Rentesegning: Lektion A1 Foentningsfakto, Diskonteingsfakto, og Pete Ove Chistensen Foå 2012 1 / 49 Oveodnede spøgsmål i Rentesegning Hvoledes kan betalinge sammenlignes, nå betalingene e tidsmæssigt adskilte? Såfemt de ønskes et bestemt fobug i femtiden, hvo meget (hvo lang tid) skal de da spaes op? Hvo meget skal de betales i femtiden, hvis de ønskes et bestemt fobug i dag? Hvilke centale paamete indgå i sådanne beegninge? Hvad e en annuitet, og hvoledes beegnes vædien af denne? Heefte kan vi analysee poblemstillinge som Vudeing af eal investeinges fodelagtighed Beegning af afkast på finansielle investeinge Opgøelse af finansieingsomkostninge fo lån Kan vi f.eks. finde et simpelt mål fo omkostningen ved et lån? 2 / 49
Ovesigt 1 2 3 3 / 49 Håndteing af betalingstidspunkte Håndteing af betalingstidspunkte Renten Gundfoudsætninge Betalinge høende til økonomiske dispositione fofalde ofte på foskellige tidspunkte Ønske: Opgøelse af vædi til et givent tidspunkt af betalinge på foskellige tidspunkte Opdel tiden i ækvidistante tidsintevalle: temine Opdel således at betalingene fofalde på tidspunkte, de adskille teminene. F.eks. å, månede, sekunde Tidspunkt 0 1 2 3 4 n - 1 n Tid Temins n. 1 2 3 4 n 6 / 49
Renten Håndteing af betalingstidspunkte Renten Gundfoudsætninge Renten e en betaling fo at kunne disponee ove en kapitel i en given peiode Nomees ofte, således at den udtykkes p. kone i en temin: entesats, betegnes. Rentesats: Betaling fo at kunne disponee ove en enhed i en temin Omegnes ofte i pocentstøelse Altså e enten (entebeløbet) det beløb, de betales p. temin, og den kan bestemmes som det foentede beløb (kapitalen) multipliceet med entesatsen Test: Bestem enten på et lån med en entesats på = 5% (p.a. opgjot med ålig entetilskivning) og hovedstol H = 10.000 k. 8 / 49 Håndteing af betalingstidspunkte Renten Gundfoudsætninge Man tale ofte om foskellige entesatse Nominel ente: Rentesats udtykt i nominelle teme (dvs. i løbende pise) Realente: Rentesats udtykt i eale teme (dvs. i købekaft enhede) Effektiv ente: Rentesats, hvo entes-ente effekte e medegnet Nulkuponente: Rentesats mellem nu og et femtidigt tidspunkt Fowadente: Rentesats mellem to femtidige tidspunkte Faktoe, de påvike entens støelse Inflationstakten Fishe elationen Reale økonomiske fohold høj/lav konjunktu Intenationale påvikninge lille åben økonomi med fast valutakus Skattemæssige fohold efte-skat betalinge Risikomæssige fohold kedit isiko og pecautionay savings 9 / 49
Gundfoudsætninge Notation notation n A 0 A n Håndteing af betalingstidspunkte Renten Gundfoudsætninge beskivelse teminslig entesats antal temine nutidigt beløb femtidigt beløb Antagelse 1 entesatsen e konstant ove tid 2 tidsintevallet e et helt antal temine 3 enten tilskives kapitalen ved slutningen af hve temin (udbetales ikke løbende) 4 den opindelige kapital samt tilskevne ente foentes med den foudsatte entesats. De føste to antagelse vil blive slækket siden hen. 11 / 49 Femdiskonteet vædi Tilbagediskonteet vædi : Centale finansielle poblemstillinge i fobindelse med en betaling Eksempel: Hvilket altenativ foetækkes? 1 100 k. i dag 2 110 k. om et å Hvis jeg foetage en betaling i dag, hvad e så vædien af denne betaling på et givet femtidigt tidspunkt? Femdiskonteet vædi Hvo meget skal jeg betale i dag, såfemt jeg ønske et givent beløb på et givent tidspunkt i femtiden? Tilbagediskonteet vædi Renten høende til betalingen e væsentlig Hvad e den koekte entesats i sådanne udegninge? 14 / 49
Femdiskonteet vædi Femdiskonteet vædi Tilbagediskonteet vædi A n A 0 Tid Tidspunkt 0 1 2 3 4 n - 1 n Fomål: Bestem femtidig vædi af nutidigt beløb Nutidigt beløb og entebetaling give efte n temine femtidigt beløb A 0 + R = A n Rentetilskivning : entesats p. temin n: antal temine Hvoledes bestemme vi entebetalingen? Afhænge af foentningsfaktoen (1 + ) n A n = A n 1 +A n 1 = A n 1 (1+) = A n 2 (1+) 2 =... = A 0 (1+) n Demed R = A n A 0 = [ (1 + ) n 1 ] A 0 Tavleeksempel 16 / 49 Foentningsfakto Femdiskonteet vædi Tilbagediskonteet vædi Femdiskonteet vædi 8,00 7,00 6,00 5,00 4,00 3,00 2,00 1,00 0,00 Foentningsfakto 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Temine = 1% = 5% = 10% 17 / 49
Ydeligee aspekte Femdiskonteet vædi Tilbagediskonteet vædi Gennemgåes på tavlen: Vaieende entesatse: eksempel på tavlen Antal temine Hvo mange temine skal A 0 foentes (givet ) fo at blive til A n? Vi vise n = ln(an/a 0) ln(1 + ) Vælg heltallet støe end det netop beegnede. Rentesats Hvilken entesats bevike, at A 0 foentes til A n i løbet af n temine? Vi vise ( ) 1 An n = 1 A 0 18 / 49 Patielle effekte Femdiskonteet vædi Tilbagediskonteet vædi Gennemgåes på tavlen: Effekt på A n af maginal ænding i en af paametene A 0,, n kaldes patielle effekte Geneelt kan en maginal ænding fo en funktion f (x) vudees ved en såkaldt 1. odens Tayloudvikling f (x 0 ) f (x 0 ) x Vi ha f (x) = A n (A 0,, n) = A 0 (1 + ) n. Ænding i initialt beløb: A n = (1 + ) n A 0 Ænding i entesats: A n A 0 n(1 + ) n 1 Ænding i antal temine: A n A 0 (1 + ) n ln(1 + ) n E fotegnene på ændingene fonuftige? 19 / 49
Tilbagediskonteet vædi Femdiskonteet vædi Tilbagediskonteet vædi Ønske at bestemme vædien i dag af et femtidigt beløb nutidsvædien Vi ha at så A n = (1 + ) n A 0 A 0 = (1 + ) n A n (1 + ) n benævnes diskonteingsfaktoen cental byggesten ikke mindst ved investeingskalkule og ande finansielle beslutninge Give vædien i dag af at modtage 1 k. (enhed) om n temine, hvis enten e 21 / 49 Diskonteingsfakto Femdiskonteet vædi Tilbagediskonteet vædi Diskonteingsfakto Tilbagediskonteet vædi 1,20 1,00 0,80 0,60 0,40 0,20 0,00 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Temine = 1% = 5% = 10% 22 / 49
Femdiskonteet vædi Tilbagediskonteet vædi Effekt af paamete på diskonteingsfaktoen Rentesatsens effekt på diskonteinsfaktoen Patiel ænding i : Fo fås: (1 + ) n 0 Fo 0 fås: (1 + ) n 1 (1 + ) n = n(1 + ) (n+1) < 0 Antal temines effekt på diskonteingsfaktoen: Patial ænding i n n (1 + ) n = ln(1 + )(1 + ) n < 0 Fo n fås: (1 + ) n 0 Fo n 0 fås: (1 + ) n 1 23 / 49 Centale spøgsmål geneelt Hvoledes kan vi håndtee en situation, hvo vi ha en ække af sammenhøende betalinge betalingsække? Optæde ofte ved såvel eal- som finansielle investeinge E visse betalingsække ofte foekommende? Hvodan bestemme vi f.eks. nutidsvædien af en sådan betalingsække? 26 / 49
Nutidsvædi af en betalingsække geneelt b n (1 + ) -n b t (1 + ) -t b 3 (1 + ) -3 b 2 (1 + ) -2 b 1 (1 + ) -1 b 2 b t b n b 1 b 3 Tidspunkt 0 1 2 3 t n Tid 28 / 49 geneelt Betalingsække: Et sæt af sammenhøende enkeltbetalinge b t, de fofalde i tidspunktene t {1, 2,..., n}. Akkumuleet vædi af betalingsækken på tidspunkt n: S n = b t (1 + ) n t t=1 Nutidsvædien af betalingsækken: S 0 = b t (1 + ) t t=1 Vædi af betalingsækken på henføelsestidspunktet τ: S τ = S 0 (1 + ) τ = b t (1 + ) t (1 + ) τ = b t (1 + ) τ t Eksempel i Excel t=1 t=1 29 / 49
geneelt - sædeles vigtigt specialtilfælde! Antagelse: 1 alle betalinge e lige stoe: b 1 = b 2 =... = b n = b 2 ækvidistante temine Akkumuleet vædi af annuitet (kvotientække med kvotienten (1 + )): hvo S n = t=1 ( ) b (1 + ) n t = b (1 + ) n t t=1 ] = b [1 + (1 + ) + (1 + ) 2 +... + (1 + ) n 1 = b s s = (1 + )n 1 Opspaingsfakto 31 / 49 Opspaingsfaktoen geneelt Akkumuleet vædi af annuitet 70,00 60,00 50,00 40,00 30,00 20,00 10,00 0,00 Opspaingsfakto 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Temine = 1% = 5% = 10% 32 / 49
Ydeligee aspekte Antal temine: geneelt Hvo mange temine skal de opspaes fo at få et bestemt S n? Vi ved Det følge, at S n = b s n = = b (1 + )n 1 ln(1 + Sn b ) ln(1 + ), hvo n opundes til næmeste heltal. Rentesats Kan vi bestemme den entesats, de fo en givet fast betaling b og antal temine n give et bestemt disponibelt beløb S n? En sådan entesats kaldes fo den intene ente ( afsnit 6) Kan ofte ikke løses analytisk, men kun numeisk (Goal Seek i Excel). 33 / 49 geneelt Nutidsvædi En annuitets nutidsvædi kan bestemmes som: den tilbagediskonteede vædi af annuitetens enkeltbetalinge, S 0 = b(1 + ) t = b (1 + ) t t=1 t=1 den tilbagediskonteede akkumuleede vædi S 0 = (1 + ) n S n = b(1 + ) n s I begge tilfælde fås at nutidsvædien e givet ved = b(1 + ) n (1 + )n 1 α S 0 = b kaldes fo annuitetsfaktoen 1 (1 + ) n = b α nutidsvædien af en annuitet med en konstant betaling på 1 k. summen af diskonteingsfaktoe med samme (diskonteings-)ente 34 / 49
sfaktoen geneelt sfakto annuitet20,00 Nutidsvædi af annuitet 18,00 16,00 14,00 12,00 10,00 8,00 6,00 4,00 2,00 0,00 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Temine = 1% = 5% = 10% 35 / 49 geneelt Gænsevædie fo annuitetsfaktoen Fo 0 kan det vises at (bug l Hospitals egel) n > 0 : α = 1 (1 + ) n n Fo kan det vises at n > 0 : α = 1 (1 + ) n 0 Fo n kan det vises at > 0 : α = 1 (1 + ) n 1 kapitaliseingsfaktoen Eksempel: Simpel aktievudeing (Godons fomel) En aktie udbetale fast 21 k. i udbytte, = 5%, n = S 0 = b = 21 0,05 = 420 k. 36 / 49
Ydeligee aspekte Antal temine: geneelt Det nødvendige antal temine fo at opnå en nutidsvædi S 0 med betaling b og entesats e givet ved ( ) ln 1 S 0 b n = ln(1 + ) Husk at opund til næmeste heltal! Teminslig betaling Fo en given nutidsvædi S 0, antal temine n og entesats kan den konstante teminslige betaling b bestemmes som α 1 = 1 (1+) n b = S 0 α 1 kaldes kapitalindvindingsfaktoen. 37 / 49 Kapitalindvindingsfaktoen geneelt 1,20 Kapitalindvindingsfakto Teminslig betaling 1,00 0,80 0,60 0,40 0,20 0,00 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Temine = 1% = 5% = 10% 38 / 49
Y t1 Y t2 Y tn 1 Y tn Illustation geneelt En ydelsesække kan beskives vha. et diagam, de illustee ydelsenes kendte støelse og kendte tidsmæssige placeing (teminstidspunkte): i dag/valø 0 t 1 t 2 t n 1 t n tid Valødato = den dag hvo handlen gennemføes (typisk 3 bøsdage efte handelsdagen) Y t e ydelsen på et teminstidspunkt t {t 1, t 2,..., t n } og n e antal esteende temine. 40 / 49 geneelt Hvad e et lån? (se Viksomhedens finansieing, afsnit 4.1) Et låns ydelse bestå af afdag og entebetaling Y j = AFD j + R j } {{ } }{{} afdag ente j = 1, 2,..., n hvo afdaget nedbinge det lånte beløb (hovedstolen), mens entebetalingen kompensee långive fo at have ydet lånet. Restgælden til tid j betegnes med G j, mens den teminslige nominelle ente betegnes med. Da lånet optages til tid t = 0 e dets hovedstol givet ved estgælden til tid 0, dvs. G 0. I voes eksemple sætte vi som egel G 0 = 100. 41 / 49
slån geneelt Kendetegn: Konstant ydelse, Y j = Y fo alle j = 1, 2,..., n Y Y Y Y i dag/valø 0 t 1 t 2 t n 1 t n tid Ydelsen bestemmes så hovedstolen netop foentes med, dvs. G 0 = Y j (1 + ) j = Y j=1 (1 + ) j = Y α n, j=1 hvo α n = 1 (1+) n. Med G 0 = 100 fås altså Y = 100 α n = 100α 1 = 100 n 1 (1 + ) n 42 / 49 slån - fotsat Restgælden efte j temine G j = k=j+1 geneelt Y k (1 + ) (k j) = Y α n j, da lånet netop e en annuitet med n j esteende temine. Rentebetalingen i temin j + 1 R j+1 = G j = Y α n j = 100 1 (1 + ) (n j) 1 (1 + ) (n j) 1 (1 + ) n = 100 1 (1 + ) n Afdaget i temin j + 1 ] AFD j+1 = Y R j+1 = Y [1 α n j = Y (1+) (n j) = (1+)AFD j 43 / 49
geneelt Eksempel på ydelsesække fo et annuitetslån En fiktiv 8% annuitetsobligation med udløb 15/5 2016 og én ålig temin vil have følgende ydelsesække den 20/3 2012: Temin Afdag Rentebetaling Ydelse 2012 05 15 17,05 8,00 25,05 2013 05 15 18,41 6,64 25,05 2014 05 15 19,88 5,16 25,05 2015 05 15 21,47 3,57 25,05 2016 05 15 23,19 1,86 25,05 Se Excelfilen LektionA1.xlsx 44 / 49 Stående lån geneelt Kendetegn: ingen løbende afdag, AFD j = 0 fo alle j = 1, 2,..., n 1 og AFD n = G 0 = 100. Rentebetaling: R j = R = G 0 = 100 fo alle j = 1, 2,..., n. Ydelse: Y j = AFD j + R j. 100(1 + ) 100 100 100 i dag/valø 0 t 1 t 2 t n 1 t n tid 45 / 49
geneelt Eksempel på ydelsesække fo et stående lån Obligationen 4% Danske Stat STL 2017 (fondskode DK0009921942) e et 4% (inkonvetebat) stående lån, som e udstedt af den danske stat, ha én ålig temin og udløbe 15/11 2017. Ydelsesækken p. 20/3 2012 (p. 100 k. nominel vædi) e defo: Temin Afdag Rentebetaling Ydelse 2012 11 15 0 4,00 4,00 2013 11 15 0 4,00 4,00 2014 11 15 0 4,00 4,00 2015 11 15 0 4,00 4,00 2016 11 15 0 4,00 4,00 2017 11 15 100 4,00 104,00 Se Excelfilen LektionA1.xlsx 46 / 49 Seielån geneelt Kendetegn: konstante afdag, AFD j = AFD = 100 n fo alle j = 1, 2,..., n. Restgælden efte j temine G j = 100 j AFD = 100 ( 1 j ) n Rentebetalingen i temin j + 1 R j+1 = G j = 100 ( 1 j ) n Ydelsen på tidspunkt j Y j = AFD j + R j = 100 [ ( 1 n + 1 j 1 )] n 47 / 49
geneelt Eksempel på ydelsesække fo et seie lån En fiktiv 12% S 2015 obligation, de e en seie obligation, ha én ålig temin og udløbe den 15/2 2015. P. 20/3 2012 e de te esteende temine, så ydelsesækken (p. 100 k. nominel vædi) e: Temin Afdag Rentebetaling Ydelse 2013 02 15 33,33 12,00 45,33 2014 02 15 33,33 8,00 41,33 2015 02 15 33,33 4,00 37,33 Se Excelfilen LektionA1.xlsx 48 / 49 geneelt Uamotisable lån/evigtløbende annuitet Vi så tidligee, at > 0 : α 1 nå n Ydelsen fo et evigtløbende annuitet lån blive defo Y = 100 α 1 = 100 Det vil sige, at de betales kun ente af estgælden lånet afdages aldig, thi fo alle j = 1, 2,.... R j = 100 AFD j = 0 Y j = AFD j + R j = 100 opstå som gænsetilfældet n fo alle 3 standadlån. 49 / 49