Diverse. Ib Michelsen

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Diverse. Ib Michelsen"

Transkript

1 Diverse Ib Michelsen Ikst 2008

2 Forsidebilledet Version: 0.02 ( ) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider)

3 Indholdsfortegnelse Regning med procent og indeks... 5 Indledning... 7 Procent... 7 Beregn lønforhøjelsen... 8 Beregn rbtten... 8 Indekstl... 9 Bsl Algebr vigtige sætninger Potensenser Definition f en potens I Bemærkninger Definition f en potens II Definition f en potens III Logrimefunktionen log(x) Den logritmiske skl Logritmefunktionen log log(x) Ligninger Hvd er en ligning? Nogle typiske eksempler Hvordn løses en ligning? Opstilling og løsning f ligning A3

4

5 % Regning med procent og indeks

6

7 Indledning Procent-tl og indeks-tl benyttes ofte: i dgligdgen, i forretningslivet, i det offentlige liv - kort sgt: lle steder. Skl vi dele fifty - fifty? Hun rvede 20 % f formuen Prisen er nedst med 60 % Mrginlsktten er 66 % Lønindekset steg i 10-året lidt mere end forbrugerprisindekset Nettovægten udgjorde 88 % f bruttovægten Renten er 5,6 % p.. Vægttbet udgjorde 30 % f den oprindelige vægt I lle disse tilfælde er der tle om, t vi måler det smme med 2 skler: én, hvor den undesøgte størrelse måles i kroner eller kg eller meter osv. og en nden, hvor der tles om procent (eller indekstl.). Grunden til, t der benyttes en ny skl, er t gøre det nemmere t smmenligne størrelser som fx. rentebeløb for kpitler f forskellig størrelse, lønforhøjelse med smtidige prisforhøjelser, vægttb for personer med forskellig strtvægt osv. Procent betyder: pr. hundrede. Den størrelse, der nvendes som udgngspunkt, sættes til 100 %. Der rbejdes nu med to skler til t måle det smme. Tger mn dobbelt så meget i følge den ene skl gælder det også for den nden skl. Og det gælder for enhver fktor - og lige meget hvilken f de to skler, der benyttes. Undersøg det på I stedet for t indføre en lng række formler til beregning, nvendes her kun denne simple observtion: t den smme fktor kn nvendes på begge skler. A7

8 Beregn lønforhøjelsen Som et eksempel oplyses, t Signe Jensen, der tjener kr. pr. måned, får en lønforhøjelse på 5 % (underforstået f den tidligere løn.) Beregn lønforhøjelsen. Tekst Kroner Procent Løn Lønforhøjelse 5% Rutinemæssigt udfyldes et skem som ovenstående med 3 kolonner: en (beskrivende) tekst, størrelsernes værdi (for så vidt de er kendt) med nvendelse f en skl med kroner som her eller kg eller... og til sidst procentkolonnen. Det er underforstået, t lønforhøjelsen beregnes som 5 % f den oprindelige løn; dvs. t den mnglende procent er 100 %. Skriv det tl ind i tbellen! Nu kendes forholdet mellem lønforhøjelse og løn; ved hjælp f procenttllene fås: k 5 / 100 Denne fktor kn også benyttes i kolonnen med kroner, således t: Lønforhøjelsen 22000*k 22000*5/ Lønforhøjelsen 1100 kr. Skriv også det tl ind i tbellen! Hvis vi hvde kendt lønforhøjelsen, men ikke den oprindelige løn, kunne lønnen være beregnet som Løn 1100/k; vi kn finde en fktor, der gælder i begge kolonner, når vi "bevæger" os i smme retning, men som vi dividerer med, når vi bevæger os i modstte retninger. En simpel kontrol siger, t store kronetl svrer til store procenttl, små kronetl svrer til små procenttl. Beregn rbtten I Dmernes Mgsin gives der nu 40 % rbt på sommerkjolerne. Fx koster en blåprikket kjole kun 180 kr. på udslget efter t rbtten er trukket fr. Hvor stor er rbtten? og den oprindelige pris? A8

9 Tekst Kroner Procent Oprindelig pris - Rbt 40% Udslgspris 180 Igen er det vigtigt t gøre sig klrt, hvilke størrelser der indgår og hvd der oplyses. Er kjolen nedst med 40 % eller til 40 %. Det er ikke det smme. (Hvd gælder her?) Hvor skl der stå 100 %? det er jo ikke oplyst, men det er underforstået, t procent beregnes f den oprindelige pris. Derfor udfylder du procentkolonnen øverst med 100 % og nederst med 60 %. Forholdet mellem udslgspris og rbt er (med tl fr procentkolonnen) k 60 / 40; derfor beregnes rbtten som: Rbt 180 / k 180 / (60 / 40) 120 Rbt 120 kr. Den oprindelige pris kn findes på tilsvrende måde eller som: Oprindelig pris Udslgspris + rbt Oprindelig pris Oprindelig pris 300 kr. Indekstl Når mn vil beskrive et tidsmæssigt forløb bruges ofte indekstl. Eksempler kunne være: forbrugerpriser lønindeks omsætning i et privt firm befolkningens størrelse... Som et eksempel vises herunder: BYG5X: A9

10 Reguleringsindeks for boligbyggeri År 1987 (jn) Reguleringsindeks År Reguleringsindeks ,8 164,7 168,2 Kilde: Dnmrks Sttistik 1 Reguleringsindekset for boligbyggeri hr til formål t belyse udviklingen i byggeomkostningerne fordelt på mterile- og lønomkostninger. Reguleringsindekset for boligbyggeri fløste i 1989 to byggeomkostningsindeks for henholdsvis et enfmiliehus og en montgebygget etgeejendom. Beregningen f byggeomkostningsindekset blev indledt i For dette reguleringsindeks er 1987 benyttet som bsisår. For hvert år i serien fr 1987 til 2002 er byggeomkostningerne opgjort og derefter beregnet som en procent f byggeomkostningerne i bsisåret (bsisbyggeomkostningerne). Derfor er indeks for et bsisår pr. definition 100. I forbindelse med indekstl nføres procenttegnet ikke. Beregning f indeks (eller omkostninger) forløber som nævnt under procentberegning. Beregn: ) 35 % f 150 kg b) 205 % f kr c) 0,5% f 30 ml Find hele størrelsen når d) 40 % 200 hl e) 105 % kr f) 16,1 % 2,9 Hvor mnge procent udgør g) 35 kr. f 140 kr? h) 5 æbler f 10 æbler? i) En nederdel kostede før 985 kr, men blev nedst til 285 kr. Hvor mnge procent er nedsættelsen på? j) En pkke vejer brutto 28 kg; tr udgør 5 %. Hvd er nettovægten? k) Udfyld tbellen herunder. Den viser nogle indekstl hhv månedlønninger for kvindelige funktionærer uden ledelsesnsvr. År Indeks ,3 120,3 124,4 128 Månedsløn (Kilde: Dnmrks Sttistik (http://www.sttistikbnken.dk/sttbnk5/defult.sp?w1280) 1 A10

11 Bsl Algebr 2 b 2 2 b 2 b 2

12

13 18 vigtige sætninger Sætning 1: Addendernes orden Addendernes orden er ligegyldig. + b b + Sætning 2: Plusprenteser Plusprenteser kn hæves og sættes, som mn hr lyst. + (b+c) (+b) + c + b + c Sætning 3: Minusprenteser Mn hæver en minusprentes ved t ændre fortegnet på de led, der står i prentesen. 2 - ( b+c-d) - b - c + d Sætning 4: Fktorernes orden Fktorernes orden er ligegyldig: 3 b b Sætning 5: Gnge ind i en prentes Mn kn gnge ind i en prentes med et tl ved t gnge hvert led i prentesen med tllet. 4 (b + c) b + c Sætning 6: Gnge prentes med prentes Mn kn gnge flerleddede størrelser smmen ved t gnge hvert led i den ene med hvert led i den nden. 5 (+b)(c+d-e) c + d - e + bc + bd - be 2 Det svrer til t gnge lle led (tl dskilt f + og -)med (-1). 3 Bemærk det usynlige gngetegn mellem fktorerne, dvs. de tl, der skl gnges med hinnden. 4 Husk forklringen med kurve: æbler og pærer :-) 5 Husk: hvordn beegnes relet f en mrk... Tegn den. Opdel den. Beregn delreler. A13

14 Sætning 7: Kvdrtet på en toleddet størrelse Kvdrtet på en toleddet størrelse er kvdrtet på det første led plus kvdrtet på det ndet led plus eller minus det dobbelte produkt. ( + b) b 2 + 2b ( - b) b 2-2b Sætning 8: To tls sum gnge de smme tls differens To tls sum gnge de smme tls differens er lig med kvdrtet på det første led minus kvdrtet på det ndet led. (+b)(-b) 2 - b 2 Sætning 9: Gngeprenteser Ved multipliktion kn mn hæve og sætte prenteser, som mn hr lyst. (bc) (b)c bc Sætning 10: Brøk gnge tl Mn kn gnge en brøk med et tl ved t gnge tælleren med tllet og beholde nævneren. c * c * b b Sætning 11: Brøk gnge brøk Mn kn gnge to brøker med hinnden ved t gnge tæller med tæller og nævner med nævner. c * c * b d b* d Sætning 12: Forlænge brøk Mn kn forlænge en brøk med et tl ved t gnge i tæller og nævner med tllet. * x b b* x Sætning 13: Dele med brøk Mn dividerer et tl med en brøk ved t gnge med den omvendte brøk. b c : * c b A14

15 Sætning 14: Dele brøk med tl Mn dividerer en brøk med et tl ved t gnge brøkens nævner med tllet og beholde tælleren. : c b b* c Sætning 15: Dele brøk med tl Mn kn dividere en brøk med et tl ved t dividere brøkens tæller med tllet og beholde nævneren. c : c : b b Sætning 16: Dele en flerleddet størrelse Mn kn dividere en flerleddet størrelse med et tl ved t dividere hvert led med tllet. + b c b c + q q q q Sætning 17: Dele produkt med tl Mn kn dividere et produkt med et tl ved t dividere én f fktorerne med tllet. b (b):c * b * c c Sætning 18: Forkorte en brøk Mn kn forkorte en brøk med et tl ved t dividere i tæller og nævner med tllet. : t b b : t Lv 18 eksempler et for hver regel der kn vise, hvd sætningen går ud på, hvordn den benyttes og t den giver et fornuftigt resultt. Dine forklrende kommentrer er en del f besvrelsen. A15

16

17 Potensenser n

18 Definition f en potens I n kldes en potens. kldes grundtllet og n kldes eksponenten. Hvis er et reelt tl og n et helt positivt tl, er potensen et reelt tl, der beregnes: n... hvor der er n fktorer på højre side. For t definitionen skl være en definition, må vi selvfølgelig præcisere, hvd og n er og hvd potensen er. For t forstå potensbegrebet, defineres det i flere omgnge; denne første er den intuitivt letforståelige. I det følgende bruges ikke lommeregner: Hvis ikke ndet nævnes, er svrene i øvelserne en eller nden potens. Løsningsmetoden er: skriv udtrykket, omskriv det ved hjælp f definitionen, brug evt. lmindelige regneregler og brug så definitionen igen for påny t skrive svret som en potens (eller evt. et udtryk, hvori der indgår en potens). Øvelse 1 Omskriv udtrykkene herunder: / b / / b / / Regler for produkter og kvotienter n m Produktet Du hr et produkt f to potenser. Begge hr smme grundtl. Resulttet bliver en potens med smme grundtl - her - og en ny eksponent - her n + m. A18

19 n m Kvotienten / Du hr en kvotient med to potenser. Begge hr smme grundtl. Resulttet bliver en potens med smme grundtl - her - og en ny eksponent - her n - m. 6 Bemærkninger I øvelse 1 beregnede du 7 / 7 og fik forhåbentlig svret 1. Hvis der ikke hvde stået 7 som eksponent men 113 eller 2 eller hvd som helst: svret er det smme. Når dividend og divisor er ens, er svret (kvotienten) ltid 1. Du hr også set, t for en kvotient kn mn finde den nye eksponent som n-m. Kontroller det! Det forudsætter indtil nu - t n>m. Men hvis de er lige store (dvs. nm), ved vi t svret er 1 og t n-m 0 0 hr indtil nu ingen mening, men det ses, t hvis potensen defineres som 0 1, psser vore regneregler stdig Du beregnede også / 1/ 1/ ; hvde vi brugt regnereglerne ovenover, vr eksponenten blevet Det hr heller ikke nogen mening som eksponent indtil nu - men definerer vi 1 1 eksempelvis 1/ får det mening og vore regneregler stemmer. Derfor kn definitionen f en potens udvides: Definition f en potens II n kldes en potens. kldes grundtllet og n kldes eksponenten. Hvis er et reelt tl og n et helt positivt tl, er potensen et reelt tl, der beregnes: n... hvor der er n fktorer på højre side. 0 1 Hvis n er et helt negtivt tl, defineres n n 1 /. Bemærk, t (-n) på højresiden er et helt positivt tl, og t højresiden derfor kn beregnes med den hidtidige definition. 6 Overbevis dig selv om, t disse to regler er rigtige... A19

20 Øvelse 2 Kontroller på din lommeregner, t følgende ligninger er rigtige: 3, og 3,72 1/ 3,72 Prøv også med ndre potenser med ndre grundtl og ndre eksponenter. Bemærkninger Et udtryk som ( ) ( ) ( ) ( ) kn nturligvis skrives både som (ifølge regler om gngeprenteser) og som ( 2 ) 4 (ifølge definition f potenser), hvorf ses, t 2 8 ( ) 4 Øvelse 3 Omskriv følgende potenser til lettere læselige (enklere) potenser: (7 ) (2 ) ( ) 4 ) 2 (3 ( / b) b /( + ) / b ( b )/( b) + 2 / ((4 ) ) (2 2 ) 3 ((2 2) ) /(1/ ) 2 3 Er der nogen f prenteserne, der kunne undværes? A20

21 Funktionen f(x) x 3 Hvis du følger pilen fr y-værdien 80 til grfen og videre til x-ksen på den figuren fås værdien 4,3 (frundet.) Hvis du følger smme pil modst, finder du y- værdien 4, Tllet 4,3 er et eksempel på t finde den 3. rod", her f 80, det vil sige det tl, der opløftet i tredie giver 80. Det skrives trditionelt: ,3 Vi vil nu også indføre en potensbetegnelse for roden; i tilfældet her: ,3 Venstre side er ikke defineret endnu, men benyttes regnereglerne, ses det nemt, t 1 1 ( 3) (80 ) Det vil sige, t benyttes regnereglerne for potenser på 3 80 fås nøjgtig de smme resultter, som vi hvde fået med 3 80 Derfor udvides definitionen for potenser til også t omftte positive brøker: og for eksempel ( 80 ) 80 3 ( 80) 2 Helt generelt kn det skrives som følgende: A21

22 Definition f en potens III n kldes en potens. kldes grundtllet og n kldes eksponenten. Hvis er et reelt tl og n et helt positivt tl, er potensen et reelt tl, der beregnes: n... hvor der er n fktorer på højre side. 0 1 Hvis n er et helt negtivt tl, defineres n 1/ n Bemærk, t (-n) på højresiden er et helt positivt tl, og t højresiden derfor kn beregnes med den hidtidige definition. Hvis n er en positiv brøk p/q (fr mængden Q) og et positivt reelt tl, defineres: p q q ( ) p Hvis n er en negtiv brøk p/q (fr mængden Q) og et positivt reelt tl, defineres: p q 1/ p q Øvelse 4 Omskriv følgende potenser til lettere læselige (enklere) potenser: Lv efterfølgende kontrol v.hj.. lommeregner : (7 ) (7 ) 2,8 0, ,8 2 7 : 7 1 2,8 2 7 : 7 1 2,8 2 1,4 7 : 7 7 2,8 3,4 4 ( ) ( ) 2 3,1 4 2 (3,14) 2,8 3,4 3 2,5 : A22

23 Logrimefunktionen log(x)

24 Den logritmiske skl På kserne i koordintsystemet benyttes ofte "logritmiske skler" i forbindelse med eksponentielle funktioner og potensfunktioner. Årsgen er, t grferne i så fld kn tegnes som rette linjer. Både x-kse og y-kse kn indrettes med en logritmisk skl. t spre plds benyttes her kun vndrette kser i eksemplerne. Eksempler på logritmisk skler Ovenover er der vist et eksempel på en logritmisk skl. Enheden på sklen er 7. Afstnden mellem nbopunkterne er den smme: nemlig 7. Men bemærk forskellen fr den lineære skl: Bevæger du dig fr A til B hr du ikke lgt 7 til; du hr gnget med 7. Og går du den smme fstnd fr B til C gnger du igen med 7. Punktet G følger efter F en enhed længere ude i pilens retning. Hvilken "x-værdi" hr G? Punktet O kommer en enhed før A. Hvilken "x-værdi" hr O på sklen? Den lmindeligste logritmiske skl hr enheden 10. Enheden kldes en dekde. Så ser ksen således ud: Vi hr ldet ksen begynde ved 1. Det kunne lige så godt hve været 1000 eller 0,01. Og hvis ppiret ikke er fortrykt, er der egentlig ingen begrænsninger Hvd er enheden her (dvs. det tl, der gnges med?) Skriv de mnglende tl på ksen (med den logritmiske skl) A24

25 Logritmefunktionen log Betrgt funktionen f(x) 10 x Eksponenten x Potensen f(x) Hvis vi bytter om på tbellens rækker, fås en ny funktion: den omvendte funktion. Denne funktion kldes log(x) eller logritmefunktionen. D 10 er grundtllet i den benyttede potens, kldes den (med en præcisere betegnelse) titlslogritmen. 7 log(x) log(x) defineres som den omvendte funktion til f(x) 10 x, hvor x er et positivt tl. Potensen x Eksponenten log(x) Fr potensregning ved vi, t n m n m + Dvs. t vi udfører en multipliktion (gnger) ved t ddere (lægge smmen) eksponenterne. Er opgven ikke formuleret som potensregning, kræver det dog følgende procedure: De to fktorer skl begge omskrives til potenser med smme grundtl Så dderes eksponenterne Endelig omskrives produktet fr potens til "lmindeligt" tl De to sidste trin kn du foretge uden videre; det første kræver lige lidt hjælp: logritmefunktionen! I princippet kunne vi vælge et hvilken som helst positivt tl som grundtl. I prksis står vlget mellem 2, og 10. Vi vælger det sidste. 7 Bemærk, t der er defineret en funktion ved ombytning f rækkerne. For én bestemt potens y findes der nemlig kun én eksponent x således t 10 x y. 8 e 2, Vælges dette tl fås den nturlige logritmefunktion: ln(x) A25

26 x 10 x log(x) x 0,000 1,00 0,025 1,06 0,050 1,12 0,075 1,19 0,100 0,125 0,150 0,175 0,200 0,225 0,250 0,275 0,300 0,325 0,350 0,375 0,400 0,425 0,450 0,475 0,500 0,525 0,550 0,575 0,600 0,625 0,650 0,675 0,700 0,725 0,750 0,775 0,800 0,825 0,850 0,875 0,900 0,925 0,950 0,975 1,000 10,00 1,025 10,59 1,050 11,22 1,075 11,89 1,100 12,59 Hvis opgven er, t finde produktet: 10*100, gøres følgende (se "opskriften" ovenover): Omskrivning til potenser: eller Omskrivning f potensen: Lige netop for denne opgve er der ingen rbejdsmæssig besprelse, men d princippet kn nvendes på lle tl, hr det været en enorm hjælp før lommeregneren... Ld os se hvordn: Øvelse Beregn: 1,06*1,12 I det følgende benytter du tbellen til venstre. Bemærk, t der er to overskriftsrækker. Først benytter du 2. række. Find log(1,06) Find log(1,12) Find log(1,06) + log(1,12) Så benyttes tbellen med overskrifterne i 1. række Find potensen, der svrer til eksponenten 0,075 Hvd hr du netop vist? Udfyld med hjælp flommeregneren tbellen ved siden f. Vis hvorledes du med tbellen kn beregne 2*3 3*3 Forklr, hvilket (lille) problem der er ved t benytte tbellen og hvordn det løses. Bemærk, hvorledes tbellen slutter! Hvorledes vil den næste linje se ud? (Kn besvres uden lommeregner) Indtegn grferne for 10 x og log(x) i et lm. koordintsystem på mm-ppir. Vælg x-kse med tl fr -10 til +5, y-kse med tl fr -5 til 20. Benyt smme enhed på kserne. Kn du se et mønster for grferne?? A26

27 Øvelse Vælg nogle vilkårlige tl som x og beregn: x log(10 ) Vælg nogle vilkårlige positive tl og beregn: log( x) 10 Forklr resulttet ved hjælp f figuren med grfen for f ( x ) 10 x Logritmesætninger I. log(*b) log() + log(b) II. log(/b) log() / log(b) III. log( x ) x*log() Beviserne udeldes, men de benytter regnereglerne for potenser. Eksempel på løsning f ligning x x log(31 ) log(22) x log(31) log(22) x log(22) / log(31) x 0,900 0,90 L {0,90} A27

28

29 Ligninger

30

31 Hvd er en ligning? Nogle typiske eksempler ) 3x b) 2 - (x+5) 3 + x c) 5p p d) x 2 4 e) 3*sin(v) 1,5 f) f(x) g(x) Det ses, t i eksemplerne er der ltid: et lighedstegn ( ) et regneudtryk på hver side f lighedstegnet (kldet hhv. venstre side og højre side) smt et bogstv (en joker ) - ofte x. Opgven: løs ligningen, går ud på, t finde lle de tl, der st på jokerens plds, gør ligningen snd, det vil sige, t venstre side og højre side giver smme resultt (men det er ligegyldigt hvilket.) Typisk kldes tllet mn leder efter x ( den ubekendte, jokeren). Men det kn være et hvilkensomhelst bogstv. Også græske som α, β,...,λ,...eller det kn være forkortelser som BMI eller hele ord som vægt og højde. For så vidt kunne det ligeså godt være en tom firknt... Men benyt den lmindelig sædvne: et bogstv ;-) Mnge ligninger hr én løsning; det vil sige, t der er et tl, der gør ligningen snd og lle ndre gør ligningen flsk. Men der findes ligninger, der ingen løsninger hr ( 0 løsninger) og der findes nogle der hr 2, 3, 4,..., j der findes nogle, der hr uendelig mnge. Øvelse 1 Hvilke f tllene 1, 2 og 3 kn bruges som løsninger i ligningen: 3x-2 x+2? Hvilke f tllene -1, 0, 1, 2, og 3 kn bruges som løsninger i ligningen: x 2 1 Kn du finde en løsning til ligningen: ligningen: x 2-1 A31

32 Hvordn løses en ligning? Mn kn forestille sig, t venstre side og højre side er to vægtskåle med smme vægt: der vil lle opertioner være tilldt, blot de ikke forrykker blncen. Mn kn: ddere (lægge) lige meget til begge sider subtrhere (trække) lige meget fr begge sider multiplicere (gnge) begge sider med smme tl (dog ikke nul) dividere (dele) begge sider med smme tl (dog ikke nul) for enhver voksende eller ftgende funktion ersttte venstre side med funktionsværdien f venstresiden og tilsvrende for højresiden. 9 I stedet for vægte kunne mn tænke på skåle med smme værdier i begge skåle Opstilling og løsning f ligning 2 - (x+5) 3 + x 2 - x x -3 - x 3 + x -3 -x +x 3 + x +x x x x -6/2 2x/2-3 1x -3 x L {-3} Minusprentes hæves Reducer Adder x Reducer Subtrher 3 Reducer Divider med 2 Reducer Skriv 1x som x x-3 eller -3 x kn være en måde t skrive løsningen på men ellers: L {-3} Løs ligningen fr kpitlets forside: f(x) g(x) Bemærk, t mn ofte kn "tegne" sig til en løsning t du ltid bør gennemføre en form for kontrol f din løsning! 10 9 Det forudsættes, t funktionen er defineret for mulige værdier f venstreside hhv. højreside. 10 Prøv t kontrollere din løsningsmetode på A32

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

Matematikkens sprog INTRO

Matematikkens sprog INTRO Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009. Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk

Læs mere

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner Eksmensspørgsmål: Potens-funktioner Definition:... 1, mønt flder ned:... 1 Log y er en liner funktion f log x... 2 Regneforskrift... 2... 2 Smmenhæng mellem x og y ved potens-vækst... 3 Tegning f grf for

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeborg 09-0-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Udrbejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger fejl i

Læs mere

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen, INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner

Læs mere

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning

Læs mere

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...

Læs mere

Eksamensopgave august 2009

Eksamensopgave august 2009 Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er

Læs mere

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0. Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer

Læs mere

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning 1 Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning 1.1 Fremdregning og tilgeregning...2 1.2 Æskeregning...2 1.3 Høseringe-regning, indkodning og fkodning...3 1.4 Vndret tilgeregning, t dnse en ligning...3

Læs mere

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011 Mtemtik - introduktion Mrtin Luesen Februry 23, 2011 1 Contents 1 Aritmetik og elementær lgebr 3 1.1 Symboler............................... 3 1.1.1 ligheder............................ 4 1.1.2 uligheder...........................

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10 Oversigt [LA] 9 Nem vej til rel Nøgleord og begreber Helt simple determinnter Determinnt defineret Effektive regneregler Genkend determinnt nul determinnt nul Produktreglen Inversreglen inversregel og

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Potens regression med TI-Nspire

Potens regression med TI-Nspire Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter

Læs mere

PotenssammenhÄnge. 2009 Karsten Juul

PotenssammenhÄnge. 2009 Karsten Juul PotenssmmenhÄnge y b y k k 009 Krsten Juul Dette häfte er en fortsättelse f häftet "Eksponentielle smmenhänge, 009". Indhold 4. Hvd er en potens-smmenhäng?... 83 5. Hvordn ser grfen ud for en potens-smmenhäng...

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold BRØER... PARENTESER...3 PROCENT...4 RENTE...5 INDES...6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... Ret- vinklet treknt...8

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17 Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil

Læs mere

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k 0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den

Læs mere

GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Udgve 014 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. VÄkstrte.... Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst 4.

Læs mere

Differentialregning. integralregning

Differentialregning. integralregning Differentilregning og integrlregning Ib Micelsen Ikst 013 Indoldsfortegnelse Tegneøvelser...3 Introduktion... Definition f differentilkvotient og tngent...6 Tngentældninger...7 Den fledte funktion...7

Læs mere

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a.

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a. 5. FORSKRIFT FOR EN POTENSFUNKTION Vi hr i vores gennemgng f de forskellige funktionstper llerede være inde på udtrk, som indeholder forskellige potenser f I dette kpitel skl vi se på forskellige tper

Læs mere

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler Mt. B (Sån huskes fomlerne) Formler, som skl kunnes til prøven uen hjælpemiler Inhol Her er tilføjet emærkninger til nogle f formlerne BRØKER... PARENTESER... EKSPONENTER... LOGARITMER... GEOMETRI... Arel

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning

Læs mere

ANALYSE 1, 2013, Uge 2

ANALYSE 1, 2013, Uge 2 ANALYSE 1, 2013, Uge 2 Forelæsninger Denne uges tem er uendelige rækker. Tirsdg: Tlrækker. En uendelig tlrække består ligesom en uendelig tlfølge f uendelig mnge tl. Forskellen mellem de to begreber består

Læs mere

Dæmonen. Efterbehandlingsark C. Spørgsmål til grafen over højden.

Dæmonen. Efterbehandlingsark C. Spørgsmål til grafen over højden. Efterbehndlingsrk C Dæmonen Nedenfor er vist to grfer for bevægelsen i Dæmonen. Den første grf viser hvor mnge gnge du vejer mere eller mindre end din normle vægt. Den nden grf viser højden. Spørgsmål

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger

Læs mere

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion)

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion) Mere end lot lektiehjælp Få topkrkter i din SRP 12: Hovedfsnittene i din SRP (Redegørelse, nlyse, diskussion) Hjælp til SRP-opgven Sidste år hjlp vi 3.600 gymnsieelever med en edre krkter i deres SRP-opgve.

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Taldiktat. Talhus. Tal. Format 5. Nr. 1. Enere 1. Tiere 10. Hundreder 100. Tusinder 1.000. Titusinder 10.000. Hundredetusinder 100.000 1.000.

Taldiktat. Talhus. Tal. Format 5. Nr. 1. Enere 1. Tiere 10. Hundreder 100. Tusinder 1.000. Titusinder 10.000. Hundredetusinder 100.000 1.000. Tldiktt Nr. Timillioner 0.000.000 Millioner.000.000 Hundredetusinder.000 Tlhus Titusinder 0.000 Tusinder.000 Hundreder Tiere 0 Enere Prktivitet. Træk - kort i skjul fr et lmindeligt kortspil. Læg dem på

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul Bogstvregning En indledning for st og f. del 008 Krsten Juul ) )( ( ) ( ) ( Indold 0. Gnge to prenteser....,, osv... 7. Kvdrtsætninger... 0. Brøer. del... Bogstvregning. En indledning for st og f.. del.

Læs mere

1. Honningpriser. Skemaet viser vregt og priser pi dansk og udenlandsk honning. Dansk honning

1. Honningpriser. Skemaet viser vregt og priser pi dansk og udenlandsk honning. Dansk honning , i 1. Honningpriser Skemet viser vregt og priser pi dnsk og udenlndsk honning. o Hvor stor er prisen i lt for 2 brgre lynghonning og 3 bregre okologisk honning. o Hvor stor er forskellen i pris pi den

Læs mere

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE... MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 39, 009 Produceret f Hns J. Munkholm 1 Linerisering s. 66-67 Lineriseringen f f omkring x =, er den lineære funktion, der hr tngenten som grf. Klder mn den L er forskriften

Læs mere

114 Matematiske Horisonter

114 Matematiske Horisonter 114 Mtemtiske Horisonter Mtemtik i medicinudvikling Af Ph.d-studerende Ann Helg Jónsdóttir, Ph.d-studerende Søren Klim, Ph.d-studerende Stig Mortensen og Professor Henrik Mdsen, DTU Informtik Hovedpinen

Læs mere

Ligninger. 1 a 3 b 2 c 8 d 9 e 42 f 6 g 70 h 9 i 2 eller 2 j 13 k 8 l 9 eller 9

Ligninger. 1 a 3 b 2 c 8 d 9 e 42 f 6 g 70 h 9 i 2 eller 2 j 13 k 8 l 9 eller 9 Ligninger 1 3 2 c 8 d 9 e 42 f 6 g 70 h 9 i 2 eller 2 j 13 k 8 l 9 eller 9 2 c d e f 6 æg + 5 høns. 1 æle + 13 pærer. 5 myg + 1 flue. 6x + 5y + 13 3x + 5y 3 4 Gælder i nogle tilfælde. Gælder ltid. c Gælder

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger Mtemtikkens msterier - på et højt niveu f Kenneth Hnsen 3. Differentilligninger N N N 3 A A k k Indholdsfortegnelse 3. Introduktion 3. Dnmiske sstemer 3 3.3 Seprtion f de vrible 8 3.4 Vækstmodeller 8 3.5

Læs mere

Krumningsradius & superellipsen

Krumningsradius & superellipsen Krumningsrdius & suerellisen Side /5 Steen Toft Jørgensen Krumningsrdius & suerellisen Formålet med dette mini-rojekt er t erhverve mtemtisk viden om krumningsrdius f en kurve og nvende denne viden å det

Læs mere

ANALYSE 1, 2014, Uge 3

ANALYSE 1, 2014, Uge 3 ANALYSE 1, 2014, Uge 3 Forelæsninger Tirsdg. Vi generliserer tlrækker til funktionsrækker ved t udskifte tllene med funktioner (TL Afsnit 12.5). Det svrer til forrige uges skridt fr tlfølger til funktionsfølger.

Læs mere

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º). Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grønlnd Mtemtisk formelsmling til B-niveu, GUX Grønlnd Deprtementet for uddnnelse 05 Redktion: Rsmus Andersen, Jens Thostrup MtemtiskformelsmlingtilB-niveu GUX Grønlnd FORORD

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningseskrivelse Stmoplysninger til rug ved prøver til gymnsile uddnnelser Termin Juni 2016 Institution Uddnnelse Fg og niveu Lærere Hold Fvrskov Gymnsium Stx Mtemtik A Peter Lundøer (Lu) 3k Mtemtik

Læs mere

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2-3

Læs mere

Integrationsteknikker

Integrationsteknikker Integrtionsteknikker Frnk Vill. jnur 14 Dette dokument er en del f MtBog.dk 8-1. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 Numerisk integrtion.1

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

1. Eksperimenterende geometri og måling

1. Eksperimenterende geometri og måling . Eksperimenterende geometri og måling Undersøgelse Undersøgelsen drejer sig om det såkldte Firfrveproblem. For mere end 00 år siden fndt mn ved sådnne undersøgelser frem til, t fire frver er nok til t

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

Alternative metoder til køling af løg

Alternative metoder til køling af løg inspire demoprojekt Alterntive metoder til køling f løg Af Merete Edelenbos, Arhus Universitet Anne Drre-Østergrd og Bstin Junker, AgroTech November 2013 1 Energiforbruget ved lngtidslgring f løg er højt,

Læs mere

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v Tigonometi teoi mundtlig femlæggelse 2 v v B v B Indhold 1. Sætning om ensvinklede teknte og målestoksfohold (uden bevis)... 2 2. Vinkelsummen i en teknt... 2 3. Pythgos sætning om ETVINKLEDE TEKNTE...

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12 Mtemtisk modellering numeriske metoder Lektion 12 Morten Grud Rsmussen 21. oktober, 213 1 Prtielle differentilligninger 1.1 Løsning f vrmeligningen vh. Fourierrækker [Bens sektion 12.6 på side 558] Vi

Læs mere

gudmandsen.net Geometri C & B

gudmandsen.net Geometri C & B gudmndsen.net Geometri C & B Indholdsfortegnelse 1 Geometri & trigonometri...2 1.1 Område...2 2 Ensvinklede treknter...3 2.1.1 Skleringsfktoren...4 3 Retvinklede treknter...5 3.1 Pythgors lærersætning...5

Læs mere

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 Indholdsfortegnelse Side De fire regningsarter... 3 Flerleddede størrelser... 5 Talbehandling... 8 Forholdsregning... 10 Procentregning...

Læs mere

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder: Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.

Læs mere

Eksponentielle funktioner

Eksponentielle funktioner Eksponentielle funktioner http://en.wikipedia.org/wiki/rabbits_in_australia 4. udg. 2011 12-12-2011 Eksponentielle funktioner Vækst Udfyld tabellen ved: at skrive begyndelsesværdien b = f(0) = 30 under

Læs mere

Algebra, ligninger og uligheder

Algebra, ligninger og uligheder Alger, ligninger og uligheder I dette kpitel skl du rejde med ligninger og uligheder. Et esøg på Bkken kn give nledning til mnge overvejelser over priser. Det kunne fx være den smlede pris for turen og

Læs mere

Vektorer. koordinatgeometri

Vektorer. koordinatgeometri Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl VEKTORER Koordinter til pnkt i plnen Koordinter til pnkt i rmmet Vektor: Definition, sprogrg, mm 4 Vektor: Koordinter 5 Koordinter til ektors

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Formelsamling Mat. C LINEÆR VÆKST... 11 EKSPONENTIEL VÆKST... 11 POTENS-VÆKST... 11

Formelsamling Mat. C LINEÆR VÆKST... 11 EKSPONENTIEL VÆKST... 11 POTENS-VÆKST... 11 Formelsmling Mt. C BRØER... LIGNINGER... PARENTESER... RENTE... 5 INDES... 6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... VILÅRLIG TREANT... Sinusreltionerne:... Cosinusreltionerne:...

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

Dødelighed og kræftforekomst i Avanersuaq. Et registerstudie

Dødelighed og kræftforekomst i Avanersuaq. Et registerstudie Dødelighed og kræftforekomst i Avnersuq. Et registerstudie Peter Bjerregrd, Anni Brit Sternhgen Nielsen og Knud Juel Indledning Det hr været fremført f loklbefolkningen i Avnersuq og f Lndsstyret, t der

Læs mere

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul Kot om Potenssmmenhænge 011 Ksten Juul Dette hæfte indeholde pensum i potenssmmenhænge, heunde popotionle og omvendt popotionle vible, fo gymnsiet og hf. Indhold 1. Ligning og gf fo potenssmmenhænge...

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Simple udtryk og ligninger

Simple udtryk og ligninger Simple udtryk og ligninger 009 Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER

STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 007 007-8-V MATEMATISK LINJE -ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER Tirsdg den 18 december 007 kl 900-1000 BESVARELSEN AFLEVERES KL 1000 Der

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Differential-kvotient. Produkt og marked - differential og integralregning. Regneregler. Stamfunktion. Lad f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2.

Differential-kvotient. Produkt og marked - differential og integralregning. Regneregler. Stamfunktion. Lad f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2. Differentil-kvotient Ld f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2. Produkt og mrked - differentil og integrlregning Rsmus Wgepetersen Institut for Mtemtiske Fg Alborg Universitet Februry 14, 2014 Differentilkvotienten

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste

Læs mere

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen Gmnsie-Mtemtik Søren Toftegrd Olsen Søren Toftegrd Olsen Skovvænget 6-B 7080 Børkop Gmnsie-Mtemtik. udgve, revision 0 ISBN 978-87-99996-0-0 VIGTIGT: Denne og må ikke sælges eller ændres; men kn frit kopieres.

Læs mere

Tal 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. Talsyste Brøk Decimalt Procent. Primtal eller sammensat tal

Tal 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. Talsyste Brøk Decimalt Procent. Primtal eller sammensat tal Tl Prisen på g uld tog tors d stte ny re kord i Lon g et stort spring op d og don med rende til.,, kron er per ounce dollr sv.000 (, grm )..00.000 Guld.00.000 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 000 00 m Tlsyste Brøk

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere