Projekter til Matematik A

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Projekter til Matematik A"

Transkript

1 Projekter til Matematik A Med brug af formelregner TI Indholdsfortegnelse 1. Projekt Prognoser Projekt Opsparing Projekt Broen Projekt Græsplæne Projekt Tetraeder-hal Projekt Konjunktursvingninger Projekt Vinkarton Projekt Kørsel Projekt Bispen og Newton spiller golf Projekt Spørgeskema Projekt Hypotesetest Historisk matematik med klassiske beviser... 12

2 1. Projekt Prognoser Problemstilling: Hvordan kan opstilles prognoser for en formue under antagelse af konstant vækst? En formue antages at vokse med konstant vækst. Ud fra to kendte datasæt ønskes opstillet prognoser for en fremtidig værdi, samt for, hvornår en bestemt værdi nås. Vi opstiller en tabel over den hidtidige formueudvikling, hvor x er antal dage og y er formuen x y =? ?? 6 Lineær vækst y = a*x + b ++ vækst Exponentiel vækst y = b*a^x +* vækst Potens vækst y = b*x^a ** vækst x: +1, y: +a (hældningstallet, a = y/ x) y = b når x = x: +1, y: + r% (vækstprocenten, r = y/y) y = b når x = (vækstfaktor a = 1%+r = 1+r) x: +1%, y: + a% (elasticiteten, a= ( y/y)/( x/x) y = b når x = 1 = 1% Først findes ligningerne for y ved regression. Vi indtaster datasættene i formelregnerens data/matrix-editor. Ønskes en lineær model vælges LinReg. Eller den udvidede formel y = yo+a*(x-xo) eller y = a* x Ønskes en eksponentiel model vælges ExpReg. Eller den udvidede formel y = yo*a ^ (x-xo) eller Iy = a^ x Ønskes en potens model vælges PowerReg. Eller den udvidede formel y = yo*(x/xo) ^ a eller Iy = Ix^a. Alternativt bruges løsning af differentialligninger, DE: Lineær vækst Eksponentiel vækst Potens vækst % +a kr +r % +a % y =? y = 6.667*x x=8 y1(x) x=8 give y5 DE y = dy/dx = a, y(2) = 1 dy = a dx, y = ax 2a + 1 (x,y) = (5,3) giver a = 6.67 Løsning: y = 6.667*x x =? y = 6.667*x y = 6 6 = (6.667*x) = 6.667*x /6.667 = x 9.5 = x Test1 6 = 6.667* = 6 Test2 Solve(6 = y1(x),x) Giver x = 9.5 Test3 Grafisk aflæsning med y2(x)=6 giver x = 9.5 (intersection) y =? y = 4.87 * 1.442^x x=8 y1(x) x=8 giver y=9 DE y = dy/dx = r*y, y(2) = 1 1/y dy= r dx, y = 1*e^r(x-2) (x,y)=(5,3) gir r =.336 (kontin.) Løsning: y = 4.87 * 1.442^x x =? y = 6 Test1 Test2 Test3 y = 4.87 * 1.442^x 6 = 4.87 * (1.442^x) 6/4.87 = 1.442^x ln(6/4.87)/ln = x 6.89 = x 6 = 4.87 * 1.442^ = 6 Solve(6 = y1(x),x) Gier x = 6.89 Grafisk aflæsning med y2(x)=6 giver x = 6.89 (intersection) y =? y = 4.356*x^1.199 x=8 y1(x) x=8 giver y=52.7 DE (dy/y)/(dx/x) = a giver y = a*y/x, y(2) = 1 1/y dy = dx/x dx, y = 1*e^a(lnx-.693) (x,y) = (5,3) giver a = Løsning: y = 4.356*x^1.199 x =? y = 6 Test1 Test2 Test3 y = 4.356*x^ = 4.356*(x^1.199) 6/4.356 = x^1.199 (6/4.356)^(1/1.199) = x 8.91 = x 6 = 4.356*8.91^ = 6 Solve(6 = y1(x),x) Giver x = 8.91 Grafisk aflæsning med y2(x)=6 giver x = 8.91 Vi har set at vi med regressionsligninger kan opstille prognoseligningen til at forudsige fremtidige værdier, samt for, hvornår en bestemt værdi nås. De tre sæt svar er forskellige, da de bygger på forskellige antagelser.: Lineær vækst forudsætter konstant y-tilvækst pr. x-tilvækst. Eksponentiel vækst forudsætter konstant y-vækstprocent pr. x-tilvækst. Potens vækst forudsætter at konstant y-vækstprocent pr. x-vækstprocent. Matematik A-projekter, v. A214 1

3 2. Projekt Opsparing Problemstilling: Hvor meget pension kan en opsparing give? Vi ønsker at sammenligne pensionsmulighederne ved fire forskellige opsparingsformer. Ops1: Opsparing hjemme med start- og løbende indskud. Ops2: (Annuitets)opsparing i bank med start- og løbende indskud. Ops3: Opsparing i bank med startindskud. Ops4: Opsparing i bank med startindskud på TrippelMax -konto, som giver 3 x rente faldende til max-beløbet, som er 3 x indskud, 1 års binding bortset fra ved dødsfald. Ops1: Kr. 2 plus 1 kr./år giver differentialligningen Ops2: Kr. 2 plus 1 kr./år plus 12%/år giver diff.ligningen Ops3: Kr. 2 plus renter 12%/år giver differentialligningen Ops4: Kr. 2 plus renter 3*12%/år faldende til 3*2 kr. giver y = 1, y =.12*y + 1, y =.12*y, y = ( /6*y)*y, En rente r på 36% faldende jævnt indtil y = 6 beregnes af den lineære ligning: r =.36.36/6*y. Opsparingsform 1 giver løsningen og værdi efter 1 år Opsparingsform 2 giver løsningen og værdi efter 1 år Opsparingsform 3 giver løsningen og værdi efter 1 år Opsparingsform 4 giver løsningen og værdi efter 1 år y = 1x + 2, y = 1333 * 1.128^x 8333 y = 2 * 1.128^x y = 6*1.433^x ^x y = 12. y = y = 6.64 y = yo = 2 yo = 2 yo = 2 yo = 2 Pensionen skal udbetales med et konstant årligt beløb c over 1 år. Pension er løsning til diff.ligningerne Ops1: y = - c, Ops2: y =.12*y-c, Ops3: y =.12*y-c, Ops4: y =.12*y-c, yo = 12. yo = yo = 6.64 yo = y = 12. c*x y = ( *c)*1.128^x *c y = ( *c)*1.128^x *c y = ( *c)*1.128^x *c (x,y) = (1,) giver c = 1.2 (x,y) = (1,) giver c = 4.46 (x,y) = (1,) giver c = 1.14 (x,y) = (1,) giver c = 977 Pension i forhold til indskud: Ops2-4: Gældsafvikling af de penge, banken skylder kunden. Ops1: 12/(2+1*1)=1. Ops2: 446/(2+1*1)=3.72. Ops3: 114/2 = 5.7. Ops4 = 977/2= 4.89 De ti opsparings- og afviklingsår kan grafes med Y1 = when(x<1, 1x + 2, *(x-1)) osv. Ops1 Ops2 Ops3 Ops4 Kontrol af løsninger til differentialligningerne: Kontrol Ops1 Ops2 Ops3 Ops4 Venstre y = (1x + 2) y = (1333*1,127^x-8333) y = (2*1,127^x) y = ( 6*1,433^x side = 1 = 1235*1,127^x = 239*1,127^x ^x ) = 4317*1,433^x ( ^x)^2 Højre side 1.12*y + 1 = 124*1,127^x.12*y = 24*1,127^x ( /6*y)*y = 432*1,433^x ( ^x)^2 Opsparingsmåde 2 gav den højeste pension, og opsparingsmåde 4 gav den laveste pension. Set i forhold til egenbetalingen er opsparingsmåde 3 bedst. Opsparingsmåde 4 lyder tillokkende, men er logistisk vækst, som overhales af opsparingsmåde 3 efter 8.3 år. De fire modeller repræsenterer hhv. lineær vækst, annuitets-vækst, eksponentiel vækst og logistisk vækst. Matematik A-projekter, v. A214 2

4 3. Projekt Broen Problemstilling: Hvordan dimensioneres en bro? Over en kløft bygges en hængebro af stål fastgjort til klippevæggen og en stolpe. De fem stållængder ønskes bestemt, samt de tre samlingspunkter over kløften. Vinkel E = 3 grader. FB = 3.5m, FG = 8m + 1m = 9m og AG = 5m. A B C K D H E F J G 2. Matematisk problem Af de retvinklede trekanter EFB, GFB og AGF beregnes BE, BG og FA. C bestemmes som skæringspunkt mellem de to rette linier BG og FA. BD og AH fines som afstanden fra punkt til en linie eller som projektion. B(B) c =? a = 3.5 A(E) = 3 b C(F) = 9 Vi opstiller formelskemaer B(A) c =? a = 5 A(F) b = 8+1= 9 C(G) = 9 Trekant EFB Trekant FGA og GFB Linierne BG og FA c =? A = 3 a = 3.5 sina = a c sin3 = 3.5 c sin3*c = 3.5 c = 3.5/sin3 c = 7. = EB c =? a 2 + b 2 = c 2 BG:? y = ax + b a = 5 b = = c 2 (16)= c 1.3 = c = AF Tilsvarende findes BG= (93.25)=9.66 Test I et koordinatsystem med nulpunkt i F fremkommer koordinaterne: F: (,) og A: (9,5), samt B: (,3.5) og G: (9,). Ligningerne for FA og BG finder ved lineær regression eller ved retningsvektorerne FA = ( ) og BG = ( -3.5 ) y =.389x fundet ved lineær reg. F5 Value x= giver y = 3.5 F5 Value x=9 giver y = StatPlot passer Tilsvarende findes FA:? y =.556x NB: Sinus-relationerne kan også bruges NB: Cosinus-relationerne kan også bruges F5 Intersection giver x = 3.71 og y = 2.6 I trekant FJC er FJ = 3.71 og JC = 2.6 Pythagoras giver: FC = (3.71^ ^2) = 4.24 I trekant BKC er KC =3.71 og KB = =1.44 Pythagoras giver: BC = (3.71^ ^2) = *9 + 1*5-3.5 AH findes som afstanden fra punktet (9,5) til linien.389x + y = : AH = = 4.66 (.389)^2 + 1^ * + 1*3.5 BD findes som afstanden fra punktet (,3.5) til linien -.556x + y = : BD = = 3.6 (-.556)^2 + 1^2 GB*GA ( )* ( 5 ) Pythagoras giver FD = 1.7. GH findes som projektion af GA på GB: = GB ((-9)^2+3.5^2) = 1.81 De fem stållængder er EB = 7. m, FA = 1.3 m, BG = 9.66, BD = 3.6 m og AH = 4.66 m. Samlingspunkterne er FD = 1.7 m, FC = 4.24 m, GH = 1.81 m og BC = 3.98 m. Som ekstra kontrol optegnes broen på ternet papir og bygges af piberensere i målestoksforholdet 1:1. Matematik A-projekter, v. A214 3

5 4. Projekt Græsplæne Problemstilling: Hvordan dimensioneres en trekantet græsplænes indre og ydre cirkler? I en trekantet græsplæne er det ene hjørne 6 grader og de hosliggende sider er hhv. 1 og 12 meter. Bestem de andre hjørners størrelser samt længden af den sidste side. I trekanten ønskes den indskrevne cirkel og den omskrevne cirkel bestemt. Den indre cirkel fyldes med fint ral, og det område, som kun findes i den ydre cirkel fyldes med groft ral. Hvor stort et areal er fyldt med hhv. med græs, fint, og groft ral? 2. Matematisk problem B va A Mb C I trekant ABC er vinkel A = 6, og siderne er AC = 12 og AB = 1. Find vinklerne B og C samt siden BC. Find ligningen for trekantens indskrevne og omskrevne cirkler. Find arealet af hver af cirklerne og af trekanten. 3. Matematisk løsning Vi opstiller vinklernes punkt-koordinater A(,), C(12,), B(1cos6,1sin6) = B(5,8.66) Vi opstiller sidernes vektorer AB = ( ), AC = (12 ), BC = ( ) Vi finder vektorernes længder BC = (7^2 + (-8.66)^2) = 11.1, AB = 1, AC = 12 Vi finder vinklerne med solver Den omskrevne cirkels centrum skal ligge lige langt fra vinkelspidserne, dvs. på sidernes midtnormaler, hvis ligninger findes på vektorform, og på normalform. Skæringspunktet findes med solver Den indskrevne cirkels centrum skal ligge lige langt fra siderne, dvs. på vinkelhalveringslinierne, hvis ligninger findes på vektorform, og på normalform. Skæringspunktet findes med solver -5 ( BA BC CosB = BA BC = ) ( ) = 4 ; B = 68.9, C = Midtpunkt AC: (x,y) = ((+12)/2,(+)/2) = (6,) Retningsvektor for midtnormal Mb = hat(ac) = ( 12 ) Vektorligning for Mb: ( x y ) = (6 ) + t ( 12 ) Normal-ligning for Mb: 12(x-6) + (y-) = Normal-ligning for Mc: 5(x-2.5) (y-4.33) = Skæringspunkt: D(x,y) = (6, 2.31) Radius: DA = (6^2+2.31^2) = 6.43 Ligning: (x-6)^2 + (y-2.31)^2 = 6.43^2 1 Retningsvektor for vinkelhalveringslinie va = ( tan3 ) Vektorligning for va: ( x y ) = ( ) + t ( 1 tan3 ), n = (-tan3 1 ) Normalform for va: -tan3(x-) + 1(y-) = Vektorligning for vc: ( x y ) = (12 ) + t ( 1 -tan25.6 ), n = (tan ) Normalform for vc: tan25.6(x-12) +1 (y-) = Skæringspunkt: D(x,y) = (5.44, 3.14), Radius = 3.14 Ligning: (x-5.44)^2 + (y-3.14)^2 = 3.14^2 Areal: Indskreven cirkel: 3.14^2 = 31.. Omskreven: 6.43^2 = 13. Trekant: ½* I ( ), (12 ) I = 51.6 Græs: = 2.6 kvm. Fint ral: 31. kvm. Groft ral: = 78.4 kvm. Matematik A-projekter, v. A214 4

6 5. Projekt Tetraeder-hal Problemstilling: En arkitekt skal bygge en tetraeder-hal med en kugleformet hvælving. En arkitekt ønsker at finde dimensionerne på en tetraeder-hal, som har en kugleformet hvælving med diameter 38 m. I et xyz-koordinatsystem med AB ud af x-aksen får et 1x1x1 tetraeder ABCD koordinaterne A(,,), B(1,,), C(5,yc,) og D(5,yd,zd). Siderne AB, BC, CA, AD s midtpunkter kaldes hhv. E, F, G og H. Trekanterne ABC, ABD, ACD og BCD s medianskæringspunkter kaldes hhv. K, L, M og N. I en ligesidet trekant er vinkelhalveringslinje, median, højde og midtnormal ens. Den ind- og omskrevne cirkel har da samme centrum, som ligger lodret under D. Fra oven Fra neden Fra siden y C y C z D G D F G K F H P A E B x A E B x A E B x Bestemmelse af yc = EC i den retvinklede trekant AEC: AC^2 = 1^2 = 5^2 + yc^2 giver yc = 75 = 5 3. Bestemmelse af yd = EK: Da K er median-skæring i ABC er K koordinater ((+1+5)/3,(++5 3)/3,) = (5, 5/ 3,) 5 Best. af zd= KD: AD= AE+EK+KD = ( )+( 5/ 3 )+( )=( zd Matematik A-projekter, v. A / 3 zd ); 1^2=5^2+(5/ 3)^2+zd^2 gir zd = (2/3) = 1 (2/3). Opstilling af vektorer: 1 AB= ( 5 ), AC= ( 5 3 ), AD= ( 5 5/ 3-5 ), BC= ( 5 3 ), BD= ( -5 5/ 3-5 ), CD = CA+AD=( -5 3 )+( 5 5/ 3 ) = ( -1/ 3 ) 1 (2/3) 1 (2/3) 1 (2/3) 1 (2/3) Opstilling af normalvektorer: 1 5 ABC: AB x AC = ( ) x ( 5 3 ) = ( ) = 5 3*( ) = 5 3*nABC, nabd = (-2 2 ), nacd = ( )* ( - 2 ) Opstilling af ligninger for planerne: ABC: *(x-) + *(y-) + 1*(z-) = eller z =, ABD: -2 2y + 1*z =, ACD: 6x - 2y - z =. Bestemmelse af skæringslinie for planerne ABD og ACD (skulle gerne være linien gennem AD, par. test ADxr = ). s* 6/4 x 6 Solve ( 2 2y + z = and 6x - 2y - z = and z = s) giver: ( s* 2/4 ), dvs. skæringslinie ( y ) = ( ) + t*( 2 ), t = s 4 s z 4 Bestemmelse af vinkler: nabc*nabd Vinkel v mellem planerne ABC og ABD: cos v = nabc * nabd = 1 1*3 = 1 giver v = nabc*r Vinkel u ml. plan ABC og linie AD: cos u = nabc * r = 1 (2/3) = (2/3) giver u = 35.3, dvs. w= 9 u = *1 5 5 Kuglens radius = s. Kuglens centrum P: OP = OE + EK + KP = ( ) + ( 5/ 3 ) + ( ) = ( 5/ 3 ), hvor s < zd. s s *5 + (-2 2)*5/ 3*+ 1*s + 1 (2/3) - s s = afstand fra P til plan ABD: s = = da s < 1 (2/3). Solve gir s = 5/ 6. ((-2 2)^2 + 1^2) 3 Forstørring: Faktisk/model radius i hvælving = 19/(5/ 6) = 19 6/5 = 9.31 Tetraeder-hallen skal opbygges af fire ligesidede trekanter med sidelængden 9.31*1 = 93.1 meter. Hvælvingen skal påsvejses i et punkt, som ligger 9.31*5/ 3 = 26.9 meter over grundliniens midtpunkt. Pladerne skal løftes 7.5 grader fra vandret, og støtte-stolperne i pladernes samlingslinier skal drejes 3 grader fra siden og derefter løftes 54.7 grader.

7 6. Projekt Konjunktursvingninger Problemstilling: Hvordan forudsiger en virksomhed konjunktursvingninger? Erfaringen viser, at en virksomheds ugentlige salgstal er underkastet konjunktursvingninger. På baggrund af forrige års ugentlige salgstal ønskes opstillet en prognose for de kommende to års ugentlige salgstal. Hvornår topper salgstallet, og hvornår bunder det? Hvornår er det over 11 units/uge? Hvor meget forventes solgt i marts måned? Hvornår forventes ansættelse og fyring af salgspersonel (når væksten i det ugentlige salgstal passerer ±2. u/uge pr. uge ved hhv. positiv og negativ konjunktur. Hvornår vender konjunkturerne? 2. Matematisk problem På baggrund af en tabel over forrige års ugentlige salgstal opstilles en formel ved brug af regression. Følgende spørgsmål stilles: Hvad er min og max i perioden fra til 14? Hvornår ligger kurven over 11? Hvad er arealet under kurven i perioden fra uge 9-13 og fra uge 61-65? Hvornår er kurvens hældning hhv. ±2.? Uge x Salg/uge y Sinus-regression giver formlen Y = 39.35*sin(.18x.744) Ved grafisk kontrol ses at formlen passer rimeligt godt til tabellens punktpar. Top- og bundpunkter findes ved Graph Maximum og Minimum, og kontrolleres ved ligningen y1(x) =. Perioden over 11-niveauet findes ved Graph F5 Intersection. Da Salg/uge-tallet y varierer, findes marts måneds salgstal af differentialligningen y = Y, Y(9) =, dvs. som arealet under y-kurven fra x=9 til 13og fra x=61 til 65. Fyrings- og ansættelsestidspunkter findes ved at løse ligningen y1(x) = 2 og y1(x) = -2. Konjunkturvending i vendetangenten findes ved Graph F5 Inflection. Alternativt kan hhv. hældningen og arealet bestemmes ved hhv. sammensat differentiation og integration: y1(x) = (39.35*sin(.18x.744) + 97) = 39.35*.18*cos(.18x.744) = 4.22* cos(.18x.744) y1(x)dx = (39.35*sin(.18x-.744)+97)dx = /.18*cos(.18x-.744)+97x = *cos(.18x-.744)+97x En prognose for de kommende to års ugentlige salgstal opstilles ved hjælp af sinus-regression. Af denne ses, at det ugentlige salgstal forventes at toppe på 136 u/uge i uge 21 og 8, og bunde på 58u/uge i uge 51. Endvidere ses, at det ugentlige salgstal forventes at ligge over 11 u/uge i perioden fra uge 1-33 og fra uge Endvidere ses, at det ugentlige salgstal for 4 uger i marts måned de to kommende år forventes at ligge på hhv. 454 u. og 35 u. Positiv og negativ konjunktur aflæses som positiv og negativ krumning. Dvs konjunkturerne forventes at vende i ugerne 7 og 36 og 65 og 94 med positiv konjunktur fra uge til uge 7 og fra uge 36 til uge 65 og fra uge 94 til uge 14, og med negativ konjunktur fra uge 7 til uge 36 og fra uge 65 til 94. Dvs. fyringer forventes i ugerne 26 og 84, og ansættelser forventes i uge 55. Matematik A-projekter, v. A214 6

8 7. Projekt Vinkarton Problemstilling: Hvordan skal en 3 liters vinkarton dimensioneres for at minimere kartonen? Vin kan sælges i flaske eller i karton. Til en 3liters karton skal udskæres et stykke karton: Vi indfører betegnelser for de forskellige sider målt i dm, og opstiller ligningen for kartonens volumen V målt i dm^3 = liter og for den brugte kartonmængdes areal K: V = x y z = 3 og K = (x + 2 z/2) (3y + 2z) z/2 x y z y z y Vi bruger formelregnerens expand til at samle de to formler: K = expand((x + 2 z/2) (3y + 2z)) giver K = 3xy + 2xz + 3yz + 2z^2 I denne formel indsættes nu z = 3/(x*y) så K-tallet kun afhænger af to variable x og y: K = 3xy + 2xz + 3yz + 2z^2 z = 3/(x y) giver K = 3 x y + 9 x + 6 y + 18 x^2 y^2 Scenarium A. Vi antager at x skal være dobbelt så stor som y, dvs. at y =.5*x Indsættes denne begrænsning fås K = 3 x y + 9 x + 6 y + 18 x^2 y^2 y =.5*x giver K = 1.5x^ x + 72 dk x^4, og dx 21 = 3x - x^2-288 x^5 Vi grafer K-formlen i et vindue med DM = ],5] og VM = ], 1] og finder minimumspunktet: x = 2.4 og K = 19.56, dvs. y =.5*x =.5*2.4 = 1.2, og z = 3/(2.4*1.2) = 1. = for x = 2.4 Scenarium B. Vi antager at x skal være halvt så stor som y, dvs. at y = 2*x Indsættes denne begrænsning fås K = 3xy + 9 x + 6 y + 18 x^2 y^2 y = 2x giver K = 6x^ x dk 12 x^4, og = 12x - dx x^2-18 = for x = 1.2 x^5 Vi grafer K-formlen i et vindue med DM = [,5] og VM = [, 1] og finder minimumspunktet: x = 1.2 og K = 2.8, dvs. y = 2x = 2*1.2 = 2.4, og z = 3/(1.2*2.4) = 1. Faktisk løsning. Vi benytter metoden til at bestemme lokale ekstrema for formler af to variable z = f(x,y). Akse-hældningerne er Kx = dk/dx = 3y 9/x^2 35/(x^3 y^2) og Ky = dk/dy = 3x 6/y^2 35/(x^2 y^3). Nul-hældninger giver to ligninger Kx = og Ky = med løsningen (xo,yo) = (2.8,1.39), og K = Krumningerne: Kxx = 18/x^3+18/( x^4 y^2), Kyy = 12/y^3+18/( x^2 y^4), Kxy= Kyx= 3+72/( x^3 y^3) I (xo,yo) er Jacobi-determinanten = Kxx Kyy - Kxy Kyx = = 2.25 >. Da Kxx=5> er (xo,yo) lok. min. Scenarium A Scenarium B Uden begrænsninger, konturlinier (Konturlinier: Mode 3D, K ind på y-liste. Window x:.5-3, y:.5-3, z: -3, F1 9 Format: Rect, Off, Off, Countour level. F3 Trace) Vi ser, at den minimale kartonmængde er lidt over 19 dm^3. Ved hjælp af konturlinier eller et Excel-regneark kan bestemmes, at den optimale løsning er x = 2.1 og y = 1.4 og z = 1., hvilket giver et K-tal på dm^3. (Bemærk: Som graf giver formlen K = 3 x y + 9 x + 6 y + 18 ikke en 2D-kurve, men en 3D-flade. x^2 y^2 Ved gennemgangning med x^5 fås 6.te gradsligningen dk/dx = = 3x^6 21x^3 288, som kan løses med h = x^3). Matematik A-projekter, v. A214 7

9 8. Projekt Kørsel Problemstilling: Hvor langt, hvor længe og hvordan kørte Peter? Ved kørsel svarer farten 1 km/t til 1*1/(6*6) = 27.8 m/s. Under Peters kørsel blev farten målt hvert 5 te sekund til hhv. 1m/s, 3m/s, 2m/s, 4m/s og 15m/s. Hvornår begyndte og sluttede kørslen? Hvad var farten efter 12sekunder? Hvornår var farten 25m/s? Hvornår blev der accelereret? Hvornår blev der bremset? Hvad var den maksimale fart? Hvad var accelerationen i begyndelsen af de forskellige 5sekunders intervaller? Hvor mange meter kørtes der i disse intervaller? Hvor langt kørtes i alt? Vi opstiller en tabel over tid x og fart y. Tabellens gyldighedsområde (definitionsmængde) antages at være <x<3. Tid x sek Fart y m/s På TI-89 indlægges x-tal og y-tal i data-matrix eller som listerne L1 og L2. Med 5 talpar vælges kvartisk regression (et 4.grads polynomium med en 3-dobbelt parabel), der giver formlen y = -.9x^4 +.53x^ x^ x - 235, som indlægges som y1(x). Herefter besvares de stillede spørgsmål ved brug af ligningsskemaer og grafisk aflæsning. Start- og sluttidspunkt findes med F5 Zero. Y-tal bestemmes med F5 Value. X-tal bestemmes med F5 Intersection. Maximum og minimum med F5 Maximum/Minimum. Acceleration fås som hældning på fartkurven med F5 dy/dx. Da fart = sted fås det samlede meter-tal m ved at løse differentialligningen m = y1, m(4.5) =, dvs. m = y1dx. Dette giver meter-ligningen m = -.2x^ x^ x^ x^2 235x y =? y = y1(x) x=12 y = y1(12) = Test Grafisk aflæsning med F5 Value og x = 12 giver y x =? y = y1(x) y = 25 F2 solve (y1(x) = 25,x) giver x = 6.12, 11.44, og Test1 y1(6.12) = 25, y1(11.44)= 25 osv. Test2 Grafisk aflæsning med y2 = 25 giver x = 6.12, 11.44, og (F5 intersection) ymax=? y = y1(x) Calc maximum Giver y = 7.42 ved x = 5.5 Test dy/dx = ved x = 5.5 Kørslen begyndte efter 4.5 sek og sluttede efter 25.6 sek. Efter 12sekunder var farten 23.2 m/s. Farten var 25m/s efter 6.12 sek, 11.4 sek, 16.9 sek og 24.5 sek. Der blev accelereret i tids-intervallerne (4.5; 8.19) og (14.2; 21.7). Der blev bremset i tids-intervallerne (8.19;14.2) og (21.7;25.6). Max-fart var 44.3 m/s = 159 km/t. efter 21.7 sek. I de forskellige tids-intervaller (5;1), (1;15), (15;2) og (2;25) kørtes der hhv. 143 m, 115 m, 143 m og 19 m. Accelerationen i enderne af disse intervaller var hhv. 17.8, -3.25, 1.25, 4.25, m/s^2. I alt kørtes der 597 m. Bemærkning. På baggrund af de netop nævnte accelerationstal kan opstilles en tabel med 5 punktpar, som med kvartisk regression giver accelerationsligningen a = v = m = -.36x^ x^ x , med begyndelsesbetingelser v = m = og m = for x = 4.5. Løses denne differentialligningen fås de ovenstående v- og m-ligninger. Matematik A-projekter, v. A214 8

10 9. Projekt Bispen og Newton spiller golf Problemstilling: Hvordan kan Bispen og Newton ramme et golf-hul 4 meter ude? Newton og hans ven Bispen står på kanten af taget på Newtons flade hus og diskuterer, hvordan man kan ramme et golf-hul 4 meter ude. Husets kant befinder sig 7.5 meter ude og tagets højde er 3 m. Vi indlægger et koordinatsystem, så Newtons golfbold befinder sig i punktet (x,y) = (7.5,3), og golfhullet i punktet (4,). Hvilken lodret og vandret hastighed skal Newton give bolden, for at der bliver hole-in-one. Bispen: Golfbolden vil adlyde Herrens vilje. Først vil den bevæge sig i en lige linie, indtil Herren bestemmer, at nu skal den falde, og da falder den lige ned. Så hvis man vil have, at den skal begynde sit fald lige over golfhullet, må man tro, gå i kirke og bede til Herren. Uden Herrens nåde rammer man aldrig. Se her. Newton: Jeg vælger i stedet at vide, gå i skole, og lære vækstregning, calculus, så jeg kan løse første og anden ordens differential-ligninger med integralregning. Så kan jeg se, at jeg vil få hole-in-one ved at tildele bolden en lodret begyndelseshastighed på 15m/s, og en vandret begyndelseshastighed på 1m/s: Vandret a =, a = v, dvs. diff.lign. v =, v() = 1 Ingen vandret kraft: ingen vandret acceleration bevægelse Løsning: v = 1, og x =v, dvs. diff.lign. x =1, x()=7.5 Acceleration = hastighed diff., a = (m/s)/s Løsning: x = 1t + 7.5, dvs. t = (x 7.5)/1 Hastighed = sted differentieret, v = m/s Alternativ x =, x () = 1, x() = 7.5 giver x = 1 t Acceleration = sted dobbelt-differentieret Lodret a = -9.8, a = v, dvs. diff.lign. v = -9.8, v() = 15 Lodret acceleration = tyngdeacceleration 9.8 bevægelse Løsning: v = -9.8 t + 15, og y = v Acceleration = hastighed differentieret Dvs. diff. lign. y = -9.8 t + 15, y() = 3 Løsning: y = -4.9 t^ t + 3 Hastighed = sted differentieret Alternativ y = -9.8, y () = 15, y() = 3 giver y = -4.9t^2+15t+3 Acceleration = sted dobbelt-differentieret Banekurve y = -4.9 t^2+15 t + 3 t = (x 7.5)/1 giver y = -.49 x^ x 11.1, en parabel Nedslag y= Solve( = -.49 x^ x 11.,x) giver x = 4 ( og x = 5.61) Newton: Golfbolden følger, ikke Herrens vilje, men tyngdens vilje, tyngdekraften. Og da en kraft vil ændre bevægelsen, kan jeg ved hjælp af ændringsregning, som jeg selv har opfundet, sørge for, at jeg får hole-in-one. Affyrings-fart & vinkel: (15^2+1^2) = 18., tan-1(15/1), u = Flyvetid: (4-7.5) = 1t+7.5, t = 2.5 sek. Nedslagshastigheder: x (2.5) = 1, y (2.5) = = Nedslags-fart og vinkel: (9.5^2+1^2) = 13.8, tan-1(9.5/1), u = Bispen: Skyder du bolden opad, påkalder du Herrens opmærksomhed. Åbenbart er Herren dig nådig, ikke mig. Newton: Jeg kan da også skyde bolden ligeud med en vandret begyndelseshastighed på c m/s. Vandret bevægelse Lodret bevægelse Ingen vandret acceleration: a = x = Vandret starthastighed = c Differentialligning: x =, x () = c, x() = 7.5 Løsning: x = c t + 7.5, dvs. t = (x 7.5)/c Lodret acc. = tyngdeacceleration y = -9.8, y () =, y() = 3 giver y = -4.9t^2 + 3 Banekurve: y = -4.9 t^2 + 3 t = (x 7.5)/c giver y = -4.9/c^2*(x-7.5)^2 + 3 Finde c Solve ( = -4.9/c^2*(4-7.5)^2 + 3,c) giver c = Banekurve: y = -4.9 t^2 + 3 t = (x 7.5)/41.54 giver y = x^ x Nedslag y= Solve ( = x^ x ,x) giver x = 4 (og x = -25) Golf-hullet kan nås ved vandret hhv. lodret starthastighed 1m/s hhv. 15m/s; eller ved 41.5m/s hhv. m/s. Kirken sagde, at månen bevæger sig mellem stjernerne og adlyder en metafysisk uforudsigelig vilje. Newton bestred dette: Månen bevæger sig ikke mellem stjernerne, den falder mod jorden ligesom æblet. Begge adlyder en fysisk vilje, tyngdekraften, der er forudsigelig, fordi den kan sættes på formel, hvorefter banekurven kan beregnes ved at løse differentialeligninger ved at finde stamfunktioner. Herved kan Keplers love testes med bolde i stedet for med planeter. Matematik A-projekter, v. A214 9

11 1. Projekt Spørgeskema Problemstilling: Hvordan typer informationer kan man få af spørgeskemaer? Hvordan kan data fra en spørgeskemaundersøgelse bearbejdes, så resultaterne kan præsenteres overskueligt. I spørgeskemaundersøgelse er indsamlet 3 svar, som indtastes i en tabel (de første 18 svar vist). Spørgsmål 1-4 er gradsspørgsmål Hvor enig er du? (kvantitative data), og 5-7 er gruppe-spørgsmål ja/nej, køn (kvalitative data). Kvantitative data kan evt. grupperes. To kvantitative variable sammenlignes ved korrelation, ellers ved forskelsvurdering (ki^2-test). Tabel med svar (database) Korrelation mellem s1 og s3: Krydstabeller (pivot-tabeller) Antal af s1 s6 Korrelation: Positiv, men svag (8.9%) s1 j n Hovedtotal Hovedtotal s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 # k j a # k j a # m n a # k j a # m j a # m j a # k j a # k n a # k n a # m n a # k j b # k n a # m j a # k n a # m n b # m j b # k n a # m j b Antal af s2 s5 s2 k m Hovedtotal Hovedtotal A. Kvantitative data opstilles i tabeller, hvoraf beregnes middeltal (hvis alle observationer var ens) og spredning (hvis alle afvigelser fra middeltallet var ens); eller kvartilsættet bestående af median og 1. og 3. kvartil med tilhørende box-plot. Obs Hyp Frek Kum Ob fr Middeltal = 1.5, Spredning = kvarti l= 1, Median = 1, 3.kvartil = 2 1 R 2 =, B. Kvantitative data sammenlignes i krydstabeller, hvoraf kan beregnes korrelation. C. Kvantitative/kvalitative (eller kvalitative/kvalitative) data sammenlignes i krydstabeller (pivot-tabeller), f.eks. mening med gruppe. En tabel indtastes som en matrix i Home. Så testes hypotesen Grupperne er ikke forskellige med en ki^2 2vejs test. ki^2 = (To-Te)^2/Te. Hypotesen accepteres (.475). Ved 1 gange så mange svar forkastes hypotesen (4.75). Resultaterne fra en spørgeskemaundersøgelse kan præsenteres med en median- og gennemsnitsbeskrivelse. Sammenhænge mellem svarene kan undersøges med korrelation eller med ki^2-tests i krydstabeller. Matematik A-projekter, v. A214 1

12 11. Projekt Hypotesetest Problemstilling: Hvordan kan vi teste hypotesen: Dette tetraeder er symmetrisk? Et eksperiment består af en 4-serie af tetraederkast med optælling af 1ere. Men er tetraederet symmetrisk, så gevinstchancen for 1er er 25%? Vi udfører 4-serien 4 gange, og sammenligner vore eksperimentelle data med de teoretiske forventninger for at se, om tetraederet er symmetrisk. Resultat Gennemløb Sandsynlighed TIStat.Binompdf(4,.25) T 4 T og G 1 1*(3/4)^4*(1/4)^ =.316 T 3 T og 1 G 4 4*(3/4)^3*(1/4)^1 =,422 T 2 T og 2 G 6 6*(3/4)^2*(1/4)^2 =,211 T 1 T og 3 G 4 4*(3/4)^1*(1/4)^3 =,47 G G G G T og 4 G 1 1*(3/4)^*(1/4)^4 =,4 Ved fire gentagelser af et eksperiment med to udfald optræder binomialtal, som ncr(4,2) = 6, samt binomialfordelingen TIStat.Binompdf(4,.25) med n=4 (4 gentagelser) og p=.25 (gevinstchance 25%), da kastet har to hændelser G og T. Vi tester nul-hypotesen de fire udfald ved et tetraeder-kast har samme sandynlighed. Vi opretter to lister, liste1 med de observerede hyppigheder, og liste2 med 4*TIStat.Binompdf(4,.25). Liste3 indeholder forskels-tallene (ki^2-tallene) beregnet som (liste1-list2)^2/list2, da ki^2 = (To-Te)^2/Te. Summen af tallene i liste3 beregnes med sum(liste3). De to lister (samt evt. liste3) importeres til formelregnerens Stats/List-editor. Så udføres en ki^2 GOF (Goodness of Fit) test, som dels viser de enkelte ki^2 tal, samt det samlede ki^2-tal Er de observerede og forventede tal ens, vil ki^2 =. Så der er forskel på de to tal. Spørgsmålet er om forskellen er så stor, at den er kritisk. De kritiske forskelstal findes i en ki^2-tabel (5% signifikans). Først findes antallet af frihedsgrader. Med 5 kategorier kan de 4 variere frit, hvorimod den femte altid vil kunne beregnes som resten. Tilsvarende vandret: med to kategorier kan kategori 1 variere, men ikke den sidste, der altid vil være resten. Så antallet af frihedsgrader vil kunne beregnes af formlen frihedsgrader = (rækker 1)*( kolonner 1). I vores tilfælde gælder da frihedsgrader = (5 1)*( 2 1) = 4. Af tabellen ses, at ved 4 frihedsgrader er den kritiske grænse 9.49, hvis vi ønsker 5% signifikans (fejl-sandsynlighed), og dermed 95% sandsynlighed for et korrekt svar. Frihedsgrader Kritisk forskel Hypotesen dette tetraeder er symmetrisk testes med 4 udførelser af en 4-serie kast. Vi forventer at få tal, som har binomialfordelingens form, men må konstatere, at vore målinger afviger fra disse. Afvigelsen måles med en ki^2 GOF test på 5% signifikansniveau, og denne viser at forskellen mellem to talsæt er 6.18, dvs. mindre end den kritiske forskelsværdi på 9.49 ved 4 frihedsgrader. Vi kan derfor konkludere, at forskellen ikke er kritisk, så vor nul-hypotese accepteres på et 5%-signifikansniveau, dvs. at der er 95% chance for at undersøgelsens svar er korrekt. Havde den samme fordeling vist sig ved 8 gentagelser, havde ki^2 tallet været det dobbelte, og hypotesen måtte da forkastes. Matematik A-projekter, v. A

13 12. Historisk matematik med klassiske beviser A. Antikken. Matematikken (læren om mange) opstår samtidig med overgang fra jæger-samler til agerbrugskultur i floddalene (Nilen (Ægypten), Eufrat-Tigris (Arabien), Indus (Indien), den gule flod (Kina). Handel mellem Europas højland og Østens lavlande består af sølv i bytte med især krydderi og silke. Grækernes sølv finansierede den græske kultur. Grækerne talte med bogstaver: alfa, beta, gamma og kan ikke udregne plusstykker. I stedet udvikler grækerne den tal-frie geometri med beviser, påbegyndt med Pythagoras to beviser: A+B+C = 18 og a^2 + b^2 = c^2. Trigonometri behøver tre ligninger til at beregne de tre ukendte sider, og ekstra ligninger kommer fra arabernes sinus, cosinus og tangens. Romerne talte på fingrene og kan ikke udregne gangestykker. Araberne tæller ved at ti-bundte, så et antal angives som f.eks. 234, dvs. 2 tibundter af ti-bundter plus 3 ti-bundter plus 4 ubundtede, eller som et polynomium: 2*1^2 + 3* B B A A C C B c a A b C Pythagoras: A+B+C=18, A+A =18 (supplementvinkler), A+B+C+A +B +C = 3*18, men A +B +C =36. Vektorer: AB = AC + CB, med c = AB er AB*AB = c^2 AB*AB = (AC+CB)*(AC+CB)= AC*AC + CB*CB + 2*AC*CB Dvs. c^2 = b^2 + a^2+ 2ab*cos C = b^2 + a^2 hvis C = 9. B. Renæssancen. Grækernes sølvminer blev tømt på 1 år. Romernes spanske sølvminer blev erobret af vandaler (Andalusien = Vandal-landet, Vandal = Vendel?). Kort efter år 1 findes sølv i Harzen (dollar = thaler). Sølvet bringes til Norditalien, og med arabiske mellemhandlerne genopstår øst-handlen. Den opsamlede kapital skaber bankvæsen i Italien, som udskifter romertal med arabertal, og udvikler gange, potens, rod og logaritme. Kapital: K = Ko*(1 + R) = Ko*(1 + r)^n = Ko*e^(kn). Dvs. e^k = 1+r, eller k = ln(1+r). Og R = n*r + rentesrente Samlet rente R: 1+R = (1+r)^n. Fordobling: 2*Ko = Ko*(1 + r)^x, dvs. x = ln2/ln(1+r). Kontinuert rentetilskrivning af 1%: 1+R = (1+1/n)^n = e, n stor: (1+1/n)^n -> e = for n->. Opsparing med konstant indskud på a kr og rente r%: På konto 1 indsættes a/r, den årlige rente a/r*r = a overføres til konto 2 som fast årligt indskud a sammen med årlig rente til konto 2. Konto 2 vil da indeholde dels en opsparing A, dels den samlede rente R af a/r, altså a/r*r. Dvs. A = a/r*r eller A/a = R/r. C. Den moderne tid. Englænderne kan sejle og erobre spansk sølv, men skal sejle på åbent hav til Inden for at undgå Portugals befæstning af Afrikas kyst. Breddegrad bestemmes let (nordstjerne og sydkors). Længdegraden bestemmes ved månens position mellem stjernerne, men hvordan bevæger månen sig? Kirken: Mellem stjernerne, følgende den metafysiske Herres uberegnelige vilje, hvorfor vi blot skal tro, bede og gå i kirke. Descartes har opfundet koordinatsystemet, som koordinerer geometri og algebra, så man kan regne på kurver, og grafe ligninger. Med dette værktøj og på baggrund af Brahes tabeller over månens bevægelse siger Newton: Månen falder mod jorden som æblet, begge følgende deres egen fysiske vilje, der er beregnelig idet viljen (eller kraften) ÆNDRER bevægelse, hvorfor der er behov for at udvikle ændringsregning (differential- og integralregning), så man kan løse ændringsligninger (differentialligninger) ved integration. Englænderne foretrækker dog bomuld for silke, og flytter bomuldsproduktionen til Nordamerika, hvilket skaber en sølvfri bytte-økonomi, trekantshandel (Bomuld <-> Jern & Våben <-> Arbejdskraft (sorte slaver) <-> Bomuld <-> osv.) Samtidig udvikles Oplysningstiden: Når æbler følger egen vilje og ikke en metafysisk formynders, kan mennesker gøre det samme og erstatte metafysisk formynderi med demokrati. To oprettes, et i USA og et i Frankrig. Demokratiet sejrer i WW2, som udvikler computere, for at styre våbenforsyningen til kamppladser. Ændringsregning: Et rektangel har to sider f og g, dvs. med areal A = f*g ( antagelse f >, g >, df >, dg > ). Ændres x med dx, ændres f med df og g med dg, dvs. arealet A ændres med tre stykker df*g + f*dg + df*dg. Ændringsforholdet da/dx bliver da: da/dx = df/dx*g + f*dg/dx + df/dx*dg = f *g + f*g (+f *dg) da dg -> for dx->. Dvs. da/dx = A = (f*g) = f *g + f*g. Med x^2 = x*x = fås (x^2) = (x*x) = x *x + x*x = 2x. Med x^3 = x*x^2 fås (x^3) = 3x^2. Med x^4 = x*x^3 osv. Med d(x^(a+1))/dx = (a+1)*x^a gælder ved overflytning af differentiation som det modsatte, dvs. integration: x^(a+1) = (a+1) x^a dx, da gange-konstanter hverken differentieres eller integreres, x^a dx= x^(a+1)/(a+1). Hvis x vokser med dx, vokser arealet A under kurven y=f(x) med strimlen da = højde*bredde = f(x)*dx. Det samlede areal fås da ved at opsummere strimlerne, f(x)dx, eller af ændringsligningen da = f(x) dx, eller da/dx = f(x), eller A(x) = f(x), dvs. som stamfunktion F(x) til f(x). Så arealet fra a til b = tilvæksten i arealet fra a til b = F = F(b) F(a). På en enhedscirkel vil en lille x-tilvækst dx skabe en lille ensvinklet væksttrekant med vandret side d(cosx), lodret side d(sin x), og skrå side dx. Af tilvækst-trekanten fås da: d(sinx)/dx = cosx og d(cosx)/dx = -sinx Matematik A-projekter, v. A

Projekter til Matematik A

Projekter til Matematik A Projekter til Matematik A Med brug af formelregner TI-89 Allan.Tarp@MATHeCADEMY.net 211 Indholdsfortegnelse 1. Projekt Prognoser... 1 2. Projekt Opsparing... 2 3. Projekt Broen... 3 4. Projekt Græsplæne...

Læs mere

Projekter til Matematik

Projekter til Matematik Projekter til Matematik A Allan.Tarp@MATHeCADEMY.net 2015 Indholdsfortegnelse Spørgsmål til de 11 projekter... 1-5 1. Projekt Prognoser... 6 2. Projekt Opsparing... 7 3. Projekt Broen... 8 4. Projekt Græsplæne...

Læs mere

Projekter til HF Matematik C

Projekter til HF Matematik C Projekter til HF Matematik C Med brug af formelregner TI-82 Allan.Tarp@MATHeCADEMY.net 2009 Indholdsfortegnelse 1. Projekt Prognoser... 1 2. Projekt Befolkningsvækst og Fødevarevækst... 2 3. Projekt Afstandsbestemmelse...

Læs mere

Projekter til Matematik C

Projekter til Matematik C Projekter til Matematik C Med brug af formelregner TI-82 Allan.Tarp@MATHeCADEMY.net 2015 Indholdsfortegnelse Ledende spørgsmål til de 10 projekter... 1-4 1. Projekt Prognoser... 5 2. Projekt Befolkningsvækst

Læs mere

Projekter til Matematik B

Projekter til Matematik B Projekter til Matematik B Med brug af formelregner TI-89 Allan.Tarp@MATHeCADEMY.net 2009 Indholdsfortegnelse 1. Projekt Afstandsbestemmelse... 1 2. Projekt Prognoser... 2 3. Projekt Lejemål... 3 4. Projekt

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Fysik-projekter til HF Matematik C

Fysik-projekter til HF Matematik C Fysik-projekter til HF Matematik C Med brug af formelregner TI-82 Allan.Tarp@MATHeCADEMY.net 2010 Indholdsfortegnelse 1. Projekt bilkørsel... 1 2. Projekt billardkugler... 2 3. Projekt frit fald... 3 4.

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Projekter til Matematik

Projekter til Matematik Projekter til Matematik B Allan.Tarp@MATHeCADEMY.net, 2014 Indholdsfortegnelse Ledende spørgsmål til de 15 projekter... 1-6 1. Projekt Afstandsbestemmelse... 7 2. Projekt Prognoser... 8 3. Projekt Lejemål...

Læs mere

Matematik A eksamen 14. august Delprøve 1

Matematik A eksamen 14. august Delprøve 1 Matematik A eksamen 14. august 2014 www.matematikhfsvar.page.tl Delprøve 1 Info: I denne eksamensopgave anvendes der punktum som decimaltal istedet for komma. Eks. 3.14 istedet for 3,14 Opgave 1 - Andengradsligning

Læs mere

a) For at bestemme a og b i y=ax+b defineres to lister med data fra opgaven År d 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 :

a) For at bestemme a og b i y=ax+b defineres to lister med data fra opgaven År d 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 : Eksemplarisk løsning af eksamensopgave Nedenstående opgaver er delprøven med hjælpemidler fra Matematik B eksamen d. 22 maj 2014 restart with Gym : Opgave 7 a) For at bestemme a og b i y=ax+b defineres

Læs mere

Studentereksamen i Matematik B 2012

Studentereksamen i Matematik B 2012 Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold December 2015 vinter VUC Vestegnen stx Mat A Gert Friis

Læs mere

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Ligningen løses 10 3 Hvis vi ønsker løsningen udtrykt som en decimalbrøk i stedet: 3.333333333 Løsningen 3 er

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 014 f x x 4x 6. maj 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Koordinatsættet til parablens toppunkt bestemmes ved først at udregne diskriminanten for

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

MATEMATIK B. Videooversigt

MATEMATIK B. Videooversigt MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.

Læs mere

Opgave 1 - uden hjælpemidler. Opgave 2 - uden hjælpemidler. Opgave 3 - uden hjælpemidler. Opgaven. a - Eksponentiel model. Opgaven

Opgave 1 - uden hjælpemidler. Opgave 2 - uden hjælpemidler. Opgave 3 - uden hjælpemidler. Opgaven. a - Eksponentiel model. Opgaven 2014-0522 1stx141-MAT-B - eksemplarisk besvarelse Bemærk, at i opgaverne uden hjælpemidler er Maple blot benyttet som tekstbehandling. Til eksamen skal besvarelsen laves med papir og blyant. Opgavetksten

Læs mere

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 14. august 2014 kl gl-stx142-mat/a

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 14. august 2014 kl gl-stx142-mat/a gl. Matematik A Studentereksamen gl-stx142-mat/a-14082014 Torsdag den 14. august 2014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 1 1. Udfyld tabellen Vejledende besvarelse Givet funktionen f (x)=4 5 x beregnes f(2) f (2)=4 5 2 =4 25=100 Den udfyldte tabel er derfor: x 0 1 2 f(x) 4 20 100

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 2007 2014 MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform b. Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 2007 2014 MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform b. Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 007 014 MATEMATIK A-NIVEAU Prøveform b 014 Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve

Læs mere

navn: dato: fag: Matematik hold: 2dMa modtaget af: ark nr: 1 af i alt 12 ark

navn: dato: fag: Matematik hold: 2dMa modtaget af: ark nr: 1 af i alt 12 ark ark nr: af i alt ark Opgave En lineær funktion f opfylder at dens graf går gennem A(3,7) og B(9,5) Vi finder hældningen a af grafen a = y - y 5-7 8 = = = 3 x - x 9-3 6 Forskriften for f kan nu bestemmes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Oktober-december 2014 Institution Niels Brock Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HHX Matematik - Niveau B Peter Harremoës GSK hold: k12gymabu1n2 Oversigt over gennemførte

Læs mere

GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK B. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 13.00 GL091-MAB. Undervisningsministeriet

GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK B. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 13.00 GL091-MAB. Undervisningsministeriet GU HHX MAJ 009 MATEMATIK B Onsdag den 13. maj 009 Kl. 9.00 13.00 Undervisningsministeriet GL091-MAB Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 8A, 8B, 8C, 8D og

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution VUC Fredericia Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik B Susanne Holmelund

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Juli-august 2011 Institution Niels Brock Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HHX Matematik - Niveau A Peter Harremoës GSK-hold Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Med per-tal består alle matematik B Allan Tarp, VUC Aarhus, indsendt til LMFK-bladet nr. 3 2013, men afvist. Verden skriger på ingeniører, og

Med per-tal består alle matematik B Allan Tarp, VUC Aarhus, indsendt til LMFK-bladet nr. 3 2013, men afvist. Verden skriger på ingeniører, og Med per-tal består alle matematik B Allan Tarp, VUC Aarhus, indsendt til LMFK-bladet nr. 3 2013, men afvist. Verden skriger på ingeniører, og alligevel har adgangsvejen, matematik B, rekordhøj dumpeprocent.

Læs mere

Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler

Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler Stx matematik B december 2007 Delprøven med hjælpemidler En besvarelse af Ib Michelsen Ikast 2012 Delprøven med hjælpemidler Opgave 6 P=0,087 d +1,113 er en funktion, der beskriver sammenhængen mellem

Læs mere

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Matematik A August 2016 Delprøve 1

Matematik A August 2016 Delprøve 1 Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,

Læs mere

Delprøve 1 UDEN hjælpemidler Opgave 1 Der er givet to trekanter, da begge er ensvinklet, da er forstørrelsesfaktoren

Delprøve 1 UDEN hjælpemidler Opgave 1 Der er givet to trekanter, da begge er ensvinklet, da er forstørrelsesfaktoren Matematik B, 5 december 2014 Løses af www.matematikhfsvar.page.tl NB: Når du læser løsningerne, så satser vi på du selv sidder med sættet. Figurer mv. bliver ikke indsat. Delprøve 1 UDEN hjælpemidler Opgave

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a.

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter, maj 007, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, indskrivelige

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

Opgave 1 - Eksponentiel funktion/procent og renter

Opgave 1 - Eksponentiel funktion/procent og renter Alle beregninger er, hvis ikke andet angivet, udført med WordMat. Opgave 1 - Eksponentiel funktion/procent og renter Jeg vil nu finde ud af hvor stort et beløb der står på kontoen efter 1 år med en starts

Læs mere

2 -test. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske formler. 2 -test blev opfundet af Pearson omkring år 1900.

2 -test. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske formler. 2 -test blev opfundet af Pearson omkring år 1900. 2 -fordeling og 2 -test Generelt om 2 -fordelingen 2 -fordelingen er en kontinuert fordeling, modsat binomialfordelingen som er en diskret fordeling. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2013/14 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen 7Ama1V13

Læs mere

GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 14.00 GL091-MAA. Undervisningsministeriet

GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 14.00 GL091-MAA. Undervisningsministeriet GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A Onsdag den 13. maj 2009 Kl. 9.00 14.00 Undervisningsministeriet GL091-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

Facitliste til elevbog

Facitliste til elevbog Facitliste til elevbog Algebra a 8x 4 b 6x c 7x 8 d 0 5x e x 54 f 8x 6 x a x 7x + 4 b 48a 4 + 8a c 56x + x d 6a 4 5a e 4x 80x f 6a 4 4a a 8(x + ) b 5x(4x 7) c 4( a) d 9a ( a) e 4( + 7a ) f 6(x + y) 4 a

Læs mere

Matematik A-niveau Delprøve 1

Matematik A-niveau Delprøve 1 Matematik A-niveau Delprøve 1 Opgave 1 løsning: Andengradsligningen løses: x 2 + 2x 35 = 0 Den løses for diskriminanten. d = b 2 4ac Tallene indsættes. d = 2 2 4 1 ( 35) = 144 Vi regner for x. x = b ±

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

GL. MATEMATIK B-NIVEAU

GL. MATEMATIK B-NIVEAU GL. MATEMATIK B-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 29. maj 2013 2016 Opgave 1 Opgave 2 Opgave 3 Opgave 4 Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Ugesedler til sommerkursus

Ugesedler til sommerkursus Aalborg Universitet - Adgangskursus Ugesedler til sommerkursus Matematik B til A Jens Friis 12 Adgangskursus Strandvejen 12 14 9000 Aalborg tlf. 99 40 97 70 ak.aau.dk sommer Matematik A 1. Lektion : Mandag

Læs mere

Med CAS kan alle bestå matematik C Allan Tarp, VUC Aarhus Saving Dropout Ryan with a TI-82 hed et bidrag til matematikkongressen ICME 12.

Med CAS kan alle bestå matematik C Allan Tarp, VUC Aarhus Saving Dropout Ryan with a TI-82 hed et bidrag til matematikkongressen ICME 12. Med CAS kan alle bestå matematik C Allan Tarp, VUC Aarhus Saving Dropout Ryan with a TI-82 hed et bidrag til matematikkongressen ICME 12. Det er min rapport om, hvordan en formelregner kan postmodernisere

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2016 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Gert Friis Nielsen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2014 Studenterkurset

Læs mere

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Opgave 1 - Ligninger og reduktion (a + b) (a b) + b (a + b) = a 2 ab + ab b 2 + ab + b 2 = a 2 + ab Opgave 2 - Eksponentiel funktion 23 + 2x = 15 2x 2 = 8 x =

Læs mere

Projekter til Matematik

Projekter til Matematik Projekter til Matematik B Allan.Tarp@MATHeCADEMY.net 2014 Indholdsfortegnelse Spørgsmål til de 17 projekter... 1-6 01. Projekt Afstandsbestemmelse... 7 02. Projekt Prognoser... 8 03. Projekt Lejemål...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx123-mat/a-07122012 Fredag den 7. december 2012 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 2stx101-MAT/A-01062010 Tirsdag den 1. juni 2010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 2009 Institution Silkeborg Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik, niveau

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 13 Uddannelsescenter

Læs mere

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen

Læs mere

Kapitel 2. Differentialregning A

Kapitel 2. Differentialregning A Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation

Læs mere

Teknisk. Matematik FACITLISTE. Preben Madsen. 4. udgave

Teknisk. Matematik FACITLISTE. Preben Madsen. 4. udgave Teknisk Preben Madsen Matematik 4. udgave FACITLISTE Indhold TAL OG ALGEBRA... LIGNINGER OG ULIGHEDER... GEOMETRI... 4 TRIGONOMETRI... 5 CIRKLEN... 5 6 OVERFLADER UDFOLDNINGER... 5 7 RUMFANG... 8 8 ANALYTISK

Læs mere

Løsning til aflevering uge 11

Løsning til aflevering uge 11 Løsning til aflevering uge 11 100011/nm Opg.1 Beregninger på Foucaults pendul. Først en skitse A B c l a b l d C l c l E h d D 0.m Vandrette udsving a m a) Længden af pendulet kan beregnes ved at isolere

Læs mere

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en

Læs mere

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Opgave 1 Af trekanterne ABC og DEF ses ABC med b = 6 og c = 10. Der bestemmes for a. Tallene indsættes Så sidelængden er regnet til 8. For at bestemme

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11

Læs mere

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2014

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2014 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Algekoncentrationen målt i mio. pr. L betegnes med A. Tiden måles i antal timer fra start og angives med t.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 2stx121-MATn/A-31052012 Torsdag den 31. maj 2012 kl. 09.00-14.00 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele: Delprøve

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Tegning af grafer. Grafen for en ligning (almindelig) Skriv ligningen ind. Højreklik og vælg Plots -> 2-D Plot of Right Side.

Tegning af grafer. Grafen for en ligning (almindelig) Skriv ligningen ind. Højreklik og vælg Plots -> 2-D Plot of Right Side. TgPakken TgPakken er en række kommandoer til Maple tilegnet til det danske gymnasium. Det er rigtig smart til at kontrollere ens opgaver, men som alenestående svar til en eksamen er det ikke altid tilstrækkeligt.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2015 Institution Kolding HF og VUC, Kolding Åpark 16, 6000 Kolding Uddannelse Flexhold Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2015 VUC

Læs mere

Velkommen til Flemmings store Maplekursus 1. lektion. Skift mellem tekst- og matematikmode

Velkommen til Flemmings store Maplekursus 1. lektion. Skift mellem tekst- og matematikmode Velkommen til Flemmings store Maplekursus 1. lektion. Skift mellem tekst- og matematikmode Man kan skifte mellem tekst- og matemamatikmode ved at trykke på F5. I øjeblikket er jeg i tekstmode.. 2. lektion.

Læs mere

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2 MAT B GSK august 008 delprøven uden hjælpemidler Opg Grafen for en funktion f er en ret linje, med hældningskoefficienten 3 og skærer -aksen i punktet P(;0). a) Bestem en forskrift for funktionen f. Svar

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse.

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse. Opdateret 28. maj 2014. MD Ofte brugte kommandoer i Geogebra. Generelle Punktet navngives A Geogebra navngiver punktet Funktionen navngives f Funktionen navngives af Geogebra Punktet på grafen for f med

Læs mere