Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a"

Transkript

1 Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul

2 Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med de ndre emner. Indhold Rækkefølge f + og... 1 Smle led f smme type... Gnge ind i prentes 1. del... 4 Rækkefølge f og smt f + og... 6 Gnge ind i prentes. del Hæve prentes Fortegn 1. del Brøk (division) 1. del Fortegn. del Ligninger Isolere Brøk. del... Gnge to prenteser... 5,, 4 osv Kvdrtsætninger... 4 Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Dette hæfte kn downlodes fr Hæftet må enyttes i undervisningen hvis læreren med det smme sender en e-mil til som dels oplyser t dette hæfte enyttes, dels oplyser om hold, lærer og skole.

3 Rækkefølge f + og Teori 1 Udtryk i prentes skl vi regne ud først. Når et tl står mellem + og så skl vi udregne gnge før plus. Når et tl står mellem to +'er, så kn vi selv vælge hvilket f de to tegn vi vil udregne først. Dette etyder: Vi kn omskrive + 4 til + 8 Vi kn ikke omskrive + 4 til 5 4 Vi kn ikke omskrive Vi kn ikke omskrive Vi kn omskrive + til 5 + til til 7 + Hvis + skl udregnes før, så skl vi skrive en prentes: Vi kn omskrive ( + ) 4 til 5 4 Dette hr mn estemt. Så skl mn ikke skrive så mnge prenteser. Her skl læseren forestille sig t der står gngetegn. Her skl udregnes først, så vi kn ikke udregne noget før vi kender tllet. Øvelse () Kn vi omskrive til ? Svr:. () Kn vi omskrive til 5 7? Svr:. (c) Kn vi omskrive til 5? Svr:. (d) Kn vi omskrive + 4 til + 1? Svr:. (e) Kn vi omskrive ( 5 + ) til 8? Svr:. (f) Kn vi omskrive 6 + til 6 5? Svr:. (g) Kn vi omskrive 6 + til 1 +? Svr:. (h) Kn vi omskrive til ? Svr:. (i) Kn vi omskrive til 4 + 7? Svr:. (j) Kn vi omskrive (4 + ) til 1 +? Svr:. (k) Kn vi omskrive ( 5 + 6) til ? Svr:. Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

4 Øvelse I nogle spil kn vi udregne ntl point når vi kender ntl krydser. Vi lder stå for ntl krydser. () I et spil kn vi udregne ntl point sådn: Læg ntl krydser til 10. Gng resulttet med 4. Hvilke(t) f regneudtrykkene (1) og () ngiver disse udregninger? (1) () ( 10 + ) 4 Svr:. () I et spil kn vi udregne ntl point sådn: A: Gng med ntl krydser. B: Læg A-resulttet til 5. Angiv disse udregninger ved t skrive et regneudtryk med : Antl point. Hvis 6 er dette regneudtryk. (c) I et spil kn vi udregne ntl point sådn: A: Læg 4 til ntl krydser. B: Gng med A-resulttet. Angiv disse udregninger ved t skrive et regneudtryk med : Antl point. Hvis 5 er dette regneudtryk. Smle led f smme type Øvelse 4 står for et tl. På hver pkke står ntl mønter den indeholder: () Hvilke(t) f regneudtrykkene (1)-() ngiver ntl mønter i disse pkker? (1) + + () + () 5 Svr:. () Hvis 4 er + +. (c) Hvis 4 er +. (d) Hvis 4 er 5. Bogstvregning for gymnsiet og hf Side 010 Krsten Juul

5 Øvelse 5 står for et tl. På hver pkke står ntl mønter den indeholder: 8 6 () Hvilke(t) f regneudtrykkene (1)-(7) ngiver ntl mønter i disse pkker? (1) () () (4) (5) 19 (6) 19 + (7) Svr:. () Hvis er Hvis er (c) Hvis er Hvis er 19. Teori 6 Sådn kn vi smle led f smme type. I udtrykket hr vi først en gng og derefter tre gnge, dvs. vi hr fire gnge, så Ved t ruge smme tnkegng får vi Øvelse 7 I hvert f regneudtrykkene (1)-(4) skl du smle led der er f smme type. Se Teori 6. (1) () () (4) k + 11k. Bogstvregning for gymnsiet og hf Side 010 Krsten Juul

6 Gnge ind i prentes 1. del Øvelse 8 m og n står for to tl. På hver pkke står ntl mønter den indeholder. Nedenfor er vist hvor mnge mønter hver f personerne A, B, C og D hr. A: m n B: m n C: m n D: m n m n m n m n m n () m + n er ntl mønter som hr. () m + n er ntl mønter som hr. (c) ( m + n) er ntl mønter som hr. (d) m + n er ntl mønter som hr. (e) m + n er ntl mønter som hr. (f) Hvis m og n 4, så er ( m + n) og m + n. (g) Hvilke tl kn m og n være hvis udtrykkene ( m + n) og m + n skl være smme tl? Svr:. Teori 9 I en skole er der smme ntl piger i lle klsser og smme ntl drenge i lle klsser. k ntl klsser p ntl piger i en klsse d ntl drenge i en klsse ntl elever i en klsse ntl piger i en klsse plus ntl drenge i en klsse p + d ntl elever på skolen ntl klsser gnge ntl elever i en klsse k ( p + d) ntl piger på skolen ntl klsser gnge ntl piger i en klsse k p ntl drenge på skolen ntl klsser gnge ntl drenge i en klsse k d ntl elever på skolen ntl piger på skolen plus ntl drenge på skolen k p + k d Der gælder k ( p + d) k p + k d d egge ligningens sider er ntl elever på skolen. Ligningen er et eksempel på reglen for t gnge ind i en prentes (se Teori 10). Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

7 Teori 10 Reglen for t gnge ind i prentes. Reglen for t gnge ind i en prentes: Advrsel: Et udtryk + + c med flere led kn vi gnge med et tl k ved t gnge hvert led i udtrykket med k, dvs. k ( + + c) k + k + k c Det er + og der skiller led, så Dette etyder: k ( c) k c Vi kn omskrive 4 ( + ) til Vi kn ikke omskrive 4 ( + ) til 8 + Vi kn ikke omskrive 4 ( ) til 8 4 Vi kn omskrive 4 ( ) til 8 Vi kn ofte reducere et udtryk sådn: + ( + ) + 4 c indeholder kun ét led: Først gnger vi ind i prentesen Så smler vi led f smme type. Øvelse 11 Gng ind i prenteserne: () ( + ) 4 (c) 5( + 4) () (1 + ) (d) 4( + + ) Øvelse 1 Reducer: () + 5( + ) (c) ( + y) + () + y () ( 1+ ) + ( + ) (d) (4 + ) (5 ) Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

8 Øvelse 1 Først køer vi 4 øger, og derefter køer vi 7 øger til. For hver og etler vi n mønter. () () (c) (d) For de første 4 øger etler vi mønter, og for de næste 7 øger etler vi mønter, så vi etler i lt + mønter for øgerne. Vi hr i lt køt + øger, og for hver f dem etler vi mønter, så vi etler i lt ( + ) mønter for øgerne. I () og () skrev vi to udtryk der egge vr det vi etler i lt. De to udtryk må ltså give smme tl unset hvilket tl vi indsætter for n. Brug et lighedstegn til t skrive t de to udtryk er lig hinnden: I (c) skrev du en ligning. Gyldigheden f denne ligning kn vi også egrunde ved hjælp f reglen for t Rækkefølge f og smt f + og Øvelse 14 () På hver f de tomme pldser skl du skrive et f følgende udtryk: Hvis vi ser t vi hr 10 mønter, derefter ruger 4 mønter og derefter får mønter, så hr vi mønter. Hvis vi ser t vi hr 10 mønter, derefter ruger 4 mønter og derefter ruger mønter, så hr vi rugt mønter og hr mønter tilge. () På hver f de tomme pldser skl du skrive et f følgende udtryk: + c c + c c + c + + c Hvis vi ser t vi hr mønter, derefter ruger mønter og derefter får c mønter, så hr vi mønter. Hvis vi ser t vi hr mønter, derefter ruger mønter og derefter ruger c mønter, så hr vi rugt mønter og hr mønter tilge. Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

9 Teori 15 Når der før et tl står + og efter står + eller, så kn vi selv vælge hvilket f de to tegn vi vil udregne først. Når der før et tl står og efter står + eller, så er det minusset før vi skl udregne først. Når et tl står mellem og, så skl vi udregne gnge før minus. Dette etyder: Vi kn omskrive til 1 Vi kn omskrive til 7 + Vi kn omskrive til + Vi kn ikke omskrive til 7 8 Vi kn ikke omskrive Vi kn ikke omskrive til 0 5 til Hvis skl udregnes før, så skl vi skrive en prentes: Vi kn omskrive ( 5 ) til Øvelse 16 () Kn vi omskrive + til 0 +? Svr:. () Kn vi omskrive + til 6 +? Svr:. (c) Kn vi omskrive + til? Svr:. (d) Kn vi omskrive + til 4? Svr:. (e) Kn vi omskrive + til + 0? Svr:. (f) Kn vi omskrive til 10? Svr:. (g) Kn vi omskrive til 6 +? Svr:. (h) Kn vi omskrive 5 til? Svr:. Øvelse 17 På hver f de tomme pldser skl du skrive et f følgende udtryk: 14 6 ( 14 ) For en vre er prisen pr. stk. 14 mønter, men vi får en rt på mønter. For 6 stk. skl vi etle. For en vre er prisen pr. stk. mønter. Hvis vi ser t vi hr 14 mønter, og derefter køer 6 stk. f vren, så hr vi mønter tilge. Hvis vi ser t vi hr 14 mønter, og derefter køer en vre til mønter og en vre til 6 mønter, så hr vi mønter tilge. Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

10 Teori 18 ntl frø i en pose I en krukke er 16 frø og 5 poser, dvs. ntl frø i krukken er Vi lægger 7 frø i krukken, dvs. ntl frø i krukken er Vi fjerner poser fr krukken, dvs. ntl frø i krukken er Antl frø i krukken er Denne omskrivning er et eksempel på reglen om t smle led f smme type. Øvelse 19 r ntl frø i en rød pose g ntl frø i en grøn pose I en krukke er der 10 røde poser og 4 grønne poser. Skriv til venstre på linjen nedenfor et udtryk for ntllet f frø i krukken (se evt. Teori 18). Vi fjerner 7 røde poser fr krukken. Skriv et udtryk for ntllet f frø i krukken ved t lve en tilføjelse til det udtryk du llerede hr skrevet på linjen. Vi lægger grønne poser i krukken. Skriv et udtryk for ntllet f frø i krukken ved t lve en tilføjelse til det udtryk du llerede hr skrevet på linjen. Ovenfor er et udtryk for ntllet f frø i krukken. Skriv et udtryk for ntllet som er så simpelt som muligt: Teori 0 I udtrykket Sådn kn vi smle led f smme type. hr vi først otte gnge, og derefter fjerner vi syv gnge, dvs. vi hr én gng tilge, så Ved t ruge smme tnkegng får vi Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

11 Øvelse 1 I hvert f regneudtrykkene (1)-(5) skl du smle led der er f smme type. Se Teori 0 og Teori 6. (1) () () (4) 6 4 k + 11k. (5) 5 y + y 4. Øvelse Reducér: () (4 + ) 5 10 (c) 5 + (5 ) 15 () (6) 1 + ( + 4) (d) ( + + ) Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

12 Gnge ind i prentes. del Øvelse står for et estemt tl. I lle klsser er der 0 elever, og f dem er piger. På hver f de tomme pldser i ()-(e) skl du skrive en f følgende sætninger: piger i én klsse drenge i én klsse elever i én klsse piger i fire klsser drenge i fire klsser elever i fire klsser () 0 er ntl. () 4 (0 ) er ntl. (c) 4 0 er ntl. (d) 4 er ntl. (e) er ntl. (f) Når 8 er 4 (0 ) og (g) Hvilke tl kn være hvis udtrykkene 4 (0 ) og skl være smme tl? Svr:. Teori 4 Reglen for t gnge ind i prentes. Et udtryk + c med flere led kn vi gnge med et tl k ved t gnge hvert led i udtrykket med k, dvs. k ( + c) k k + k c Det er + og der skiller led, så Dette etyder: k ( c) k c Vi kn omskrive 4 ( ) til 8 4 Vi kn ikke omskrive 4 ( ) til 8 Vi kn ikke omskrive 4 ( ) til 8 4 Vi kn omskrive 4 ( ) til 8 Vi kn ofte reducere et udtryk sådn: + ( ) + 5 c indeholder kun ét led: Først gnger vi ind i prentesen. + Så smler vi led f smme type. Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

13 Øvelse 5 Reducér: () 4 + ( ) (c) ( + y) 5 y () ( ) + 8( + 1) (d) ( 4 ) Øvelse 6 Først køer vi øger som hver koster 19 mønter. Derefter leverer vi 7 øger tilge og får pengene igen. () For de øger etlte vi mønter, og for de 7 øger får vi mønter tilge, så for de øger vi eholder, hr vi etlt mønter. () Antllet f øger vi eholder er, og vi etlte mønter for hver og, så for de øger vi eholder, hr vi etlt ( ) mønter. (c) (d) I () og () hr du skrevet to udtryk som egge er lig det vi hr etlt for de øger vi eholder, så de to udtryk er lig hinnden. Skriv udtrykkene med lighedstegn imellem: Vi ehøver ikke tænke på øger og mønter for t se t denne ligning gælder. Vi kn egrunde den med reglen for t Hæve prentes Øvelse 7 () Vi ser t vi hr 15 mønter. Derefter køer vi en vre til 8 mønter, og derefter en vre til mønter. På hver f de tomme pldser skl du skrive en f følgende: etlt for de to vrer tilge når vi hr køt den første vre tilge når vi hr køt egge vrer 15 8 er ntl mønter vi hr er ntl mønter vi hr. 8 + er ntl mønter vi hr. 15 (8 + ) er ntl mønter vi hr. Øvelsen fortsætter på næste side! Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

14 () Vi ser t vi hr mønter. Derefter køer vi en vre til mønter, og derefter en vre til c mønter. På hver f de tomme pldser skl du skrive en f følgende: etlt for de to vrer tilge når vi hr køt den første vre tilge når vi hr køt egge vrer er ntl mønter vi hr. c er ntl mønter vi hr. + c er ntl mønter vi hr. ( + c) er ntl mønter vi hr. (c) Hvis 50, 0 og c 10 er c og ( + c). (d) Hvilke tl kn, og c være hvis de to udtryk ( + c) og c skl være smme tl? Svr:. Teori 8 Sådn kn vi hæve prenteser. Når der forn prentesen er, og efter prentesen er +, eller ingenting så kn vi fjerne prentesen og minusset forn hvis vi smtidig ændrer fortegnet for hvert led i prentesen. Når vi gør dette, siger vi t vi hæver minusprentesen. Når der forn prentesen er +, og efter prentesen er +, eller ingenting så kn vi fjerne prentesen og plusset forn. Når vi gør dette, siger vi t vi hæver plusprentesen. Eksempler: 14 ( + 5 y) y 8 ( ) + (5 ) 8 ( + ) + ( + 5 ) Disse tegn skl fjernes. Disse tegn skl ændres. Denne linje skriver vi normlt ikke. ( + ) ( c + d e) + ( + ) ( c + d e) + + c d + e Denne linje skriver vi normlt ikke. Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

15 Teori 9 Ved t hæve minusprentesen får vi ( 4 ) 4 Prentesen og minusset forn hr vi fjernet, og fortegnet i prentesen hr vi ændret til plus. + 4 er det smme som 4 Ved t hæve plusprentesen får vi 5 + ( ) 5 Prentesen og plusset forn hr vi fjernet. Fortegnet i prentesen skl vi ikke ændre d det er en plusprentes vi hr hævet. Følgende prentes er ikke en minusprentes: Det skyldes t der ikke står minus forn prentesen. Når der ikke er skrevet noget forn prentesen, kn vi skrive + uden t ændre etydningen: Vi kn omskrive sådn: + ( k) k ( k) + ( k) k Øvelse 0 Hæv prenteserne: () ( + ) (d) ( 7 + k y) () ( 4c + 5 ) (e) ( + ) (c) + ( 6 10) (f) ( 8 ) Øvelse 1 Reducér: () ( 4) + ( + ) () ( 5 ) ( + ) (d) ( + 5) ( + 5) (e) 1 ( y ) ( + y) (c) (7 + ) + (f) + ( 5) ( 1+ ) Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

16 Øvelse Vi hr 65 mønter. Først etler vi mønter for en vre, men vi får 10 mønter tilge fordi der en mngel ved vren. () Lige d vi hvde etlt de mønter hvde vi mønter. D vi hvde fået mønter tilge, hvde vi + mønter. () (c) (d) D vi hvde fået mønter tilge, hvde vi etlt mønter for vren, så vi hvde ( ) mønter. I () og () hr du skrevet to udtryk som egge er lig ntllet f mønter vi hvde efter t vi hvde fået mønter tilge, så de to udtryk er lig hinnden. Skriv udtrykkene med lighedstegn imellem: Vi ehøver ikke tænke på mønter for t se t denne ligning gælder. Vi kn egrunde den med reglen for t Teori Vi kn ofte reducere et udtryk sådn: (4 ) (1 6) Først gnger vi ind i prentesen Så hæver vi minusprentesen. 8 1 Så smler vi led f smme type. Øvelse 4 Reducér: () (4 ) ( ) () 4 4( ) (c) + 5( + 4) ( ) (d) ( + 1) ( 4) (e) ( 4 + ) + ( ) (f) 4(1 + ) ( ) Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

17 Fortegn 1. del Teori 5 5 ( ) 5 ( 5) ( ) 5 ( 5) 5 5 ( ) ( ) 5 5 ( ) 5 + Minus gnge minus giver plus Her skl tllene ikke gnges, så vi kn ikke ruge reglen om minus gnge minus. I stedet hæver vi prenteserne (Teori 8). Øvelse 6 Reducér: () 4 ( ) + () k ( ) + k (c) + ( t) (d) + ( ( ) ) (e) ( ) (f) ( 5) Brøk (division) 1. del Teori 7 Vi vil skrive division som en røk. At 1 divideret med 4 er skriver vi sådn 1. 4 Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

18 Teori 8 Hlvdelen f 6 er dvs. 6 D der står mellem 6 og, må vi dividere op i 6. Teori 9 Hlvdelen f er ikke dvs. 6 + kn vi ikke omskrive til +. D der står + mellem 6 og, må vi ikke dividere op i 6. Hvis der står minus må vi heller ikke dividere op i 6: 6 Der gælder ltså: kn vi ikke omskrive til. kn vi ikke omskrive til 8 kn vi ikke omskrive til 7 +. Øvelse 40 () Kn vi omskrive () Kn vi omskrive (c) Kn vi omskrive (d) Kn vi omskrive til 5? Svr:. til 0? Svr:. til 1 5? Svr:. til + 1? Svr:. Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

19 Øvelse 41 Reducér: () 1 1 () (c) ( 4) (d) Teori 4 Der gælder: 1 og og 4 ( 4) og og ( 4) kn vi ikke omskrive til kn vi ikke omskrive til kn vi ikke omskrive til Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

20 Øvelse 4 Reducér: () () 6 8 k (c) + 8 k ( 4) (d) 4 (e) 7 7 k (f) k k + k k (g) (h) + ( 6) 6 Fortegn. del Teori 44 Disse eksempler viser tilldte omskrivninger: Minus divideret med minus giver plus c 5 c c 5 + c Øvelse 45 Hvilke f følgende udtryk giver smme tl unset hvilket tl vi indsætter for? () () (c) (d) (e) (f) (g) (h) + Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

21 Ligninger Teori 46 Tænk på en vægt når du løser ligninger. står for et tl. På hver pkke står hvor mnge lodder den indeholder. Vi hr nrgt nogle pkker på hver f vægtens skåle: Vi ser t der er ligevægt. Dette kn vi skrive som en ligning: Vi omskriver den ene side i ligningen, dvs. flytter rundt på pkkerne på den ene vægtskål. Der må stdig være ligevægt: Vi trækker fr egge ligningens sider, dvs. fjerner fr egge vægtskåle. Der må stdig være ligevægt: Vi dividerer egge ligningens sider med. På hver f vægtskålene er der nu en tredjedel f det der vr før. Der må stdig være ligevægt: : Pkken med lodder vejer det smme som fire lodder, dvs. 4. Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

22 Teori 47 Regler vi kn ruge til t løse ligninger: Vi må lægge det smme tl til egge sider f lighedstegnet. Vi må trække det smme tl fr egge sider f lighedstegnet. Vi må gnge egge sider f lighedstegnet med det smme tl hvis det tl vi gnger med, ikke er nul. Vi må dividere egge sider f lighedstegnet med det smme tl hvis det tl vi dividerer med, ikke er nul. Vi må omskrive en f ligningens sider ved hjælp f de regler der står i de foregående fsnit. Eksempler: () Hvis vi i ligningen 14 + trækker fr egge sider, får vi 1 () Hvis vi i ligningen 1 1 dividerer egge sider med, får vi Ved t reducere de to sider får vi 4 (c) ADVARSEL: Hvis vi i ligningen dividerer egge sider med, får vi kn ikke forkortes væk d der står + mellem og (d) ADVARSEL: Hvis vi i ligningen dividerer egge sider med, får vi IKKE + (e) Hvis vi i ligningen 5 gnger egge sider med 1, får vi 5 (f) Hvis vi i ligningen 4 lægger til egge sider, så får vi 5 4 Vi gnger egge sider med 4: Ved t reducere de to sider får vi 0 Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

23 Øvelse 48 Hvd gør vi ved egge sider i for t få ligningen 11? Svr:. Hvd gør vi ved egge sider i 8 1 for t få ligningen 1? Svr:. Hvd gør vi ved egge sider i 8 40 for t få ligningen 5? Svr:. Hvd gør vi ved egge sider i 9 5 Svr:. for t få ligningen 45? Øvelse 49 Skriv mellemregning der viser hvd vi hr gjort ved egge sider i ligningen: () Af får vi så 15 (c) Af 11 0 får vi så 11 () Af 1 5 får vi så 60 (d) Af 7 1 får vi så Øvelse 50 Løs ligningerne. (1) () 8 () 1 (4) 1 9 (5) 1 + (6) 7 Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

24 Øvelse 51 Løs ligningerne. (1) () () (4) (5) (6) 8 5 Øvelse 5 Løs ligningerne. (1) () () Øvelse 5 Løs ligningerne. (1) () () Bogstvregning for gymnsiet og hf Side 010 Krsten Juul

25 Øvelse 54 Løs ligningerne. (1) 5 ( + 6) + 9 () 6 ( + ) + 1 () ( + 5) Øvelse 55 Løs ligningerne. (1) ( 4) + (1 ) () 5( + ) (4 ) Bogstvregning for gymnsiet og hf Side 010 Krsten Juul

26 Øvelse 56 () Følgende er oplyst: Når vi lægger 6 til ntl drenge, så får vi det smme som hvis vi gnger ntl drenge med 4. Skriv denne oplysning som en ligning hvor d står for ntl drenge, og estem ntl drenge. Ligning: () Følgende er oplyst: Når vi gnger ntl piger med og lægger 8 til, så får vi det smme som når vi gnger ntl piger med 5. Skriv denne oplysning som en ligning hvor p står for ntl piger, og estem ntl piger. Ligning: Øvelse 57 () Følgende er oplyst: Når vi lægger 7 til ntl drenge og gnger resulttet med 8, så får vi 96. Skriv denne oplysning som en ligning hvor d står for ntl drenge, og estem ntl drenge. Ligning: () Følgende er oplyst: Når vi trækker ntl piger fr og trækker resulttet fr 4, så får vi 1. Skriv denne oplysning som en ligning hvor p står for ntl piger, og estem ntl piger. Ligning: Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

27 Isolere Teori 58 Sådn kn vi isolere en vriel. I en opgve står t vi skl isolere m i ligningen n m 1. Dette etyder: Vi skl omforme ligningen til formen plds står et udtryk der ikke indeholder m. m L hvor der på prikkernes For t isolere m strter vi med t lægge 1 til egge ligningens sider. Så får vi n+ 1 m. Nu dividerer vi egge ligningens sider med : n+ 1 m. Ved t forkorte røken på højre side får vi ligningen n+ 1 m hvor m er isoleret. Resulttet på opgven er m n+1 For t isolere z i ligningen dividerer vi egge sider med 4 m og får Vi forkorter røken på venstre side og får 4 zm 4zm 4m z p p 4m p 4m For t isolere i ligningen ( 4 y ) dividerer vi egge sider med 4 y og får Vi forkorter røken på venstre side og får (4 y) 4 y 4 y 4 y Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

28 Øvelse 59 () Isolér i ligningen () Isolér i ligningen t +10 m + n Øvelse 60 () Isolér k i ligningen () Isolér r i ligningen t ( k + ) 1 r ( r) s Øvelse 61 () Tllet i ligningen er ikke 0. Isolér. y + () Isolér i ligningen. Strt med t gnge egge sider med y Øvelse 6 I ligningerne er m og t ikke 0. Isolér t i hver f ligningerne. (1) N m t () t N () m N m t Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

29 Øvelse 6 () I ligningen er m ikke 0. Isolér. y 4m( ) () I ligningen er m ikke 0. Isolér. y 4m( ) (c) I ligningen er ikke 0. Isolér m. y 4m( ) Øvelse 64 () I ligningen er og e ikke 0. Isolér e. c + d e () I ligningen er e ikke 0. Isolér d. c + d e Øvelse 65 Vi kn finde relet A f en estemt type figurer ved hjælp f følgende opskrift: A. Læg til grundlinjen g. B. Gng A-resulttet med højden h. () Skriv denne opskrift som en ligning A () Isolér g i denne ligning: (c) Skriv resulttet fr () som en opskrift f smme type som den ovenfor: A. B. Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

30 Øvelse 66 Vi kn finde omkredsen O f en estemt type figurer ved hjælp f følgende opskrift: A. Gng redden med 4. B. Gng højden h med. C. Læg B-resulttet til A-resulttet. () Skriv denne opskrift som en ligning O () Isolér h i denne ligning: (c) Skriv resulttet fr () som en opskrift f smme type som den ovenfor: A. B. C. Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

31 Teori 67 Udtrykket 4 læses 4 i nden og etyder 4 gnget med sig selv dvs For lle tl er. På lommeregneren kn vi udregne t 1,4 I udtryk som, 1,96 1+, 4 skl vi opløfte til nden før vi ruger, + og, så der gælder 9 ( ) ( ) ( ) ( ) () () 4 9 Øvelse 68 () Når t er 5t () 1 Når h er h Øvelse 69 () Tllene u og er ikke 0. Isolér i ligningen my u () Tllene y og er ikke 0. Isolér m i ligningen my u Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

32 Teori 70 Vi lder k stå for et positivt tl. Udtrykket k læses kvdrtroden f k og er den positive løsning til ligningen k. Når vi kun ser på positive tl, så gælder t ligningen 6 hr løsningen 6. Vi udregner kvdrtroden på lommeregner og får 7,874 Øvelse 71 () Om et positivt tl t gælder t 7 Vi kn skrive dette tl ved hjælp f rodtegn: t Vi udregner kvdrtroden på lommeregner og får t () I ligningen står og m for positive tl. Isolér. m (c) I ligningen står y, k og m for positive tl. Isolér y. y k+ m Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

33 Teori 7 Vi vil finde det positive tl som er løsning til ligningen Først isolerer vi : Af reglen fr teori 70 får vi 7 Vi udregner kvdrtroden på lommeregner og får 1,58 1 dvs. 1, 58 er det positive tl som er løsning til Øvelse 7 () Find det positive tl som er løsning til ligningen 6 5 () Find det positive tl som er løsning til ligningen 4 9 (c) Find det positive tl N som er løsning til ligningen N 5 76 Øvelse 74 () Find det positive tl t som er løsning til ligningen t + 1 () Find det positive tl p som er løsning til ligningen 4 p 17 (c) Find det positive tl y som er løsning til ligningen y Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

34 Øvelse 75 I denne øvelse står c, h og for positive tl. () Isolér c i ligningen () Isolér i ligningen h c h c (c) Isolér h i ligningen h c Øvelse 76 I denne øvelse står B, k, m og r for postive tl. () Isolér m i ligningen () Isolér k i ligningen r k B r k B m m (c) Isolér r i ligningen r k B m Øvelse 77 Vi kn finde rumfnget V f en estemt type figurer ved hjælp f følgende opskrift: A. Opløft tykkelsen d til nden. B. Gng A-resulttet med højden h. C. Gng B-resulttet med 5. () Skriv denne opskrift som en ligning V () Udregn rumfnget når tykkelsen er og højden er 6. V (c) Udregn tykkelsen når rumfnget er 7 og højden er 10. Bogstvregning for gymnsiet og hf Side 010 Krsten Juul

35 Bogstvregning for gymnsiet og hf Side 010 Krsten Juul Brøk. del Teori 78 Brøkregler. () Vi ændrer ikke en røks tlværdi når vi forlænger (dvs. gnger tæller og nævner med smme tl) eller forkorter (dvs. dividerer tæller og nævner med smme tl): k k k k () Vi kn gnge to røker ved t gnge tæller med tæller og nævner med nævner: d c d c (c) Vi kn gnge en røk med et tl ved t gnge røkens tæller med tllet: c c c c (d) Vi kn dividere en røk med et tl ved t gnge nævneren med tllet: c c : (e) Vi kn dividere med en røk ved t gnge med den omvendte røk: c c : c c (f) Hvis røkerne hr smme nævner, kn vi sætte på fælles røkstreg sådn: c c + + c c Ellers må vi først forlænge røkerne så de får smme nævner (se Teori 79). Teori 79 Sådn kn vi sætte på fælles røkstreg. Her er to eksempler på hvordn vi kn sætte på fælles røkstreg ved først t forlænge så røkerne får smme nævner: Advrsel: Der gælder 5 ) ( Vi kn ikke omskrive til 5 1 +

36 Øvelse 80 Sæt på fælles røkstreg: () 1 1 () (c) (d) 1 (e) + 4 (f) 9 Øvelse 81 Afgør hvilke f de otte udtryk der er lig hinnden. h h h () () (c) 1 k k k (d) h k (e) h k (f) h 1 k (g) h k : 1 h (h) : k Svr: Øvelse 8 Afgør hvilke f de otte udtryk der er lig hinnden. h h h h h + h + h () () + + (c) k k k k k + k + k (d) h k (e) h + h + h k (f) h k (g) h k (h) h k Svr: Øvelse 8 Afgør hvilke f de seks udtryk der er lig hinnden. () (d) Svr: 5 () 5 (e) 5 : (c) 5 (f) 5 5 Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

37 Øvelse 84 Reducér: 1 n n () 6 (d) () : 1 h (c) 00 k 00 (e) 1 1+ h + h h (f) 1+ 1 Gnge to prenteser Teori 85 Reglen for t gnge to prenteser: Vi kn gnge to prenteser ved t gnge hvert led i den ene med hvert led i den nden. Forklring på hvordn reglen skl forstås: I udtrykket ( + ) ( + 4 k) indeholder første prentes de to led og nden prentes de tre led 4 k Ved t gnge første led i første prentes med hvert f leddene i nden prentes får vi de tre led: 6 1 k Ved t gnge ndet led i første prentes med hvert f leddene i nden prentes får vi: 4 k De seks led vi hr eregnet, lægger vi smmen og får: ( + ) ( + 4 k) 6 + 1k + + 4k Advrsel: Der gælder t 4 ( + )( ) 4 ( + 6) Vi kn ikke omskrive 4 ( + )( ) til Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

38 Øvelse 86 Hvilke f følgende udtryk er lig hinnden unset hvilke tl og står for: () ( 4) () () 8 4 (c) 4 (d) Svr: 4 (e) ( 4 ) ( ) (f) 8 Øvelse 87 Hvilke f følgende udtryk er lig hinnden unset hvilke tl k og står for: () k ( ) () k ( ) (c) k (d) Svr: k (e) k (f) ( k ) Øvelse 88 Gng prenteserne smmen: () ( + )( + 5) (d) ( + )(4 + ) () ( )( + ) (e) ( 5 4)( + ) (c) ( 1)(4 ) (f) ( + )( 4c) Øvelse 89 (1) I hvilket f de fire udtryk nedenfor er det ikke smrt t ruge reglen for t gnge to prenteser? () Reducér: () ( 4)( k ) k( ) () 4 (1 + )( + k) + k (c) ( 5 4)( k + 4) (d) ( k )( 5) + ( k + 14) Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

39 Øvelse 90 I en klsse med 14 piger og 0 drenge hr hver elev 8 store øger og 11 små øger (og ikke ndre øger). (1) Afgør for hver f følgende udregninger hvd det er den pågældende udregning eregner. () Læg 0 til 14. Svr: () Læg 11 til 8. Gng 0 med resulttet. Svr: (c) Læg 0 til 14. Læg 11 til 8. Gng de to resultter. Svr: (d) Læg 0 til 14 og gng resulttet med 8. Læg 0 til 14 og gng resulttet med 11. Læg de to gngeresultter smmen. Svr: (e) Gng 14 med 8. Gng 14 med 11. Gng 0 med 8. Gng 0 med 11. Læg de fire resultter smmen. Svr: () Skriv hver f de fem udregninger som et regneudtryk: () () (c) (d) (e) () Afgør hvilke f regneudtrykkene der er lig hinnden, og skriv disse med lighedstegn imellem: Øvelse 91 Vi køer r røde sodvnd og g grønne sodvnd. For hver sodvnd etler vi prisen kr. plus pnten p kr. For hvert f følgende regneudtryk skl du kort skrive hvd det eregner, og regneudtryk der er lig hinnden, skl du opskrive med lighedstegn imellem. () r + rp () + p (c) r ( + p) (d) ( r + g) + ( r + g) p (e) ( r + g)( + p) (f) r + rp + g + gp Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

40 Øvelse 9 Et puslespil estår f nogle grønne rikker og nogle røde rikker. Hver elev i en klsse får udleveret et eksemplr f puslespillet. (1) Skriv for hver f de fem følgende udregninger hvd det er den pågældende udregning udregner. () Træk ntl drenge fr ntl elever. Læg ntl røde til ntl grønne. Gng de to resultter. Svr: () Læg ntl røde til ntl grønne, og gng ntl elever med resulttet. Læg ntl røde til ntl grønne, og gng resulttet med ntl drenge. Træk sidste gngeresultt fr første gngeresultt. Svr: (c) Gng ntl elever med ntl grønne. Gng ntl elever med ntl røde. Læg de to resultter smmen. Svr: (d) A: Gng ntl elever med ntl grønne. B: Gng ntl elever med ntl røde. C: Gng ntl drenge med ntl grønne. D: Gng ntl drenge med ntl røde. E: Læg resultt B til resultt A. F: Træk resultt C fr resultt E. Træk resultt D fr resultt F. Svr: (e) Læg ntl røde til ntl grønne. Gng ntl elever med resulttet. Svr: () Skriv hver f de fem udregninger som et regneudtryk hvor e, d, g og r står for hhv. ntl elever i klssen, ntl drenge i klssen, ntl grønne rikker i ét puslespil og ntl røde rikker i ét puslespil. () () (c) (d) (e) () Afgør hvilke f regneudtrykkene der er lig hinnden, og skriv disse med lighedstegn imellem: Øvelse 9 Figuren viser et rektngel der er delt op i seks mindre rektngler. For hvert f følgende regneudtryk skl du kort skrive hvd det udregner: (1) + v + () ( + u )( + v + ) () 4 + v + 6 (4) u + vu + u u v Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

41 ,, 4 osv. Teori 94 (Hvd etyder,, 4 osv.?) 4 osv. Teori 95 Når du fleverer opgver, skl du medtge en mellemregning som den i (8), men de ndre mellemregninger ehøver du ikke medtge. (1) + () () (4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) ( + )( + ) (5) ( ) ( ) ( ) 6 (6) (7) (8) + + ( + ) ( + ) Øvelse 96 Skriv hvilke f de seks udtryk der er lig hinnden (se Teori 95). () + + (d) () (e) 9 4 (c) (f) 4 + Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

42 Øvelse 97 Reducer de fire udtryk (se Teori 95). 4 () 4 + () ( ) (c) ) ( + ) + ( ( (d) ) (1 + ) Øvelse 98 Skriv hvilke f de seks udtryk der er lig hinnden (se Teori 95). () 10 () 0 (c) 1 (d) 10 (e) (f) 10 ) ( Øvelse 99 Skriv hvilke f de fire udtryk der er lig hinnden (se Teori 95). () ( ) (c) () (d) Øvelse 100 Skriv hvilke f de seks udtryk der er lig hinnden (se Teori 95). () + () ( + ) (c) + (d) ( 1+ 1) (e) (f) ( 1+ ) Øvelse 101 Reducer de to udtryk (se Teori 95 og Øvelse 100). + () + ( 4 ) () 4 4 Øvelse 10 () Forkort () Hvordn kn vi se på Svr: t den ikke kn forkortes til? Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

43 Øvelse 10 Skriv hvilke f de fire udtryk der er lig hinnden (se Teori 95). () 6 ( ) () (c) ( ) (d) ( ) ( ) Øvelse 104 Reducer de to udtryk (se Teori 95 og Øvelse 10 og Øvelse 10 ). () + () Øvelse 105 Skriv hvilke f de otte udtryk der er lig hinnden. () 9 (e) ( + )( ) () ( ) (f) ( + )( + ) (c) ( )( ) (g) (d) (h) ( + ) Øvelse 106 Gng prenteserne smmen. () ( m + n)( m + n) () ( m n)( m n) (c) ( m + n)( m n) Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

44 Kvdrtsætninger Teori 107 (Kvdrtsætninger) Kvdrtet på en sum: Kvdrtet på en differens: + ) + + ( ) + ( To tls sum gnge smme tls differens: ( + )( ) Gyldigheden f kvdrtsætningerne følger f Øvelse 106. kvdrtet på et tl tllet opløftet til nden. kvdrtet på 4 16 og kvdrtet på 9. Kvdrtet på en sum: ( + 5) () ( + ) + + Kvdrtet på en differens: ( 5) () ( ) + To tls sum gnge smme tls differens: ( + 5)( 5) () 5 9 ( + ) ( ) 5 Øvelse 108 Omskriv ved hjælp f formlen for kvdrtet på en sum: () ( 4) + () ( 1 ) + (c) ( ) + (d) ( 5 4 ) + (e) ( u v) + (f) ( u v) + Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

45 Øvelse 109 Omskriv ved hjælp f formlen for kvdrtet på en differens: () ( 0 ) () ( 7) (c) ( 4u 6v) (d) ( c) Øvelse 110 Omskriv ved hjælp f formlen for to tls sum gnge smme tls differens: () ( 5 + )(5 ) () ( 4 p + q)(4 p q) (c) ( pq + 1)( pq 1) ( (d) + 1)( 1) Øvelse 111 Reducer: () ( y + ) () y) + y ( (c) ( y) 4y + y (d) y + ( + y)( ) ) (e) y ( y (f) 9 ( + y)( y) Øvelse 11 Figuren viser et stort kvdrt der er delt op i to små kvdrter og to rektngler. Skriv hvd følgende regneudtryk udregner. (1) + () ( + ) () + (4) + (5) + Skriv hvd denne øvelse hr t gøre med rmmen Teori 107. Svr: Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

46 Øvelse 11 (1) Find ud f hvd der skl indsættes for og for t () Brug svret på (1) til t omskrive til formen ( + ) : () Find ud f hvd der skl indsættes for og for t (4) Brug svret på () til t omskrive til formen ( + ) : (5) Omskriv k + 5k til formen ( + ) k + 5 k Øvelse 114 (1) Find ud f hvd der skl indsættes for og for t () Brug svret på (1) til t omskrive til formen ( ) : () Omskriv til formen ( ) : Øvelse 115 (1) Find ud f hvd der skl indsættes for og for t 9 () Brug svret på (1) til t omskrive 9 til formen ( + )( ) : 9 () Find ud f hvd der skl indsættes for og for t 16 4 (4) Brug svret på () til t omskrive 4 16 til formen ( + )( ) : 4 16 (5) Omskriv u v 1 til formen ( + )( ) : v u 1 Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

47 Øvelse 116 Reducer: + + () () + 16 (c) 8 + (d) Bogstvregning for gymnsiet og hf Side Krsten Juul

Bogstavregning. for gymnasiet og hf (2012) Karsten Juul

Bogstavregning. for gymnasiet og hf (2012) Karsten Juul Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 (01) Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskeläder når du skriver og tegner i häftet, så du får et häfte der er egenet til jävnligt t slå op i under dit videre rejde

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul Bogstvregning En indledning for st og f. del 008 Krsten Juul ) )( ( ) ( ) ( Indold 0. Gnge to prenteser....,, osv... 7. Kvdrtsætninger... 0. Brøer. del... Bogstvregning. En indledning for st og f.. del.

Læs mere

Simple udtryk og ligninger

Simple udtryk og ligninger Simple udtryk og ligninger 009 Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

Matematikkens sprog INTRO

Matematikkens sprog INTRO Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning

Læs mere

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen, INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...

Læs mere

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side f 9 Sinusreltionen Indtil videre, er der kun eskrevet, hvordn mn eregner på retvinklede treknter. Men desværre er det lngtfr lle treknter, som er retvinklede.

Læs mere

PotenssammenhÄnge. 2009 Karsten Juul

PotenssammenhÄnge. 2009 Karsten Juul PotenssmmenhÄnge y b y k k 009 Krsten Juul Dette häfte er en fortsättelse f häftet "Eksponentielle smmenhänge, 009". Indhold 4. Hvd er en potens-smmenhäng?... 83 5. Hvordn ser grfen ud for en potens-smmenhäng...

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold BRØER... PARENTESER...3 PROCENT...4 RENTE...5 INDES...6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... Ret- vinklet treknt...8

Læs mere

Algebra, ligninger og uligheder

Algebra, ligninger og uligheder Alger, ligninger og uligheder I dette kpitel skl du rejde med lger, ligninger og uligheder. Et esøg på Bkken kn give nledning til mnge overvejelser over priser. Det kunne f være den smlede pris for turen

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning 1 Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning 1.1 Fremdregning og tilgeregning...2 1.2 Æskeregning...2 1.3 Høseringe-regning, indkodning og fkodning...3 1.4 Vndret tilgeregning, t dnse en ligning...3

Læs mere

Algebra, ligninger og uligheder

Algebra, ligninger og uligheder Alger, ligninger og uligheder I dette kpitel skl du rejde med ligninger og uligheder. Et esøg på Bkken kn give nledning til mnge overvejelser over priser. Det kunne fx være den smlede pris for turen og

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Udgve 014 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. VÄkstrte.... Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst 4.

Læs mere

Taldiktat. Talhus. Tal. Format 5. Nr. 1. Enere 1. Tiere 10. Hundreder 100. Tusinder 1.000. Titusinder 10.000. Hundredetusinder 100.000 1.000.

Taldiktat. Talhus. Tal. Format 5. Nr. 1. Enere 1. Tiere 10. Hundreder 100. Tusinder 1.000. Titusinder 10.000. Hundredetusinder 100.000 1.000. Tldiktt Nr. Timillioner 0.000.000 Millioner.000.000 Hundredetusinder.000 Tlhus Titusinder 0.000 Tusinder.000 Hundreder Tiere 0 Enere Prktivitet. Træk - kort i skjul fr et lmindeligt kortspil. Læg dem på

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeborg 09-0-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Udrbejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger fejl i

Læs mere

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion)

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion) Mere end lot lektiehjælp Få topkrkter i din SRP 12: Hovedfsnittene i din SRP (Redegørelse, nlyse, diskussion) Hjælp til SRP-opgven Sidste år hjlp vi 3.600 gymnsieelever med en edre krkter i deres SRP-opgve.

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den

Læs mere

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2-3

Læs mere

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0. Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer

Læs mere

Vektorer. koordinatgeometri

Vektorer. koordinatgeometri Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl VEKTORER Koordinter til pnkt i plnen Koordinter til pnkt i rmmet Vektor: Definition, sprogrg, mm 4 Vektor: Koordinter 5 Koordinter til ektors

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17 Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil

Læs mere

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret

Læs mere

Tal 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. Talsyste Brøk Decimalt Procent. Primtal eller sammensat tal

Tal 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. Talsyste Brøk Decimalt Procent. Primtal eller sammensat tal Tl Prisen på g uld tog tors d stte ny re kord i Lon g et stort spring op d og don med rende til.,, kron er per ounce dollr sv.000 (, grm )..00.000 Guld.00.000 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 000 00 m Tlsyste Brøk

Læs mere

Pointen med Integration

Pointen med Integration Pointen med Integrtion Frnk Nsser 20. pril 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en

Læs mere

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul Kot om Potenssmmenhænge 011 Ksten Juul Dette hæfte indeholde pensum i potenssmmenhænge, heunde popotionle og omvendt popotionle vible, fo gymnsiet og hf. Indhold 1. Ligning og gf fo potenssmmenhænge...

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

Ligninger. 1 a 3 b 2 c 8 d 9 e 42 f 6 g 70 h 9 i 2 eller 2 j 13 k 8 l 9 eller 9

Ligninger. 1 a 3 b 2 c 8 d 9 e 42 f 6 g 70 h 9 i 2 eller 2 j 13 k 8 l 9 eller 9 Ligninger 1 3 2 c 8 d 9 e 42 f 6 g 70 h 9 i 2 eller 2 j 13 k 8 l 9 eller 9 2 c d e f 6 æg + 5 høns. 1 æle + 13 pærer. 5 myg + 1 flue. 6x + 5y + 13 3x + 5y 3 4 Gælder i nogle tilfælde. Gælder ltid. c Gælder

Læs mere

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning

Læs mere

Eksamensopgave august 2009

Eksamensopgave august 2009 Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er

Læs mere

Formelsamling Mat. C LINEÆR VÆKST... 11 EKSPONENTIEL VÆKST... 11 POTENS-VÆKST... 11

Formelsamling Mat. C LINEÆR VÆKST... 11 EKSPONENTIEL VÆKST... 11 POTENS-VÆKST... 11 Formelsmling Mt. C BRØER... LIGNINGER... PARENTESER... RENTE... 5 INDES... 6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... VILÅRLIG TREANT... Sinusreltionerne:... Cosinusreltionerne:...

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Integrationsteknikker

Integrationsteknikker Integrtionsteknikker Frnk Vill. jnur 14 Dette dokument er en del f MtBog.dk 8-1. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 Numerisk integrtion.1

Læs mere

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler Mt. B (Sån huskes fomlerne) Formler, som skl kunnes til prøven uen hjælpemiler Inhol Her er tilføjet emærkninger til nogle f formlerne BRØKER... PARENTESER... EKSPONENTER... LOGARITMER... GEOMETRI... Arel

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri Mtemtikkens mysterier - på et oligtorisk niveu f Kenneth Hnsen 2. Trigonometri T D Hvd er fstnden fr flodred til flodred? 2. Trigonometri og geometri Indhold.0 Indledning 2. Vinkler 3.2 Treknter og irkler

Læs mere

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold FORMELSAMLING MAT. C & B... 1 BRØER... PARENTESER... 3 PROCENT... 4 RENTE... 5 INDES... 6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter...

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 39, 009 Produceret f Hns J. Munkholm 1 Linerisering s. 66-67 Lineriseringen f f omkring x =, er den lineære funktion, der hr tngenten som grf. Klder mn den L er forskriften

Læs mere

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º). Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

ELEVER underviser elever En motiverende metode Drejebog med eksempler

ELEVER underviser elever En motiverende metode Drejebog med eksempler ELEVER underviser elever En motiverende metode Drejeog med eksempler Lyngy Tekniske Gymnsium Introduktion Lyngy Tekniske Gymnsium, HTX, hr i smrejde med Udviklingslortoriet for pædgogisk og didktisk prksis

Læs mere

6 +15 4 = 17 3 + 30 2 = 31 11 + 15 12 7 = 13 7 13,57 S F. a : 2 b : 2 c : 2 d : 2 e : 2 f : 3. 1 Hvor mange led er der. a 2 + 5 + 11 5 + 22

6 +15 4 = 17 3 + 30 2 = 31 11 + 15 12 7 = 13 7 13,57 S F. a : 2 b : 2 c : 2 d : 2 e : 2 f : 3. 1 Hvor mange led er der. a 2 + 5 + 11 5 + 22 Hvor mnge led er der i hvert f disse regneudtryk? Beregn værdien f udtrykkene. ANTAL LED + 5 + 5 + 5 5 5 + + 9 5 c + 5 6 +5 = 7 d + 5 + 0 = e 5 5 8 5 6 = 800 6 = 78 f + 6,5 87 : 7 + 5 7 = 7,57 Forind udtrykkene

Læs mere

Projekt 10.3 Terningens fordobling

Projekt 10.3 Terningens fordobling Hvd er mtemtik? C, i-og Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deduere sig til og konstruere ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige, t l den viden, der

Læs mere

Måling. Omkreds Areal Rumfang Enheder Regnehistorier. 1 Mål og omskriv Mål trælisterne i centimeter, og omskriv til decimeter og centimeter.

Måling. Omkreds Areal Rumfang Enheder Regnehistorier. 1 Mål og omskriv Mål trælisterne i centimeter, og omskriv til decimeter og centimeter. Måling Omkreds Arel Rumfng Enheder Regnehistorier Milli =. 000 Centi = Dei = = 0,00 00 = 0,0 0 = 0, entimeter m kvdrtentimeter m 2 kuikentimeter m I det 8. århundrede lev måleenheden meter opfundet i Frnkrig.

Læs mere

1. Eksperimenterende geometri og måling

1. Eksperimenterende geometri og måling . Eksperimenterende geometri og måling Undersøgelse Undersøgelsen drejer sig om det såkldte Firfrveproblem. For mere end 00 år siden fndt mn ved sådnne undersøgelser frem til, t fire frver er nok til t

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009. Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk

Læs mere

Integralregning. for A-niveau i stx, udgave Karsten Juul

Integralregning. for A-niveau i stx, udgave Karsten Juul Integrlregning or A-niveu i st, udgve 5 Krsten Juul Stmunktion (uestemt integrl) Hvd er en stmunktion? UndersÄg om g( er stmunktion til ( GÄr rede or t g( er stmunktion til ( En unktion hr mnge stmunktioner

Læs mere

Potens regression med TI-Nspire

Potens regression med TI-Nspire Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter

Læs mere

ForlÄb om beviser vedr. vektorer og koordinatgeometri i planen

ForlÄb om beviser vedr. vektorer og koordinatgeometri i planen ForÄb om beviser vedr. vektorer koordintgeometri i pnen ForÄb om beviser vedr. vektorer koordintgeometri i pnen Å 211 Krsten Juu Disse sider kn downodes fr www.mt1.dk. Siderne mç benyttes i undervisningen

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0 INTEGRALREGNING Version: 5.0 Noterne gennemgår egreerne: integrl og stmfunktion, og nskuer dette som et redsk til estemmelse f l.. reler under funktioner. Opgver til noterne kn findes her. PDF Fcit til

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Mat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 5. Parenteser

Mat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 5. Parenteser Mat C HF basisforløb-intro side 1 Kapitel 5 Parenteser Mat C HF basisforløb-intro side 1. Fortegn for parenteser 5. Parenteser - En introduktion med opgaver (og facitliste)- Det plus- eller minus- tegn,

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

1. Honningpriser. Skemaet viser vregt og priser pi dansk og udenlandsk honning. Dansk honning

1. Honningpriser. Skemaet viser vregt og priser pi dansk og udenlandsk honning. Dansk honning , i 1. Honningpriser Skemet viser vregt og priser pi dnsk og udenlndsk honning. o Hvor stor er prisen i lt for 2 brgre lynghonning og 3 bregre okologisk honning. o Hvor stor er forskellen i pris pi den

Læs mere

4. Elementær brøkregning - En introduktion med opgaver (og facitliste) - En brøk er to tal (eller bogstavudtryk), som adskilles af en brøkstreg.

4. Elementær brøkregning - En introduktion med opgaver (og facitliste) - En brøk er to tal (eller bogstavudtryk), som adskilles af en brøkstreg. . Hvad er brøker?. Elementær brøkregning - En introduktion med opgaver (og facitlist - En brøk er to tal (eller bogstavudtryk), som adskilles af en brøkstreg. Tallet øverst i brøken kaldes tælleren. Tallet

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

Et udvalg af funktionerne tegnet på grafregneren (eller her med Derive)

Et udvalg af funktionerne tegnet på grafregneren (eller her med Derive) GDS, opgve 85 En strt på opgven (undervisnings- og tvleprotokol): En milie unktioner hr orskrit 4 ( ) + R, Et udvlg unktionerne tegnet på grregneren (eller her med Derive) Værdier tllet, or hvilke hr henholdsvis

Læs mere

Integralregning. for A-niveau i stx, udgave Karsten Juul

Integralregning. for A-niveau i stx, udgave Karsten Juul Integrlregning or A-niveu i st, udgve 7 Krsten Juul Stmunktion (uestemt integrl) Hvd er en stmunktion? UndersÄg om g( er stmunktion til ( GÄr rede or t g( er stmunktion til ( En unktion hr mnge stmunktioner

Læs mere

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011 Mtemtik - introduktion Mrtin Luesen Februry 23, 2011 1 Contents 1 Aritmetik og elementær lgebr 3 1.1 Symboler............................... 3 1.1.1 ligheder............................ 4 1.1.2 uligheder...........................

Læs mere

Start-mat. for stx og hf Karsten Juul

Start-mat. for stx og hf Karsten Juul Start-mat for stx og hf 0,6 5, 9 2017 Karsten Juul Start-mat for stx og hf 2017 Karsten Juul 1/8-2017 (7/8-2017) Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes

Læs mere

JAGTEN POST 4: BØRNENES MAGASIN I BADSTUEGADE

JAGTEN POST 4: BØRNENES MAGASIN I BADSTUEGADE HISTORIEJAGTEN Kære lærere Tusind tk, fordi I vil deltge i Historiejgten. Her følger en kort vejledning til, hvordn Historiejgten kn ruges. Denne PDF indeholder ud over introduktionen: - Et rk med spørgsmål

Læs mere

Ligningsløsning som det at løse gåder

Ligningsløsning som det at løse gåder Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,

Læs mere

Mat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 1. Fortegnsregler og udregningsrækkefølger

Mat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 1. Fortegnsregler og udregningsrækkefølger Mat C HF basisforløb-intro side 1 Kapitel 1 Fortegnsregler og udregningsrækkefølger Mat C HF basisforløb-intro side 2 1. Fortegn. 1.Fortegnsregler og udregningsrækkefølger - En introduktion med opgaver

Læs mere

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k 0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER

STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 007 007-8-V MATEMATISK LINJE -ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER Tirsdg den 18 december 007 kl 900-1000 BESVARELSEN AFLEVERES KL 1000 Der

Læs mere

SoundSations! Sow[' 9arcft LtbrarY- 'M6k:::'t;q:v:,& l. l(rb af datamaskine. 2. llusikplogram. Pia overvejer at ksbe en datamaskine.

SoundSations! Sow[' 9arcft LtbrarY- 'M6k:::'t;q:v:,& l. l(rb af datamaskine. 2. llusikplogram. Pia overvejer at ksbe en datamaskine. l. l(rb f dtmskine Pi overvejer t ksbe en dtmskine. Hvor meget ville Pi komme til t betle for dtmskinen PC 386, nar der betles 295 kr. pr. maned i36 maneder? Hvor meget ville hun spre ved t kobe kontnt?

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning

Læs mere

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE... MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS

Læs mere

Plantehoteller 1 Resultater og konklusioner

Plantehoteller 1 Resultater og konklusioner Plntehoteller 1 Resultter og konklusioner Hvid mrguerit 1. Umiddelrt efter kølelgring i op til 14 dge vr den ydre kvlitet ikke redueret 2. Mistede holdrhed llerede efter 7 dges kølelgring ved 4ºC og lv

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Stamfunktion & integral

Stamfunktion & integral PeterSørensen.dk Stmfunktion & integrl Indhold Stmfunktion... Integrl (Uestemt integrl)... 2 Det estemte integrl... 2 Arel og integrl... Regneregler for estemte integrler... Integrler / stmfunktioner kn

Læs mere

Pythagoras sætning. I denne note skal vi give tre forskellige beviser for Pythagoras sætning:

Pythagoras sætning. I denne note skal vi give tre forskellige beviser for Pythagoras sætning: Pythgors sætning I denne note skl i gie tre forskellige eiser for Pythgors sætning: Pythgors sætning I en retinklet treknt, hor den rette inkel etegnes med, gælder: + = eis 1 Ld os tegne et stort kdrt

Læs mere