fo C-niea i sx dgae B D h a A C 01 Kasen Jl
1. En sides modsäende inkel... 1. Ensinklede ekane... 1. Od fo sidene i en einkle ekan.... Pyhagoas sçning... 5. Udegn hyoense nä i kende de o kaee. Udegn kaee nä i kende kaee og hyoense 7. Cosins, sins, angens og Nsie... 8. Cos, sin, an Ä Nsie nä inkel e kend 9. Cos, sin, an Ä Nsie nä inkel ikke e kend 10. De e egle fo cos, sin og an i einkle ekan... 11. cos i einkle 1. sin i einkle 1. an i einkle 1. Fie billede af samme ekan 15. NÄ d skal egne en ogae 1. Eksemle med cos, sin og an i einkle ekan... 17. Ogae: 18. Ogae: 19. Ogae: 0. Ogae: 1. Ogae:. Sinselaionen... 5. HonÄ bge i sinselaionen?. Udegn side med sinselaion 5. Udegn inkel med sinselaion. Cosinselaionen... 7. HonÄ bge i cosinselaionen? 8. Udegn side med cosinselaion 9. Udegn inkel med cosinselaion 0. HÉjde... 7 1. Median... 7. Vinkelhaleingslinje... 7 De 11 ogaeye med side og inkle i einkle ekan... 8 De fomle il degning af side og inkle i einkle ekan... 9 De ogaeye i lése ed hjçl af cosinselaionen elle sinselaionen... 10 Tekansbeegning fo C-niea i sx, dgae, Ä 01 Kasen Jl /10-01 Nyese esion af dee häfe kan downloades fa h://ma1.dk/noe.hm HÄfe må benyes i ndeisningen his läeen sende en e-mail il kj@ma1.dk som olyse hold, niea, läe og skole.
1. En sides modsäende inkel e modsäende inkel il siden l fodi l ikke séde o il. w Vi se a m og n séde o il, sä m og n e ikke modsäende il. l m e modsäende il m. w e modsäende il n. n. Ensinklede ekane De o ekane ha samme inkle, sä - de o ekane ha samme fom - den soe ekan e en foséelse af den lille 18 Udegne fosåelsesfakoen NÄ i gange sidene i den lille med foséelsesfakoen k, sä fä i sidene i den soe: 1k = 18 Vi diidee begge ligningens side med 1 og fä k = 1,5 1 Hofo e fosåelsesfakoen ikke? Vi kan ikke bge sidene 1 og il a degne foséelsesfakoen fodi sidene 1 og ikke ha ens modsäende inkle. Vi bge fosåelsesfakoen 1,5 il a degne : Sidene og ha modsäende inkle de e ens. Defo e 1,5 = Vi degne ensesiden og fä = Vi bge fosåelsesfakoen 1,5 il a degne : Sidene og ha modsäende inkle de e lens. Defo e 1,5 = Vi diidee begge side med 1,5 og fä = 1 Hofo gange i ikke med 1,5? De e sidene i den lille ekan de skal ganges med foséelsesfakoen. Tekansbeegning fo C-niea i sx 1 01 Kasen Jl
. Od fo sidene i en einkle ekan Siden e en kaee fodi den séde o il den ee inkel. Siden e hyoensen fodi den ikke séde o il den ee inkel. Siden e den hosliggende kaee il inkel fodi e den af kaeene de séde o il inkel. Siden e den modsäende kaee il inkel fodi e den af kaeene de ikke séde o il inkel. Odene kaee og hyoense kan kn bges i en einkle ekan. Eksemle e hosliggende kaee il n e hosliggende kaee il w h e modsäende kaee il inklen Ä e modäende kaee il d e modäende kaee il w Hyoensen e 8 g e hyoense. Pyhagoas séning d g n w 7 8 h k Pyhagoas sçning gçlde kn i einklede ekane. Pyhagoas séning som fomel nä og e kaee, og e hyoense. Pyhagoas séning i od Den ene kaee i anden ls den anden kaee i anden e hyoensen i anden. 5. Udegn hyoense nä i kende de o kaee Ogae: Besem Ä figen. 0 og 8 e kaee, og e hyoense, sä 0 + 8 = Nsie lése ligningen 0 + 8 = mh. fo sée end 0 og fä = 5 0 8 = 5. Udegn kaee nä i kende kaee og hyoense Ogae: Besem a Ä figen. og a e kaee, og 0 e hyoense, sä + a = 0 Nsie lése ligningen + a = 0 mh. a fo a sée end 0 og fä a = a 0 = Tekansbeegning fo C-niea i sx 01 Kasen Jl
7. Cosins, sins, angens og Nsie. I mange ogae med ekane ha i bg fo a egne med noge de hedde cosins, sins og angens. 8. Cos, sin, an Ä Nsie nä inkel e kend I e maemaikfel i e noeinde i Nsie ase i cos() og cl-ene (cmd-ene Ä Mac) : NÄ i lçse denne ligning, sige i: cosins il e 0,89879. Flee degninge: NÄ i lçse disse ligninge, sige i sins il 18 e 0,911 og angens il 15, e 0,719. 9. Cos, sin, an Ä Nsie nä inkel ikke e kend His e en inkel i en ekan og 7cos() =, sä skal i lése denne ligning. Ligningen ha mange osiie og negaie lésninge, men da e en inkel i en ekan, skal i kn finde lésninge mellem 0 og 180. Nsie lése ligningen 7cos() = mh. fo 0<<180 og fä = 55,1501. His e en inkel i en einkle ekan, skal i kn finde lésninge mellem 0 og 90. HUSK: Oe sole-linjen skie i med sädanlig maemaiksog had de foegå i solelinjen. HUSK alid: HÇjeklik, Aibe, Gade fo a Äe hel sikke. 10 De e egle fo cosins, sins og angens i einkle ekan. NÄ e en sids inkel i en einkle ekan e hyoensen e ' s hosliggende kaee Se TYPE 1-9 e ' s modsäende kaee side 1-17. sä gçlde: 11 cos( ) ds. hyoense gange cos() e 's hosliggende kaee 1 sin( ) ds. hyoense gange sin() e 's modsäende kaee 1 an( ) ds. 's hosliggende kaee gange an() e 's modäende kaee I mange ilfçlde hedde inklen og sidene noge ande end,,,. Defo e de ofe en fodel a dykke eglene i od som i ha gjo il ense fo fomlene. 1 Fie billede af samme ekan: Af de e egle 11-1 fä i a félgende seks fomle gçlde fo ekanen anse hodan den ende: cos( ) sin( ) an( ) cos( ) sin( ) an( ) 15. NÄ d skal egne en ogae med kende al: IndsÇ de kende al i en af fomlene. His bogsae sä alene Ä den ene side af lighedsegne: Udegn den anden side af lighedsegne. Elles: Bg sole. I amme 1 e is hodan sädanne besaelse se d. Tekansbeegning fo C-niea i sx 01 Kasen Jl
1. Eksemle med cos, sin og an i einkle ekan 17. Ogae: Besem inklen Ä figen. De indgä hyoensen, en inkel og inklens hosliggende kaee, sä i skal bge cosins:, cos() = 5, Nsie lése ligningen, cos() = 5, mh. fo mellem 0 og 90 og fä = 1,957, 5, = 18. Ogae: Figen ise en sige de nä o il oen af en m héj m. Sigen danne en inkel Ä 55 med jodoefladen. Besem lçngden af sigen. De indgä hyoensen, en inkel og inklens modsäende kaee, sä i skal bge sins: s sin(55) = ho s e sigens lçngde Nsie lése ligningen s sin(55) = mh. s fo s sée end 0 og fä s =, sige 55 m Sigens lçngde e, cm 19. Ogae: 0 mee fa e Ç sige i o mod oen. Vinklen mellem sigelinje og ande e 5. Tekanen il héje e en model af denne siaion. De indgä en inkel og de o kaee, sä i skal bge angens: 0 an(5) = h Nsie degne ligningens ense side: TÇes héjde e 8 m 5 5 0m h 0. Ogae: Besem siden Ä figen. De indgä hyoensen, en inkel og inklens hosliggende kaee, sä i skal bge cosins: 8,0 cos(5) = Nsie degne ligningens ense side: =,7 5 8,0 1. Ogae: Besem inklen w Ä figen. De indgä hyoensen, en inkel og inklens modsäende kaee, sä i skal bge sins:,1 sin(w) =, Nsie lése ligning,1 sin(w) =, mh. w fo w mellem 0 og 90 og fä w = 8,9 w,1, w = 9 Tekansbeegning fo C-niea i sx 01 Kasen Jl
. Sinselaionen NÄ e siden e modsäende il inklen siden e modsäende il inklen sin( ) sin( ) Denne egel hedde sinselaionen. Sinselaionen gçlde i alle ekane, men de e klodse a bge sinselaionen i en einkle ekan da i he kan bge en simlee fomel.. HonÄ bge i sinselaionen? His ekanen ikke e einkle og i kende o inkle og en side, og i skal finde en side, sä bge i sinselaionen. His i ikke kende inklen oe fo den side i skal finde, sä degne i fés denne inkel. De kan i da smmen af de e inkle e 180. His ekanen ikke e einkle og i kende o side og inklen oe fo en af dem, og i skal finde en inkel, sä bge i sinselaionen. De e inklen oe fo den anden kende side i finde. Den sidse inkel kan i finde da smmen af de e inkle e 180.. Udegn side med sinselaion Ogae: Besem siden Ä figen. Vi kende o inkle og en side, og skal finde en side, sä i bge sinselaionen. Vinklen oe fo e 180 7 105 = 8 N kan i bge sinselaionen: sin( 8) sin(105) sin( 8) Nsie lése ligningen mh. fo sée end 0 og fä =,11 sin(105) Denne degning skal i IKKE lae his de o inkle ligge oe fo den kende og den kende side. 7 105 =, 5. Udegn inkel med sinselaion Ogae: Besem inklen Ä figen. Vi kende o side og inklen oe fo en af dem og skal finde en inkel, sä i bge sinselaionen: sin( ) 5 sin(110) Nsie lése ligningen sin( ) 5 sin(110) og fä = 7,909 elle = 1,091 mh. fo mellem 0 og 180 110 5 mä Çe minde end 90 da en af de ande inkle e oe 90, sä = 7,9 Tekansbeegning fo C-niea i sx 5 01 Kasen Jl
. Cosinselaionen NÄ e sidene e, og siden e modsäende il inklen cos( ) Denne egel hedde cosinselaionen. Cosinselaionen gçlde i alle ekane, men de e klodse a bge cosinselaionen i en einkle ekan da i he kan bge en simlee fomel. 7. HonÄ bge i cosinselaionen? His ekanen ikke e einkle og i kende o side og inklen mellem, og i skal finde den sidse side, sä bge i cosinselaionen. His ekanen ikke e einkle og i kende de e side, og i skal finde en inkel, sä bge i cosinselaionen. 8. Udegn side med cosinselaion Ogae: Besem siden Ä figen. Vi kende o side og inklen mellem, og i skal finde den sidse side, sä bge i cosinselaionen. 5 = 58 +5 585cos(59) Nsie lése ligningen = 58 +5 585cos(59) mh. fo > 0 og fä = 51,9. 59 58 = 5,0 9. Udegn inkel med cosinselaion Ogae: Besem inklen Ä figen. Vi kende de e side, og i skal finde en inkel, sä bge i cosinselaionen. = 8 +7 87cos() Nsie lése ligning = 8 +7 87cos() mh. fo mellem 0 og 180 og fä = 95,075. 7 8 = 95,1 Tekansbeegning fo C-niea i sx 01 Kasen Jl
0 HÅjde. En héjde i en ekan e e linjesykke de gä fa en inkelsids il e nk Ä den modsäende side og e inkele Ä denne side. I enhe ekan e de e héjde. PÄ figen e is héjden ha fa A Ä siden a. F.eks.: His de i en ogae e olys a AD e héjden Ä BC (se fig), sä ha d fäe olys a inkel D e e. SÄ kan d bge eglene fo einkle ekan. A h a B D C 1 Median. En median i en ekan e e linjesykke de gä fa en inkelsids il midnke af den modsäende side. I enhe ekan e de e mediane. D PÄ figen e is medianen mb fa B Ä siden b m b His de i en ogae e olys a BD e median Ä AC (se fig), sä ha d fäe olys a AD og DC e lige lange: A F.eks.: His d kende AD elle kan degne AD, sä kan d degne AC ed a gange AD med. F.eks.: His d kende AC elle kan degne AC, sä kan d degne AD ed a diidee AC med. C B Vinkelhaleingslinje. En inkelhaleingslinje i en ekan e en linje de gä gennem en af inkelsidsene og halee inklen. I enhe ekan e de e inkelhaleingslinje. PÄ figen e is inkelhaleingslinjen C fo inkel C. A w C w C His de i en ogae e olys a CD e inkelhaleingslinje fo inkel C D (se fig), sä ha d fäe olys a inklene og e lige soe: B F.eks.: His d kende elle kan degne, sä kan d degne inkel C i ekan ABC ed a gange med. F.eks.: His d kende inkel C i ekan ABC elle kan degne den, sä kan d degne inkel ed a diidee inkel C med. Tekansbeegning fo C-niea i sx 7 01 Kasen Jl
De 11 ogaeye med side og inkle i einkle ekan I ekanen il héje e sidene med lçngde og kaee, fodi inklen mellem dem e e. Siden med lçngde 5 e hyoense, fodi den ikke e en af kaeene. Foesil dig a d sidde i den sidse inkel og holde i de o inkelben. Den kaee d holde i, e inklens hosliggende kaee. Den anden kaee e inklens modsäende kaee. 5 Tye 1 Kend: Hyoensen og en sids inkel. Udegn: Vinklens hosliggende kaee. 5 cos(7) Nsie degne ense side Tye Kend: En sids inkel og dens hosliggende kaee. Udegn: Hyoensen. cos( 7) Nsie lése mh. Tye Kend: Hyoensen og en kaee. Udegn: Vinklen mellem disse. 5cos( ) inklens hosliggende kaee sids inkel hyoensen inklens hosliggende kaee sids inkel hyoensen Nsie lése mh. fo inklens hosliggende kaee sids inkel hyoensen 0 90 5 7 7 5 Tye Kend: Hyoensen og en sids inkel. Udegn: Vinklens modsäende kaee. 5 sin (7) Nsie degne ense side Tye 5 Kend: En sids inkel og dens modsäende kaee. Udegn: Hyoensen. Tye Kend: Hyoensen og en kaee. Udegn: Kaeens modsäende inkel. sin ( 7) 5 sin ( ) inklens sids inkel hyoensen inklens sids inkel hyoensen modsäende kaee Nsie lése mh. modsäende kaee Nsie lése mh. fo inklens modsäende kaee sids inkel hyoensen 0 90 5 7 7 5 Tekansbeegning fo C-niea i sx 8 01 Kasen Jl
Tye 7 Kend: En sids inkel og dens hosliggende kaee. Udegn: Vinklens modsäende kaee. an(7) Nsie degne ense side Tye 8 Kend: En sids inkel og dens modsäende kaee. Udegn: Vinklens hosliggende kaee. an( 7) Nsie lése mh. Tye 9 Kend: De o kaee. Udegn: En sids inkel. an( ) inklens sids inkel inklens hosliggende kaee modsäende kaee inklens modsäende kaee sids inkel inklens hosliggende kaee Nsie lése mh. fo inklens modsäende kaee sids inkel inklens hosliggende kaee 0 90 7 7 Tye 10 Kend: De o kaee. Udegn: Hyoensen. hyoense kaee Nsie lése mh. fo Tye 11 Kend: Hyoensen og en kaee. Udegn: Den anden kaee. 5 Nsie lése mh. fo hyoense kaee 0 0 5 De fomle il degning af side og inkle i einkle ekan He af de 11 meode oenfo bge en af félgende fie fomle: I en einkle ekan gçlde (1) den_ene_kaee + den_anden_kaee = hyoensen Fo en sids inkel i en einkle ekan gçlde: () hyoensen cos( inkel ) = inklens_hosliggende_kaee () hyoensen sin( inkel ) = inklens_modsäende_kaee () inklens_hosliggende_kaee an( inkel ) = inklens_modsäende_kaee Tekansbeegning fo C-niea i sx 9 01 Kasen Jl
De ogaeye i låse ed hjél af cosinselaionen elle sinselaionen Tye 1: Udegn side med cosinselaionen Tekanen e ikke einkle. Kend: En inkel mellem o side og disse o side. Udegn: Siden oe fo inklen. alid 5 5 cos(1,) inklensben siden oe fo inklen Nsie lése ligningen mh. fo 0 5 1, Tye 1: Udegn inkel med cosinselaionen Tekanen e ikke einkle. Kend: De e side. Udegn: Vinklen. alid 5 5 cos( ) inklensben siden oe fo inklen Nsie lése ligningen mh. fo 0 180 5 Tye 1: Udegn side med sinselaionen Tekanen e ikke einkle. Kend: En side og o inkle. Udegn: En af de ande side. sin( 1.) sin( 8.8 ) siden de e siden de e enhede, ligge oe fo inklen de e 8,8 enhede, ligge oe fo inklen de e 1, Nsie lése ligningen mh. fo 0 1, His de a siden oe fo den kende inkel i sklle finde, sä mäe i fés degne denne inkel ed a dnye a smmen af de e inkle e 180. 8,8 Tye 15: Udegn inkel med sinselaion Tekanen e ikke einkle. Kend: To side og inklen oe fo en af dem. Udegn: Vinklen oe fo den anden af de o side. sin( ) sin( 8,8 ) siden de e enhede, ligge oe fo inklen de e 8,8 siden de e enhede, ligge oe fo inklen af séelse Nsie lése ligningen mh. fo 0 180 8,8 Nsie gie bäde en lésning nde 90 og en lésning oe 90. Hsk a begnde hilken af lésningene de skal bges. I dee ilfçlde kan begndelsen Çe: "Vinklen e nde 90 da siden oe fo inklen ikke e den sése i ekanen." I nogle ogae e de olys om inklen e sm (ds. oe 90 ) elle sids (ds. nde 90 ). Tekansbeegning fo C-niea i sx 10 01 Kasen Jl