Poyntings sætning, ovefladadninge og tansient Gunna Gunnasson, gg@kvuc.dk Atiklen e et tillæg til atiklen Elektiske fte og ovefladadning bagt i LMFK bladet n., ). den nævnte atik (atik ) ha jeg gennemgået den olle ovefladadninge spille i stømføende kedsløb. Fodingen af ovefladadningene foklae både hvodan støm løbe og hvodan spændingsfald opstå de igtige stede i kedsløbet. Men desuden søge ovefladadningene fo, at de dannes ektiske fte i ummet omking kedsløbet. Disse vil sammen med magnetftene, via Poyntingvektoen EB søge fo, at enegien komme fa en spændingskilde til kedsløbets komponente. atiklen vil jeg komme næmee ind på, hvo Poyntingvektoen stamme fa, og vise hvodan den såkaldte Poyntings sætning knytte sig til enegiomsætningen i et kedsløb med stationæe stømme. afsnit vil jeg komme ind på hvodan tansienten, nå et kedsløb tændes, føe til den igtige foding af ovefladadninge i fosklige kedsløb. afsnit 3 pæsentees en ht anden konsekvens af ovefladadningene, nemlig at to stømføende ledee vil påvike hinanden med en ektisk kaft, hvo vi sammenligne denne med den magnetiske kaft mlem ledene. d E J d n da E J d hvo e den ektomagnetiske enegi i et volumen, afgænset af fladen. enste side fotælle om den effekt hvomed den ektomagnetiske enegi ænde sig i volumenet, og høje side fotælle om hvodan det ske; nemlig ved, at enegi stømme ind le ud af volumenet og/le ved dissipation i et medium. Det e af denne sammenhæng, fotolkningen af Poyntingvektoen som effektstømtæthed stamme.. Et simpt kedsløb med en esisto Lige som i atik, benytte vi os af et kedsløb med en aflang cylindisk esisto, og kobbedninge med fosvindende lille esistans. Figu illustee kedsløbet, samt i gove tæk de magnetiske fte, ektiske fte (blå pile) og Poyntingvektoen (øde pile), i stationæ tilstand. Detaljene i de te vektofte e behandlet i atik.. Poyntings sætning i tage udgangspunkt i Ampees og Faadays love: E B J B E hvo J e stømtætheden. ed at pikke den føste ligning med E, den sidste med B, tække dem fa hinanden, og udnytte en vkendt ligning fo vektofte ), fås E B EBEJ Paentesen på venste side genkendes som enegitætheden i det ektomagnetiske ft, som vi betegne med u, og EB kalde vi Poyntingvektoen, og betegne den med. i ende defo med den ligning som kaldes Poyntings sætning: u E J ætningen kan betagtes som en kontinuitetsligning fo det ektomagnetiske ft, og fotælle hvodan enegibevasen manifestee sig lokalt. Det kan væe en fod at se på integalvesionen af sætningen: Figu E ftet, B ftet og Poyntingvektoen ved kedsløbet. en stationæ tilstand e u. Demed må stemme oveens med E J. i vil vise at det e tilfældet både i ummet omking kedsløbet og i ledningene såv som i esistoen. i betagte føst kobbedningene. De e E = og demed e =. Altså e Poyntings sætning tivit opfyldt. De foegå hveken enegitanspot le enegiomsætning i ledningene. Lad os denæst kigge på situationen lige udenfo esistoen. Da de ikke e nogen ektisk støm, e E J. Af de ektiske og magnetiske ftes oienteing femgå det, at Poyntingvektoen ha etning stot set vinket på og ind imod esistoen. He e støsen af ftene givet ved E = /l, hvo LMFK-bladet 4/ 3
l e esistoens længde, B = μ / (π ), og Poyntingvektoen ha defo støsen = / (π l). cylindiske koodinate kan defo udtykkes som e l hvo e e en enhedsvekto med etning adialt ud fa esistoen. Da e l som hdigvis give. Begge led e således, de e ingen enegiomsætning og den ektomagnetiske enegi som stømme ind i et volumen, e lig med den de stømme ud af volumenet. Ydigee ses, at effektstømtætheden ind i esistoen passe netop med den i esistoen omsatte effekt, som behandlet i atik. ituationen uden fo kobbedningene e lignende. He ha vi en Poyntingvekto, de kan udtykkes som ez hvo z e koodinaten paallt med ledningen. Da kun afhænge af den adiale koodinat, men ha etning paallt med z aksen, e, så igen e de ingen enegiomsætning uden fo kedsløbet, og den enegi de komme ind i et volumen, gå ud igen. Til sidst kigge vi på situationen inde i esistoen. He e E = / l, mens magnetftet i afstanden fa centalaksen nu e B = μ / (π a ), hvo a e esistoens adius. Poyntingvektoen e defo e a l Nu e divegensen ikke længee nul: a l a l J a l E d l a E J d kan også udtykkes mee diekte ved ftkaftens abejde ved at flytte ladningen ΔQ stykket Δx igennem ftet: F EJ d Ex Q x F v hvilket netop e den effekt hvomed abejdet udføes. å alt e som det skal væe: enegien til at udføe abejdet høste det intene E ft via Poyntings sætning, fa ftene uden fo komponenten. ngen enegi stømme igennem kobbedningene. Tvætimod, stømme enegien langs med kedsløbet i begge etninge fa batteiet. Det hamonee dåligt med den gængse beskivse af en potentialenegi som ektonene skulle aflevee i komponenten (på tods af at ektonene evt. aldig ha væet igennem spændingskilden). Poblemet med den beskivse ligge i antagsen af, at potentialenegien, e ejet af ektonene. i e vandt til at snakke om at patikle besidde potential enegi, mens det e mee fysisk koekt at tilskive potentialenegien ftene. Denne ftenegi kan definees uden at (ekstene) patikle e involveede. vom det ikke e sælig femtædende i litteatuen, e flee pominente fysikee inde på denne pointe, bl.a. Jackson 3), Rindle 4) og Weyl 5). På samme måde kan vi behandle situationen med en enkt ladet patik i det homogene ft mlem kapacitoplade. Nå ladningen acceees fa den ene plade til den anden, e det ikke patiklen de tabe potentialenegi, men kapacitoftet, da de i sluttilstanden e minde ladning på pladene og demed minde ftenegi.. Coaxkab Fo en odens skyld, vise vi også, at Poyntings sætning give en logisk sammenhængende beskivse af enegiomsætningen i et coaxkab. atik betagtede vi et langt coaxkab, hvo det inde kab ha adius a og esistans R, og det yde kab e en tynd skal med adius b, men ha esistansen nul. Længden af kablet e l b. Det inde kab ligge langs z aksen mlem z = og z = l. ed z = l e de et cylindefo ntegees denne ove esistoens volumen fås d Dette stemme oveens med dissipationsleddet, idet E og J e konstante, og ensettede og paallle med esistoaksen: Figu Tvæsnit at coaxkablet. 4 LMFK-bladet 4/
met battei de fobinde det inde og det yde kab således, at potentialet e φ = på det yde kab og φ = på det inde kab. den anden ende (z = ) e det inde og yde kab fobundet så he e φ =. De gå en støm igennem systemet. Det viste sig at Poyntingvektoen uden fo kablet e nulvektoen, mens den fo a < < b e givet ved, z EB l ln b/ b a e z ln / l ln b/ a e z stationæ tilstand e som fø u. Da de ikke e nogen støm mlem kablene, gælde også at E J. Demed må også væe nul. Det tjekke vi lige: z z ln l b a ln / l ln b/ a l b a l b a ln / ln / nde i kablet ha vi den samme situation som fo kanthaltåden i foige eksemp, og d vil netop svae til effek ten af E ftets udføte abejde. Tansienten i staten og stationæ tilstand Nå vi tænde fo et kedsløb, vil de i en meget kot peiode opstå en omfoding af de ovefladadninge de stømme ud i kedsløbet. denne peiode e u og demed e også i omådet omking kedsløbet. Det e ikke svæt at benytte Poyntings sætning til at udføe beegninge fx fo enegien unde opladning af en kapacito 6), le fo oplaging af magnetisk enegi i en solenoide. de tilfælde kan man vise, at u. Af flee gunde e det dog væsentligt svæee at behandle et esistokedsløb. sv simple geometie blive E ftene meget kompliceede inden den stationæe tilstand opnås. Desuden vil de væe enegiomsætning så snat ladninge begynde at øe på sig, dvs. E J. i vil defo nøjes med nogle kvalitative betagtninge. ledningens tvæsnit lige fø indsnævingen på den negative side, vil flee ektone p. tidsenhed passee, end de gø inde i esistoen. Det vil føe til en lokal ophobning af ovefladeektone ved esistoens indgang. Det hæmme stømmen i ledningene, således at fæe ektone vil umiddbat efte pøve at komme ind i esistoen. Agumentet gælde natuligvis også ved udgangen af esistoen. amtidig øges, pga. den støe gadient i ovefladadninge, det ektiske ft i esistoen. Denne feedbackmekanisme, dvs. samspillet mlem mængden og gadienten i ovefladadningene og stømmen, fotsætte indtil stømstyken e konstant i he kedsløbet. ed den stationæe tilstand (i et nomalt kedsløb) e de en meget lille gadient i ledningenes ovefladadning, mens den e væsentlig støe i esistoen, svaende til at det ektiske ft og demed også spændingsfaldet e meget støe ove esistoen end ove ledningene. i kan også af følgende agumentation se, at det ektiske ft må væe støst i esistoen: tømstyken i stationæ tilstand hænge sammen med ektonenes gennemsnitlige difthastighed v d via stømligningen nev d A Da tvæsnitsaealet e mindst i esistoen, mens ektontætheden n e den samme i esistoen og ledningene indebæe det, at den gennemsnitlige difthastighed e støst i esistoen. Men v d e popotional med E, idet v d E hvo μ e ektonmobiliteten, som udtykt ved esistiviteten ρ e ne μ e en mateialekonstant, og defo en konstant fo kedsløbet. Demed må det ektiske ft væe støst i esistoen. Lad os begynde med et kedsløb bestående af én esisto. He betagte vi et kedsløb med fx kobbedninge, og med en meget tynd kobbetåd som esisto. Den eneste fosk på esistoen og ledningene e således diameteen af tåden. Nå kedsløbet tændes, stømme ladninge ud i ledningene. Det få ektongassen til at udvide sig på den negative side og tække sig sammen på den positive side, som esultee i dannsen af ovefladadninge. Figu 3 llustation af den esulteende foding af ovefladadning. LMFK-bladet 4/ 5
Detaljene i vejen mod stationæ tilstand e inteessante, og afhænge af begyndsesbetingsene. Man kan lege med numeiske simuleinge 8) af fosklig slags kedsløb, hvo flee paamete kan ændes, heunde esistansen, og ledningenes induktans. imuleingene e femkommet ved numeisk løsning af Maxwls ligninge fo tansmissionslinje. Det genele billede e, at stømmen pga. feedbackmekanismene udføe en dæmpet svingning, hvis tidskonstant afhænge af esistansen og induktansen, men e typisk unde μs. Lad os nu kigge på en seiekobling, fx af to kobbetåde med samme længde men fosklige diamete. ha det mindste tvæsnitsaeal, men spændingen ville stadigvæk des på samme måde. Det følge ved at udnytte, at stømstyken e konstant. seiekoblingen vise de nævnte simuleinge, at tansienten e mee kompliceet end med en enkt esisto 9). Bl.a. kan de opstå mange stømefleksione imlem esistoene, og ved te esistoe afhænge foløbet af esistoenes placeing i kedsløbet. Nu paallfobinde vi de to kobbetåde. i tænde kedsløbet og en bølgefont af ektone vil tænge ind i begge esistoe. Men som fø vil stømmen ikke kunne fotsætte i samme takt som i ledningene, og ovefladadninge ophobes ved esistoenes teminale. føste omgang sådan at de e støst tæthed ved den modstand hvis esistans e støst. Denne gang vil feedbackmekanismene unde tansienten søge fo, at ladingsfosklene mlem de to esistoe eftehånden udlignes. Det kan fx indses ved at vi foestille os bøjede tåde fobundne til det samme punkt i kedsløbet, som på figuen. Figu 4 llustation af ovefladadning i seiefobindse. Hvis man gå diekte til den stationæe tilstand, kan det foekomme mystisk, at spændingen des popotionalt med esistansene. sæ hvis man begynde at snakke om potenti enegi afleveet af ektonene, i stedet fo at inddage fte og ovefladadninge, kan evene sidde med den undige fonemmse, at ektonene instinktivt ved hvo meget enegi de skal aflevee i hve modstand. Men oveodnet set ske det samme som fø. Nå vi tænde fo kedsløbet, opstå de tængs ved esistoenes teminale, hvilket esultee i ophobning af ovefladadninge. De ophobes mest ladning ved esistoen med den støste esistans, så he blive gadienten støst. Af støm og difthastighedsligningen ses, at de esulteende ektiske fte i esistoene ved stationæ tilstand, vil have det modsatte fohold af tvæsnitsaealene. Og demed det samme fohold som esistansene. Da modstandstådene e lige lange, vil foholdet mlem spændingsfaldene væe det samme som foholdet mlem de ektiske fte. Altså des spændingen i popotion med esistoenes esistanse: E A R = = = E A R Hvis nu esistoene ikke va lige lange, og måske også va lavet af fosklige mateiale, ville det ektiske ft og difthastigheden ikke nødvendigvis væe støst i den esisto de Figu 5 llustation af ovefladadninge ved paallfobindse. stationæ tilstand vil de defo væe den samme ovefaldadningsgadient igennem de to esistoe. Demed e det ektiske ft det samme i esistoene, og da de e lavet af samme mateiale, må mobiliteten og demed difthastigheden også væe den samme. Af stømligningen samt esistansen fo en tåd følge, at A R = = A R Hvis nu esistoene ikke va lige lange, og eventut også va lavet af fosklige mateiale, ville det ektiske ft væe foskligt i de to esistoe, og difthastigheden ville nomalt også væe fosklig. Da få vi dog stadigvæk det samme: n e E A n e E A E A E A R E l R E l R R 6 LMFK-bladet 4/
hvo vi ved lighedstegn n. ha indsat sammenhængen mlem mobilitet og esistivitet, og det sidste lighedstegn bunde i, at det ektiske ft udføe det samme abejde uanset vejen. 3 Den ektiske kaft mlem stømføende ledee Det e vkendt, at de vike en magnetisk kaft mlem to stømføende ledee. Den kan væe tiltækkende le fastødende, afhængigt af stømetningene. tøsen af den magnetiske kaft p. længde af to lige, paallle uendig lange ledee, adskilt af afstanden, e med længden. Det viste sig, at ladningstætheden på kobbedningene med god tilnæmse afhang af spændingsfaldet ove kanthaltåden via ln / a Med =, a =,5 mm og =, m, fås 37, C/m. Hvis kanthaltåden ha samme diamete som kobbedningene, e esistansen R =, Ω. Demed e stømstyken i kedsen = 5 A. Da e d F mag dx mag 5 9 6 37, 5 Pga. ovefladadningene vil de også vike en ektisk kaft mlem ledningene. den betagtede situation med de to ledninge med støm den ene vej og støm den anden vej, ha ledene numeisk set den samme ladningstætheden λ men med modsat fotegn, så kaften e tiltækkende. nde nomale omstændighede e den ektiske kaft således fosvindende lille i fohold til den magnetiske kaft. Muligvis kan den dog obsevees ved tilstækkig høj spænding (som øge λ) og høj modstand (som mindske ). Note ) lmfk.dk/atikle/data/atikle//_47.pdf i foenkle situationen ved at betagte meget lange ledee, så de kan appoksimees med uendig længde. Kaften mlem ladningene λ dx på de to ledee findes af Coulombs lov. ed at integee ove den ene lede, findes kaften p. længde på den anden lede. Af symmetigunde e det kun komposanten vinket på ledene de bidage, og vi få dx 4 x x dx Foholdet mlem den magnetiske og den ektiske kaft e da mag Da / c blive det mag c atik betagtede vi et kedsløb med to lange paallle kobbedninge, med diameteen a, adskilt af en kanthaltåd ) AB ABB A 3) e side 46 48 i J. D. Jackson, Classical ectodynamics, John Wiley & sons, 975. 4) e side 3 i Rindle, ntoduction to pecial Rativity, Pegamon, Oxfod, 98. 5) e side 7 i Weyl, pace Time Matte, Dove, New Yok, 95. 6) e fx Elbeks bog: nbi.ku.dk/bibliotek/note-og-undevis ningsmateiale-i-fysik/ektomagnetisme 7) Hvis esistoen va af et andet stof end ledningene, ville ovefladadningene også sidde i gænsaget mlem de to stoffe som foklaet i atik. 8) e Tansistion pocesses in linea systems på siden: www.astophysik.uni-ki.de/~hhaet/index_e.htm 9) youtu.be/wb5hm5tytgw LMFK-bladet 4/ 7