Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker"

Transkript

1 Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Arne Jensen marts Indledning I forbindelse med kurset i Reelle og Komplekse Funktioner afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang af 3 ECTS. Dette dokument er oplægget til fordybelsesprojektet. Det er mere detaljeret end et sædvanligt projektoplæg, givet den begrænsede tid der er til projektet. Det er også mere fokuseret, med færre valgmuligheder end i et stort projekt, af samme grund. I de to følgende afsnit præsenteres en række resultater, og nogle problemstillinger skitseres. Der er et antal steder underafsnit markeret som Opgave. Disse indeholder opgaver, beviser, spørgsmål etc., som skal være med i besvarelsen. Andre afsnit er markeret med Forslag. Det er forslag til uddybende overvejelser, som gerne skal med, men som ikke er obligatoriske. I afsnit 4 er der så formuleret en række mere åbne problemstillinger, som man kan arbejde med. Den første problemstilling vedrørende elementære funktioner bør indgå i projektet. De andre efter tid og interesse. Emnet er potensrækker og deres anvendelse til løsning af differentialligninger, samt forbindelsen til elementære funktioner. Forudsætningerne er dels hele Matematik semesteret efterår 2003, og dels de 4 første kursusgange, med tilhørende opgaver, i kurset Reelle og Komplekse Funktioner. 1.1 Evaluering af projektet I løbet af ugen skal hver gruppe lave en mini-rapport indeholdende resultaterne af arbejdet med projektet. I den efterfølgende uge vil Arne tage en diskussion med hver gruppe om besvarelsen, for at afslutte evalueringen. 1

2 2 Differentialligninger Vi starter med nogle resultater vedrørende differentialligninger. Følgende resultat forudsættes velkendt. Den Euklidiske norm på R n betegnes som sædvanligt med. Antagelse 2.1. Lad I R være et ikke-tomt åbent interval, Ω R n en ikke-tom åben delmængde, og F: I Ω R n en kontinuert funktion, der for et M > 0 opfylder Lipschitz-betingelsen for alle x I og alle y 1, y 2 Ω. F(x, y 1 ) F(x, y 2 ) M y 1 y 2 (2.1) Et system af n første ordens sædvanlige differentialligninger med begyndelsesbetingelse i x 0 I, y 0 Ω kan da skrives på vektorform som dy (x) = F(x, y), dx (2.2) y(x 0 ) = y 0. (2.3) Et hovedresultat er da eksistens- og entydighedsætningen. løsningsbegrebet velkendt. Vi forudsætter Sætning 2.2. Lad F opfylde Antagelse 2.1. Til enhvert (x 0, y 0 ) I Ω findes et δ > 0, således at (2.2) med begyndelsesbetingelsen (2.3) har en entydigt bestemt kontinuert differentiabel løsning, defineret på intervallet (x 0 δ, x 0 + δ). Betragt nu følgende mængde af funktioner, indiceret med parametrene x 0 R og k N 0. Definition 2.3. Lad x 0 R og k N. Vi definerer V k x 0 = {f der findes et δ > 0, så at f : (x 0 δ, x 0 + δ) R n er k gange kontinuert differentiabel}. (2.4) Bemærk, at definitionsintervallet i denne definition kan variere med funktionen. Man siger ofte, at f er defineret og k gange kontinuert differentiabel i en omegn af x 0. Opgave 1. Overvej, at med den naturlige definition af addition af funktioner og skalarmultiplikation, er mængden Vx k 0 et reelt vektorrum. 2

3 En af anvendelserne af Sætning 2.2 er et tilsvarende eksistens- og entydighedsresultat for højere ordens sædvanlige differentialligninger. Vi skal her kun se på et specielt tilfælde, nemlig en enkelt anden ordens lineær ligning. Faktisk vil vi koncentrere os om den homogene ligning. Vi ser først på en ligning af formen d 2 u dx 2 (x) + q 1(x) du dx (x) + q 0(x)u(x) = g(x). (2.5) Til en sådan ligning hører to begyndelsesbetingelser u(x 0 ) = u 0, du dx (x 0) = u 1. (2.6) Begyndelsesværdiproblemet givet ved (2.5) sammen med (2.6) kan omskrives til et begyndelsesværdiproblem for et første ordens system på følgende måde. Vi tager n = 2, Ω = R 2, og sætter med y = (y 1, y 2 ) y 1 (x) = u(x), (2.7) y 2 (x) = du (x), dx (2.8) F(x, y) = (y 2, q 1 (x)y 2 (x) q 0 (x)y 1 (x) + g(x)). (2.9) Opgave 2. Vis, at med disse definitioner er begyndelsesværdiproblemet (2.5,2.6) ækvivalent med det tilsvarende problem for systemet defineret ovenfor. Vi har følgende sætning om eksistens og entydighed. Sætning 2.4. Antag, at funktionerne q 1, q 0, og g er definerede og kontinuerte på et ikke-tomt åbent interval I. Antag x 0 I og (u 0, u 1 ) R 2. Så findes der et δ > 0, så at problemet givet ved (2.5) og (2.6) har en entydig bestemt to gange kontinuert differentiabel løsning, defineret på (x 0 δ, x 0 + δ). Opgave 3. Med brug af de andre sætninger formuleret ovenfor, giv et bevis for Sætning 2.4 Hint Vis, at den i (2.9) definerede funktion F opfylder betingelserne i Antagelse 2.1. Forslag. Generalisér ovenstående resultater til en ligning af orden k 3 med kontinuerte koefficienter. Vi koncentrerer os nu om den homogene ligning. I den forbindelse minder vi om teorien fra basis, se [5, Kapitel 5]. I det følgende antager vi, at q 1 og q 0 er givne kontinuerte funktioner på et interval I. Vi har også fast valgt x 0 I. 3

4 Definition 2.5. Med N betegnes mængden af løsninger til problemet som tilhører rummet V 2 x 0. d 2 u dx 2 (x) + q 1(x) du dx (x) + q 0(x)u(x) = 0, (2.10) Forslag. Vis, at N er et underrum af V 2 x 0. Bemærk, at resultatet kan findes i [5]. Opgave 4. Vis, at N er et to-dimensionalt vektorrum. Som basis kan vælges funktionerne u og v, som begge løser (2.10), og som opfylder følgende begyndelsesbetingelser: u(x 0 ) = 1, du dx (x 0) = 0, (2.11) v(x 0 ) = 0, dv dx (x 0) = 1. (2.12) Forslag. Slut ud fra ovenstående, at der findes et δ min, således at alle løsninger til begyndelsesværdiproblemet for den homogene ligning mindst er definerede (og er løsninger) på et interval (x 0 δ, x 0 + δ) med δ δ min. Forslag. Forklar sammenhængen mellem den fuldstændige løsning til en inhomogen anden ordens ligning, og rummet N. Vi bemærker, at ligningen (2.5) sommetider betragtes i den lidt mere generelle form p 2 (x) d2 u dx 2 (x) + p 1(x) du dx (x) + p 0(x)u(x) = g(x). (2.13) Her antager vi, at alle p j, j = 0, 1, 2, og g er kontinuerte på et interval I. Hvis x 0 I er et punkt hvor p 2 (x 0 ) 0, så kan vi bestemme et interval J I med x 0 J og p 2 (x) 0 for alle x J. Dermed kan vi dividere igennem med p 2, og ligningen er reduceret til formen (2.5), men muligvis på et mindre interval J. Tilfældet p 2 (x 0 ) = 0 er vigtigt, og optræder i en del ligninger fra den matematiske fysik. Se afsnit 4.3 nedenfor. 3 Potensrækkeløsning til differentialligning Vi bruger i det følgende resultater fra [6] vedrørende potensrækker. Vi minder blandt andet om, at en funktion givet ved en potensrække med konvergensradius ρ > 0 er uendeligt ofte differentiabel. Vi minder også om, at koefficienterne er entydigt bestemt. Se [6, Afsnit 7.2]. 4

5 Vi fortsætter med samme notation som ovenfor, og gentager ikke antagelser om interval I etc. Der gælder følgende generelle sætning. Sætning 3.1. Antag at q 1 og q 0 kan udvikles i potensrækker omkring x 0, begge med konvergensradius mindst ρ > 0. Så kan enhver løsning til den homogene ligning (2.10) udvikles i en potensrække om x 0 med konvergensradius mindst ρ. Denne sætning skal ikke bevises her generelt. (Når en del af teorien for analytiske funktioner er gennemgået, så kan man give et bevis, baseret på fixpunktsætningen.) Men vi bruger den som motivation for en løsningsmetode til differentialligninger, som baserer sig på at finde løsninger i form af en potensrække. Man gætter på en løsning i form af en potensrække med u- kendte koefficienter, og forsøger derefter først at bestemme koefficienterne, og dernæst at vise, at konvergensradius for den fundne potensrække er positiv. Der gælder et resultat svarende til Sætning 3.1 for en første ordens homogen ligning dy dx (x) + q 0(x)y(x) = 0, (3.1) y(x 0 ) = y 0, (3.2) hvis q 0 kan udvikles i en potensrække omkring x 0. Vi vil nu først illustrere fremgangsmåden i et tilfælde, hvor løsningen er kendt. I de to næste eksempler ser vi på en anden ordens ligning, hvor løsningerne ikke er kendte. 3.1 Eksempel 1 Vi ser på problemet dy (x) y(x) = 0, dx (3.3) y(0) = 1, (3.4) Vi starter med at regne formelt. Antag, at løsningen kan udvikles i en potensrække omkring nul: y(x) = a n x n. (3.5) Vi har da dy dx (x) = a n nx n 1. (3.6) 5

6 Vi skifter summationsindex og sætter ind i differentialligningen (3.3), således at vi får ((n + 1)a n+1 a n ) x n = 0. (3.7) På grund af entydighed af koefficienter må vi derfor have (n + 1)a n+1 a n = 0, n = 0, 1, 2,.... (3.8) Man viser ved induktion, at der så må gælde a n = a 0, n = 1, 2,..., (3.9) n! hvor som sædvanligt n! = n. Af begyndelsesbetingelsen (3.4) følger a 0 = 1. Denne udregning viser dermed, at eneste mulighed for koefficienterne i potensrækken er a n = 1/n!, n = 0, 1, 2,.... Potensrækken 1 n! xn har konvergensradius ρ =. Da funktionen defineret ved y(x) = 1 n! xn, x R, (3.10) er kontinuert differentiabel, og opfylder såvel differentialligningen (3.3) som begyndelsesbetingelsen (3.4), er dette den entydige løsning til begyndelsesværdiproblemet. Disse overvejelser kan bruges på flere måder. Man kan forudsætte, at den naturlige eksponentialfunktion exp(x) er velkendt. Men da den også er en løsning til problemet givet ved (3.3) og (3.4), giver entydigheden, at vi har bevist at 1 exp(x) = n! xn, x R. En anden mulighed er at tage udgangspunkt i ovenstående for at definere den naturlige eksponentialfunktion. Opgave 5. Gennemgå ovenstående eksempel i detaljer. Opgave 6. Brug (3.10) som udgangspunkt for at indføre den naturlige eksponentialfunktion. Vis så mange af dens forventede egenskaber som muligt. For eksempel skal den opfylde y(x 1 + x 2 ) = y(x 1 )y(x 2 ). 6

7 3.2 Eksempel 2 Vi giver nu et eksempel på løsning af en anden ordens differentialligning ved hjælp af potensrækkemetoden fra Eksempel 1. Vi ser på differentialligningen d 2 y (x) 2xdy (x) 2y(x) = 0 dx2 dx omkring x 0 = 0. Som ovenfor starter vi med formelle udregninger, som senere begrundes. Gæt på y(x) = a n x n og sæt ind i ligningen n(n 1)a n x n 2 2x n=2 n=1 na n x n 1 2 a n x n = 0. For at kunne sammenligne koefficienterne skifter vi summationsindeks til n 2 i den første sum. I den anden sum ganger vi x ind på leddene. Det giver (n + 2)(n + 1)a n+2 x n 2 na n x n 2 a n x n = 0. Da højre side er funktionen, der er identisk nul, må koefficienten til x n på venstre side også være nul. Dermed har vi (n + 2)(n + 1)a n+2 2na n 2a n = 0, n = 0, 1, 2,... eller a n+2 = 2 n + 2 a n, n = 0, 1, 2,... Dette er en rekursionsrelation til bestemmelse af koefficienterne. Vi skal angive to værdier for a n -erne for at kunne fastlægge dem. Svarende til, at vi normalt fastlægger y(0) og y (0), vil vi her fastlægge a 0 og a 1. Som i Opgave 4 ovenfor får vi to lineært uafhængige løsninger ved at vælge (a 0, a 1 ) = (1, 0) og (a 0, a 1 ) = (0, 1). Vi starter med (a 0, a 1 ) = (1, 0). Vi finder hurtigt a 2 = a 0 = 1, a 4 = 2a 2 4 = 1 2, a 6 = 2a 4 6 = Ved et induktionsbevis fås den generelle formel a 2n = n = 1, n = 1, 2,.... n! 7

8 Da a 1 = 0, får vi, at alle koefficienter med ulige indeks er nul: a 2n+1 = 0, n = 0, 1, 2,.... (Man skal ikke lade sig forvirre af, at indeks n optræder i så mange sammenhænge.) Vi har da fundet den første løsning. Den kan endda udtrykkes på lukket form. Vi sætter ind: y(x) = 1 + x ! x ! x og ser y(x) = e x2. Med betingelserne (a 0, a 1 ) = (0, 1) bliver alle koefficienter med lige indeks nul, og for dem med ulige indeks får vi a 3 = 2a 1 3, a 5 = 2a 3 5 = 2 5 Ved et induktionsbevis fås den generelle formel a 2n+1 = 2 3, a 7 = 2a 5 7 = n, n = 0, 1, 2, (2n + 1) Den anden løsning er derfor givet ved 2 n y(x) = 3 5 (2n + 1) x2n+1. Der findes ikke noget enklere udtryk for denne funktion. Man kan nu retfærdiggøre disse udregninger ved direkte at eftervise, at de to uendelige rækker begge har konvergensradius +, og derfor er de udførte regninger ikke blot formelle, men faktisk korrekte. Opgave 7. Gennemfør ovennævnte overvejelser. 3.3 Eksempel 3 Differentialligningen d 2 y (x) xy(x) = 0 dx2 kaldes Airys differentialligning. Den kan ikke løses ved brug af elementære funktioner. Men man kan finde to lineært uafhængige løsninger ved hjælp af potensrækkemetoden, og disse løsninger kan bruges til at undersøge løsningernes egenskaber i detaljer. Se [4, Example 5, p. 765], hvor udregningerne er gennemført i detaljer. 8

9 4 Projektforslag og -idéer Baseret på ovenstående teknik til at finde løsninger til første og anden ordens differentialligninger kan man arbejde videre i forskellige retninger. 4.1 Potensrækker og elementære funktioner Vi har i Eksempel 1 ovenfor, som formuleret i Opgave 6, set at man kan bruge differentialligninger og potensrækker til at indføre, og til at udlede egenskaber ved, elementære funktioner. Prøv at indføre de elementære funktioner cos(x) og sin(x) som to løsninger til differentialligningen d 2 y (x) + y(x) = 0. dx2 Hvor mange af de kendte egenskaber for disse to funktioner kan udledes ved hjælp af differentialligninger og potensrækker? Her er nogle af de kendte egenskaber: cos( x) = cos(x), sin( x) = sin(x), d cos(x) = sin(x), dx d sin(x) = cos(x), dx cos 2 (x) + sin 2 (x) = 1, cos(x 1 + x 2 ) = cos(x 1 ) cos(x 2 ) sin(x 1 ) sin(x 2 ), sin(x 1 + x 2 ) = cos(x 1 ) sin(x 2 ) + sin(x 1 ) cos(x 2 ). Prøv tilsvarende fremgangsmåde for nogle af de elementære funktioner ln(x), cosh(x), sinh(x), tan(x), tanh(x). Metoden er ikke altid anvendelig. Hvor kommer de elementære funktioner fra, og hvordan er de tidligere blevet defineret eller postuleret? Se også [5, Kapitel 2] Find nogle egenskaber ved cos(x) og sin(x), som det ikke umiddelbart er muligt at finde ved hjælp af differentialligninger og potensrækker. 4.2 Binomialrækken Der er en formel, som generaliserer binomialformlen (z + w) n = n k=0 9 ( ) n z k w n k, k

10 hvor binomialkoefficienterne er givet ved ( ) n n(n 1) (n k + 1) =. k k! Generalisationen er binomialrækken givet for ethvert α R ved ( ) α (1 + x) α = x k, k k=0 hvor de generaliserede binomialkoefficienter er givet ved ( ) α α(α 1) (α k + 1) =. k k! Dette resultat kan vises ved hjælp af potensrækkemetoden til løsning af differentialligninger. Her er nogle trin at gennemføre. På intervallet I = ( 1, ) er u(x) = (1 + x) α den entydige løsning til begyndelsesværdiproblemet (1 + x) dy αy = 0, y(0) = 1. dx Ved anvendelse af potensrækkemetoden til løsning af dette problem finder man ovenstående række. Bestem konvergensradius for binomialrækken (bemærk, at svaret afhænger af, om α er et ikke-negativt heltal, eller ej). Som en anvendelse af binomialrækken kan man bestemme potensrækkeudviklingen for den inverse trigonometriske funktion arcsin(x) omkring x 0 = 0. Hint: Se på d dx arcsin(x). 4.3 Generalisation af teorien 1 En del af resultaterne præsenteret ovenfor kan generaliseres på forskellig vis. Mange vigtige differentialligninger i den matematiske fysik kommer i en anden form end den, der er antaget i (2.5). De kommer ofte i formen p 2 (x) d2 y dx 2 (x) + p 1(x) dy dx (x) + p 0(x)y(x) = 0, (4.1) hvor p j, j = 0, 1, 2, er kontinuerte funktioner på et interval I. Begyndelsesbetingelser er givet i et punkt x 0 I. Der er tre tilfælde at betragte. I 10

11 tilfældet p 2 (x 0 ) 0 siges x 0 at være et regulært punkt. Dette tilfælde reduceres til det allerede betragtede, ved division med p 2. I dette tilfælde er q 1 (x) = p 1 (x)/p 2 (x) og q 0 (x) = p 0 (x)/p 2 (x) begge kontinuerte i et lille interval omkring x 0. Hvis p 2 (x 0 ) = 0, så kaldes x 0 et singulært punkt. Her skelner man mellem det tilfælde, hvor (x x 0 ) p 1(x) p 2 (x) og (x x 0 ) 2 p 0(x) p 2 (x) begge har potensrække udviklinger om x 0 med positiv konvergensradius, og det tilfælde, hvor denne antagelse ikke er opfyldt. I det første tilfælde kaldes x 0 for et regulært singulært punkt. Man kan se på nogle enkle tilfælde, hvor man kan regne sig igennem tingene. Det første eksempel er Eulers ligning x 2 d2 y (x) + βxdy (x) + αy(x) = 0, (4.2) dx2 dx hvor α og β er reelle konstanter. Man kan gætte på en løsning på formen y(x) = x r. Ved indsætning finder man da en andengrads ligning for r. I det generelle tilfælde, hvor x 0 er et regulært singulært punkt, gætter man på en løsning af formen y(x) = a n x n+r, hvor r bestemmes på tilsvarende vis. Denne løsningsmetode kaldes Frobenius metode. 4.4 Generalisation af teorien 2 Hvis man ved mere om koefficienterne i ligningen (2.5), kan man også sige mere om løsningerne. For eksempel, hvis q 1 (x) og q 0 (x) begge er k gange kontinuert differentiable på intervallet I, så er alle løsninger til den homogene ligning k + 2 gange kontinuert differentiabel på eksistensintervallet. Man kan også stille spørgsmålet om hvor stort eksistensintervallet er. Eksisterer løsningen på hele intervallet I? Et konkret eksempel, hvor svaret er kendt fra [5], er tilfældet med q 1 (x) og q 0 (x) konstante funktioner. Så er løsningen defineret på hele den reelle akse. Hvad kan man sige mere generelt, i tilfældet med ikke-konstante koefficienter? 11

12 4.5 Konkrete ligninger Der er en række konkrete ligninger, hvor man kan prøve metoden. Her er nogle eksempler. 1. Lad λ betegne en konstant. Differentialligningen d 2 y (x) 2xdy (x) + λy(x) = 0 dx2 dx kaldes Hermites differentialligning. Den optræder mange steder i matematik og fysik. Her er nogle forslag til undersøgelser. Bestem to lineære uafhængige løsninger. Vis, at Hermites ligning har en løsning, der er et polynomium af grad n, hvis λ = 2n. Dette polynomium kaldes Hermite polynomiet (efter en passende normalisering). 2. Lad α betegne en konstant. Ligningen kaldes Legendres ligning. (1 x 2 ) d2 y (x) 2xdy (x) + α(α + 1)y(x) = 0 dx2 dx Bestem to lineært uafhængige løsninger til Legendres ligning Antag, at α = n (helt tal). Vis, at Legendres ligning har et polynomium af grad n som løsning. Det kaldes Legendre polynomiet. Legendre polynomiet P n (x) normalises ved betingelsen P n (1) = 1. Bestem P j (x) for j = 0, 1, 2, 3, Lad ν være en reel og positiv konstant. Bessels ligning af orden ν er ligningen x 2 d2 y (x) + xdy dx2 dx (x) + (1 ν2 )y(x) = 0 Find en potensrækkeløsning til ligningen med begyndelsesbetingelserne u(0) = 1, u (0) = 0. Kan man finde en af ovenstående lineært uafhængig løsning, i form af en potensrække? Hvis nej, hvad kan man så gøre (se afsnit 4.3)? 12

13 4.6 Hypergeometriske funktioner En klasse af funktioner, som optræder mange steder i matematikken og dens anvendelser, er de hypergeometriske funktioner. De er løsninger til differentialligningen x(1 x) d2 y dy (x) + (c (a + b + 1)x) (x) aby(x) = 0, (4.3) dx2 dx Her er a, b, og c tre parametre, der kan være komplekse, men her ser vi kun på reelle parametre. Ligningen er et specialtilfælde af ligningen betragtet i afsnit 4.3 ovenfor. Man kan undersøge potensrække metodens anvendelighed til at bestemme eksistens af løsninger i form af potensrækker, og deres konvergensradier. Andre forslag: 1. Vis, at for a = 1, b = 1, og c = 2, er y(x) = x 1 log(1 x) en løsning. 2. Vis, at hvis a eller b er et negativt heltal, så har ligningen et polynomium som løsning. De hypergeometriske funktioner er relaterede til hypergeometriske distributioner i sandsynlighedsteori. Forsøg at finde sammenhængen. 5 Supplerende læsning Man kan mange steder læse om potensrækkemetoden til løsning af differentialligninger. Her er nogle forslag. Lærebogen i Calculus fra basis [4]. Se afsnittene 11.9 og Metoden er også beskrevet i et af de efterfølgende bind i lærebogsserien [5]. Lærebogen fra efterårets PE kursus indeholder meget om metoden, se Chapter 7 i [3]. Frobenius metoden (nævnt i afsnit 4.3) er beskrevet i blandt andet [2], og også i [3]. Funktionerne med navne som Airy, Bessel, Hermite, Laguerre, Legendre osv. kaldes ofte specielle funktioner, og mange bøger og tabelværker beskriver deres egenskaber og værdier. En klassisk bog er [1]. Her kan man se i Chapter 15 vedrørende de hypergeometriske funktioner og deres egenskaber. I dag er mange af de specielle funktioners egenskaber indbygget i computer algebra programmer, som for eksempel Maple. Men det er ikke altid let at trække relevant information ud af Maple, og det er heller ikke så let at anvende Maple til at finde potensrække løsninger. Et eksempel, hvor man kan finde informationer og metoder i Maple, er om de hypergeometriske funktioner. Se i DEtools pakken under hypergeomsols. 13

14 En anden kilde til information om emnerne i fordybelsesprojektet er internettet. Man kan søge på emner nævnt ovenfor, men problemet er, at man ikke kan vide noget om lødigheden af de informationer man finder. Et eksemple, hvor man får nyttig viden om de hypergeometriske funktioner, er siden Litteratur [1] M. Abramowitz, I. A. Stegun: Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications, (Findes også i andre udgaver.) [2] M. Braun: Differential Equations and Their Applications, Springer- Verlag. (Findes i flere udgaver.) [3] B. C. Conrad: Differential Equations with Boundary Value Problems, Prentice Hall [4] C. H. Edwards, D. E. Penney: Calculus, 6th Edition, Prentice Hall [5] H. Elbrønd Jensen et al.: Matematisk Analyse I, 4. Udgave, Institut for Matematik, DTU, August [6] W. R. Wade: An Introduction to Analysis, Third Edition, Prentice Hall,

Fordybelsesprojekt Analyse 2, forår 2012 Potensrækker

Fordybelsesprojekt Analyse 2, forår 2012 Potensrækker Fordybelsesprojekt Analyse 2, forår 2012 Potensrækker Udarbejdet af Arne Jensen 1 Indledning I forbindelse med kurset Matematisk Analyse 2 på Mat 2 afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang af 3 ECTS.

Læs mere

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Arne Jensen c 23 1 Introduktion I disse noter formulerer og beviser vi Taylors formel. Den spiller en vigtig rolle ved teoretiske overvejelser, og også

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave

Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen

I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen S.&P. DIFFERENTIALLIGNINGER 2. februar 2006 Oversigt nr. 1 I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen [EP] Elementary differential equations with boundary

Læs mere

Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9

Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Nøgleord og begreber Potensrækker og opgaver Binomialformlen Binomialkoefficienter Binomialrækken Taylor polynomier Vurdering af Taylor s restled Eksponentialrækken konvereger

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 10

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 10 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 10 Morten Grud Rasmussen 2. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Det grundlæggende om PDE er Definition 1.1 Partielle differentialligninger

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides

MM502+4 forelæsningsslides MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for

Læs mere

DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET

DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN INDHOLD. Lineær ligning 2 2. Lineært system 8 3. Generel ligning 6 4. Stabilitet 8 Litteratur 2 Noterne er til 4 timers forelæsninger

Læs mere

Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet

Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2004 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning

Læs mere

Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet

Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2005 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning

Læs mere

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03 IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos

Læs mere

Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19

Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt for system Eulers metode for

Læs mere

Reaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan

Reaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan Reaktionskinetik - lineære og ikke-lineære differentialligninger Køreplan 1 Baggrund På 2. eller 4. semester møder kemi/bioteknologi studerende faget Indledende Fysisk Kemi (26201/26202). Her behandles

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær. er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen

Læs mere

DesignMat Lineære differentialligninger I

DesignMat Lineære differentialligninger I DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En

Læs mere

Analyse 1, Prøve 2 Besvarelse

Analyse 1, Prøve 2 Besvarelse Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet maj Analyse, Prøve Besvarelse Opgave (3%) (a) (%) Bestem mængden af x R for hvilke rækken ( + (x) n ) er konvergent og angiv sumfunktionen

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil

Læs mere

Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9

Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Nøgleord og begreber Binomialformlen Binomialkoefficienter Binomialrækken Taylor polynomier Vurdering af Taylor s restled Eksponentialrækken konvereger mod eksponentialfunktionen

Læs mere

Besvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013

Besvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013 Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 23 Besvarelse, Eksamen Analyse, 23 Opgave Lad, for n N, funktionen f n : [, ) R være givet ved NB. Trykfejl. Burde være x. f n (x)

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

10. Differentialregning

10. Differentialregning 10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad 32 Tallet π er irrationalt Jens Siegstad At tallet π er irrationalt har været kendt i pænt lang tid Aristoteles postulerede det da han påstod at diameteren og radius i en cirkel er inkommensurable størrelser

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger

DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger DesignMat Uge Lineære afbildninger Preben Alsholm Forår 008 Lineære afbildninger. Definition Definition Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge). Afbildningen

Læs mere

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)

Læs mere

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

Gult Foredrag Om Net

Gult Foredrag Om Net Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges

Læs mere

Det Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik E-OPG 3

Det Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik E-OPG 3 Det Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår 2003-2004 Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik 1 Introduktion E-OPG 3 Dette er den tredje store opgave, som skal danne grundlag

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 5. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Udledning af varmeligningen Vi vil nu på samme måde som med bølgeligningen

Læs mere

MATEMATIK 1A MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 1A MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1 MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1 På hold 3 fortsætter vi med integration i flere variable i uge 47. Man kan med fordel repetere kapitel 13.4 og 13.5 og deri regne sandt/falsk opgaverne

Læs mere

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til

Læs mere

Prøveeksamen MR1 januar 2008

Prøveeksamen MR1 januar 2008 Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,

Læs mere

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013 Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme

Læs mere

MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,

Læs mere

Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5

Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Nøgleord og begreber Vækstmodel Bevægelsesligninger Retningsfelt Eulers metode Separable ligninger Logistisk ligning Eksponentiel vækst Begyndelsesværdiproblem Calculus

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013 Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

z 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2

z 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2 M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0). EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne

Læs mere

Differentiation af Trigonometriske Funktioner

Differentiation af Trigonometriske Funktioner Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02) SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige

Læs mere

MODUL 8. Differensligninger. Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN. Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN.

MODUL 8. Differensligninger. Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN. Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN. MODUL 8 Differensligninger Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN. 26. august 2014 2 Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Rekursioner og differensligninger.........................

Læs mere

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober 2017 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne de små opgaver i afsnittene 1 5 i løbet af de første 4 halve dage. Dernæst tilføjes

Læs mere

er en n n-matrix af funktioner

er en n n-matrix af funktioner Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Ligning og løsning Nøgleord og begreber Eksistens og entdighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Hastighedsfelt for sstem for sstem Stabilitet

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn

Læs mere

Funktioner af to variable

Funktioner af to variable enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 2

Matematik F2 Opgavesæt 2 Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.

Læs mere

Partielle afledede og retningsafledede

Partielle afledede og retningsafledede Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar

Læs mere

Matematik for økonomer 3. semester

Matematik for økonomer 3. semester Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010

INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010 INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010 Forord Denne opgavesamling indeholder samtlige eksamensopgaver, der har været stillet

Læs mere

Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet

Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet Random Walk-kursus 2014 Jørgen Larsen 14. oktober 2014 Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet Dette notat giver et bevis for at en symmetrisk random walk på Z eller Z 2 og

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,

Læs mere

Matematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale. htx112-mat/a-26082011

Matematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale. htx112-mat/a-26082011 Matematik A Højere teknisk eksamen Forberedelsesmateriale htx112-mat/a-26082011 Fredag den 26. august 2011 Forord Forberedelsesmateriale til prøverne i matematik A Der er afsat 10 timer på 2 dage til

Læs mere

6.1 Reelle Indre Produkter

6.1 Reelle Indre Produkter SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Lineær Algebra, TØ, hold MA3

Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet

Læs mere

MM501/MM503 forelæsningsslides

MM501/MM503 forelæsningsslides MM501/MM503 forelæsningsslides uge 50, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen dx Eksempler = et udtryk, der indeholder

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Forelæsningsnote 8. (NB: Noten er ikke en del af pensum)

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Forelæsningsnote 8. (NB: Noten er ikke en del af pensum) Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Forelæsningsnote 8 NB: Noten er ikke en del af pensum Eksempel på brug af egenværdier og egenvektorer Måske er det stadig

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere