H.D.- Studiet i finansiel rådgivning Hovedopgave forår

Transkript

1 H.D.- Studiet i finansiel rådgivning Hovedopgave forår Opgaveløser: Bo Rasmussen Vejleder: Robert Neumann Estimering af over- volatilitet på et aktiemarked 1

2 Abstract This paper looks in to the correctness of the efficient market theory s assumption that a stock market is not affected by psychological factors. For this purpose an excess volatility analysis is preformed using Robert Shillers method on the Danish stock market. This analysis shows that there are time periods where excess volatility is found to occur. These results are compared with the popular models to analyze whether the excess volatility can be seen as due to psychological factors, such as Bubble theory, fashion stocks, overconfidence and the Feedback theory. It is found that the method of Robert Shiller is the right method for indicating when excess volatility occurs, but that the method and the theory of efficient market have some limitation due to their statistical assumptions. Further it is found the excess volatility has occurred on the Danish stock market due to the psychological factors. 2

3 Indholdsfortegnelse ABSTRACT... 2 INDLEDNING... 4 PROBLEMFORMULERING... 5 METODEVALG... 5 AFGRÆSNING DEN EFFICIENTE MARKEDSTEORI ROBERT SHILLER S VERSION AF EFFICIENT MARKEDSTEORI DEN SIMPLE EFFICIENTE MARKEDSMODEL DIVIDENDE ELLER EARNINGS? EARNINGS AKTIEINDEKS RANDOM WALK PÅ BO- DK- INDEKSET: OVER- VOLATILITETS ANALYSE OVER- VOLATILITETS ANALYSE NR Delkonklusion på over- volatilitets analyse nr OVER- VOLATILITETS ANALYSE Delkonklusion på over- volatilitets analyse nr POPULÆRE MODELLER: BOBLE TEORI ANALYSE AF DATA UD FRA BOBLE TEORIEN MODEAKTIER OVERDREVEN SELVTILLID Hvorfor denne overdrevne selvtillid fortsætter FEEDBACK MODEL DELKONKLUSION PÅ POPULÆRE MODELLER DISKUSSION AF SHILLER OVER- VOLATILITETS MODEL DISKUSSION OM OVER- VOLATILITETEN SKYLDES PSYKOLOGISKE FAKTORER DELKONKLUSION PÅ AFSNIT KONKLUSION LITTERATURLISTE APPENDIKS

4 Indledning Før 1950 erne var det almindeligt accepteret blandt økonomer, at psykologiske faktorer, de såkaldte populære modeller, var med til at påvirke bevægelserne på aktiemarkederne. Men efter introduktionen af den efficiente markedsteori mindskedes denne accept. De seneste års store udsving i aktiemarkederne, har dog sat sin tvivl om den efficiente markedsteori kan benyttes til at beskrive udviklingen på et aktiemarked. Den efficiente markedsteori bygger på om et aktiemarked har svag-, semistærk- eller stærk form, samt at aktiemarkederne kun stiger eller falder ud fra deres fundamentals, eksempelvis indtjening, dividende m.v. Derved påstår teorien at ingen aktier er under- eller overprisfastsat, da al information vedrørende virksomheden er offentligt tilgængeligt - både den historiske og den gældende information. Det spændende ved denne teori er, at når de fleste handler på aktiemarkedet udføres af mennesker, må det antages, at alle investorer har al information til rådighed og at deres forventninger til indtjening udspringer af rationelle faktorer. Endvidere må det ligeledes antages, at mennesker bliver påvirket af psykologiske faktorer. Derfor må der stilles spørgsmålet: Hvad med de irrationelle faktorer?. Disse irrationelle faktorer blev af Eugene Fama(1970) afskrevet i sin efficiente markedsteori, da de ikke vil påvirke markedet, hvis markedet var stort nok og stærkt. Men hvordan kan den nuværende finanskrise, it- boblen og børskrakket i 1989 forklares - skete disse store bevægelser kun ud fra en ændring i et aktiemarkedets fundamentals? En af kritikkerne af den efficiente markedsteori, Robert Shiller(1979, 1989), fremviste ved sin metode, at der opstod over- volatilitet på markedet. Han påstod ikke, at den efficiente markedsteori tog fejl, men at markedet også blev påvirket af psykologiske faktorer. Denne opgave vil redegøre for denne problemstilling ved en analyse af det danske aktiemarked og forsøg på at sandsynliggøre teoriens antagelser. 4

5 Problemformulering Er det korrekt, som den efficiente markedsteori påstår, at et aktiemarked ikke bliver påvirket af psykologiske faktorer? Underspørgsmål til problemformuleringen: Hvorledes kan det defineres om det danske aktiemarked følger den efficiente markedsteori? Hvorledes kan Robert Shillers teori beskrive og konkretisere en over- volatilitet på aktiemarkedet? Hvilke psykologiske modeller kan give en forklaring på evt. perioder med over- volatilitet? Hvorfor anser fortalerne for den efficiente markedsteori, at de opstillede over- volatilitets analyser ikke kan beskrive, at et aktiemarked bliver påvirket af psykologiske faktorer? Metodevalg Opgaven starter med en gennemgang af den efficiente markedsteori ud fra Eugene Fama(1970) s antagelser. Herefter gennemgås Robert Shillers(1989) udlægning af den efficiente markedsteori. Teorien bliver anvendt til at opstille en model, hvor der udarbejdes en værdiansættelse af aktier ud fra udviklingen i dividenderne. Men værdiansættelsen bliver primært anvendt i historisk synspunkt for at give klarhed over hvorledes aktiemarkedet burde havde forløbet. Der bliver primært taget udgangspunkt i teorien fra bogen Market Volatility af Robert Shiller (1989) samt journaler udarbejdet af Robert Shiller(1979, 1981). Der anvendes Robert Shiller s teori, da det giver et godt grundlag til en analyse på over- volatilitet på det danske aktiemarkedet. Der sammensættes et aktieindeks af danske aktier, som kaldes BO- DK- indekset. I indekset vil der kunne trækkes data på kurs, dividender og earnings. Disse data skal anvendes i analyserne fra afsnit 4-8. Der vil blive anvendt et markedsligevægtsindeks, da det skaber en god relation til C20 indekset, som ligeledes er markedsligevægtet. Der kunne være benyttet et 5

6 simpelt ligevægtsindeks, men dette er fravalgt, da der er væsentlig forskel på Novo Nordisks markedsvægt kontra f.eks. markedsvægten af Rockwool. Der vil ligeledes i dette afsnit blive beskrevet en kildekritik af de datasæt, der bliver anvendt til opstilling af BO- DK- indekset. Denne kildekritik bliver beskrevet for at give troværdighed for læseren ift. analysens resultater i afsnit 4-8. Der bliver opstillet en random walk analyse på BO- DK- indekset aktiekurs ud fra Michael Christensens(2009) efficiente markeds regressionsligning. Dette bliver udarbejdet, for at give et indblik i om BO- DK- indeksets udvikling sker ud fra en random walk. Random walken bliver hjulpet af en vækstparameter, som bliver defineret ud fra gennemsnitsvæksten i BO- DK- indekset. Der bliver udarbejdet 500 random walks tests og taget et gennemsnit af disse for at skabe en gennemsnitssti, som bliver sammenlignet med udviklingen i BO- DK- indekset. Dermed kan der skabes forståelse for om BO- DK- indekset overholder betingelser for en random walk, hvilket gør at aktiemarkedet er efficient. Analysen på over- volatilitet på det danske aktiemarkedet vil blive udarbejdet ud fra 2 forskellige analyser. Den første analyse er en simpel analyse, hvor der observeres på BO- DK- indekset kursudvikling kontra indeksets ændring i fundamentals, dividende og earnings. Reelt sammenholdes udviklingen i aktiekursen med udviklingen i dividenderne og i earnings på BO- DK- indekset grafisk. Den anden analyse bliver udarbejdet ud fra Robert Shillers(1989) teori. Dette er valgt da en beregnet fremtidig aktiekurs afhænger af aktieindeksets historiske og fremtidige udvikling. Dermed bevises der ud fra teorien, udviklingen i aktieindekset historisk set også er den rationelle udvikling ud fra de historiske og fremtidige udviklinger i aktieindeksets fundamentals. Der vil under analysen i afsnit 7 og 8 blive anvendt disse beregnede aktiekurser kontra dividende til at sandsynliggøre om der opstår over- volatilitets perioder på det danske aktiemarked. 6

7 I afsnit 8, de populære modeller, vil der blive gennemgået teorien for hver psykologisk model, empiri for modellerne samt en analyse af data fra afsnit 7 ud fra hver model til at beskrive hvorfor en evt. over- volatilitet kunne være opstået. Der vil primært blive gennemgået og analyseret på boble-, modeaktie-, overdreven selvtillid- samt Feedback- psykologiske teorier. Feedbackteorien vil blive sammenholdt med Kahneman og Tversky(1974) s kognitive psykologiske heuristiske modeller. Disse teorier vil blive anvendt, da de behavioristiske økonomer, anser disse teorier som fornuftige værktøjer til beskrivelse af hvorfor der observeres en over- volatilitet på aktiemarkeder. Til sidst i opgaven vil en diskussion af Robert Shiller s teori og resultaterne fra analyserne blive opstillet. Denne diskussion vil blive sammenholdt med kriterier for teorien og redegøre for hvorfor teorien bliver anset som anvendelig. Til allersidst vil der blive udarbejdet en konklusion på problemstillingen. Afgræsning I gennemgangen af den efficiente markedsteori vil opgaven primært tage udgangspunkt i hvad Eugene Fama(1970)s og Robert Shiller(1989) s definitioner er og hvilke tilgange de har til teorien. Der bliver set bort fra om det sammensatte aktieindeks, er likvidt nok til at blive anset som semi- stærkt efficient/semi- stærk form. Opgaven vil ikke omhandle en udredelse af teorien vedr. pris/earnings, men primært koncentrere sig omkring pris/dividende. Der vil blive analyseret på den simples form af pris/earnings ud fra dataserien fra 1997 til Men en reel analyse a la den der bliver udarbejdet på pris/dividende vil ikke blive udarbejdet i denne opgave. En begrundelse for dette er at Robert Shiller(1989) ikke anser earnings som et brugbart element til at estimerer fremtidige aktiepriser, samt at earnings bør være ensbetydende med fremtidige dividender, se nærmere herom i afsnit 4 7

8 Indenfor behavioristisk finans er der flere hovedområder, men denne opgave vil primært fokusere på om teorierne beskrevet under metoden. 1. Den efficiente markedsteori Som baggrund af den efterfølgende analyse af over- volatilitet på aktiemarkedet, vil dette afsnit omhandle teorien bag den efficiente markedsteori. Afsnittet vil primært forklare Eugene Fama s(1970) teori, da Eugene Fama er en af teoriens største fortaler. Den efficiente markedsteori tager udgangspunkt i forudsætninger om at aktiemarkeder er perfekte kapitalmarkeder. Ved et perfekt kapitalmarked menes der, at der altid er tillid mellem alle aktører og at ingen bliver tilgodeset. Dermed kan der ud fra dette konkluderes, at alle aktiepriser er rimeligt værdisat. Ifølge Eugene Famas(1970) skal følgende forudsætninger være opfyldt for at den efficiente markedsteori holder stik, og dermed at aktiemarkedet er et perfekt kapitalmarked: Der skal ikke være transaktionsomkostninger, såsom skatter eller afgifter på handlerne. Al information er tilgængeligt for alle aktører på markedet og al information kan anskaffes uden omkostninger. Der er fuldkommen konkurrence på markedet, hvor alle aktører på markedet er enige om at al information eller den tilgængelige information reflekterer den nuværende og fremtidige pris på markedet. Aktørerne på markedet opfører sig rationelt og nyttemaksimerende. Endvidere kan alle aktier handles på ethvert beløb, hvilket gør at der kan handles på hver aktie i den mindste regneenhed. Eugene Fama(1970) definerede i sin efficiente markedsmodel, at der var tre former for efficient: Svag, semistærk og stærk form. Disse efficiente former afhænger af informationsmængden som er tilgængeligt. 8

9 Svag form defineres af Fama ved at aktiernes værdi kun afspejles i al historisk information. Semi stærk form defineres, ligesom ved svag form, af al historisk information, men bliver dertil også afspejlet af al offentlig tilgængelig information. Stærk form defineres ved al historisk information, al offentligt tilgængeligt information og insider viden. Den efficiente markedsteori bygger på, at aktiepriserne bliver tilpasset så snart ny information bliver tilgængelig for markedet, således at det ikke er muligt at opnå en overnormal profit. Hvis vi antager et semi- stærkt marked, vil aktiepriserne blive tilpasset så snart et nyt regnskab bliver offentliggjort, hvilket betyder, at den nye information hurtigst muligt vil blive indregnet i aktieprisen. Iflg. Eugene Fama(1970) defineres dette, ved at kapitalmarkedet er efficient, hvis markedet medregner al information, og denne information danner grundlag for en rationel forventning til prisen. Dette betyder med andre ord, at investorerne handler rationelt og dermed er der ingen prisfejl. Eugene Fama fortsætter, at hvis der er investorer, som handler irrationelt, hvor de køber og sælger tilfældigt uden nogen korreleret handelsstrategi. Disse handler vil udligne hinanden og vil ikke påvirke markedet. Disse tre punkter er relevante for denne opgave da Eugene Fama således derved mener, at et aktiemarked ikke bliver påvirket af psykologiske faktorer. Endnu et vigtigt punkt i den efficiente markedsteori er, at teorien anser, at afkast på aktier vil opstå tilfældigt. Dette skyldes primært, som nævnt tidligere, at prisen på en aktie afhænger af ny information på markedet. Da det menes, at det er umuligt at forudsige denne nye information på markedet. Medfører dette, at en forudsigelse af fremtidige aktiekurser ligeledes bør være umulige. Michael Christensen (2009) forklarer dette ved, at der kan ud fra p!, som angiver aktiekursen pris på tid t, konkluderes, at aktiernes kurs følger en random walk, hvis nedenstående regressionsligning giver at parametrene α = 0 og β = 1: 9

10 p! = α + βp!!! + e! e! er et udtryk for de tilfældige ændringer i aktiekursen, hvilket betyder, at e! er forklaring på den nye information. Der kan ud fra en empirisk analyse konkludere, at de ovennævnte parametre opfylder den efficiente markedsteori. Endvidere må det konkludere, at det absolutte afkast på aktier kan beregnes ud fra p! = p!!! + e!, hvilket gør at der fås p! = p!!! + e! Dette kan omformuleres således, at e! kan estimeres: e! = p! p!!! = Δp! Denne konstatering gør, at aktieafkast opstår tilfældigt. Dette gør, at der ikke kan benyttes fortidiges afkast til at beregne eller forudsige fremtidige afkast. Men før der kan konkluderes ovennævnte, er det nødvendigt at opstille nogle statistiske paratmetre op for e!. e! bør ukorreleret med e!!!, hvor i = 1,2,, samt endvidere har random walk hypotesen en forudsætning, at variansen af e! bør være konstant over tiden. Udover over- volatilitets- analysen vil der blive beregnet på om BO- DK- indekset følger en random walk, se afsnit 6 2. Robert Shiller s version af efficient markedsteori Dette afsnit vil omhandle en gennemgang af Robert Shillers(1989) version af den efficiente markedets teori og en udvidelse af teorien. I denne udvidelse skal opstilles en model for beregning af forventet afkast, som bliver anvendt til at danne et grundlag for at tilbagediskontere udviklingen i aktieindekset ud fra de historiske og fremtidige dividender. Teorien vil primært være en gennemgang fra bogen: Market volatility af Robert Shiller(1989) 10

11 Robert Shiller (1989) forklarer, at det er menes blandt de fleste økonomer, at aktieafkast er svært at forudsige, samt at psykologi ikke har den store indvirkning på aktiemarkedet. Men hvis modeluner 1 aktier opstår, må aktieudviklingen ligeledes også være noget forudsigelige. Desuden, fordi dividender selv er rimeligt forudsigelige, må det antages, at der kan forudsættes enhver ændring i aktieafkastet. Hvis dette er korrekt, at aktiekurserne i en vis forstand er fastlagt i forventning om udbetalt dividender, må der kunne bestemmes fremtidige aktiekurser ud af optimale prognoser for dividender. Robert Shiller anvender dette argument til at opstille en formel til at beregne de uforudsigelige afkast: E! R! = δ E! betegner den matematiske forventet afkast betinget af, at alle offentligt tilgængelige oplysninger på tidspunktet t. R! er det reelle afkastet mellem tid t og tid t+1, hvor der er taget højde for inflation og afkast er både med dividende og kursgevinst. δ er en konstant. R! er lig med (P!!! P! + D! )/P!, hvor P! er den reelle pris på aktien ved tid t og D! er den reelle dividende som udbetales tidsperioden. Robert Shiller(1989) definerer dette som en første ordens rationel forventningsmodel, som er velkendt i litteraturen, der kan løses, forudsat at en stabilitet terminal tilstand, ved rekursiv substitution, altså en simpel ligning. Ud fra at aktieafkast ikke kan forudsige med 100 % nøjagtighed fås denne efficient markedsmodel ved formel (EMT): P! =!!!! y!!! E! D!!!, 0 < y < 1 (EMT) Det skal dog bemærkes, at der ikke er nogen reel definition på den efficiente markedsmodel og der er ligeledes ingen enighed om at ovennævnte formel, (EMT), er ensbetydende med den 1 Modeluner er ofte udtryk for en underliggende trend og er af kortere varighed. Modeluner dukker ikke op tilfældigt. Derfor er de principielt også forudsigelige. Det enkelte udtryk kan variere, men da nogle modeluner er defineret i forhold til en underliggende trend, er det muligt at sige noget om, hvordan og hvornår disse modeluner vil opstå. 11

12 efficiente markedsmodel. Eugene Fama(1970) fortæller, at et marked hvor aktiepriserne altid fuldt ud afspejler al tilgængelig information er, hvad der kan kaldes et efficient marked. Formel (EMT) hævder, at den reelle aktiekurs er den nuværende tilbagediskonterede værdi af fremtidige dividende, og at den værdi udviser den optimale strøm af dividender som der vil blive udbetalt i fremtiden, hvor der bliver taget højde for al offentligt information. Robert Shiller(1989, s.21) forklarer, at der er en fundamental fejl i dette argument: Den efficiente markedsmodel overser det faktum, at statistiske tests ikke har vist, at afkast ikke er forudsigelige; testene har kun vist, at afkast er ikke meget forudsigelige. Robert Shiller forklarer, at det er lige præcis ordet meget, som er afgørende i denne sætning. Der findes alternative modeller, der kan prisfastsætte aktier ud fra modeluner, hvor det defineres at aktieafkast ikke meget forudsigelige. Mange kritikere af ovennævnte formel, (EMT), mener ikke at den er repræsentativ med den efficiente markedsteori, da der ikke er nogen beviser på at aktiekurser er en afspejling af fremtidige dividende. Teorien vil derfor blive behandlet grundigere. Robert Shiller anvender en simpel efficient teori i sin analyse på over- volatilitet. Teorien forklarer, at en pris på en aktie Pt er den forventede nuværende tilbagediskonterede værdi af fremtidige dividender, diskonteret af de fremtidige en- periode renter. Robert Shiller skriver denne simpel efficient model således: P! = E! P!,! P! = D!!!!!!! y!!!!!!, hvor P! er den perfekte forudsigelige aktiekurs. y!!! er den reelle diskonteringsfaktor lig med 1/(1 + r!!! ), hvor r!!! er den korte en- periode rente diskonteret til tid t+j. 12

13 P! er den optimale prognose af P!. Der kan derved defineres prognosefejl ud fra følgende: u! = P! P! Det er et fundamentalt princip for en optimal prognose, at prognosefejlen u! er ukorreleret med prognosen. Det vil sige, at kovariansen mellem P! og u! må være lig med nul. Hvis ens prognose konstant viser en korrelation med prognosefejlen, må det anses at betyder at prognosen kan forbedres. Robert Shiller (1987) beskriver, at der ud fra matematik, kan fremvises en betinget forventning om at P! er ukorreleret med u!. Hvis statistiske principper benyttes, kan det ses at variansen på summen af to ukorrelerede variable er summen af deres varianser. Dermed haves at var P = var u + var P. Da varianser ikke må blive negative konkluderes det, at var P var(p ) eller bedre fremvist ud fra standardafvigelsen ved: σ P σ P (model nr. 1) Denne ulighed, model nr. 1, vil blive fremvist i over- volatilitet analysen, afsnit 7.2. Der ses nærmere på en mere simpel efficient markedsmodel, for at kunne beregne model 1, som bliver beskrevet nedenfor. Det kommende afsnit vil se nærmere på en afklaring på nogle teoretiske spørgsmål, der kan opstå i forbindelse med denne ulighed, og nogle lignende uligheder vil blive udledt, at sætte grænser på standardafvigelsen af bevægelserne i kursen, samt standardafvigelsen af prisændringer. 13

14 Den simple efficiente markedsmodel Ifølge ovennævnte kan der konstateres, at den simple efficiente markedsmodel kan udtrykkes ved følgende:! P! = y!!! E! D!!!, 0 < y < 1 (model nr. 2)!!! D! er den reelle dividende udbetalt ved sluttidsperioden t, E! betegner det matematiske forventede afkast ud fra al information på tid t. γ er den konstante reelle diskonteringsfaktor, som bliver beregnet ud fra følgende γ = 1/(1 + r), hvor r er den konstante realrente. En periodes afkast er defineret ud fra H! = ( P!!! + D! )/P!, hvilket betyder afkast ved at købe aktie på tid t og sælge den ved tid t+1. Hvis der ses på første led i ovennævnte ligning, ( P!!! + D! ), viser P!!! hvad der har været i kursgevinst og D! er dividenden i tidsperioden. Dette er divideret med P!, prisen ved tid t, for at fremvise afkastet. Ovennævnte model nr. 2, har den egenskab, at bevise at E! H! = r. Hvis model nr. 2 tilpasses, kan der startes forfra med modellen, således at den fremvises ud fra den langsigtede vækstfaktor: p! =!!!!!!, d! = D! /λ!!!!!, hvor vækstfaktoren er defineret ud fra λ!!! = (1 + g)!!! g er vækstraten, T er reference året. g bliver beregnet således: g =!!! P!!! P! 1 14

15 Hvis der divideres i model nr. 2 med λ!!! og substitution findes der følgende:!! p! = (λy)!!! E! d!!! = (y)!!! E! d!!!!!!!!! (model nr. 3) Hvis model 2 skal give en korrekt pris, så skal vækstraten g være mindre end diskonteringsrenten r og dermed y λy < 1. Hvor der kan defineres r ud fra y 1/(1 + r), dermed skal diskonteringsrenten for at være passende for P! og d! må være r > 0. Denne diskonteringsrente r er blot den gennemsnitlige dividende divideret med den gennemsnitlige pris, dvs. r = E(d)/E(p). Dette skyldes primært, at hvis der tages ubetingede forventninger på begge sider af model 3 findes der, at E p =!! E(d), og hvis der i stedet benyttes y = fås r = E(d)/E(p)!!!!!! Robert Shiller fortæller, at der kan opskrives ovennævnte model, således at der bliver taget højde for rationelle prisserier p!, hvor p! er den perfekte forudsigelige aktiekurs: p! = E! p! (model nr. 4) hvor,! p! = y!!!!!! d!!! Der vil aldrig observeres en p! uden nogle fejl, da summen af alle tallene strækker sig til uendeligt. Men hvis der observeres en lang nok dividendeperiode, vil der opnås en omtrentlig perfekt p!. 15

16 Hvis der vælges en vilkårlig værdi af terminalværdien p!, vil der kunne bestemmes p! rekursivt ved at arbejde sig bagud fra terminaltidspunktet ud fra følgende formel: p! = y(p!!! + d! ). Jo længere der gås tilbage i tiden, desto mindre har terminalværdien på start tidspunktet en effekt på bestemmelse af p!. Hvis der havde været valgt en anden terminalværdi, skulle der blot trækkes eller tillægges en eksponentiel værdi til p!. Der bliver beregnet og analyseret ud fra denne model i afsnit 7.2. Robert Shiller(1989) forklarer endvidere, at der er en anden måde, at omskrive denne model på. Denne omskrivning vil ikke blive anvendt i analysen i de kommende afsnit. Men det giver en forståelse af, hvorfor Robert Shillers antagelser og modeller kan anvendes til at beregne en over- volatilitet. Til denne omskrivning, er det nødvendigt at indføre en ny variabel. Denne variabel operatør kan defineres ved: δ! = E! E!!!. Hvor E! er det forventede operatør. Det betyder, at enhver variabel X! udtrykkes δ! X!!! som er lig med E! X!!! E!!! X!!!, hvilket er ændringen i den betingede forventning i X!!!, der er fremkommer, som reaktion på den nye information der er opstået mellem tid t- 1 og tid t. Dermed er det nødsaget, at undlade tiden t, således at δx! betegner δ! X!!! og δx betegner δx! eller S! X!. Dermed opfylder E!, som var den forventede operatør, E! E! = E!"# (!,!), heraf følger E!!! δ! X!!! = E!!! E! X!!! E!!! X!!! = E!!! X!!! E!!! X!!! = 0, m 0 Denne ligning fortæller, at δ! X!!! skal være ukorrelerede for alle k med al information kendt på tid t- 1 og skal være, ukorrelerede med δ!! X!!!, da forsinkede bevægelser er information på tid t, hvor t! <t, dvs. alle bevægelser i j er ukorrelerede serier. Denne nye model viser dermed, at alle bevægelser i aktiekursen δ! p! er observerbare. Siden model nr. 3 kan skrives p! = γ(d! + E! p!!! ), fås der, at E! p!!! =!!! d!. Dermed får vi δ! p! E! p! E!!! p! = p! + d!!!!!!!! = Δp! + d!!! rp!!!. 16

17 Variablen δ! p! er den variabel, som Clive Granger(1975) og Paul Samuelson(1977) påpegede i kontrast til Δp! = p! p!!!, i modsætning til den efficiente markedsteori, ikke burde være uforudsigelig. Ifølge Robert Shillers (1989) analyse arbejde, vil der ud fra disse modeller, i praksis kunne beregne δ! p!, som omtrentlig lig med Δp!. Denne model beviser endvidere, at bevægelser i aktieprisen er relaterede til bevægelser i dividender ud fra følgende:! δ! p! = γ!!! δ! d!!!!!! (model nr. 5) Denne model nr. 5 ligner meget model nr. 3, dog med en undtagelse, at δ! har erstattet E!. Det ærgerlige ved denne model er, at δ! p! kan observeres, men δ! d!!! ikke direkte kan observeres. Med dette menes, at der ikke altid vides, hvornår informationen omkring den enkelte dividende bliver offentliggjort. Således forpligtes der til at antage, at mønsteret af information opstår på den værst tænkelige" måde ved at udlede skævhederne i beregningerne. Hvis der observeres på modellerne nr. 2 til 5, så udtrykker de fire forskellige måder på fremstilling af samme efficiente markedsmodel. Model 4 og 5 er især nyttige til at udlede skævhederne på målingen af volatiliteten. Der er allerede brugt model nr. 4 til at udlede rammen, model. nr. 1, på standardafvigelsen for p givet standardafvigelsen på p, og denne vil blive benytte i model 5 til at udlede en grænse for standardafvigelsen δp givet standardafvigelsen af d. Et spørgsmål, der vedrører til afledning af model nr. 1 kan nu afklares. Uligheden i model nr. 1 blev udledt ved hjælp af den antagelse, at prognosefejlen, u! = p! p! er ukorreleret med p!. Men prognosefejlen u! er ikke serie ukorrelerede. Den er ukorreleret med al information kendt på tid t, men den forsinkede prognosefejl U!!! vides ikke på tid t, da P!!! ikke er observerbare på tid t. Faktisk er u! =!!!! γ! δ!!! p!!!, som der kan beregnes ved at substituere de udtryk for p! og p! fra model nr. 3 og nr. 4 i u! = p! p!, og omplacerer. 17

18 Siden δ! p! serien er ukorreleret, og u! er en første- orden autoregressiv seriel korrelation. Ud fra den grund, er det uhensigtsmæssigt at teste modellen i en regression af p! p! på variabler kendte på tidspunkt t, og ved brug af almindelig t- statistik af de koefficienter på disse variabler. Imidlertid ville en generaliseret mindste kvadraters transformation af disse variabler udgøre en passende regression test. Der kan således skabes en relation på den transformerede variabel u! γu!!! på variabler kendt på tid t. siden u! γu!!! = γδ!!! p!!!, dermed giver disse tests et indblik i om der kan beregnes forventede aktieprisbevægelser. For at finde en begrænsning for standardafvigelsen af δp for en given standardafvigelse på d! skal der først noteres, at d! er lig med dens ubetingede forventning værdi plus summen af dens bevægelser, som kan ses fra denne model:! d! = E d + δ!!! d!!!! (model nr. 6) Hvis der betragtes, at E(d) som E!! (d! ), bemærk at dette udtryk er en tautologi, altså et logisk udtryk som er sandt. Dette fortæller, at selvom d! hvor t = 0,1,2, blot er forskellige lineære kombinationer af de samme bevægelser i dividenderne, der indgår i den lineære kombination i model nr. 5, hvor der bestemmes δ! p!, hvor t = 0,1,2 Der kan derfor blive stillet spørgsmål ved, hvor stor var(δp) kan være for given var(d). Siden bevægelserne er serielt ukorrelerede, vides der fra model nr. 6, at variansen af summen er summen af varianserne, som der kan ses ud fra denne model:!!! var d = var(δd! ) = σ!!!!!!! (model nr. 7) 18

19 Ud fra antagelserne omkring en stationaritet for d! indebærer at var(δ!!! d! ) var(δd! ) σ!!, som dermed afhænger af tiden t. I udledningen af model nr. 5 var der ingen oplysninger om, at variansen af summen, er summen af varianserne, da alle bevægelser er bevægelser af tid t, som kan være korrelerede. Der kan faktisk for en given σ!!, σ!!!,., σ! er den maksimale varians af summen, i modellen nr. 5, forekommer, når elementerne i summen er perfekt positivt korreleret. Det betyder, at så længe var δd 0, δ! d!!! = a! δ! d!, hvor a! = σ! /σ!. Hvis der tillægges dette til model nr. 6, fås følgende:! d! = a!!!! ε!!! (Model nr. 8) Hvor hatten (^) over d! betyder en variabel minus dens middelværdi: d! d! E(d) og ε! δ! d!. Derfor, hvis var(δp)skal maksimeres for en given σ!!, σ!!, σ!!., så må dividende - processen være en glidende gennemsnits proces i forhold til sine egne bevægelser. Robert Shiller(1989) viser således, at hvis variansen af δp skal maksimeres, vil prognosen for d!!! har den sædvanlige ARIMA form, som Box og Jenkins(1970) tidligere har populariseret. Der kan nu findes den størst mulige varians for δp for en given varians af d. Da bevægelser, ud fra på model nr. 5, er perfekt positivt korreleret, var δp = (!!!! γ!!! σ! )!. For at!! maksimere dette med den begrænsning, at var d =!!! σ! med hensyn til σ!, σ!,.., kan der opsættes Lagrange 2 model:! L = γ!!!!!! σ!!! + υ var d σ!!!!!, model nr. 9 2 I matematisk optimering, giver metoden af Lagrange multiplikatorer (opkaldt efter Joseph Louis Lagrange) en strategi for at finde maksima og minima for en funktion underlagt begrænsninger. 19

20 Hvor υ er den lagrange multiplikatorer, Den første ordens betingelse for σ!, j = 0,.., er:! L = 2 γ!!! σ!!!! σ! γ!!! 2υσ! = 0, (model nr. 10) Hvilket indebærer, at σ! proportional med γ!. Den anden orden betingelse for et maksimum i lagrangen, er opfyldt, når maksimummet kan ses som en tangering af en isoquant for var(δp), som er en hyperplan(fodnote) i δ!, σ!, σ!.. plads, med hypersphere repræsenterede ud fra en betingelse. Ved den maksimale σ!! = 1 γ! var d γ!! og var δp = γ! var(d)/ 1 γ!, og for at gøre det nemt at fortolke konvertere ovennævnte til standardafvigelser : σ δp σ d r! (model nr. 11) Hvor r! = (1 + r)! 1 Her er r! den to- periode rente, hvilket omtrent er den en- periode rente gange to. Det maksimale sker, når d er en første ordens autoregressiv proces, d! = γd!!! + ε! og E! d!!! = γ! d!, hvor d d E d, som ligeledes er skrevet tidligere. Variansen af bevægelserne i aktieprisen er således maksimeret, når information om dividende er afsløret i en glidende jævn facon, således at standardafvigelsen af den nye information på tid t om en fremtidige dividende d!!! er proportional med dens vægt i nutidsværdien formlen i model nr. 5. Lad os nu antage, i kontrast til den ovennævnte, at alle udbytter blev offentliggjort nogle år før de blev udbetalt. Dermed vil denne bevægelser i dividenderne gøre, 20

21 at de ville blive tilbagediskonteret i model nr. 5, at de kun vil bidrage lidt til standardafvigelsen af bevægelserne i aktieprisen. Hvis der ses på denne opfattelse med andre øjne, og dermed anser at intet omkring dividendes størrelse og udbetaling var kendt før det år de blev udbetalt. I denne antagelse bliver bevægelserne af dividenderne ligeledes som før ikke tilbagediskonteret kraftigt i model nr. 5, indvirkningen af bevægelserne ville begrænset til kun en periode i model nr. 5, og standardafvigelsen i bevægelserne på aktieprisen, ville være begrænset til standardafvigelsen på enkelt dividende. Andre uligheder, som også kan ses i model nr. 11, kan ligeledes blive udledt på samme måde. Hvis der for eksempel sættes en øvre grænse for standardafvigelsen af ændringen i aktieprisen, i stedet for bevægelserne i aktieprisen, for en given standardafvigelse i dividenden, vil man komme ud af samme ulighed. Den eneste forskel, der introduceres i den ovennævnte fremgangsmåde er, at Δp! er en anden lineær kombination af bevægelserne i dividenderne. Hvis der anvendes det faktum, at Δp! = δ! p! + rp!!! d!!!, fås følgende:!!!! Δp! = γ!!! δ! d!!! + r δ!!! γ!!! d!!!!! δ!!! d!!!!!!!!!!!!!!! (model nr. 12) Som vist ovenfor, kræver maksimering af variansen af δp for en given varians af d, at tid t bevægelserne i d er perfekt korreleret (bevægelserne på forskellige tidspunkter er nødvendigvis ukorrelerede. Dette betyder, at dividende- processen, ligesom før, skal beregnes ud fra en Arima proces. Dog vil parametrene i den nye Arima proces af d til at maksimere variansen af Δp være anderledes. Robert Shiller (1989) viser, at maksimering af lagrangen viser os en ulighed smule anderledes end i model nr. 11: 21

22 σ Δp σ d 2r (model nr. 13) Den øvre grænse er nået, hvis den optimale dividendeprognose er første orden autoregressiv, men med en autoregressiv koefficient lidt forskellig fra den, som inducerede den øvre grænse til model nr. 11. Den øvre grænse for model nr. 13 opnås, hvis d! = (1 r)d!!! + ε! og E! d!!! = (1 r)! d!, hvor d d E d, som ligeledes er udredt tidligere. 3. Dividende eller earnings? Skal der anvendes dividende eller indtjening fra virksomheden til beregning af aktieprisen i den efficiente markedsteori? Dette spørgsmål vil blive diskuteret i nedenstående afsnit. Det er blevet fremført fra nogle økonomer, se ligeledes nærmere på dette i afsnit 9, at model nr. 2, hvor der anvendes dividender til beregning af aktieprisen, ikke indfanger hvad der generelt menes med effektive markedsteori. Modellen bør erstattes af en model, som kan estimere aktieprisen ud fra nutidsværdien af den fremtidige earnings snarere end de fremtidige dividender. Robert Shiller (1989) forklarer, at nutidsværdien af den fremtidige earnings kunne være relevant i model nr. 2 for prisfastsættelsen af aktier, men kun i det omfang, hvor den fremtidige earnings er en indikatorer for de fremtidige dividende. 3 Indtjening/earnings er derfor ikke forskellig fra enhver anden økonomisk variabel, der kan indikere fremtidige dividender. Robert Shiller(1989) forklarer endvidere, at Model nr. 2 er i overensstemmelse med den sædvanlige opfattelse i finansiering, hvor personer, der beskæftiger sig med beregning af aktieafkast, anser, at dette aktieafkast kommer fra kursgevinster samt dividender. 3 Side 117 i Markets volatility 22

23 Modellen indebærer, at det forventede samlede afkast er konstant, og at kapitalgevinster blot er et element af afkastet, hvilket er en afspejling af informationer om fremtidige dividender. Earnings derimod, er statistik udregnet af regnskabsfolk, der formodes at give en indikator for, hvor godt en virksomhed klarer sig økonomisk. Der er dog en del diskussion om hvordan earnings defineres, og derfor kan det være upassende at anvende earnings. Der er ingen grund til at pris pr. aktie burde være nutidsværdien af den fremtidige indtjening pr. aktie, da noget af indtjeningen kan være tilbageholdt. Merton Miller og Franco Modigliani(1961) diskuterede, at en nutidsværdi model burde indebære en grundlæggende form for dobbeltberegning. Dette mener Robert Shiller(1989) er en forkert antagelse, for hvis der både inkluderes earnings på tid t og senere geninvesteringen af earnings fra tid t, vil det give et forkert resultat i nutidsværdimodellen pga. dobbeltberegningen. Miller og Modigliani(1961) udredte en model, hvor aktieprisen kan betragtes som nutidsværdien af earnings korrigeret for investeringer. Men denne model, mener Robert Shiller(1989), kan udredes ved hjælp af en regnskabsmæssig identitet, således at den bliver identisk med model nr. 2. Nogle økonomer mener, at der ikke kan beregnes en akties pris, som beregning ud fra en nutidsværdi af de forventede dividender, da fleste virksomheder kun rutinemæssigt udbetaler en brøkdel af deres indtjening som dividender og dermed forsøger at stabilisere deres dividender. Robert Shiller(1989) giver dem ret i denne opfattelse, men anser, at dette kun kan være tilfældet hvor virksomheder udbetaler nul i dividende. For dermed vil aktieprisen p! være nødt til at vokse ud fra den diskonterede rente r og model nr. 2 ville ikke være løsningen på uligheden implementeret i de underforståede vilkår E! H! Hvis virksomheder på den anden side kun betaler en brøkdel af dividenderne eller jævne kortvarige svingende dividender, vil prisen på virksomhederne vokse med en mindre hastighed end den diskonterede rente og dermed vil model nr. 2 være løsningen på uligheden. For at give en forståelse for denne pointe, kan der ses på en traditionel vækst model i! kontinuert, hvor der i stedet for model nr. 2 havde P! = D! e!!" d!!. I denne model vil et selskab have en konstant earnings strøm I. Hvis selskabet betaler alle sine earnings ud i = r 23

24 ! dividende, vil ovennævnte model blive D = I og P! = Ie!!" d!! = I/r. Men hvis selskabet kun betalte s af dens earnings, vil selskabets vokse med rate (1- s)r, D! = sie!!!!" hvilket er mindre end ved tid = 0, men større end I på et senere tidspunkt. Dermed fås!!!! P! = sie (!!!)!" e!!" d! = sie!!"# d! =!". Hvis s 0 fås P! = I/r. Dermed kan der ikke konkluderes, at earnings er bedre end dividende pga. selskaberne ikke udbetaler alle dividender på tid t.!" Ud fra BO- DK- indeksets data, er væksten i den reelle aktiekurs kun omkring 0,07 % pr. måned, mens den diskonterede rente er på 4,285 %. På nogle årtier vil der ud fra disse satser observeres, at værdien af virksomheden, vil blive tilbagediskonteret i forhold til sin størrelse, og dermed hvor lidt dette bidrager til værdi af aktien i dag. Derved kan der anses, at langt størstedelen af værdien stammer fra de mellemliggende dividender. Derfor bør model nr. 2 og den implicitte p være anvendelige karakteriseringer til estimering af værdien af virksomheden. Det afgørende argument for dette er sammenhængen mellem, at når der kendes en terminalværdi og de mellemliggende dividender, er der specificeret hvad alle investorer bekymrer sig om. Dermed ville det ikke give mening, at definere en ex- post rationel pris ud fra nogle terminalvilkår med earnings i stedet for dividender. 4. Earnings Ud fra ovennævnte proces, hvor dividenden er en god faktor til beregning af den fremtidige aktiekurs, anses det ikke for nødvendigt at beregne på earnings. I afsnit 7.1 vil der kunne observeres en over- volatilitets analyse på pris/earnings. Denne analyse er meget simpel. Den teoretiske baggrund for disse beregninger er ud fra den efficiente markedsteori om en ny information, hvor der anses, at en ændring i earnings vil resultere i en ændring i aktiekursen. Disse resultater vil blive holdt op imod resultaterne på analysen af aktiekursen overfor dividenden. 24

25 Processen på earnings vil være en replikering af Robert Shillers(2000) analyse på Standard and Poor Composite index 4. For at gøre data mere sammenlignelige og i reelle kroner i dag bliver alle data diskonteret op med det danske forbrugsprisindeks 5. Dette forbrugerindeks kunne lige så godt have været det europæiske eller det for hele verden. Dette skyldes, at i følgende rapport fra Penge- og pensionspanelet(2011) 6 forklares det, at det danske C20 indeks ikke er fyldt med danske aktier, men selskaber, som er eksponeret i hele verden, og derfor anses indekset som internationalt. Der anbefales: Spred risikoen, men hold dig til danske aktier. En portefølje bestående af aktier fra de større danske børsnoterede selskaber vil passe de fleste. Derfor kunne der også være anvendt et verdens forbrugerprisindeks. Men data i afsnit 7.1 er kun blevet diskonteret op med det danske forbrugerprisindeks. 5. Aktieindeks I dette afsnit vil der forklares om det opstillede aktieindeks ved navn: BO- DK- indeks, der bliver anvendt til over- volatilitets analysen på det danske aktiemarked. I afsnittet forklares sammensætningen af indekset, såsom vægtningen af de enkelte selskaber samt hvorfor der er valgt denne metode. BO- DK- indekset er sammensætning af danske aktier, hvor alle aktiedata er udtrukket fra Bloomberg systemet. Dette er gjort ud fra, at denne opgaves hovedformål er at sandsynliggøre, at der er en over- volatilitet på det danske aktiemarked ud fra en replikering af Robert Shillers over- volatilitet teori, som er beskrevet under den efficiente markedsteori. Der er medtaget både store virksomheder, som for eksempel AP Møller samt mellemstore virksomheder, såsom Harboe byggerier osv. Der er i alt benyttet 40 forskellige virksomheder, jf. figur for at få indblik i hvilket selskaber der er med i indekset og i hvilket år selskaberne indtræder i indekset. På figur kan der observeres, hvor meget hver sektor fylder i BO- DK- indekset (data ud fra selskabernes vægt den ) Se bilag: Excelark: Rentesatser for consumer pris indeks data er fra: litteraturliste nr. 6 Se litteraturliste under hjemmesider. 25

26 Selskabsoplysninger på BO- DK- indekset Aktie Sektor* Indtrædelse i indekset** Torm Energi 1994 TDC Telekommunikation 1994 Sjælsø gruppen Finans 1998 Danske Bank Finans 1989 Nordea Finans 1996 Topdanmark Finans 1990 TRYG Finans 2005 TK develoment Finans 1991 Bagn & Olufsen forbrugsgoder 1990 IC campany forbrugsgoder 1996 Andersen & Martini B forbrugsgoder 1990 Gyldendal forbrugsgoder 1989 Parken forbrugsgoder 1995 Greentech energy systems Forsyning 1992 Sanistål Industri 1992 Rockwool Industri 1996 Schouw & Co Industri 1989 Intermail B Industri 1994 SAS Industri 1996 DFDS Industri 1989 Københavns lufthavne Industri 1994 Mærsk B Industri 1989 FLSmith Industri 1989 NKT holdning Industri 1989 Vestas Industri 1998 DSV Industri 1995 Royal unibrew Konsumentvarer 1998 Carlsberg Konsumentvarer 1990 Harboe Bryggerier Konsumentvarer 1991 H+H international Materialer 1989 Auriga industries B Materialer 1990 Novoxymes Materialer 2000 GN store nord Sundhedspleje 1989 Lundbeck Sundhedspleje 1999 Bavarian nordic Sundhedspleje 1998 Neurosearch Sundhedspleje 1996 ALK Abello B Sundhedspleje 2005 Coloplast Sundhedspleje 1995 Novo nordisk B Sundhedspleje 1991 William Demant Holding Sundhedspleje 1995 Figur Kilde: bilag Excelark: Antal aktier 26

27 Sektoropdeling af BO- DK- indekset Figur Kilde: Bilag 1: Antal (data fra den ) Indekset er sammensat ud fra markedsværdivægt. Hvilket betyder, at selskaberne med størst markedsværdi får en større vægt i indekset. Dette har selvfølgelig sin medvirkning til at Novo Nordisk B- aktien fylder ca. en 1/3 af det opstillede indeks. Hvert selskab har fået en værdinøgle i procent, som bliver anvendt til at bestemme den vægt hvert selskab skal have i indekset. Denne værdinøgle afgør vægten af hver selskab og dens aktiekurs, dividende og earnings har påvirkning på BO- DK- indekset. Denne værdinøgle kan beregnes ud fra nedenstående formel. Men for at gøre det mere gennemsigtigt, så antages det at indekset kun indeholder 4 aktier, aktie A, B, C og D. Dermed er værdinøglen på aktie A, som følger: Værdinøgle A = A! A!"#!$!"#$%& (A! A!"#!$!"#$%& + B! B!"#!$!"#$%& + D! D!"#!$!"#$%& ) 100 % A! er aktie A s nuværende kurs på aktiemarkedet. A!"#$%!"#$%& er aktie A s samlede antal aktier i selskabet. 27

28 Ud fra denne formel får hvert selskab sit egen værdinøgle i indekset ud fra dens markedsværdi. Denne markedsværdi er selvfølgelig ikke konstant og der bliver beregnet en ny værdinøgle for hver måned indtil vi når den , hvor indekset starter. Bo- DK- indekset slutter den , altså dermed bliver tidsserien på 22 år. Endvidere er der taget højde for selskabernes nominal value, således at alle selskaber bliver diskonteret ned til en kr. 1 aktie, hvilket betyder for eksempel at A.P. Møllers B akties kurs bliver divideret med 1.000, da den pt. er en kr aktie. Ud fra værdinøglen og den nedsatte nominal value til kr. 1 aktie bliver indekset sammensat ud fra samme vilkår som det velkendte C20 aktieindeks. BO- DK- indekset er udtænkt ud fra en ide om at genskabe C20 indekset, for at skabe nogle troværdige data over for læseren. Men ud fra dette er det vigtigt at holde sig for øje, at C20 indeksets sammensætning af selskaber kan variere år til år. Dette skyldes, at hvert år bliver hvert selskab vejet ud fra markedsværdi og omsættelighed. Hvis et selskab derfor ikke længere er blandt de 20 største, vil det selskab blive trukket ud af C20- indekset. Men denne øvelse er ikke fornuftig, hvis der skal bevises en over- volatilitet på det danske aktiemarked. Der skabes nemlig en usikkerhed omkring de nye selskaber, som tiltræder i indekset. Usikkerheden kan være, at der ikke vides hvad de nye selskaber har haft af fundamentals før indtrædelse i indekset, samt at der heller ikke tages højde for de udtrædende selskabers ændring i fundamentals. Når teorien fortæller, at en ændring i fundamentals skal resultere i en kursændring, vil en forandring af selskaberne i indekset kunne resultere i forhøjet usikkerhed på datas rigtighed. Dermed bliver det sværere at bevise at de nye selskaber eller om de udtrådte selskabers kursændring skyldes en forandring i deres fundamentals. Derfor anses det, at give en større troværdighed, hvis der beholdes samme selskaber i indekset fra start til slut. Da denne øvelse, hvor en bibeholdelse af selskaberne, bliver udarbejdet på BO- DK- indekset. Vil det ikke være muligt, at lave en replikering af C20. Hvilket gør, at der er valgt 40 aktier mod 20 aktier, da det anses, at der skabes et indeks med større troværdighed og med en større diversifikation. 28

29 Grunden til at der ikke er valgt at se på en bestemt aktie skyldes, at der dermed kan opstå en usikkerhed om denne aktie måske er anderledes i forhold til resten af aktiemarkedet. Derfor er der skabt den ovenstående diversifikation for at skabe en sikkerhed på at over- volatilitets analysen ikke bliver negligeret. Dette er pga. at der kan kun være at nogle investorer spekulerer i en bestemt aktie. Der opstod dog et andet problem med opsætningen af BO- DK- indekset. Der kan ud fra figur 5.1 konstateres, at der startes med 9 selskaber og sluttes ud med 40. Dette skyldes, at der i Bloomberg systemet, ikke var data på alle 40 selskaber helt tilbage til Nogle af selskaberne eksisterede ikke eller havde ikke været børsnoteret helt tilbage til Hos andre selskaber var data blot ikke tilgængelige. Dermed observeres der i datasættet 8, at indeksets antal af selskaber stiger støt henover årerne. Men der skal dog pointeres, at allerede i år 1994 er BO- DK- indekset oppe på 22 selskaber og 1998 er dette oppe på 36. Derved kan det konkluderes, at BO- DK- indeksets data ikke kan negligeres på grund af denne ulighed. Endvidere skal det nævnes, at hver gang et nyt selskab indtræder i BO- DK- indekset, vil det ikke påvirke indekset med samme problem som ved selskabernes ind- og udtrædelse i C20 indekset. Dette er selvfølgelig en sandhed med modifikationer. Dette skyldes, at hvert gang et selskab indtræder i indekset, så bibeholdes selskabet indtil slut. Endvidere bliver der udregnet en ny værdinøgle på alle selskaberne, når et nyt selskab indtræder BO- DK- indekset. Dermed vil det indtrædende selskab kun påvirke BO- DK- indekset med sin værdinøgle. Ud fra disse to faktorer, anses nye indtrædende selskaber ikke at være et problem for beregningerne i denne opgave. For at se om BO- DK- indekset har en troværdig kursudvikling kontra C20 indekset, blev der udarbejdet en tracking error af Bo- DK- indeksets volatilitet kontra C20 indeksets volatilitet. 7 Ud fra Bloombergs data. 8 Bilag 1 Excel ark: månedberegninger 29

30 Ud fra tracking error beregningerne 9 konstateres der en gennemsnitlig fejl i BO- DK- indekset kontra C20 indekset på 1,33 % pr. måned. Denne fejl pr. måned bliver diskonteret op til en årlig fejl samt en fejl over tidsperioden på 22 år. Tracking error pr. år er på 1,33 % 12 = 4,61 %. Tracking erroren på alle 22 år er på 4,61 % 22 = 21,6 %. Dette giver et indblik i, at der er ca. 21,6 % forskel i BO- DK- indeks kontra C20 indekset. Hvilket fortæller, at C20 indekset faktisk stiger gennemsnitligt 21,6 % mere end BO- DK- indekset over tidsserien på 22 år. Men hvad denne øvelse ligeledes fortæller er, at begge indeks stiger fornuftigt over de 22 år. Det kan dermed anses, at selvom der er større stigning i C20 indekset kontra BO- DK- indekset, må der konkluderes, at BO- DK- indekset stadigvæk giver et datasæt, som kan anvendes til beregning af en over- volatilitet på det danske aktiemarked. 5.2 Kildekritik: Dette afsnit vil der blive gennemgået hvilke problemer datasættene på BO- DK- indekset, kan have af indflydelse på over- volatilitets beregningerne og analysen. En tidsserie på 22 år kan eventuelt ikke være lang nok til at sandsynliggøre en over- volatilitet på det danske aktiemarkedet. Dette skyldes, at for at bevise, at p! = E! (p! ) og dermed at u! = 0, hvor u! = p! p!, så skal dividende serien være lang nok til at fejlen i ovennævnte model er lig nul, jf. Robert Shiller(1989, s. 111). Dette sker ikke, som der kan observeres i over- volatilitets analysen i afsnit 7.2 og i datasættet 10. Derfor må det konstateres, at den opstillede tidsserie er for kort. I den første over- volatilitets analyse, se afsnit 7.1 samt datasæt 11, konstateres der at på pris/earnings kun har data tilbage til år Dette skyldes at der i de data, som er udtrukket fra Bloomberg, ikke har noteret data på earnings før 1997, udover få tilfælde. Dermed er earnings- tidserien omkring 14 år, hvilket igen vil anses for at være en for kort periode til at bevise en over- volatilitet på det danske aktiemarkedet ud fra kurs overfor earnings. 9 Bilag: Excel ark: tracking error 10 Bilag: Excel ark: 2. Over-vol 11 bilag: Excel ark: 1. Over-vol 30

31 I aktiedatasættet fra Bloomberg 12 opleves der nogle måneder og endda år, hvor der ikke er noteret en kurs på nogle bestemte selskaber. Den primære grund til dette skyldes, at der i disse perioder ikke er observeret en stor nok omsættelig mængde af de enkelte aktier til at fastsætte en fornuftig kurs. Der er ved sammensætningen af BO- DK- indekset 13 taget stilling til hvert tilfælde. Der blev taget stilling til om kursen skulle anses som at være nul, dette er primært i de tilfælde hvor perioden var længere end 2 måneder, eller om kursen skulle fastsættes til hvad kursen var på måneden før. Problemet med aktiedataindsamling for danske selskaber skyldes primært, at de største danske selskaber ikke har en lang nok levetid eller ikke har været børsnoteret i lang nok tid. Robert Shiller(1989, s. 440) udarbejdede sin over- volatilitets analyse på Amerikanske aktier, hvor der kan findes aktiedata helt tilbage til år Random Walk på BO- DK- indekset: I dette afsnit vil det fremvises og sandsynliggøres, om BO- DK- indekset følger teorien bag det efficiente markedsteori. Det vil blive belyst hvorledes beregningerne er sat op samt en analyse på resultaterne. Den efficiente markedsteori fortalte, at hvis BO- DK- indekset skal følge betingelserne til teorien, var det et krav at aktiekurserne fulgte en random walk. Ud fra nedenstående regressionsligning var en det konsekvens at følgende betingelser er opfyldt α = 0 og β = 0: p! = α + βp!!! + e! (RW) Der benyttes denne regressionsligning til at opsætte betingelser for beregningerne i random walk modellen. Da BO- DK- indeksets aktieafkast og dermed kursudvikling ikke kun opstår på de bestemte ultimo datoer, der er opstillet i datasættet 14, bliver der benyttet en proces, hvor der ikke 12 bilag 1: Excel ark: måned 13 bilag 1: Excel ark: 2. BO-DK-indeks månedlig 14 Bilag 1: Excel ark: 2. BO-DK-indeks månedlig 31