Mat1GA Minilex Henrik Dahl, Hold 10 3. januar 2003 Indhold 1 Definitioner 2 2 Sætninger m.v. 17 3 Regneregler 36 4 Kriterier 43 5 Kogebog 44 Resumé ADVARSEL - dette er livsfarligt at bruge ukritisk. Der er næsten sikkert fejl, endda graverende fejl. Jeg påtager mig intet ansvar overhovedet for noget som helst. Faktisk vil jeg for en sikkerheds skyld fraråde brug af det følgende... Ved referencer til lærebøgerne bruges (P) for Poulsen og (M) for Messer. (T) står for theorem, (S) for sætning, (L) for lemma, (K) for korollar, (D) for definition. Sidste afsnit, kogebogen, er meget uformel og ment som en hurtig hjælp til at få foretaget beregninger. Der er her normalt ikke referencer. 1
1 DEFINITIONER 2 1 Definitioner Absolut konvergens En uendelig række n=1 a n siges at være absolut konvergent, hvis rækken n=1 a n af dens absolutte værdier er konvergent. (P.D.4.41) Afsnitsfølge Afsnitsfølgen for en talfølge {a n } n=1 er følgen (Forelæsning 7, P.D.4.31) (s n ) = n i=1 a i Hvis (s n ) er konvergent, så skriver vi i=1 a i = lim n s n arg z θ er et argument for z C, hvis der gælder, at z = r cos θ + ir sin θ = (r cos θ, r sin θ) hvor r = z. Vi skriver (selv om arg ikke er entydig), at arg z = θ hvis θ er et argument for z. Arg z Associative lov Med Arg z indikeres et hovedargument for z C, dvs. Arg z er den værdi v af arg z, der opfylder π < v π. Den associative lov siger, at der ved en regneoperation kan hæves og sættes parenteser, ex. a + (b + c) = (a + b) + c, a(bc) = (ab)c, (P Q) R P (Q R) Basis Et sæt (v 1,..., v n ) er en basis for V, hvis og kun hvis (M.D.3.6) 1. v 1,..., v n er lineært uafhængige 2. span(v 1,..., v n ) = V Begrænset delmængde En delmængde A af R siges at være opad begrænset hvis og kun hvis A har en øvre grænse, dvs. hvis og kun hvis der eksisterer et tal b R således at a A a b. A siges at være nedad begrænset hvis og kun hvis der eksisterer et tal b R således at a A a b. A siges at være begrænset hvis og kun hvis A er både opad og nedad begrænset. (P.D.3.8) (Hvis A =, er alle tal b R både øvre og nedre grænse for A).
1 DEFINITIONER 3 Begrænset kompleks talfølge Begrænset reel talfølge Betinget konvergens Bijektiv funktion Billede, Im T En kompleks talfølge {a n } n=1 siges at være begrænset hvis der eksisterer et positivt reelt tal M således at a n M for alle n N. (P.D.4.7.b) En reel talfølge {a n } n=1 siges at være opad begrænset, nedad begrænset eller begrænset hvis delmængden {a n n N} R har den pågældende egenskab. (P.D.4.7.a) En uendelig række n=1 a n som er konvergent, men ikke absolut konvergent, siges at være betinget konvergent. (P.D.4.41) f kaldes bijektiv hvis f både er injektiv og surjektiv. Antag at T : V W er en lineær afbildning. Billedet af T skrives imt og er defineret ved (M.D.6.19) imt = {w W w = T (v), v V } Delfølge En delfølge af følgen (a n ) er en følge (a nk ), k N, hvor n k er en strengt voksende følge af hele tal (n 1 < n 2 <...). Bemærk, at n K K. (P.D.4.26) Determinant Determinanten (M.D.7.3) af en (n n) matrix A, det A er defineret rekursivt ved 1. For en (1 1) matrix A = [a 11 ] : det A = a 11 2. For n > 0, lad A ij være den (n 1) (n 1) matrix, der fremkommer, når række i og søjle j slettes i A 3. Så er det A = n j=1 ( 1)(1+j) a 1j det A 1j - udvikling efter første række Dimension Et vektorrum V har dimension n hvis og kun hvis der findes en basis for V, som indeholder præcis n vektorer. I så tilfælde siger vi, at V er n-dimensionalt og skriver (M.D.3.7) dim V = n Dimension, endelig Dimension, span Et vektorrum har endelig dimension hvis og kun hvis det har en endelig basis. Ellers er vektorrummet uendelig-dimensionalt. (M.D.3.8) Dimensionen af et underrum udspændt af af et lineært uafhængigt sæt af vektorer (v 1,..., v n ) er lig med antallet af vektorer i sættet. Vi skriver (Forel. 15) dim span(v 1,..., v n ) = n
1 DEFINITIONER 4 Distributive lov Den distributive lov siger, at der ved en blandet regneoperation kan hæves og sættes parenteser, ex. a(b+c) = ab+ac, P (Q R) (P Q) (P R), P (Q R) (P Q) (P R) Divergens mod Vi siger, at en reel talfølge {a n } n=1 divergerer mod, hvis der for ethvert uendelig reelt tal M gælder, at der eksisterer et n N således, at a n > M når n N: M R N N : n N a n > M I så fald skriver vi a n for n Divergens mod Vi siger, at en reel talfølge {a n } n=1 divergerer mod, hvis der for ethvert -uendelig reelt tal M gælder, at der eksisterer et n N således, at a n < M når n N: M R N N : n N a n < M I så fald skriver vi a n for n Division Hvis a og b er vilkårlige tal i et legeme L og a 0, bruges betegnelsen b/a eller b a om den entydigt bestemte løsning til ligningen ax = b. Regneoperationen / kaldes division og b/a kaldes kvotienten mellem b og a (P.def.1.8). Eksponentialfunktion, Lad z = x + iy C. Så defineres e z ved (P.D.2.25) kompleks e z = e x (cos y + i sin y) Et-element Et et-element, 1, i en ring R, opfylder (P.def.1.1) r R : 1r = r Frie variable Hale Hvis rækkeechelonformen for koefficientmatricen for et ligningssystem indeholder søjler, der ikke indeholder initialettaller, kaldes de tilsvarende variable for frie variable. Disse kan parametriseres, således at de ledende eller bundne variable i løsningen udtrykkes ved hjælp af de frie variable. (M.s.76) Hvis n=1 a n er en uendelig række og N N, kalder vi rækken for en hale af rækken. (P.L.4.37) n=n+1 a n
1 DEFINITIONER 5 Harmoniske række går Den harmoniske række mod nul. (P.Eks.4.18) er n=1 1 n. Rækken er divergent selv om leddene Identitetsfunktionen Identitetsmatrix Identitetsfunktionen på en vilkårlig mængde X er funktionen id X : X X defineret ved id X (x) = x (M.D.6.5) Identitetsmatricen er en kvadratisk matrix, hvor diagonalen består af ettaller og resten af matricen består af nuller. Identitetsmatricen med størrelsen n n kaldes I n og har formen (M.D.5.3) I ij = 1 for i = j, I ij = 0 ellers Im(z) Imaginærdelen af et komplekst tal, givet ved y. z = x + iy C benævnes Im(z) og er Indre produkt Et indre produkt er en afbildning, der til to vektorer v og w V knytter et tal v, w R så at 1. v, v 0 og v, v = 0 v = 0 2. v, w = w, v 3. rv, w = r v, w 4. v + w, x = v, x + w, x Et vektorrum udstyret med et indre produkt kaldes et indre produktrum. (M.D.4.1) Indre produkt, standard på R, prikprodukt På et Euklidisk rum, R n, er prikproduktet også standard-indre-produktet. Der gælder, at (M.D.4.3) n v w = v i w i i=1 Indre produkt, standard på C Infimum Initialettal, matrixrække Standard-indre-produktet på C([a, b]) = {f : [a, b] R f er kontinuert} er defineret ved f, g = for alle f, g C([a, b]). (M.D.4.4) b a f(x)g(x)dx Hvis b er den største nedre grænse for mængden A kaldes b også for A s infimum og vi skriver b = inf A. (P.D.3.14) En række har et initialettal hvis det tal, der står længst til venstre i rækken og ikke er et nul, er et ettal. (M.D.2.2)
1 DEFINITIONER 6 Initialindgang, matrix Injektiv funktion Isomorfi En initialindgang i en matrix er den første indgang i matricen, som ikke er nul, når matricen læses rækkevist fra venstre mod højre. (M.D.2.2) f er injektiv, hvis der gælder, at f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2. (Engelsk: one-toone ) (M.D.6.4) T : V W kaldes en isomorfi hvis 1. T er lineær 2. T er injektiv og surjektiv - dvs. T er invertibel Hvis T er en isomorfi siger vi, at V og W er isomorfe. (M.D.6.29) Kernen, Ker T Antag at T : V W er en lineær afbildning. Kernen af T skrives ker T og er defineret ved (M.D.6.19) ker T = {v V T (v) = 0} Koefficientmatrix Kommutative lov Ved koefficientmatricen for et lineært ligningssystem med n ligninger og m ubekendte, Ax = b, forstås n m-matricen, A. Den kommutative lov siger, at der ved en regneoperation kan byttes rundt på argumenterne, ex. a + b = b + a, ab = ba, P Q Q P Komplekse tal Lad u, v, x, y R.. Med (u, v) + (x, y) = (u + x, v + y) (u, v)(x, y) = (ux vy, uy + vx) (0, 0) nul-element (1, 0) et-element udstyres mængden R 2 som et legeme der kaldes legemet af komplekse tal C. (Forel. 2) Vi skriver normalt et komplekst tal på formen z = x + iy, hvor x, y R. Konjugeret, komplekst tal Den konjugerede til et komplekst tal, z = x + iy er givet ved z = x iy
1 DEFINITIONER 7 Konvergens, talfølge En talfølge {a n } n=1 siges at være konvergent, hvis der findes et tal a med egenskaben ε > 0 N N n N : n N a a n < ε I så fald kaldes tallet a for talfølgens grænseværdi. Vi siger, at talfølgen konvergerer mod eller går mod a og vi skriver a n a for n eller lim n a n = a En talfølge, der ikke er konvergent siges at være divergent. (P.D.4.2) Koordinatskiftematrix Lad B og C være baser for et vektorrum V. Koordinatskiftematricen fra B til C er (M.D.6.16) C B = C [id V ] B = [[u 1 ] C [u n ] C ] Koordinatsøjle Betragt et vektorrum V med en basis B = (v 1,..., v n ). Lad w = n i=1 r iv i. Da er koordinatsøjlen for w mht. B det element i R n, som er givet ved (M.D.3.16) [w] B = r 1. r n Kvotientrække, endelig En endelig kvotientrække er en sum af formen (P.K.1.15) n ar j j=0 Kvotientrække, uendelig En uendelig kvotientrække er en række af formen (P.S.4.32) ar n n=0 Legeme En ring er et legeme, L (dvs. også et talområde), hvis der til ethvert element r L findes et w L, således at (P.def.1.1.c) r L w L : rw = 1 hvor w, der afhænger af r betegnes 1/r eller r 1 og kaldes det reciprokke element til r (P.def.1.1.c).
1 DEFINITIONER 8 Linearkombination Lad (v 1,..., v n ) være et sæt af vektorer i et vektorrum V, og lad r 1,..., r n R være konstante koefficienter. En linearkombination er da en ny vektor af formen (M.D.3.1) n r i v i i=1 Lineær afbildning Lad V og W være vektorrum og afbildning hvis (M.D.6.1) T : V W. Vi siger, at T er en lineær 1. T (v 1 + v2) = T (v 1 ) + T (v 2 ), v 1, v 2 V 2. T (rv) = rt (v), r R, v V Vi definerer også tre hyppigt forekommende lineære afbildninger: 1. Givet A M(m, n). Definer µ A : R n R m ved µ A (x) = µ A x 1. x n = A x 1. x n = Ax 2. Givet et vektorrum V og en basis herfor B. Definer en lineær afbildning C B : V R n ved oversættelse til koordinatsøjlen mht. B C B (v) = [v] B 3. Givet et sæt B = (v 1,..., v n ) i et vektorrum V. Definer en lineær afbildning L B : R n V ved oversættelsen af koordinatsøjlen til en vektor: r 1 n L B. = r i v i r i=1 n Lineær uafhængighed Et sæt af vektorer (v 1,..., v n ) siges at være lineært uafhængige hvis og kun hvis ligningen n r i v i = 0 i=1 medfører, at r 1 = r 2 = = r n = 0. Hvis ligningen kan løses med nogle koefficienter forskelligt fra 0, er sættet lineært afhængigt. (M.D.3.4) Mere formelt er sættet lineært afhængigt, hvis (r 1,..., r n ) 0 : n r i v i = 0 i=1
1 DEFINITIONER 9 Lineært ligningssystem Ved et lineært ligningssystem med n ligninger og m ubekendte forstås et system af ligninger, der kan skrives n a ij x j = b j j=1 eller på matrixform, Ax = b, hvor a erne og b erne er konstante koefficienter og x erne er de ubekendte. Den tilhørende matrix A kaldes for ligningssystemets koefficientmatrix, mens den udvidede matrix [A b] kaldes for systemets totalmatrix Ligningssystem, homogent Linje og (hyper-)plan Matrix Matrix for lineær afbildning Det lineære ligningssystem, Ax = 0 kaldes for homogent. Hvis højresiden ikke er lig med nul-vektoren, kaldes systemet inhomogent. (M.s.77) Antag V er et vektorrum og at v V, v 0. Linjen gennem en vektor x V i retningen v er mængden {rv + x r R}. Hvis v, w, x V hvor hverken v eller w er et multiplum af den anden, er planet gennem x i retningerne v og w mængden {rv + sw + x r, s R}. (M.D.1.12) Lad m, n N. Mængden af alle rektangulære tabeller med m rækker og n søjler er matrixrummet M(m, n), hvis elementer kaldes m n-matricer. Tallet i række i og søjle j kaldes indgang ij. (M.D.1.9) Bemærk, at matrixrummet er et vektorrum. Lad U være et vektorrum med basen B = (u 1,..., u n ). Lad W være et vektorrum med basen B = (u 1,..., u m) (hvor m og n ikke behøver at være ens). Lad T : U W være lineær. Matricen for T mht. B og B er givet ved (M.D.6.12) A = [T (u 1 )] B [T (u 2 )] B [T (u n )] B M(m, n) Matrix, højreinvers, venstreinvers, invers Matrix, kvadratisk Matrixprodukt Lad A M(m, n) og B M(n, m). Hvis AB = I m er B en højreinvers for A. Hvis BA = I n er B en venstreinvers for A. Hvis B både er højre- og venstreinvers for A skriver vi A 1 = B og kalder B for A s inverse. Hvis A har en invers, siges A at være invertibel eller ikke-singulær (MD.5.6) En kvadratisk matrix er en matrix med lige mange rækker og søjler. (M.D.5.2) Lad A M(m, n) og B M(n, p). Matrixproduktet AB M(m, p) er givet ved AB = [c ik ] hvor c ik = n j=1 a ijb jk Matrixproduktet er kun defineret for fælles midter-dimension (her n). (M.D.5.1)
1 DEFINITIONER 10 Mindste øvre Lad A R og b R. b kaldes den mindste øvre grænse for A, hvis b er en grænse øvre grænse for A og der gælder, at hvis c er en øvre grænse for A, så er b c. (P.D.3.9) Modulus Modsat element Lad z C. Tallet z = (Re z) 2 + (Im z) 2 kaldes for z s modulus. Et modsat element til r R kaldes r og opfylder (P.def. 1.1) r R : r + ( r) = 0 Monoton talfølge En reel talfølge {a n } n=1 siges at være voksende hvis n N : a n a n+1 og den siges at være aftagende hvis a n a n+1 for alle n N. Hvis der overalt gælder skarpe uligheder siges den at være strengt voksende eller strengt aftagende. En talfølge siges at være monoton hvis den enten er voksende eller aftagende, og strengt monoton hvis den enten er strengt voksende eller strengt aftagende. Normaliseret vektor Norm, vektor Antag, at v 0 er element i et indre produktrum V. v er normaliseret hvis den har længden 1. Vektoren er normaliseret. v v Normen for en vektor v i et indre produktrum V skrives v og er defineret ved (M.D.4.5) v = v, v Nul-element Et nul-element, 0 i en ring R, opfylder (P.def.1.1) r R : r + 0 = r Nullitet Hvis ker T er endeligdimensional sætter vi nulliteten, (M.D.6.26) nullitett = dim(ker T ) Nulrække Omvendt funktion En række i en matrix er en nulrække, hvis den kun indeholder nuller. (Forel. 14) Vi siger, at g : Y X er en omvendt funktion til f, hvis g(f(x)) = x og f(g(y)) = y x X, y Y. (M.D.6.5)
1 DEFINITIONER 11 Ordnet mængde Lad M være en mængde og antag, at der om visse par af elementer x, y M gælder x < y. Mængden M siges at være ordnet hvis der om symbolet < gælder 1. For ethvert par af elementer x, y M gælder præcis een af følgende muligheder x < y, x = y, y < x 2. For alle x, y, z M gælder x < y, y < z x < z I en ordnet mængde bruges symbolerne >, og på normal vis. (P.D.3.1) Ortogonalitet To vektorer v og w i v, w = 0. (M.D.4.11) et indre produktrum er ortogonale hvis og kun hvis Ortogonalsæt Ortonormalsæt En mængde S V (indre produktrum) siges at være et ortogonalsæt, hvis (M.D.4.13) v, w S : v w v, w = 0 En mængde S V (indre produktrum) siges at være et ortonormalsæt, hvis (M.D.4.16) v, w = 0, v w v, w = 1, v = w Polarform Lad z C og lad z være skrevet på formen z = r cos v + ir sin v med r 0, v R. Da er z skrevet på polarform (i modsætning til normalform eller kanonisk form). Polynomium Ved et polynomium over legemet L forstås et udtryk af formen P (x) = n c i x i i=0 hvor c i L for alle i, mens x er en variabel, der kan tage værdier i L. Hvis alle koefficienter c i = 0 kaldes P for nulpolynomiet. I modsat fald kaldes det et egentligt polynomium. Et egentligt polynomium tillæges en grad, hvorved man forstår den højeste eksponent k, hvor c k 0. Nulpolynomiet tillægges ingen grad. (P.D.1.18)
1 DEFINITIONER 12 Projektion, vektorer Projektionen af en vektor v ned på vektoren u 0 er vektoren (M.D.4.12) proj u (v) = v u = v, u u, u r Bemærk, at v v u er ortogonal på u. Projektion på underrum Antag, at (e 1,..., e n ) er en ortonormal basis for et underrum S af et indre produktrum V. Projektionen af en vektor v V på underrummet S er defineret ved (M.D.4.18) n proj S (v) = v, e i e i i=1 Rang, lineær afbildning Hvis imt er endeligdimensionalt sætter vi rangen af den lineære afbildning til (M.D.6.26) rangt = dim(imt ) Rang, matrix Re(z) Reciprokt element Reduceret rækkeechelon-form Ring Rod, komplekst tal Rod i polynomium Rangen af en matrix A - ranga - er antallet af initialettaller i den reducerede rækkeechelonform for matricen. (M.D.5.10). Bemærk, at ranga min(m, n) når A M(m, n). Realdelen af et komplekst tal, z = x+iy C benævnes Re(z) og er givet ved x. Et reciprokt element til r L, w L, opfylder rw = 1. Det reciprokke element betegnes 1/r eller r 1. (P.def.1.1) En matrix er på reduceret rækkeechelonform, når den ud over at være på rækkeechelonform også opfylder, at der står nuller over alle initialettaller. (M.D.2.4) En ring R er et talområde hvori der eksisterer et tal 0 og et tal 1, således at (P.def.1.1.b) r R : r + 0 = r nul-element r R : 1r = r r R v R : r + v = 0 hvor v, der afhænger af r betegnes r. z er en n te rod af c, hvis z n = c. et-element modsatte element Hvis P er et polynomium og r L er et element i legemet L, kaldes r en rod eller et nulpunkt i P, hvis P (x) = 0. (P.Def.1.19)
1 DEFINITIONER 13 Rækkeechelon-form En matrix er på rækkeechelonform når (M.D.2.3) 1. Alle rækker er enten nulrækker eller har initialettal 2. Initialttaller står længere mod højre i nedre rækker 3. Alle nulrækker står nederst Rækkeoperationer på matrix Der er tre lovlige rækkeoperationer tioner) på en matrix. (M.D.2.1): (I): R i R j, i j (II): R i cr i (III): R i R i + cr j, i j (eller elementære rækkeopera- Række, uendelig Lad (a n ) være en talfølge. Ved rækken eller den uendelige række med leddene a n forstås talfølgen (s n ) defineret som afsnitsfølgen, s n = n i=1 a i Denne nye talfølge betegnes med symbolet n=1 a n. Hvis afsnitsfølgen (s n ) er konvergent siges rækken også at være konvergent og grænseværdien kaldes for rækkens sum. Hvis afsnitsfølgen er divergent, siges rækken at være divergent. Summen af en konvergent uendelig række betegnes med samme symbol som rækken, dvs. hvis s n a skriver vi n=1 a n = a. (P.D.4.31) Rækkerum Sammensat funktion Span Rækkerummet for en (m n)-matrix A er det underrum af R n som udspændes af de m rækker i A, når de opfattes som elementer i R n (M.D.6.23) Givet to funktioner, f : X Y og g : Y Z. Den sammensatte funktion af f efterfulgt af g er funktionen g f : X Z, defineret ved (g f)(x) = g(f(x)). (M.D.6.5) Lad (v 1,..., v n ) være et sæt af vektorer i et vektorrum V, og lad r 1,..., r n R være konstante koefficienter. Den delmængde af V, der udspændes af vektorerne er mængden af alle linearkombinationer af vektorerne. Denne mængde skrives (M.D.3.2) span(v 1, v 2,..., v n ) Bemærk: span = {0} Største/mindste Lad A være en delmængde af en ordnet mængde M. Et element s M siges element at være det største element i A når s A og a A : a s a < s. Begrebet mindste element defineres helt analogt. (P.D.3.2).
1 DEFINITIONER 14 Største nedre grænse Lad A R og b R. b kaldes en nedre grænse for A, hvis a A : b a b kaldes den største nedre grænse for A hvis b er en nedre grænse for A og der gælder, at hvis c er en nedre grænse for A, så er b c. (P.D.3.12) Subtraktion Subtraktion, vektorer Hvis a og b er vilkårlige tal i en ring,r, bruges betegnelsen b a om den entydigt bestemte løsning til ligningen x + a = b. Regneoperationen - kaldes subtraktion og b a kaldes differensen mellem b og a (P.def.1.3). Lad V være et vektorrum.. Ved subtraktion kombineres to vektorer v, w V til en ny vektor, v w, defineret ved (M.D.1.6) v w = v + ( w) Supremum Hvis b er den mindste øvre grænse for mængden A kaldes b også for A s supremum og vi skriver b = sup A. (P.D.3.14) Surjektiv funktion Søjlerum Tal Talfølge f er surjektiv, hvis der gælder, at y Y x X : f(x) = y. dvs. f rammer hele Y. (Engelsk: onto ) (M.D.6.4) Søjlerummet for en (m n)-matrix A er det underrum af R m som udspændes af de n søjler i A, når de opfattes som elementer i R m (M.D.6.21) Tal er elementer i et talområde (P. def. 1.1). En talfølge består af uendeligt mange tal, der er nummererede, a 1, a 2,..., a n,... Tallene a n kaldes følgens elementer,. Nummeret n på det n te element kaldes dets indeks. Talfølgens elementer kan være forskellige, eller der kan forekomme gentagelser, og det kan være reelle eller komplekse tal. Hvis man vil præcisere typen tales om en reel talfølge eller en kompleks talfølge. Talfølgen med elementerne a n, n = 1, 2,... betegnes {a n } n=1 eller (a n) n=1 eller endnu kortere (a n ). (P.D.4.1) Talfølge En talfølge er en samling af tal, a 1, a 2,..., a n,... givet ved en indiceret familie (I n ) n N, dvs. en uendelig samling, der er nummereret. (Forelæsning 4)
1 DEFINITIONER 15 Talområde Ved et talområde forstås en mængde T, hvis elementer kaldes tal, og hvori der er defineret en addition og en multiplikation, således at der for alle tal, r, s, t T gælder (P.def. 1.1.a): r + s T rs T r + s = s + r den kommutative lov rs = sr den kommutative lov r + (s + t) = (r + s) + t den associative lov r(st) = (rs)t den associative lov r(s + t) = rs + rt den distributive lov Teleskoperende række Top En sum, der kan skrives som en sum af differenser, hvor leddene ophæver hinanden to og to kaldes en teleskopsum og den tilsvarende række kaldes en teleskoperende række. (P.Eks. 4.15). Eks. 1 n=1 n(n+1) = ( ) 1 n=1 n 1 n+1 = 1 Tallet a n er en top for talfølgen (a i ), hvis der gælder (Forelæsning 7, P.L.4.28) m N : m n a n a m Totalmatrix Transponeret matrix Triviel løsning Underrum Ved totalmatricen for lineært ligningssystem, Ax = b, med n ligninger og m ubekendte forstås m (n + 1) matricen [A b]. Den transponerede af en m n matrix A = [a ij ] er en n m matrix, A T = [a ji ], hvor rækker og søjler altså er byttet om. (M.D.7.8) Et homogent lineært ligningssystem, Ax = 0, har altid den trivielle løsning x = 0. Hvis der også findes andre løsninger, forskellige fra nulvektoren, kaldes disse for ikke-trivielle løsninger. (M.s.77) Givet et vektorrum V og en delmængde S V. Vi siger, at S er et underrum af V, hvis S bliver et vektorrum, når det udstyres med operationerne fra V. (M.D.1.10)
1 DEFINITIONER 16 Vektorrum, aksiomer Vektorrum defineres ved en mængde V udstyret med operationerne addition og skalarmultiplikation. Lad v,w V være elementer (vektorer) i vektorrummet V og lad r R være en skalar. Addition af de to vektorer giver en ny vektor, v + w V, og skalarmultiplikation giver ligeledes en ny vektor, rv V. Disse operationer opfylder følgende 8 aksiomer for v,w,x V og r, s R: (M.D.1.1) 1. v + w = w + v - Kommutativ addition 2. (v + w) + x = v + (w + x) - Associativ addition 3. Der eksisterer en vektor 0 i V, så v + 0 = v - Nul-element 4. For hver vektor v V eksisterer en vektor -v V så v + (-v) = 0 - Omvendt element 5. r(v + w) = rv + rw - Distributiv lov 6. (r + s)v = rv + sv - Distributiv lov 7. r(sv) = (rs)v - Associativ skalarmultiplikation 8. 1v = v - Skalar et-element Bemærk, er ikke et vektorrum, hvorimod {0} er. Vinkel mellem vektorer Vinklen mellem to vektorer v, w (begge 0) i et indre produktrum er den værdi for θ [0, π], som opfylder (M.D.4.10) cos θ = v, w v w Øvre grænse Lad A R og b R. b kaldes en øvre grænse for A hvis (P.D.3.5) a A : b a
2 SÆTNINGER M.V. 17 2 Sætninger m.v. Absolut konvergens Hvis den uendelige række n=1 a n er konvergent, er rækken n=1 a n også konvergent. Der gælder, at (P.S.4.42) a n a n n=1 n=1 Lad S være et underrum af et indre produktrum V, så S har en ortonormal basis (e 1,..., e n ). Givet v V. Da findes netop een vektor w S med egenskaben, at v w er mindst muligt, når w skal ligge i S. Den søgte vektor er nemlig givet ved (M.T.4.19) w = proj S (v) = n v i, e i e i i=1 Arkimedes princip For ethvert tal r R findes der et tal n N således, at n > r. (P.S.3.16). En konsekvens her af er, at for ethvert r > 0 findes et n N således, at 1/n < r (P.K.3.17) Begrænset talfølge og konvergens Hvis en talfølge {a n } n=1 er konvergent, er den begrænset. (P.S.4.10) Approksimationssætningen Bolzano- Weierstrass I Bolzano- Weierstrass II Cauchy-Schwartz ulighed Enhver begrænset reel talfølge har en konvergent delfølge. Enhver begrænset kompleks talfølge har en konvergent delfølge. Hvis v og w er to vektorer i et indre produktrum, så gælder (M.T.4.8) v, w v w De Moivres formel For enhver vinkel v R og ethvert naturligt tal n N er (P.S.2.20) (cos v + i sin v) n = cos nv + i sin nv Determinant af matrixprodukt Determinanten af et produkt AB opfylder (M.T.7.7) det(ab) = det A det B
2 SÆTNINGER M.V. 18 Determinant af transponerede Determinanten af den selv: (M.T.7.10) transponerede er lig med determinanten af matricen det A = det A T Determinant, effekt af rækkeoperationer Lad A være en n n matrix. (M.T.7.4) 1. Hvis A har en nulrække (eller en nulsøjle) er det A = 0 2. Hvis to rækker byttes om er determinanten for den nye matrix = det A 3. Hvis en række ganges med en konstant skalar c er determinanten for den nye matrix = c det A 4. Hvis to rækker (eller søjler) er ens er det A = 0 5. Hvis et multiplum af en række lægges til en anden række er determinanten uændret 6. det I n = 1 Determinant, udvikling efter række r Determinanten for en kvadratisk matrix kan bestemmes ved udvikling efter en vilkårlig række r: (M.T.7.5) n det A = ( 1) r+k a rk det A rk k=1 Determinant, udvikling efter søjle s Determinanten for en kvadratisk matrix kan bestemmes ved udvikling efter en vilkårlig sølje s: (M.T.7.6) n det A = ( 1) s+k a ks det A ks k=1 Dimension og span Dimension, underrum Antag, at V er et n-dimensionalt vektorrum. Hvis span(v 1,..., v n ) = V, så er sættet lineært uafhængigt. Hvis sættet (v 1,..., v n ) er lineært uafhængigt, så udspænder det også V. (M.T.3.15) Et underrum S af et vektorrum V, hvor V har endelig dimension, er endelig dimensionalt, og dim S dim V. (M.T.3.14) Dimensionssætningen Lad T : V W være en lineær afbildning og V være endeligdimensionalt. Da gælder (M.T.6.27) rangt + nullitett = dim V dvs. dim V = dim imt + dim ker T
2 SÆTNINGER M.V. 19 Divergens, delfølge Divergente talfølger, regneregler Lad (a n ) være en talfølge og (a nk ) være en delfølge heraf. Hvis a n, så gælder, at a nk for k. (P.S.4.27) Lad {a n } n=1 og {b n} n=1 (n underforstået) 1. a n, b n a n for n N b n være reelle talfølger. Så gælder (P.L.4.22 og P.S.4.20) 2. a n, r > 0 ra n 3. a n, b n a n + b n 4. a n, b n begrænset a n + b n 5. a n 1/a n 0 for alle a n 0 6. a n > 0, a n 0 1/a n Eksponentialfunktion, kompleks - periode Den komplekse eksponentialfunktion er periodisk med perioden 2πi, dvs. e z+2πi = e z z C (P.S.2.26). Desuden gælder z 1, z 2 C : e z 1+z 2 = e z 1 e z 2 (P.S.2.24) Entydig dimension Lad (v 1,..., v n ) og (w 1,..., w m ) være baser for V. Så er m = n (M.T.3.10) Entydig En talfølge kan højst have een grænseværdi (P.S.4.5), dvs. grænseværdi a n a a n a a = a. Entydig invers En invertibel matrix har en entydig invers (M.T.5.7). Alternativt: Antag, at matrix både B, C M(n, m) er inverse til matricen A M(m, n). Da er B = C. (Forel. 20) Entydigt et-element og reciprokt element Hvis L er et legeme, har L præcis et et-element og et vilkårligt tal r L : r 0 har præcis et reciprokt element 1/r. (P.K.1.9). Vi har r, s L : r 0 s/r = s(1/r) 1/1 = 1 r L : r 0 1/(1/r) = r r, s L : r 0, s 0 1/(rs) = (1/r)(1/s)
2 SÆTNINGER M.V. 20 Entydig løsning, addition Hvis a og b er vilkårlige tal i en ring R, har ligningen x + a = b præcis en løsning i R, nemlig tallet x = b + ( a) = b a. (P.S.1.12) Entydig løsning, multiplikation Hvis a og b er vilkårlige tal i et legeme L, og a 0 har ligningen ax = b præcis en løsning i R, nemlig tallet x = b/a. (P.S.1.7) Entydigt inverst element, vektorrum Lad V være et vektorrum. For alle v V er der en og kun en vektor v V som opfylder v + ( v) = 0. (M.T.1.3) Entydigt nul-element og modsat element Hvis R er en ring, har R præcis et nul-element og et vilkårligt tal r R har præcis et modsat element r. Vi skriver r s = r + ( s) (P.K.1.4) Entydigt største/mindste element Lad A være en delmængde af en ordnet mængde M. Hvis der er et største eller et mindste element i A, er der kun et. (P.S.3.3) Eulers formler For ethvert reelt tal v er (P.S.2.28) cos v = eiv + e iv, sin v = eiv e iv 2 2i Gram-Schmidt ortonormalisering Gram-Schmidt ortonormalisering er en procedure for omdannelse af en basis (dvs. herunder også lineært uafhængigt) (u 1,..., u n ) for V (som er indre produktrum) til et ortonormalsæt (e 1,..., e n ). Den har flg. skridt: (M.T.4.17) 1. e 1 = u 1 u 1 (OK da u 1 0) 2. v 2 = u 2 u 2, e 1 e 1 fulgt af e 2 = v 2 v 2 3. v 3 = u 3 u 3, e 1 e 1 u 3, e 2 e 2 fulgt af e 3 = v 3 v 3 4.... 5. v i = u i i 1 j=1 u i, e j e j fulgt af e i = v i v i 6. etc.
2 SÆTNINGER M.V. 21 Grænseværdier, regneregler Lad a n a og b n b (så det er konvergente talfølger). Da gælder (P.S.4.6 lettere formuleret og P.L.4.8) 1. a n a 2. ra n ra, r 3. a n + b n a + b 4. a n b n ab 5. 1 b n 1 b, b 0 6. a n bn a b, b 0 7. a n a for n a n a 0 for n Grænseværdier, vurdering 1. Hvis en reel talfølge {a n } n=1 er konvergent med grænseværdi a > 0, eksisterer der et reelt tal k > 0 således, at a n k fra et vist trin. (P.L.4.11). 2. Hvis en talfølge {b n } n=1 er konvergent med grænseværdi b 0, eksisterer der et reelt tal k > 0, således at b n k fra et vist trin. (P.K.4.12) 3. Hvis en reel talfølge {a n } n=1 er konvergent og a n 0 for alle n N, så er lim n a n 0. (P.K.4.13) 4. Hvis en reel talfølge {a n } n=1 er konvergent og der eksisterer et lukket interval [b, c] R så b a n c for alle n N, så er b lim n a n c. (P.S.4.14) Halelemmaet Homogent ligningssystem, løsninger Hvis rækken n=1 a n har en konvergent hale, er den selv konvergent. Omvendt gælder, at hvis rækken er konvergent, er enhver hale af den også konvergent. (P.L.4.37) Det homogene lineære ligningssystem med m ligninger og n ubekendte, Ax = 0, hvor n > m, har uendelig mange løsninger. (M.T.2.6, Forel. 15). Im z ulighed For ethvert tal z C er Im z z (og tilsvarende for Re z) (P.K.2.14).
2 SÆTNINGER M.V. 22 Indre produkt, regneregler For det indre produkt gælder flg. regneregler: (M.D.4.1, M.T.4.2) 1. v, 0 = 0, v = 0 2. v, w = w, v 3. rv, w = v, rw = r v, w 4. v + w, x = v, x + w, x 5. v, w + x = v, w + v, x Indskudsreglen I tilfælde af, at rækken n=1 a n er konvergent gælder følgende indskudsregel (P.L.4.37) N a n = a n + n=1 n=1 n=n+1 a n Infimumegenskaben Invers invers Invers, matrixprodukt Isomorfi, klassifikationssætningen Enhver ikke-tom nedad begrænset delmængde af R har en største nedre grænse. (P.S.3.13) Hvis en matrix A er invertibel, så er A 1 også invertibel og (A 1 ) 1 = A. (M.T.5.8) Hvis to matricer A og B er invertible og produktet AB eksisterer, så er AB også invertibel, med (AB) 1 = B 1 A 1 (M.T.5.9) Lad V og W være endeligdimensionale vektorrum. Så gælder (M.T.6.30) V er isomorf med W dim V = dim W Isomorfi mellem V og R Isomorfi, sammensat afbildning Kerne og billede er underrum Klemmelemma Hvis dim V = n, så er V og R n isomorfe. Hvis T : V W og S : W U er isomorfier, så er S T : V U også en isomorfi. Antag, at T : V W er lineær. Så er ker T et underrum af V og imt er et underrum af W. (M.T.6.20) Lad {a n } n=1, {b n} n=1 og {x n} n=1 være reelle talfølger, således at a n x n b n for alle n N. Hvis {a n } n=1 og {b n} n=1 begge er konvergente mod samme grænseværdi c, så er {x n } n=1 også konvergent mod c. (P.Opg. 90).
2 SÆTNINGER M.V. 23 Koefficientsætningen Antag, at B = (v 1,..., v n ) er en basis for et vektorrum V. For et vilkårligt w V findes der et entydigt sæt af skalarer, r 1,..., r n så w = n i=1 r iv i. (M.T.3.17). Alternativt: Hvis v 1,..., v n er lineært uafhængige og n i=1 r iv i = n i=1 s iv i, så er r 1 = s 1, r 2 = s 2,..., r n = s n. (Forel. 16) Komplekse tal, omvendt element Komplekse tal, reciprokt element I legemet af komplekse tal C er det omvendte element til et element (u, v) givet ved ( u, v) I legemet af komplekse tal C er det reciprokke element til et element (u, v) givet ved (P.s.18) ( ) u (u, v) 1 = u 2 + v 2, v u 2 + v 2 Komplekst konjugeret, regneregler Der gælder følgende regneregler for den komplekse konjugerede: Lad z = x + iy = (x, y) C. Så haves (P.S.2.11, 2.14) z = z z + z = 2x = (2x, 0) = 2Re z z z = 2iy = (0, 2y) = 2Im z zz = x 2 + y 2 = (x 2 + y 2, 0) z = zz Hvis w, z C gælder w + z = w + z wz = wz Konvergens, delfølge Konvergens, kompleks talfølge Lad (a n ) være en talfølge og (a nk ) være en delfølge heraf. Hvis a n a, så gælder, at a nk a for k. (P.S.4.27) Lad {c n } n=1 være en kompleks talfølge med elementer c n = a n +ib n. Så gælder, at følgen er konvergent hvis og kun hvis begge de to reelle talfølger {a n } n=1 og {b n } n=1 er konvergente. I tilfælde af konvergens er (P.S.4.15) lim c n = lim a n + i lim b n n n n Konvergens, konstant talfølge En konstant talfølge er konvergent: Hvis a n = r, n N gælder, at a n r for n (P.S.4.3)
2 SÆTNINGER M.V. 24 Konvergens mod 0 n Lad {a n } n=1 og {b n} n=1 underforstået) 1. a n 0 a n 0 være talfølger og a et tal. Så gælder (P.L.4.9) (for 2. a n 0 og b n a n b n 0 3. a n 0 og r fastholdt tal ra n 0 4. a n 0 og b n 0 a n + b n 0 5. a n 0 og {b n } n=1 er begrænset a nb n 0 Konvergens, 1/n Koordinatskiftematrix, egenskaber Talfølgen a n = 1/n er konvergent: 1/n 0 for n. (P.S.4.4) Koordinatskiftematricer har flg. egenskaber: (forudsat den omvendte afbildning eksisterer) 1. B C [v] C = [v] B 2. C B = ( B C ) 1 3. C [T ] C = C B ( B [T ] B ) B C = C B ( B [T ] B )( C B ) 1 Koordinatsøjler, addition og skalarmultiplikation Koordinatsøjler er kompatible med vektoraddition og skalarmultiplikation: (M.Opg. 3.6.8) [v + w] B = [v] B + [w] B [rv] B = r[v] B Koordinatsøjle og De lineære afbildninger [ ] B og L B er hinandens omvendte afbildninger, dvs. omvendt afbildning L B [ ] B = id V (eller L B ([v] B ) = v) og [ ] B L B = id R n (eller [L B (x)] B = x). (M.Opg. 6.4.6) Kvadratisk matrix, ækvivalenser For kvadratiske (n n) matricer er følgende ækvivalente: (M.T.7.11) 1. A er ikke singulær 2. A er invertibel, har både højre- og venstreinvers 3. ranga = n (fuld rang) 4. A kan rækkereduceres til I 5. Ligningen Ax = b har en entydig løsning 6. det A 0
2 SÆTNINGER M.V. 25 Kvadratrod, komplekst tal Kvadratroden af et komplekst tal, z = x + iy er givet ved a a z = ± 2 + b 2 + a + isgn(b) 2 + b 2 a 2 2 hvor sgn = 1, x 0, 1, x < 0. (P.Eks.2.8) Kvotientkriteriet Antag a n > 0. Antag a n+1 /a n q for n. Hvis (Forelæsning 9, P.S.4.38) 1. q < 1 n=1 a n konvergent 2. q > 1 n=1 a n divergent 3. q = 1? Kvotientrække, konvergens Betragt kvotientrækken n=0 arn. (P.S.4.32) 1. Hvis a = 0 er kvotientrækken konvergent med summen 0 2. Hvis a 0 er kvotientrækken konvergent hvis og kun hvis r < 1 og i så fald er dens sum n=0 arn = a 1 r Lineær afbildning, egenskaber Lineære afbildninger har flg. egenskaber (M.T.6.2) 1. T (0) = 0 (omend nulvektorerne er i forskellige rum) 2. T ( v) = T (v) 3. T ( n i=1 r iv i ) = n i=1 r it (v i ) Lineær afbildning, Lad B = (v 1,..., v n ) være en basis for et vektorrum V. Givet et sæt entydighed B = (w 1,..., w n ) i vektorrummet W findes en entydig lineær afbildning, T : V W, således at T (v i ) = w i for i = 1,..., n (M.T.6.9). (Sæt nemlig T (v) = L B ([v] B ) Lineær afbildning, Lad T : R n R m være lineær. Da findes A M(m, n) som på entydig vis entydig matrix opfylder T = µ A. Lad nemlig e i være standardenhedsvektoren (1 i position i, 0 i alle andre positioner) og sæt A = [T (e 1 ) T (e 2 ) T (e n )]. (M.T.6.10) Mere generelt, for vektorrum V og W haves: Antag, at B = (u 1,..., u n ) er en basis for et vektorrum V og B = (v 1,..., v m ) er en basis for et vektorrum, W. Antag, at T : V W er lineær. Så er der en entydig (m n)-matrix A således, at [T (w)] B = A[w] B for alle w V. Denne matrix er givet som [[T (u 1 )] B [T (u 2 )] B [T (u n )] B ] (M.T.6.11) Lineær afbildning, injektiv og kerne Hvis T : V W er en lineær afbildning gælder, at T er injektiv ker T = {0}. Bemærk, at det også indebærer, at T er injektiv nullitet T = 0. (M.T.6.28)
2 SÆTNINGER M.V. 26 Lineær afbildning og udspændende sæt Lineær afbildning, matrix for omvendt Lineær afbildning, matrix for sammensat Lineær afbildning, omvendt er lineær Lineær afbildning, sammensat Lineær afbildning, surjektiv og billede Lineær afhængighed og linearkombination Lineært ligningssystem, løsninger Antag, at V = span(v 1,..., v n ). Antag, at T : V W og T : V W er lineære. Antag, at T (v i ) = T (v i ), i = {1,..., n} Så er T = T, dvs. T (x) = T (x) x V. (M.T.6.3) Lad B = (u 1,..., u n ) være en basis for V, og B = (u 1,..., u m) være en basis for V. Lad A være matricen for den lineære afbildning T : V V mht. B og B. Så har T en omvendt afbildning hvis og kun hvis A er invertibel. I så fald er A 1 matricen for T 1 mht. baserne B og B (M.T.6.14) Lad B = (u 1,..., u n ) være en basis for V, B = (u 1,..., u m) være en basis for V, og B = (u 1,..., u l ) være en basis for V. Lad A være matricen for den lineære afbildning T : V V mht. B og B og A være matricen for den lineære afbildning T : V V mht. B og B. Så er A A matricen for den sammensatte afbildning, T T : V V mht. baserne B og B (M.T.6.13) Antag, at den lineære afbildning T : V W på V, W vektorrum har en omvendt afbildning. Så er den omvendte afbildning, T 1 : W V også lineær. (M.T.6.8) Lad S : U V og T : V W med U, V, W vektorrum, og S, T lineære afbildninger. Da er den sammensatte afbildning T S = T (S()) også lineær. (M.T.6.7) Hvis T : V W er en lineær afbildning gælder, at T er surjektiv imt = W. (Følger af M.T.6.28) Et sæt af vektorer (v 1,..., v n ) er lineært afhængigt hvis og kun hvis en af vektorerne i sættet kan skrives som linearkombination af resten (M.T.3.5) Et lineært ligningssystem Ax = b kan have kan have 0, 1, eller uendelig mange løsninger. Antag, at totalmatricen er bragt på reduceret rækkeechelonform. Hvis der er et initialettal i sidste søjle, er der 0 løsninger. Hvis der er et initialettal i alle andre søjler, er der præcis 1 løsning. Ellers er der uendeligt mange løsninger.
2 SÆTNINGER M.V. 27 Matrixprodukt, egenskaber Lad A, A M(m, n), B, B M(n, p), C M(p, q), r R. Så gælder (M.T.5.4) 1. (AB)C = A(BC) - associativ lov 2. (A + A )B = AB + A B - (højre-) Distributiv lov 3. A(B + B ) = AB + AB - (venstre-) Distributiv lov 4. (ra)b = r(ab) = A(rB) - associativ lov 5. Ej kommutativ 6. 0-elm eksisterer 7. to 1-elementer: I m A = A og AI n = A Mindste øvre grænse Lad A R og b R være en øvre grænse for A. ensbetydende: (P.S.3.10) 1. b er den mindste øvre grænse for A 2. c R : (c er en øvre grænse for A) b c 3. c R : c < b (c er ikke en øvre grænse for A) 4. c R : c < b ( a A : a > c) 5. ε > 0 a A : a > b ε Så er følgende udsagn Mindste øvre grænse Lad A R. Et tal b R er den mindste øvre grænse for A hvis og kun hvis begge de to følgende betingelser er opfyldt: (P.S.3.11) 1. a A : a b 2. ε > 0 a A : a > b ε Minus-operation Hvis R er en ring, gælder (P.K.1.5) 0 = 0 r R : ( r) = r r, s R : (r + s) = ( r) + ( s) Modulus Hvis z = (x, y) = x + iy C, er z = x 2 + y 2 = zz
2 SÆTNINGER M.V. 28 Monoton delfølge Monotone talfølger, hovedsætning Monotone talfølger, hovedsætning Enhver reel talfølge har en monoton delfølge. (P.L.4.28) Enhver monoton og begrænset reel talfølge er konvergent. (P.S.4.17). Korollar: Hvis en voksende (aftagende) reel talfølge er opad (nedad) begrænset, så er den konvergent (Forelæsning 6) Hvis en reel talfølge, {a n } n=1, er voksende (aftagende). Så gælder en af følgende to muligheder (P.S.4.17 og P.S.4.25) 1. a n er konvergent 2. a n er divergent mod + ( ) Multiplikation af komplekse tal Lad w, z C. Så er (P.S.2.18) wz = w z arg(wz) = arg w + arg z Norm, regneregler Antag, at V er et følgende: (M.T.4.9) indre produktrum. For alle v, w V og r R gælder 1. v 0 og v = 0 v = 0 2. rv = r v 3. v + w v + w Nulkriteriet, Rækkekonvergens Nul-multiplikation En nødvendig (men ikke tilstrækkelig) betingelse for, at rækken n=1 a n kan være konvergent er, at a n 0 for n. (P.S.4.34). NB: Kan kun bruges til visning af divergens) Hvis R er en ring, gælder (P.K.1.6) r R : r0 = 0 Nullitet og frie variable Nulreglen nullitetµ A er lig med antallet af søjler uden initialettaller i den reducerede rækkeechelonform for A, dvs. lig med antallet af frie variable. Hvis L er et legeme, gælder (P.Opg.1.10) r, s L : rs = 0 r = 0 s = 0 r, s L : r 0 s 0 rs 0 r L, n N : r n = 0 r = 0
2 SÆTNINGER M.V. 29 Omvendt afbildning, eksistens Ortogonalsæt er lineært uafhængigt En afbildning f : X Y har en omvendt afbildning netop hvis f er injektiv og surjektiv (dvs. f er bijektiv). (M.T.6.6) Et ortogonalsæt af vektorer 0 i et indre produktrum er lineært uafhængigt. (M.T.4.14) Ortonormalsæt og Et ortonormalsæt af n vektorer i et indre produktrum V med dim V = n er en basis basis for V (Forel. 18) Polarform og normalform, sammenhæng Lad z = x + iy C være et komplekst tal med modulus r 0 og argument v R. Så er Re z = r cos v = x, Im z = r sin v = y r = x 2 + y 2 = zz og hvis z 0 er enhver værdi af arg z bestemt ved ligningerne cos v = x/r, sin v = y/r dvs. tan v = sin v cos v = y x Hvis z = 0 er ethvert reelt tal v en værdi af arg z Polynomier, identiske Polynomium, reduktion Hvis to polynomier P (x) = Q(x) = n c i x i i=0 m d j x j har samme funktionsværdi for uendeligt mange værdier af x er de identiske i den forstand, at m = n og d k = c k, k = 0, 1,..., m (P.K.1.24) Hvis P er et polynomium af grad n 1 og t L er et element i legemet L, eksisterer der et polynomium Q af grad n 1 således, at (P.L.1.20) j=0 P (x) P (t) = (x t)q(x) Hvis desuden t er en rod i P gælder (P.K.1.21) P (x) = (x t)q(x) Polynomium, rødder Et polynomium af grad n har højst n rødder. (P.S.1.22). Det eneste polynomium, der har uendeligt mange rødder er nulpolynomiet.
2 SÆTNINGER M.V. 30 Potensdifferense Hvis r og s er tal i en ring R og n et naturligt tal, så er n 1 r n s n = (r s) r j s n j 1 j=0 Potenser af komplekst tal Lad z = r(cos v + i sin v) hvor r 0 og v R. For ethvert naturligt tal n N er (P.S.2.21) z n = r n (cos nv + i sin nv) z n = z n, arg z n = n arg z Projektion på underrum, egenskaber Projektionen på et underrum S V har flg. egenskaber (Forel. 19): 1. Selve vektorrummet V behøver ikke have en endelig basis (med mindre S = V ). Underrummet S skal have en endelig basis 2. Projektionen er entydig, selv om der er flere ortonormalbaser for S 3. proj S (v) = v når v S 4. v proj S (v) er ortogonal på alle e 1,..., e n 5. v proj S (v) er ortogonal på alle w S Rang og højreinvers Rang og invers Re z ulighed Reduceret rækkeechelonform, entydighed Reelle tal En (n n) matrix A har en højreinvers hvis og kun hvis ranga = n. I så fald er den højreinverse entydig. (M.T.5.11) En (n n) matrix A har en invers hvis og kun hvis ranga = n. (M.T.5.12) Kald den inverse C. Da gælder CA = I n = AC. (M.T.5.13) For ethvert tal z C er Re z z (og tilsvarende for Im z) (P.K.2.14). Antag, at en sekvens af rækkeoperationer omdanner en matrix M til en matrix M på reduceret rækkeechelonform. Antag, at en anden sekvens omdanner M til M, som også er på reduceret rækkeechelonform. Da er M = M. (M.T.2.5) Der findes et entydigt bestemt matematisk objekt, R med egenskaberne: (P.D.3.4) 1. R er et legeme 2. R er ordnet 3. a < b a + c < b + c og a < b, 0 < c ca < cb 4. En delmængde af R som ikke er tom og har en øvre grænse har en MIND- STE øvre grænse (supremumsegenskaben = 0 huller) (ækvivalent med at en monoton og begrænset talfølge er konvergent).
2 SÆTNINGER M.V. 31 Rodkriteriet Rækker, regneregler Antag a n > 0 og antag, at (a n ) 1/n q for n. Hvis q < 1 er n=1 a n konvergent. Hvis q > 1 er n=1 a n divergent. Hvis q = 1 kan vi ikke sige noget. (Forelæsning 9, P.S.4.39) Der gælder følgende regneregler for rækker: (P.S.4.33) 1. Hvis rækken n=1 a n er konvergent, så er rækken n=1 ra n også konvergent for ethvert tal r, og n=1 ra n = r n=1 a n 2. Hvis rækkerne n=1 a n og n=1 b n er konvergente, så er rækken n=1 a n + b n også konvergent, og n=1 a n + b n = n=1 a n + n=1 b n 3. Hvis rækken n=1 c n = n=1 (a n + ib n ) er en række med de komplekse led a n + ib n, så er rækken konvergent hvis og kun hvis de reelle rækker n=1 a n og n=1 b n begge er konvergente, og i tilfælde af konvergens er n=1 c n = n=1 a n + i n=1 b n Rækkeoperationer og rækkerum Rækkerum, dimension Rødder af komplekst tal Rækkeoperationer ændrer ikke rækkerummet for en matrix. (M.T.6.24) Dimensionen af rækkerummet for en vilkårlig matrix er lig med dimensionen af matricens søjlerum. (M.T.6.25) Lad n N være et givet naturligt tal og betragt ligningen z n = c hvor c C. Hvis c = 0 har ligningen den ene løsning z = 0. Hvis c = r(cos v + i sin v) 0 har den n forskellige løsninger, givet ved ( z = r 1/n cos v + 2kπ + i sin v + 2kπ ) n n hvor k = 0, 1,... n 1. Disse n løsninger er vinkelspidser i en regulær n-kant. (P.S.2.24) Sammenligningskriteriet, rækkekonvergens Lad n=1 a n og n=1 b n være to rækker med ikke-negative relle led og antag, at der findes et tal c > 0, således at b n ca n for alle n. (P.S.4.36) 1. Hvis n=1 a n er konvergent, så er n=1 b n konvergent, og der gælder, at n=1 b n c n=1 a n 2. Hvis n=1 b n er divergent, så er n=1 a n også divergent Sammenligningskriteriet, forbedret Betragt rækker med a n, b n > 0. Antag, at der findes N N og C > 0, så n N a n Cb n. Hvis n=1 b n er konvergent så er n=1 a n konvergent.
2 SÆTNINGER M.V. 32 Sammenligningssætningen Span er underrum Sum, endelig kvotientrække Lad V være et vektorrum. Hvis sættet (w 1,..., w n ) udspænder V og (v 1,..., v m ) er en lineært uafhængig delmængde af V, så er n m. (M.T.3.9) Span(v 1,..., v n ) (hvor (v 1,..., v n ) V ) er et underrum af vektorrummet V. (M.T.3.3) Summen af en endelig kvotientrække er givet ved (P.K.1.15) flg. Lad r 1 være et tal i et legeme L og n et naturligt tal. Så er n j=0 r j = rn+1 1 r 1 Suppleringslemmaet, ekspansionslemmaet Antag, at sættet (v 1,..., v n ) er lineært uafhængigt, og at v n+1 / span(v 1,..., v n ) (men v n+1 V ). Så er sættet (v 1,..., v n, v n+1 ) lineært uafhængigt. (M.L.3.12) Det indebærer, at vi til det oprindelig sæt kan tilføje lineært uafhængige vektorer og således finde en basis for V (M.T.3.13) Supremumegenskaben Søjlerum og billede Transponeret matrix, egenskaber Enhver ikke-tom, opad begrænset delmængde af R har en mindste øvre grænse. (P.S.3.26) Lad A være en m n matrix. Så er imµ A lig med søjlerummet for A. (M.T.6.22) Den transponerede matrix har følgende egenskaber: (M.T.7.9) 1. (A T ) T = A 2. (ra T ) = r(a T ) 3. (A + B) T = A T + B T 4. (AB) T = B T A T 5. Hvis A er kvadratisk, er (A 1 ) T = (A T ) 1 Trekantsuligheden, komplekse tal Lad w, z C. Så er (P.S.2.16) w + z w + z w z w z Trekantsuligheden, Reelle tal Lad r, s R. Så er (P.S.3.23) r + s r + s r s r s
2 SÆTNINGER M.V. 33 Trigonometriske additionsformler For alle reelle tal, s, t gælder (P.S.2.17) sin(s + t) = sin s cos t + cos s sin t sin(s t) = sin s cos t cos s sin t cos(s + t) = cos s cos t sin s sin t cos(s t) = cos s cos t + sin s sin t Udtyndingslemmaet, kontraktionslemmaet Antag at sættet (v 1,..., v n ) udspænder et vektorrum V. Så er en eller anden delmængde af sættet en basis for V. (M.T.3.11). Alternativ formulering: Antag, at v i er en linearkombination af v 1,..., v i 1, v i+1,..., v n. Da er span(v 1,..., v n ) = span(v 1,..., v i 1, v i+1,..., v n ) Så hvis man har et udspændende sæt, som ikke er lineært uafhængigt, kan man smide de lineært afhængige vektorer væk og opnå en basis for V. (Forel. 16) Underrumssætningen Antag, at S er en delmængde af et vektorrum V. Hvis 1. S 2. v, w S : v + w S - lukket under addition 3. v S r R : rv S - lukket under skalarmultiplikation så er S er underrum af V (M.T.1.11) Ved (M.Opg.1.8.18) er S = { i a i v i a i R, v i V } et underrum af V. Bemærk også (M.Opg.1.8.19 og 20): Hvis S og T er underrum af V. Så er S T også et underrum af V, men S T er det ikke nødvendigvis. Vektornul og alm. nul Lad v V. Så er 0v = 0 (M.T.1.4)
2 SÆTNINGER M.V. 34 Vektorrum, regneregler Antag, at v, w, x V og r, s R. M.T.1.7, M.T.1.8) 1. v + v = 0 2. r0 = 0 Da gælder følgende regneregler: (M.T.1.5, 3. Hvis rv = 0 så er r = 0 eller v = 0 (Nulreglen) 4. ( 1)v = v 5. Hvis v = v så er v = 0 6. ( v) = v 7. ( r)v = (rv) 8. r( v) = (rv) 9. Hvis v 0 og rv = sv, så er r = s 10. v 0 = v 11. 0 v = v 12. v w = w + v 13. v w = w v 14. (v + w) = v w 15. v ( w) = v + w 16. (v w) + w = v 17. (v + w) w = v 18. v (w + x) = (v w) x 19. v (w x) = (v w) + x 20. v ( w + x) = (v + w) x 21. v (w x) = (v + w) + x 22. r(v w) = rv (rw) 23. (r s)v = rv (sv) 24. Hvis v + x = w + x, så er v = w
2 SÆTNINGER M.V. 35 Øvre grænse Lad A R og b R. Så er følgende udsagn ensbetydende (P.S.3.6): 1. b er en øvre grænse for A 2. a A : a b 3. A ], b] 4. r R : r A b r 5. r R : b < r r / A Negeret fås (P.S.3.7) at følgende udsagn er ensbetydende 1. b er ikke en øvre grænse for A 2. a A : a > b 3. A ]b, [ 4. r R : r A b < r
3 REGNEREGLER 36 3 Regneregler Addition Hvis T er et talområde, gælder (P.Opg.1) r, s, t, u T : (r + s) + (t + u) = (r + t) + (s + u) Divergente talfølger (n Lad {a n } n=1 og {b n} n=1 underforstået) være reelle talfølger. Så gælder (P.L.4.22 og P.S.4.20) 1. a n, b n a n for n N b n 2. a n, r > 0 ra n 3. a n, b n a n + b n 4. a n, b n begrænset a n + b n 5. a n 1/a n 0 for alle a n 0 6. a n > 0, a n 0 1/a n Division Hvis L er et legeme, gælder (P.K.1.9) r, s L : r 0 s/r = s(1/r) 1/1 = 1 r L : r 0 1/(1/r) = r r, s L : r 0, s 0 1/(rs) = (1/r)(1/s) r, s, t, u L : s 0, t 0, u 0 (r/s)/(t/u) = (ru)/(st) P.opg.1.11 Indre produkt For det indre produkt gælder flg. regneregler: (M.D.4.1, M.T.4.2) 1. v, 0 = 0, v = 0 2. v, w = w, v 3. rv, w = v, rw = r v, w 4. v + w, x = v, x + w, x 5. v, w + x = v, w + v, x 6. r 1 e 1 + + r n e n, e i = r i, e i er enhedsvektorer (Forel. 19)
3 REGNEREGLER 37 Komplekse tal For z = x + iy = (x, y) C gælder følgende Hvis w, z C gælder z = z z + z = 2x = (2x, 0) = 2Re z z z = 2iy = (0, 2y) = 2Im z zz = x 2 + y 2 = (x 2 + y 2, 0) z = x 2 + y 2 = zz z n = z n, arg z n = n arg z 1 z = 1 z, z 0 P.Opg.37 z 1 z 2 = z 1 z 2, z 2 0 P.Opg.37 ( ) 1 arg = arg z, z 0 P.Opg.37 z ( ) z1 arg = arg z 1 arg z 2, z 2 0 P.Opg.37 z 2 For w = r cos v + ir sin v : 1 z = z zz z 0 P.Opg.31 1 x + iy = x iy x 2 + y 2 w + z = w + z wz = wz arg(zw) = arg z + arg w z n = r n (cos nv + i sin nv) ( z n = c( 0) z = r 1/n cos v + 2kπ + i sin v + 2kπ ) n n cos v = eiv + e iv, sin v = eiv e iv 2 2i Re z = r cos v = x, Im z = r sin v = y r = x 2 + y 2 = zz cos v = x/r, sin v = y/r, dvs. tan v = sin v cos v = y x Hvis z = 0 er ethvert reelt tal v en værdi af arg z, k = 0, 1,... n 1