Hdrodnmik er kompliceret mtemtik Hdrodnmik er kompliceret mtemtik Indhold. Vektor nlse.... Kontinuitetsligningen...3 3. Stokes sætninger og Guss lo...3 4. Hdrodnmikkens eægelsesligninger...5 5. Rottions frit strømningsfelt...7 6. Hirelstrømme. Vorte...7 Ole Witt-Hnsen 6/-3
Hdrodnmik er kompliceret mtemtik. Vektor nlse Inden for den klssiske ikke kntemekniske fsik er hdrodnmikken et f de områder der mtemtisk set hører til de mere komplicerede men den er smmen med elektrodnmikken de mest imponerede nendelser i fsikken f ektor nlsen. Den teoretiske hdrodnmik er fr et formelt snspunkt meget enkel og smuk his mn hr den slgs tiløjeligheder men de fleste prtielle differentilligninger der er et resultt f teorien er ikke lineære og kn i lmindelighed ikke løses ortset fr tilfælde med høj grd f smmetri. Hdrodnmikken er en smuk frundet teori der desærre kun i eskedent omfng kn nendes direkte på irkeligheden. Hd teorien f.eks. ikke kn forklre er dnnelsen f turulens. For t kunne eskæftige sig med hdrodnmik er det nødendigt t kende til dele f den mtemtiske formlisme for ektornlsen. Et sklrfelt φ er er en funktion f sted og tid. φ φt. Et ektorfelt estår f 3 rumlige komponenter: som her er en funktion f sted og tid. Vektornlsen nender følgende mtemtisk smoler: Grdient f et sklrfelt φ: φ φ φ φ Skries også grd φ Diergens f et ektorfelt : Skries også di Lplce opertoren: ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Skries også Δ φ Rottion f et ektorfelt: Skries også rot For et ilkårligt ektor felt gælder t: og ϕ Hilket reltit nemt kn ises ed t skrie det op i koordinter. Vi nøjes med t ise den første:
Hdrodnmik er kompliceret mtemtik 3 Leddene: og il gå ud mod hinnden og tilsrende for de ørige to pr.. Kontinuitetsligningen Urkker t den mængde æske der pr. tidsenhed strømmer ud f en lukket flde er lig med den tidslige ændringen f æskemængden indenfor flden. His æsken er inkompressiel usmmentrkkelig skldes ændringen i æskemængden kilder og flø inden for flden. etegner hstighedsektoren f et prtikelelement i en æske med msseflde ρ. Fldeelementet d A er en ektor som er norml til flden i punktet med den infinitesimle størrelse da. ρ d A er fluen ltså i dette tilfælde den æskemængde der pr tidsenhed strømmer gennem fldeelementet d A. Kontinuitetsligningen kn derfor skries. flde ρ d A t olumen ρdv 3. Stokes sætninger og Guss lo Stokes sætninger gælder under nogle generelle etingelser for et ilkårligt ektorfelt men i hdrodnmikken formulerer i dem ed hjælp f ektorfeltet ρ estående f hstighedsektoren i en æske med msseflde ρ. Stokes. sætning: Fluen f et ektorfelt gennem en lukket flde er lig med integrlet f ektorfeltets diergens oer rumfnget f flden. flde A ρ d A ρ dv olumenv Det første integrl er ifølge kontinuitetssætningen lig med t olumen ρ dv Og i finder derfor: ρ dv t olumen ρdv Skl denne ligning ære rigtig for lle rumfng må der gælde: ρ ρ t Som i dette tilfælde urkker kontinuitetsligningen på differentiel form.
Hdrodnmik er kompliceret mtemtik 4 His ρ er oerlt den smme: ρt ρ reduceres ligningen til som urkker t æsken er usmmentrkkelig. Stokes. sætning: Kureintegrlet f et ektor felt lngs en lukket kure er lig med flde integrlet f ektorfeltets rottion lngs en ilkårlig flde som hr kuren som rndkure. lukket kure d s flde d A Det er ikke helt ukompliceret t føre eis for Stokes sætninger. Et fsisk eis kn f.eks. findes i Fenmn Lectures II fr 963. Stokes loe i elektrodnmikken Stokes loe er nok edst kene for deres nendelse i elktrodnmikken. Mwells ligninger er i SI-enheder. E B E t ρ ε B j E c B ε t His i hr en flde etegner d A fldenormlsektoren som er en uddrettet norml til flden ektor med længden infinitesimle rel da. E d A kldes ektorfeltets flu den elektriske flu gennem fldeelementet d A. Vi udregner nu den smlede elektriske flu gennem en lukket flde og nender Stokes. lo lukket flde A E d A olumen V E dv olumen V ρ Q dv ε ε Dette er Guss lo Mwells. ligning på integrlform som urkker t den elektriske flu gennem en ilkårlig lukket flde er lig med den smlede ldning indenfor flden diideret med ε. På tilsrende måde kn mn nende Stokes. sætning til t udlede Amperes lo ud fr Mwells ligninger.
Hdrodnmik er kompliceret mtemtik 5 B d s B d A ε c lukket kure flde flde j d A For elektrosttiske felter gælder t kureintegrlet f B-feltet lngs en lukket kure er lig med fldeintegrlet f strømtætheden som hr kuren som rndkure. For en uendelig lng retlinet leder der gennemløes f strømmen I kn mn som kure ælge en cirkel med rdius r inkelret på lederen gennem cirkels centrum. Af smmetrigrunde må B-feltet he retning lngs tngenten på cirklen og må oerlt he smme størrelse. Derfor: lukket kure B d s πrb og j d A I µ I ε c flde ε c Herf følger Amperes lo: µ I B π r 4. Hdrodnmikkens eægelsesligninger I en æske gælder der t krften pr rumfngsenhed på et rumfngselement med msseflde ρ er grdienten f trkket p plus de dre kræfter. F p. Vi kn d opstille Newtons. lo for et rumfngselement. d ρ p F dre His der i æsken også optræder iskositet skl der tilføjes et led F isc men selom det er muligt t opstille et urk for iskositeten findes der ingen nltisk løsning til de fremkomne ligninger ungen i to meget specielle tilfælde. d I hdrodnmikken kompliceres tingene f t er den mterielle differentilkotient hor hstighedens komponenter ud oer t kunne fhænge eksplicit f tiden t også fhænger f som fhænger f t fordi æskeelementet fltter sig. Det æskeelement der til tidspunktet t hr positionen hr til tidspunktet t Δt positionen Δ Δ Δ Derfor skl mn differentiere gennem for t udregne den mterielle differentilkotient. Vi iser nedenfor udregning for d /. Differentition f og sker helt på smme måde. d t t t t t Som kn smmenskries til:
Hdrodnmik er kompliceret mtemtik 6 t d Når mn smmenskrier de 3 ligninger til en ektorligning får mn: t d Krdsproduktet f to ektorer og udregnes som: Mn kn ise t: Vi nøjes med t ise dette idet i udskrier -komponenten f højresiden. Vi gør det i en række trin. Vi udregner d -koordinten f krdsproduktet med. His mn hertil lægger går leddene med og ud mod hinnden og tilge lier: som påstået. Beægelsesligningen for en strømmende æske ntger d formen: F dre p d ρ dre F p t ρ ρ Den dre krft er oftest tngdekrften og his krften er konserti ds. F hilket ifølge Stokes.lo etder t integrlet f F lngs en lukket kure er som igen etder t kureintegrlet f F mellem to punkter er ufhængig f den lgte ej så kn F skries som grdienten f en potentiel energi U. U F
Hdrodnmik er kompliceret mtemtik 7 Herefter lier eægelsesligningen: ρ ρ t p U 5. Rottions frit strømningsfelt His æsken er oerlt rottionsfri ltså så forsinder ekemt det første mtemtisk prolemtiske led og mn får idet mn smler leddene på den enstre side: p U ρ ρ His der endidere er tle om en lminr strømning så den hstighed hormed æsken strømmer fori et punkt uforndret så. Vi kn d fltte grdient opertoren udenfor prentes og får: t p U ρ som medfører t p U ρ konst His endelig t den dre krft er tngdekrften så den potentielle energi Uρgh finder mn Bernoullis lo. t p ρ gh ρ konst lngs en strømlinie. Bernoullis lo er ikke ndet end en formulering f energisætningen som en konsekens f Newtons loe. Den kn reltit nemt udledes uden nendelse f ektornlse. 6. Hirelstrømme. Vorte Vi går ud fr den generelle eægelsesligning: ρ ρ t p U Vi smler leddene på den højre side og sætter grdienten udenfor en prentes: ρ ρ p U t ρ Mn definerer nu en oticiteten hirelstrømsektoren som rottionen f hstighedsektoren Ω Herefter kn eægelsesligningen skries:
Hdrodnmik er kompliceret mtemtik 8 ρ ρ Ω p U t ρ Tger i derefter rottionen på egge sider forsinder højre side fordi rot grd. De 3 ligninger ρ ρ Ω p U t Ω Ω t ρ Ω Ω t Ω Er de dnmiske eægelsesligninger for hirelstrømning orticitet. Sel om det kræer et mere formelt eis så urkker disse ligninger t his orticiteten Ω så er den også til lle senere tidspunkter og his Ω så il den også ære forskellig fr nul til lle senere tidspunkter. De klssiske eægelsesligninger kn såel eskrie turulent strømning og lminr strømning. Men ud fr disse ligninger kn mn herken forklre horfor eller hordn turulent strømning opstår. Så i jeg ed hr mn ldrig fundet en tilfredsstillende nltisk forklring på turulens. Idet lle strømninger i nd eller luft udiser turulens sel ed moderte hstigheder er fsikken i den li underlige sitution t mn hr en smuk enkel frundet mtemtisk teori som lot i de fleste tilfælde ikke hr ret meget t gøre med den irkelige erden. Mn kn dog illustrere teorien med nogle enkle eksempler: Væske der roterer i en clinder med konstnt inkelhstighed ω: Der gælder: r t r rcosωt sinωt r ω sinωt ω cosωt ω Vi udregner d orticiteten: Ω. og komposnterne lie nul fordi og komposnterne f hstighedsektoren ikke fhænger f og komposnten f hstighedsektoren ikke fhænger f eller.
Hdrodnmik er kompliceret mtemtik 9 Ω ω ω Ω er derfor konstnt i størrelse og -retning og Ω ω Den doelte inkelhstighed. Et ndet elken eksempel på en hirelstrøm er en røg ring. Hordn og horfor den dnnes er meget sært t forklre men den kn eskries ed en torus. His en torus med rdius R efinder sig i - plnen og det cirkelformede tærsnit hr rdius r så er prmeterfremstillingen for en prtikel der eæger sig en jæn cirkeleægelse i et tærsnit f torus skries som. R r cosω tcosϕ R r cosωtsinϕ r sinωt At eregne Ω direkte ud fr det generelle urk er ikke umgen ærd men ser i på det tilfælde hor φ så R r cosωt r sinωt Dette srer til en jæn cirkeleægelse i - plnen og derfor Ω ω His mn tegner feltlinier som hr retning f Ω så er sådnne feltlinier lukkede kurer. Dette skldes t Ω. Srende til mgnetiske feltlinier idet B ltid Helmhol formulerede den sætning t integrlet f Ω oer en flde inkelret på Ω er konstnt. Vorte fluen gennem en flde der følger med æskeeægelsen er konstnt. Et mere formelt eis for dette er ret kompliceret men mn kn ise t Helmhol formodning i et simpelt tilfælde hr impulsmomenterelse f æsken som konsekens- Vi ser på orticiteten i et cirkulært rør der følger med strømningsfeltet. Ld tærsnitsrelerne f røret til to tidspunkter t og t ære A og A. Mssen f æsken i en skrie der følger med æsken er den smme M M M. Helmholt påstnd er: A Ω A Ω His mn multiplicerer med mssen M og indsætter A πr og A πr så finder mn: Mπr Ω Mπr Ω men Ω er propotionl med inkelhstigden ω så her f de to urk er proåportionl med inertimomentet I Mr gnge inkelhstigheden ω som er lig med impulsmomentet. His mn tilføjer iskositet til eægelsesligningerne forøger det kompleksiteten etdeligt. Mn kn go skrie eægelsesligningerne op men ligningerne kn kun løse så i jeg ed i to tilfælde nemlig en æske der strømmer lminrt mellem to plder og æske der psserer en kugle. Sidstnænte kldes i fsikken for Stokes lo.