Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a

Transkript

1 Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul

2 Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med de ndre emner. Indhold Rækkefølge f + og... 1 Smle led f smme type... Gnge ind i prentes 1. del... 4 Rækkefølge f og smt f + og... 6 Gnge ind i prentes. del Hæve prentes Fortegn 1. del Brøk (division) 1. del Fortegn. del Ligninger Isolere Brøk. del... Gnge to prenteser... 5,, 4 osv Kvdrtsætninger... 4 Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Dette hæfte kn downlodes fr Hæftet må enyttes i undervisningen hvis læreren med det smme sender en e-mil til kj@mt1.dk som dels oplyser t dette hæfte enyttes, dels oplyser om hold, lærer og skole.

3 Rækkefølge f + og Teori 1 Udtryk i prentes skl vi regne ud først. Når et tl står mellem + og så skl vi udregne gnge før plus. Når et tl står mellem to +'er, så kn vi selv vælge hvilket f de to tegn vi vil udregne først. Dette etyder: Vi kn omskrive + 4 til + 8 Vi kn ikke omskrive + 4 til 5 4 Vi kn ikke omskrive Vi kn ikke omskrive Vi kn omskrive + til 5 + til til 7 + Hvis + skl udregnes før, så skl vi skrive en prentes: Vi kn omskrive ( + ) 4 til 5 4 Dette hr mn estemt. Så skl mn ikke skrive så mnge prenteser. Her skl læseren forestille sig t der står gngetegn. Her skl udregnes først, så vi kn ikke udregne noget før vi kender tllet. Øvelse () Kn vi omskrive til ? Svr:. () Kn vi omskrive til 5 7? Svr:. (c) Kn vi omskrive til 5? Svr:. (d) Kn vi omskrive + 4 til + 1? Svr:. (e) Kn vi omskrive ( 5 + ) til 8? Svr:. (f) Kn vi omskrive 6 + til 6 5? Svr:. (g) Kn vi omskrive 6 + til 1 +? Svr:. (h) Kn vi omskrive til ? Svr:. (i) Kn vi omskrive til 4 + 7? Svr:. (j) Kn vi omskrive (4 + ) til 1 +? Svr:. (k) Kn vi omskrive ( 5 + 6) til ? Svr:. Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

4 Øvelse I nogle spil kn vi udregne ntl point når vi kender ntl krydser. Vi lder stå for ntl krydser. () I et spil kn vi udregne ntl point sådn: Læg ntl krydser til 10. Gng resulttet med 4. Hvilke(t) f regneudtrykkene (1) og () ngiver disse udregninger? (1) () ( 10 + ) 4 Svr:. () I et spil kn vi udregne ntl point sådn: A: Gng med ntl krydser. B: Læg A-resulttet til 5. Angiv disse udregninger ved t skrive et regneudtryk med : Antl point. Hvis 6 er dette regneudtryk. (c) I et spil kn vi udregne ntl point sådn: A: Læg 4 til ntl krydser. B: Gng med A-resulttet. Angiv disse udregninger ved t skrive et regneudtryk med : Antl point. Hvis 5 er dette regneudtryk. Smle led f smme type Øvelse 4 står for et tl. På hver pkke står ntl mønter den indeholder: () Hvilke(t) f regneudtrykkene (1)-() ngiver ntl mønter i disse pkker? (1) + + () + () 5 Svr:. () Hvis 4 er + +. (c) Hvis 4 er +. (d) Hvis 4 er 5. Bogstvregning for gymnsiet og hf Side 010 Krsten Juul

5 Øvelse 5 står for et tl. På hver pkke står ntl mønter den indeholder: 8 6 () Hvilke(t) f regneudtrykkene (1)-(7) ngiver ntl mønter i disse pkker? (1) () () (4) (5) 19 (6) 19 + (7) Svr:. () Hvis er Hvis er (c) Hvis er Hvis er 19. Teori 6 Sådn kn vi smle led f smme type. I udtrykket hr vi først en gng og derefter tre gnge, dvs. vi hr fire gnge, så Ved t ruge smme tnkegng får vi Øvelse 7 I hvert f regneudtrykkene (1)-(4) skl du smle led der er f smme type. Se Teori 6. (1) () () (4) k + 11k. Bogstvregning for gymnsiet og hf Side 010 Krsten Juul

6 Gnge ind i prentes 1. del Øvelse 8 m og n står for to tl. På hver pkke står ntl mønter den indeholder. Nedenfor er vist hvor mnge mønter hver f personerne A, B, C og D hr. A: m n B: m n C: m n D: m n m n m n m n m n () m + n er ntl mønter som hr. () m + n er ntl mønter som hr. (c) ( m + n) er ntl mønter som hr. (d) m + n er ntl mønter som hr. (e) m + n er ntl mønter som hr. (f) Hvis m og n 4, så er ( m + n) og m + n. (g) Hvilke tl kn m og n være hvis udtrykkene ( m + n) og m + n skl være smme tl? Svr:. Teori 9 I en skole er der smme ntl piger i lle klsser og smme ntl drenge i lle klsser. k ntl klsser p ntl piger i en klsse d ntl drenge i en klsse ntl elever i en klsse ntl piger i en klsse plus ntl drenge i en klsse p + d ntl elever på skolen ntl klsser gnge ntl elever i en klsse k ( p + d) ntl piger på skolen ntl klsser gnge ntl piger i en klsse k p ntl drenge på skolen ntl klsser gnge ntl drenge i en klsse k d ntl elever på skolen ntl piger på skolen plus ntl drenge på skolen k p + k d Der gælder k ( p + d) k p + k d d egge ligningens sider er ntl elever på skolen. Ligningen er et eksempel på reglen for t gnge ind i en prentes (se Teori 10). Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

7 Teori 10 Reglen for t gnge ind i prentes. Reglen for t gnge ind i en prentes: Advrsel: Et udtryk + + c med flere led kn vi gnge med et tl k ved t gnge hvert led i udtrykket med k, dvs. k ( + + c) k + k + k c Det er + og der skiller led, så Dette etyder: k ( c) k c Vi kn omskrive 4 ( + ) til Vi kn ikke omskrive 4 ( + ) til 8 + Vi kn ikke omskrive 4 ( ) til 8 4 Vi kn omskrive 4 ( ) til 8 Vi kn ofte reducere et udtryk sådn: + ( + ) + 4 c indeholder kun ét led: Først gnger vi ind i prentesen Så smler vi led f smme type. Øvelse 11 Gng ind i prenteserne: () ( + ) 4 (c) 5( + 4) () (1 + ) (d) 4( + + ) Øvelse 1 Reducer: () + 5( + ) (c) ( + y) + () + y () ( 1+ ) + ( + ) (d) (4 + ) (5 ) Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

8 Øvelse 1 Først køer vi 4 øger, og derefter køer vi 7 øger til. For hver og etler vi n mønter. () () (c) (d) For de første 4 øger etler vi mønter, og for de næste 7 øger etler vi mønter, så vi etler i lt + mønter for øgerne. Vi hr i lt køt + øger, og for hver f dem etler vi mønter, så vi etler i lt ( + ) mønter for øgerne. I () og () skrev vi to udtryk der egge vr det vi etler i lt. De to udtryk må ltså give smme tl unset hvilket tl vi indsætter for n. Brug et lighedstegn til t skrive t de to udtryk er lig hinnden: I (c) skrev du en ligning. Gyldigheden f denne ligning kn vi også egrunde ved hjælp f reglen for t Rækkefølge f og smt f + og Øvelse 14 () På hver f de tomme pldser skl du skrive et f følgende udtryk: Hvis vi ser t vi hr 10 mønter, derefter ruger 4 mønter og derefter får mønter, så hr vi mønter. Hvis vi ser t vi hr 10 mønter, derefter ruger 4 mønter og derefter ruger mønter, så hr vi rugt mønter og hr mønter tilge. () På hver f de tomme pldser skl du skrive et f følgende udtryk: + c c + c c + c + + c Hvis vi ser t vi hr mønter, derefter ruger mønter og derefter får c mønter, så hr vi mønter. Hvis vi ser t vi hr mønter, derefter ruger mønter og derefter ruger c mønter, så hr vi rugt mønter og hr mønter tilge. Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

9 Teori 15 Når der før et tl står + og efter står + eller, så kn vi selv vælge hvilket f de to tegn vi vil udregne først. Når der før et tl står og efter står + eller, så er det minusset før vi skl udregne først. Når et tl står mellem og, så skl vi udregne gnge før minus. Dette etyder: Vi kn omskrive til 1 Vi kn omskrive til 7 + Vi kn omskrive til + Vi kn ikke omskrive til 7 8 Vi kn ikke omskrive Vi kn ikke omskrive til 0 5 til Hvis skl udregnes før, så skl vi skrive en prentes: Vi kn omskrive ( 5 ) til Øvelse 16 () Kn vi omskrive + til 0 +? Svr:. () Kn vi omskrive + til 6 +? Svr:. (c) Kn vi omskrive + til? Svr:. (d) Kn vi omskrive + til 4? Svr:. (e) Kn vi omskrive + til + 0? Svr:. (f) Kn vi omskrive til 10? Svr:. (g) Kn vi omskrive til 6 +? Svr:. (h) Kn vi omskrive 5 til? Svr:. Øvelse 17 På hver f de tomme pldser skl du skrive et f følgende udtryk: 14 6 ( 14 ) For en vre er prisen pr. stk. 14 mønter, men vi får en rt på mønter. For 6 stk. skl vi etle. For en vre er prisen pr. stk. mønter. Hvis vi ser t vi hr 14 mønter, og derefter køer 6 stk. f vren, så hr vi mønter tilge. Hvis vi ser t vi hr 14 mønter, og derefter køer en vre til mønter og en vre til 6 mønter, så hr vi mønter tilge. Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

10 Teori 18 ntl frø i en pose I en krukke er 16 frø og 5 poser, dvs. ntl frø i krukken er Vi lægger 7 frø i krukken, dvs. ntl frø i krukken er Vi fjerner poser fr krukken, dvs. ntl frø i krukken er Antl frø i krukken er Denne omskrivning er et eksempel på reglen om t smle led f smme type. Øvelse 19 r ntl frø i en rød pose g ntl frø i en grøn pose I en krukke er der 10 røde poser og 4 grønne poser. Skriv til venstre på linjen nedenfor et udtryk for ntllet f frø i krukken (se evt. Teori 18). Vi fjerner 7 røde poser fr krukken. Skriv et udtryk for ntllet f frø i krukken ved t lve en tilføjelse til det udtryk du llerede hr skrevet på linjen. Vi lægger grønne poser i krukken. Skriv et udtryk for ntllet f frø i krukken ved t lve en tilføjelse til det udtryk du llerede hr skrevet på linjen. Ovenfor er et udtryk for ntllet f frø i krukken. Skriv et udtryk for ntllet som er så simpelt som muligt: Teori 0 I udtrykket Sådn kn vi smle led f smme type. hr vi først otte gnge, og derefter fjerner vi syv gnge, dvs. vi hr én gng tilge, så Ved t ruge smme tnkegng får vi Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

11 Øvelse 1 I hvert f regneudtrykkene (1)-(5) skl du smle led der er f smme type. Se Teori 0 og Teori 6. (1) () () (4) 6 4 k + 11k. (5) 5 y + y 4. Øvelse Reducér: () (4 + ) 5 10 (c) 5 + (5 ) 15 () (6) 1 + ( + 4) (d) ( + + ) Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

12 Gnge ind i prentes. del Øvelse står for et estemt tl. I lle klsser er der 0 elever, og f dem er piger. På hver f de tomme pldser i ()-(e) skl du skrive en f følgende sætninger: piger i én klsse drenge i én klsse elever i én klsse piger i fire klsser drenge i fire klsser elever i fire klsser () 0 er ntl. () 4 (0 ) er ntl. (c) 4 0 er ntl. (d) 4 er ntl. (e) er ntl. (f) Når 8 er 4 (0 ) og (g) Hvilke tl kn være hvis udtrykkene 4 (0 ) og skl være smme tl? Svr:. Teori 4 Reglen for t gnge ind i prentes. Et udtryk + c med flere led kn vi gnge med et tl k ved t gnge hvert led i udtrykket med k, dvs. k ( + c) k k + k c Det er + og der skiller led, så Dette etyder: k ( c) k c Vi kn omskrive 4 ( ) til 8 4 Vi kn ikke omskrive 4 ( ) til 8 Vi kn ikke omskrive 4 ( ) til 8 4 Vi kn omskrive 4 ( ) til 8 Vi kn ofte reducere et udtryk sådn: + ( ) + 5 c indeholder kun ét led: Først gnger vi ind i prentesen. + Så smler vi led f smme type. Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

13 Øvelse 5 Reducér: () 4 + ( ) (c) ( + y) 5 y () ( ) + 8( + 1) (d) ( 4 ) Øvelse 6 Først køer vi øger som hver koster 19 mønter. Derefter leverer vi 7 øger tilge og får pengene igen. () For de øger etlte vi mønter, og for de 7 øger får vi mønter tilge, så for de øger vi eholder, hr vi etlt mønter. () Antllet f øger vi eholder er, og vi etlte mønter for hver og, så for de øger vi eholder, hr vi etlt ( ) mønter. (c) (d) I () og () hr du skrevet to udtryk som egge er lig det vi hr etlt for de øger vi eholder, så de to udtryk er lig hinnden. Skriv udtrykkene med lighedstegn imellem: Vi ehøver ikke tænke på øger og mønter for t se t denne ligning gælder. Vi kn egrunde den med reglen for t Hæve prentes Øvelse 7 () Vi ser t vi hr 15 mønter. Derefter køer vi en vre til 8 mønter, og derefter en vre til mønter. På hver f de tomme pldser skl du skrive en f følgende: etlt for de to vrer tilge når vi hr køt den første vre tilge når vi hr køt egge vrer 15 8 er ntl mønter vi hr er ntl mønter vi hr. 8 + er ntl mønter vi hr. 15 (8 + ) er ntl mønter vi hr. Øvelsen fortsætter på næste side! Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

14 () Vi ser t vi hr mønter. Derefter køer vi en vre til mønter, og derefter en vre til c mønter. På hver f de tomme pldser skl du skrive en f følgende: etlt for de to vrer tilge når vi hr køt den første vre tilge når vi hr køt egge vrer er ntl mønter vi hr. c er ntl mønter vi hr. + c er ntl mønter vi hr. ( + c) er ntl mønter vi hr. (c) Hvis 50, 0 og c 10 er c og ( + c). (d) Hvilke tl kn, og c være hvis de to udtryk ( + c) og c skl være smme tl? Svr:. Teori 8 Sådn kn vi hæve prenteser. Når der forn prentesen er, og efter prentesen er +, eller ingenting så kn vi fjerne prentesen og minusset forn hvis vi smtidig ændrer fortegnet for hvert led i prentesen. Når vi gør dette, siger vi t vi hæver minusprentesen. Når der forn prentesen er +, og efter prentesen er +, eller ingenting så kn vi fjerne prentesen og plusset forn. Når vi gør dette, siger vi t vi hæver plusprentesen. Eksempler: 14 ( + 5 y) y 8 ( ) + (5 ) 8 ( + ) + ( + 5 ) Disse tegn skl fjernes. Disse tegn skl ændres. Denne linje skriver vi normlt ikke. ( + ) ( c + d e) + ( + ) ( c + d e) + + c d + e Denne linje skriver vi normlt ikke. Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

15 Teori 9 Ved t hæve minusprentesen får vi ( 4 ) 4 Prentesen og minusset forn hr vi fjernet, og fortegnet i prentesen hr vi ændret til plus. + 4 er det smme som 4 Ved t hæve plusprentesen får vi 5 + ( ) 5 Prentesen og plusset forn hr vi fjernet. Fortegnet i prentesen skl vi ikke ændre d det er en plusprentes vi hr hævet. Følgende prentes er ikke en minusprentes: Det skyldes t der ikke står minus forn prentesen. Når der ikke er skrevet noget forn prentesen, kn vi skrive + uden t ændre etydningen: Vi kn omskrive sådn: + ( k) k ( k) + ( k) k Øvelse 0 Hæv prenteserne: () ( + ) (d) ( 7 + k y) () ( 4c + 5 ) (e) ( + ) (c) + ( 6 10) (f) ( 8 ) Øvelse 1 Reducér: () ( 4) + ( + ) () ( 5 ) ( + ) (d) ( + 5) ( + 5) (e) 1 ( y ) ( + y) (c) (7 + ) + (f) + ( 5) ( 1+ ) Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

16 Øvelse Vi hr 65 mønter. Først etler vi mønter for en vre, men vi får 10 mønter tilge fordi der en mngel ved vren. () Lige d vi hvde etlt de mønter hvde vi mønter. D vi hvde fået mønter tilge, hvde vi + mønter. () (c) (d) D vi hvde fået mønter tilge, hvde vi etlt mønter for vren, så vi hvde ( ) mønter. I () og () hr du skrevet to udtryk som egge er lig ntllet f mønter vi hvde efter t vi hvde fået mønter tilge, så de to udtryk er lig hinnden. Skriv udtrykkene med lighedstegn imellem: Vi ehøver ikke tænke på mønter for t se t denne ligning gælder. Vi kn egrunde den med reglen for t Teori Vi kn ofte reducere et udtryk sådn: (4 ) (1 6) Først gnger vi ind i prentesen Så hæver vi minusprentesen. 8 1 Så smler vi led f smme type. Øvelse 4 Reducér: () (4 ) ( ) () 4 4( ) (c) + 5( + 4) ( ) (d) ( + 1) ( 4) (e) ( 4 + ) + ( ) (f) 4(1 + ) ( ) Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

17 Fortegn 1. del Teori 5 5 ( ) 5 ( 5) ( ) 5 ( 5) 5 5 ( ) ( ) 5 5 ( ) 5 + Minus gnge minus giver plus Her skl tllene ikke gnges, så vi kn ikke ruge reglen om minus gnge minus. I stedet hæver vi prenteserne (Teori 8). Øvelse 6 Reducér: () 4 ( ) + () k ( ) + k (c) + ( t) (d) + ( ( ) ) (e) ( ) (f) ( 5) Brøk (division) 1. del Teori 7 Vi vil skrive division som en røk. At 1 divideret med 4 er skriver vi sådn 1. 4 Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

18 Teori 8 Hlvdelen f 6 er dvs. 6 D der står mellem 6 og, må vi dividere op i 6. Teori 9 Hlvdelen f er ikke dvs. 6 + kn vi ikke omskrive til +. D der står + mellem 6 og, må vi ikke dividere op i 6. Hvis der står minus må vi heller ikke dividere op i 6: 6 Der gælder ltså: kn vi ikke omskrive til. kn vi ikke omskrive til 8 kn vi ikke omskrive til 7 +. Øvelse 40 () Kn vi omskrive () Kn vi omskrive (c) Kn vi omskrive (d) Kn vi omskrive til 5? Svr:. til 0? Svr:. til 1 5? Svr:. til + 1? Svr:. Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

19 Øvelse 41 Reducér: () 1 1 () (c) ( 4) (d) Teori 4 Der gælder: 1 og og 4 ( 4) og og ( 4) kn vi ikke omskrive til kn vi ikke omskrive til kn vi ikke omskrive til Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

20 Øvelse 4 Reducér: () () 6 8 k (c) + 8 k ( 4) (d) 4 (e) 7 7 k (f) k k + k k (g) (h) + ( 6) 6 Fortegn. del Teori 44 Disse eksempler viser tilldte omskrivninger: Minus divideret med minus giver plus c 5 c c 5 + c Øvelse 45 Hvilke f følgende udtryk giver smme tl unset hvilket tl vi indsætter for? () () (c) (d) (e) (f) (g) (h) + Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

21 Ligninger Teori 46 Tænk på en vægt når du løser ligninger. står for et tl. På hver pkke står hvor mnge lodder den indeholder. Vi hr nrgt nogle pkker på hver f vægtens skåle: Vi ser t der er ligevægt. Dette kn vi skrive som en ligning: Vi omskriver den ene side i ligningen, dvs. flytter rundt på pkkerne på den ene vægtskål. Der må stdig være ligevægt: Vi trækker fr egge ligningens sider, dvs. fjerner fr egge vægtskåle. Der må stdig være ligevægt: Vi dividerer egge ligningens sider med. På hver f vægtskålene er der nu en tredjedel f det der vr før. Der må stdig være ligevægt: : Pkken med lodder vejer det smme som fire lodder, dvs. 4. Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

22 Teori 47 Regler vi kn ruge til t løse ligninger: Vi må lægge det smme tl til egge sider f lighedstegnet. Vi må trække det smme tl fr egge sider f lighedstegnet. Vi må gnge egge sider f lighedstegnet med det smme tl hvis det tl vi gnger med, ikke er nul. Vi må dividere egge sider f lighedstegnet med det smme tl hvis det tl vi dividerer med, ikke er nul. Vi må omskrive en f ligningens sider ved hjælp f de regler der står i de foregående fsnit. Eksempler: () Hvis vi i ligningen 14 + trækker fr egge sider, får vi 1 () Hvis vi i ligningen 1 1 dividerer egge sider med, får vi Ved t reducere de to sider får vi 4 (c) ADVARSEL: Hvis vi i ligningen dividerer egge sider med, får vi kn ikke forkortes væk d der står + mellem og (d) ADVARSEL: Hvis vi i ligningen dividerer egge sider med, får vi IKKE + (e) Hvis vi i ligningen 5 gnger egge sider med 1, får vi 5 (f) Hvis vi i ligningen 4 lægger til egge sider, så får vi 5 4 Vi gnger egge sider med 4: Ved t reducere de to sider får vi 0 Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

23 Øvelse 48 Hvd gør vi ved egge sider i for t få ligningen 11? Svr:. Hvd gør vi ved egge sider i 8 1 for t få ligningen 1? Svr:. Hvd gør vi ved egge sider i 8 40 for t få ligningen 5? Svr:. Hvd gør vi ved egge sider i 9 5 Svr:. for t få ligningen 45? Øvelse 49 Skriv mellemregning der viser hvd vi hr gjort ved egge sider i ligningen: () Af får vi så 15 (c) Af 11 0 får vi så 11 () Af 1 5 får vi så 60 (d) Af 7 1 får vi så Øvelse 50 Løs ligningerne. (1) () 8 () 1 (4) 1 9 (5) 1 + (6) 7 Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

24 Øvelse 51 Løs ligningerne. (1) () () (4) (5) (6) 8 5 Øvelse 5 Løs ligningerne. (1) () () Øvelse 5 Løs ligningerne. (1) () () Bogstvregning for gymnsiet og hf Side 010 Krsten Juul

25 Øvelse 54 Løs ligningerne. (1) 5 ( + 6) + 9 () 6 ( + ) + 1 () ( + 5) Øvelse 55 Løs ligningerne. (1) ( 4) + (1 ) () 5( + ) (4 ) Bogstvregning for gymnsiet og hf Side 010 Krsten Juul

26 Øvelse 56 () Følgende er oplyst: Når vi lægger 6 til ntl drenge, så får vi det smme som hvis vi gnger ntl drenge med 4. Skriv denne oplysning som en ligning hvor d står for ntl drenge, og estem ntl drenge. Ligning: () Følgende er oplyst: Når vi gnger ntl piger med og lægger 8 til, så får vi det smme som når vi gnger ntl piger med 5. Skriv denne oplysning som en ligning hvor p står for ntl piger, og estem ntl piger. Ligning: Øvelse 57 () Følgende er oplyst: Når vi lægger 7 til ntl drenge og gnger resulttet med 8, så får vi 96. Skriv denne oplysning som en ligning hvor d står for ntl drenge, og estem ntl drenge. Ligning: () Følgende er oplyst: Når vi trækker ntl piger fr og trækker resulttet fr 4, så får vi 1. Skriv denne oplysning som en ligning hvor p står for ntl piger, og estem ntl piger. Ligning: Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

27 Isolere Teori 58 Sådn kn vi isolere en vriel. I en opgve står t vi skl isolere m i ligningen n m 1. Dette etyder: Vi skl omforme ligningen til formen plds står et udtryk der ikke indeholder m. m L hvor der på prikkernes For t isolere m strter vi med t lægge 1 til egge ligningens sider. Så får vi n+ 1 m. Nu dividerer vi egge ligningens sider med : n+ 1 m. Ved t forkorte røken på højre side får vi ligningen n+ 1 m hvor m er isoleret. Resulttet på opgven er m n+1 For t isolere z i ligningen dividerer vi egge sider med 4 m og får Vi forkorter røken på venstre side og får 4 zm 4zm 4m z p p 4m p 4m For t isolere i ligningen ( 4 y ) dividerer vi egge sider med 4 y og får Vi forkorter røken på venstre side og får (4 y) 4 y 4 y 4 y Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

28 Øvelse 59 () Isolér i ligningen () Isolér i ligningen t +10 m + n Øvelse 60 () Isolér k i ligningen () Isolér r i ligningen t ( k + ) 1 r ( r) s Øvelse 61 () Tllet i ligningen er ikke 0. Isolér. y + () Isolér i ligningen. Strt med t gnge egge sider med y Øvelse 6 I ligningerne er m og t ikke 0. Isolér t i hver f ligningerne. (1) N m t () t N () m N m t Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

29 Øvelse 6 () I ligningen er m ikke 0. Isolér. y 4m( ) () I ligningen er m ikke 0. Isolér. y 4m( ) (c) I ligningen er ikke 0. Isolér m. y 4m( ) Øvelse 64 () I ligningen er og e ikke 0. Isolér e. c + d e () I ligningen er e ikke 0. Isolér d. c + d e Øvelse 65 Vi kn finde relet A f en estemt type figurer ved hjælp f følgende opskrift: A. Læg til grundlinjen g. B. Gng A-resulttet med højden h. () Skriv denne opskrift som en ligning A () Isolér g i denne ligning: (c) Skriv resulttet fr () som en opskrift f smme type som den ovenfor: A. B. Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

30 Øvelse 66 Vi kn finde omkredsen O f en estemt type figurer ved hjælp f følgende opskrift: A. Gng redden med 4. B. Gng højden h med. C. Læg B-resulttet til A-resulttet. () Skriv denne opskrift som en ligning O () Isolér h i denne ligning: (c) Skriv resulttet fr () som en opskrift f smme type som den ovenfor: A. B. C. Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

31 Teori 67 Udtrykket 4 læses 4 i nden og etyder 4 gnget med sig selv dvs For lle tl er. På lommeregneren kn vi udregne t 1,4 I udtryk som, 1,96 1+, 4 skl vi opløfte til nden før vi ruger, + og, så der gælder 9 ( ) ( ) ( ) ( ) () () 4 9 Øvelse 68 () Når t er 5t () 1 Når h er h Øvelse 69 () Tllene u og er ikke 0. Isolér i ligningen my u () Tllene y og er ikke 0. Isolér m i ligningen my u Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

32 Teori 70 Vi lder k stå for et positivt tl. Udtrykket k læses kvdrtroden f k og er den positive løsning til ligningen k. Når vi kun ser på positive tl, så gælder t ligningen 6 hr løsningen 6. Vi udregner kvdrtroden på lommeregner og får 7,874 Øvelse 71 () Om et positivt tl t gælder t 7 Vi kn skrive dette tl ved hjælp f rodtegn: t Vi udregner kvdrtroden på lommeregner og får t () I ligningen står og m for positive tl. Isolér. m (c) I ligningen står y, k og m for positive tl. Isolér y. y k+ m Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

33 Teori 7 Vi vil finde det positive tl som er løsning til ligningen Først isolerer vi : Af reglen fr teori 70 får vi 7 Vi udregner kvdrtroden på lommeregner og får 1,58 1 dvs. 1, 58 er det positive tl som er løsning til Øvelse 7 () Find det positive tl som er løsning til ligningen 6 5 () Find det positive tl som er løsning til ligningen 4 9 (c) Find det positive tl N som er løsning til ligningen N 5 76 Øvelse 74 () Find det positive tl t som er løsning til ligningen t + 1 () Find det positive tl p som er løsning til ligningen 4 p 17 (c) Find det positive tl y som er løsning til ligningen y Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

34 Øvelse 75 I denne øvelse står c, h og for positive tl. () Isolér c i ligningen () Isolér i ligningen h c h c (c) Isolér h i ligningen h c Øvelse 76 I denne øvelse står B, k, m og r for postive tl. () Isolér m i ligningen () Isolér k i ligningen r k B r k B m m (c) Isolér r i ligningen r k B m Øvelse 77 Vi kn finde rumfnget V f en estemt type figurer ved hjælp f følgende opskrift: A. Opløft tykkelsen d til nden. B. Gng A-resulttet med højden h. C. Gng B-resulttet med 5. () Skriv denne opskrift som en ligning V () Udregn rumfnget når tykkelsen er og højden er 6. V (c) Udregn tykkelsen når rumfnget er 7 og højden er 10. Bogstvregning for gymnsiet og hf Side 010 Krsten Juul

35 Bogstvregning for gymnsiet og hf Side 010 Krsten Juul Brøk. del Teori 78 Brøkregler. () Vi ændrer ikke en røks tlværdi når vi forlænger (dvs. gnger tæller og nævner med smme tl) eller forkorter (dvs. dividerer tæller og nævner med smme tl): k k k k () Vi kn gnge to røker ved t gnge tæller med tæller og nævner med nævner: d c d c (c) Vi kn gnge en røk med et tl ved t gnge røkens tæller med tllet: c c c c (d) Vi kn dividere en røk med et tl ved t gnge nævneren med tllet: c c : (e) Vi kn dividere med en røk ved t gnge med den omvendte røk: c c : c c (f) Hvis røkerne hr smme nævner, kn vi sætte på fælles røkstreg sådn: c c + + c c Ellers må vi først forlænge røkerne så de får smme nævner (se Teori 79). Teori 79 Sådn kn vi sætte på fælles røkstreg. Her er to eksempler på hvordn vi kn sætte på fælles røkstreg ved først t forlænge så røkerne får smme nævner: Advrsel: Der gælder 5 ) ( Vi kn ikke omskrive til 5 1 +

36 Øvelse 80 Sæt på fælles røkstreg: () 1 1 () (c) (d) 1 (e) + 4 (f) 9 Øvelse 81 Afgør hvilke f de otte udtryk der er lig hinnden. h h h () () (c) 1 k k k (d) h k (e) h k (f) h 1 k (g) h k : 1 h (h) : k Svr: Øvelse 8 Afgør hvilke f de otte udtryk der er lig hinnden. h h h h h + h + h () () + + (c) k k k k k + k + k (d) h k (e) h + h + h k (f) h k (g) h k (h) h k Svr: Øvelse 8 Afgør hvilke f de seks udtryk der er lig hinnden. () (d) Svr: 5 () 5 (e) 5 : (c) 5 (f) 5 5 Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

37 Øvelse 84 Reducér: 1 n n () 6 (d) () : 1 h (c) 00 k 00 (e) 1 1+ h + h h (f) 1+ 1 Gnge to prenteser Teori 85 Reglen for t gnge to prenteser: Vi kn gnge to prenteser ved t gnge hvert led i den ene med hvert led i den nden. Forklring på hvordn reglen skl forstås: I udtrykket ( + ) ( + 4 k) indeholder første prentes de to led og nden prentes de tre led 4 k Ved t gnge første led i første prentes med hvert f leddene i nden prentes får vi de tre led: 6 1 k Ved t gnge ndet led i første prentes med hvert f leddene i nden prentes får vi: 4 k De seks led vi hr eregnet, lægger vi smmen og får: ( + ) ( + 4 k) 6 + 1k + + 4k Advrsel: Der gælder t 4 ( + )( ) 4 ( + 6) Vi kn ikke omskrive 4 ( + )( ) til Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

38 Øvelse 86 Hvilke f følgende udtryk er lig hinnden unset hvilke tl og står for: () ( 4) () () 8 4 (c) 4 (d) Svr: 4 (e) ( 4 ) ( ) (f) 8 Øvelse 87 Hvilke f følgende udtryk er lig hinnden unset hvilke tl k og står for: () k ( ) () k ( ) (c) k (d) Svr: k (e) k (f) ( k ) Øvelse 88 Gng prenteserne smmen: () ( + )( + 5) (d) ( + )(4 + ) () ( )( + ) (e) ( 5 4)( + ) (c) ( 1)(4 ) (f) ( + )( 4c) Øvelse 89 (1) I hvilket f de fire udtryk nedenfor er det ikke smrt t ruge reglen for t gnge to prenteser? () Reducér: () ( 4)( k ) k( ) () 4 (1 + )( + k) + k (c) ( 5 4)( k + 4) (d) ( k )( 5) + ( k + 14) Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

39 Øvelse 90 I en klsse med 14 piger og 0 drenge hr hver elev 8 store øger og 11 små øger (og ikke ndre øger). (1) Afgør for hver f følgende udregninger hvd det er den pågældende udregning eregner. () Læg 0 til 14. Svr: () Læg 11 til 8. Gng 0 med resulttet. Svr: (c) Læg 0 til 14. Læg 11 til 8. Gng de to resultter. Svr: (d) Læg 0 til 14 og gng resulttet med 8. Læg 0 til 14 og gng resulttet med 11. Læg de to gngeresultter smmen. Svr: (e) Gng 14 med 8. Gng 14 med 11. Gng 0 med 8. Gng 0 med 11. Læg de fire resultter smmen. Svr: () Skriv hver f de fem udregninger som et regneudtryk: () () (c) (d) (e) () Afgør hvilke f regneudtrykkene der er lig hinnden, og skriv disse med lighedstegn imellem: Øvelse 91 Vi køer r røde sodvnd og g grønne sodvnd. For hver sodvnd etler vi prisen kr. plus pnten p kr. For hvert f følgende regneudtryk skl du kort skrive hvd det eregner, og regneudtryk der er lig hinnden, skl du opskrive med lighedstegn imellem. () r + rp () + p (c) r ( + p) (d) ( r + g) + ( r + g) p (e) ( r + g)( + p) (f) r + rp + g + gp Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

40 Øvelse 9 Et puslespil estår f nogle grønne rikker og nogle røde rikker. Hver elev i en klsse får udleveret et eksemplr f puslespillet. (1) Skriv for hver f de fem følgende udregninger hvd det er den pågældende udregning udregner. () Træk ntl drenge fr ntl elever. Læg ntl røde til ntl grønne. Gng de to resultter. Svr: () Læg ntl røde til ntl grønne, og gng ntl elever med resulttet. Læg ntl røde til ntl grønne, og gng resulttet med ntl drenge. Træk sidste gngeresultt fr første gngeresultt. Svr: (c) Gng ntl elever med ntl grønne. Gng ntl elever med ntl røde. Læg de to resultter smmen. Svr: (d) A: Gng ntl elever med ntl grønne. B: Gng ntl elever med ntl røde. C: Gng ntl drenge med ntl grønne. D: Gng ntl drenge med ntl røde. E: Læg resultt B til resultt A. F: Træk resultt C fr resultt E. Træk resultt D fr resultt F. Svr: (e) Læg ntl røde til ntl grønne. Gng ntl elever med resulttet. Svr: () Skriv hver f de fem udregninger som et regneudtryk hvor e, d, g og r står for hhv. ntl elever i klssen, ntl drenge i klssen, ntl grønne rikker i ét puslespil og ntl røde rikker i ét puslespil. () () (c) (d) (e) () Afgør hvilke f regneudtrykkene der er lig hinnden, og skriv disse med lighedstegn imellem: Øvelse 9 Figuren viser et rektngel der er delt op i seks mindre rektngler. For hvert f følgende regneudtryk skl du kort skrive hvd det udregner: (1) + v + () ( + u )( + v + ) () 4 + v + 6 (4) u + vu + u u v Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

41 ,, 4 osv. Teori 94 (Hvd etyder,, 4 osv.?) 4 osv. Teori 95 Når du fleverer opgver, skl du medtge en mellemregning som den i (8), men de ndre mellemregninger ehøver du ikke medtge. (1) + () () (4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) ( + )( + ) (5) ( ) ( ) ( ) 6 (6) (7) (8) + + ( + ) ( + ) Øvelse 96 Skriv hvilke f de seks udtryk der er lig hinnden (se Teori 95). () + + (d) () (e) 9 4 (c) (f) 4 + Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

42 Øvelse 97 Reducer de fire udtryk (se Teori 95). 4 () 4 + () ( ) (c) ) ( + ) + ( ( (d) ) (1 + ) Øvelse 98 Skriv hvilke f de seks udtryk der er lig hinnden (se Teori 95). () 10 () 0 (c) 1 (d) 10 (e) (f) 10 ) ( Øvelse 99 Skriv hvilke f de fire udtryk der er lig hinnden (se Teori 95). () ( ) (c) () (d) Øvelse 100 Skriv hvilke f de seks udtryk der er lig hinnden (se Teori 95). () + () ( + ) (c) + (d) ( 1+ 1) (e) (f) ( 1+ ) Øvelse 101 Reducer de to udtryk (se Teori 95 og Øvelse 100). + () + ( 4 ) () 4 4 Øvelse 10 () Forkort () Hvordn kn vi se på Svr: t den ikke kn forkortes til? Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

43 Øvelse 10 Skriv hvilke f de fire udtryk der er lig hinnden (se Teori 95). () 6 ( ) () (c) ( ) (d) ( ) ( ) Øvelse 104 Reducer de to udtryk (se Teori 95 og Øvelse 10 og Øvelse 10 ). () + () Øvelse 105 Skriv hvilke f de otte udtryk der er lig hinnden. () 9 (e) ( + )( ) () ( ) (f) ( + )( + ) (c) ( )( ) (g) (d) (h) ( + ) Øvelse 106 Gng prenteserne smmen. () ( m + n)( m + n) () ( m n)( m n) (c) ( m + n)( m n) Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

44 Kvdrtsætninger Teori 107 (Kvdrtsætninger) Kvdrtet på en sum: Kvdrtet på en differens: + ) + + ( ) + ( To tls sum gnge smme tls differens: ( + )( ) Gyldigheden f kvdrtsætningerne følger f Øvelse 106. kvdrtet på et tl tllet opløftet til nden. kvdrtet på 4 16 og kvdrtet på 9. Kvdrtet på en sum: ( + 5) () ( + ) + + Kvdrtet på en differens: ( 5) () ( ) + To tls sum gnge smme tls differens: ( + 5)( 5) () 5 9 ( + ) ( ) 5 Øvelse 108 Omskriv ved hjælp f formlen for kvdrtet på en sum: () ( 4) + () ( 1 ) + (c) ( ) + (d) ( 5 4 ) + (e) ( u v) + (f) ( u v) + Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

45 Øvelse 109 Omskriv ved hjælp f formlen for kvdrtet på en differens: () ( 0 ) () ( 7) (c) ( 4u 6v) (d) ( c) Øvelse 110 Omskriv ved hjælp f formlen for to tls sum gnge smme tls differens: () ( 5 + )(5 ) () ( 4 p + q)(4 p q) (c) ( pq + 1)( pq 1) ( (d) + 1)( 1) Øvelse 111 Reducer: () ( y + ) () y) + y ( (c) ( y) 4y + y (d) y + ( + y)( ) ) (e) y ( y (f) 9 ( + y)( y) Øvelse 11 Figuren viser et stort kvdrt der er delt op i to små kvdrter og to rektngler. Skriv hvd følgende regneudtryk udregner. (1) + () ( + ) () + (4) + (5) + Skriv hvd denne øvelse hr t gøre med rmmen Teori 107. Svr: Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

46 Øvelse 11 (1) Find ud f hvd der skl indsættes for og for t () Brug svret på (1) til t omskrive til formen ( + ) : () Find ud f hvd der skl indsættes for og for t (4) Brug svret på () til t omskrive til formen ( + ) : (5) Omskriv k + 5k til formen ( + ) k + 5 k Øvelse 114 (1) Find ud f hvd der skl indsættes for og for t () Brug svret på (1) til t omskrive til formen ( ) : () Omskriv til formen ( ) : Øvelse 115 (1) Find ud f hvd der skl indsættes for og for t 9 () Brug svret på (1) til t omskrive 9 til formen ( + )( ) : 9 () Find ud f hvd der skl indsættes for og for t 16 4 (4) Brug svret på () til t omskrive 4 16 til formen ( + )( ) : 4 16 (5) Omskriv u v 1 til formen ( + )( ) : v u 1 Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

47 Øvelse 116 Reducer: + + () () + 16 (c) 8 + (d) Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul