Ubegribelige grublere Lærervejledning

Transkript

1 Torben Blankholm og Mikael Skånstrøm Ubegribelige grublere Lærervejledning Gyldendal

2 Ubegribelige grublere af Torben Blankholm og Mikael Skånstrøm 009 Gyldendalske boghandel, Nordisk Forlag A/S, København Forlagsredaktion: Louise Filskov Grafisk tilrettelæggelse: Anne Marie Kaad Tegninger: Annette Carlsen serien består af supplerende materialer til matematik. Denne bog henvender sig primært til.- 9. klasse. Indhold Tal og regneregler på hovedet Kopiark : Et spil om pluspoint Kopiark : Et spil med rødder og bonus Kopiark : Multimange tal af fire -taller Kopiark : Øh, hvor kan jeg lægge det her tal? Kopiark : Spilleplade og mængdekort til side Kopiark 6: Talbrikker til side Synsvinkler Kopiark 7: Er skorstenen til højre eller venstre? Kopiark 8: Synsvinkler: Hvor er det set fra? Kopiark 9: Billeder til side 8 Kopiark 0: Tre slags matematisk tegning Kopiark : En arbejdstegning hvor mange mulige figurer? Kopiark : Hvordan ser figuren ud i virkeligheden? Kopiark : To synsvinkler en figur Terningpusleopgaver Kopiark : Tre ens terninger Kopiark : Den ene hører ikke til! Kopiark 6: Ti ens klodser eller måske er der kun? Kopiark 7: Kan du finde den rigtige? Kombinatorik Kopiark 8: Eneboerspillet Hop over Kopiark 9: Mønttårnet Kopiark 0: Panik ved floden Kopiark : Er du med på ottekanten? Kopiark : Hvor mange områder? Tal tegner spiraler Kopiark 6: Tælleture hvad er nu det? Kopiark 7: Tælleture - kvadrater, rektangler og? Kopiark 8: Tælleture - koder af figurer! Mobil-matematik Kopiark 9: Mobil-matematik og PIN-kode Kopiark 0: Mobil-matematik og SMS-kæder Kopiark : Mobil-matematik og Tetris Primtal, sammensatte tal og Ruth-Aaron-par Kopiark : Primtal Kopiark : Goldbachs formodning og pythagoræiske primtal Kopiark : Sammensatte tal Kopiark : Ruth-Aaron-talpar Hvad er klokken digitale tal Kopiark 6: Klokken er? digitale tal på hovedet Kopiark 7: Når klokken er digitale tal på uret Kopiark 8: Når klokken er digitale tal læst bagfra Figurer med centicubes Kopiark 9: Figurer med centicubes en række Kopiark 0: Figurer med centicubes en kvadratisk figur Kopiark : Figurer med centicubes en terning Side -: Lærervejledning kort version Kvadratrødder Kopiark : Kvadrater og sidelængde Kopiark : Hvor lange er linjerne? Kopiark : Regneregler for kvadratrødder

3 Lærervejledning netversion Tal og regneregler [Kopiark -] En serie opgaver, der sætter eleverne til at arbejde med tal og algebra på en anderledes og udfordrende måde. Tre små talspil, som kræver, at eleverne anvender fx kvadratrødder og arbejder med forskellige talmængder som kvadrat-, kubik-, prim- og trekanttal. [ og ] Et spil om pluspoint Det er et simpelt lille spil, som indeholder mere strategi end eleverne umiddelbart tænker. Der er mange point at hente, hvis man undersøger mulighederne for at lægge en brik. Hver gang en mulighed skal afprøves, bliver eleverne tvunget til at arbejde med tal og algebra. Der arbejdes på tid, fordi det kan tage for lang tid at dække alle tal på pladen. Så hellere starte et nyt spil eller gå videre til den udvidede udgave med rødder og bonus, hvor parenteser, potenser og kvadratrødder inddrages. Når eleverne har spillet nogle gange, kan man udfordre dem til at lave et helt nyt terningspil. Opgaven kunne lyde: Find på en spilleplade og nogle regler for et underholdende spil, der har til formål at træne talbehandling og hovedregning. Tegn en flot udgave af spillepladen og få den lamineret. Formuler reglerne, så de er lette at læse og ikke er til at misforstå. Lav en liste over de nødvendige materialer, der skal til for at spille spillet. Find nogle testpersoner, som vil prøvespille jeres spil og give jer ideer til forbedringer. Udform den endelige version af jeres spil. [] Multimange tal af fire -taller Den store udfordring er her at komme rundt i mange forskellige regningsarter og at kombinere dem. Man kan på forhånd sætte nogle krav til eleverne om, hvilke regningsarter der mindst skal indgå. Man kan også sætte et krav om, at regnestykkerne skal kategoriseres og sættes op som en lille illustreret matematikbog med forside, indhold, opgavesider og facitliste. Man kan lade andre elever arbejde med at regne opgaverne, men vores erfaring er, at det mest givende er at udforme opgaverne og matematikbogen.

4 [] Øh, hvor kan jeg lægge det her tal? Det er arbejdet med forskellige talmængder, som er i centrum på denne side. At opgaven er udformet som et spil, er for mange elever en motiverende faktor. Spillet kræver lidt forberedelse med at klippe brikkerne ud, men hvis man laminerer det, kan man gemme spillet i en stor konvolut og bruge det igen på et andet tidspunkt. Hvis man arbejder med læringsstile, er det også en mulighed at lave spillet om til et gulvspil. Opgaverne til 7 har til formål at præsentere eleverne for de talmængder, som de måske ikke lige er så sikre i. Hvis eleverne gerne vil vide mere, kan man henvise dem til matematiske opslagsbøger og internetleksikon som Den Store Danske og Wikipedia. ) Faktorer i :,,,, 6, 8 og Faktorer i 6:,,,, 6, 9, og 8. ) De første ti primtal:,,, 7,,, 7, 9, og 9. 6) De ti første kvadrattal:,, 9, 6,, 6, 9, 6, 8 og 00. 7) De ti første kubiktal:, 8, 7, 6,, 6,,, 79 og ) De manglende trekanttal: 66, 78, 9, 0 og 0. Det første trekanttal er, det næste er + =, det næste + + = 6. Man kan beregne ethvert trekanttal ved at bruge formlen: T n = n(n + ) :. Synsvinkler [Kopiark 7-] Puslerier, knuder og drilagtige opgaver i afbildningsgeometri: arbejds-, perspektiv- og isometrisk tegning: Det man ser, afhænger af, hvor i rummet man ser det fra. I mange af opgaverne er udfordringen at tænke sig frem til løsningen, men den sikre måde at tjekke facit er at klippe ud, folde og bygge figurerne. [7] Er skorstenen til højre eller venstre? Det er en let indledningsopgave, der har til formål at præcisere, at synsvinklen er afgørende, for det man ser. ) Martin: Set fra venstre er rækkefølgen træ, skorsten, mølle og kirke. ) Ida: Set fra venstre er rækkefølgen mølle, kirke, træ og skorsten.

5 ) Kevin: Set fra venstre er rækkefølgen kirke, mølle, skorsten og træ. ) Fx: Fordi de sidder over for hinanden og ser det fra to modsatte synsvinkler. [8] Synsvinkler: Hvor er det set fra? Vanskeligheden for nogle elever er at forholde sig til to-dimensionelle afbildninger af tre-dimensionelle ting. Opgaven her giver erfaringer, som kan være nødvendige, når eleverne skal arbejde med side 0-. Man skal være opmærksom på, at matrixen på kopiside 8 kan virke lidt drilagtigt. Nogle elever vil, når de løser opgaven, lægge kopisiden på bordet og dreje den rundt, så deres synsvinkel passer med de otte billeder fra kopiside 9. På den måde kan det virke mere logisk at dreje de fire hjørnebilleder, så de ligger på skrå i forhold til rummene i matrixen. ) Startende fra øverst venstre hjørne og med uret rundt:, 6,, 8, 7,,,. [9 og 0] Tre slags matematisk tegning Formålet er at arbejde med arbejdstegning, perspektivtegning og isometrisk tegning. Henvis også eleverne til at undersøge, hvad der står om emnet i deres matematikbog, i den officielle Formelog tabelsamling og lad eleverne gå på opdagelse i M.C. Eschers forunderlige verden i bøger på biblioteket og på internettet fx vælg fx punktet Picture Gallery. I denne serie kan der også henvises til titlen Umulige opgaver af Kjeld Pedersen et helt hæfte med herlige isometriske tegneopgaver. Til perspektivtegningerne kan man lade eleverne prøve kræfter med et eller flere geometriprogrammer eller måske forsøge sig med forskellige køkkenfirmaers tegneprogrammer til indretning af køkkener. ) centicubes. )

6 7) Fx: [] En arbejdstegning hvor mange mulige figurer? Det er vigtigt, at man holder styr på, hvor figuren er afbildet fra. Hvis nogle elever har svært ved at løse opgaven, kan det være en hjælp at sige til dem, at de skal holde figuren fast samme sted, mens de selv flytter sig for at se figuren fra den valgte synsvinkel. ) centicubes centicubes centicubes centicubes centicubes centicubes centicubes centicubes centicubes centicubes ) centicubes. ) centicubes. ) Flere svar er mulige fx: a) En arbejdstegning set fra fire synsvinkler eller b) Hvis det er centicubes som her, kan det være en plantegning med antal etager eller c) En kombination af arbejdstegninger og perspektivtegninger eller d) en kombination af arbejdstegning og isometrisk tegning. [] Hvordan ser figuren ud i virkeligheden? Opgaven lægger op til, at eleverne selv bygger nogle figurer af centicubes, og laver nogle tilsvarende opgaver til andre elever. Arbejdstegningerne i sæt nr. er de korrekte.

7 [] To synsvinkler en figur Hvis man lader eleverne bygge de 6 figurer i skemaet med centicubes, vil de måske kunne indse, at der faktisk kun er tre forskellige. De tre figurer er blot drejet og spejlet, så man i opgaven ser dem fra forskellige vinkler. Prøv at lade eleverne bygge de 6 figurer og bed dem om at overveje/undersøge, hvor mange forskellige rumlige figurer, de mener, der er. set forfra- fra den grå side set oppefra Terningepusleopgaver [Kopiark -7] En terning har en klar matematisk definition, som i praksis adskiller sig fra, hvad mange elever tænker, når de hører ordet. Eleverne skulle til den afsluttende skriftlige FSA-prøve i maj 008 tage stilling til, om en bygning var terningformet. Den opgave gav nok de fleste indlæg i konferencen for beskikkede censorer, hvor man dagligt kunne underholde sig med at læse eksempler på elevernes forklaringer. Vi har gennem årene jævnligt spurgt vores elever. De fleste af vores elever tænker på en spilleterning, og synes, der skal være prikker på en rigtig terning. Prøv selv at spørge i din klasse. Hvor mange elever kender den matematiske definition? Hvor mange kan tegne en terning perspektivisk? Hvor mange ved, at de fleste spilleterninger i princippet er ens, og at summen af prikkerne på de modstående sider er 7? Hvor mange kender antallet af forskellige udfoldninger af en terning, og kan tegne dem?

8 [] Tre ens terninger Fokus er at få kendskab til, at en terning har seks sider, og at der findes forskellige udfoldninger, som alle består af seks ens kvadrater. Man kan efterfølgende lade eleverne undersøge, hvor mange forskellige udfoldninger der findes [] Den ene hører ikke til! Er det finere at kunne løse opgaverne ved at undlade at klippe ud og i stedet tænke sig frem til resultatet? Det kan være hurtigere, men det kan til gengæld også være mere usikkert, for når først en elev har klippet og foldet, lades al tvivl ude løsningens gyldighed er bevist. Kan eleverne bevise deres løsningers gyldighed på anden måde?

9 [6] Ti ens klodser eller måske er der kun? En øvelse i at tænke rumligt og tre-dimensionelt ud fra en flad todimensional tegning. Eleven kan godt få hjælp til at finde antallet af de skjulte terninger ved at bygge figuren med centicubes. Læg mærke til, at der er to klør-symboler på hver terning. Lad efterfølgende eleven selv finde på tilsvarende opgaver, hvor der er en eller flere skjulte klodser. Figurerne kan: Bygges i centicubes Tegnes på isometrisk papir Tegnes som grundplan med antal etager på hvert kvadrat ) To klodser. ) forskellige symboler, der er to klør-symboler på hver terning. ) Fx: [7] Kan du finde den rigtige? Bed eleven om at tænke sig frem til de rigtige løsninger og markere svaret på papiret først. Lad derefter eleven med ord skive en forklaring på, hvorfor hver enkelt er den rigtige løsning. ) b ) a ) a ) d ) d

10 Kombinatorik [Kopiark 8-] Kombinatorik kan virke både abstrakt og vanskeligt for mange elever. Her er en række opgaver og spil, som sætter eleverne til at arbejde med kombinatorik på en måde, som gerne skulle få dem til at glemme, at de arbejder med kombinatorik og i stedet får dem til at kaste sig ud i undersøgelser og opstille løsningsmuligheder for at løse opgaven, knække nødden eller at finde systemet. [8] Eneboerspillet Hop over Eneboerspillet er en klassiker. Et spil, der er snublende let at lære, men som kræver meget at mestre. Her er det i en variation med en trekantet grundplan. Det giver nye udfordringer og lægger op til at lave sværere og sværere udfordringer ved at tilføje nye rækker for neden. I den første bane med ti felter kan pladen ryddes med fem træk, og det har ikke den store betydning, hvilket felt der er tomt, når man starter. I det andet spil skal det tomme felt være et af de midterste felter på en af de tre sider i trekanten. ) 8 træk. ) træk. fx

11 6) 9 træk. fx [9] Møntttårnet Mønttårnet er en variation over Brahmas tårn eller Hanois tårne, som er et berømt matematisk puslespil. Antallet af træk kan regnes ud vha. formlen T n = n, hvor n er antallet af mønter. Man kan vælge at give eleven formlen, så vedkommende selv kan regne ud, om det færreste antal træk er opnået. Eleven kan også undersøge formlen og indsætte forskellige antal mønter for at konstatere, hvor hurtigt antallet af træk vokser. Med en rigtig god lommeregner kan man komme rigtig langt, mens en del lommeregnere vil komme i problemer med antallet af cifre. Med 6 mønter kræver det fx træk, som man kan nå at rykke i løbet af næsten 8 milliarder år, hvis man rykker en brik hvert sekund. Man kan også henvise eleven til at læse om Brahmas tårn i internetleksikonet Wikipedia.

12 ) 7 træk. 6 7 ) træk ) træk. [0] Panik ved floden Det er to klassiske problemer, der udfordrer elevens evne til at systematisere, analysere og beskrive løsningen kort og præcist. I opgaven med bonden kan det umiddelbart være en barriere at skulle medtænke løsninger, hvor bonden er nødt til at ro en af tingene tilbage.

13 ) De to drenge ror over til den anden side. Den ene dreng står af og den anden ror tilbage. Derefter ror den første soldat over floden, hvorefter den første dreng ror båden tilbage. Igen må de to drenge ro over floden, og det hele starter forfra. Når den øvelse er gjort fire gange, er alle soldaterne kommet i sikkerhed på den anden side af floden. ) Bonden bliver nødt til at ro geden over først, fordi den ellers vil spise kålen eller blive spist af ulven. Så må bonden tilbage og hente enten ulven eller kålen. Ligegyldig om han tager kålen eller ulven med, så kan han ikke efterlade dem sammen med geden. Hvis han fx tager ulven med anden gang, bliver han nødt til at ro geden tilbage igen og sætte den af, når han skal hente kålen. Til slut må han så ro over og hente geden igen. [] Er du med på ottekanten? Opgaven har fire dele med progressiv sværhedsgrad. Tallene fra til 8 placeres i de trekantede rum i ottekanten: Opgave og i en fast struktur og opgave og i en dynamisk struktur, hvor ottekanten kan dreje som tandhjul, der griber i hinanden. ) )

14 og ) [] Hvor mange områder? Opgaven starter som en lukket opgave, der langsomt åbner sig og stiller eleven over for at tage stilling til, hvor langt vedkommende vil kaste sig ud i udforskningen af denne geometriske verden. Det handler om kombinatorik, systematik, geometriske figurer og ikke mindst om sproglighed, når eleven skal gøre rede for analyser og resultater. Opgaven kan ændres og få nyt liv, hvis man udprinter to lige store rektangler på en OH-transparent - en gul og en blå. Farverne gør, at opgaven får mere karakter af et arbejde med flader, og man kan nu stille spørgsmål som: Kan du lave et kvadrat/rektangel/en trekant? Kan du lave et grønt kvadrat eller en grøn rektangel/trekant? Det største? Det mindste? Beregn arealerne, og tegn dem. Hvor mange forskellige polygoner kan du lave? Hvor mange forskellige regulære polygoner kan du lave? Tegn dem og undersøg, hvordan du kan beregne deres arealer. )

15 ) 0 områder. ) Eksempel på forklaring: Alle sider er delt i tre stykker, og det giver det maksimale antal områder. ) Nej, højst det samme antal områder. Kvadrater og sidelængde [Kopiark -] For nogle elever er det en virkelig stor hjælp at løse opgaverne ved at benytte sig af sømbræt, elastikker og tegne tingene på sømbræt- og prikpapir. For andre er det en irritation først at anvende sømbrættet. Det er naturligvis ikke noget krav at bruge sømbrættet. Det væsentlige er, at eleven kommer gennem de faglige overvejelser og får indblik i en geometrisk tolkning af kvadratrødder. At man kan tegne sig frem til definitioner og løsninger på beregningsopgaver. At man kan vise, at nogle regler ikke fungerer, mens andre ser ud til at gælde generelt. [] Kvadrater og sidelængde I løsningerne på siden er der kun taget kvadrater med, som har et søm i hvert hjørne af kvadratet. Der kan laves andre kvadrater, men da de gør det i forvejen vanskelige stof mere indviklet, har vi valgt kun at medtage kvadrater med hjørnesøm. ) ) Areal Sidelængde 8 0

16 ),, 8 og 0. 6) Eksempel på en definition: Ved kvadratroden af et positivt tal a (skrevet a) forstås det positive tal, der opløftet til anden potens giver a. (Gyldendals små opslagsbøger matematik, Hans Jørgen Beck, Gyldendal Uddannelse). [] Hvor lange er linjerne? Det er nødvendigt, at eleven har kendskab til Pythagoras sætning, og kan bruge den til at beregne længden af en side i en retvinklet trekant. Man kan henvise eleven til at undersøge, hvad der står om Pythagoras sætning og om Pythagoras i deres matematikbog, i den officielle Formel- og tabelsamling og i internetleksikonet Wikipedia. ) 0 cm, 8 cm, cm, cm. ), ) og ) 8 = 8 = = = b) a) d) c) e) f) g) [] Regneregler for kvadrater Når eleven bliver bedt om at lave forskellige løsninger for omkredsen, tænkes der på at omkredsen kan udtrykkes med forskellige tal og ikke ved at sætte tallene i forskellige rækkefølge. Besvarelser som + + og + samt 8 + må anses for at ligge inden for det acceptable. Som afslutning på opgaven kan man opfordre eleven til at undersøge, hvad der står om kvadratrødder og regler for regning med kvadratrødder i klassens matematikbog samt i den officielle Formel- og tabelsamling. og ) Fx: + + cm 8,8 cm + cm,8 cm cm 8,8 cm

17 cm 8,9 cm cm 9,6 cm + cm 9,7 cm 6 + cm,9 cm + cm,6 cm + 0 cm 8, cm ) a: sandt, b: sandt, c: falsk, d: falsk, ) Det er kun regel a, som gælder Tal tegner spiraler [Kopiark 6-8] En lille verden åbner sig, når eleven går i gang med at løse opgaver og undersøge talkodernes muligheder. En verden fyldt med mange forskellige figurer og med en egen systematik. Der er traditionelle matematiske figurer, der er åbne og lukke figurer, der er kæder og borter. Den lille verden viser sig slet ikke at være så lille endda, og når der inddrages forskellige typer prikpapirer og åbnes for nye regler nærmest eksploderer mulighederne. Bagerst i denne vejledning er der de prikpapirer, der skal bruges til løsning af opgaverne. [6] Tælleture hvad er nu det? På denne side arbejder eleven med koder, som danner simple lukkede figurer. Det går ud på at lære systemet at kende og at erkende, at koder med den samme talfølge giver samme figur ligegyldigt, hvilket tal man starter med.,, og ) ),,, ) ),,,,,,,,, ),,,,,,

18 ) Det bliver samme figur, men startkrydset kommer til at ligge et forskelligt sted. [7] Tælleture Kvadrater, rektangler og? Der er flere muligheder for at lave koder, der giver kvadrater og rektangler. Det er ikke indlysende for alle elever at forkorte koderne, så kvadratkoder kun består af et tal og et komma ja, kommaet hører med til en korrekt kode! Man kan få kæderne nederst på siden til at gå lodret i stedet for vandret ved at flytte det sidste tal i koden op som første tal. Man kan også udfordre eleverne ved at bede dem undersøge og forklare, hvad vej man bevæger sig ved et, to og tre på hinanden følgende nuller. ) fx,,,, og,,,, eller blot, og, ) Mindst et tal. ) fx,,,, og,,,, eller blot,, og,, 6) Mindst to tal. 7) Rektanglet drejer 90 8),,,, 9),,,, 0),,,,,,,, ),,,,,0,0,,0,0,,0,0,,0,0,,0,0,, [8] Tælleture koder af figurer! Eleven skal nu gå den modsatte vej og opstille koderne ved at undersøge figurerne på isometrisk og retvinklet prikpapir. Anden halvdel af siden er en række opgaver som lægger op til at eleven selv går på opdagelse i den lille verden. Opgaverne er en blanding af lukkede og åbne opgaver, der er tænkt som inspiration til eleven.

19 ) a), b),,, c),,, d),,0,0, e),,,, f),,, g), h),,,, i),0,,,0, j),,,0, ) Fx,,,,,,,,,, ) Fx: Alle koder med ens tal bliver lukkede figurer, alle koder med et eller to tal giver lukkede figurer eller alle koder på tre tal giver lukkede figurer, hvis to af tallene er ens. ) og 6) Fx: Figurerne ændrer sig på grund af vinklerne ikke længere er 90 eller så kan man lave flere forskellige slags figurer, som fx trekanter, romber, sekskanter, stjerner osv.. 7) Ved at sætte 0,0, foran hvert tal i koden. Mobil-matematik [Kopiark 9-] I dag har stort set alle elever en mobiltelefon, og den er jo ikke blot en telefon, men indeholder et væld af andre funktioner fra lommeregner over kamera til forskellige spil. Kopiarkene indeholder en række eksempler på, hvordan mobiltelefonen kan bruges i relation til matematik. [9] Mobilmatematik og PIN-kode I den elektroniske verden kræves ofte, at man anvender en kode for at få adgang til mediet. Koden skal bestå af bogstaver, cifre og tegn. På mobiltelefonen er det oplagt at bruge cifre. De fleste mobiltelefoner kræver fire cifre til en kode. Mobiltelefonen leveres med en kode, brugeren så selv kan ændre. Opgaverne handler om variationer af kombinatorik med udgangspunkt i PIN-koder. ) a) = 00 b) 0 = 0000 c) = 0 d) 0 = 000 e) 9 8 = 7 f) 0 0 g) 9 = 6 ) g

20 [0] Mobilmatematik og SMS-kæder I facitlisten er den tid, Peter selv er om at skrive og sende beskeden, ikke medregnet. Det er altså tiden, fra han trykker på send på sin mobiltelefon, der skal beregnes. ) a) 8 b) 6 c) d) (inklusive Peter) e) 6 f). led g) 6. led h) 9. led ) a)60 sek. b) ½ min. c) min. d) ½ min. e) 6 prs. f) ½ min. [] Mobilmatematik og Tetris Opgaverne med denne side kan selvfølgelig løses på ternet papir, men det anbefales at bruge centicubes undervejs i arbejdet. Det giver bedre langt bedre muligheder for at vende og dreje figurerne. Elevens løsninger kan så overføres til ternet papir for at fastholde dem. I opgave fire er der fem mulige svar: ingen, en, to, tre eller fire rækker. Det ser dog ikke ud til at være muligt at lave fire hele rækker med netop den rækkefølge. I opgave 6 kan eleven opfordres til at lave en matrix, som vist i facit, for at bevare overblikket. ) a e d f a b c g c b rk ) A, B, D og E kan alene fylde to hele rækker, mens C, F og G ikke kan. 6) A B C D E F G A JA NEJ JA JA NEJ NEJ B NEJ JA JA NEJ NEJ C JA JA JA JA D JA JA JA E JA JA F NEJ G a) c f f c c c & f c e b b) c) rk d d g d e e rk g d d e b e e rk d & g 7) d f b e a a e c c b a b b e e f a c d c

21 Primtal, sammensatte tal og Ruth-Aaron-par [Kopiark -] Leg med tal er altid fascinerende. Med udgangspunkt i tallenes grundstene, primtallene, indeholder kopiarkene eksempler på forskellige måder at arbejde med både primtal og sammensatte tal. Endvidere er Goldbachs formodning og Ruth-Aaron to eksempler, hvor arbejdet med primtal har en afgørende rolle. [] Primtal Primtal er tal med netop to divisorer. Eratosthenes si er en metode til at finde dem. ) Primtallene op til 00:,,, 7,,, 7, 9,, 9,, 7,,, 7,, 9, 6, 67, 7, 7, 79, 8, 89, 97. ) Primtallene mellem 00 og 00: 0, 0, 07, 09,, 7,, 7, 9, 9, 7, 6, 67, 7, 79, 8, 9, 9, 97, 99. ) 8 tilfældige cifre fylder 8 cm cifre er 0 km 69 meter og 7, cm langt. [] Goldbachs formodning og pythagoræiske primtal Pythagoræiske primtal kan alle skrives på formen n +. Til løsning af opgave og kan eleven motiveres til at anvende regneark. Herunder vises en måde at finde frem til løsningen af c: ) I kolonne B står tallene fra og opefter. De kvadreres i kolonne C. ) I kolonne D trækkes de fra det kvadrerede pythagoræiske primtal her. ) I kolonne E findes kvadratroden af tallet i kolonne D, som jo skal være et helt tal her 0. ) Så løsningen til c er tallene 9 og 0. Tilsvarende kan regnearket bruges til at undersøge, om et primtal er et pythagoræisk primtal som herunder primtallet. er længden af hypotenusen i en retvinklet trekant, hvor kateterne er og. I kolonne B er tallene fra og opefter, som kvadreres i kolonne C. I kolonne D er tallet i kolonne C trukket fra kvadratet på det tal, vi undersøger. I kolonne E leder vi efter de hele tal, der gør til et pythagoræisk primtal. I dette tilfælde er det og.

22 Siden kan udvides med denne opgave: De pythagoræiske primtal er de eneste primtal, der kan skrives som summen af to kvadrattal, fx: + =, + =, + = 7 og + = 9. Fortsæt rækken af pythagoræiske primtal. ) a) +7 og 7+ b) +, +9, + og 7+7 c) +7, 7+, +7 og 9+ d) +97, +89, 7+8, 9+7, +9 og 7+ ) a) a = og b= b) a = 8 og b = c) a = 9 og b = 0 ) Andre pythagoræiske primtal er, 6, 7, 89, 97, 0, 09,. [] Sammensatte tal Sammensatte tal kan opløses i primfaktorer. Der findes forskellige regler for, hvornår et tal går op i et andet. Her er eksempler på, hvordan man finder ud af, om 7 og går op i et tal. I dette eksempel undersøger vi, om 7 går op i 6. Hvis 7 skal gå op i et tal, skal 7 gå op i det sidste tal i denne algoritme:. Det sidste ciffer fordobles og trækkes fra 6 =. Det sidste ciffer fordobles og trækkes fra - =. Det sidste ciffer fordobles og trækkes fra = 7. 7 går op i 7, så 7 går også op i 6. I dette eksempel undersøger vi, om går op i Hvis skal gå op i et tal, skal gå op i tallet i denne algoritme:. Læg hvert andet ciffer sammen: =. Læg de resterende cifre sammen: =. Find differencen af de to summer: =. Hvis går op i differencen, her, går op i hele tallet.

23 ) a) b) 7 c) 7 d) 6 ) a) 7 b) 7 c) 7 d) 7 7 [] Ruth-Aaron-talpar Begrebet Ruth-Aaron-talpar stammer fra 97, hvor en ung matematiker, Carl Pomerance, fandt interessante sammenhænge mellem talpar. Hans opdagelse var nøje forbundet med en samtidig begivenhed i baseball, hvor den amerikanske rekord i home-runs på 7 stod for at blive slået. Læs eventuelt mere på internetleksikonet wikipedia. Der er forskellige rækker af talpar, afhængig af om den enkelte primfaktor tælles med en enkelt gang eller lige så mange gange, det forekommer i primfaktoropløsningen. Hvis hver primfaktor kun tælles med en enkelt gang, er rækken af talpar: (, 6), (, ), (9, 0), (77, 78), (0, 0), (, ), (69, 70), (9, 9), (7, 7), (68, 68), (07, 08) Hvis hver primfaktor tælles med lige så mange gange, det forekommer, er den tilsvarende række: (, 6), (8, 9), (, 6), (77, 78), (, 6), (7, 7), (98, 99), ( 0, ) ) 7 = 7 7 og 7 = ) Summen for begge primtalsopløsninger er 9. ) a) ja b) nej c) nej d) ja e) ja f) ja g) nej h) nej men dem med nej er Ruth-Aaron-par, hvis primtallene tælles med alle de gange, de forekommer. ) 0 0 = 7 7 ),,, 7,,, 7 6) Det er netop de syv første primtal. Hvad er klokken digitale tal [kopiark 6-8] Klokken kan vises på forskellige måder: Der er ure med visere, og der er ure med tal. Blandt ure med tal er der en del, der har digitale tal fx clockradioer, ure på komfurer, ure på computere og i stadionhaller. De digitale tal består af streger og kan være udformet med lidt variationer. Kopiarkene motiverer til at se på de digitale tal på en anderledes måde.

24 [6] Når klokken er digitale tal på hovedet Det kan synes temmelig uoverskueligt at finde de ønskede klokkeslæt, så det vil være nødvendigt med en systematisering. Her kan anvendelsen af et regneark virkelig komme til sin ret. ) fx 00:00, 0:0, : og. ) 00:00, :, :, : og : viser det samme på hovedet. ) Der er klokkeslæt mellem 00:00 og 00:9, der kan læses på hovedet. For at få styr på hvilke klokkeslæt, der læses på hovedet, kan eleverne lave et skema som dette, hvor. række beskriver, hvilke tal der er mulige og. række beskriver hvilke tal, der kan bruges, når klokkeslættet læses på hovedet:. position. position. position. position Kun tallene 0, og forekommer på. position i et klokkeslæt. Alle tal fra 0 til 9 forekommer på. position i et klokkeslæt. tallene 0,,,, og forekommer på. position i et klokkeslæt. Alle tal fra 0 til 9 forekommer på. position i et klokkeslæt. 0, og kan læses på hovedet og vil give mening, når man læser klokkeslættet på hovedet. 0,, og kan læses på hovedet. Men forekommer kun når 0 og er på. position. 6, 8 og 9 kan læses på hovedet, men vil ikke give mening, når klokkeslættet vendes på hovedet., og 7 kan ikke læses på hovedet. 0,, og kan læses på hovedet. Men hvis klokkeslættet skal give mening, når man læser det på hovedet, kan kun bruges hvis der på. position står 0 eller. og kan ikke læses på hovedet. 0, og kan læses på hovedet og vil give mening, når man læser klokkeslættet på hovedet., 6, 8 og 9 kan læses på hovedet, men vil ikke give mening, når klokkeslættet vendes på hovedet., og 7 kan ikke læses på hovedet. Når vi ser på klokkeslæt mellem 00:00 og 00:9 er det kun nødvendigt at se på. og. position. Der er tre tal på. position, der kan kombineres med tre tal på. position: 0, og med 0, og det giver x = 9 kombinationer. kan kun kombineres med 0 og det giver kombinationer. Det giver i alt kombinationer. ) På tilsvarende måde med timeangivelsen. Timerne starter med 0, eller og kan kombineres med 0, og, som anden del af angivelsen. Det giver igen 9 kombinationer. Derudover kan 0 og kombineres med. Det giver kombinationer. Igen i alt kombinationer.

25 Det giver x = kombinationer af klokkeslæt på et døgn, der kan læses såvel almindeligt som på hovedet. [7] Når klokken er digitale tal på uret De digitale tal er sat sammen af streger. I 8-tallet bruges alle, mens -tallet blot kræver to i den version, vi her har valgt at arbejde med. Motiver eleven til at anvende regneark til løsningen af opgaven med fordelingen af cifre. Det er forholdsvis hurtigt at få noteret alle 0 klokkeslæt med hver fire cifre ved hjælp af copy-paste funktionen. Herefter kan antallet af nuller findes med en funktion som =TÆL.HVIS(A: AE; 0 ). ) -tallet kræver to streger. ) 8-tallet kræver syv streger. ) Uret viser 60 forskellige klokkeslæt i løbet af en time, fra :00 til :9 begge inklusive. ) Der er 60 = 0 forskellige klokkeslæt på et døgn. ) Hvert klokkeslæt indeholder cifre i alt 760 cifre. Fordelingen af cifrene fremgår af tabellen og 0 og er altså de mest anvendte cifre. Ciffer Antal I alt 760

26 [8] Når klokken er - digitale tal læst bagfra Digitale tal kan også læses bagfra, så der opstår et nyt klokkeslæt. Det er dog ikke alle tal, der forekommer på alle positioner, ligesom ikke alle tal kan bruges på ny position, når klokkeslættet læses bagfra. ) Forfra :0 :0 : : : : :0 Bagfra 0: 0: : : : : 0: ) position: 0, og. position: 0,,,,,, 6, 7, 8 og 9. position: 0,,,,,. position: 0,,,,,, 6, 7, 8 og 9. ) position: 0, og. position: 0,, og. og fremkommer kun, når der står 0 og på position. position: 0, og., og kan kun bruges, når der står 0 eller på. position. position: 0, og. ) På den.position kan kun stå 0, og i et klokkeslæt set på almindelig måde. På. position kan kun 0,, og bruges sammen med 0, og på. position, da der fx ikke er et klokkeslæt, der starter med. Dog kan 0 og godt bruges med og. Det giver: = plus =, dvs. alt 6 kombinationer på de to første positioner. Tilsvarende overvejelser gælder for. og. position. Der er altså i alt 6 6 = 6 klokkeslæt, som også kan læses bagfra. ) fx :, : og : 6) Der er 6 palindrome klokkeslæt et hver time, bortset fra de timeklokkeslæt, hvor der indgår cifrene 6, 7, 8 og 9. Figurer med centicubes [kopiark 9-] På kopiarkene arbejdes med centicubes på tre måder: i en, to og tre dimensioner. Når man samler centicubes, bliver nogle af fladerne skjult. I opgaverne skal man arbejde med de synlige flader og forestille sig, de bliver malet. [9] Figurer med centicubes en række Centicubes sættes sammen på en række, og der arbejdes med overfladeareal, rumfang og regneudtryk.

27 ) Antal centicubes 6 x Rumfang cm cm cm cm cm 6 cm x cm Overflade 6 cm 0 cm cm 8 cm cm 6 cm x+ cm ) a) 0 cc b) 7 cc c) 0 cc ) Antal centicubes x Centicubes med farve på 6 sider Centicubes med farve på sider Centicubes med farve på sider (x-) [0] Figurer med centicubes en kvadratisk figur Centicubes samles i to dimensioner til et kvadrat, og der arbejdes med areal, rumfang og regneudtryk. ) Kvadratets sidelængde cm cm cm cm cm x cm Rumfang cm cm 9 cm 6 cm cm x cm Overfladeareal 6 cm 6 cm 0 cm 8 cm 70 cm x +x cm ) a) 8 cm b) cm ) a) 7 cm b) 0 cm ) Sidelængde i figuren x Antal centicubes i figuren 9 6 x Centicubes med maling på 6 sider Centicubes med maling på sider hvis x Centicubes med maling på sider 8 (x-) Centicubes med maling på sider 9 (x-)

28 [] Figurer med centicubes en terning Centicubes samles i tre dimensioner til en terning, og der arbejdes med areal, rumfang og regneudtryk. ) Side-længde i terningen cm cm cm cm cm x cm Rumfang cm 8 cm 7 cm 6 cm cm x cm Overflade 6 cm cm cm 96 cm 0 cm x 6 cm ) a) 6 cm b) 0 cm ) a) 7 cm b) 0 cm ) Sidelængde i terningen x Antal centicubes i alt x Centicubes med maling på 6 sider Centicubes med maling på sider hvis x Centicubes med maling på sider 0 6 (x-) Centicubes med maling på side 0 6 (x-) 6 Centicubes uden maling (x-)

29 Prikpapir 0, cm

30 Prikpapir cm

31 Isometrisk papir 0, cm

32 Isometrisk papir cm

33 Sømbrætpapir