Bilag 5: DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Bilag 5: DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen"

Transkript

1 Bilag 5: DEA-odelle Bilaget ideholder e teis besrivelse af DEA-odelle FRSYNINGSSERETARIATET FEBRUAR 2013

2 INDLEDNING... 3 INPUTSTYRET DEA-MDEL... 3 UTPUTSTYRET DEA-MDEL... 7 SALAAFAST

3 Idledig Data evelopet aalysis (DEA) er e ateatis etode, der aveder lieær prograerig til at saelige e ræe forsyiger ed hiade og bestee effetivitete af de forsellige forsyiger. Forsyigere saeliges på baggrud af et sæt af iputs og outputs. Iputs er det, e forsyig aveder til at producere. utputs er det e forsyig producerer. Ud fra de est effetive forsyiger besteer DEA e rad so oslutter alle forsyiger. Rade aldes e effetivitetsfrot og de est effetive forsyiger ligger på dee effetivitetsfrot. Forsyiger, der ie ligger på effetivitetsfrote, er ieffetive. Jo lægere fra effetivitetsfrote, e forsyig befider sig, jo idre effetiv er forsyige. Effetiviserigsfrote afhæger af saehæge elle iputs og outputs. Saehæge elle iputs og outputs aldes for salaafast. De est effetive forsyiger agiver DEA til at være 100 pct. effetive. For de ieffetive forsyiger agiver DEA hvor effetive de er i forhold til de est effetive selsaber, f.es. a e ieffetiv forsyig være 85 pct. effetiv. DEA-odelle a grudlæggede atage to forer. Modelle a være iputstyret eller outputstyret. De iputstyrede odel atager, at output er fast, og at iput a styres af forsyige. DEA bereger derfor effetivitete ved at iiere iput for e fastholdt ægde af output. De outputstyrede odel atager, at iput er fast, og at output a styres af forsyige. DEA bereger derfor effetivitete ved at asiere output for e fastholdt ægde af iput. Alt efter o odelle er iputstyret eller outputstyret, a det betyde to forsellige tig, at e forsyig er 85 pct. effetiv. I e iputstyret odel betyder det at forsyige a sæe sit iput ed 15 pct. (100 pct.- 85 pct.) og producere de sae ægde output. I e outputstyret odel betyder det at forsyige a øge sit output ed 15 pct. ude at ædre ægde af iput. De 15 pct. aldes effetiviserigspotetialet. I det følgede besrives først de iputstyrede DEA-odel, derefter de outputstyrede DEA-odel og til slut besrives salaafast. Iputstyret DEA-odel De iputstyrede DEA-odel bereger effetivitete ved at iiere iput for e fastholdt ægde af output. De ateatise odel er agivet i bos 1 edefor. 3

4 Bos 1: De iputstyrede DEA-odel ed ostat salaafast. i ubb., 1,, 1 1 0, 1,, : Mål for effetivit x y x y y : Iput for forsyig :utput for forsyig M : Atal iput N : Atal output x : Atal forsyige, 1,, N : Forsyige der bliver I bos 1 agiver, 1,, M r et for forsyig betragtet (1) (2) (3) x ægde af iput for forsyig og y agiver ægde af iput for forsyig, so er de forsyig, der bliver betragtet i oveståede odel. agiver et ål for effetivitete af de eelte forsyig. Modelle sal løses for alle forsyiger, således at der er bestet et for hver af de forsyiger. Modelle besteer e løsig ved at ædre på 1,, og således at er optial uder bibetigelsere. Idet odelle sal løses for hver eel forsyig bliver 1,, og valgt på y for hver eel forsyig. Disse vælges derfor, så hver eel forsyig bliver stillet bedst uligt. Effetivitetsålet vil altid være elle 0 og 1. Hvis 1 er forsyige 100 pct. effetiv og forsyige ligger på effetivitetsfrote. Hvis 0,85 er forsyige 85 pct. effetiv. Effetiviserigspotetialet er 15 pct. ((1-0,85) 100 pct.), dvs. forsyige a sæe sit iput ed 15 pct. ude at ædre sit output. Bibetigelse 1 og 2 i bos 1 a være opfyldt ed lighedsteg eller ed sarpt ulighedsteg (< og >). Når e bibetigelse er opfyldt ed lighedsteg siges de at være bidede. Hvis e bibetigelse ie er bidede aldes de e ie-bidede bibetigelse. Ved e ie-bidede bibetigelse er der e forsel elle vestre side og højre side af bibetigelse. Dee forsel aldes for slac. Ved at lægge slace til på de ee side opås e bidede bibetigelse. 4

5 Bibetigelse 1 agiver, for hvert iput, at e lieær obiatio af hvert iput sal være idre ed forsyig s iput gaget ed forsyig s effetivitet. Hvis dee bibetigelse, for et iput, er ie-bidede betyder dette at de betragtede forsyig har et iput-slac. Forsyige a derfor sæe sit forbrug af iput ude at ædre de producerede ægde af outputs. Bibetigelse 2 agiver, for hvert output, at e lieær obiatio af hvert output sal være større ed forsyig s output. Hvis dee bibetigelse, for et output, er ie-bidede betyder dette at de betragtede forsyig har output-slac. Forsyige a derfor øge ægde af output ved brug af de sae ægde af iputs. Bibetigelse 3 agiver type af salaafast i odelle. I dette tilfælde er der ostat salaafast. E forsyig, der ligger på effetivitetsfrote, a godt have iput- og/eller output-slac. DEA-odelle vurderer dog alligevel dee forsyig til at være 100 pct. effetiv, idet DEA-odelle u ser på proportioale redutioer i alle iputs og ie ser på o ogle iputs a reduceres ere. Hvis e forsyig har iput- og/eller outputslacs a forsyige ved iput-slac reducere sit forbrug af iputs ude at idse ægde af output, og ved output-slac a forsyige øge ægde af output ude at øge forbruget af iputs. Selvo e forsyig ligger på effetivitetsfrote a de godt ligge bedre, såfret der er iput- og/eller output-slac. Esepel på avedelse af de iputstyrede DEA-odel I det følgede geegås et esepel på avedelse af de iputstyrede DEA-odel. Der ses på e situatio, hvor effetivitete bladt fe forsyiger sal fides. De fe forsyiger beytter sig hver især af to slags iput x 1 og x 2 til at producere e slags output y 1, jf. tabel 1: Tabel 1: Esepel på fe forsyigers produtioer. Forsyig y 1 x 1 x 2 x 1 /y 1 x 2 /y De to sidste oloer agiver, hvor eget af hvert iput der bruges til at producere é ehed af output. Disse to oloer a illustrere forsyigeres effetivitet so vist i figur 1. Forsyigeres iput-ix er idsat so puter areret ed deres uer. De tal, der er efterfulgt af et ære, a i første ogag igoreres. 5

6 Figur 1: De iputstyrede DEA-odel ed ostat salaafast. Forsyig 1 og 2 er de est effetive forsyiger, fordi de aveder de idste salede ægde af iputs til at producere ét output, jf. de to sidste oloer i tabel 1 ovefor. Effetivitetsfrote udgøres derfor af de lije der forbider forsyig 1 og 2 sat de to lijer der udgår fra forsyig 1 og 2. rådet over effetivitetsfrote er det geeførlige oråde, dvs. obiatioer (af x 1 /y 1 og x 2 /y 1 ) der ligger i dette oråde er ulige. Forsyiger der ligger i det geeførlige oråde, e ie på effetivitetsfrote, er ieffetive. Forsyig 3, 4 og 5 er ieffetive og ligger derfor ie på effetivitetsfrote, e i det geeførlige oråde. F.es. aveder forsyig 3 ere af iput x 1 ed forsyig 1 til at producere é ehed output. Forsyig 3 er derfor ieffetiv. Der a argueteres tilsvarede for forsyig 4 og 5. Det ses af figur 1 at forsyig 5 er de idst effetive forsyig, fordi dee befider sig relativt lægere fra frote ed forsyig 3 og 4. Udreges og, fås følgede: Tabel 1: Resultat af DEA-aalyse Forsyig r ,0 1, ,0 0 1, ,714 0,857 1, ,556 0,333 1, ,5 0 1,

7 Udregige af beræfter oveståede grafise fortolig, idet forsyig 1 og 2 har 1, og de øvrige forsyiger har 1 ed det laveste for forsyig 5. At 3 0, 714 for forsyig 3, betyder, at bruge af satlige iputs a reduceres ed ( 1 0,713) 100 pct. 28,7 pct., ude at størrelse på outputtet ædres. De forsyiger, der er efterfulgt af et ære, agiver de ieffetive forsyigers projetio på effetivitetsfrote. Her agiver -værdiere hvile lieær obiatio af de est effetive forsyiger so e give forsyig a opå, det vil sige -værdiere besriver, hvor på effetivitetsfrote e ieffetiv forsyig a placere sig, hvis de reducerer satlige iputs ed sae adel ude at ædre ægde af output. Betragt f.es. projetioe af forsyig 3 på effetivitetsfrote. Putet 3 er e lieær obiatio af putere 1 og 2 ed 1 0, 857 og 2 1,286 so vægte. Putet 5 er specielt iteressat, idet dee forsyig i put 5 vil være 100 pct. effetiv ifølge DEA-odelle, e a reducere ægde af iput x 1 idtil putet 2 opås ude at ædre ægde af outputs. Det vil sige, for forsyig 5 er der iput-slac. Da DEA-odelle ser på et proportioalt redutio i begge iputs, ser DEA-odelle bort fra e evetuelt estra redutio i et eelt iput. utputstyret DEA-odel De outputstyrede DEA-odel bereger effetivitete ved at asiere output for e fastholdt ægde af iput. De ateatise odel er agivet i bos 2 edefor. 7

8 Bos 2: De outputstyrede DEA-odel ed ostat salaafast. i ubb. x y, 1,, 1 1 0, 1,, x y : Mål for effetivit : Iput for forsyig :utput for forsyig M : Atal iput x N : Atal output y : Atal forsyige, 1,, M : Forsyige der bliver I bos 2 agiver, 1,, N r et for forsyig betragtet (1) (2) (3) x ægde af iput for forsyig og y agiver ægde af iput for forsyig, so er de forsyig der bliver betragtet i oveståede odel. agiver et ål for effetivitete af de eelte forsyig. Modelle sal løses for alle forsyiger, således at der er bestet et for hver af de forsyiger. Modelle besteer e løsig ved at ædre på 1,, og således at er optial uder bibetigelsere. Idet odelle sal løses for hver eel forsyig bliver 1,, og valgt på y for hver eel forsyig. Disse vælges derfor så hver eel forsyig bliver stillet bedst uligt. Effetivitetsålet vil altid være elle 1 og uedelig. Effetivitete bereges so 1 so altid vil være elle 0 og 1. Hvis 1 1 er forsyige 100 pct. effetiv og forsyige ligger på effetivitetsfrote. Hvis 1 0, 85 er forsyige 85 pct. effetiv. Effetiviserigspotetialet er derfor 15 pct. det vil sige, forsyige a øge sit output ed 15 pct. ude at ædre sit iput. Bibetigelse 1 og 2 i bos 2 a være opfyldt ed lighedsteg eller ed sarpt ulighedsteg (< og >). Når e bibetigelse er opfyldt ed lighedsteg siges de at være bidede. Hvis e bibetigelse ie er bidede aldes de e ie-bidede bibetigelse. Ved e ie-bidede bibetigelse er der e forsel elle vestre side og højre side af bibetigelse. Dee forsel aldes for slac. Ved at lægge slace til på de ee side opås e bidede bibetigelse. 8

9 Bibetigelse 1 agiver, for hvert iput, at e lieær obiatio af hvert iput sal være idre ed forsyig s. Hvis dee bibetigelse, for et iput, er ie-bidede betyder dette at de betragtede forsyig har et iput-slac. Forsyige a derfor sæe sit forbrug af iput ude at ædre de producerede ægde af outputs. Bibetigelse 2 agiver, for hvert output, at e lieær obiatio af hvert output sal være større ed forsyig s output gaget ed forsyig s effetivitet. Hvis dee bibetigelse, for et output, er ie-bidede betyder dette, at de betragtede forsyig har et output-slac. Forsyige a derfor øge ægde af output ved brug af de sae ægde af iputs. Bibetigelse 3 agiver type af salaafast i odelle. I dette tilfælde er der ostat salaafast. E forsyig, der ligger på effetivitetsfrote, a godt have iput- og/eller output-slac. DEA-odelle vurderer dog alligevel dee forsyig til at være 100 pct. effetiv, idet DEA-odelle u ser på proportioale stigiger i alle outputs og ie ser på o ogle outputs a øges ere. Hvis e forsyig har iput- og/eller outputslacs a forsyige ved iput-slac reducere sit forbrug af iputs ude at idse ægde af output, og ved output-slac a forsyige øge ægde af output ude at øge forbruget af iputs. Selvo e forsyig ligger på effetivitetsfrote a de godt ligge bedre såfret der er iput- og/eller output-slac. Esepel på avedelse af de outputstyrede DEA-odel I det følgede geegås et esepel på avedelse af de outputstyrede DEA-odel. Der ses på e situatio, hvor effetivitete bladt fe forsyiger sal fides. De fe forsyiger beytter sig hver især af ét slags iput x 1 til at producere to slags output y 1 og y 2, jf. tabel 2. For oversuelighedes syld er ægde af iput oraliseret til 1 for alle forsyigere. Tabel 2: Esepel på fe forsyigers produtioer. Forsyig x 1 y 1 y I figur 2 er de to sidste oloer idteget for grafis at vise effetivitete af de fe forsyiger. De fe forsyiger er areret ed deres uer. De tal der er efterfulgt af et ære a i første ogag igoreres. 9

10 Figur 2: Grafis esepel på outputstyret DEA-odel Forsyig 2, 3 og 4 er de est effetive forsyiger, fordi de producerer de største salede ægde output ved brug af é ehed iput, jf. de to sidste oloer i tabel 2 ovefor. Effetivitetsfrote udgøres derfor af de lije der forbider forsyig 2 og 3, de lije der forbider forsyig 3 og 4 sat de to lijer der forbider forsyig 4 og 2 ed hhv. første- og ade ase. rådet uder effetivitetsfrote er det geeførlige oråde, det vil sige, obiatioer (af y 1 /x 1 og y 2 /x 1 ) der ligger i dette oråde er ulige. Forsyiger der ligger i det geeførlige oråde, e ie på effetivitetsfrote, er ieffetive. Forsyig 1 og 5 er ieffetive og ligger derfor ie på effetivitetsfrote, e i det geeførlige oråde. F.es. producerer forsyig 4 ere af output y 1 pr. ehed iput ed forsyig 5 og aveder derfor deres iput ere effetivt ed forsyig 5. Forsyig 5 er derfor ieffetiv. Putere 1 og 5 agiver projetioe af forsyig 1 og 5 på effetivitetsfrote. Putet 1 er specielt iteressat, idet dee forsyig i put 1 er 100 pct. effetiv ifølge DEA-odelle, e a øge ægde af output y 1 idtil putet 2 opås ude at ædre ægde af iput. Det vil sige, for forsyig 1 er der output-slac. Da DEA-odelle ser på e proportioal stigig i begge outputs, ser DEA-odelle bort fra e evetuel estra stigig i et eelt output. 10

11 Esepel på ål af effetivitet i e iputstyret og e outputstyret DEAodel I det følgede geegås et esepel på forselle i åde at åle effetivitete på i de iputstyrede og de outputstyrede DEA-odel. For oversuelighedes syld ses på fire forsyiger so bruger et iput til at producere et output, jf. tabel 3: Tabel 3: Esepel på fire forsyigers produtioer. Forsyig x 1 y , De fire forsyigers obiatioer af iput og output er idteget i figur 3. Det ses, at forsyig 3 er de est effetive forsyig og effetivitetsfrote udgøres derfor af e ret lije gee origo ((0,0)) og forsyig 3 s placerig. rådet uder effetivitetsfrote er det geeførlige oråde. Figur 3: Forsel i ål af effetivitet Forsyig 1, 2 og 4 er ieffetive. Type af DEA-odel besteer hvorda effetivitete åles. Hvis DEA-odelle er iputstyret, atager odelle, at iput-ægde a styres af forsyige, e at output er fast. DEA-odelle åler derfor 11

12 effetivitete af f.es. forsyig 2 ved at fastholde output-ægde, og udersøge hvor eget iput-ægde a reduceres. I dette tilfælde a forsyig 2 reducere ægde af iput idtil forsyige år putet 2. Hvis DEA-odelle er outputstyret, atager odelle, at output-ægde a styres af forsyige, e at iput er fast. DEA.odelle åler derfor effetivitete af f.es. forsyig 2 ved at fastholde iput-ægde og udersøge, hvor eget output-ægde a øges. I dette tilfælde a forsyig 2 øge ægde af output til forsyige år putet 2*. Salaafast Effetivitetsfrote afhæger af type af salaafast. E ædrig af type af salaafast i DEA-odelle fra ostat salaafast til e af de adre typer ædrer derfor forsyigeres ålte effetivitet. Fatis vil forsyigeres effetivitet øges eller forblive de sae. Der er fire typer af salaafast: ostat, variabelt, ie-vosede og ieaftagede salaafast. ostat salaafast betyder, at ægde af output voser ed sae hastighed so ægde af iput. Det vil sige, hvis ægde af iput fordobles, fordobles ægde af output også. Ved ostat salaafast a e ieffetiv forsyig blive becharet od alle adre forsyiger uafhægigt af størrelse. Ie-vosede salaafast betyder, at ægde af output voser ed e idre hastighed ed ægde af iput. Det vil sige, e fordoblig af ægde af iput fører til e stigig i ægde af output, der er idre ed e fordoblig. Ie-vosede salaafast sirer, at e ieffetiv forsyig ie bechares od forsyiger, der er væsetlig større, e forsyige a godt blive becharet od idre og væsetlig idre - forsyiger. Ie-aftagede salaafast betyder, at ægde af output voser ed e større hastighed ed ægde af iput. Det vil sige, e fordoblig af ægde af iput fører til e stigig i ægde af output, der er større ed e fordoblig. Ie-aftagede salaafast sirer, at e ieffetiv forsyig ie bechares od forsyiger, der er væsetlig idre, e forsyige a godt blive becharet od større og væsetlig større forsyiger. Variabelt salaafast er e obiatio af ie-vosede og ie-aftagede salaafast. Variabelt salaafast sirer, at e ieffetiv forsyig u bechares od forsyiger af ogelude sae størrelse. I bos 1 og bos 2 er der aført ostat salaafast. I bos 3 er agivet hvile betigelse der sal idføres i DEA-odelle alt efter hvile type salaafast a øser. 12

13 Bos 3: Typer af salaafast og forulerig af bibetigelser ostat salaafas t : 0, 1,..., Variabelt Ie - vosede salaafas t : 1 salaafas t : Ie - aftagede salaafas t : 1og 0, 1,..., 1 1 1og 0, 1,..., 1og 0, 1,..., I figur 4 er tilfældet ed ét iput og ét output illustreret for de fire typer af salaafast. Figur 4: Grafis illustratio af salaafast 13

6 Populære fordelinger

6 Populære fordelinger 6 Populære fordeliger I apitel 4 itroducerede vi stoastise variabler so e åde at repræsetere udfald af et esperiet på. De stoastise variabler ue være både disrete (fx terigslag) og otiuerte (fx vareægder).

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15 Vejledede besvarelser til opgaver i apitel 5 Opgave a) De teststatistier, ma aveder til at teste om to middelværdier er es, består af et estimat på forselle mellem middelværdiere,, divideret med et udtry

Læs mere

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik Uge 7 I Teoretisk Statistik, 9 februar 004 Beskrivede statistik Kategoriserede variable 3 Kvatitative variable 4 Fraktiler for ugrupperede observatioer 5 Fraktiler for grupperede observatioer 6 Beliggeheds-

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6. enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

TEKST NR 435 2004. TEKSTER fra IMFUFA

TEKST NR 435 2004. TEKSTER fra IMFUFA TEKST NR 435 2004 Basisstatisti 2. udgave Jørge Larse August 2006 TEKSTER fra IMFUFA INSTITUT ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER FOR STUDIET AF MATEMATIK OG FYSIK SAMT DERES FUNKTIONER I UNDERVISNING, FORSKNING

Læs mere

Elementær Matematik. Polynomier

Elementær Matematik. Polynomier Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere

Læs mere

Om Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n.

Om Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n. IMFUFA Carste Lude Peterse Om Følger og Ræer Nyttige Græseværdier lim = 1 lim! = x = 0! lim lim (1 + x ) = e x! lim = e 1 Nyttige Ræer 1 p < p > 1 1 log p ( + 1) < p > 1 x = = x 1 x for x < 1 og Z, diverget

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

Teoretisk Statistik, 18. november Stikprøveteori: hvor er vi, og hvor skal vi hen? Proportional allokering Optimal allokering

Teoretisk Statistik, 18. november Stikprøveteori: hvor er vi, og hvor skal vi hen? Proportional allokering Optimal allokering Uge 47 I Teoretisk Statistik, 8. oveber 003 Stikprøveteori: hvor er vi, og hvor skal vi he? Proportioal allokerig Optial allokerig Heruder: Saeligig af variaser og ødvedige stikprøvestørrelser for de forskellige

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Kvantemekanik 4 Side 1 af 11 Energi og tid. Hamiltonoperatoren

Kvantemekanik 4 Side 1 af 11 Energi og tid. Hamiltonoperatoren Kvateekaik 4 Side 1 af 11 ergi og tid Hailtooperatore Af KM3 fregik det, at ehver observabel er repræseteret ved e operator, f.eks. jf. udtryk (3.1) og (3.). Ispireret af det klassiske udtryk for kietisk

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Uge 40 I Teoretisk Statistik, 30. september 2003

Uge 40 I Teoretisk Statistik, 30. september 2003 Uge 40 Teoretis tatisti, 30. september 003 Esidet variasaalyse Model, otatio, hypotese og hælpehypotese Test af hælpehypotese Opdaterig af variasestimat Test af hypotese om es middelværdier Variasaalysesema

Læs mere

Undersøgelse af numeriske modeller

Undersøgelse af numeriske modeller Udersøgelse af umeriske modeller Formål E del af målsætige med dette delprojekt er at give kedskab til de begræsiger, fejl og usikkerheder, som optræder ved modellerig. I de forbidelse er følgede udersøgelse

Læs mere

Statistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer

Statistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer Statistik Lektio 7 Hpotesetest og kritiske værdier Tpe I og Tpe II fejl Strke af e test Sammeligig af to populatioer 1 Tri I e Hpotesetest E hpotesetest består af 5 elemeter: I. Atagelser Primært hvilke

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353 Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi

Læs mere

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders

Læs mere

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q 3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Bogstvregig - supplerede eksepler Reduktio... Ligiger... d Bogstvregig Side Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Reduktio M gger to preteser ed hide ved -

Læs mere

3.-årsopgave, matematik Tønder Gymnasium & HF 21.12.01

3.-årsopgave, matematik Tønder Gymnasium & HF 21.12.01 .-årsopgve, teti Tøder Gysiu HF.. Idholdsfortegelse: Idledig / forord s.. Mtricer, geerelt s. -. Nogle egeser for tricer s. -6. Deteriter s. 6-. Deterit-sætiger s. -. Miorer, oftorer og opleeter s. - 6.

Læs mere

Estimation og test i normalfordelingen

Estimation og test i normalfordelingen af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Etimatio og tet i ormalfordelige Dee tekt ideholder et overblik over ogle grudlæggede pricipper for etimatio og tet i ormalfordelige i hyppigt forekommede ituatioer:

Læs mere

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Test i to populatioer Hypotesetest for parrede observatioer Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Asymptotisk optimalitet af MLE

Asymptotisk optimalitet af MLE Kapitel 4 Asymptotisk optimalitet af MLE Lad Y 1, Y 2,... være uafhægige, idetisk fordelte variable med værdier i et rum (Y,K). Vi har givet e model (ν θ ) θ Θ for fordelige af Y 1 (og dermed også for

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 SANDSYNLIGHEDSFELT... 3 DE STORE TALS LOV... 4 Sadsyligheder og frekveser:... 4 STOKASTISK

Læs mere

Løsninger til kapitel 7

Løsninger til kapitel 7 Løsiger til kapitel 7 Opgave 7.1 a) HpoStat giver resultatet: Pop. varias er ukedt, me 30, så Normalf. bruges approksimativt = 54,400 s 1.069,90 = 00,000 0,95 49,868 58,93 Dette betder, at med 95% sikkerhed

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Analyse 1, Prøve maj 2009

Analyse 1, Prøve maj 2009 Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede

Læs mere

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18 ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt

Læs mere

Prisfastsættelse af digitale goder - Microsoft

Prisfastsættelse af digitale goder - Microsoft Iteretøkoomi: risfastsættelse af digitale goder Afleveret d. 9 maj 003 Af Julie ech og Malee Aja org risfastsættelse af digitale goder - Microsoft Af Julie ech og Malee Aja org.0.0 DIGITALE GODER....0.0

Læs mere

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Den flerdimensionale normalfordeling

Den flerdimensionale normalfordeling De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y

Læs mere

StudyGuide til Matematik B.

StudyGuide til Matematik B. StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Dages program Kvatitative metoder De multiple regressiosmodel 6. februar 007 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.- 3.+appedix E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af

Læs mere

Modul 14: Goodness-of-fit test og krydstabelanalyse

Modul 14: Goodness-of-fit test og krydstabelanalyse Forskigsehede for Statistik ST01: Elemetær Statistik Bet Jørgese Modul 14: Goodess-of-fit test og krydstabelaalyse 14.1 Idledig....................................... 1 14.2 χ 2 -test i e r c krydstabel.............................

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig

Læs mere

Rettevejledning til HJEMMEOPGAVE 1 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen

Rettevejledning til HJEMMEOPGAVE 1 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen Rettevejledig til HJEMMEOPGAVE Makro, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørese Opgave... Udsaget er forkert. De omtalte skatteomlægig må atages at øge beskæftigelse p.gr.a. e positiv substitutioseffekt

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5.

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5. Istitut for Matematiske Fag Aarhus Uiversitet De 27. jauar 25. Sadsylighedsteori.2 og 2 Uge 5. Forelæsiger: Geemgage af emere karakteristiske fuktioer og Mometproblemet afsluttes, og vi starter på afsittet

Læs mere

LOKALPLAN 08-072 BOLIGER VED STENBJERGVEJ AALBORG ØST

LOKALPLAN 08-072 BOLIGER VED STENBJERGVEJ AALBORG ØST LOKALPLAN 08-072 BOLIGER VED STENBJERGVEJ AALBORG ØST AALBORG KOMMUNE TEKNISK FORVALTNING SEPTEMBER 2006 Nærere oplsiger Aalborg Koue Tekisk Forvaltig Stigsborg Brgge 5, Postboks 219 9400 Nørresudb Tlf.

Læs mere

Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol

Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol Simpel Lieær Regressio Opsplitig af variatioe Determiatios koefficiet Variasaalse F-test Model-kotrol Opbgig af statistisk model Specificer model Ligiger og atagelser Estimer parametre Modelkotrol Er modelle

Læs mere

Den grådige metode 2

Den grådige metode 2 Algoritmedesig 1 De grådige metode De grådige metode Et problem løses ved at foretage e række beslutiger Beslutigere træffes e ad gage i e eller ade rækkefølge Hver beslutig er baseret på et grådighedskriterium

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

Længde [cm] Der er frit vandspejle i sandkassen. Herudover er sandkassen åben i højden cm i venstresiden og 0-20 cm i højresiden.

Længde [cm] Der er frit vandspejle i sandkassen. Herudover er sandkassen åben i højden cm i venstresiden og 0-20 cm i højresiden. Vadtrasportmodel Formål For beregig af vadtrasporte i sadkasse er der lavet e boksmodel. Formålet med boksmodelle er at beskrive vadtrasporte i sadkasse. Herover er formålet at bestemme de hydrauliske

Læs mere

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

KOMPLEKSE TAL x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

KOMPLEKSE TAL x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium KOMPLEKSE TAL x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse E kort historie om imagiært og virkeligt... Tallegemet De Komplekse Tal... Idførelse af realdel og imagiærdel samt i... 8 Subtraktio,

Læs mere

Introduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem

Introduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse Asymmetric Travelig Salesma Problem David Pisiger, Efterår 2003 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor godschauffør området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt

Læs mere

Bekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet)

Bekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet) Oversigt (idholdsfortegelse) Bilag 1 Bilag 2 Bilag 3 De fulde tekst Bekedtgørelse om takstædriger i offetlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jerbaevirksomheder m.v. (takststigigsloftet) I medfør

Læs mere

30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. 30. august 005 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig 3 Uge, torag d. 8. september 005 Michael Væth, Afdelig for Biostatistik. Mere om kategoriske data Test for uafhægighed I RxC tabeller Test for uafhægighed

Læs mere

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og TIMEGLASSETS FASER: INTRO Itroe er et foto og ogle spørgsmål til hele kapitlet. Meige med itroe er, at du og di klasse skal få e ide om, hvad kapitlet hadler om, og hvad I skal lære. Prøv at svare på spørgsmålee

Læs mere

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Statistik ved Bachelor-uddaelse i folkesudhedsvideskab Græseværdisætiger Det hadler om geemsit Statistikere elsker geemsit Det er oplagt e god ide at tage geemsit. Hvis jeg f.eks skal gætte på vægte af

Læs mere

Bestemmelse af vandføring i Østerå

Bestemmelse af vandføring i Østerå Bestemmelse af vadførig i Østerå Geerelt varierer vadstade og vadførige i daske vadløb over året. Normalt er vadførige lille om sommere for derpå at øge om efteråret. Om vitere ses ormalt de højeste vadføriger

Læs mere

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n Ladmåliges fejlteori Lektio 3 Estimatio af σ Dobbeltmåliger Geometrisk ivellemet Lieariserig - rw@math.aau.dk Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet Repetitio: Middelværdi og Varias Sætig: Middelværdi

Læs mere

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik.

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig Uge, tirsdag. Niels Trolle Aderse, Afdelige for Biostatistik. Geerelt om kurset: - Formål - Forelæsiger - Øvelser - Forelæsigsoter - Bøger - EpiBasic: http://www.biostat.au.dk/teachig/software

Læs mere

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0. Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet

Læs mere

Spørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset.

Spørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset. STATISTIK Skriftlig evaluerig, 3. semester, madag de 30. auar 006 kl. 9.00-3.00. Alle hælpemidler er tilladt. Opgaveløsige forsyes med av og CPR-r. OPGAVE Ved e produktio af viduer er der mulighed for,

Læs mere

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ )

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ ) 3. februar 003 Epidemiologi og biostatistik. Uge, torag d. 3. februar 003 Morte Frydeberg, Istitut for Biostatistik. Type og type fejl Nogle specielle metoder: Test i RxC tabeller Test i x tabeller Fishers

Læs mere

Matematisk trafikmodellering

Matematisk trafikmodellering - Mathematical traffic modelig Grupper.: 8 Gruppemedlemmer: Jacob Hallberg Hasema Kim Alla Hase Ria Roja Kari Vejleder: Morte Blomhøj Semester: 4. Semester, forår 2007, hus 13.1 Studieretig: Det aturvideskabelige

Læs mere

Begreber og definitioner

Begreber og definitioner Begreber og defiitioer Daske husstades forbrug på de medierelaterede udgiftsposter stiger og udgør i 2012*) 11,3 % af husstadees samlede forbrug mod 5,5 % i 1994. For husstade med de laveste idkomster

Læs mere

Kommunikation over støjfyldte kanaler

Kommunikation over støjfyldte kanaler Istitut for Matematise Fag wwwmathaaud Kommuiatio over støjfyldte aaler MAT2-projetrapport af G3-7 forårssemestret 2008 Istitut for Matematise Fag Fredri Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Øst Telefo 99 40 88

Læs mere

Den hurtige Fouriertransformation

Den hurtige Fouriertransformation Polyomier De hurtige Fouriertrasformatio Polyomium: Geerelt: p + 2 3 4 ( x) = 5 + 2x + 8x + 3x 4x p(x) =! " eller x i p(x) = a + a x + a 2 x 2 +!+ a! x! Jea Baptiste Joseph Fourier (768-83) 2 Evaluerig

Læs mere

antal gange krone sker i første n kast = n

antal gange krone sker i første n kast = n 1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder

Læs mere

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside :

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside : Statistiske test Efteråret 00 Jes Friis, AAU Hjemmeside : http://akaaudk/jfj Kotiuerte fordeliger Defiitio: Tæthedsfuktio E sadsylighedstæthedsfuktio på R er e itegrabel fuktio f : R [0; [ hvor f d = Defiitio:

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning) Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.

Læs mere

HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS

HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS Ove Aderse xcalibur@cs.aau.dk Istitut for Datalogi Aalborg Uiversitet Harry Lahrma lahrma@pla.aau.dk Trafikforskigsgruppe Aalborg Uiversitet Kristia Torp torp@cs.aau.dk

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 13 udgave 013 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske

Læs mere

Det skrå kast - med luftmodstand. Erik Vestergaard

Det skrå kast - med luftmodstand. Erik Vestergaard Det srå ast - ed luftodstand Eri Vestergaard Eri Vestergaard www.ateatisider.d Eri Vestergaard, Haderslev 9. Eri Vestergaard www.ateatisider.d 3. Indledning Denne note an danne udgangspunt for et 3g-projet

Læs mere

Talfølger og -rækker

Talfølger og -rækker Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber

Læs mere

Vindmøllesekretariatet og Biogassekretariatet

Vindmøllesekretariatet og Biogassekretariatet og Biogass Brugertilfredshedsudersøgelse af og Biogasss sagsbehadlig og ydelser bladt ommuer Tabelrapport, telefoudersøgelse December Projetosuleter Asger H. Nielse Coie F. Larse Alle rettigheder til udersøgelsesmaterialet

Læs mere

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006 Dages program Økoometri De multiple regressiosmodel 5. februar 006 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.-3.3+appedix E.-E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af parametree

Læs mere

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M

Læs mere

Titel Versionsnr. Udgave-dato Gyldighed Udarbejdet af Godkendt af Handicapreglement Gældende KR/HVM KR/CKP. Indhold

Titel Versionsnr. Udgave-dato Gyldighed Udarbejdet af Godkendt af Handicapreglement Gældende KR/HVM KR/CKP. Indhold Hadicapreglemet Titel Versiosr. Udgave-dato Gyldighed Udarbejdet af Godedt af Hadicapreglemet 0.0.07 Gældede KR/HVM KR/CK Idhold 0. Formål med hadicapsystemet... 3. Defiitioer... 3. Hadicap... 3. arhadicap...

Læs mere

FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. O p t i k. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 3. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder

FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. O p t i k. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 3. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder FY0 Oblgatorsk laboratoreøvelse O p t k Hold E: Hold: D Jacob Chrstase Alevergsdato: 3. aprl 003 Morte Olese Adreas Lyder Idholdsortegelse Idholdsortegelse Forål...3 Måleresultater...4. Salelser...4. Spredelse...5.3

Læs mere

NOTAT Det daglige arbejde med blisterpakninger

NOTAT Det daglige arbejde med blisterpakninger Sige Friis Christiase 7. maj 2015 NOTAT Det daglige arbejde med blisterpakiger I paeludersøgelse 55 i DSRs medlemspael blev deltagere stillet e række spørgsmål om deres arbejde med blisterpakiger. Afrapporterige

Læs mere

Sejladsbestemmelser for Faurby Yacht 2STAR CUP 2015

Sejladsbestemmelser for Faurby Yacht 2STAR CUP 2015 Sejladsbestemmelser for Faurby Yacht 2STAR CUP 2015 Lørdag de 20. jui 2015 Arr. Middelfart- og Fredericia Sejlklubber. 1 Regler 1.1 Sejladse sejles efter de i Kapsejladsreglere defierede regler ikl. Skadiavisk

Læs mere

Pearsons formel for χ 2 test. Den teoretiske forklaring

Pearsons formel for χ 2 test. Den teoretiske forklaring Pearsos formel for χ test De teoretse forlarg Ole Wtt-Hase 04 Idhold. Normalfordelge og χ.... Pearsos formel for χ test... 3. Forlarg på Pearsos formel....4 Pearsos formel for χ test. Normalfordelge og

Læs mere

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007 Atom og kerefysik Igrid Jesperses Gymasieskole 2007 Baggrudsstrålig Mål baggrudsstrålige i 5 miutter. Udreg atallet af impulser i 10 sekuder. Alfa-strålig α Mål atallet af impulser fra e alfa-kilde ude

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse Asymmetric Travelig Salesma Problem David Pisiger, Efterår 2004 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og

Læs mere