Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( {} 0, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage gage om dage, emlig år vi taler om tid, om hvad klokke er, om hvor lag tid der er til et eller adet, vi har aftalt, dvs. år vi udmåler tid med et ur. Når tide udmåles i timer, reger vi modulo (eller 1), og år tide udmåles i miutter reger vi modulo 0. Vi siger ikke, at klokke er 80 miutter over 10, me at de er 0 mimutter over 11. Når klokke asserer midat, tæller vi ikke videre å tallije med, osv., me forfra om atte er klokke 1, osv. Siger vi, at vi går i seg KL, reger vi modulo, mes de som siger, at de går i seg KL 11, reger modulo 1. Reger ma modulo 1, idetificerer ma altså og 11. Går ma i seg KL og sætter uret, så ma ka sove i 8 timer, så står ma ikke o kl. + 8 = 1, me kl. 7. Tallet 7 får vi matematisk, ved at trække fra 1. I raksis tæller de fleste ok o til (det var é time) og reste af de 8 timer, altså tallet 7 agiver så klokkeslettet, hvor vi står o. Også her idetificerer vi altså 1 og 7. Me vi ka aturligvis ikke skrive: 1= 7. Derfor har ma i matematik idført e særlig betegelse for dee måde at idetificerer tal å, emlig ved at skrive: 1(mod) = 7 (mod) mod læses modulo, og agiver, at vi trækker fra tallet lige så mage gage vi ka, idtil vi har et tal mellem 0 og. Således gælder altså: 8 (mod) = 0 (mod) og (mod) = (mod ) Det sidste udtryk ka vi tolke således: Hvis klokke u fx er 9, så er de om timer 9 + = 1. ka ofattes som reste vi får ved divisio af med. Divisioe går jo ikke o, me giver 10 og altså til rest. Vi kue også rege tilbage i tide: - 0 (mod) = (mod ) Dette ka vi tolke således. Hvis klokke u fx er 9, så var de for 0 timer side 9 + = 1. Tilsvarede gælder der: 80 (mod 0) = 0 (mod 0) og 80 (mod ) = 1 (mod ) Prøv at give e fortolkig af disse to udtryk. Reger vi modulo, så idetificerer vi altså alle tallee:...,-,-0,,8,,... { } Tilføj selv yderligere to egative og to ositive tal. E såda mægde af tal kalder vi for e restklasse modulo. Vi siger også, at tallee i e såda restklasse er kogruete modulo, og aveder symbolet º til at udtrykke dette. Vi skriver fx: º (mod). Øvelse 1. a) Oskriv restklase hørede til tallet 0, og restklasse hørede til tallet 10. b) Hvor mage forskellige restklasser modulo fides der?... - - -1 0 1... 11 0 1 10 98 7 I almidelighed ka ma ved restklasser modulo, hvor er et aturligt tal, forestille sig, at ma vikler e tallije rudt om e cirkel, der har omkredse. Hver gag vi går ositioer frem å de omviklede tallije rammer vi altså det samme ukt å cirkle. Restklassere reræseteres af tallee {0, 1,,, -1}, der kaldes for de riciale rester ved divisio med. På illustratioe ser ma fx, at tallee - og 9 er i samme restklasse og altså er kogruete modulo 1. 01 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade 11 DK-118 Købehav K Tlf: 000 Email: ifo@lru.dk
Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Bemærkig. Vi reger ku med hele tal. Me riciet med restklasser ka udstrækkes til alle reelle tal. Et vigtigt eksemel er ehedscirkle, hvor vi reger modulo π, år vi løser trigoometriske ligiger. Eksemel 7 º 1 (mod ) - º 1(mod ) 7 º 1 (mod ) - º 17 (mod ) Vi skriver ikke altid (mod ) efter tallet, hvis dette tal er de riciale rest. I stedet tillader vi os for emheds skyld at skrive eksemelvis 1(mod) =. Her står, at de riciale rest ved divisio af 1 med er. Øvelse Bestem følgede: a) 1 (mod ) b) 8 (mod17) c) 009 (mod10) d) - 0 (mod ) e) 111 (mod 9) Regig med restklasser Vi vil u gå over til e mere systematisk idførig i regig med restklasser, der er et cetralt elemet i modere talteori og dermed i krytologi. Defiitioer: Begreber hørede til divisiosligige Mægde af hele tal (ositive, egative og ul) beteges. At et tal a er et helt tal agives således: aî, der læses a tilhører mægde af hele tal,. Når vi har to vilkårlige hele tal, abî,, ka vi dividere a o i b ved de metode, vi lærte i folkeskole. Det giver et helt talt q som resultat og dertil e rest r. Resultatet skrives således: b= q a+ r, hvor qî, og 0 r< a (*) Vi vil altid skrive resultatet således at reste r ligger i dette iterval. Dee rest kaldes de riciale rest. Oskrivige af (*) kaldes divisiosligige. Hvis a går o i b, dvs. hvis reste er 0, siger vi at a er divisor i b, og vi skriver: a b Hvis a ikke går o i b skriver vi: a b Tallee 1 og b går altid o i b, og de reges sjældet med, år vi taler om divisorer. Hvis vi vil uderstrege dette taler vi om ægte divisorer. Eksemel: Oskrivig af divisiosligiger 1) a =, b = : = + ) a =, b = 1: 1 = + 1 ) a =, b = -1: - 1 = - + Bemærk, at kravet om 0 r< a giver e lidt ade divisiosligig for egative tal. Eksemel: Divisorer I et tal a) 1 7.9. 11 9. 11 b) Du ka fide samtlige divisorer i et tal ved hjæl af dit værktøjsrogram. Det ka eksemelvis se således ud: factor(0) = og factor(1) = Oskriviger af tye: 01 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade 11 DK-118 Købehav K Tlf: 000 Email: ifo@lru.dk
Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig 0= og 1 = kaldes for e faktoriserig i rimfaktorer. På grud af rimtallees atur ka vi ikke faktorisere videre. Omvedt ka vi ud af faktoriserige se, hvilke tal der er divisorer. Eksemelvis ka vi se, at tallee:,,, ( = ),10 ( = ) og 1 ( = ) er divisorer i 0. Øvelse Faktoriser tallee 10 og 9 og oskriv samtlige ægte divisorer. Sætig 1 For vilkårlige tal abî, er divisiosligige étydig. Bevis Atag at vi har to oskriviger af divisiosligige: b= q a+ r 1 1 b= q a+ r og lad os sige r ³ r 1 Træk fra og få: q -q a= r -r 1 1 Da 0 r1 < a, 0 r < a og r ³ r 1, vil_ 0 r- r1< a Derfor må der gælde: ( q1- q) = 0, dvs. at q1 = q Idsæt u dette i de to første ligiger: b= q a+ r 1 1 b= q1 a+ r hvoraf vi let ser, at også r 1 = r Hermed er sætige vist. Udersøgelse af, om to tal er kogruete modulo et tal ka udføres å e lidt ade måde, ed ved at oskrive divisiosligige, emlig ved at udersøge, om forskelle å de to tal er delelig med. Dette er idholdet i æste sætig. Ma ka ofte se dee egeskab avedt som defiitio å kogrues. Sætig 1) Hvis a(mod ) b(mod ) a-b =, så gælder: ) Hvis ( a-b), så gælder: a(mod ) = b(mod ) Bevis for ukt 1 Oskriv divisiosligigere for a og b: a= q + r b= q + r Vi trækker fra og får: a- b= q - q 1 ( 1 ) Me her står jo, at går o i tallet ( a- b) : ( a-b) Bevis for ukt a-b. Dvs. der fides et tal k, så: Atag 01 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade 11 DK-118 Købehav K Tlf: 000 Email: ifo@lru.dk
Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig a- b= k (*) Oskriv divisiosligige for b: b= h + r (**) Læg u de to ligiger (*) og (**) samme: a= k+ h + r (***) Me her står jo i (***) og, at tallee a og b har samme rest ved divisio med. Hermed er sætig bevist. I øvelse 1 så vi, at der er restklasser modulo, hvilket svarer til at sige, at der ka forekomme forskellige (riciale) rester, år vi dividerer tal, med. Restklassere reræseteres af de riciale rester, så mægde af alle restklasser modulo er: = { 0,1,,,,...,,} Tilsvarede har vi_ = { 0,1,} = { 0,1,,,} = { 0,1,,,,} og geerelt: Defiitioer: Mægde Lad være et ositivt helt tal. Mægde af riciale rester ved divisio med beteges: = 0,1,,..., -1 { } Et tal i ofattes som reræsetat for si tilsvarede restklasse. Hvis abî, defierer vi additio af restklasser således: ( mod ) a+ b= a+ b Sætig Regig med restklasser 1) ( a+ b)( mod ) = ( a( mod ) + b( mod ) ) ( mod ) ) ( a- b)( mod ) = ( a( mod ) -b( mod ) ) ( mod ) ) ( a b)( mod ) = ( a( mod ) b( mod ) ) ( mod ) Bevis Alle beviser bygger blot å defiitioe og avedelse af divisiosligigere: a q r a mod = r = +, hvoraf secielt: 1 1 1 b= q + r, hvoraf secielt: b( mod ) = r Når vi reger modulo ka vi smide alle led, der ideholder faktore væk. Pukt 1) a+ b= q + r + q + r = q + q + r + r 1 1 1 1 Heraf får vi: a+ b mod = r + r mod Udyt defiitioe å modulo ( 1 ) ( a b)( mod ) ( a( mod ) b( mod ) ) ( mod ) + = + Idsæt udtrykkee for r 1 og r Pukt ) Overlades til læsere som e øvelse. Pukt ) 01 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade 11 DK-118 Købehav K Tlf: 000 Email: ifo@lru.dk
Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig a b= q + r q + r 1 1 = q q + q r + q r + r r 1 1 1 1 = q q + q r + q r + r r 1 1 1 1 Heraf får vi: a b mod = r r mod Udyt defiitioe å modulo ( 1 ) ( a b)( mod ) ( a( mod ) b( mod ) ) ( mod ) = Idsæt udtrykkee for r 1 og r Hermed er formlere bevist. Bemærkig. Når vi er ødt til at udføre e ekstra omgag modulo å højre side skyldes det, at summe eller roduktet af de riciale rester ofte vil falde udefor. Eksemel: Moduloregig med og ude matematisk værktøj Ka ma si lille tabel, er det forholdsvis let at geemføre simle modulo-udregiger som: 7 (mod7) = (mod7) Ma foretager divisioe i hovedet og år frem til, at de sidste divisio er 7 o i 7. Det giver med som rest. Ma ka også rege lidt mere avaceret ved at iddrage de egative tal og udytte moduloregereglere samt vores kedskab til de lille tabel (7 går o i 00 og 7 går o i 9): 7 (mod7) = 7-00 (mod7) =- (mod7) = - + 9 (mod 7) = (mod 7) Med e lommereger ude modulofaciliteter kue ma udrege: 7 = 9.87 7 Det største hele tal i 7-tabelle, der er midre ed 7 er derfor 9. Lommeregere ka så give reste: 97-9 7 = Øvelse a) Bestem ( 1! +! +! +! +... + 100! )( mod1) 0 b) Bestem ( mod7) Øvelse Vis ved at give et modeksemel, at vi ikke ka slutte: a º b (mod ) Þ a º b (mod ) Eksemel: Regler for, hvorår et helt tal går o i et adet helt tal Før lommeregeres tid lærte ma e række regler, der skulle hjæle til hurtige udregiger. Det var fx regler om, hvorår et tal går o i et adet tal. Det er let at idse, at - går o, hvis det går o i sidste ciffer (lige tal) - går o, hvis det går o i tallet bestemt af de sidste to cifre - går o, hvis tallet eder å 0 eller - 10 går o, hvis tallet eder å 10. Det er også let accetere, at et tal som går o, hvis tallets rimfaktorer, heh. og begge går o. Der er ige let avedelig regel for hvorår 7 går o. Me der er simle regler for hvorår, 9 og 11 går o. Det ka ma idse ved modulo-regig: Det tal vi vil dividere o i skrives ud i titalsystemet således: 01 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade 11 DK-118 Købehav K Tlf: 000 Email: ifo@lru.dk
Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig N= a 10 +... + a 10 + a1 10 + a0 hvor N er tallet N= aa -1... aaa 1 0 Eksemelvis ka vi skrive 7 = 10 + 10 + 10 + 7 Når vi udersøger om et tal k går o, så reducerer vi modulo k. Går o i tallet N? Vi aveder de tre regeregler: ( mod ) = ( 10 +... + 10 + 1 10 + 0 ) ( mod ) ( a ) ( a ) ( a ) a 1 0 N a a a a ( 10 mod... 10 mod 10 mod mod ) ( mod ) = + + + + ( a ( mod) ( 10( mod ))... a ( mod) ( 10( mod) ) a1 ( mod) 10( mod) a0 ( mod) ) ( mod) = + + + + Og u kommer det smarte med tallet tre: 10( mod) = 1. Dvs oveståede bliver lig med: ( a ( mod ) 1 +... + a ( mod ) 1 + a1 ( mod ) 1 + a0 ( mod ) ) ( mod ) = ( a ( mod ) +... + a ( mod) + a1 ( mod) + a0 ( mod) ) ( mod) = ( a... + a + a + a )( mod) 1 0 Koklusio: Tallet går o i et tal, hvis tallet går o i tværsumme af taklets cifre. går ikke o i 97, fordi ikke går o i + + 9+ 7= går o i tallet 7801, fordi går o i tværsumme, der er Øvelse : Hvorår går 9 og 11 o i et tal? Aved samme metode som ovefor til at vise: a) 9 går o i et tal, hvis 9 går o i tallets tværsum b) 11 går o i et tal, hvis 11 går o i de altererede tværsum: (Hit: Udyt, at 10 (mod11) =- 1(mod11) ) -1 (- 1) a+ (- 1) a- 1+... - a1+ a0 Betragter vi = { } 0,1,,,, og lader vi tallee a og b være og, så er: a+ b= + = 7º 1(mod) ab = = 1 º 0 (mod ) 0,1,,,, gælder der: + = 1 = 0 Allerede her ka vi se, at regig ide for disse mægder er e del aderledes ed idefor almidelige tal, hvor ulregle altid gælder: Er et rodukt 0, er e af faktorere 0. Dvs., at idefor = { } Eksemel: Tabeller i Vi ka få et godt overblik over regereglere i disse mægder ved at ostille tabeller af samme tye, som vi lærte at kede i folkeskole, da vi i de første klasser lærte at addere og multilicere. For multilikatio udelader vi ormalt tallet 0. For og ser det således ud: : + 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 01 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade 11 DK-118 Købehav K Tlf: 000 Email: ifo@lru.dk
Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig : + 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 Øvelse 7: Tabeller og ligiger med additio i og a) Ostil tilsvarede tabeller i heholdsvis og. b) For additiostabellere lægger vi mærke til, at hver koloe og hver række ideholder alle tallee i ågældede ræcis é gag. Secielt ideholder de 0. Det betyder at ethvert tal har et omvedt (iverst) tal, der ved additio ohæver det, så vi får 0. I er det omvedte tal til tallet 1, og det omvedte til er selv. Hvad er i det omvedte til? Hvad er i det omvedte til? c) De egeskab vi har set i b) betyder, at vi ka løse ligiger (med additio) i. Løs følgede ligiger: - i : + x= 1 - i : + x= - i : + x= 0 d) De egeskab vi har set, at har, år vi fokuserer å additio, er de samme egeskab som mægde af alle hele tal har. Hvad kalder vi her de omvedte (iverse) tal til de aturlige tal? Hvad er løsigere til ligigere idefor? Øvelse 8: Ligiger med multilikatio i a) For multilikatiostabellere lægger vi mærke til et adet system: - i og ideholder hver koloe og hver række alle tallee i ågældede (frareget 0) ræcis é gag. Secielt ideholder de 1. Det betyder at ethvert tal har et recirokt (iverst) tal, der ved multilikatio ohæver det, så vi får 1. I er det recirokke tal til lig med tallet. Hvad er det recirokke tal til? - og har ikke dee egeskab. Vi ser fx, at i ideholder koloe og række ud for tallet ikke alle tal i, secielt ikke tallet 1. Hvilke tal har ikke et recirokt elemet, og hvilke har? c) Udersøgelsere i b) fortæller os, at vi ka løse ligiger (med multilikatio) i og, me ku i secielle situatioer i og. Udersøg om følgede ligiger har e løsig, og bestem i givet fald løsige: - i : x= 1 - i : x= 1 - i : x= - i : x= d) De egeskab, vi har set, at og har, år vi fokuserer å multilikatio, har mægde af alle hele tal ikke. Ma ka betragte udvidelse af talmægdere fra de hele tal til de ratioale tal (alle brøkere) som svaret å et øske om at kue løse de slags ligiger. Hvad er løsigere til ligigere idefor? 01 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade 11 DK-118 Købehav K Tlf: 000 Email: ifo@lru.dk
Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Et kig id i de modere algebra Når vi som ovefor udersøger, om ma ka løse ligiger idefor e mægde som udstyret med regigsarte additio, eller udstyret med regigsarte multilikatio, så bevæger vi os id i de del af matematikke, vi kalder for modere algebra. I modere algebra studerer ma mægder, der er udstyret med e komositio. Eksemler ka være:,+. - Mægde af hele tal udstyret med komositioe +. Dette skriver vi kort således: - Mægde af ositive ratioale tal + udstyret med komositioe. Dette skriver vi kort således: (, + ) - Mægde af restklasser udstyret med komositioe. Dette skriver vi kort således: (, ). - Mægde af vektorer i D, udstyret med vektoradditio +. Dette ka vi skrive kort således: ( V, + ). - Mægde af vektorer i D, udstyret med vektorrodukt. Dette ka vi skrive kort således: ( V ). - Mægde af lieære fuktioer udstyret med komositioe o (sammesætig af fuktioer). Dette L,o. kue vi kort skrive således: - Mægde af ositive hele tal + udstyret med komositioe x y (otesoløftig). Dette kue vi kort y skrive således: ( +, x ). E komositio Ä i e mægde M er e regigsart, der kombierer to elemeter i mægde, så vi får et yt elemet i mægde: Hvis x, yî M, så vil også xäyîm Derfor er fx lus (+), me ikke gage ( ) e komositio i mægde af egative hele tal -. Og derfor er skalarroduktet ikke e komositio i mægde af vektorer. Skalarroduktet kombierer to vektorer så resultatet bliver et tal og ikke e vektor. Årsage til, at modere algebra er e succeshistorie, er bl.a. at ma her har fudet redskaber til at studere fælles træk ved vidt forskellige strukturer, hvilket ka give dybere idsigt i hvorfor bestemte matematiske sammehæge er gældede. De grudlæggede kostruktio i modere algebra er begrebet e grue: Defiitioer: Gruer Lad M være e mægde udstyret med e komositio Ä. Vi kalder (, ) følgede: 1) Ä ofylder de associative lov: ( a b) c a ( b c) M Ä for e grue, hvis der gælder Ä Ä = Ä Ä for alle elemeter a, b og c i M. ) Der fides et eutralt elemet, e i M: aä e= eä a= a for alle elemeter a i M. ) Ethvert elemet a i M har et iverst elemet a : aä a = aä a= e, Eksemel: (,+) er e grue 1) De associative lov siger, at ma ka hæve og sætte lus-areteser: a+ ( b+ c) = ( a+ b) + c= a+ b+ c ) Tallet 0 er eutralt elemet, da a+ 0= 0+ a= a, for ethvert tal a. ) Det hele tal a har et iverst elemet, emlig - a : a+- ( a) =- ( a) + a= 0 Øvelse 9 a) Vis, at (, ) er e grue. + 01 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade 11 DK-118 Købehav K Tlf: 000 Email: ifo@lru.dk
Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig b) Vis, at (, + ) c) Vis, at ( {} 0, ) er e grue for ethvert tal. er e grue, hvor {} 0 agiver, at vi ser bort fra tallet 0. d) Hvad ka du sige om de øvrige mægder med komositio i eksemlet ovefor? Øvelse 10: I e grue ka ma løse simle ligiger M, Ä er e grue, så ka ma idefor dee mægde løse ligiger af tye: Vis, at hvis 1) aä x= b b) xä a= b Øvelse 11: Der er ku ét eutralt elemet Atag at både e og f er eutrale elemeter. Udyt defiitioe herå til at vise e= f. Det har altså god meig at tale om det eutrale elemet. Øvelse 1: Iverse elemeter er etydigt bestemt. Atag, at a har to iverse elemeter: a og a%. Vis ved a rege å udtrykket aäaä% a, at a = a%. Det har altså god meig at tale om det iverse elemet til a. Øvelse 1: Kommutative gruer Hvis der om e komositio Ä gælder: aä b= bä a, for alle a, bîm siger vi, at Ä er kommutativ. Hvis M er e grue, kaldes de e kommutativ grue. Hvilke af komositioere i eksemlet i starte af afsittet er kommutative? ( 0, ) Restklassegruere {} Vi ka ikke løse ligiger af tye: a x= b idefor (,+). Søger vi at løse ligige vil vi dividere a over å h (dvs. gage med det iverse elemet til a). Me så er vi ude i de ratioale tals verde. Det er derfor heller ikke så overraskede, at vi heller ikke ka løse sådae ligiger geerelt idefor og. Det så vi ovefor. Derimod er det overraskede, at vi ka løse multilikative ligiger både ide for og. I øvelse c) så vi, at {} 0, er e grue, hvor {} agiver, at vi ser bort fra tallet 0. 0 Vi ville have fået et tilsvarede resultat, hvis vi havde ostillet tabeller over 7 og 8. Ma ka løse simle multilikative ligiger idefor ( 7 {} 0, ), me ikke idefor ( 8 {} 0, ). De ser ud til at der gælder følgede geerelle resultat: Sætig: Restklassegruere 1) Hvis er et rimtal, så er ( {} 0, ) e grue ) Hvis ikke er et rimtal, så er {} 0, ikke e grue ( ) Bevis for 1) Vi får brug for e sætig om rimtal, som vi her gegiver ude bevis: Atag er et rimtal. Så gælder, at hvis a bså vil gå o i ete a eller b. Beviset fides i rojekt 0. om Euklids algoritme. 01 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade 11 DK-118 Købehav K Tlf: 000 Email: ifo@lru.dk
Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Atag u er et rimtal. Mægde {}0 består af: { 1,,,..., -1} De associative lov gælder klart, idet de edarves fra ( ),. Restklasse 1 er ifølge defiitioe å multilikatio af restklasser et eutralt elemet i {}0. Det eeste vaskelige ukt er at vise, at et vilkårligt elemet a har et iverst elemet. Vi lader os lede af det mere simle argumet, vi i øvelse geemførte for at ethvert elemet i {} 0 har et iverst elemet: Vi ostillede multilikatiostabelle, og her fadt vi, at hver koloe og hver række ideholdt alle tallee i {} 0 ræcis é gag. Secielt ideholder de det eutrale elemet 1. Det betyder at ethvert tal har et recirokt (iverst) tal, der ved multilikatio ohæver det, så vi får 1. a-række i multilikatiostabelle for {}0 ideholder følgede: { a 1, a, a,..., a ( 1) } - (*) Hvis er et rimtal er alle disse forskellige. For atag, at to af dem var es, dvs. de reræseterede samme restklasse: a r(mod ) = a s(mod ) Hvis r og s er forskellige er ét af dem størst, lad os sige det er r. Ifølge sætig gælder så: a r- a s ( - ) a r s Me ifølge sætige vi citerede i starte af beviset gælder så: Ete: a r-s eller: Da a< ka det første ikke være tilfældet. Derfor må det adet gælde, dvs.: ( - ) r s Vi atog, at r og s er forskellige, og at r Me så ka jo ikke gå o i ( r s) > s. Så er 0 < r- s< -, hvilket giver e modstrid. Altså er r= s og atagelse om at der fides to restklasser i (*) der er es er forkert: De er alle forskellige. Når de alle er forskellige, betyder det, at a-række ideholder alle tallee i {} 0 ræcis é gag. Secielt ideholder de det eutrale elemet 1. Koklusio: Et af tallee i (*) er kogruet med 1. Lad os sige det er a b. Så er b det det recirokke (iverse) elemet til a. Bemærkig 1. Da multilikatio er kommutativ er det lige meget, om vi ser å a-række eller a-koloe. Bemærkig. Beviset ovefor er et eksistesbevis, dvs. vi viser, at der må fides et recirokt elemet, me vi agiver ikke e metode til at fide det. Det gør vi i rojektet 0. om Euklids algoritme. Øvelse 1: Bevis for ). Atag ikke er et rimtal, dvs. er et sammesat tal: = r s Vis ved at give et modeksemel, at ikke alle elemeter i {} 0, har et iverst elemet. ( ) Øvelse 1 De -1 tal i grue {} 0,, hvor er et rimtal, ka fremkomme ud fra et vilkårligt af tallee, fx a ( ) t ved at udrege a mod, for alle tal t mellem 1 og - 1 = 17 og a = se således ud: =. hvor vi ser, at alle 1 elemeter er med é gag.. I et værktøjsrogram som Male ka det for 01 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade 11 DK-118 Købehav K Tlf: 000 Email: ifo@lru.dk
Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig a) Vælg et adet tal ed, og geemfør det samme. b) Geemfør samme øvelse med rimtallet og et vilkårligt tal som frembriger. Vi får i øvrigt forholdsvis let et si-off af oveståede i form af e berømt sætig fra matematikhistorie. Sætige er okaldt efter Pierre Fermat, der første gag formulerede de i et brev fra 10. Fermat beviste aldrig sie mage åstade, i dette tilfælde fordi beviset var alt for lagt, så det blev først bevist i 17 af Euler. Sætige fik sit av, Fermats lille sætig i e artikel fra 191. Sætige er bl.a. iteressat, fordi e geeraliserig heraf, som Euler geemførte, og som idgår i rojekt 0., er helt cetral i argumetatioe for, at kryterigssystemet RSA virker. Fermats lille sætig 1 1) Hvis er et rimtal, og a er et tal, som ikke går o i, så gælder der: a - º 1 ( mod ) ) Hvis er et rimtal, og a er vilkårligt tal, så gælder der: a º a( mod ) Bevis for ukt 1) Atag er et rimtal, og at a er et tal, som ikke går o i. I beviset for sætige ovefor om restklassegruere så vi å situatioe a<. Me ser vi beviset igeem, ser vi, at det cetrale var, om gik o i a eller ej. Så vi behøver ikke begræsige a<. I beviset idgik, at de to mægder: a 1, a, a,..., a -1 { 1,,,..., 1} - og { } reræseterer de samme restklasser. Ifølge regereglere for modulo-regig og sætig gælder derfor: 1... - 1 = a 1 a a... a -1 (mod ) -1-1 -1 1... - 1 = 1... - 1 a (mod ) 1... - 1 a - 1... -1 ( - ) ( - ) 1... 1 a 1 Nu har vi ige situatioe beskrevet i sætige først i beviset ovefor: rimtallet går o i et rodukt, derfor går det o i midst é af faktorere: 1 1... 1 a - -1 ( ) - eller Det første er umuligt, da er et rimtal. Derfor gælder det adet. Me ifølge sætig, så betyder det, at: - a 1 mod = 1 mod 1 eller: a - º 1 ( mod ) Dette var første versio af sætige. Bevis for ukt ) Lad a være et vilkårligt tal. Der er u to muligheder: 1) a er et tal, som ikke går o i ) at a er et tal, som går o i I første tilfælde har vi situatioe fra før, så: 1 a - º 1 mod Samtidig er: aº a ( mod ) så regereglere for modulo-regig giver: 01 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade 11 DK-118 Købehav K Tlf: 000 Email: ifo@lru.dk
Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig 1 ( mod ) ( mod ) -1 a a º a a º a I adet tilfælde har vi, at går o i a. Dermed går også o i ethvert tal, som ideholder a som e 1 a a - - 1. Me dette tal er lig med a - a, så: faktor, eksemelvis i ( a - a), ( mod ) ( mod ) ( mod ) a a a a = Aved sætig º Samme udtryk skrevet med kogrues symbolet. Hermed er sætige bevist. Øvelse 1 1 1 Hvis = og a =, så siger Fermats lille sætig, at a - = - = = er kogruet med 1 modulo. Kotroller at det er tilfældet. Kotroller yderligere Fermats lille sætig med følgede eksemler: a) = og a = b) = 7 og a = c) = 11 og a = d) = 1 og a = 10 De matematiske værktøjsrogrammer ka geemføre modulo-regig. Hvis vi ville tjekke Fermats lille sætig å = 17 kue det i male se såda ud: Øvelse 17. Fermats lille sætig udersøgt med værktøjsrogram Aved dit værktøjsrogram til at udersøge Fermats lille sætig med rimtallet og det sammesatte tal 7. Eksemel: Persektiverig til kryterig I de modere krytologi, der kaldes RSA-systemet, avedes meget store rimtal i kryterige af e besked. Udgagsuktet er to rimtal og q med fx 100 cifre hver. De to tal er hemmelige. Så udreges deres rodukt = q, samt yderligere tallet j = ( - 1) ( q- 1). Herefter smides oulært sagt de to rimtal, og q væk. Derved bliver systemet ubrydeligt. Ved hjæl af tallet j bestemmes så de to øgler, de ee til kryterig, de ade til dekryterig. De to øgler bestemmes ved hjæl af Euklids algoritme, som behadles i rojekt 0.. Alle beregiger foretages modulo, så dette tal er offetlig kedt, me det er ikke oget roblem, for der fides ige ekle måder til at faktorisere store tal i rimfaktorer. Så ma ka ikke bestemme rimtallee ud fra kedskab til tallet. Ma ka derfor heller ikke bestemme tallet j, ude kedskab til de to oridelige rimtal. Det betyder, at selv om ma keder øgle til kryterig, ka ma ikke bestemme øgle til dekryterig. Der er aturligvis mage tekiske roblemer i et sådat system. Der er uedeligt mage rimtal, og faktisk ikke så få edda af dem. Me der fides ige formler, der ka geerere rimtal, så 01 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade 11 DK-118 Købehav K Tlf: 000 Email: ifo@lru.dk
Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig hvorda får vi fat i et rimtal å 100 cifre? Eller sagt å e ade måde hvis vi har et godt bud å et stort rimtal, hvorda afgør vi så med sikkerhed, at det faktisk er et rimtal? Et stort område idefor modere krytografi drejer sig eto om rimtalstest. Der fides ikke et rimtalstest, der med 100% sikkerhed giver svaret, det er eto et test. Me der fides meget avacerede og meget stærke sådae test. Det første rimtalstest ma udsætter et tal for er faktisk Fermats lille sætig! Sætige siger, at 1 hvis et tal er et rimtal så gælder det, at for ethvert midre tal a har a - reste 1 ved divisio med. De siger ikke det omvedte, at hvis det om et tal q gælder, at for ethvert midre tal a har q 1 a - reste 1 ved divisio med q, så er tallet q et rimtal. Me hvis et tal q ofylder dette, så er der meget god sadsylighed for, at det er et rimtal, hvorfor det giver meig at gå videre med stærkere og mere krævede test. Der fides tal q, der ofylder betigelsere i Fermats lille sætig, og som ikek er rimtal. Disse kaldes Carmichael tal. Det midste Carmichael tal er tallet 1. Det er altså det første sammesatte tal, som består Fermats test. 1 er et sammesat tal: 1 = 11 17. 01 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade 11 DK-118 Købehav K Tlf: 000 Email: ifo@lru.dk