BETA-VERSION. Systime A/S

Transkript

1 INDHOLD FORORD 5 Funktioner og deres fortegn 7. Regning medfunktioner Parallelforskydninger Uligheder Ulighederogfortegnsvariation Differentialregning Grænseværdierogkontinuitet Grænseværdi Kontinuitet Differentiabilitetogdifferentialkvotienter Differentiabilitet Differentiablefunktioner Desimplefunktionersdifferentialkvotienter Regnereglerfordifferentiation Differentiationafkf,summenf +g ogdifferensenf g Differentiationafproduktf g ogkvotient f g Differentiationaff g ogomvendtfunktionf Differentiationafln,a x ogx a Oversigt over differentialkvotienter og regneregler Monotoniforholdogekstrema Monotonioglokaleekstrema Ensidetkontinuitetogdifferentiabilitet Kontinuitet og differentiabilitet på vilkårlige intervaller Grænseovergangemed± Optimering Differentialkvotientsomhastighed Marginalbetragtninger

2 2.9 Mindstekvadratersmetode Denbedsteproportionalemodel Denbedstelineæremodel Korrelationskoefficienten De trigonometriske funktioner Dereelletrigonometriskefunktioner Radiantal Definitionafcos(x)ogsin(x) Sinusfunktionensin(x) Cosinusfunktionencos(x) Tangens Funktioneraftypenf(x)=asin(bx+c)+d Betydningenafkonstantenb Betydningenafkonstantena Betydningenafkonstantend Betydningenafkonstantenc Detgenerelletilfældef (x)=asin(bx+c)+d Funktionenf (x)=acos(bx+c)+d Differentiationafsin,cosogtan Mængder og kombinatorik 4 4. Ommængder Permutationerogkombinationer Diskrete sandynlighedsfelter 6 5. Udfaldsrumogpunktsandsynligheder Hændelserogsandsynlighedsfordelinger Uafhængighed Betingedesandsynligheder Binomialfordelingen Denhypergeometriskefordeling ØVELSER 97 INDEKS 237

3 FORORD Lærebog i matematik, Bind 2 er beregnet til matematikundervisningen i gymnasiet på A-niveau. Bogen dækker kernestoffet med relevante beviser og eksempler. Teksten er løbende suppleret med henvisning til øvelser, som befinder sig bagest i bogen. Som supplerende stof indeholder bogen blandt andet et helt kapitel om sandsynlighedsregning. I sin helhed dækker bogen til fulde det eksamensgrundlag, man kan forvente opnået i løbet af 2g - både til den skriftlige og den mundtlige eksamen. Bogen er konsistent, men dermed også omfattende, og det vil være naturligt af tidsmæssige årsager at overspringe visse afsnit, sætninger og beviser. Lærebog i matematik er skrevet ud fra de erfaringer, vi har gjort os med reformen efter Vi har fundet, at der med de mange sjove og eksperimenterende tiltag i matematikundervisningen også fulgte et behov for at have en lærebog, der sikrede et stabilt grundlag for det indlærte. Således er bogsystemet både tænkt som lærebog for forløb med en mere traditionel, lærerstyret undervisning og som backup for forløb med et mere flagrende udgangspunkt. Bogsystemet er i sin opsætning let og minimalistisk for at give ro til tilegnelsen. Lærebog i matematik er beregnet for de elever, der ønsker et kendskab til matematikkens inderste væsen, og for de elever der senere skal arbejde med matematik på højere niveauer. En stor tak retter vi til matematikredaktør Elisabeth Husum for sit bidrag til bøgerne og sin tro på,at der med dette lærebogssystem er kommet et værdifuldt bidrag til gymnasiets matematikundervisning. Morten Brydensholt. juli 20 Grete Ridder Ebbesen 5

4

5 KAPITEL FUNKTIONER OG DERES FORTEGN Vi starter med at se på de almindelige metoder, hvormed vi danner nye funktioner ud fra givne funktioner. Desuden ser vi på, hvordan fortegnet for en funktion hænger sammen med dens graf.. Regning med funktioner Ud fra to funktioner kan vi danne nye funktioner ved hjælp af de almindelige regneoperationer. Definition. Antag, at f og g er funktioner, og k er en konstant. Så er k f,f +g,f g,f g og f g funktionerne fastlagt ved (k f )(x)=k f (x), x Dm(f ) (f +g)(x)=f (x)+g(x), x Dm(f ) Dm(g) (f g)(x)=f (x) g(x), x Dm(f ) Dm(g) (f g)(x)=f (x) g(x), x Dm(f ) Dm(g) ( ) f (x)= f (x), g(x) 0, x Dm(f ) Dm(g) g g(x) Vi omtaler funktionen f +g som summen eller sumfunktionen, f g som differensen eller differensfunktionen, f g som produktet eller produktfunktionen og f g som kvotienten eller kvotientfunktionen. Udtrykkene f (x)+g(x), f (x) g(x) og f (x) g(x) giver kun mening i de tal x, der bådeligger i Dm(f ) ogdm(g),dvs. nårxligger ifællesmængden Dm(f ) Dm(g). For kvotienten f (x) må vi yderligere sikre os, at vi ikke dividerer med nul ved at g(x) kræve,at g(x) 0. 7

6 Eksempel Lad f (x)=x 2 og g(x)=x 5 Så er sumfunktionen (f +g)(x)=f (x)+g(x) =x 2 +x 5 og sumfunktionens værdi i x =2 er Eksempel 2 Lad Så er Eksempel 3 For (f +g)(2)= = f (x)=x 2 + og g(x)=x (5f )(x)=5(x 2 +)=5x 2 +5 (f +g)(x)=(x 2 +)+(x )=x 2 +x (f g)(x)=(x 2 +) (x )=x 2 x+2 (f g)(x)=(x 2 +) (x )=x 3 x 2 +x ( ) f (x)= x2 +, (x ) g x f (x)= x+4, x 4 og g(x)= 5 x, x 5 er summen af f og g defineret i de tal x, hvor både f og g er definerede. Altså er definitionsmængden for sumfunktionen Dm(f + g) =[ 4; 5]. Øvelse, Øvelse2 8 KAPITEL. FUNKTIONER OG DERES FORTEGN

7 Vi ser nupå funktionen h(x)= x 2 + I funktionen h indgår de simple funktioner f (x)= x og g(x)=x 2 + men vi kan ikke danne h(x) som sum, differens, produkt eller kvotient mellem disse. h Figur. Hvisviskalberegneenfunktionsværdiforh(x),udregnerviførstværdienafx 2 + og uddrager derefter kvadratroden. Vi anvender altså først funktionen g(x)=x 2 + og dernæst funktionen f (x)= x Vedbrug af funktionerne f og g,kan vi omskrive h(x) til h(x)= x 2 += g(x)=f (g(x)) Visiger, atfunktionen her sammensat af funktionernef ogg og skriver h=f g. Sammensætningsoperatoren kalder vi bolle. Definition 2. Lad f ogg være to funktioner. Den sammensatte funktion f g er funktionen givet ved Eksempel 4 Vi ser på funktionerne (f g)(x)=f (g(x)) f (x)= 3x+4 og g(x)=x 2 +5x Forskriften for den sammensatte funktion f g bliver (f g)(x)=f (g(x)) =f (x 2 +5x) = 3(x 2 +5x)+4 = 3x 2 5x+4. Regning med funktioner 9

8 Danner vi i stedet g f, får vi funktionen (g f )(x)=g(f (x)) =g( 3x+4)) =( 3x+4) 2 +5( 3x+4) =9x x 5x+20 =9x 2 39x+36 Forskrifterne for de to sammensatte funktioner f g og g f bliver forskellige. Det er altså ikke ligegyldigt, i hvilken rækkefølge vi sammensætter de to funktioner. For at kunne udregne (f g)(x) = f (g(x)), må x Dm(g) og g(x) Dm(f ), som bestemmer definitionsmængden for f g. Øvelse3, Øvelse4, Øvelse5, Øvelse6 0 KAPITEL. FUNKTIONER OG DERES FORTEGN

9 .2 Parallelforskydninger Vi betragter en funktion f. Lægger vi værdien k til alle funktionsværdierne f (x), får vi dannet en ny funktion g, som er fastlagt ved g(x)=f (x)+k Punkterne på grafen for g fremkommer ved at lægge k til andenkoordinaterne i allepunkternepågrafenforf,ogdermedergrafenforg enlodretparallelforskydningaf grafenfor f. g(x)=f (x)+k f (x) Vi formulerer resultatet i en sætning. Figur.2 Lodret parallelforsydning Sætning.2.. Givet et tal k og en funktion f. Så vil grafen for funktionen g, der er udtrykt ved x k g(x)=f (x)+k være en lodret parallelforskydning af grafen for f med værdien k. Eksempel 5 Parallelforskyder vi grafen for f (x)= x, x 0 med ilodret retning, så fremkommergrafenfor g(x)=f (x)+ = x+, x 0.2 Parallelforskydninger g f

10 Eksempel 6 Givet funktionen f (x)= 4 x2 2x+5 Vi danner nu funktionen g(x)=f (x) 3 = 4 x2 2x+2 g(x)= x+ + f (x)= x + Figur.3 Grafen for g er dermed en lodret parallelforskydning af grafen for f i negativ retning, se figur.4. Øvelse 7-3 Figur.4-3 f (x) g(x)=f (x) 3 2 KAPITEL. FUNKTIONER OG DERES FORTEGN

11 Vi ser igen på en funktion f og en konstant k. Ud fra f og k danner vi nu en ny funktion g, som er fastlagt ved g(x)=f (x k) Grafen for den nye funktion g er en vandret parallelforskydning af grafen for f. For atindse dette, betragter vi figur.5. y =f (x )=g(x) k (x,y) x x=x +k f (x) Figur.5 Vandret parallelforskydning Kalder vi et vilkårligt punkt på grafen for g for (x,y), fremkommer dette punkt ved at parallelforskyde punktet (x,y) på grafen for f. Sammenhængen mellem de to punkters. koordinater er givet ved x =x +k x =x k Dermed er sammenhængen mellem g og f Altså har vi g(x)=f (x ) =f (x k) Sætning.2.2. Givet et tal k og en funktion f. Så vil grafen for funktionen g, der er udtrykt ved g(x)=f (x k) g(x) være en vandret parallelforskydning af grafen for f med værdien k..2 Parallelforskydninger 3

12 Eksempel 7 Parallelforskyder vi grafen for f (x)= x, x 0 med 2 i vandret retning, så fremkommer grafen for g(x)=f (x 2) = x 2, x Figur.6 f (x)= x g(x)= x 2 Grafenforh(x)= x+3fremkommervedatparallelforskydegrafenforf (x)med 3 i x-aksens negative retning, se figur.7. Øvelse Figur.7 h(x)= x+3 f (x)= x 4 KAPITEL. FUNKTIONER OG DERES FORTEGN

13 .3 Uligheder En ulighed er ligesom en ligning et taludtryk, der enten er sandt eller falsk. Ser vi på ulighederne 2<3 (S) 2>3 (F) ( ) så er den første ulighed sand (S), og den anden er falsk (F). Lægger vi nu 2til på begge sider af ulighedstegnet i ( ), så får vi 2<3 (S) 2>3 (F) 2+2<2+2 (S) 2+2>3+2 (F) Denne handling har ikke ændret på sandhedsværdierne i de to uligheder. Et til- svarenderesultatopnårvi,nårvitrækkerettalfrapåbeggesiderafulighedsteg- net. Derfor er det i almindelighed en lovlig handling at lægge tal til og trækketal fra på begge sider af ulighedstegnet i en ulighed. Forsøger vi os med multiplikation med tallet 2 på begge sider af ulighedstegnet i ( ), får vi 2<3 (S) 2>3 (F) 2 3<2 2 (S) 2 2>3 2 (F) hvilket viser, at multiplikation med positive tal på begge sider af ulighedstegnet er en lovlig handling. Ganger vi med tallet 0i( ), får vi 2<3 (S) 2>3 (F) 2 0<3 0 (F) 2 0>3 0 (F) Vi kan altså få noget sandt til at blive falsk ved denne handling, og det er ikke lovligt. Endelig forsøger os med multiplikation med tallet 2 på begge sider af ulighedstegnet i ( ) og får 2<3 (S) 2>3 (F) 2 ( 2)<3 ( 2) (F) 2 ( 2)>3 ( 2) (S).3 Uligheder 5

14 Herved får vi ombyttet sandhedsværdierne. Så hvis vi multiplicerer med tallet 2 på begge sider af ulighedstegnet i ( ) og samtidig vender ulighedstegnet 2<3 (S) 2>3 (F) 2 ( 2)>3 ( 2) (S) så bevarer vi sandhedsværdierne af ulighederne. 2 ( 2)<3 ( 2) (F) Division med tallet 0er ikke defineret, men division med etpositivt tal påbegge sider af ulighedstegnet er en lovlig handling. Tilsvarende er det en lovlig handling at dividere med et negativt tal på begge sider af ulighedstegnet, når vi samtidigt vender ulighedstegnet. Den type af uligheder, vi beskæftiger os med, er åbne udsagn, hvori indgår et (eller flere) ukendte tal, som vi skal bestemme. F.eks. en ulighed udtrykt ved 2x+3<9 Ved løsning af uligheder benytter vi følgende grundlæggende regler. Regler til løsning af uligheder Vi må lægge et taltil eller trækkeet tal frapå begge sider af ulighedstegnet. Vi må gange eller dividere med et positivt tal på begge sider af ulighedstegnet. Vi må gange eller dividere med et negativt tal på begge sider af ulighedstegnet, når vi samtidig vender ulighedstegnet. ( ) Vi løser uligheden ( ) ved brug af ovenstående regler 2x+3<9 2x <6 x <3 Alletal,der ermindreend3,vilsåledes gøre( ) sand. Løsningertiluligheder er ofte et eller flere intervaller. 6 KAPITEL. FUNKTIONER OG DERES FORTEGN

15 Eksempel 8 Vi løser uligheden 3x 5 8 3x 3 x Eksempel 9 Vi vil bestemme definitionsmængden for funktionen f (x)= 2x 6 Funktionen f er kun defineret, når Altså er Dm(f )=[3; [ 2x+6 0 x 3 Øvelse9, Øvelse0, Øvelse Når en funktion er voksende, betyder det, at dens funktionsværdier f (x) vokser med voksende x. Mere præcist definerer vi Definition 3. Givet en funktion f. Så er f voksende, når det for alle x og x 2 i Dm(f ) gælder, at f (x 2 )>f (x ) netop når x 2 >x f (x 2 ) f (x ) x Figur.8 x 2 f.3 Uligheder 7

16 Som bekendt er titalslogaritmen log en voksende funktion. Detbetyder,atviforpositivetal x og x 2 har x 2 >x log(x 2 )>log(x ) log(x 2 ) log(x ) x Figur.9 Det er altså en gyldig handling at tage logaritmen til tallene på begge sider af ulighedstegnet i en ulighed, når tallene iøvrigt er positive. Vi udnytter dette, når vi skal løse eksponentielle uligheder. Eksempel 0,5 x >2 2,5 x log(,5 x )>log(2 2,5 x ) xlog(,5)>log(2)+xlog(2,5) x(log(,5) log(2,5))>log(2) log(2) x< log(,5) log(2,5) x<,3569 (da log(,5)-log(2,5)<0) Tegner vi graferneforfunktionerne f (x)=,5 x og g(x)=2 2,5 x,36 g(x)=2 2,5 x f (x)=,5 x Figur.0 aflæser vi, at f (x)>g(x) netop når x<,36. Øvelse 2, Øvelse 3 8 KAPITEL. FUNKTIONER OG DERES FORTEGN x 2 log

17 En funktion kalder vi aftagende, når dens funktionsværdier f (x) aftager med voksende x. Mere præcist definerer vi Definition 4. Givet en funktion f. Så er f aftagende, når det for alle x og x 2 i Dm(f ) gælder, at f (x 2 )<f (x ) netop når x 2 >x f f (x ) f (x 2 ) x Figur. Vi kan dermed også anvende en aftagende funktion på tallene på begge sider af ulighedstegnet i en ulighed, når vi samtidig vender ulighedstegnet. Eksempel Vi vil løse uligheden x 3 2 >8 Da eksponenten i den potensielle funktion f (x)=x 2 3 er negativ, er f aftagende. Vi får x 3 2 >8 (x 3 2 ) 2 3 <8 2 3 x< ( 3 8) 2 Øvelse 4 x< 4 x 2.3 Uligheder 9

18 .4 Uligheder og fortegnsvariation Ser vi pågrafen forfunktionen f på nedenstående figur y =f (x) x x Figur.2 kan vi se, at funktionsværdierne f (x) er negative, når grafen ligger under x-aksen. Det betyder, at Tilsvarende har vi, at og f (x)<0, nårx<x f (x)>0, nårx>x f (x)=0, nårx =x Vi kan beskrive denne fortegnsvariation for f i et fortegnsskema Øvelse 5 Eksempel 2 x f (x) x 0 + Fortegnsvariationen for en funktion f er givet ved fortegnsskemaet x f (x) Ud fra fortegnslinjen kan vi aflæse løsningen til uligheden f (x) 0 20 KAPITEL. FUNKTIONER OG DERES FORTEGN f

19 Vi får x [ 3;5] eller 3 x 5. En mulig graffor f er vist i figur.3. Eksempel 3 Figur.3 Af det følgende fortegnsskema for funktionen g x g(x) + aflæser vi løsningen af uligheden til Uligheden har løsningerne g(x)>0 0 x ] ;[ ]4;5[ ]5; [. g(x) 0 x [;4] {5} Figur.4 viser en mulig graffor g 4 Figur f f.4 Uligheder og fortegnsvariation 2

20 Øvelse 6 Når vi kender en funktions fortegnsskema, ved vi også, hvornår grafen forløber over x-aksen og under x-aksen. x f (x) Figur En graf,som vi kan tegne ud i ét uden at løfte blyanten, beskriver vi som sammenhængende. Når en graf er sammenhængende, kan vi altid forbinde to punkter på grafen uden at løfte blyanten, hvilket betyder, at vi ikke springer y-værdier over. Vi indfører senere nogle egenskaber ved en funktion, som sikrer, at funktionens graf er sammenhængende. Når grafen for en funktion er sammenhængende, må grafen passere et nulpunkt på x-aksen, for at funktionen skifter fortegn, da vi ikke kan forbinde et punkt over x-aksen med et punkt under x-aksen, uden at forbindelsen skærer x-aksen. Kender vi forskriften for en funktion, hvis graf er sammenhængende, kan vi derfor bestemme fortegnsvariationen for funktionen ved først at bestemme nulpunkterne. Herefter kan vi ved talindsættelse fastlægge fortegnet i intervallerne mellem hvert nulpunkt. Eksempel 4 For funktionen f (x)=x 2 4 er nulpunkterne bestemt ved x 2 4=0 x 2 =4 x =±2 Det foreløbige fortegnsskema er derfor x f (x) Grafen for f er en parabel, så grafen er sammenhængende, og funktionens for- 22 KAPITEL. FUNKTIONER OG DERES FORTEGN

21 tegn er det samme i hvert af de tre intervaller, der omgiver de to nulpunkter. Dermed kan vi bestemme fortegnsvariationen ved simpel udregning af en tilfældig funktionsværdi i hvert delinterval. Vi vælger x = 3, x =0 og x=3og finder f ( 3)=5 >0 f (0)= 4 <0 f (3)=5 >0 Hermed har vi fastlagt fortegnsvariationen for f x f (x) Ønsker vi at løse uligheden f (x)> aflæser vi løsningen af fortegnsskemaet til Eksempel 5 x ] ; 2[ ]2; [ For funktionen f (x)= x 2 x+6skal vi løse uligheden f (x)>0. Først bestemmer vi nulpunkterne f (x)=0 x 2 x+6=0 x= ±5 2 = 3 2 f Figur.6 d =b 2 4ac=( ) 2 4 ( ) 6=25 Dernæst fastlægger vi fortegnsvariationen for f ved hjælp af en tabel med funktionsværdier, et såkaldt sildeben. x 3 f (x) x f (x) Af fortegnsskemaet forf aflæser vi nuløsningen til uligheden f (x)>0. Vi får løsningsintervallet x ] 3;2[.4 Uligheder og fortegnsvariation 23

22 Eksempel 6 Vi skal bestemme definitionsmængden for f (x)= x 2 9 Da f kun er defineret, når x 2 9 0, bestemmer vi først nulpunkterne for udtrykket x 2 9. x 2 9=0 x=±3 Dernæst fastlægger vi fortegnsvariationen forx 2 9vedhjælp af et sildeben. x x x x Da vi søger løsningen til uligheden x 2 9 0, finder vi af fortegnsskemaet Dm(f )=] ; 3] [3; [ Øvelse 7, Øvelse 8, Øvelse 9 Visse funktioners grafer er ikke sammenhængende, men består af flere sammenhængende dele. Det gælder specielt for funktionerne f og g, hvis grafer er vist i figur.7.hverken f eller g er defineret i x =x. x f Figur.7 Af fortegnsskemaerne x f (x) x. + g x g(x) + x x. ser vi, at funktionerne skifter fortegn, når x-værdierne passerer det tal x, hvori 24 KAPITEL. FUNKTIONER OG DERES FORTEGN

23 funktionen ikke er defineret. For de funktioner, vi normalt arbejder med, vil funktionerne kun skifte fortegn, når x-værdierne enten passerer et nulpunkt, eller når x-værdierne passerer et punkt, hvori funktionen ikke er defineret. Eksempel 7 Ud fra nedenstående graf 3 2 kan vi dannefortegnsskemaet for f. Løsningen til uligheden bliver hermed Eksempel 8 x 3 2 f (x) f (x) 0 Givet funktionen x [ 3;2[ [;3] f (x)= x+4 x 2, x 2 Vi vil løse uligheden f (x)>0. Figur.8 Først bestemmer vi eventuelle nulpunkter f (x)=0 x+4=0 x= f Uligheder og fortegnsvariation 25

24 Ved brug af et sildeben finder vi fortegnsvariationen x f (x) Heraf aflæser vi løsningen til uligheden f (x)>0 x ] ; 4[ ]2; [ Grafen fremgår af figur.9. Øvelse x Figur.9 26 KAPITEL. FUNKTIONER OG DERES FORTEGN f f (x) 0,4-2 7