Julestjene af katon Julestjene af katon Design Beegning Konstuktion Et vilkåligt antal takke En vilkålig afstand fa entum ud til spidsene En vilkålig afstand fa entum ud til toppunktene i "indakkene" En vilkålig tykkelse Fofatte: Cand. Sient Jon Andesen Lekto i Matematik Læeuddannelsen i Åus, VIAUC e-mail: jo@viau.dk Spøgsmål, kommentae mm. e velkomne. Matematik 10. deembe 006 Side 1 af 18 Jon Andesen
Julestjene af katon Læsevejledning: Intoduktion... 3 Foskellige didaktiske ovevejelse og poblemstillinge som optakt til abejdet. umlige stjene en undesøgende aktivitet... På side lægges de op til at aktiviteten igangsættes som en undesøgende og ekspeimenteende aktivitet med så lidt vejledning som muligt. umlige stjene en opskift... 5 I dette afsnit gives en fædig opskift på julestjenepoduktionen. Som ved madopskifte skal man ave fat på mateiale og edskabe fo at fostå opskiften. Opskiften skal udføes fo at man kan fostå den. Du skal buge katon, lim (skolelim, limstift, tape - elle limpistol), saks, tegneedskabe - og evt. et geometipogam. Gå du diekte til opskiften miste du væsentlige side af læepoessen - så vent med det til du enten e køt ujælpeligt fast - elle til du vil se andes bud på femstillingspoessen. Femstilling af en julestjene ekspeimente med mateiale og edskabe.... 8 He e en appoteing (pæsentatiosnpotefølje kan man måske kalde det) fa en ekspeimenteende udfoskning af poblemstillingen. Bemæk at det e meget vanskelig at dokumentee den slags abejdspoesse uden billede. Måske ville det væe endnu bede med en p-baseet femstilling, vo også videoklip kunne indgå. Femstilling af en julestjene ud fa bestemte ønskede mål... 11 He fobedes metoden fa foegående afsnit ved at inddage geometiske beegninge i konstuktionen. Baggunden fo at kunne gøe dette e at man a væet gennem en foegående mateialebaseet undesøgelse af poblemstillingen (som f.eks. i foegående afsnit). Julestjenedesign en matematisk undesøgelse... 13 Dette og de næste te afsnit e et kævende vad angå matematikken. Fomålet med dem e at påvise, vilke matematiske udfoldelsesmuligede de faktisk gemme sig i emnet. Det skal ikke misfostås deen, at det kæve en masse avaneet matematik at konstuee julestjene. Det kan selv bøn klae. Sidene 13-18 skal vise at de e mee end bøneavestof i emnet. Det e ikke emnet i sig selv, de e afgøende fo, vilke matematiske poblemstillinge de kan dukke op. Det e de spøgsmål man stille sig undevejs, de kan fempovokee endog et så komplieet matematik. Den omvendte poes... 1 He komme vi bl.a. andet ud fo at skulle løse te andengadsligninge med te ubekendte. En ikke elt banal anvendelse af andengadsligningens løsningsfomel foekomme. Julestjene af to ele stykke... 15 He opstilles en uliged de fotælle, vonå stjenens to alvdele kan femstilles uden slidse og de udledes en fomel fo tykkelsen af en sådan stjene. En næmee undesøgelse af foldepoessen.... 17 I dette afsnit foekomme flee anvendelse af andengadsligninge, funktione og umligt koodinatsystem. Matematik 10. deembe 006 Side af 18 Jon Andesen
Julestjene af katon Intoduktion Med enblik på at motivee eleve til at beskæftige sig med foskellige omåde af matematikken lede vi efte fasineende emne og aktivitete. At bygge stjenefomede polyede e et bud på en sådan aktivitet. Det e en udfoding fo læee at åbne eleves øjne fo matematikken i dette. Som læe kan du væe fistet til at jælpe elevene fo meget, voved du fatage dem ejeskab ove poesse og podukte. Du få beov fo at støtte og opmunte såvel psykologisk som matematisk. Metafoe så som "stilladseing" elle "zone fo næmeste udvikling" a væet bugt i litteatuen. Aktivitet "Tag denne stjene. Lav en kopi af den i katon. Lav ande stjene i foskellige støelse, med foskellige antal ståle, tykkelse elle vad du nu finde på." Sto foviing "Hvad a det med matematik at gøe?" "Hvo e de stykke vi skal egne?" "Dille du os?" "Det e e jo noget de gø i bøneaven op til jul!" Pointe "Ja, på begyndetinnet kan de abejde med julestjene i matematiktimene, men de kan også væe matematiske udfodinge på såvel mellemtin som sluttin. Selv gymnasieeleve og studeende endnu længee femme i uddannelsessystemet kan få dees sag fo. Det afænge ikke af emnet alene, men af de poblemstillinge man sætte dig fo at løse." Ingen "fast food" tak. Elevene skal ikke se fo mange detalje i begyndelsen af pojektet. Fædiglavede udklipsak vo de bae skal klippes, foldes og limes kan findes mange stede. I denne sammenæng skal den slags kun buges i begænset omfang og kun som inspiationsmateiale. Matematikken findes i abejdet med at beskive de geometiske foold ved stjenene og i at konstuee sine udklipsak. Design af udklipsak Mange geometiske begebe optæde i poessen, de føe fa en konket ide til udklipsak. Identifikation af fome, udtænkning af jælpefigue, konstuktion af tekante og kombinatione af dem via spejlinge og otatione. Designet af limkante udgø et kapitel fo sig selv afængigt af ambitionsniveauet. Dynamisk geometi Compute kan væe til sto jælp nå stjenenes design skal udfoskes og udklipsak med limkante mm. konstuees. Afsluttende bemækninge Fotolk ikke det foegående deen at "klippe og kliste" e minde vigtigt end beegning og geometisk konstuktion. Poessen skal føes elt til ende, fo at man få fuldt udbytte af anstengelsene. Det give sto tilfedsstillelse, såvel intellektuelt som æstetisk, at se på sin stjene vel vidende at man kende det geometiske design og abejdspoessene, de ligge bag det fædige podukt. Man komme til at se på matematik med ande øjne og give sig i kast med nye udfodinge. Matematik 10. deembe 006 Side 3 af 18 Jon Andesen
Julestjene af katon umlige stjene en undesøgende aktivitet Du kan gibe sagen an som en undesøgende aktivitet, vo du selv pøve at udvikle en stategi fo at konstuee umlige stjene. Det kan du f.eks. gøe ved føste at lave en kopi af en konket stjene som f.eks. denne: Du kan så eftefølgende udvikle en metode fo, voledes man kan konstuee stjene af foskellige støelse og med foskellige tykkelse og foskellige antal takke. Denne metode e nok den du i længden læe mest af foudsat at du ikke give op undevejs. Den anden muliged e at du få en mee elle minde udfølig opskift udleveet. En gylden middelvej kan væe at buge dine medstudeende og din læe som støtte til at komme videe, vis du køe elt fast. En opskift kan også buges på denne måde vis du lade væe med at følge den slavisk men blot kikke i den nå det gå elt i stå fo dig. Denne måde at abejde på e nok det psykologen Vygotsky beskive nå an tale om "zonen fo næmeste udvikling". Mait Høines 1 nævne i fobindelse med en poblemstilling som un a pæsenteet fo foskellige aldesguppe:»[oppgaven] a væet abeidet med av 5. klassinge, av læestudente og av foelde. E det oveaskende at vi a oplevd det som om alle guppene statet med næ sagt like foudsætninge? Det så ut til at elevene tengte me tid, de adde støe tålmodiget, og de ville ikke øe løsninge. De ville finne ut selv. Voksne e ofte svafiksete, de vil a jælp og ønske en gennemgang av stoffet tidligee. Hos elevene fikk poblemet ligge i flee daga. En annan foskjell va at esultatene elevene kom fam til ikke ble gitt i fomelt spåk. De foetog imidletid fomaliseinge og de beabeidet spåket sitt fo at svaet skulle bli så pesist som mulig. De fomulete egle elle oppskifte.«hvad med dig selv? Vil du ave en løsningsmetode foæet? Elle vil du pøve selv? Mit foslag e at du stoppe læsningen e og gå i gang med at finde ud af, vodan stjene kan konstuees og bygges. Hvis du gå i stå og slet ikke kan komme videe, så pøv at se på nogle af de følgende side. Måske beøve du ikke at læse et meget af det fo at komme videe med din egen poes. 1 Mait Jonsen Høines: Begynneopplæingen, Caspa Folag 1998/001 Matematik 10. deembe 006 Side af 18 Jon Andesen
Julestjene af katon umlige stjene en opskift He følge den ultimative opskift på stjenedesign. Du skal konstuee umlige stjene som den viste. Sådan at du a fuld kontol ove antallet af takke, adius af såvel omskeven som indskeven ikel samt stjenens tykkelse på midten. Føst skal du beslutte dig fo, vo mange takke stjenen skal ave samt vad adius i enoldsvis indskevne og omskevne ikel skal væe. Så kan du konstuee en plan stjene, de ligge i den umlige stjenes symmetiplan. Denne plane stjene skal du buge til at lime den umlige stjenes to alvdele sammen på. Den umlige stjene bestå af en øve og en nede alvdel. Udfoldningsnettene til disse to alvdele konstuees ve fo sig og de to alvdele klæbes på den plane stjene konstueet ovenfo. Nettet til en alv stjene bestå af konguente tekante som TBS Poblemet e at bestemme sidene i disse tekante. Men de kan findes ved jælp af nøjagtig konstuktion med passe, lineal og vinkelmåle elle beegnes ved jælp af Pytagoas sætning og osinuselationen. Et dynamiske geometipogam som Geomete kan buges med sto fodel. Matematik 10. deembe 006 Side 5 af 18 Jon Andesen
Julestjene af katon Konstuktionsmetode: Konstue de to lodette etvinklede tekante TCS og TCB og depå den vandette tekant CBS. (Lodet og vandet efeee til den situation, vo stjenens symmetiplan ligge vandet). Nu kan du omyggeligt måle a, b og. I f.eks. Geomete e denne metode så nøjagtig som det kan blive fodi Geometes målefunktione jo e baseet på fomle og omputeens egnenøjagtiged. Beegningsmetode: Du kan også selv beegne a, b og ud fa følgende fomle Depå kan udfoldningsnettet konstuees: Det kan væe en fodel at beegne vinklen v = BTS ud fa fomlen til øje. Bemækes at punkte som B og S ligge på konentiske ikle med adie v. a og kan vinkel v nu buges til at måle sig fem til B- ene og S-ene ele vejen undt. Elle deje i Geomete. Matematik 10. deembe 006 Side 6 af 18 Jon Andesen
Julestjene af katon Som et kuiosum kan nævnes at foudsat og opfylde uligeden til øje kan man konstuee en stjene, vo udfoldningsnettet ingen "slids" a: Den alve tykkelse på denne stjene vil ave vædien Man kan eventuelt pøve sig fem med foskellige vædie af og, vis man ønske at konstuee en sådan stjene med en bestemt tykkelse. Det kæve nok ompute elle en god egnemaskine. På de næste side kan du læse en beskivelse af en ekspeimenteende tilgang til poblemstillingen. Føst fosøges med så lidt matematik som muligt. De bakses med mateialene og de gøes efainge gennem abejdspoessen. Nogen kalde dette en æstetisk læepoes. De læes gennem sansene. (Det komme af det gæske od 'aistesis de bl.a.betyde fonemmelse elle følelse). Efte at ave podueet en stjene på denne måde vudees esultatet og en fobedet femstillingspoes udvikles. He buges matematik til at fastlægge stjenens fom. Det kan nu kaldes en designpoes: Vi ønske bestemte mål på den fædige stjene og det kan vi opnå ved bl.a. matematikkens jælp. Matematik 10. deembe 006 Side 7 af 18 Jon Andesen
Julestjene af katon Femstilling af en julestjene ekspeimente med mateiale og edskabe. Føst en metode med et minimum af matematik. Denne metode e ikke den mest nøjagtige men til gengæld få man føling med, vad de e det gundlæggende i stjenens opbygning. Man udvikle sin fonemmelse fo stjene og få et bede gundlag fo at fostå den mee pæise men også mee matematiske konstuktion de følge længee nede på de sidste side. En stjene e bygget af tekante, så jeg tegne en tekant (TBS)og klippe den ud. og buge den som skabelon til at tegne nettet til den udfoldede stjene. Ved at flytte undet på tekanten femkomme dette: Bemæk at de ikke e plads til takkene i samme figu, så de må tegnes selvstændigt og klistes på bagefte. Husk limflappe. Da de skal buges to udgave at samme net til stjenens to alvdele oveføes nettet til et andet stykke katon ved at pikke ulle i jønene med en passe. Husk tykt undelag så bodet ikke ødelægges. Matematik 10. deembe 006 Side 8 af 18 Jon Andesen
Julestjene af katon Udfoldningene klippes ud og de kan foldes ("dale" og "tagygge"). Foldestegene (falsene) e tukket op ved ådt tyk med en kuglepen fo at det skal væe lettee at folde. De kan også idses elle skæes i papiet fo at opnå dette. Elle man kan købe en speiel falsepen. Deefte skal de to "løse" ame limes på: Nå limen e tøet fumles stjenen på plads på et plant undelag. Efte nogle fosøg komme den til at stå fladt ned. Det va genealpøven. Så skal de smøes lim på limflappene og nu gælde det fo alvo om at få stjenen til at stå igtigt på et stykke katon så den blive limet fast i den igtige faon. Deefte kan den skæes (elle klippes) fi langs kanten. (Pas igen på undelaget). og man a en alv stjene, de e flad på den ene side: Matematik 10. deembe 006 Side 9 af 18 Jon Andesen
Julestjene af katon Den anden alve stjene limes på den flade side og jeg a en el stjene: Men jeg e ikke tilfeds: Selv små unøjagtigede i konstuktionspoessen slå kaftigt igennem i det fædige esultat. Defo vælge jeg at vende lidt om på poessen. Matematik 10. deembe 006 Side 10 af 18 Jon Andesen
Julestjene af katon Femstilling af en julestjene ud fa bestemte ønskede mål Ved denne metode tages de udgangspunkt i stjenens omskevne og indskevne ikel: Selve femstillingspoessen ovenfo gø det vanskeligt at plaee stjenen elt symmetisk på gundplanen. Defo ænde jeg poessen og begynde med at tegne indskeven og omskeven ikel som to konentiske ikle. Jeg a målt mig til at de skal væe = 3,5 m og = 10 m fo at få samme udstækning som stjenen ovenfo. Da jeg jo ved at spidsene og amulene skal dele ve af iklene i 6 lige stoe bue og at de e foskudt en alv bue i foold til inanden kan jeg nu konstuee stjenens gundplan. C S B I stedet fo at state med en tekant TBS som i føste fosøg vil jeg konstuee mig fem til denne tekant. Stykket BS ligge i samme plan som de to ikle, så det kan jeg faktisk måle mig fem til og nå fem til at det e 7, m. Fo at finde de to ande stykke gå jeg således fem: Jeg foestille mig at den alve stjene e en pyamide med stjenefomet gundflade og med T som toppunktet i denne pyamide: Matematik 10. deembe 006 Side 11 af 18 Jon Andesen
Julestjene af katon De to ikle fa fø a entum i punktet C som også femkomme, vis man nedfælde den vinkelette fa T til pyamidens stjenefomede gundflade. Deved opstå de to etvinklede tekante inde i "pyamiden", nemlig TCB og TCS, begge med C som den ette vinkel. Man kan ikke se disse tekante fodi de ligge inde i pyamiden/stjenen, men pøv om du kan se dem fo dit inde blik. Foestil dig f.eks. at du gå undt inden i stjenen(altså den øveste alvdel som vi se på nu). Så e T oppe i toppen og C e nede på gulvet lige unde T. B og S ligge i to jøne ude vo de skå vægge møde gulvet. TB og TS kan nu beegnes ved at buge Pytagoas sætning idet TC = = 3 m, vo betegne den alve tykkelse af stjenen på midten. Samtidig ved vi at CB = og CS =. TB TS 3,5 10 3 m,5m 3 m 10,m (I øvigt kunne vi også ave beegnet BS ved at buge osinuselationen 180 BS os 3,5 10 3,5 10 os30 m 7,19 m 7, m n Så konstuktionen og målingen ovenfo va ikke elt inge.) Nu e det så bae med at komme i gang med at femstille en ny udfoldning baseet på denne tekant: TBS vo TS = 10, m, TB =,5 m og BS = 7, m. Lige som i føste udgave lave jeg to udfoldede stjenenet. Denne gang e konstuktionen udføt ud fa de beegnede mål fo tekant TBS (og fo at øge pæisionen a jeg bugt Geomete... men nøjagtigt udføt abejde med passe og lineal gå også an). Matematik 10. deembe 006 Side 1 af 18 Jon Andesen
Julestjene af katon Julestjenedesign en matematisk undesøgelse En dag stod jeg i en obbyfoetning med en papmaestjene i ånden. Jeg gav mig til at se lidt næmee på den. Hvodan va den mon bygget? Mon ikke det va muligt at aflue designet? Med geometibillene på konstateede jeg, at den i stoe tæk va opbygget af tekante og at de va en øj gad af symmeti. Såvel otationssymmeti som symmeti om planen gennem amenes spidse. Afstanden fa stjenens entum C til toppunktet T kaldes (det e demed den alve tykkelse af stjenen på midten). Afstanden fa C til "amulen" B 1 kaldes a, afstanden fa B 1 til spidsen S 1 kaldes b og afstanden fa toppunktet T til spidsen S 1 kaldes. Inde i stjenen se jeg fo mig to etvinklede tekante CTB 1 og CTS 1 og en tekant (ikke etvinklet) CB 1 S 1. Pytagoas sætning bugt på de to etvinklede tekante give: (1.1) (1.) a a b Cosinuselationen bugt på den tedje tekant give 180 (1.3) b os n Matematik 10. deembe 006 Side 13 af 18 Jon Andesen
Julestjene af katon Ud fa givne vædie fo, og kan vi depå konstuee tekantene, de indgå i bygningen af stjenen. Nå man skal konstuee den udfoldede stjene e entevinklen givet ved v, vo v findes af a b (1.) os v a Ovenstående beegninge e tilstækkeligt til at man kan komme i gang med at konstuee julestjene på samlebånd. F.eks. kan man i et pogam som Geomete lave et dokument delt op i flee side med stjene med foskellige antal takke. Det e nemlig et let at lave f.eks. femstjene vo paametene, og kan ændes. Det blive lidt mee komplieet vis også n, skal kunne ændes dynamisk. He e det lettee at lave en side fo ve vædi af n (inden fo det antal muligede som man a bug fo). Det vil kæve et pogam med flee pogammeingsmuligede en Geomete a, vis man ønske at lave det ultimative stjenepogam. En alv udfoldet julestjene kan nu femstilles ved bug af passende jælpemidle alt lige fa sædvanlige tegneedskabe til et elle andet geometi- elle konstuktionspogam. Ovenstående e femstillet ved jælp af det dynamiske geometipogam Geomete. Netop bugen af et dynamisk geometipogam give stoe fodele, vis man konstuee den udfoldede stjene unde bug af symmetiegenskabene og pogammets tansfomationsfunktione. Heved kan modellen blive dynamisk og let at ænde på. Ovenstående udfoldede stjene skal jo bl.a. limes sammen ved slidsen. Lidt vaiation af f.eks. -paameteen vise at det e muligt at femstille en stjene som, vo den udklippede model ænge sammen ele vejen undt. Nedenfo findes en gundigee undesøgelse af denne situation, vo en el del matematiske begebe og metode komme i anvendelse. Den omvendte poes I poblemstillingen ovenfo gik vi ud fa, og og beegnede sidene i de tekante som stjenen bygges af. Kan man gå den anden vej? Mee pæist: Givet en tekant med sidene a, b og. Kan man da konstuee en julestjene, vo den pågældende tekant e det gundelementet, som stjenen e opbygget af? Andeledes fomuleet kan vi løse ligningssystemet bestående af ligningene (1.1), (1.) og (1.3) med ensyn til, og? Da < vise (1.1) og (1.) at en nødvendig betingelse e at a <. Tækkes ligning (1.1) fa ligning (1.) få man (.1) = a + (1.3) kan omskives til (.) b 180, vo os n de efte kvadeing give Matematik 10. deembe 006 Side 1 af 18 Jon Andesen
Julestjene af katon (.3) b b b Indsættes (.1) i (.3) få man efte en del manipulation (.) a b a b 180 0, vo sin n Diskiminanten til denne skjulte andengadsligning i vise sig at kunne eduees til (.5) D 16 b ( a ) Heaf kan man bl.a. aflæse endnu en nødvendig betingelse fo at det kan lade sig gøe. Nemlig (.6) b a Såfemt denne betingelse e opfyldt kan bestemmes ud fa ligningen b a b a (.7) Den/de vædie fo de findes e kan eftefølgende indsættes i (.1) og bestemmes. Endelig kan bestemmes af (1.1). Bemæk at kun løsninge fa.7 som sike at a > kan buges. Hvis man f.eks. lægge ud med n = 5, a = 3 m, b = m og = 6 m give.7 muligedene 7,7 1.0 voaf kun den mindste kan buges (da a = 9) og stjenen kan konstuees ud fa =,70 m, = 5,85 m og = 1,31 m. Julestjene af to ele stykke 180 Det deje sig om situationen, vo v de svae til at den alve, udfoldede stjene e lavet af n et stykke uden gennemklipninge. Spøgsmålet e om den kan løses. Sæt 180 os. Det deje sig om at løse ligningen: n (3.1) a b a vo a, b og e bestemt ved ligningene (1.1), (1.) og (1.3). Indsættes de få man Matematik 10. deembe 006 Side 15 af 18 Jon Andesen
Julestjene af katon Matematik 10. deembe 006 Side 16 af 18 Jon Andesen (3.) de omskives til (3.3) De ved kvadeing give (3.) (3.5) (3.6) 1, vo n 180 sin Heaf fås (3.7) n 180 sin n 180 tan n 180 tan Betingelsen fo at ovenstående od e et eelt tal e (3.8) 0 1 x x x 1 x, vo x Andengadspolynomiet i den sidste uliged a diskiminant (3.9) 1 D øddene e demed (3.10) 1 Kavet til fooldet mellem og blive demed (idet fooldet jo ikke kan ovestige 1 da < ): (3.11) n 180 os n 180 sin 1 Ovenstående fomle vise sammenængen mellem, og vis man ønske stjene de kan limes sammen af to ele stykke. I paksis e det muligt af femstille den slags stjene blot ved at vaiee paametene i det dynamiske geometipogam. Dvs. det e ikke nødvendigt med de mange algebaiske omskivninge. Det man få ud af disse e pæise fomle samt et kiteium fo, vonå det oveovedet e muligt at lave en sådan stjene. Det kom i vet fald bag på mig, at de findes en
Julestjene af katon sådan begænsning. Faktisk avde jeg ikke foestillet mig at det va muligt at lave stjene af to ele stykke. Det de opindeligt bagte mig på spoet af denne muliged va en metaljulestjene som jeg så os en isenkæmme fo nogle å siden. Jeg avde lige væet i gang med at lime stjene sammen af katon. Da jeg så metalstjenen gav jeg mig til at lede efte de svejsninge som jeg foventede de ville væe. Men jeg fandt kun en langs kanten. Det fik mig til at spøge: E det muligt med stjene af to ele stykke uden slidse. Og det vise ovenstående udledning. I næste sektion fosøge jeg at se næmee på, vad de ent fysisk ske, nå man give sig til at folde en stjene af et stykke. Jeg se på en konket 5-stjene, fo at få en gafisk femstilling af situationen i dette tilfælde. En næmee undesøgelse af foldepoessen. Jeg vil undesøge vad de ske med punktet C nå punktet T føes op ad en akse gennem oigo vinkelet på x- og y-aksene medens punktene S 1 og S bevæge sig adialt i x-y-planen ind mod oigo. Koodinatsæt unde bevægelsen fo de elevante punkte e T(0,0,z), C(u,0,w) og S 1 z os v, z sin v, 0 og tilsvaende fo S (symmeti om x-aksen). CT= a, CS 1 = b og TS 1 = give følgende ligninge: (.1) u z w a (.) z z os v u sin v w b Det de isæ inteessee mig e e at udtykke u og w som funktione af z fo at kunne følge vaiationen af disse to støelse de beskive bevægelsen af punktet C. Af (1) få man (.3) u w a z zw og () omskives til (.) z u u z os v w b Matematik 10. deembe 006 Side 17 af 18 Jon Andesen
Julestjene af katon Indsættes (3) i () få man (.5) a b z zw u z os v Heaf fås u = f(z) + g(z)w, vo (.7) a b z f (z) og z os v g(z) z z os v Indsættes (.6) i (.3) få man (.8) f (z) g(z) w f (z)g(z)w w a z zw de omskives til A(z)w + B(z)w + C(z) = 0, vo A(z) = 1 + g(z), B(z) = (f(z)g(z)-z) og C(z) = f(z) + z a Endelig sættes D(z) = B(z) A(z)C(z) og vaiationen af andenkoodinaten w til punktet C kan beskives med funktionene B(z) D(z) (.10) 1(z) A(z) og (z) B(z) D(z) A(z) 1 vise voledes C i begyndelsen bevæge sig ned unde det vandette plan fo depå at byde op igennem (netop ved den vædi af z de svae til stjenes øjde). Funktionen 1 svae til den situation, vo stjenen komme til at folde den fokete vej. Tallene de svae til den viste situation e =,5m og = 6m. He blive = 3,1 m og tekantens side e a =,0 m, b =, m og = 6,8 m. Matematik 10. deembe 006 Side 18 af 18 Jon Andesen