Hvd er mtemtik? ISBN 978877066879 Projekt 65 Vektorers eskrivelseskrft Indhold Vektorer i gymnsiet Linjestykker og prllelogrmmer Bevis inden for den klssiske geometri Bevis med nvendelse f vektorer 3 Digonlerne i et prllelogrm Bevis inden for den klssiske geometri Bevis med nvendelse f vektorer Kvdrtsummen f digonlerne 5 Geometrisk evis 5 Bevis med nvendelse f vektorer 6 Midtnormler og højder i en treknt 6 Geometrisk evis 6 Bevis med nvendelse f vektorer 7 Højderne i en treknt 7 Geometrisk evis 8 Bevis med nvendelse f vektorer 8 Medinerne i treknter og i tetredre 9 Geometrisk evis 9 Bevis med nvendelse f vektorer 0 Medinerne i et tetreder 0 07 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-8 Køenhvn K Tlf: 3503030 Emil: info@lrudk
Hvd er mtemtik? ISBN 978877066879 Projekt 65 Vektorers eskrivelseskrft Vektorer i gymnsiet I den klssiske plngeometri kendes en række sætninger om egensker ved linjer og cirkler knyttet til treknter, som fx t de tre midtnormler ltid vil skære hinnden i ét punkt, og t dette er centrum for den såkldte omskrevne cirkel Dvs enhver treknt ABC hr den egensk, t der findes en cirkel, der går gennem A, B og C Det er estemt ikke indlysende, t dette må være tilfældet Men lige præcis denne sætning er forholdsvis let t evise i den klssiske geometri For ndre sætninger er eviset lidt mere tricket Det gælder fx sætningen om, t de tre højder ltid vil skære hinnden i ét punkt Eller sætningen om, t medinerne i en treknt skærer hinnden i ét punkt, og t dette punkt deler hver medin i forholdet : Med indførelsen f vektorer får vi ofte et mere ligetil og mere elegnt rgument for påstnden Geometri i det tredimensionelle rum forekommer os i dg nærmest utænkelig uden nvendelse f vektorer, men nturligvis er det muligt Vektorer hr først vundet udredt nvendelse inden for de sidste 00 år, og før den tid vr mn også i stnd til t estemme fstnde mellem ojekter i rummet, t projicere et punkt på en linje osv Også mere komplicerede smmenhænge kunne mn håndtere fx er kronen på værket i Euklids Elementer ehndlingen f de 5 regulære polyedre Her i og 3 eviser hn dels eksistensen f dem - ved t konstruere dem - og dels udleder hn en række f deres egensker Men den slgs rgumenter krævede ltid gode færdigheder i t tegne og forestille sig tingene i det tredimensionelle rum Med vektorer går det ofte lettere, og den helt store fordel ved nvendelsen f vektorer i mtemtikken viser sig, når mn går op i højere dimensioner, og når mn generliserer vektoregreet Dette er omtlt i projektet om lineær lger Her vil vi holde os til plngeometriens to dimensioner og først til sidst tge et skridt ud i rummet Vi vil for hver f sætningerne gennemføre åde et geometrisk og et vektorielt rgument Linjestykker og prllelogrmmer Sætning : Midtpunktet mellem punkterne A og B Koordinterne til midtpunktet M mellem punkterne A( x, y) og B( x, y ) kn estemmes som: x x, y M y På vektorform: Midtpunktet M mellem punkterne Aog B opfylder: OM = OB OA Bevis inden for den klssiske geometri Ld M være midtpunktet f linjestykket AB Tegn gennem A en linje prllel med ksen, og tegn gennem M og B linjer prllelle med ksen Skæringspunkterne mellem linjerne kldes C og D se figuren: D M er midtpunkt, er AM AB 07 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-8 Køenhvn K Tlf: 3503030 Emil: info@lrudk
Hvd er mtemtik? ISBN 978877066879 Argumenter for, t treknterne ACM og ADB er ensvinklede Argumenter for, t AC AD, smt for t MC BD 3 Indfør nu koordintervne A( x, y) og B( x, y) og rgumenter for, t med punkternes eliggenhed som på tegningen, så gælder AD x x og BD y y Med punkternes eliggenhed fås x-koordinten til M ved t ddere AC til x-koordinten til A Og y-koordinten til M fås ved t sutrhere MC fr y-koordinten til A Udnyt nu dette til t vise formlen: x x, y M y Bevis med nvendelse f vektorer Vi udnytter konsekvent, t koordinterne til et punkt P er lig med koordinterne til punktets stedvektorop Derved oversættes punkter umiddelrt til vektorer Vi udnytter endvidere vektorregnereglen: AB OB OA, der kommer fr indskudssætningen Vi strter næsten som før, men nu med en vektorligning: Angiv selv hvd der sker AM AB OM OA = OB OA OM OA = OB OA OM OM = OB OA OA = OB OA Nu hr vi en ligning kun med stedvektorer, så her kn vi indsætte koordinterne og får formlen, idet vektorkoordinter dderes koordintvis Det er nok svært t rgumentere for t den sidste version er meget lettere end den første Men vi ser, t den store forskel på, de to metoder er, t i den geometriske version skl mn få en god ide, og hvor kommer den lige fr? (Her vr den nok ret ligetil) I den vektorversionen opløses vektorerne ofte i de simplest mulige former og så regner mn re som i ligninger eller reduktioner Efter hver f de følgende sætninger opfordres holdet til t drøfte i grupper hvd der er kernen i hver f eviserne og så smmenligne sværhedsgrd, elegnce og ndet I synes dskiller evistyperne 07 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-8 Køenhvn K Tlf: 3503030 Emil: info@lrudk
Hvd er mtemtik? ISBN 978877066879 Digonlerne i et prllelogrm Sætning : Digonlerne i et prllelogrm I ethvert prllelogrm gælder, t digonlerne hlverer hinnden Tegn et prllelogrm ABCD og tegn digonlerne De skærer hinnden i punkter M Bevis inden for den klssiske geometri Argumenter for t treknterne AMD og BMC er kongruente, ved t påvise, t treknterne hr én side og de to hosliggende vinkler lige store Så kn treknterne riunges til t dække hinnden Argumenter nu for t AM er det hlve f AC og BM er det hlve f BD Bevis med nvendelse f vektorer Vi viser, t AM AC Tilsvrende kn vises, t BM BD AM AO OM AO AO OB OD AO OB AO OD AB AD AB BC AC Angiv selv i de tomme felter, hvd der sker Indskudssætningen Anvend sætning Heller ikke ved disse små eviser kn mn se en særlig fordel ved t ruge vektorer Men i den geometriske verden skl mn kende en række specilsætninger, mn trækker på I vektorernes verden er det grundlæggende værktøj indskudssætningen 07 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-8 Køenhvn K Tlf: 3503030 Emil: info@lrudk
Hvd er mtemtik? ISBN 978877066879 Kvdrtsummen f digonlerne Sætning 3: Kvdrtsummen f digonlerne Ld ABCD være et prllelogrm, ld etegne de to sidelængder, og ld digonler Så gælder: d d x y x og y d og d etegne de to Tegn et prllelogrm ABCD og tegn digonlerne Sæt etegnelser på sider og digonler: Geometrisk evis Her henter vi viden ind fr trigonometrien og nvender cosinusreltionerne Læg mærke til, t prllelogrmmet kn klippes i treknter op på to måder, som du ser på figuren Cosinusreltionerne i treknt T: d x y x y cos( v), hvor v er vinklen mellem siderne x og y i treknt T Cosinusreltionerne i treknt T3: d x y x y cos( w), hvor w er vinklen mellem siderne x og y i treknt T3 Argumenter nu for, t w80 v Argumenter for, t vi derf kn slutte, t cos( v) cos( w) 3 Konkluder nu ved t lægge de to ligninger smmen 07 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-8 Køenhvn K Tlf: 3503030 Emil: info@lrudk
Hvd er mtemtik? ISBN 978877066879 Bevis med nvendelse f vektorer Af tegningen f prllelogrmmet ser vi: d BD AD AB d AC AD DC AD AB Kvdrtsætningerne for vektorer giver nu: d AD AB AD AB AD AB AD AB d AD AB AD AB AD AB AD AB Læg smmen og konkluder Midtnormler og højder i en treknt Sætning : Midtnormlerne i en treknt I enhver treknt gælder, t de tre midtnormler skærer hinnden i smme punkt, og t dette punkt er centrum for en omskreven cirkel Vi tegner en treknt ABC, og mrkerer de tre midtpunkter, M, M og M c Vi oprejser de vinkelrette i punkterne M og M Disse to midtnormler skærer nturligvis hinnden i et punkt M Spørgsmålet er nu, om den tredje midtnorml vil gå gennem det smme punkt Dette kn omformuleres til følgende, der er lettere t undersøge: Vi trækker linjen fr M til Spørgsmålet er nu, om denne linje er midtnorml til den sidste side M c Geometrisk evis Også her nvender vi en viden om kongruente treknter: M ligger på midtnormlen gennem M Argumenter for, t herf kn slutte, t treknterne AMM og CMM er kongruente Nu ved vi ltså, t MA og MC er lige lnge Argumenter på smme måde for t MC og MB er lige lnge 3 Når MA og MC er lige lnge, og ligeledes MC og MB er lige lnge, så er MA og MB er lige lnge Argumenter for, t treknterne BMM c og AMM c er kongruente 5 Argumenter ud fr punkt, t så må vinklerne ved M c være lige store og derved være lig med 90 o Dvs linjen MM c er midtnormlen til c Altså midtnormlen til c går også igennem M Vi emærker, t undervejs i eviset fik vi som et spinoff resulttet, t der er lige lngt fr M til de tre hjørner, dvs M er centrum for en cirkel gennem de tre hjørner 07 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-8 Køenhvn K Tlf: 3503030 Emil: info@lrudk
Hvd er mtemtik? ISBN 978877066879 Bevis med nvendelse f vektorer Hvis M ligger på midtnormlen gennem M c, så skl gælde, t MMc AB I vektorernes verden undersøges dette ved t se, om sklrproduktet er 0: MMc AB 0? Vi nvender nu, t Vis, t MM AB 0 c M c er midtpunkt, dvs sætning : er ensetydende med: Omskriv denne ligning til: OB OA OM AB OB OA OM AB 0 Det er dette vi ønsker t vise Men nu udtrykker vi lot det vi ved på smme måde: 3 Vis, t MM CB 0 OB OC OM CB 0 MM AC 0 OA OC OM AC 0 Vis, t dette kn omskrives til: OB OC OM CB OC OA OM AC 5 Adder de to ligninger og vis, t vi kn omskrive til det ønskede: OB OA OM AB Dette udtrykte som vi så ovenfor, t MMc AB, dvs M ligger på midtnormlen gennem Vi emærker, t her skl vi tilføje rgumentet, t hvis M ligger på lle midtnormler, er der lige lngt til lle hjørner, dvs M er centrum for en cirkel gennem de tre hjørner Højderne i en treknt Sætning 5: Højderne i en treknt I enhver treknt gælder, t de tre højder skærer hinnden i smme punkt M c Tegn en tilfældig treknt, ABC, og tegn højderne fr A og fr B Højderne skærer de modstående sider i henh H og H Højderne skærer hinnden i et punkt, vi klder for H Træk linjen fr H til C Påstnden er nu, t denne linje ligger på højden fr C 07 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-8 Køenhvn K Tlf: 3503030 Emil: info@lrudk
Hvd er mtemtik? ISBN 978877066879 Geometrisk evis En f de centrle erfringer, mn gør sig når mn hr rejdet med mnge og mnge forskellige geometriske prolemer er, t mn ldrig skl være nge for t udvide den givne tegning ved t tilføje nye linjer At tegne en sådn linje, der fører mod målet, hører til ktegorien t få en god ide Gode ideer kommer ikke ud f det lå, men ygger på ens viden og erfring I dette tilfælde hr vi llerede en vis viden om linjer ved treknter: Sætning 3 siger t midtnormlerne skærer hinnden i et punkt Hvis vi nu gennem A tegner en linje prllel med, gennem B tegner en linje prllel med, og gennem C tegner en linje prllel med c, så får vi en ny treknt A B C Argumenter for, t de tre højder i den gmle treknt også står vinkelret på siderne i den nye store treknt Firknterne ABA C, AC BC, ABCB er ud fr konstruktionen lle prllelogrmmer (overvej det!) Anvend dette til t vise, t vise: C ' B BA' B' C CA' C ' A AB' 3 Anvend nu sætningen om midtnormlerne til t konkludere t de tre højder skærer hinnden i smme punkt Bevis med nvendelse f vektorer Vi tegner lige treknten med de to højder smt linjen fr C til H igen Vi skl vise, t CH ligger på højden fr C Vi ved, t BH AC, og derfor: BH AC 0 AH BC, og derfor: AH BC 0 Omskriv til: BC CH AC 0 AC CH BC 0 Vis, t vi ud fr de to ligninger får følgende: CH AC CH BC 0 3 Vis, t dette kn omskrives til: CH AB 0 og konkluder, t CH ligger på højden fr C Selv om det geometriske evis rummer et flot rgument, så ygger det jo grundlæggende på, t mn får den gode ide med t tegne den store treknt Vektoreviset er derimod helt ligetil 07 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-8 Køenhvn K Tlf: 3503030 Emil: info@lrudk
Hvd er mtemtik? ISBN 978877066879 Medinerne i treknter og i tetredre Sætning 6: Medinerne i en treknt I enhver treknt gælder, t de tre mediner skærer hinnden i smme punkt, og t dette punkt deler hver f medinerne i forholdet : På vektorform: punktet M er estemt ved: OM OA OB OC 3 3 3 Tegn en tilfældig treknt, ABC, og tegn medinerne fr A og fr B Medinerne skærer de modstående sider i henh M og M Medinerne skærer hinnden i et punkt, vi klder for M Geometrisk evis Vi skl vise, t punktet M deler medinerne i forholdet :, dvs vise, t BM MM og AM MM Kn vi vise det, så ville vi få smme resultt, hvis vi strtede med medinerne Men det må etyde, t punktet M M og M åde er skæringspunkt for M og M og for M og M, dvs medinerne skærer hinnden i det smme punkt M Når vi skl vise noget om et forhold mellem siderne, så er metoden normlt t lede efter ensvinklede treknter Hvis vi plcerer os i C og herfr sklerer treknt ABC ned med, så vil A live ført over i og B over i, og M dermed linjen AB over i linjen fr Herf får vi, dels t linjerne AB og t M M AB M til M M MM er prllelle, dels Vis t treknterne MAB og MMM er ensvinklede Vis t AM MM og BM MM c 3 Forklr, hvordn vi med en nden tegning tilsvrende kunne nå frem til, t BM MM og CM MMc 3 fslut nu selv eviset ved t rgumentere for, t vi herf kn slutte det, sætningen siger c 07 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-8 Køenhvn K Tlf: 3503030 Emil: info@lrudk
Hvd er mtemtik? ISBN 978877066879 Bevis med nvendelse f vektorer I treknt ABC tegner vi medinen fr A, og fsætter punktet M på medinen således t AM AM Vi vil 3 finde et udtryk for M, eller som vektor: for OM, og ud fr dette rgumentere for, t medinerne skærer hinnden i M Vis t: Udnyt t OM OA AM 3 3 OA OM OA M er midtpunkt, og nvend sætning til t omskrive så vi før følgende udtryk: OM OA OB OC 3 3 3 3 Argumenter nu for, t unset hvilken medin vi vr strtet med, så ville vi få smme formel, og for, t dette viser sætningen Igen ser vi, t selvom det geometriske evis kn være smukt i sit ræsonnement, så skl vi her hver gng moilisere en ny viden om geometri, mens det vektorielle evis igen hovedsgeligt nvender indskudssætningen Begge eviser ygger på den formodning om forholdet : som udtrykkes i sætningen Hvornår mn første gng indser dette ved vi ikke, men det er tidligt i den græske mtemtiks historie, og det er sikkert som meget ndet opstået ud fr erfringen - og derefter prøver mn t evise det Øvelse Argumenter for, hvorfor medinernes skæringspunkt også kldes for trekntens tyngdepunkt (Hint: Vi forestiller os, t treknten er en fysisk genstnd med en ensrtet msse, fx en pp-treknt Argumenter først for t en medin deler en treknt i to med ens rel Tegn derefter linjer gennem hver f de to treknter, der er prllelle med medinen og som hr smme fstnd til medinen Vis t disse linjer hr smme længde Konkluder) Medinerne i et tetreder Sætning 7: Medinerne i et tetreder I et vilkårligt tetreder ABCD skærer de mediner hinnden i smme punkt M Punktet M er estemt ved: OM OA OB OC OD 07 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-8 Køenhvn K Tlf: 3503030 Emil: info@lrudk
Hvd er mtemtik? ISBN 978877066879 Vi tegner et tetreder ABCD (en trekntet pyrmide), og skl ltså forestille os, t i treknten i unden rger punktet D ud f flden, ud mod os Hver f de sideflder er en treknt og for hver f dem estemmer vi medinernes skæringspunkt Det er på figuren mrkeret som M, M, M3 og M Tetrederets mediner er linjerne fr et hjørne til den modstående treknts medinpunkt (tyngdepunkt) Se figuren Den ene påstnd i sætningen er nu, t disse linjer går gennem smme punkt Den nden påstnd er t dette punkt er gennemsnittet f de hjørnepunkter Vi vil kun gennemføre et vektorielt evis, d det geometriske liver for indviklet i det generelle tilfælde Vi vender tilge til det geometriske evis i tilfældet med et regulært tetreder (lle sider hr smme længde) Ld M være estemt ved t punktet ligger på medinen 3 AM AM AM Dette skriver vi på vektorform og finder et udtryk for OM : OM OA AM OA AM 3 3 OA OM OA, og t det deler denne i forholdet 3: Dvs Øvelse ) Argumenter for omskrivningerne og fuldfør selv disse, ved t udnytte sætning 6 ) Argumenter for, t når vi hr fundet dette udtryk for OM, så vil punktet M være et fælles skæringspunkt for de fire mediner Mn kn finde en spektkulær nvendelse f denne viden om tetrederet i Steen Mrkvorsens film, Skumstrukturer og minimlflder, og mn kn rejde videre med tetrederets egensker i det tilhørende projektmterile Filmen indgår i serien: Mtemtisk forskning 0 dnske mtemtikere 0 mtemtiske fortællinger, som mn kn få dgng til vi Gymportlen 07 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-8 Køenhvn K Tlf: 3503030 Emil: info@lrudk