Risikoneutrale tætheder fra optioner: Teori og anvendelser

Transkript

1 Handelshøjskolen i København Institut for Finansiering Erhvervsøkonomi-matematik-studiets 6. semester 2005 Forfatter: Allan Sall Tang Andersen XXXX Projektvejleder: Bo Vad Steffensen Risikoneutrale tætheder fra optioner: Teori og anvendelser Afleveret den 2. juni 2005 Behandlet den 13. juni 2005

2 Abstract In this paper we take a closer look on risk-neutral valuation, and from this the risk-neutral probability desities implicit in option prices. We start by showing how risk-neutral valuation relates to no-arbitrage prices. We do this by delta-hedging and by forming replicating portfolios. This is done both in a discrete-time setting, as well as in a continuous-time setting. Finally we show that risk-neutral valuation holds even when the underlying assets does not follow regular assumptions. We then derive an explicit relationship between european options and their risk-neutral probability density, as well as we look at the implied density from the Black-Scholes model. We show this to be a log-normal density. Finally we show that the assumptions of the Black-Scholes model does not hold. We do this by looking at implied volatilities, and hereby showing the volatility smile. This call for methods that can extract the true densities. We dicuss several of these methods and decide to take a closer look at the Shimko (1993) method. This method is based on interpolation of the implied volatility smile. We show how this method can be modified and discuss the best way to interpolate the volatility smile. We will also compare the implied risk-neutral densities to the Black-Scholes log-normal density. This will again show the shortcomings of Black-Scholes model. Futhermore will take a short empirical look on the method, by using it to show the effect of different events. This wil be both anticipated and unanticipated events. We will do this by looking at options on the 3 month Euribor future. i

3 Resume I denne opgave vil vi se nærmere på risikoneutral valuation, og herfra de implicitte risikoneutrale sandsynlighedstætheder fra optionspriser. Vi begynder med at vise at risikoneutral valuation er ækvialent med arbitrage-fri priser. Vi vil gøre dette med at delta-hegde og ved at danne replikerende porteføljer. Dette vil både blive gjort i et diskret-tids setup, såvel som i et kontinuert-tids setup. Endelig ser vi at risikoneutral valuation holder, selv når det underliggende aktiv ikke følger pæne antagelser. Herfra udleder vi et eksplicit forhold mellem europæiske optioner og deres risikoneutrale tæthed, såvel som vi ser på den implicitte tæthed fra Black- Scholes model. Vi viser at dette er en log-normalfordeling. Endelig viser vi at Black-Scholes antagelserne ikke holder. Vi gør dette ved at se på implicitte volatiliteter, og herfra volatilitetssmilet. Dette viser nødvendigheden af metoder, der kan udlede den sande tæthed. Vi beskriver flere metoder og vælger at se nærmere på Shimko (1993) metoden. Denne metode er baseret på at interpolere det implicitte volatilitetssmil. Vi viser hvordan metoden kan modificeres og diskuterer den bedste metode til at interpolere volatilitetssmilet. Vi vil også sammenligne de implcitte risikoneutrale tætheder med Black-Scholes log-normale tæthed. Dette vil igen vise begrænsningerne i Black-Scholes model. Endelig vil kort se på empiriske anvendelser af metoden, ved at vise effekten af forskellige hændelser. Dette vil være både ventede og uventede hændelser. Vi vil gøre dette ved at se på optioner på den3måneders Euribor future. ii

4 Indhold 1 Indledning 1 I Det teoretiske fundament 3 2 Sammenhæng mellem risikoneutralitet og optionsvaluation Det diskrete tilfælde Det kontinuerte tilfælde Risikoneutralitet under ikke-pæne antagelser Sammenhæng mellem optionspris og risikoneutral tæthed Sammenhæng mellem priser og risikoneutral tæthed Den risikoneutrale tæthed under Black-Scholes antagelserne Volatilitetssmilet Metoder til at udlede den risikoneutrale tæthed Simple histogrammer Interpolere call-funktionen Angive underliggende proces Angive form på tæthed Implicitte binomialtræer Interpolere volatilitetssmilet Shimko metoden 24 6 Modificeret Shimko Estimation af volatilitetsstrukturen Sammenligning af de to Shimko-varianter og Black-Scholes 31 II Empiriske anvendelser 34 iii

5 8 Data 35 9 Sammenligning omkring specifikke datoer september Renteændringer i juni Konklusion 44 A Beskrivelse af volatiliteten i et binomialtræ 47 A.1 Ens up- og down-faktorer A.2 Forskellige up- og down-faktorer B Afledte af Black-Scholes formel 50 C Udledning af splines 53 C.1 Regressions-spline C.2 Udglattet spline C.3 Valg af λ D Formler for momenter 58 iv

6 1 Indledning En af grundstenene i moderne finansieringsteori er tilstandsafhængige aktiver. Et tilstandsafhængigt af aktiv, er et aktiv hvis afkast afhænger af tilstanden af en given variabel til et bestemt punkt i fremtiden. En option, der er retten, men ikke pligten, til at købe eller sælge et underliggende aktiv på et tidspunkt i fremtiden, er et sådant tilstandsafhængigt aktiv. En type option er den europæiske, der kun kan udnyttes på ét givet tidspunkt i fremtiden. Når en sådan option har et fast udløbstidspunkt, må der være en vis sammenhæng mellem prisen på optionen og forventningen i markedet til det underliggende aktiv på det tilhørende udløbstidspunkt. Hvis man kan udlede disse forventninger, vil de således kunne være et supplement til investores handel med det pågældende aktiver, men ogsåset fra fx centralbankers side indeholder disse udledte forventninger en stor del information omkring markedet. Med den kraftige stigning i anvendelsen af derivater, fx til afdækning af ricisi (BIS (2004) estimerer udviklingen i OTC rente-optioner til at være steget fra mia. USD 10,913 ultimo 2001 til mia. USD 25,756 ultimo 2004), er mængden af information i optioner, steget ganske markant de sidste par år. Formålet med denne opgave er således at undersøge sammenhængen mellem optioner og forventningen i markedet. Den naturlige indgangsvinkel er naturligvis sammenhængen mellem optionspriser og en sandsynlighedstæthed. Vi vil se på metoder, der kan udlede disse implictte tætheder. Endelig vilviogså se hvordan disse tætheder ser ud i praksis, og herved også kort se om der konsistens mellem finansieringsteori og de observerede tætheder. Dette ved at sammenligne de observerede tætheder, med de tætheder som finansieringsteorien forudsiger. Strukturen i opgaven er som følger: I afsnit 2 udleder vi en generel sammenhæng mellem optionsvaluation og risikoaversion hos investorer. Det vises at vi kan prisfastsætte som under risikoneutralitet. I afsnit 3 udleder vi en sammenhæng mellem optionsprisen og den implicitte risikoneutrale tæthed 1

7 og i afsnit 4 danner vi et overblik over metoder til at udlede disse implicitte tætheder. I afsnit 5 og 6 ser vi nærmere på enafdissemetoderogbeskriver udledningen af tæthederne nærmere. I afsnit 7 sammenlignes den beskrevne metode, med Black-Scholes model, ligesom den beskrevne metode anvendes til en empirisk sammenligning af forventningerne omkring specifikke begivenheder i afsnit 8 og 9. Endelig konkluderes der i afsnit 10. Det tilstræbes at opgaven er velafbalanceret, hvad angår balancen mellem at være let læselig og anvendelsen af matematik. Derfor er simple matematiske reduceringer minimeret. Hvor større udledninger er krævet, vil disse i videst muligt omfang være placeret i et appendix. Endelig benyttes ordet option iflængforeneuropæisk option. Forbåbentlig opstår der ikke forståelsesmæssige problemer herved. 2

8 Del I Det teoretiske fundament 3

9 2 Sammenhæng mellem risikoneutralitet og optionsvaluation Vi vil i dette afsnit udlede sammenhængen mellem risikoneutralitet og optionsvaluation. Vi vil gøre dette ved at delta-hedge 1,ogviseatensådan hedget portefølje vil kunne prisfastsættes som under risikoneutralitet. Vi viser dette først i en to periodes økonomi (vha. binomial-modellen) og herefter i et kontinuert setup, nemlig vha. Black-Scholes model. Endelig viser vi også at risikoneutral valuation holder under mindre pæne antagelser. 2.1 Det diskrete tilfælde Som nævnt vil vi i dette afsnit benytte et binomial-setup, for at vise risikoneutralitet. Betragt en to perioders økonomi. Til starttidspunktet, t = 0, hardet underliggende aktiv en værdi på S. Hvis der indtræder en god henholdsvis dårlig tilstand i økonomien vil denne værdi være us henholdsvis ds, hvoru og d er defineret som 1 plus afkastet i perioden (dvs. hvis aktien stiger med 20 pct. i en up-tilstand, vil u =1.2). Dette er præsenteret i figur 1. us V u S V ds V d Det underliggende aktiv Optionen Figur 1: En to-perioders økonomi beskrevet med et binomialtræ. 1 Delta er den første-afledte af optionsprisen med hensyn til prisen på det underliggende aktiv: = C(K,T ) S. 4

10 Derudover eksisterer der et risiko-frit aktiv, med rente, r. Hvisviantager kontinuert rentetilskrivning, skal det være opfyldt at u>e rt >d, ellers vil der være arbitrage muligheder. 2 Endelig er følgende betingelser omkring markedet ligeledes opfyldt: Det underliggende aktiv udbetaler ikke udbytte i optionens løbetid. Der er ingen transaktionsomkostninger forbundet med køb eller salg af et aktiv. Det er muligt at købe enhver brøkdel af et aktiv. Der er ingen kortsalgsrestriktioner. Endelig er der ingen skat. Lad nu V være værdien af en option til starttidspunktet, og lad V i,i = u, d være værdien af samme option i up- eller down-tilstanden. Vi ønsker nu at sammensætte en portefølje, således at værdien af denne, er den samme som optionen i up og down tilstanden. Dvs. følgende to ligninger skal være opfyldt: V u = us + e rt B V d = ds + e rt B hvor er antallet af det underliggende aktiv der skal købes og B er hvor meget der skal købes i det risikofri aktiv. Løser vi ovenstående ligninger for og B finder vi at: = V u V d (u d)s og B = e rtuv d dv u u d 2 Dette kan relativt let indses. Hvis fx at e rt >u>d,så ville man kunne gå kortidet underliggende aktiv og langt i det risikofri aktiv, og herved få en risiko-fri gevinst. 5

11 Ved begyndelsen af perioden (dvs. til t = 0) må værdien af porteføljen være: V = S + B = V u V d (u d)s S + e rtuv d dv u u d [ e = e rt rt d u d V u + u ] ert u d V d Dette kan vi også beskrive som linearkombination: V = e rt [pv u +(1 p)v d ] hvor p = ert d u d.vivedydermere,atdau>ert >d,må p ligge mellem 0 og 1. Vi har altså fundet ud at V er den tilbagediskonterede forventede værdi af optionen, under et sandsynlighedsmål givet ved p (og 1 p). Men vi har endnu ikke vist at disse sandsynligheder er ækvialent med risikoneutralitet. Hvis vi har risikoneutralitet, vil investorer være ligeglad med risiko, dvs. i denne verden vil alle aktiver give samme afkast. Dette må i vores to-perioders økonomi betyde at den forventede værdi af det underliggende aktiv må følge det risiko-fri aktiv: Se rt = qus +(1 q)ds Vi løser ovenstående ligning for q og finder at den risikoneutrale sandsynlighed bliver: q = ert d (1) u d Vi bemærker at sandsynligheden som opnås ved at hegde optionen og den risikoneutrale sandsynlighed er ens. Dette betyder at når vi prisfastsætter optioner en periode frem, kan vi prisfastsætte som under risikoneutralitet. Vi bemærker ydermere at den sande sandsynlighed for en up (eller down) bevægelse og værdien af det underliggende aktiv ikke indgår i modellen. Herved behøver investorer ikke engang at være enige om de sande sandsynligheder for en up (eller down) bevægelse. 6

12 Intuitionen bag dette er, at forventningen om den fremtidige prisudvikling allerede er indregnet i prisen på det underliggende aktiv, og indgår herigennem i værdien på optionen. Vi har således implicit taget højde for de sande sandsynligheder. Som nævnt har vi kun vist sammenhængen mellem risikoneutralitet og optionsvaluation i et simpelt to perioders setup. Vi kan reletivt let generalisere ovenstående setup, således at vi har en N-perioders økonomi. Vi bemærker at hvis up og down-faktorer er ens i alle perioder, vil sandsynlighederne være givet ved ligning (1), og være ens over hele træet. Vi er dog interesseret i at vise at ovenstående resultat også holderiet kontinuert setup. Hovedargumentet for dette er at investorer i praksis vil kunne handle mere eller mindre kontinuert (dog fx begrænset af børsens lukketid), hvorfor ovenstående arbitrageargument kun er approksimativt korrekt. Et andet og ganske vigtigt argument, er at den metode vi senere vil benytte til at udlede den risikoneutrale tæthed hviler på et fundament, der er udledt i kontinuert tid. Vi vil i det følgende afsnit udlede sammenhængen mellem risikoneutralitet og optionsvaluation i kontinuert tid, nemlig vha. Black-Scholes model. 2.2 Det kontinuerte tilfælde Grundlæggende for alle prisfastsættelsesmodeller for optioner, er at de hviler på en antagelse om udviklingen i det underliggende aktiv (i binomialmodellen er det implicit antaget, at det underliggende aktiv følger en binomial-proces). I Black-Scholes model antages det at det underliggende aktiv følger en Geometrisk Brownsk Bevægelse (GBB). Forskriften for denne diffusionsproces er: ds = µsdt + σsdw (2) hvor µ, σ er konstanter og driftraten hhv. volatiliteten for processen. dw er en Brownsk bevægelse. Et af kendetegnene for en Brownsk bevægelse er at 7

13 dw N(0,dt), hvor dt er et lille tidsinterval. Udover antagelsen om at det underliggende aktiv følger en GBB, gælder samme antagelser som i forrige afsnit. Antag nu vi laver en portefølje Π, der er defineret som Π = CS C 3. S Vi bemærker her at C har samme effekt i porteføljen som i forrige afsnit. S Vi definerer nu optionsprisen som en funktion af tiden og det underliggende aktiv, dvs. C = f(s, t). Vi benytter nu Itô s lemma 4 til at beskrive ændringen i optionsprisen som: [ C C dc = µs + S t + 1 ] 2 C 2 σ2 S 2 S2 dt + σ C S SdW Ændringen i porteføljen kan beskrives ved: dπ = C ds dc S Og ved at substituere ind får vi: [ C dπ = t + 1 ] 2 C 2 σ2 S 2 S2 dt Vi ser altså at ændringen i porteføljen er uafhængig af det forventede afkast, µ. Derudover ses det, at tilfældigheden i processen - den Brownske bevægelse, dw - ligeledes er reduceret ud. Herved er porteføljen uden risiko. Det må altså gælde at porteføljen udvikler sig som detrisikofriaktiv,ellersvildervære arbitrage muligheder i økonomien 5.Dvs.vifår: [ C dπ = t + 1 ] 2 C 2 σ2 S 2 S2 dt = rπdt 3 Denne udledning følger i hovedtræk udledningen foretaget af Black & Scholes (1973). 4 Jf. Hull (2000, kap. 10) siger Itô s lemma, athviss følger en Itô s proces (en GBB opfylder dette), så vil ændringen i en funktion f(s, t) kunne beskrives som: [ f(s, t) df (S, t) = µs + S f(s, t) t + 1 ] 2 σ2 2 f(s, t) S 2 S 2 dt + σ f(s, t) SdW S 5 Hvis porteføljen betaler mere end det risikofri aktiv, kan en investor gå kort i det risikofri aktiv og langt i porteføljen og herved få en risikofri gevinst. Det modsatte argument kan føres, hvis porteføljen betaler mindre end det risikofri aktiv. 8

14 Indsætter vi udtrykket for Π og reducerer får vi følgende partielle differential ligning (PDE): C t + C S rs C 2 σ2 S 2 S2 = rc (3) En løsning til en optionsformel skal altså opfyde ovenstående PDE. Ydermere for at vi har med en gyldig optionsløsning, skal vi have opfyldt en række initial- og slutbetingelser. Disse er for en call-option a) det trivielle tilfælde, at hvis det underliggende aktiv har værdi 0, har optionen også værdi 0, dvs. C(0,t)=0,t [0,T] og b) at optionen giver et pay-out til udløb, dvs. for en call-option: C(S, T )=max{s K, 0}. Det skal derudover være opfyldt at det underliggende aktiv er større eller lig 0, dvs. S 0. Betydningen af PDE en er, at når vi prisfastsætter optioner, vil de blive prisfastsat ens uanset investors præferencer, da PDE en er uafhængig af den forventede værdi af den underliggende proces, µ. Det lette i denne sammenhæng er naturligvis at antage risikoneutralitet. Herved er investor indifferent mellem to aktiver med samme afkast, uanset usikkerheden i aktiverne. Løses PDE en i ligning (3), under de nævnte bibetingelser får vi den klassiske Black-Scholes formel: hvor C(K, T) =SΦ(d 1 ) e r(t t) KΦ(d 2 ) d 1 = log(s/k)+r(t t) σ + 1 T t 2 σ T t, d 2 = d 1 σ T t hvor r er den risikofri rente, t er det nuværende tidspunkt, T er udløbstidspunktet, S er spotprisen på det underliggende aktiv, K er optionens strikepris og σ den forventede (årlige) volatilitet for det underliggende aktiv. Φ( ) er den kummulative normalfordeling. 2.3 Risikoneutralitet under ikke-pæne antagelser Vi har indtil videre set at risikoneutral valuation holder under pæne antagelser. Vi vil i det følgende vise at dette også er tilfældet under mindre pæne 9

15 antagelser. At vise dette i et kontinuert setup kræver umiddelbart et højere matematikniveau end der kan forventes at et bachelorprojekt. Vi vælger derfor at præsentere det i et binomial-setup. Fordelen ved dette er, at metoden er matematisk simpel og giver en god intuitiv forståelse. u(u)us V u(u)u us V u S d(u)us V V d(u)u u(d)ds V u(d)d ds V d d(d)ds V d(d)d Det underliggende aktiv Optionen Figur 2: En tre-perioders økonomi, med ikke-ens up og down-faktorer. Vi vælger som i afsnit 2.1 at beskrive udviklingen i et binomial-træ. Træet for dette forløb er vist i figur 2. Vi har antaget at up- og down-faktorer kan være forskellige i de to perioder (de opfylder naturligvis stadig at u>e rt > d). I den sidste periode beskriver u(x) henholdsvis d(x), up- henholdsvis down-faktorer når hændelsen x indtrådte i perioden før. Dette kan medføre at træet ikke er rekombinerende. Vi ønsker nu at replikere optionen hele vejen gennem træet. Dette kan således approksimere et kontinuert setup, hvor replikeringen sker konstant. Vi løser nu træet bagfra, dvs. vi løser først optionen i sidste periode: V u(x)x = u(x)xs + e rt B V d(x)x = d(x)xs + e rt B Vi løser nu for og B og finder: = V u(x)x V d(x)x (u(x) d(x))xs og B = e rtu(x)v d(x)x d(x)v u(x)x u(x) d(x) 10

16 Ved begyndelsen af perioden må værdien af optionen jo være: V x = xs + B = V u(x)x V d(x)x (u(x) d(x))xs xs + u(x)v d(x)x d(x)v u(x)x u(x) d(x) ] = e rt [ e rt d(x) u(x) d(x) V u(x)x + u(x) ert u(x) d(x) V u(x)x Hvilket som i afsnit 2.1 kan skrives som en linearkombination: V x = e [ ] rt pv u(x)x +(1 p)v d(x)x hvor p = ert d(x). I risikoneutral sammenhæng følger den forventede værdi u(x) d(x) af det underliggende aktiv, det risikofri aktiv, dvs.: xse rt = qu(x)xs +(1 q)d(x)xs hvor vi så løser for den risikoneutrale sandsynlighed, q: q = ert d(x) u(x) d(x) Altså er sandsynlighederne p og q ens. Dvs. argumentationen omkring risikoneutralitet holder stadig. Vi bemærker ydermere at den hidtige udvikling i det underliggende aktiv, ikke har nogen effekt på prisdannelsen af optionen. 6 Vi kan således også se,atx nødvendigvis ikke kun behøver at indeholde én periode. Når prisfastsættelsen sker som beskrevet kan x indeholde lige så mange (eller såfå) hidtige up- og down-faktorer som en investor skulle ønske. x kunne i praksis også være tom - dette vil være ækvialent med udledningen iafsnit2.1. Vi kan ydermere vise at hvis der er ens up- og downfaktorer i alle perioder, vil dette være ækvialent med konstant volatilitet på det underliggende aktiv. 6 På trods af at x indgår i up- og down-faktorerne, er disse faktorer uafhængig af den tidligere udvikling. Variablen x er således kun et notationsspørgsmål, der gør det muligt at have forskellige up- og down-faktorer i samme periode. 11

17 Dette følger jo netop udviklen i GBB en. Vi kan også vise at hvis up- og downfaktorer ikke er ens, vil dette lede til en volatilitet der både er afhængig af tiden og kursen på det underliggende aktiv. 7 Dette bryder både med Black-Scholes model og den simple binomialmodel. Dog kan binomialmodellen stadig håndtere dette, da vi har vist at udviklingen i den næste periode kun er afhængig af periodens up- og down-faktorer samt renten. 7 Til den interesserede læser henvises der til appendix A, hvor de relevante udledninger samt et illustrativt eksempel er givet. 12

18 3 Sammenhæng mellem optionspris og risikoneutral tæthed Vi vil i de følgende afsnit, se nærmere på den direkte sammenhæng mellem prisen på en europæisk option og dens risikoneutrale tæthed. Ydermere ser vi på sammenhængen mellem risikoneutral tæthed og Black-Scholes antagelserne. Endelig ser vi at Black-Scholes antagelserne ikke holder i den virklige verden 3.1 Sammenhæng mellem priser og risikoneutral tæthed Som vist ovenfor kan vi udlede prisen for en option, som den tilbagediskonterede forventede værdi af optionen under risikoneutralitet. For en call-option bliver dette: C(K, T) =e r(t t) E Q [max{s T K, 0}] (4) hvor Q er et risikoneutralt sandsynlighedsmål. Hvis vi beskriver ovenstående, hvor vi lader f(s T ) være den risikoneutrale tæthed til udløb, får vi: C(K, T) = e r(t t) max{s T K, 0}f(S T )ds T 0 Vi er således interesseret i at finde en sammenhæng, hvorved vi kan udlede den risikoneutrale tæthed, f(s T ). Vi vil gøre dette ved at prisfastsætte Arrow-Debreu-aktiver 8. Et Arrow-Debreu aktiv, er et afledt aktiv, der udbetaler én enhed (fx én kr.) givet et specifikt udfald for det underliggende aktiv og nul i alle andre. Markedsprisen på dette aktiv i dag, måsåledes afspejle forventningen om at det underliggende aktiv ender præcis i denne tilstand. En kontinuert række af disse aktiver beskriver således tætheden. 8 Dette følger udledningen af Breeden & Litzenberger (1978). 13

19 I praksis bliver der dog ikke handlet Arrow-Debreu-aktiver, derfor må disse sammensættes syntetisk. Betragt nu et butterfly-spread, centreret omkring strikeprisen, K og med en afstand på K mellem priserne. Udbetalingen for dette butterfly-spread er således til optionernes udløb: C K+ K 2C K + C K+ K = K for K = S T C K+ K 2C K + C K+ K =0 for K S T hvor C K er prisen på en call-option med strike-pris K til optionens udløb, og S T er tilstanden for det underliggende aktiv til udløb. Det er her antaget at minimumændringen i det underliggende aktiv er K. Hvis dette ikke var tilfældet ville butterfly-spread et også have et pay-off når bare K S T. Denne antagelse vil der blive rådet bod længere nede i dette afsnit. Vi kan således også se, at vi kan sammensætte vores Arrow-Debreu-aktiv syntetisk ved at sammensætte en portefølje, der består af en lang position af 1/ K andel butterfly-spread. Prisen på denne portefølje må idagvære: P (t, K) =e r(t t) C K+ K 2C K + C K+ K K hvor P (t, K)erprisenpå porteføljen centreret omkring K til tid t (t < T). Vi ser fra figur 3, at jo tættere vores mulige strikepriser ligger, jo mere centreret omkring K er pay-off et. 1 K 1 K 2 K S T Figur 3: Pay-off fra porteføljen P ( ) for forskellige tilfælde af K. Her er K 1 < K 2 14

20 Lad nu være C K være prisen på en call-option med strike K til tid t (t <T). Sandsynligheden for at S T er i en omegn af K til udløb (tiden T )er således (da vi kender informations-egenskaben ved Arrow-Debreu-aktivet): Pr(K 1/2 K S T K +1/2 K) =e r(t t) C K+ K 2 C K + C K+ K K (5) Ovenstående ligning giver os en måde at udlede et groft estimat for den risikoneutrale tæthed, nemlig vha. histogrammer. Vi kan ogsåskriveovenstående ligning som: f(s T = K) K = e C r(t t) K+ K 2 C K + C K+ K K f(s T = K) =e C r(t t) K+ K 2 C K + C K+ K ( K) 2 hvor f(s T = K) beskriver punkt-sandsynligheden for at S T = K. Dette er imidlertid ikke en kontinuert tæthed, da vi kun har en observation pr. K, dvs. medenafstandpå K. Lader vi nu afstanden mellem strike-priserne gåmodnulfår vi: f(s T = K) = lim f(s T = K) =e r(t t) 2 CK (6) K 0 K 2 hvor f(s T = K) er den kontinuerte tæthed for at S T = K. Dette virker også intuitivt korrekt, at jo flere strikepriser vi kan observere, jo større præcision vilviogså kunne få i ligning (5). Dette ses også fra figur 3. Vi har herved også rådet bod for antagelsen om at ændringen i det underliggende aktiv er diskret - ændringen i det underliggende aktiv kan nu være uendelig lille og herved kontinuert. Vi har altså således vist, at vi kan finde sandsynligheden for at S T = K ved at udregne den anden afledte af call-prisen mht. strike-prisen 9,iværdien K. Dvs. hvis vi ser på en kontinuert række af K er får vi altså tætheden. Hvis man ikke har en kontinuert række af K er, men en række ækvidistante 9 Dette kræver lukket-form løsning for optionsprisen. Denne metode kan således bruges i Black-Scholes formel jf. afsnit 5. 15

21 K er kan vi således approksimere tætheden, ved at benytte ligning (5) og de observerede call-priser. Vi har altså fundet en sammenhæng, der fungerer både for diskrete observationer (ligning (5)) og en kontinuert pris-funktion (ligning (6)) og giver os herfra et godt udgangspunkt til at udlede de risikoneutrale tætheder. Vi bemærker også at metoden stiller krav til at call-prisen er konveks i strikeprisen, da den ellers producerer negative sandsynligheder. Dette er dog intet problem, da call-prisen altid vil være konveks, hvis der ikke eksisterer arbitrage muligheder i markedet. I det ovenstående afsnit har vi imidlertid kun udtalt os om sammenhængen mellem priser og en givet tæthed, der kan antage enhver form. Vi har i afsnit 2.2 beskrevet antagelserne for Black-Scholes model. Det interessante i denne sammenhæng er naturligvis tætheden som følge af Black-Scholes antagelserne. 3.2 Den risikoneutrale tæthed under Black-Scholes antagelserne Som nævnt ovenfor er vi interesseret i at udlede tætheden som følge af Black- Scholes antagelserne. Vi vil i denne sammenhæng benytte Itô s lemma. Vialtså starter med at tage udgangspunkt i den GBB, der beskriver udviklingen i det underliggende aktiv (ligning (2)). Vi sætter f(s, t) =logs og benytter Itô s lemma og finder: [ log S log S d log S = µs ] 2 log S S t 2 σ2 S 2 dt + σ log S S 2 S SdW = [µ 12 ] σ2 dt + σdw Vi vælger nu at se på udviklingen over hele optionens løbetid T t, vi erstatter 16

22 Sandsynlighed Σ 5 pct Σ 10 pct Σ 20 pct Værdi på underliggendeaktiv Figur 4: Log-normalfordelinger plottet med forskellig volatilitet. I denne sammenhæng er de øvrige parametre: S = 100, r =0.02 og T t =0.25. derfor d er med er. Ydermere benytter vi at dw N(0,dt): logs = [µ 12 ] σ2 t + σ W log S T log S = [µ 12 ] σ2 (T t)+σ T tɛ log S T = logs + [µ 12 ] σ2 (T t)+σ T tɛ Hvor ɛ N(0, 1). Ved at bruge regneregler for middelværdi og varians for normalfordelingen får vi at: ( log(s T ) N log S + [µ 12 ] ) σ2 (T t),σ 2 (T t) Dvs. hvis Black-Scholes antagelserne er opfyldt vil det underliggende aktiv til udløb følge en log-normalfordeling. Ydermere under risiko-neutralitet, vil det underliggende aktiv forventes at udvikle sig som det risiko-fri aktiv. Dette 17

23 betyder altså atµ = r. Hervedfår vi at: ( log(s T ) N log S + [r 12 ] ) σ2 (T t),σ 2 (T t) (7) I figur 4 er den underliggende log-normalfordeling skitseret med forskellig volatilitet. Vi ser i denne sammenhæng, at afhængig af volatiliteten kan fordelingen ændre udseende ganske markant. Vi har i denne sammenhæng undladt at skitsere ved ændring af de andre parametre, da de i større eller mindre grad er trivielle. Ved ændring af S og r får vi bare en forskydning af grafen. Dette skyldes at middelværdien er defineret som fremtidværdien af det underliggende aktiv, dvs. E(S T )=e r(t t) S. Dette indses intuitivt let, da vi arbejder med en risikoneutral forventning, ligesom det er konsistent med GBB ens forventede værdi. Tiden til udløb, T t, kanderimodgodtgiveet andet udseende på tætheden, da hvis vi øger tiden til udløb, øger vi også usikkerheden omkring værdien på det underliggende aktiv. Dette kan også ses fra ligning (7). Spørgsmålet er dog nu, hvor godt holder Black-Scholes model i virkligheden - eller når vi ser på den implicitte tæthed fra optionspriserne, er det underliggende aktiv log-normalfordelt? 3.3 Volatilitetssmilet Som antydet ovenfor er det diskutabelt hvor godt Black-Scholes antagelserne holder i virkeligheden. Et godt udgangspunkt for at diskutere disse antagelser er den GBB, der beskriver udviklingen i det underliggende aktiv. I Black- Scholes model er der antaget konstant volatilitet uanset hvad. I praksis ses derimod ofte at at-the-money-optioner har den laveste volatilitet, hvorimod at optioner der enten er out-of-the-money eller in-the-money udviser højere volatiliteter. Dette kaldes også volatilitetssmilet. Alt afhængig af det underliggende aktiv, kan dette smil være mere eller mindre asymmetrisk. Et eksempel på et volatilitetssmil er givet i figur 5. En forklaring på dette udseende af volatiliteten er, at hvis kursen på det underliggende aktiv bevæger sig langt væk fra den nuværende spotkurs, vil 18

24 investorene forvente en periode med større volatilitet. Dette udmønter sig således også i priserne, der bliver højere hvis volatiliteten også øges. Dette kan således tolkes som en usikkerhedspræmie. At dømme efter volatilitetens udseende, jf. figur 5, bør en mere korrekt parametrisering af volatiliteten hvertfald indeholde den underliggende kurs, S, ligesom tiden til udløb ligeledes empirisk har vist sig at have en effekt på volatilitetsstrukturen, jf. fx Rubinstein (1994) og afsnit 9. Volatilitetsstrukturen måsåledes også formodes at have en ganske markant effekt på udseendet af den sande risikoneutrale tæthed. Den log-normale tæthed som er antydet af Black-Scholes model er derfor ikke korrekt! Vi vil derfor i den resterende del af opgaven beskæftige os med en række metoder til at udlede den sande risikoneutrale tæthed. Implicitvol. i pct EURIBOR rente Figur 5: Implicitte volatiliteter fra optionspriserne den 10. september Den implicitte rente var denne dag 3.9 pct. Kilde: Bloomberg og egne beregninger. 19

25 4 Metoder til at udlede den risikoneutrale tæthed Som vist i afsnit 3.3 holder Black-Scholes antagelse om log-normalfordelt risikoneutral tæthed ikke. Der er som følge af dette udsprunget en gruppe inden for finansieringslitteraturen, der beskæfiger sig med udledning af disse sande tætheder. En del af disse metoder er udviklet i akademisk sammenhæng, men også centralbanker har vist en stor interesse i udledning af disse tætheder. Dette skyldes naturligvis informationsmængden i disse implicitte tætheder. 4.1 Simple histogrammer Vi nævnte i afsnit 3.1 at Breeden & Litzenberger (1978) s resultat kan benyttes til at estimere simple histogrammer for tætheden. Et problem med denne metode er at en del af sandsynlighedsmassen som regel ikke fordeles, hvis der ikke er nok anvendelige optionspriser. Dette sker som følge af at de mulige strikepriser sætter en begrænsning for præcisionen. Inden for udledningen af histogrammer, har Neuhaus (1995) foreslået en alternativ metode. Denne tager udgangspunkt i fordelingsfunktionen. Dette gør således at Neuhaus er i stand til at udlede histogrammer hvor hele sandsynlighedsmassen fordeles. Man kan kritisere både Breeden & Litzenberger og Neuhaus metoder for kun at give en grov skitse af tætheden. Derfor er der også udviklet en række metoder, der ikke er begrænset at strikepriserne. En umiddelbart stor fordel er at den på ingenmåde pålægger nogle restriktioner på formen for den risikoneutrale tæthed, da der ikke er angivet nogen underliggende proces eller form på tætheden. 4.2 Interpolere call-funktionen En anden metode til at udlede den implicitte tæthed, hvor man stadig benytter Breeden & Litzenberger resultatet, går ud på at interpolere call- 20

26 funktionen. Gældende for disse metoder er at man ikke bør angive en specifik form over hele call-funktionen, men nærmere benytte en stykvis sammensat funktion, hvor man dertil føjer en række kontinuitetsantagelser og udglatningsegenskaber. Dette kunne fx være en spline. Dette bliver benyttet af Bates (1991) der fitter en kubisk spline, under bibetingelse af at funktionen skal være konveks. En anden løsning bliver benyttet af Aït-Sahalia & Lo (1998). De benytter ikke-parametrisk regressionsmetode - en såkaldt kernel-regressor. Metoden er ganske kompleks og vil ikke blive beskrevet yderligere, men dens stærke side er at man ikke pålægger call-funktionen nogen bestemt parametrisk form, og har derved ikke pålagt nogen specifik form på den implicitte tæthed. En svaghed både ved Bates og Aït-Sahalia & Lo s metoder er at de er beregningsmæssigt krævende. Derudover hvis markedet ikke er likvidt nok, har man kun et lille antal observerede priser, hvorfor den estimerede tætheds præcision også til dels kan diskuteres. 4.3 Angive underliggende proces En tredje metode til at udlede den risikoneutrale tæthed består i at angive en alternativ diffusionsproces for det underliggende aktiv. Som nævnt følger det underliggende aktiv i Black-Scholes model en GBB. Et eksempel på at benytte denne løsning, er Malz (1995). Malz angiver en proces med et jump. Dette jump er i Malzs model poisson-fordelt og Malz viser således at dette fører til en linearkombination mellem to log-normalfordelinger. Han udleder således parametrene for processen udfra de observedrede optionspriser, og herfra naturligvis tætheden. Fordelen ved denne metode er naturligvis at man samtidig med at man estimerer den gældende tæthed, estimerer man også et alternativt bud på den underliggende stokatiske proces. Ulemperne ved metoden er at man ved at specificere en specifik proces, lægger bånd på udseendet af både den risikoneutrale tæthed og den underliggende proces. Herved fanger man muligvis ikke alle egenskaber ved den implicitte tæthed. 21

27 4.4 Angive form på tæthed En fjerde metode involverer at angive en parametrisk form på den endelige tæthed. Som oftest er denne tæthed en linear-kombination af 2-3 lognormalfordelinger. Dette er fx beskrevet i Bahra (1997), der benytter en linear-kombination af to log-normalfordelinger. Bahra estimerer teoretiske priser ved at benytte at man kan prisfastsætte under risikoneutralitet og at man kender formen på den risikoneutrale tæthed. 10 Herfra estimerer Bahra parametrene i de to fordelinger ved at minimere residualkvadratsummen mellem de observede og teoretiske priser. Denne metodes største styrke er at linearkombinationen af log-normalfordelinger giver en ganske fleksibel tæthed, der giver mulighed for at fange en del egenskaber ved den sande tæthed. På den anden side er det stadig en uhensigtsmæssig begrænsning at der er en fast parametrisk tæthed. Bahra (1997) viser også at hvis de to tætheder, der indgår i linearkombinationen, er estimeret tilpas uheldigt udviser den estimerede tæthed spidser og knæk, der ikke er konsistente med økonomisk teori. 4.5 Implicitte binomialtræer En femte indgangsvinkel til udledningen af den implicitte tæthed er blevet fremsat af Rubinstein (1994). Rubinstein tager udgangpunkt i at minimere afstanden mellem et sæt risikoneutrale sandsynligheder og de sandsynligheder som et binomialtræ ville ende med. Denne minimering sker under bibetingelse af at de risikoneutrale sandsynligheder kan bruges til både at prisfastsætte de observerede optioner og det underliggende aktiv. 11 Herfra udleder Rubinstein et helt binomialtræ. Dette sker under bibetingelse af at træet er rekombinerende, samt at der ikke optræder arbitragemuligheder i nogen node i træet. 10 Da formen på tætheden er veldefineret, opnår Bahra et analytisk udtryk for både putog call-priser. Dette ligner en linearkombination af to Black-Scholes formler. 11 I praksis benytter Rubinstein ask- og bid-priser og benytter at en teoretisk optionspris skal ligge mellem disse to. 22

28 Fordelen ved Rubinsteins metode er man ikke pålægger tætheden nogen specifik form, ligesom metoden ikke er begrænset af antallet af observerede optionspriser. En potentiel ulempe ved denne metode at minimerer de risikoneutrale sandsynligheder i forhold til en fast parametrisk form, ligesom at man ikke har et entydigt afstandsmål. Rubinstein benytter i sin artikel et simpelt mindste kvadraters afstandsmål, men nævner ogsådetoulemper, derernævntovenfor. 4.6 Interpolere volatilitetssmilet En sjette måde at udlede den implicitte tæthed blev fremsat af Shimko (1993). Den består i at interpolere den implicitte volatilitet fremfor selv options-prisen. Herfra oversættes volatilitetsstrukturen til priser med Black- Scholes model. Vi vil i den resterende del af opgaven se nærmere på denne metode, samt en udvidelse af den. Det vil også være denne (udvidede) metode, der benyttes i den emperiske del af opgaven. 23

29 5 Shimko metoden Som nævnt i forrige afsnit vælger Shimko (1993) at tage udgangspunkt i volatilitetssmilet. Hovedargumentationen for at interpolere volatiliteten, fremfor optionsprisen, er at Shimko vurderer at volatiliteten generelt er glattere end selve pris-funktionen. Herved kan man under mindre omkostninger benytte en parametrisk funktion og stadig opnå en mere fleksibel form på tætheden. Vi har vist i afsnit 2.3 vist at vi stadig kan prisfastsætte som under risikoneutralitet, også selv om vi ikke har konstant volatilitet. Dette gør ligeledes at vi kan benytte volatilitetssmilet til at udlede de implicitte tætheder. Genrelt for denne metode gælder det at man tager følgende tilgang: 1. Udled de implicitte volatiliteter for alle observerede strikepriser (evt. skal enkelte observationer sorteres fra, da de i praksis ikke bliver handlet. Se evt. afsnit 8 for en nærmere diskussion). 2. Interpoler de implicitte volatiliteter, således at man har et kontinuert udtryk for σ(k). 3. Løs dette tilbage til optionspriser, vha. Black-Scholes model. Vi antager således ikke at Black-Scholes model holder, men benytter den blot til at oversætte et volatilitetssmil til optionspriser. Afhængig af metoden kan man få et analystisk udtryk for tætheden ved differentiere et lukket udtryk, eller hvis vi blot har en tæt række af priser, kan vi benytte histogrammetoden. Se afsnit 3.1 for begge metoder. Den komplicerede del af denne tilgang er uden tvivl at finde en interpolationsmetode. Kravet til valget af metode er, at den skal være tilpas fleksibel til at fange egenskaberne ved et empirisk oberserveret volatilitetssmil, samtidig med at metoden sikrer et glat smil Hvis metoden ikke sikrer et glat smil kan man meget vel opnå negative sandsynligheder. Dette skyldes at den første- og/eller den anden-afledte er er negativ, således at ligning (9) giver en negativ sandsynlighed. 24

30 I praksis vælger Shimko den simplest mulige funktion til at fitte volatilitetssmilet, dvs. han fitter et 2. gradspolynomium til de implicitte volatiliteter, således volatiliteten beskrives som en funktion af strikeprisen 13.Dvs.: σ(k) =α 0 + α 1 K + α 2 K 2 (8) Herefter udregner han den anden afledte af den passende variant af Black- Scholes model. Vi vælger at tage udgangspunkt i den såkaldte Black-76 model, der er en model for optioner på rente-futures (se fx Hull(2000, kap. 20)). Dette skyldes, at det er denne model vi vil benytte til den empiriske del af opgaven: hvor C(K, T) =e r(t t) [F Φ(d 1 ) KΦ(d 2 )] d 1 = log(f/k) σ T t σ T t, d 2 = d 1 σ T t hvor F er spot-futures-prisen og de øvrige parametre er som i afsnit 2.2. Ved at differentiere to gange mht. strikeprisen finder vi 14 : [ ( ) 2 C(K, T) = e r(t t) 1 φ(d K 2 2 ) σk T t + 2d1 σ σ K + (9) ( d1 d 2 K )( ) 2 T t σ ( + K ] ) 2 σ T t σ K K 2 Og ved at kombinere ligning (8) og (9) får vi (bortset fra en diskonteringsfaktor) tætheden, da vi har vist i afsnit 3.1 at vi kan udlede tætheden som den anden afledte af call-prisen (dog bortset fra en diskonteringsfaktor). Vi bemærker også atiovenstående ligning vil alle led i den firkantede parantes, undtagen det første, være lig 0 hvis Black-Scholes antagelserne holder. Dette skyldes naturligvis at volatiliteten blot er en konstant når modellen holder. 13 Shimko nævner selv at dette 2. grads polynomium også kan bruges til at teste om Black-Scholes antagelserne holder. Hvis alle parametre undtagen α 0 kantestesudholder Black-Scholes model (hvertfald hvad angår volatiliteten). Dette kan fx gøres med et simpelt F-test for modelreduktion. 14 Se appendix B for udledning af denne ligning. 25

31 Imidlertid støder denne metode på en stor begrænsning. Ved at benytte et 2. grads polynomium opnår man for optioner, der er langt fra at være at-themoney, urealistisk høje volatiliteter. Dette indser Shimko imidlertid selv, og vælger at kun at benytte det interpolerede smil imellem de strikepriser, hvor der bliver handlet optioner. Udenfor disse strikepriser påhæfter Shimko blot log-normale haler. Disse findes ved at finde den log-normalfordeling hvor både tæthed og fordelingsfunktion har samme værdi som den implicitte tæthed, for den givne strikepris. Selvom dette er måde at komme uden om metodens åbenlyse mangler, er den stadig ikke specielt god. Investorer vil ofte være interesseret i halesandsynlighederne. Dette kan fx være i forbindelse med afdækning af risici, hvordetvilværeganskebelejligtathaveetfornuftigtmål for halesandsynlighederne. 26

32 6 Modificeret Shimko Som følge af de noget arbitrære halesandsynligheder og den infleksibilitet man opnår ved benytte et 2. grads polynomium til at beskrive volatilitetsstrukturen, er der blevet foreslået flere modifikationer til Shimkos metode. For det første er der blevet foreslået flere parametriske former, til at beskrive volatilitetsstrukturen. Det oftest valgte er en kubisk-spline, dvs. fitte et antal 3. gradspolynomier til de givne punkter, under bibetingelse af kontinuitet i op til den anden afledte i overgangspunkterne mellem de enkelte polynomier. Evt. bliver man også nødt til at føje en udglatningsparameter på splinen, således at vi ikke opnår negative sandsynligheder, se evt. nedenfor omkring udledning af splinen. 1 Delta Strikepris Figur 6: Optionens delta plottet imod dens strikepris. De øvrige parametre er F = 100,σ =0.2 ogt t =0.25. For det andet det blevet foreslået at fitte volatilitetsstrukturen imod optionens delta fremfor strikeprisen. Argumentationen for denne tilgang er, at den tilbyder en større fleksibilitet for optioner der er tæt på atværeat-the- 27

33 money, da disse placeres med større afstand i et delta-rum. Derudover bliver optioner, der er deep-in-the-money eller far-out-of-the-money placeret meget tæt enten ved = 0 eller = 1. Dette ses også fra figur 6, hvor en options delta er plottet mod dens strikepris 15. Herved får vi også et mere realistisk bud på volatiliteten i halerne. Fx hvis optionen har meget lille sandsynlighed for at ende in-the-money vil det næppe betyde mere end en marginal forøgelse af volatiliteten, at vælge en anden strikepris, der gør at denne option er mere out-of-the-money. Dette fanger vi ved at interpolere i forhold til optionens delta fremfor dens strikepris. Dette skyldes naturligvis at begge optioner vil have en delta-værdi der er tæt på 0 eller 1, jf. figur 6. Vi vil i det følgende afsnit beskrive den estimationsmetode som vi ønsker at benytte i opgaven. Denne drager på ovenstående modifikationer. 6.1 Estimation af volatilitetsstrukturen Som nævnt ønsker vi at estimere volatilitetsstrukturen ved hjælp af ovenstående metoder. Vi vælger derfor jf. ovenstående diskussion at modellere volatiliteten i forhold til optionens delta. Vi ønsker også en parametrisk form, vi kan beskrive volatiliteten med. Vi vil ikke her benytte en kubisk spline. Vi vil i stedet af benytte en spline af 2 fjerdegradspolynomier. Knudepunktet mellem de to polynomier vælges hvor delta er lig 0.5. Dette følger Andersen & Wagener (2002). Argumentationen for dette valg af knudepunkt er, at det er for = 0.5 at optionen er at-themoney, dvs.deterogså her at optionen som regel har den laveste volatilitet. De to polynomier kan således uafhængigt af hinanden fitte de to sider i volatilitetssmilet. Dette vil således fitte smilet både når det er symmetrisk eller asymmetrisk Da delta kan tolkes som en bijektiv afbildning af strike prisen, vil vi efter at have fittet volatiliteten mod delta et, numererisk kunne finde den strikepris, der svarer til en specifik delta-værdi. Herved holder ligning (9) også for denne interpolation. Delta i den normale Black-Scholes model kan udregnes til = Φ(d 1 ). I Black-76 bliver = e r(t t) Φ(d 1 ). 16 Andersen & Wagener prøver med flere knudepunkter, men finder at et enkelt knude- 28

34 Argumentationen for at bruge en spline af fjerdegradspolynomier er som følger: Optimalt ønsker vi en tæthed, der er helt glat, da knæk i tætheden umiddelbart ikke kan forklares med økonomisk teori. Hvis vi således ser på ligning (9) (der beskriver den anden afledete af call-prisen, og herved tætheden) ser vi, at for at vi kan få en kontinuert tæthed, skal den anden-afledte af volatiliteten med hensyn til strikeprisen, 2 σ, være kontinuert. K 2 Den ofte anvendte kubiske spline opfylder ikke dette kriterie. Som nævnt ovenfor er en kubisk spline kontinuert i op til den anden afledte. Dette betyder således også at 2 σ ikke er kontinuert, da der vil forekomme hop i K 2 knudepunkterne. Hvis vi i stedet i vores spline af fjerdegradspolynomier kræver kontinuitet i op til den tredje afledte, opfylder vi at 2 σ er kontinuert, og får at vi kan K 2 beskrive volatiliteten ved følgende parametriske form 17 : σ( ) = α 0 + α 1 +α α α θ( 0.5) 4 + (10) hvor (x) + =max{0,x}. Umiddelbart skulle man tro at det nu bare ville være at estimere parametrene i ovenstående spline. Dette er imidlertid ikke korrekt. Hvis man estimerer direkte får man et pænt fit til de observerede implicitte volatiliteter, men dette resulterer oftest i en bølget funktionsform. Dette skyldes for det første at fjerdegradspolynomiet er meget fleksibelt, hvilket naturligvis både har positive og negative effekter. Derudover opfylder de finansielle markeder ikke altid de stilliserede antagelser i fx Black-Scholes model 18. Dette kan gøre at det reelt ser ud som om at der eksisterer arbitragemuligheder i markedet. Hvis den bølge-effekt som splinen udviser er tilpas uheldig, kan det ydermere resultere i negative sandsynligheder når tætheden udregnes. punkt er tilstrækkeligt til at fitte volatilitetssmilet tilfredsstillende. Vi har også vurderet at fittet er tilfredsstillende med et knudepunkt for de i opgaven anvendte data. Dog ser det ud som om at i data for 2005 (der ikke er benyttet i opgaven) at 3 eller 4 knudepunkter bør benyttes. 17 En beskrivelse af denne spline kan findes i bilag C. 18 Dette kan fx være at transaktionsomkostninger, skatter, minimumsstørrelser etc. 29

35 Vi er altså nærmere intesseret i en mere eller mindre udglattet volatilitetsstruktur. Dette giver således også positive sandsynligheder og pæne tætheder. Metoden som man i praksis benytter, når man skal estimere en udglattet funktion, er en OLS estimation, hvor man derudover også har en bibetingelse på krumningen af kurven. Dette er i praksis den anden afledte af den estimerede funktion, dvs. splinen 19. Vi har altså følgende minimeringsproblem: n 1 min (σ i ˆσ( i β)) 2 + λ ˆσ (x β) 2 dx (11) β i hvor β er en vektor med parametrene, σ i er den observerede volatilitet til det givne delta, i og ˆσ( i β) ersåledes den estimerede volatilitet til det givne delta. Parametren λ kræver i denne sammenhæng en introduktion. λ er meget lig en Lagrange-multiplikator, og beskriver altså denvægtsom udglatningen bør have (skyggeprisen i Lagrange-verdenen). Altså johøjere λ, des glattere bliver kurven. For λ bliver kurven lineær. Hvad angår det specifikke valg af λ, findes der ikke entydigt en metode. Der er metoder der kan estimere λ, men i sidste ende hviler valget på æstetik. Vi har efter lidt eksperimentering valgt λ =0.001 Vi har i appendix C.3 vist effekten af for lavt, korrekt og for højt valg af λ på volatilitetssmil og tæthed. Når vi således har estimeret splinen, udregnes volatiliteten for en lang række delta er. Vi har udregnet for 2500 ækvidistanste delta er. Herefter findes de enkelte delta ers tilhørende strikepris. Imidlertid er disse punkter ikke ækvidistante. Vi har herefter fundet ækvidistante strikepriser, således at vi har en observation pr. basispoint. Dette har vi gjort vha. simpel lineær interpolation. Vi har vurderet at lineær interpolation til dette formål er acceptabel, det store antal udregnede punkter taget i betragtning. For et færre antal punkter vil call-funktionen bære præg af lineær interpolation, og bliver således hakket 20. Herefter benytter vi histogram-løsningen fra afsnit 3.1, og får herved tætheden. 19 Andersen & Wagener (2002) benytter et mere kompliceret mål for krumningen, men vi har valgt blot at benytte den anden afledte, da det er et mere intuitivt simpelt mål for kurvens krumning. 20 Tætheden vil blive mest hakket i halerne, givet delta s udseende ifht. strikeprisen. Vi 0 30

36 7 Sammenligning af de to Shimko-varianter og Black-Scholes Det næste naturlige trin vil naturligvis være at sammenligne de to Shimko metoder overfor hinanden, men måske mere interessant - hvordan de ser ud i forhold til Black-Scholes log-normale tæthed. Pct.SSH pr.basispoint 1.5 Modificeret Shimko Ordinær Shimko Black Scholes EURIBOR rente Figur 7: Sammenligning af de to Shimko metoder, samt tætheden som Black- Scholes model ville producere. Data er fra den 10. september Kilde: Bloomberg og egne beregninger. Vi har for en udvalgt dag (10. september ), estimeret tætheden med begge Shimko-varianter, vha. ovenstående metoder. Vi har herefter funser har dog i vores tætheder, en vis zig-zag effekt ved halerne. Dette skyldes formentlig ikke lineær interpolation, men nærmere manglende præcision, når strikepriser estimeres fra delta er. Vi har forsøgt at estimere tæthederne således at de ikke har denne zig-zag effekt. Dette resulterede ca. i en ti-dobling af udregningstiden, hvorfor implementering af denne metode blev droppet. 21 Data til denne sammenligning er den samme som vi har benyttet til den empiriske del, se evt. afsnit 8 for en beskrivelse. 31

37 det den log-normalfordeling, der har samme middelværdi og varians som den tæthed, som den ordinære Shimko (herfra OS) metode producerer 22.Imidlertid er disse to tætheder ikke direkte sammenlignlig med den modificerede Shimko (herfra MS), der består af en række observationer pr. basispoint, h- vorimod den log-normale og OS-tætheden er kontinuert. Vi løser dette ved at integrere over disse to tætheder så vi har en observation pr. basispoint. Selve dagen, d. 10. september 2001, må (på trods af begivenhederne den efterfølgende dag) regnes for en ganske normal dag på markederne - da der ikke forekom nogle hændelser af særlig signifikans. Herved må vi også kunne sammenligne metoderne, som de ville fungere under normale omstændigheder. Vi ser at MS-tætheden har betydelig mere sandsynlighedsmasse placeret omkring den nuværende futuresrente (F = 3.9), end de to andre tætheder. Ydermere ser det ud til at MS-tætheden har en tykkere hale omkring de lave renter. Hvis vi ydermere ser på skævhed og kurtosis for MS-tætheden er disse således også større end både OS- og Black-Scholes-tætheden. Tolkningen af den større grad af skævhed, er naturligvis at MS-tætheden har mere af sandsynlighedsmassen placeret mod lavere renter end den nuværende futuresrente (middelværdien af tætheden). Kurtosis beskriver tykheden af halerne, dvs. et mål for hvor ofte ekstreme hændelser forekommer. Imidlertid er OStæthedens haler som nævnt log-normale. Så at sammenligne kurtosis ud på sidste decimal har hvertfald ingen mening. Dog må man mene at forskellen mellem kurtosis for MS- og OS-tætheden er tilpas stor til at konkludere at MS-metoden, der har et estimat på halesandsynlighederne, placerer relativ mere vægt på halerne end OS-metoden. OS-tætheden og den log-normale tæthed ligner mere hinanden end MStætheden. Som ved MS-tætheden, lægger OS-tætheden mere vægt på hændelser omkring den nuværende futures-rente, end den log-normale tæthed. 22 Det ville formentlig ikke betyde noget om vi sammenlignede med den modificerde Shimko metode, da vi jf. tabel 1 ser at standard afvigelserne er relativt tæt på hinanden og middelværdierne er ens. 32

38 Model Black-Scholes Ord. Shimko Mod. Shimko Middelværdi Modus Std.Afvg Skævhed Kurtosis Tabel 1: Statistiske mål for de to Shimko metoder, samt Black-Scholes. Se evt. appendix D for en beskrivelse af disse mål. Kilde: Bloomberg og egne beregninger. Ydermere ses ogsåatbåde MS- og OS-tætheden, placerer modus højere end middelværdien. OS-tætheden har ligeledes en betydelig højere kurtosis end den log-normale tæthed, ligesom at skævheden i fordelingen er markant mere udtalt end i den log-normale tæthed, men overgås dog stadig af MS-tætheden. At OS-tætheden overgås af MS-tætheden i skævhed, må til tilskrives at vi i MS-metoden simpelthen fitter med en mere fleksibel funktionsform, hvor at OS-metodens 2. grads-polynomium sætter en begrænsning for asymmetrien i volatilitetssmilet. Alt i alt må vi konkludere at log-normal-fordelingen antydet af Black- Scholes antagelserne fejler på to vigtige punkter. Den er ikke i stand til at fange den relativt store skævhed som den implicitte tæthed har. Ydermere fanger den log-normale tæthed ikke den kurtosis, der er til stede i den implicette tæthed. Dette gælder uanset om man sammenligner med OS- eller MS-metoden. Hvad angår valget mellem OS- og MS-metoden, må MS-metoden være vores foretrukne. Både det faktum, at splinen tilbyder en større fleksibilitet hvad angår formen på volatilitetssmilet og det faktum, at vi får reelt bud på halesandsynlighederne, bør gøre at denne variant klart bør foretrækkes. 33

39 Del II Empiriske anvendelser 34

40 8 Data Data til den empiriske del af denne opgave stammer fra optioner på 3måneders Euribor futuren og er til formålet trukket fra Bloomberg. Disse optioner er handlet på London International Financial Futures Exchange (LIFFE), og de implicitte tætheder beskriver således foventningen til den 3 måneder Euribor-rente til optionens udløb. Optionerne er kvoteret som 100 fratrukket renten, hvorfor det ikke er renten, men futuresprisen, der kan tolkes som log-normalfordelt. Da optionen er kvoteret som 100 fratrukket renten, producerer Black-Scholes formel mere realistiske resultater, fremfor hvis det blot var renten, der var kvoteret. Dette skyldes det højere pris-niveau, hvilket også er medvirkende til at de observerde implicitte volatiliteter er mindre, end hvis de var udregnet for renten. Vi ser også fra tabel 1, at den estimerede Black-Scholes tæthed har en skævhed og kurtosis der meget lig den fra en normalfordeling, hvilket fanges bedre ved futurens kvotering fremfor kvotering af renten. Dette gør imidlertid også at vi estimerer både implicitte volatiliteter og tætheden for futuresprisen, og herefter omregnes futuresprisen til renter. Dette gør således at tætheden for renten er spejlvendt i forhold til tætheden for futuresprisen. Det bør ydermere bemærkes at en call-option på futuren, kan tolkes som en put-option pårenten: max {S T K, 0} =max{(100 r) (100 r K ), 0} =max{r K r, 0} hvor r K er strike-renten og r er renten til udløb. Generelt kan man sige om den 3 måneders Euribor-rente, at den følger ECB s pengepolitike rente tæt. Dvs. når vi ser på 3måneders Euribor kontrakten, ser vi således også implicit på markedets forventninger til ECB s fremtidige pengepolitik. Udledningen af implicitte tætheder vil i denne sammenhæng således indeholde en stor del information for centralbanker. Optionerne kan fås med udløb den 3. onsdag i kvartalsmånederne, dvs. udløb i marts, juni, september og december. Optionerne er imidlertid amerikanske, men da de er marked-to-market og 35

41 på en rente-future, kan disse jf. Chen & Scott (1993) de facto behandles som europæiske optioner. Ydermere gør den daglige afregning, at man i praksis kan se bort fra tilbagediskonteringen. Generelt for denne (og de fleste optionskontrakter) gælder det, at der bliver handlet flest optioner med strikepriser, der er tæt på atværeat-the- money. Dette medfører således også, at optionerne, der er out-of-the-money eller in-the-money er handlet sjældnere, hvorfor priserne er mere tvivlsomme. For optioner der er far-out-of-the-money eller deep-in-the-money optræder der oftest kun indre værdier. Dette gør således også at man bliver nødt til at sortere nogle af de observerede optionspriser fra. Vi har her valgt at sortere optioner fra på baggrund af deres delta-værdi, således at kun optioner med delta, der opfylder at < < danner grundlag for de estimerede volatilitetsstrukturer. Dette følger fx Mandler (2002). Derudover bør de estimerede volatiliteter kontrolleres, således at outliers kan sorteres fra, og herved ikke får effekt på smilet, som igen får effekt på den estimerede tæthed. 36

42 9 Sammenligning omkring specifikke datoer Vi vil i de følgende afsnit se nærmere på enkelte hændelsers indflydelse på forventningerne til det korte renteniveau. Dette gør vi både omkring en ændringer i den pengepolitiske rente. Denne hændelse bør mere eller mindre være forudsigelig, hvorfor ændringen ikke bør være markant. Dog ved markedet ikke med sikkerhed hvor stor denne renteændring vil være (fx 25 eller 50 basispoint). Vi vælger derfor at se på et tilfælde hvor markederne i høj grad blev overrasket, nemlig omkring terror-angrebene 11. september Til at sammenligne tæthederne benytter vi både en grafisk fremstilling og statistiske mål. De sidstnævnte vedrører naturligvis middelværdi og standardafvigelse, men også højeremål som skævhed og kurtosis, der beskriver asymmetrien i tætheden henholdsvis hvor tykke haler som tætheden har. En beskrivelse af disse mål, er givet i appendix D. Vi bør derudover også være opmærksom på, at de udledte tætheder ikke vil være direkte sammenlignelige, hvis vi ikke foretager en tidskorrektion. Dette skyldes naturligvis, at tiden til udløb ikke er ens hvis vi sammenligner to dage. Vi klarer dette ved, at når vi estimerer optionsprisen, sætter vi restløbetiden, T t, ens for begge dage. Dette kan vi gøre da de estimerede volatiliteter er årlige. Vi sætter derfor restløbetiden som et gennemsnit af de to restløbetider. Det kan diskuteres hvor god denne løsning er. Vi kan nemlig se i figur 8 at tiden til udløb, har en vis effekt på denårlige volatilitet. Der er en tendens til at jo længere der er til udløb, jo højere volatilitet er der. Herved vil den anvendte tidskorrektion næppe holde, hvis restløbetiden sættes langt fra den de observerede optioner har. Dette er således også ettegnpåat Black-Scholes model undervuderer effekten af tid på usikkerheden omkring det underliggende aktiv. Figur 8 er de til volatiliteterne tilhørende tætheder, estimeret med en restløbetid på 3mdr.(T t =0.25). Vi ser at middelvædien ikke er ens for tæthederne - dette skyldes at tæthederne er estimeret med futuresprisen til den enkelte udløbsmåned. Hvis vi havde haft en ens forventning til renten, 37

43 Imp. vol December September Juni Marts Delta Pct. SSH pr. basispoint Marts 1 Juni 0.5 September December EURIBOR rente Figur 8: Estimerede volatiliteter og tætheder d. 2. januar De øverste kurver angiver volatiliteten til den givne udløbsmåned og de tilsvarende tætheder er nederst. Kilde: Bloomberg og egne beregninger. 38

44 havde vi også haft ens middelværdi for alle tætheder. Dvs. som det ses her er der forskellig forventning til renten til de enkelte udløbstidspunkter. Vi burde måske nærmere have anvendt prisen på en future med 3 måneders restløbetid, da dette ville være relevant ifht. den valgte restløbetid, men denne er imidlertid ikke observerbar. Vi har dog stadig vist volatilitetssmilets effekt på formen af tætheden. Vi må herved også konkludere, at den anvendte metode til tidskorrektion, formentlig ikke ville kunne bruges til at prisfastsætte optioner, hvis restløbetid er et stykke fra de observerede optioner. En interessant udvidelse ville således være at se på andre muligheder for tidskorrektion og en vurdering af disse i sammenhæng med prisfastsættelse og hedging af optioner. Dette ligger dog uden for formålet for denne opgave. Det bør nævnes at Andersen & Wagener (2002) vælger at interpolere mellem to volatilitetssmil, for at få etestimatpå volatiliteten for optioner, der ikke er observeret i markedet eller der ikke er likvide nok til at de observerede priser virker plausible. Denne metode udelukker dog at man kan prisfastsætte optioner, der har mindre restløbetid end optionen med kortest tid til udløb september 2001 Dato 10. sep sep Ændring Middelværdi Modus Std.Afvg Skævhed Kurtosis Tabel 2: Momenter for de risikoneutrale tætheder omkring 11. september Kilde: Bloomberg og egne beregninger. Som nævnt ønsker vi at se effekten af en uventet begivenhed påmarkedets forventninger. Dette gør vi ved at se på forventningerne omkring terroran- 39

45 grebene 11. september 2001, dvs. vi sammenligner tætheder for d. 10. og 12. september. De anvendte optioner havde udløb d. 18 december samme år. Vi ser, jf. figur 9 at før terrorangrebne har markedet relativt ens forventninger, med en tendens til lavere renter. Dette bliver bekræftet af tabel 2, hvor det ses at tætheden har en negativ skævhed. Efter terrorangrebene ser vi at middelværdiforventningen (den lodrette linie ved tæthederne i figur 9) omkring renten falder ganske markant, nemlig med hele 17 basispoint. Dette skyldes naturligvis at markedet ikke har haft mulighed for at indarbejde de forventninger som terrorangrebet medførte. Vi ser også, at usikkerheden omkring det fremtidige renteniveau bliver større. Dette ses ved, at standardafvigelsen stiger. Pct.SSH pr.basispoint sep sep EURIBOR rente Figur 9: Risikoneutrale tætheder omkring 11. september Kilde: Bloomberg og egne beregninger. Assymmetrien i tæthederne er derimod næsten uændret, dvs. markedet forventer stadig lavere renter, fremfor højere renter til optionens udløb. Derimod er kurtosis faldet, således at halerne d. 12. september ligger mere i størrelsesordenen som den en normalfordeling ville have, da den næsten er 40

46 lig 3. Men set i sammenhæng med den forøgede standardafvigelse, må usikkerheden som helhed være forøget. Alt i alt har terrorangrebene 11. september, som forventet, haft ganske markante effekter på markedets forventninger og herved også på priserne på de handlede optioner. Det må herved også menes at de værdien af de enkelte investores porteføljer, må have været udsat for større værdireguleringer. 9.2 Renteændringer i juni 2003 Pct.SSH pr.basispoint jun jun EURIBOR rente Figur 10: Risikoneutrale tætheder omkring renteændringen d. 6. juni Kilde: Bloomberg og egne beregninger. Vi vil i dette afsnit se på effekten af renteændringer på de risikoneutrale tætheder. En renteændring vil i langt de fleste tilfælde være forudset af markedet, hvor at vi ikke kan forvente at se den store ændring i middelværdier. Hvis vi skal kunne forvente at se en ændring vil de således nærmere være i de øvrige momenter. Vi vælger her at se på renteforventningen omkring ECB s sidste rente- 41

47 nedsættelse. Denne kom d. 6. juni 2003, men blev offentliggjort d. 5. juni Vi sammenligner derfor tæthederne for d. 4. og 6. juni. Begge disse optionskontrakter har udløb d. 17. december samme år. Vi ser at før offentliggørelsen af renteændringen tætheden ganske pæn, og næsten symmetrisk. Dette ses også da skævheden kun er Halerne er en smule tykkere end for en normalfordeling, hvilket også ses af kurtosis, men alt i alt er tætheden d. 4. juni. tæt på at være normalfordelt. Dvs. markedet havde før renteændringen en formodning om at renten ville være approksimativt normalfordelt omkring ved udløb. Dato 4. jun jun Ændring Middelværdi Modus Std.Afvg Skævhed Kurtosis Tabel 3: Momenter for de risikoneutrale tætheder omkring renteændringen d. 6. juni Kilde: Bloomberg og egne beregninger. Efter annonceringen af renteændring ses der et mindre fald i middelværdien for tætheden, dog kun på 7.5 basispoint. Dette er således ikke et udtryk for at markedet blev overrasket af rentenedsættelsen (der var på 50basis- point), men måske nærmere at udtalelserne fra ECB var mere negative end forventet. Dette antydes også af at skævheden også erfaldet,numeden vægt mod lavere renter. En anden forklaring er at nedsættelsen var på 50 basispoint, og at markedet ikke havde indregnet hele nedsættelsen. Tætheden for d. 6. juni er derudover også mere irregulær, hvilket ses af figur 10, men også på det faktum, at der nu er en betydelig større forskel på middelværdi og modus for tætheden. Alt i alt må vi sige at markedet ikke blev overrasket af rentenedsættelsen, men fik måske nærmere nogle andre signaler fra ECB end umiddelbart ventet, hvilke gjorde at middelværdien faldt en smule og der blev en større assymetri 42

48 i tætheden mod lavere renter. 43

49 10 Konklusion Vi har igennnem opgaven vist flere sammenhænge mellem optionspriser og deres tilhørende risikoneutrale tætheder. Til at begynde med viste vi, at hvis man benytter risikoneutrale forventninger til at prisfastsætte optioner med, er dette ækvialent med arbitrage-fri priser. Dette blev vist både i et diskret, såvel som et kontinuert setup. Dette gav således inspiration til at finde en mere konkret sammenhæng mellem de risikoneutrale tætheder og optionsprisen. Vifandt, atdervarenkonkretsammenhæng mellem en portefølje, der i praksis var en prisfastsættelse af butter-fly-spreads, og de risikoneutrale tætheder. Dette skyldtes naturligvis, at et butter-fly-spread placerer en præcis forventning omkring det underliggende aktiv. Vi viste også, at såfremt man har en lukket-form løsning til en optionsformel, kan den risikoneutrale tæthed findes ved at differentiere call-prisen to gange mht. strikeprisen. Vi viste derefter den risikoneutrale tæthed som følge af Black-Scholes antagelserne, ligesom vi viste, at antagelserne ikke holdt i praksis. Vi observerede nemlig volatilitetssmil i markedet. Herefter beskrev vi og diskuterede en række metoder til at udlede de risikoneutrale tætheder. Vi konkludrede ikke noget endeligt omkring de enkelte metoders kvalitet, da dette ville kræve betydelig mere plads end et bachelorprojekt har til rådighed. Vi valgte at se nærmere på en bestemt metode, Shimko (1993) metoden, der er baseret på interpolation af volatilitetssmilet. Vi beskrev hvorledes tæthederne estimeres vha. metoden, ligesom vi diskuterede estimationsmetoderne i modellen. Vi fandt det kritisabelt, at der ikke eksisterede et estimat for tæthedens haler, ligesom at funktionen der fitter volatilitetssmilet var ganske infleksibel. Dernæst så vipåmåder til at modificere metoden på. Vi så både på metoder, der gav et estimat på tæthedenshaler, ligesom vi valgte en betydelig mere fleksibel form for funktion, der fitter volatilitetssmilet. Vi gennemførte herefter en kort sammenligning af de to Shimko meto- 44

50 der og Black-Scholes. Vi fandt at Black-Scholes model undervuderede både skævhed og kurtosis i tæthederne. Herefter lavede vi en kort empirisk anvendelse af metoden. Vi valgte at se på optioner på den3måneder Euribor future. Vi valgte at se på tospecifikke hændelser, nemlig omkring terrorangrebene 11. september 2001 og omkring ECB s sidste renteændring. Omkring 11. september så vi en ganske markant ændring i tætheder, som følge af det i høj grad uventede angreb. Omkring renteændringen var effekten noget mere moderat. Vi konkluderede omkring her, at det mere var skævheden i tætheden der blev påvirket, formegentlig som følge at udtalelser fra ECB. For at kunne lave denne sammenligning introducerede vi en noget simpel tidskorrektion. Vi konkluderede, at tidskorrektionen var for simpel til at kunne prisfastsætte optioner, hvis restløbetid adskilte sig mere end nogle dage fra de anvendte optioner. Dette indså vivedatse, atdervaren ganske markant tidseffekt i de implicitte (årlige) volatiliteter. Herved måtte vi også konkludere at Black-Scholes model undervurderer effekten af tid på markedets usikkerhed. Alt i alt har vi udledt en særdeles vigtig sammenhæng mellem optioner og forventninger. Vi mangler bare en ordenlig metode til at gøre disse risikoneutrale tætheder anvendelige i andet end informationssammenhæng. En udvidelse af opgaven ville umiddelbart kunne indeholde to emner: 1) sammenligninger af de enkelte metoder til at udlede den risikoneutrale tætheder med og 2) sammenligninger af flere metoder for tidskorrektion. Specielt for 2) ville det være interessant, at se hvor godt de implicitte tætheder ville være istandtilathedgeiforholdtilnormaltanvendtemetoder. 45

51 Appendix 46

52 A Beskrivelse af volatiliteten i et binomialtræ Vi vil i dette appendix beskrive, hvordan volatiliten ser ud i et binomialtræ. Vi viser det først for ens up- og down-faktorer i alle perioder. Dernæst viser vi hvordan volatiliteten ser ud, når up- og down-faktorer ikke er ens i alle perioder. Vi vil udelukkende vise dette vha. numeriske eksempler. Jf. Rubinstein (1994) kan vi beskrive den lokale volatilitet i enhver node i træet som: σ = p(log u µ) 2 +(1 p)(log d µ) 2 hvor µ = p log u +(1 p)logd, p er den risikoneutrale sandsynlighed til noden og u og d er de tilhørende upog down-faktorer. A.1 Ens up- og down-faktorer Antag nu at u =1.1 ogd =0.9. Vi sætter den risikofri rente til 2 pct., r = Sandsynligheden for en up-bevægelse i enhver node i træet er givet ved: p = ert d u d = e = Volatiliteten i et 3-perioders træ, må kunne beskrives med følgende træ:

53 At volatiliteten i den sidste node er 0, skyldes naturligvis at når vi er disse slut-noder vil der ikke være usikkerhed omkring optionens værdi. Vi ser også at de lokale volatiliteter er konstant over hele træet, hvilket er ækvialent med Black-Scholes model 23. A.2 Forskellige up- og down-faktorer Vi vil nu vise hvordan volatiliteten ser ud i et træ hvor up- og down-faktorer ikke er ens i perioderne. Vi definerer up- og down-faktorer som i nedenstående træ. Vi bemærker at vi har valgt faktorerne således at træet er rekombinerende. Dette er ikke et krav, men blot et spørgsmål om belejlighed. De øvrige faktorer er uændret i forhold til forrige afsnit NA NA NA Sandsynlighederne for en up-bevægelse finder vi vha. ligning (1). Dette bliver i vores træ: NA NA NA 23 Volatiliterne i Black-Scholes model er globale volatiliteter, men at gøre volatiliteterne globale vil ikke ændre på intuitionen bag resultatet. 48

54 De lokale volatiliteter bliver således: Vi har hermed vist at forskellige up- og down-faktor leder til at volatiliteten ikke er ens over hele træet. Dette skyldes naturligvis at de risikoneutrale sandsynligheder ikke er ens over træet. Vi viste i afsnit 2.3, at selv om der er forskellige up- og down-faktorer, så ville risikoneutral valuation stadig producere arbitragefri priser. Dette kan således uden videre overføres til at risikoneutral valuation også holder under forskellig volatilitet. 49

55 B Afledte af Black-Scholes formel Vi udleder i dette appendix de afledte af Black-Scholes formel for call-optioner på en rente-future. Vi erindrer at Black-Scholes formel er 24 : hvor C(K, t) =e rt (F Φ(d 1 ) KΦ(d 2 )) d 1 = log(f/k)+1/2σ2 T σ T, d 2 = d 1 σ T Vi antager ydermere at σ er en funktion af K og er en C 2 -funktion. Undervejs bliver det behjælpeligt at vide at: Fφ(d 1 )=Kφ(d 2 ) (12) hvor φ( ) er tætheden for en standard normalfordeling. Vi viser (12) ved: Kφ(d 2 ) = Kφ(d 1 σ T ) = K 1 exp [ 12 (d 1 σ ] T ) 2 2π = K 1 [ exp 1 2π 2 (d2 1 + σ2 T 2d 1 σ ] T ) = K 1 [ exp 1 ] [ 2π 2 d2 1 exp 1 2 (σ2 T 2d 1 σ ] T ) [ = Kφ(d 1 )exp d 1 σ ] T 1/2σ 2 T (13) Vi udnytter nu definitionen på d 1 : d 1 = log(f/k)+1/2σ2 T σ T log(f/k) = d 1 σ T 1/2σ 2 T F [ K = exp d 1 σ ] T 1/2σ 2 T (14) 24 I dette afsnit er T t erstattet med T. Dette er et udelukkende et spørgsmål om notationsmæssig belejlighed. 50

56 Når vi kombinerer (13) og (14) får vi: Kφ(d 2 ) = Kφ(d 1 ) F K = Fφ(d 1 ) Herved har vi vist (12). Vi skal ydermere bruge den afledte af d 2 : d 2 K = 1 Kσ T = 1 Kσ T d 1 σ σ K [ log(f/k + 1 ] σ T tσ 2 T t 2 K Vi finder nu den første afledte af call-prisen: [ C K = e rt Fφ(d 1 ) d 1 K Φ(d 2) Kφ(d 2 ) d ] 2 K [ = e rt Fφ(d 1 ) d 1 K Kφ(d 2) d ] 2 e rt Φ(d 2 ) K [ = e rt Fφ(d 1 ) d ( 1 K Kφ(d d1 2) K σ )] T K [ ] = e rt d1 K (Fφ(d 1) Kφ(d 2 )) + [ e rt Kφ(d 2 ) σ ] T Φ(d2 ) K [ = e rt Kφ(d 2 ) σ K ] T Φ(d2 ) Den anden afledte af call-prisen bliver altså: e rt Φ(d 2 ) (15) 2 C = e rt K 2 [ ( T K d ( )) 2 σ σ K K φ (d 2 )+φ(d 2 ) K + K 2 σ φ(d K 2 2 ) d ] 2 K = e [ rt ( ) ) ] T = e rt φ(d 2 ) ( σ φ(d 2 ) K + K 2 σ K d 2 K 2 K [ ( T σ K + K 2 σ K K d 2 2 K 51 σ K φ(d 2)d 2 ) σ K d 2 d 2 K φ(d 2 ) d 2 K ]

57 Og ved at benytte ligning (15) og reducere får vi: [ ( 2 C = e rt) 1 φ(d K 2 2 ) σk T + 2d1 σ ( d 1 d 2 K ) ( T σ σ K Hvilket lige netop er ligning (9). ) σ K + ) 2 + ( K T ] ) 2 σ K 2 52

58 C Udledning af splines C.1 Regressions-spline Vi ønsker at beskrive volatilitetssmilet med en spline. For at opnå en glattere tæthed, ønsker vi at splinen er kontinuert i op til den tredje afledte. Denne tilgang er inspireret af Andersen & Wagener (2002), samt Loader (2004). Antag et enkelt knude-punkt, d, herved kan vi beskrive splinen ud fra to polynomier, p(x): p(x) = { A(x) = α0 + α 1 x + α 2 x 2 + α 3 x 3 + α 4 x 4 for x d B(x) = β 0 + β 1 x + β 2 x 2 + β 3 x 3 + β 4 x 4 for x>d Da vi har krav til kontinuitet i knude-punktet (inkl. afledte) må vi få: A(d) =B(d) α 0 = β 0 A (d) =B (d) α 1 = β 1 A (d) =B (d) α 2 = β 2 A (d) =B (d) α 3 = β 3 Dvs. p(x) kan simplificeres til: p(x) = { A(x) = α0 + α 1 x + α 2 x 2 + α 3 x 3 + α 4 x 4 for x d B(x) = α 0 + α 1 x + α 2 x 2 + α 3 x 3 + β 4 x 4 for x>d Lad nu θ = β 4 α 4,dvs.vikanformulereovenstående ligning til én: p(x) =α 0 + α 1 x + α 2 x 2 + α 3 x 3 + α 4 x 4 + θ(x) 4 + (16) hvor (x) + =max{0,x d}. Antag nu at vi har en række observationer (x i,y i ), hvor i =1, 2,...,n. Vi antager: y i N(µ i,σ 2 ) µ i = p(x i ) 53

59 Til dette må vi jo have følgende design-matrix (vi antager at x i i =1,...,m og x i >dfor i = m +1,...,n): 1 x 1 x 2 1 x 3 1 x X = 1 x m x 2 m x 3 m x 4 m 0 1 x m+1 x 2 m+1 x 3 m+1 x 4 m+1 (x m+1 d) x n x 2 n x 3 n x 4 n (x n d) 4 d for Lad nu β være en vektor med parametre: β T =(α 0,α 1,α 2,α 3,α 4,θ) Vi ved at under normalfordelingsantagelsen må maksimum-likelihood estimaterne være givet ved: ˆβ =(X T X) 1 X T Y hvor Y en vektor med alle observationerne. C.2 Udglattet spline Vi udleder i dette afsnit en udglattet udgave af regressionssplinen. Dette gøres ved at pålægge en bibetingelse på krumningen af kurven. Dvs. i praksis den anden-afledte af splinen. I praksis løses dette som et normalt OLS-problem: min β n (σ i ˆσ( i β)) 2 + λ b i a ˆσ (x β) 2 dx (17) Ovenstående løses for fast λ. Det bør derudover også bemærkes at kravene til a og b er at de blot skal indeholde alle observationer. Hvis vi interpolerer iet -rum,kanviladea =0ogb =1. Tolkningen af λ er meget lig en lagrange-multiplikator. I denne sammenhæng er det herved også ganske logisk at jo højere λ bliver jo glattere bliver kurven. 54

60 b a Det sidste led i splinen kan omskrives til: ˆσ (x β)dx = = ˆσ (x β) 2 dx (2α 2 +6α 3 x +12α 4 x 2 ) 2 dx + = 4α α α 3α α /2 (12θ(x 1/2) 2 ) 2 dx +4α 2 (3α 3 +4α 4 )+ 9θ2 10 Herved har vi et eksplicit udtryk for splinen, der kan minimeres direkte og er herved let at implementere i forbindelse med minimeringsproceduren. C.3 Valg af λ Vi vil i dette appendix vise effekten af valget af λ. Vi vil gøre dette på baggrund af data fra d. 12. september Valget af denne dato skyldes, at givet terror-angrebene dagen før, der stor usikkerhed i markdet, og volatilitetssmilet producerer ikke pæne tætheder hvis det ikke udglattes. Ydermere viser vi effekten af et for højt valgt λ. I figur 11 er de implicitte volatiliteter plottet mod det tilhørende delta. Derefter er splinen fittet med tre forskellige valg af λ, nemlig for λ =0,λ= og λ =2. For λ = 0 bliver splinen fittet helt uden bibetingelse, hvorfor der jf. figur 11, også er en del bølge-effekt i smilet. Dette bærer den tilhørende tæthed således også præg af, og dens udseende må menes ikke at være særlig realistisk. Dette er gælder specielt da den nuværende futures-rente, F = 3.73 er placeret i dalen mellem de to toppe. λ er derfor valgt for lavt. I den helt anden ende, hvad angår valg af λ, erhvorλ = 2. Her bliver der lagt så meget vægt på kurvens krumning, at splinen tilnærmelsesvis bliver lineær. Jf. figur 11 er fittet til de implicitte volatiliteter mildest talt ringe. Dette resulterer således også i en tæthed, der formegentlig ikke fanger alle nuancerne i markedets forventninger. Vi bemærker også at tætheden også minder meget om en log-normalfordeling, og vi kan få enidéom,athvisvi pålægger krumningen meget vægt, kunne vi lige så godt prøve at estimere 55

61 den passende log-normalfordeling. Vi må altså skulle finde et kompromis mellem at fitte volatiliteten godt og stadig have en udglattet kurve, for at finde en pæn tæthed, der stadig kan fange nuancer i markedet. Vi har eksperimenteret lidt (både med denne dag og andre dage) og fundet at når λ =0.001harvietpænttrade-offmellem fit og udglatning. Dette ses også i figur 11, hvor vi ser at volatilitetssmilet ikke er fittet perfekt, men fanger stadig de grundlæggende egenskaber der er tilstede. Vi opnår således også en tæthed, der er pæn og ikke blot kan fittes med en log-normalfordeling. Figur 11 viser også nødvendigheden af at sortere outliers fra, da et enkelt eller flere af punkterne næppe kan betrages som et reelt billede af forventningerne. Effekten af at sortere outliers fra, ses hvis vi sammenligner tætheden for λ =0.001 i figur 11 med tætheden for d. 12. september i figur 9. 56

62 Imp. vol Λ Λ Λ Delta Pct.SSH pr.basispoint Λ 2 Λ 0 Λ EURIBOR rente Figur 11: Konsekvens af forskelligt valg af λ for både volatilitetssmil og tæthed. Kilde: Bloomberg og egne beregninger. 57

63 D Formler for momenter I dette afsnit beskrives formlerne, der beskriver usikkerheden for forventningerne givet ved de risikoneutrale tætheder. Det i te centrale moment er defineret som: µ i = E [ (X µ) i] hvor µ = E(X), X er stokastisk variabel og i>1. Vi ved at µ er middelværdien og µ 2 er variansen (herved er µ 2 standard afvigelsen, σ). Vi definerer nu skævheden for en tæthed ved: og vi definerer kurtosis ved: Skævhed = µ 3 µ 3/2 2 Kurtosis = µ 4 µ 2 2 = µ 3 σ 3 = µ 4 σ 4 Skævhed er udtryk for asymetri i fordelingen og kurtosis er udtryk for hvor tykke halerne er i fordelingerne. En negativ skævhed betyder altså athoved- parten af fordelingen ligger til venstre for middelværdien. Det modsatte er tilfældet for en positiv skævhed. Til sammenligning har en normalfordeling (naturligvis) en skævhed på 0 og en fast kurtosis på 3. 58

64 Litteratur [1] Aït-Sahalia, Yacine & Andrew W. Lo (1998): Nonparametric Estimation of State-Price Densities Implicit in Financial Asset Prices, The Journal of Finance, Vol. 53, No. 2, pp [2] Andersen, Allan Bødskov & Tom Wagener (2002): Extracting risk neutral probability densisties by fitting implied volatility smiles: Some methodological points and an application to the 3M Euribor future option prices, Danmarks Nationalbank, Working Papers No. 9. [3] Bahra, Bhubinder (1997): Implied risk-neutral probability density functions from option prices: theory and application, Bank of England. [4] Bank for International Settlements (BIS) (2004): Triennial and semiannual surveys on positions in global over-the-counter (OTC) derivatives markets at end-june 2004 Concentration measures for OTC derivatives markets from December 1998 to June 2004, Monetary and Economic Department, December [5] Bates, David S. (1991): The Crash of 87: Was it Expected? The Evidence from Options Markets, Journal of Finance, Vol. 46, No. 3, pp [6] Black, Fisher & Myron Scholes (1973): The Pricing of Options and Corporate Liablitities, The Journal of Political Economy, Vol. 81, No. 3, pp [7] Breeden, Douglas T. & Robert H. Litzenberger (1978): Prices of State- Contingent Claims Implicit in Option Prices, The Journal of Business, Vol. 51, No. 4, pp [8] Chen, Ren-Raw & Louis Scott (1993): Pricing Interest Rate Futures Options with Futures-Style Margining, The Journal of Futures Markets, Vol. 13, No. 1, pp

65 [9] Hull, John C. (2000): Options, Futures & Other Derivatives, Fourth Edtion, Prentice Hall International Editions. [10] Loader, Catherine (2004): Smoothing: Local Regression Techniques, [11] Malz, Allan M. (1995): Using Option Prices to Estimate Realignment Probabilities in the European Monetary System, Federal Reserve Bank of New York, Staff Reports No. 5. [12] Mandler, Martin (2002): Comparing Risk-Neutral Probability Density Functions Implied By Option Prices - Market Uncertainty And ECB- Council Meetings, EFA 2002 Berlin Meetings Presented Paper. [13] Neuhaus, Holger (1995): The information content of the derivatives for monetary policy - Implied volatilities and probabilities, Discussion paper 3/95, Economic Research Group of the Deutsche Bundesbank. [14] Rubinstein, Mark (1994): Implied Binomial Trees, The Journal of Finance, Vol. 49, No. 3, pp [15] Shimko, David (1993): Bounds of Probability, RISK, Vol. 6, No. 4 (April), pp