = Beregn -værdien, når = 3: = 0.5: = 1: = 12: Opg. 214 Sturns mnge måner hr omløbstider, der fhænger f månernes fstnd fr Sturn. Smmenhængen kn beskrives ved, hvor T er omløbstiden, målt i døgn, og er fstnden, målt i tusind km. Afstnden fr Sturn til månen Clpso er 295 tusind km. ) Bestem Clpsos omløbstid.

7 Øvehæfte mtemtik C. Potensiel smmenhæng Side 7 f 17 2c Indsætte -værdi og beregne -værdi; det sker ved en ligning Eksempel Vi hr formlen = Bestem, når = 70 Løsning Hvis vi indsætter = 70, står der: 70 = Det er en ligning, hvor vi skl finde. Det kn vi gøre på tre måder: Metode 1 Metode 2 Vi bruger den færdige formel b eller 1 Heri indsætter vi = 70, = 2.74 og b = 450: Vi løser ligningen i hånden : så = , så = b Metode 3 Vi bruger lommeregnerens Solver. Opgver I de næste opgver skl du bruge lle tre metoder for t finde den metode, der er bedst for dig. Opg. 221 Potens-model: = Beregn -værdien, når = 29: = 0.13: = 300: Opg. 222 En potens- model: = Beregn -værdien, når = 6: = 0.5: = 16: = 45:

8 Øvehæfte mtemtik C. Potensiel smmenhæng Side 8 f 17 Opg. 223 Potens-model: = Beregn -værdien, når = 4: = 14: = 0.5: = 1550: Opgg.224 Ved undersøgelse f ørreder i Gudenåen og Rnders Fjord hr mn fundet følgende model for smmenhængen mellem en ørreds længde og dens vægt: hvor er længden (i cm) og vægten (i grm). b) Bestem længden f en ørred, der vejer 500 grm. Potenssmmenhænge, = b 2d Beregne tllet, når vi kender to punkter ( 1, 1 ) og ( 2, 2 ) på grfen Eksempel Grfen Grfen for =b går gennem punkterne (2, 14) og (9, 3). Bestem konstnten. Løsning 2 1 Vi skl indsætte i formlen 2 1 Vi nvngiver koordinterne: 1 = 2, 1 = 14 og så 2 = 9 og 2 = Så indsætter vi: Bemærk, t oplsningssættet»til = 2 svrer = 14 og til = 9 svrer = 3«i sit indhold er fuldstændig mgen til oplsningssættet med de to punkter.

9 Øvehæfte mtemtik C. Potensiel smmenhæng Side 9 f 17 Opgver Opg. 231 Grfen for =b går gennem punkterne (5, 14) og (2, 10). Bestem tllet. Skriv først: 1 =..., 1 =..., 2 =..., 2 =... Opskriv så formlen: = Opg. 232 Grfen for =b går gennem punkterne (15, 1.7) og (3, 1). Bestem tllet. Opg. 233 Grfen for =b går gennem punkterne (6, 7) og (1, 10). Bestem tllet. Opg. 234 For en potenssmmenhæng gælder, t til = 4 svrer = 0.16 og til = 0.35 svrer = 3. Bestem tllet. Opg. 235 Når en kvægvler skl bestemme vægten f en kvie, kn hn måle omkredsen f drets brst (bringemålet) og derefter finde vægten i en tbel. Tbellen viser smmenhængen mellem bringemål og vægt for kvier f Jerse-rcen. Bringemål (cm) Vægt (kg) Denne smmenhæng kn med god tilnærmelse beskrives ved = b, hvor er bringemålet (cm) og er vægten (kg). ) Bestem tllet.

10 Øvehæfte mtemtik C. Potensiel smmenhæng Side 10 f 17 2e Finde b-tllet, når vi kender og et punkt (, ) på grfen Formel: b Eksempel: Grfen for =b går gennem punkterne (2, 14) og (9, 3). Bestem konstnten b (forstsættelse f eksempel 2d på forrige side. Der fndt vi = ) Løsning 1: Som (, ) vælges et f de to opgivne punker, her vælger jeg (, ) = (2, 14), Tllene, og indsættes i formlen: 14 b Løsning 2: Som (, ) vælges et f de to opgivne punker, her vælger jeg (, ) = (2, 14), Tllene, og indsættes i regneforskriften, =b b = b = 14 (b isoleres ved t dividere med på begge sider 14 b b = 28,47 Løsning 3: Som (, ) vælges et f de to opgivne punker, her vælger jeg (, ) = (2, 14), Tllene, og indsættes i regneforskriften, = b : 14 = b Med CAS løses ligningen med hensn til b, og mn finder b = 28,47 Opgver: Bestem b i opgve ovenfor 2f Beregne procentændringen i -værdi, når vi kender og procentændringen i -værdi Metode 1 Eksempel: Vi hr en potenssmmenhæng = 0,5 2. Hvor mnge procent ændres med, når stiger med 20%? Løsning Vi vælger selv et tl-eksempel, her vælges 1 = 200. Når bliver 20% større, får vi: ( ) ( ) -værdierne udregnes: 1 = 0,5 1 2 = 0, = = 0,5 2 2 = 0, = Fremskrivningsfktor og procentændring i : ( ) ( ) Konklusion bliver 44% større, når stiger med 20%.

11 Øvehæfte mtemtik C. Potensiel smmenhæng Side 11 f 17 Metode 2 Vi hr en potenssmmenhæng = Hvor mnge procent ændres med, når flder med 25%? Løsning Vi hr = 1.1 D bliver 25% mindre, hr vi: p = 25 Vi kn bruge den kombinerede formel: p p p Konklusion bliver 37,2% større, når flder med 25%. Metode 3 Vi hr potens-smmenhængen = Hvor mnge procent stiger, når stiger 25%? Løsning Vi hr = 2.5 Når procentændringen på er p og procentændringen på er p, er formlerne: p F F ( F ) p ( F 1) 100 D bliver 25% større, hr vi: p = 25 p F 1 = =1.25 F = (F ) = = p = (F 1) 100 =( ) 100 = 74.7 Konklusion stiger 74.7%, når stiger med 25%. Opgver Opg. 251 Potens-smmenhængen er = Beregn den procentiske ændring i -værdien, når vokser med 55%: vokser med 2.7%: ftger med 16%:

12 Øvehæfte mtemtik C. Potensiel smmenhæng Side 12 f 17 Opg. 252 En potensmodel er = Beregn ændringen i -værdien, når bliver 3.8% større: bliver 27.6% mindre: flder med 0.5%: Opg. 253 Den potensielle smmenhæng er = Beregn ændringen i -værdien, når bliver 40% større: vokser med 100%: Opg. 254 Smmenhængen mellem dimeter og højde for visse meriknske træer kn beskrives ved modellen, hvor (meter) er træets dimeter 1,5 meter over jorden, og (meter) er træets højde. Et bestemt træs dimeter er over en periode vokset med 40 %. ) Hvor mnge procent højere er dette træ blevet? 2g Beregne, når vi kender procentændringen i og dens tilhørende procentændring i Eksempel Om en potens- smmenhæng oplses, t vokser med 14%, når bliver 25% større. Find. Løsning Vi isolerer i formlen ( ) og indsætter oplsningerne: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Opgver Find -tllet i de næste fire opgver: Opg. 261 Når bliver 6% større, vokser med 12% Opg. 262 Når bliver 81% større, bliver 29% mindre

13 Øvehæfte mtemtik C. Potensiel smmenhæng Side 13 f 17 Opg. 263 ftger med 7.8%, når vokser med 14.9% Opg. 264 Når bliver 19% mindre, ftger med 29% Opg. 265 Trfikken over Øresundsbroen er ikke så stor, som mn hvde forventet. I 2001 psserede der dgligt 8500 biler over broen, og den gennemsnitlige billetpris vr 120 kr. Ifølge modelberegninger, som selskbet Øresundsbron hr foretget, vil en nedsættelse f billetprisen med 10% øge ntllet f biler over broen med 28%. I det følgende ntges, t ntllet f biler, der dgligt psserer over broen, er givet ved regneforskriften = b, hvor er billetprisen i kr. (Kilde: Øresundsbron, 2001) ) Bestem konstnten 3 BLANDEDE OPGAVER UDEN KONTEKST Opg. 303 Vi hr formlen = b. Grfen går gennem punkterne (7, 1) og (2, 8.5) ) Bestem tllene og b. b) Hvilken -værdi svrer til = 35? c) bliver 35% større; hvor mnge procent ændres?

14 Øvehæfte mtemtik C. Potensiel smmenhæng Side 14 f 17 Opg. 305* Om en potens-smmenhæng, = b, oplses, t grfen går gennem punktet (1, 75) ) Bestem b-tllet i formlen. Endvidere oplses, t bliver 18% mindre, når vokser med 26%. b) Bestem -tllet i formlen. c) Bestem værdien f, når = 40 d) Hvor mnge procent ftger, når bliver 58% større? Kpitel 5 Blndede Opgver i potenssmmenhænge Opg. 501 Jo større en vindmølle er, desto større effekt kn den producere. Smmenhængen mellem dimeteren f vingerne og effekten beskrives ved en formel = b, hvor er dimeteren f vingerne. Hvis vingerne er 29 m i dimeter, producerer møllen 225 kw, og med dimeter 86 m produceres 2500 kw. ) Bestem en model, der beskriver smmenhængen mellem vingernes dimeter og den producerede effekt. b) Beregn dimeteren, når effekten er 1000 kw. En mølleejer hr to vindmøller. Mølle B hr 20% større vingedimeter end mølle A. c) Hvor mnge procent er effekten fr mølle B større end effekten fr mølle A?

15 Øvehæfte mtemtik C. Potensiel smmenhæng Side 15 f 17 Opg. 502 En kompressor producerer trkluft. Hvis der er et hul i et trkluftsrør, medfører det nedst effektivitet for kompressoren. Denne nedsættelse betegnes effekttbet. Hvis effekttbet kldes P, er P = b, hvor er dimeteren f hullet. Et hul på 3.0 mm giver et effekttb på 3.1 kw, og et hul på 7.0 mm giver et tb på 16 kw. ) Bestem tllene og b. b) Beregn effekttbet, når hullets dimeter er 4.0 mm. c) Find den dimeter, der giver et effekttb på 10 kw. Opg. 507 Hvis en bil kører ind i en mur med en hstighed på 50 km/t, svrer det til, t den rmmer jorden efter et frit fld fr 3. sl. En hstighed på 80 km/t svrer til et frit fld fr 8. sl. Det oplses, t hstigheden, målt i km/t, efter et frit fld fr te sl kn beskrives ved = b. ) Bestem tllene og b. b) Find hstigheden efter et frit fld fr 4. sl. c) Find, fr hvilken sl et frit fld mindst skl strte, for t hstigheden når op over 100 km/t.

16 Øvehæfte mtemtik C. Potensiel smmenhæng Side 16 f 17 6 EKSAMENSOPGAVER (Besvr på rk for sig med forklringer, mellemregninger, konklusioner) Opgve 1 En funktion er givet ved = 435 2, 56. ) Bestem, hvor mnge procent vokser, når vokser med 11% Opgve 2 Smmenhængen mellem indtgelse f frugt og grønt gennem længere tid og det årlige ntl kræftdødsfld i Dnmrk kn beskrives ved modellen hvor ngiver det årlige ntl kræftdødsfld i Dnmrk, og ngiver det gennemsnitlige dglige indtg f frugt og grønt i grm. ) Hvor mnge procent ville det årlige ntl kræftdødsfld være mindre, hvis det dglige indtg f frugt og grønt vr 20 % større? Opgve 3 Luftmodstnden på en bil fhænger f bilens frt. For en bestemt bil kn smmenhængen mellem bilens frt (målt i km/time) og luftmodstnden (målt i newton) beskrives ved ) Hvor stor er luftmodstnden, når bilens frt er 80 km/time? b) Hvor mnge procent vokser luftmodstnden, hvis bilens frt øges med 30%? Opgve 4 Smmenhængen mellem kropsvægt og skeletvægt for pttedr kn med god tilnærmelse beskrives ved modellen = b hvor er kropsvægten, målt i kg, og er skeletvægten, målt i kg. Et menneske, der vejer 70 kg, hr tpisk en skeletvægt på 5,9 kg. En hund, der vejer 20 kg, hr tpisk en skeletvægt på 1,5 kg. ) Bent disse oplsninger til t bestemme tllene og b. Skeletvægten for en elefnt er 787 kg. b) Bent modellen til t bestemme elefntens kropsvægt. En ktteejer hr to ktte, en benglkt og en simeserkt. Benglktten vejer 50 % mere end simeserktten. c) Hvor mnge procent er benglkttens skeletvægt større end simeserkttens skeletvægt?

17 Øvehæfte mtemtik C. Potensiel smmenhæng Side 17 f 17 Opgve 5 Ved undersøgelse f ørreder i Gudenåen og Rnders Fjord hr mn fundet følgende model for smmenhængen mellem en ørreds længde og dens vægt: hvor er længden (i cm) og vægten (i grm). ) Bestem vægten f en ørred, der hr længden 30 cm. b) Bestem længden f en ørred, der vejer 500 grm. c) Hvor mnge procent vokser vægten, når en ørred bliver 15 % længere? Opgve 6 Sturns mnge måner hr omløbstider, der fhænger f månens fstnd fr Sturn. Smmenhængen kn beskrives ved, hvor T er omløbstiden, målt i døgn, og er fstnden, målt i tusind km. Afstnden fr Sturn til månen Clpso er 295 tusind km. ) Bestem Clpsos omløbstid. Helene er også en f Sturns måner. Afstnden fr Sturn til Helene er 28 % større end fstnden fr Sturn til Clpso. b) Hvor mnge procent er omløbstiden for Helene større end omløbstiden for Clpso?