Bilag 5: DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen

Transkript

1 Bilag 5: DEA-modellen Bilaget indeholder en tenis besrivelse af DEA-modellen FRSYNINGSSERETARIATET

2 INDLEDNING... 3 INPUTSTYRET DEA-MDEL... 3 UTPUTSTYRET DEA-MDEL... 7 SALAAFAST

3 Indledning Data envelopment analysis (DEA) er en matematis metode, der anvender lineær programmering til at sammenligne en ræe forsyninger med hinanden og bestemme effetiviteten af de forsellige forsyninger. Forsyningerne sammenlignes på baggrund af et sæt af inputs og outputs. Inputs er det, en forsyning anvender til at producere. utputs er det en forsyning producerer. Ud fra de mest effetive forsyninger bestemmer DEA en rand som omslutter alle forsyninger. Randen aldes en effetivitetsfront og de mest effetive forsyninger ligger på denne effetivitetsfront. Forsyninger, der ie ligger på effetivitetsfronten, er ineffetive. Jo længere fra effetivitetsfronten, en forsyning befinder sig, jo mindre effetiv er forsyningen. Effetiviseringsfronten afhænger af sammenhængen mellem inputs og outputs. Sammenhængen mellem inputs og outputs aldes for salaafast. De mest effetive forsyninger angiver DEA til at være 100 pct. effetive. For de ineffetive forsyninger angiver DEA hvor effetive de er i forhold til de mest effetive selsaber, f.es. an en ineffetiv forsyning være 85 pct. effetiv. DEA-modellen an grundlæggende antage to former. Modellen an være inputstyret eller outputstyret. Den inputstyrede model antager, at output er fast, og at input an styres af forsyningen. DEA beregner derfor effetiviteten ved at minimere input for en fastholdt mængde af output. Den outputstyrede model antager, at input er fast, og at output an styres af forsyningen. DEA beregner derfor effetiviteten ved at masimere output for en fastholdt mængde af input. Alt efter om modellen er inputstyret eller outputstyret, an det betyde to forsellige ting, at en forsyning er 85 pct. effetiv. I en inputstyret model betyder det at forsyningen an sæne sit input med 15 pct. (100 pct.- 85 pct.) og producere den samme mængde output. I en outputstyret model betyder det at forsyningen an øge sit output med 15 pct. uden at ændre mængden af input. De 15 pct. aldes effetiviseringspotentialet. I det følgende besrives først den inputstyrede DEA-model, derefter den outputstyrede DEA-model og til slut besrives salaafast. Inputstyret DEA-model Den inputstyrede DEA-model beregner effetiviteten ved at minimere input for en fastholdt mængde af output. Den matematise model er angivet i bos 1 nedenfor. 3

4 Bos 1: Den inputstyrede DEA-model med onstant salaafast. min ubb., 1,, 1 1 0, 1,, : Mål for effetivit x y m n M x y : Input m for forsyning :utput n : Antal input y N : Antal output m x n m n for forsyning : Antal forsyninge r, n 1,, N : Forsyninge n der bliver I bos 1 angiver, m 1,, M et for forsyning betragtet (1) (2) (3) x m mængden af input m for forsyning og y n angiver mængden af input n for forsyning, som er den forsyning, der bliver betragtet i ovenstående model. angiver et mål for effetiviteten af den enelte forsyning. Modellen sal løses for alle forsyninger, således at der er bestemt et for hver af de forsyninger. Modellen bestemmer en løsning ved at ændre på, 1, og således at er optimal under bibetingelserne. Idet modellen sal løses for hver enel forsyning bliver 1,, og valgt på ny for hver enel forsyning. Disse vælges derfor, så hver enel forsyning bliver stillet bedst muligt. Effetivitetsmålet vil altid være mellem 0 og 1. Hvis 1 er forsyningen 100 pct. effetiv og forsyningen ligger på effetivitetsfronten. Hvis 0,85 er forsyningen 85 pct. effetiv. Effetiviseringspotentialet er 15 pct. ((1-0,85) 100 pct.), dvs. forsyningen an sæne sit input med 15 pct. uden at ændre sit output. Bibetingelse 1 og 2 i bos 1 an være opfyldt med lighedstegn eller med sarpt ulighedstegn (< og >). Når en bibetingelse er opfyldt med lighedstegn siges den at være bindende. Hvis en bibetingelse ie er bindende aldes den en ie-bindende bibetingelse. Ved en ie-bindende bibetingelse er der en forsel mellem venstre side og højre side af bibetingelsen. Denne forsel aldes for slac. Ved at lægge slacen til på den ene side opnås en bindende bibetingelse. 4

5 Bibetingelse 1 angiver, for hvert input, at en lineær ombination af hvert input sal være mindre end forsyning s input ganget med forsyning s effetivitet. Hvis denne bibetingelse, for et input, er ie-bindende betyder dette at den betragtede forsyning har et input-slac. Forsyningen an derfor sæne sit forbrug af input uden at ændre den producerede mængde af outputs. Bibetingelse 2 angiver, for hvert output, at en lineær ombination af hvert output sal være større end forsyning s output. Hvis denne bibetingelse, for et output, er ie-bindende betyder dette at den betragtede forsyning har output-slac. Forsyningen an derfor øge mængden af output ved brug af den samme mængde af inputs. Bibetingelse 3 angiver typen af salaafast i modellen. I dette tilfælde er der onstant salaafast. En forsyning, der ligger på effetivitetsfronten, an godt have input- og/eller output-slac. DEA-modellen vurderer dog alligevel denne forsyning til at være 100 pct. effetiv, idet DEA-modellen un ser på proportionale redutioner i alle inputs og ie ser på om nogle inputs an reduceres mere. Hvis en forsyning har input- og/eller outputslacs an forsyningen ved input-slac reducere sit forbrug af inputs uden at mindse mængden af output, og ved output-slac an forsyningen øge mængden af output uden at øge forbruget af inputs. Selvom en forsyning ligger på effetivitetsfronten an den godt ligge bedre, såfremt der er input- og/eller output-slac. Esempel på anvendelse af den inputstyrede DEA-model I det følgende gennemgås et esempel på anvendelsen af den inputstyrede DEA-model. Der ses på en situation, hvor effetiviteten blandt fem forsyninger sal findes. De fem forsyninger benytter sig hver især af to slags input x1 og x2 til at producere en slags output y1, jf. tabel 1: Tabel 1: Esempel på fem forsyningers produtioner. Forsyning y1 x1 x2 x1/y1 x2/y De to sidste olonner angiver, hvor meget af hvert input der bruges til at producere én enhed af output. Disse to olonner an illustrere forsyningernes effetivitet som vist i figur 1. Forsyningernes input-mix er indsat som punter mareret med deres nummer. De tal, der er efterfulgt af et mære, an i første omgang ignoreres. 5

6 Figur 1: Den inputstyrede DEA-model med onstant salaafast. Forsyning 1 og 2 er de mest effetive forsyninger, fordi de anvender den mindste samlede mængde af inputs til at producere ét output, jf. de to sidste olonner i tabel 1 ovenfor. Effetivitetsfronten udgøres derfor af den linje der forbinder forsyning 1 og 2 samt de to linjer der udgår fra forsyning 1 og 2. mrådet over effetivitetsfronten er det gennemførlige område, dvs. ombinationer (af x1/y1 og x2/y1) der ligger i dette område er mulige. Forsyninger der ligger i det gennemførlige område, men ie på effetivitetsfronten, er ineffetive. Forsyning 3, 4 og 5 er ineffetive og ligger derfor ie på effetivitetsfronten, men i det gennemførlige område. F.es. anvender forsyning 3 mere af input x1 end forsyning 1 til at producere én enhed output. Forsyning 3 er derfor ineffetiv. Der an argumenteres tilsvarende for forsyning 4 og 5. Det ses af figur 1 at forsyning 5 er den mindst effetive forsyning, fordi denne befinder sig relativt længere fra fronten end forsyning 3 og 4. Udregnes og, fås følgende: Tabel 1: Resultat af DEA-analyse Forsyning nr ,0 1, ,0 0 1, ,714 0,857 1, ,556 0,333 1, ,5 0 1,

7 Udregningen af beræfter ovenstående grafise fortolning, idet forsyning 1 og 2 har 1, og de øvrige forsyninger har 1 med det laveste for forsyning 5. At 3 0, 714 for forsyning 3, betyder, at brugen af samtlige inputs an reduceres med ( 1 0,713) 100pct. 28,7 pct., uden at størrelsen på outputtet ændres. De forsyninger, der er efterfulgt af et mære, angiver de ineffetive forsyningers projetion på effetivitetsfronten. Her angiver -værdierne hvilen lineær ombination af de mest effetive forsyninger som en given forsyning an opnå, det vil sige -værdierne besriver, hvor på effetivitetsfronten en ineffetiv forsyning an placere sig, hvis den reducerer samtlige inputs med samme andel uden at ændre mængden af output. Betragt f.es. projetionen af forsyning 3 på effetivitetsfronten. Puntet 3 er en lineær ombination af punterne 1 og 2 med 0, og 1,286 2 som vægte. Puntet 5 er specielt interessant, idet denne forsyning i punt 5 vil være 100 pct. effetiv ifølge DEA-modellen, men an reducere mængden af input x1 indtil puntet 2 opnås uden at ændre mængden af outputs. Det vil sige, for forsyning 5 er der input-slac. Da DEA-modellen ser på et proportionalt redution i begge inputs, ser DEA-modellen bort fra en eventuelt estra redution i et enelt input. utputstyret DEA-model Den outputstyrede DEA-model beregner effetiviteten ved at masimere output for en fastholdt mængde af input. Den matematise model er angivet i bos 2 nedenfor. 7

8 Bos 2: Den outputstyrede DEA-model med onstant salaafast. min ubb., 1,, 1 1 0, 1,, : Mål for effetivit x y m n M x y : Input m for forsyning :utput n : Antal input x N : Antal output m m y n for forsyning : Antal forsyninge r, m 1,, M n : Forsyninge n der bliver I bos 2 angiver, n 1,, N et for forsyning betragtet (1) (2) (3) x m mængden af input m for forsyning og y n angiver mængden af input n for forsyning, som er den forsyning der bliver betragtet i ovenstående model. angiver et mål for effetiviteten af den enelte forsyning. Modellen sal løses for alle forsyninger, således at der er bestemt et for hver af de forsyninger. Modellen bestemmer en løsning ved at ændre på, 1, og således at er optimal under bibetingelserne. Idet modellen sal løses for hver enel forsyning bliver 1,, og valgt på ny for hver enel forsyning. Disse vælges derfor så hver enel forsyning bliver stillet bedst muligt. Effetivitetsmålet vil altid være mellem 1 og uendelig. Effetiviteten beregnes som 1 som altid vil være mellem 0 og 1. Hvis 1 1 er forsyningen 100 pct. effetiv og forsyningen ligger på effetivitetsfronten. Hvis 1 0, 85 er forsyningen 85 pct. effetiv. Effetiviseringspotentialet er derfor 15 pct. det vil sige, forsyningen an øge sit output med 15 pct. uden at ændre sit input. Bibetingelse 1 og 2 i bos 2 an være opfyldt med lighedstegn eller med sarpt ulighedstegn (< og >). Når en bibetingelse er opfyldt med lighedstegn siges den at være bindende. Hvis en bibetingelse ie er bindende aldes den en ie-bindende bibetingelse. Ved en ie-bindende bibetingelse er der en forsel mellem venstre side og højre side af bibetingelsen. Denne forsel aldes for slac. Ved at lægge slacen til på den ene side opnås en bindende bibetingelse. 8

9 Bibetingelse 1 angiver, for hvert input, at en lineær ombination af hvert input sal være mindre end forsyning s. Hvis denne bibetingelse, for et input, er ie-bindende betyder dette at den betragtede forsyning har et input-slac. Forsyningen an derfor sæne sit forbrug af input uden at ændre den producerede mængde af outputs. Bibetingelse 2 angiver, for hvert output, at en lineær ombination af hvert output sal være større end forsyning s output ganget med forsyning s effetivitet. Hvis denne bibetingelse, for et output, er ie-bindende betyder dette, at den betragtede forsyning har et output-slac. Forsyningen an derfor øge mængden af output ved brug af den samme mængde af inputs. Bibetingelse 3 angiver typen af salaafast i modellen. I dette tilfælde er der onstant salaafast. En forsyning, der ligger på effetivitetsfronten, an godt have input- og/eller output-slac. DEA-modellen vurderer dog alligevel denne forsyning til at være 100 pct. effetiv, idet DEA-modellen un ser på proportionale stigninger i alle outputs og ie ser på om nogle outputs an øges mere. Hvis en forsyning har input- og/eller outputslacs an forsyningen ved input-slac reducere sit forbrug af inputs uden at mindse mængden af output, og ved output-slac an forsyningen øge mængden af output uden at øge forbruget af inputs. Selvom en forsyning ligger på effetivitetsfronten an den godt ligge bedre såfremt der er input- og/eller output-slac. Esempel på anvendelse af den outputstyrede DEA-model I det følgende gennemgås et esempel på anvendelsen af den outputstyrede DEA-model. Der ses på en situation, hvor effetiviteten blandt fem forsyninger sal findes. De fem forsyninger benytter sig hver især af ét slags input x1 til at producere to slags output y1 og y2, jf. tabel 2. For oversuelighedens syld er mængden af input normaliseret til 1 for alle forsyningerne. Tabel 2: Esempel på fem forsyningers produtioner. Forsyning x1 y1 y I figur 2 er de to sidste olonner indtegnet for grafis at vise effetiviteten af de fem forsyninger. De fem forsyninger er mareret med deres nummer. De tal der er efterfulgt af et mære an i første omgang ignoreres. 9

10 Figur 2: Grafis esempel på outputstyret DEA-model Forsyning 2, 3 og 4 er de mest effetive forsyninger, fordi de producerer den største samlede mængde output ved brug af én enhed input, jf. de to sidste olonner i tabel 2 ovenfor. Effetivitetsfronten udgøres derfor af den linje der forbinder forsyning 2 og 3, den linje der forbinder forsyning 3 og 4 samt de to linjer der forbinder forsyning 4 og 2 med hhv. første- og anden asen. mrådet under effetivitetsfronten er det gennemførlige område, det vil sige, ombinationer (af y1/x1 og y2/x1) der ligger i dette område er mulige. Forsyninger der ligger i det gennemførlige område, men ie på effetivitetsfronten, er ineffetive. Forsyning 1 og 5 er ineffetive og ligger derfor ie på effetivitetsfronten, men i det gennemførlige område. F.es. producerer forsyning 4 mere af output y1 pr. enhed input end forsyning 5 og anvender derfor deres input mere effetivt end forsyning 5. Forsyning 5 er derfor ineffetiv. Punterne 1 og 5 angiver projetionen af forsyning 1 og 5 på effetivitetsfronten. Puntet 1 er specielt interessant, idet denne forsyning i punt 1 er 100 pct. effetiv ifølge DEA-modellen, men an øge mængden af output y1 indtil puntet 2 opnås uden at ændre mængden af input. Det vil sige, for forsyning 1 er der output-slac. Da DEA-modellen ser på en proportional stigning i begge outputs, ser DEA-modellen bort fra en eventuel estra stigning i et enelt output. 10

11 Esempel på mål af effetivitet i en inputstyret og en outputstyret DEAmodel I det følgende gennemgås et esempel på forsellen i måden at måle effetiviteten på i den inputstyrede og den outputstyrede DEA-model. For oversuelighedens syld ses på fire forsyninger som bruger et input til at producere et output, jf. tabel 3: Tabel 3: Esempel på fire forsyningers produtioner. Forsyning x1 y , De fire forsyningers ombinationer af input og output er indtegnet i figur 3. Det ses, at forsyning 3 er den mest effetive forsyning og effetivitetsfronten udgøres derfor af en ret linje gennem origo ((0,0)) og forsyning 3 s placering. mrådet under effetivitetsfronten er det gennemførlige område. Figur 3: Forsel i mål af effetivitet Forsyning 1, 2 og 4 er ineffetive. Typen af DEA-model bestemmer hvordan effetiviteten måles. Hvis DEA-modellen er inputstyret, antager modellen, at input-mængden an styres af forsyningen, men at output er fast. DEA-modellen måler derfor 11

12 effetiviteten af f.es. forsyning 2 ved at fastholde output-mængden, og undersøge hvor meget input-mængden an reduceres. I dette tilfælde an forsyning 2 reducere mængden af input indtil forsyningen når puntet 2. Hvis DEA-modellen er outputstyret, antager modellen, at output-mængden an styres af forsyningen, men at input er fast. DEA.modellen måler derfor effetiviteten af f.es. forsyning 2 ved at fastholde input-mængden og undersøge, hvor meget output-mængden an øges. I dette tilfælde an forsyning 2 øge mængden af output til forsyningen når puntet 2*. Salaafast Effetivitetsfronten afhænger af typen af salaafast. En ændring af typen af salaafast i DEA-modellen fra onstant salaafast til en af de andre typer ændrer derfor forsyningernes målte effetivitet. Fatis vil forsyningernes effetivitet øges eller forblive de samme. Der er fire typer af salaafast: onstant, variabelt, ie-vosende og ieaftagende salaafast. onstant salaafast betyder, at mængden af output voser med samme hastighed som mængden af input. Det vil sige, hvis mængden af input fordobles, fordobles mængden af output også. Ved onstant salaafast an en ineffetiv forsyning blive benchmaret mod alle andre forsyninger uafhængigt af størrelsen. Ie-vosende salaafast betyder, at mængden af output voser med en mindre hastighed end mængden af input. Det vil sige, en fordobling af mængden af input fører til en stigning i mængden af output, der er mindre end en fordobling. Ie-vosende salaafast sirer, at en ineffetiv forsyning ie benchmares mod forsyninger, der er væsentlig større, men forsyningen an godt blive benchmaret mod mindre og væsentlig mindre - forsyninger. Ie-aftagende salaafast betyder, at mængden af output voser med en større hastighed end mængden af input. Det vil sige, en fordobling af mængden af input fører til en stigning i mængden af output, der er større end en fordobling. Ie-aftagende salaafast sirer, at en ineffetiv forsyning ie benchmares mod forsyninger, der er væsentlig mindre, men forsyningen an godt blive benchmaret mod større og væsentlig større forsyninger. Variabelt salaafast er en ombination af ie-vosende og ie-aftagende salaafast. Variabelt salaafast sirer, at en ineffetiv forsyning un benchmares mod forsyninger af nogenlunde samme størrelse. I bos 1 og bos 2 er der anført onstant salaafast. I bos 3 er angivet hvilen betingelse der sal indføres i DEA-modellen alt efter hvilen type salaafast man ønser. 12

13 Bos 3: Typer af salaafast og formulering af bibetingelser onstant salaafast : 0, 1,..., Variabelt salaafast : Ie - vosende 1 salaafast : Ie - aftagende salaafast : 1og 0, 1,..., 1 1 1og 0, 1,..., 1og 0, 1,..., I figur 4 er tilfældet med ét input og ét output illustreret for de fire typer af salaafast. Figur 4: Grafis illustration af salaafast 13