Bilag 5: DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen

Transkript

1 Bilag 5: DEA-odelle Bilaget ideholder e teis besrivelse af DEA-odelle FRSYNINGSSERETARIATET FEBRUAR 2013

2 INDLEDNING... 3 INPUTSTYRET DEA-MDEL... 3 UTPUTSTYRET DEA-MDEL... 7 SALAAFAST

3 Idledig Data evelopet aalysis (DEA) er e ateatis etode, der aveder lieær prograerig til at saelige e ræe forsyiger ed hiade og bestee effetivitete af de forsellige forsyiger. Forsyigere saeliges på baggrud af et sæt af iputs og outputs. Iputs er det, e forsyig aveder til at producere. utputs er det e forsyig producerer. Ud fra de est effetive forsyiger besteer DEA e rad so oslutter alle forsyiger. Rade aldes e effetivitetsfrot og de est effetive forsyiger ligger på dee effetivitetsfrot. Forsyiger, der ie ligger på effetivitetsfrote, er ieffetive. Jo lægere fra effetivitetsfrote, e forsyig befider sig, jo idre effetiv er forsyige. Effetiviserigsfrote afhæger af saehæge elle iputs og outputs. Saehæge elle iputs og outputs aldes for salaafast. De est effetive forsyiger agiver DEA til at være 100 pct. effetive. For de ieffetive forsyiger agiver DEA hvor effetive de er i forhold til de est effetive selsaber, f.es. a e ieffetiv forsyig være 85 pct. effetiv. DEA-odelle a grudlæggede atage to forer. Modelle a være iputstyret eller outputstyret. De iputstyrede odel atager, at output er fast, og at iput a styres af forsyige. DEA bereger derfor effetivitete ved at iiere iput for e fastholdt ægde af output. De outputstyrede odel atager, at iput er fast, og at output a styres af forsyige. DEA bereger derfor effetivitete ved at asiere output for e fastholdt ægde af iput. Alt efter o odelle er iputstyret eller outputstyret, a det betyde to forsellige tig, at e forsyig er 85 pct. effetiv. I e iputstyret odel betyder det at forsyige a sæe sit iput ed 15 pct. (100 pct.- 85 pct.) og producere de sae ægde output. I e outputstyret odel betyder det at forsyige a øge sit output ed 15 pct. ude at ædre ægde af iput. De 15 pct. aldes effetiviserigspotetialet. I det følgede besrives først de iputstyrede DEA-odel, derefter de outputstyrede DEA-odel og til slut besrives salaafast. Iputstyret DEA-odel De iputstyrede DEA-odel bereger effetivitete ved at iiere iput for e fastholdt ægde af output. De ateatise odel er agivet i bos 1 edefor. 3

4 Bos 1: De iputstyrede DEA-odel ed ostat salaafast. i ubb., 1,, 1 1 0, 1,, : Mål for effetivit x y x y y : Iput for forsyig :utput for forsyig M : Atal iput N : Atal output x : Atal forsyige, 1,, N : Forsyige der bliver I bos 1 agiver, 1,, M r et for forsyig betragtet (1) (2) (3) x ægde af iput for forsyig og y agiver ægde af iput for forsyig, so er de forsyig, der bliver betragtet i oveståede odel. agiver et ål for effetivitete af de eelte forsyig. Modelle sal løses for alle forsyiger, således at der er bestet et for hver af de forsyiger. Modelle besteer e løsig ved at ædre på 1,, og således at er optial uder bibetigelsere. Idet odelle sal løses for hver eel forsyig bliver 1,, og valgt på y for hver eel forsyig. Disse vælges derfor, så hver eel forsyig bliver stillet bedst uligt. Effetivitetsålet vil altid være elle 0 og 1. Hvis 1 er forsyige 100 pct. effetiv og forsyige ligger på effetivitetsfrote. Hvis 0,85 er forsyige 85 pct. effetiv. Effetiviserigspotetialet er 15 pct. ((1-0,85) 100 pct.), dvs. forsyige a sæe sit iput ed 15 pct. ude at ædre sit output. Bibetigelse 1 og 2 i bos 1 a være opfyldt ed lighedsteg eller ed sarpt ulighedsteg (< og >). Når e bibetigelse er opfyldt ed lighedsteg siges de at være bidede. Hvis e bibetigelse ie er bidede aldes de e ie-bidede bibetigelse. Ved e ie-bidede bibetigelse er der e forsel elle vestre side og højre side af bibetigelse. Dee forsel aldes for slac. Ved at lægge slace til på de ee side opås e bidede bibetigelse. 4

5 Bibetigelse 1 agiver, for hvert iput, at e lieær obiatio af hvert iput sal være idre ed forsyig s iput gaget ed forsyig s effetivitet. Hvis dee bibetigelse, for et iput, er ie-bidede betyder dette at de betragtede forsyig har et iput-slac. Forsyige a derfor sæe sit forbrug af iput ude at ædre de producerede ægde af outputs. Bibetigelse 2 agiver, for hvert output, at e lieær obiatio af hvert output sal være større ed forsyig s output. Hvis dee bibetigelse, for et output, er ie-bidede betyder dette at de betragtede forsyig har output-slac. Forsyige a derfor øge ægde af output ved brug af de sae ægde af iputs. Bibetigelse 3 agiver type af salaafast i odelle. I dette tilfælde er der ostat salaafast. E forsyig, der ligger på effetivitetsfrote, a godt have iput- og/eller output-slac. DEA-odelle vurderer dog alligevel dee forsyig til at være 100 pct. effetiv, idet DEA-odelle u ser på proportioale redutioer i alle iputs og ie ser på o ogle iputs a reduceres ere. Hvis e forsyig har iput- og/eller outputslacs a forsyige ved iput-slac reducere sit forbrug af iputs ude at idse ægde af output, og ved output-slac a forsyige øge ægde af output ude at øge forbruget af iputs. Selvo e forsyig ligger på effetivitetsfrote a de godt ligge bedre, såfret der er iput- og/eller output-slac. Esepel på avedelse af de iputstyrede DEA-odel I det følgede geegås et esepel på avedelse af de iputstyrede DEA-odel. Der ses på e situatio, hvor effetivitete bladt fe forsyiger sal fides. De fe forsyiger beytter sig hver især af to slags iput x 1 og x 2 til at producere e slags output y 1, jf. tabel 1: Tabel 1: Esepel på fe forsyigers produtioer. Forsyig y 1 x 1 x 2 x 1 /y 1 x 2 /y De to sidste oloer agiver, hvor eget af hvert iput der bruges til at producere é ehed af output. Disse to oloer a illustrere forsyigeres effetivitet so vist i figur 1. Forsyigeres iput-ix er idsat so puter areret ed deres uer. De tal, der er efterfulgt af et ære, a i første ogag igoreres. 5

6 Figur 1: De iputstyrede DEA-odel ed ostat salaafast. Forsyig 1 og 2 er de est effetive forsyiger, fordi de aveder de idste salede ægde af iputs til at producere ét output, jf. de to sidste oloer i tabel 1 ovefor. Effetivitetsfrote udgøres derfor af de lije der forbider forsyig 1 og 2 sat de to lijer der udgår fra forsyig 1 og 2. rådet over effetivitetsfrote er det geeførlige oråde, dvs. obiatioer (af x 1 /y 1 og x 2 /y 1 ) der ligger i dette oråde er ulige. Forsyiger der ligger i det geeførlige oråde, e ie på effetivitetsfrote, er ieffetive. Forsyig 3, 4 og 5 er ieffetive og ligger derfor ie på effetivitetsfrote, e i det geeførlige oråde. F.es. aveder forsyig 3 ere af iput x 1 ed forsyig 1 til at producere é ehed output. Forsyig 3 er derfor ieffetiv. Der a argueteres tilsvarede for forsyig 4 og 5. Det ses af figur 1 at forsyig 5 er de idst effetive forsyig, fordi dee befider sig relativt lægere fra frote ed forsyig 3 og 4. Udreges og, fås følgede: Tabel 1: Resultat af DEA-aalyse Forsyig r ,0 1, ,0 0 1, ,714 0,857 1, ,556 0,333 1, ,5 0 1,

7 Udregige af beræfter oveståede grafise fortolig, idet forsyig 1 og 2 har 1, og de øvrige forsyiger har 1 ed det laveste for forsyig 5. At 3 0, 714 for forsyig 3, betyder, at bruge af satlige iputs a reduceres ed ( 1 0,713) 100 pct. 28,7 pct., ude at størrelse på outputtet ædres. De forsyiger, der er efterfulgt af et ære, agiver de ieffetive forsyigers projetio på effetivitetsfrote. Her agiver -værdiere hvile lieær obiatio af de est effetive forsyiger so e give forsyig a opå, det vil sige -værdiere besriver, hvor på effetivitetsfrote e ieffetiv forsyig a placere sig, hvis de reducerer satlige iputs ed sae adel ude at ædre ægde af output. Betragt f.es. projetioe af forsyig 3 på effetivitetsfrote. Putet 3 er e lieær obiatio af putere 1 og 2 ed 1 0, 857 og 2 1,286 so vægte. Putet 5 er specielt iteressat, idet dee forsyig i put 5 vil være 100 pct. effetiv ifølge DEA-odelle, e a reducere ægde af iput x 1 idtil putet 2 opås ude at ædre ægde af outputs. Det vil sige, for forsyig 5 er der iput-slac. Da DEA-odelle ser på et proportioalt redutio i begge iputs, ser DEA-odelle bort fra e evetuelt estra redutio i et eelt iput. utputstyret DEA-odel De outputstyrede DEA-odel bereger effetivitete ved at asiere output for e fastholdt ægde af iput. De ateatise odel er agivet i bos 2 edefor. 7

8 Bos 2: De outputstyrede DEA-odel ed ostat salaafast. i ubb. x y, 1,, 1 1 0, 1,, x y : Mål for effetivit : Iput for forsyig :utput for forsyig M : Atal iput x N : Atal output y : Atal forsyige, 1,, M : Forsyige der bliver I bos 2 agiver, 1,, N r et for forsyig betragtet (1) (2) (3) x ægde af iput for forsyig og y agiver ægde af iput for forsyig, so er de forsyig der bliver betragtet i oveståede odel. agiver et ål for effetivitete af de eelte forsyig. Modelle sal løses for alle forsyiger, således at der er bestet et for hver af de forsyiger. Modelle besteer e løsig ved at ædre på 1,, og således at er optial uder bibetigelsere. Idet odelle sal løses for hver eel forsyig bliver 1,, og valgt på y for hver eel forsyig. Disse vælges derfor så hver eel forsyig bliver stillet bedst uligt. Effetivitetsålet vil altid være elle 1 og uedelig. Effetivitete bereges so 1 so altid vil være elle 0 og 1. Hvis 1 1 er forsyige 100 pct. effetiv og forsyige ligger på effetivitetsfrote. Hvis 1 0, 85 er forsyige 85 pct. effetiv. Effetiviserigspotetialet er derfor 15 pct. det vil sige, forsyige a øge sit output ed 15 pct. ude at ædre sit iput. Bibetigelse 1 og 2 i bos 2 a være opfyldt ed lighedsteg eller ed sarpt ulighedsteg (< og >). Når e bibetigelse er opfyldt ed lighedsteg siges de at være bidede. Hvis e bibetigelse ie er bidede aldes de e ie-bidede bibetigelse. Ved e ie-bidede bibetigelse er der e forsel elle vestre side og højre side af bibetigelse. Dee forsel aldes for slac. Ved at lægge slace til på de ee side opås e bidede bibetigelse. 8

9 Bibetigelse 1 agiver, for hvert iput, at e lieær obiatio af hvert iput sal være idre ed forsyig s. Hvis dee bibetigelse, for et iput, er ie-bidede betyder dette at de betragtede forsyig har et iput-slac. Forsyige a derfor sæe sit forbrug af iput ude at ædre de producerede ægde af outputs. Bibetigelse 2 agiver, for hvert output, at e lieær obiatio af hvert output sal være større ed forsyig s output gaget ed forsyig s effetivitet. Hvis dee bibetigelse, for et output, er ie-bidede betyder dette, at de betragtede forsyig har et output-slac. Forsyige a derfor øge ægde af output ved brug af de sae ægde af iputs. Bibetigelse 3 agiver type af salaafast i odelle. I dette tilfælde er der ostat salaafast. E forsyig, der ligger på effetivitetsfrote, a godt have iput- og/eller output-slac. DEA-odelle vurderer dog alligevel dee forsyig til at være 100 pct. effetiv, idet DEA-odelle u ser på proportioale stigiger i alle outputs og ie ser på o ogle outputs a øges ere. Hvis e forsyig har iput- og/eller outputslacs a forsyige ved iput-slac reducere sit forbrug af iputs ude at idse ægde af output, og ved output-slac a forsyige øge ægde af output ude at øge forbruget af iputs. Selvo e forsyig ligger på effetivitetsfrote a de godt ligge bedre såfret der er iput- og/eller output-slac. Esepel på avedelse af de outputstyrede DEA-odel I det følgede geegås et esepel på avedelse af de outputstyrede DEA-odel. Der ses på e situatio, hvor effetivitete bladt fe forsyiger sal fides. De fe forsyiger beytter sig hver især af ét slags iput x 1 til at producere to slags output y 1 og y 2, jf. tabel 2. For oversuelighedes syld er ægde af iput oraliseret til 1 for alle forsyigere. Tabel 2: Esepel på fe forsyigers produtioer. Forsyig x 1 y 1 y I figur 2 er de to sidste oloer idteget for grafis at vise effetivitete af de fe forsyiger. De fe forsyiger er areret ed deres uer. De tal der er efterfulgt af et ære a i første ogag igoreres. 9

10 Figur 2: Grafis esepel på outputstyret DEA-odel Forsyig 2, 3 og 4 er de est effetive forsyiger, fordi de producerer de største salede ægde output ved brug af é ehed iput, jf. de to sidste oloer i tabel 2 ovefor. Effetivitetsfrote udgøres derfor af de lije der forbider forsyig 2 og 3, de lije der forbider forsyig 3 og 4 sat de to lijer der forbider forsyig 4 og 2 ed hhv. første- og ade ase. rådet uder effetivitetsfrote er det geeførlige oråde, det vil sige, obiatioer (af y 1 /x 1 og y 2 /x 1 ) der ligger i dette oråde er ulige. Forsyiger der ligger i det geeførlige oråde, e ie på effetivitetsfrote, er ieffetive. Forsyig 1 og 5 er ieffetive og ligger derfor ie på effetivitetsfrote, e i det geeførlige oråde. F.es. producerer forsyig 4 ere af output y 1 pr. ehed iput ed forsyig 5 og aveder derfor deres iput ere effetivt ed forsyig 5. Forsyig 5 er derfor ieffetiv. Putere 1 og 5 agiver projetioe af forsyig 1 og 5 på effetivitetsfrote. Putet 1 er specielt iteressat, idet dee forsyig i put 1 er 100 pct. effetiv ifølge DEA-odelle, e a øge ægde af output y 1 idtil putet 2 opås ude at ædre ægde af iput. Det vil sige, for forsyig 1 er der output-slac. Da DEA-odelle ser på e proportioal stigig i begge outputs, ser DEA-odelle bort fra e evetuel estra stigig i et eelt output. 10

11 Esepel på ål af effetivitet i e iputstyret og e outputstyret DEAodel I det følgede geegås et esepel på forselle i åde at åle effetivitete på i de iputstyrede og de outputstyrede DEA-odel. For oversuelighedes syld ses på fire forsyiger so bruger et iput til at producere et output, jf. tabel 3: Tabel 3: Esepel på fire forsyigers produtioer. Forsyig x 1 y , De fire forsyigers obiatioer af iput og output er idteget i figur 3. Det ses, at forsyig 3 er de est effetive forsyig og effetivitetsfrote udgøres derfor af e ret lije gee origo ((0,0)) og forsyig 3 s placerig. rådet uder effetivitetsfrote er det geeførlige oråde. Figur 3: Forsel i ål af effetivitet Forsyig 1, 2 og 4 er ieffetive. Type af DEA-odel besteer hvorda effetivitete åles. Hvis DEA-odelle er iputstyret, atager odelle, at iput-ægde a styres af forsyige, e at output er fast. DEA-odelle åler derfor 11

12 effetivitete af f.es. forsyig 2 ved at fastholde output-ægde, og udersøge hvor eget iput-ægde a reduceres. I dette tilfælde a forsyig 2 reducere ægde af iput idtil forsyige år putet 2. Hvis DEA-odelle er outputstyret, atager odelle, at output-ægde a styres af forsyige, e at iput er fast. DEA.odelle åler derfor effetivitete af f.es. forsyig 2 ved at fastholde iput-ægde og udersøge, hvor eget output-ægde a øges. I dette tilfælde a forsyig 2 øge ægde af output til forsyige år putet 2*. Salaafast Effetivitetsfrote afhæger af type af salaafast. E ædrig af type af salaafast i DEA-odelle fra ostat salaafast til e af de adre typer ædrer derfor forsyigeres ålte effetivitet. Fatis vil forsyigeres effetivitet øges eller forblive de sae. Der er fire typer af salaafast: ostat, variabelt, ie-vosede og ieaftagede salaafast. ostat salaafast betyder, at ægde af output voser ed sae hastighed so ægde af iput. Det vil sige, hvis ægde af iput fordobles, fordobles ægde af output også. Ved ostat salaafast a e ieffetiv forsyig blive becharet od alle adre forsyiger uafhægigt af størrelse. Ie-vosede salaafast betyder, at ægde af output voser ed e idre hastighed ed ægde af iput. Det vil sige, e fordoblig af ægde af iput fører til e stigig i ægde af output, der er idre ed e fordoblig. Ie-vosede salaafast sirer, at e ieffetiv forsyig ie bechares od forsyiger, der er væsetlig større, e forsyige a godt blive becharet od idre og væsetlig idre - forsyiger. Ie-aftagede salaafast betyder, at ægde af output voser ed e større hastighed ed ægde af iput. Det vil sige, e fordoblig af ægde af iput fører til e stigig i ægde af output, der er større ed e fordoblig. Ie-aftagede salaafast sirer, at e ieffetiv forsyig ie bechares od forsyiger, der er væsetlig idre, e forsyige a godt blive becharet od større og væsetlig større forsyiger. Variabelt salaafast er e obiatio af ie-vosede og ie-aftagede salaafast. Variabelt salaafast sirer, at e ieffetiv forsyig u bechares od forsyiger af ogelude sae størrelse. I bos 1 og bos 2 er der aført ostat salaafast. I bos 3 er agivet hvile betigelse der sal idføres i DEA-odelle alt efter hvile type salaafast a øser. 12

13 Bos 3: Typer af salaafast og forulerig af bibetigelser ostat salaafas t : 0, 1,..., Variabelt Ie - vosede salaafas t : 1 salaafas t : Ie - aftagede salaafas t : 1og 0, 1,..., 1 1 1og 0, 1,..., 1og 0, 1,..., I figur 4 er tilfældet ed ét iput og ét output illustreret for de fire typer af salaafast. Figur 4: Grafis illustratio af salaafast 13