Matematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1)

Transkript

1 Matematik B2 Mike Auerbach (2) f a b ()

2 Matematik B2. udgave, 205 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet vha. tekstformateringsprogrammet LATEX, se og De anvendte skrifttyper er Utopia Regular og Roboto Condensed. Figurer og diagrammer er fremstillet i pgf/tikz, se Disse og andre noter kan downloades fra cbna

3 Forord Disse noter er skrevet til undervisning i matematik på stx. Indholdet dækker det andet år i et studieretningsforløb på B-niveau. Det har ikke været tanken, at noterne absolut skal læses kronologisk; der er dog enkelte af kapitlerne, der hænger naturligt sammen. Noterne er opbygget således, at i. definitioner og sætninger er fremhævet med en grå linje, ii. blå tekst er (klikbare) henvisninger, iii. afslutningen på et bevis er markeret med, og iv. afslutningen på et eksempel er markeret med. Mike Auerbach Odense, 205 3

4

5 Indhold Differentialregning 7. Den afledte funktion Diverse afledte funktioner Sum og differens Produkt, sammensat funktion og kvotient Tangentligninger Monotoniforhold og ekstrema Optimering Væksthastighed Deskriptiv statistik Ugrupperet statistik Middelværdi og spredning Kvartilsæt Afbildninger Grupperet statistik Middelværdi og spredning Afbildninger Integralregning Stamfunktioner Det ubestemte integral Regneregler Bestemmelse af stamfunktioner Bestemte integraler Arealer under grafer Arealer mellem grafer Sandsynlighedsregning Udfald, hændelser og stokastiske variable Diskrete sandsynlighedsfordelinger Kontinuerte sandsynlighedsfordelinger Binomialfordelingen Binomialkoefficienten Binomialfordelingen Middelværdi og spredning Normalfordelingen 79 7 Hypotesetest Statistiske test Fordelingen af Q-værdier Goodness of fit Test for uafhængighed Valg af test Konklusioner på hypotesetests.. 89 A Mængdelære 9 A. Mængder A.2 Mængdebygger A.3 Intervaller A.4 Mængdeoperationer A.5 Relationer mellem mængder B Flere afledte funktioner 97 C Grænseværdier og differentiabilitet 0 C. Grænseværdier C.2 Kontinuitet C.3 Differentiabilitet Bibliografi 07 Indeks 08 5

6

7 Differentialregning Differentialregning er en gren af matematikken, der beskæftiger sig med at finde ud af, hvor hurtigt en funktion f (x) vokser for en bestemt værdi af x. Én måde at se på dette på er ved at undersøge, hvor stejl grafen er i punktet (x, f (x)). Det typiske mål for»stejlhed«er hældningskoefficienten; men da det kun er rette linjer, der har hældningskoefficienter, skal man altså på en eller anden måde have omsat grafens forløb i punktet (x, f (x)) til en ret linje, man kan finde hældningen af. (2) Hvis funktionens graf er pæn og glat, kan man i hvert punkt tegne en ret linje, der flugter med grafen i dette punkt. En sådan linje kaldes en tangent. En illustration af dette kan ses på figur.. Eksempel. Her ses på funktionen f (x) = 3x Grafen for denne funktion går gennem punktet P(5,82). I dette punkt har grafen en tangent, se figur.2. Tangentens hældning i dette punkt kaldes f (5). Hvis man på forhånd ved, at f (5) = 30, så kan man finde frem til en ligning for tangenten. Tangenten er en ret linje, så den har ligningen y = ax +b. Når man ved at f (5) = 30, ved man også at ligningen er y = 30x + b. Tangentens røringspunkt er punktet P(5,82), derfor er () Figur.: I hvert punkt på grafen kan der tegnes en tangent. Her er nogle af tangenterne illustreret med linjestykker. (2) 82 = b b = = 68. Tangenten til grafen i punktet P(5,82) har altså ligningen y = 30x P f (5) = 30 I eksemplet ovenfor ser man, at man kan finde en ligning for en given tangent, hvis man i forvejen kender tangentens hældning. Det store spørgsmål er nu, hvordan man finder frem til denne hældning. Man kan selvfølgelig forestille sig, at man efter bedste evne tegner tangenten og derefter aflæser hældningen; men det kan næppe kaldes en præcis metode. 0 5 () Figur.2: Punktet P er tangentens røringspunkt, så P ligger både på grafen og tangenten. Punktet Q ligger kun på grafen, men dog tæt på tangenten.. Den afledte funktion Hvis der i ethvert punkt kan tegnes en tangent til grafen kan man ud fra funktionen f danne en ny funktion, hvis funktionsværdi er tangenthældningen i punkterne på grafen. Denne funktion kalder man den afledte 7

8 8 Differentialregning funktion, f (x). Værdien af f (x) for en bestemt værdi af x kaldes også differentialkvotienten til f (x). Det kan defineres helt præcist, hvad det betyder, at f er differentiabel. Her skal det blot bemærkes, at funktioner er differentiable, hvis deres grafer er kontinuerte (dvs. uden huller eller spring) og»glatte«. f (x + x) f (x) (2) x P x + x Afvigelse Q () Figur.3: Grafen for f går gennem punkterne P og Q. Q ligger ikke på tangenten, men det er tæt på, hvis x er lille. 2 Dette er en noget løs beskrivelse. Det, man i virkeligheden gør, er at se på det, man kalder grænseværdien af f x for x gående mod 0; det er nemlig en veldefineret matematisk størrelse. Denne formalisme springes dog over i denne omgang. Det viser sig, at man kan bestemme forskriften for f (x) alene ved at kende forskriften for f (x), det er altså ikke nødvendigt at tegne. Når man bestemmer f (x) ud fra f (x) siger man, at man differentierer funktionen. Det er ikke alle funktioner, der kan differentieres, men dem, man støder på i gymnasiet, kan som regel. En funktion, der kan differentieres kaldes en differentiabel funktion. For at bestemme tangenthældningerne i hvert eneste punkt på grafen, er det nødvendigt at se på grafens tangenter. Tangenterne til grafen for en funktion er rette linjer. For at bestemme hældningskoefficienten til en ret linje skal man bruge to punkter på linjen. Her løber man ind i det problem, at man kun kender ét punkt, nemlig det punkt P, hvor tangenten rører grafen. Da man ikke kender tangentens ligning, kan man ikke regne sig frem til et andet punkt. Det bedste, man kan gøre, er derfor at finde et andet punkt Q på grafen, som ligger tæt på tangentens røringspunkt P, se figur.3. Hvis man beregner tangentens hældning vha. punkterne P og Q, får man ikke den rigtige hældning, men man får et tal, der kan bruges som tilnærmelse. Jo mindre man gør x, dvs. jo tættere Q ligger på P, des bedre bliver tilnærmelsen, idet afvigelsen, som er markeret på figur.3 bliver mindre, jo mindre x er. En god tilnærmelse til tangentens hældning f (x), får man derfor ved at sige f (x) f x, hvor f = f (x + x) f (x), og x er lille. I virkeligheden vil man gerne gerne have en præcis værdi for tangenthældningen og ikke blot en tilnærmelse. Dette kan man opnå ved at gøre x så lille som overhovedet muligt, hvilket vil sige x = 0. Man kan dog ikke blot sætte x = 0, idet man så får f x og det giver ingen mening. = f (x + x) f (x) x f (x + 0) f (x) = = 0 0 0, Man gør derfor følgende: Man forkorter og omskriver brøken f x for at finde frem til et udtryk, hvor man godt kan sætte x = 0, uden at det giver noget meningsløst. Man prøver altså at finde ud af, om der findes et tal, som f x skulle give, hvis man godt måtte sætte x = 0. Man siger her, at man undersøger værdien af f x, når x går mod 0. Dette tal defineres til at være tangentens hældning, f (x). 2 Eksempel.2 Grafen for f (x) = 3x går gennem punktet P(x, f (x)). Tangenten til grafen for f i dette punkt har hældningen f (x). For at beregne denne værdi finder man først en tilnærmelse til tangenthældningen ved hjælp af punkterne P og Q, se figur.4.

9 . Den afledte funktion 9 Punktet Q har koordinaterne Q(x + x, f (x + x)), så f bliver: f = f (x + x) f (x) = (3 (x + x) 2 + 7) (3x 2 + 7) = 3x x x + 3 ( x) 2 3x 2 7 = 6 x x + 3 ( x) 2 Derefter dividerer man dette med x for at finde en tilnærmelse til f (x): f x = 6 x x + 3 ( x)2 x = 6x + 3 x. Dvs. tangenthældningen i punkt P(x, f (x) er ca. 6x + 3 x. (2) Jo mindre x er, jo tættere kommer dette udtryk på den egentlige tangenthældning. Og jo mindre x er, jo tættere kommer 6x + 3 x på 6x. f (x + x) Q Man kan derfor konkludere, at for funktionen f (x) = 3x er f (x) = 6x. f (x) P Denne metode kan sammenfattes i følgende definition: Definition. For en funktion f defineres den afledte funktion f (x), som den funktion, der opfylder f x f (x) når x 0, hvor f = f (x + x) f (x). x x + x () Figur.4: Punktet P er tangentens røringspunkt, så P ligger både på grafen og tangenten. Punktet Q ligger kun på grafen, men dog tæt på tangenten. Metoden, man bruger til at finde afledte funktioner, kan skrives op på følgende måde. ) Beregn f, og reducer så meget som muligt. 2) Beregn f x, og reducer så meget som muligt. 3) Bestem, hvad f x går mod, når x 0. Dette er f (x). Denne metode kaldes ofte for tre-trins-reglen. Begreber og notation Af definition. kan man læse, hvordan man finder frem til den afledte funktion f (x), som er den funktion, der angiver tangenthældningen i ethvert punkt på grafen for f (x). For at finde frem til den afledte funktion ser man på differenskvotienten 3 f x. Man undersøger, hvad der sker med denne størrelse, når x nærmer sig 0. 3 f x kaldes»differenskvotienten«, da f og x er differenser, og fordi resultatet af en division kaldes en kvotient. Fordi man lader x nærme sig 0 i differenskvotienten, kaldes resultatet også for en differentialkvotient i stedet for en afledt funktion. De to navne dækker ikke helt det samme. Den afledte funktion er rent faktisk en

10 0 Differentialregning funktion, mens ordet differentialkvotient bruges om funktionsværdien af f (x) i et bestemt punkt. Man vil dog nogle steder kunne se de to ord afledt funktion og differentialkvotient brugt som synonymer. 4 Bemærk, at d f er fuldstændigt det samme som f (x). Det betyder, at symbolet d f d x d x ikke skal forstås som en brøk; man kan altså ikke skille d f og d x ad. Idet differentialkvotienten bestemmes ud fra differenskvotienten f x benævnes den også somme tider d f d x.4 Følgende udsagn er altså fuldstændigt ækvivalente: ) Den afledte funktion af f (x) = 3x er f (x) = 6x. 2) Den afledte funktion af f (x) = 3x er d f d x = 6x. 3) Differentialkvotienten af f (x) = 3x er d f d x = 6x..2 Diverse afledte funktioner Nedenfor følger en udledning af, hvordan den afledte funktion ser ud for nogle simple funktioner. Sætning.2 Når f (x) = k, hvor k er en konstant, så er den afledte funktion f (x) = 0. Dette resultat følger af, at grafen for f (x) = k er en linje parallel med førsteaksen, dvs. en linje med hældning 0. Idet f (x) angiver tangenthældningen i et hvert punkt, og grafen for f har hældning 0, bliver f (x) = 0. Her følger dog alligevel et formelt bevis, hvor definition. anvendes: Bevis Hvis f (x) = k, bliver f = f (x + x) f (x) = k k = 0. Derfor er f x = 0 x = 0. Idet f x = 0, uanset hvilken værdi x har, vil der også gælde, at dvs. f 0, når x 0. x f (x) = 0. Sætning.3 Hvis f (x) = x, så er f (x) =. Grafen for f (x) = x er en ret linje med hældning. Heraf følger sætningen. Et formelt bevis med anvendelse af definition. overlades som en øvelse til læseren.

11 .2 Diverse afledte funktioner Sætning.4 Når f (x) = x 2 er den afledte funktion f (x) = 2x. Bevis Først beregnes Dernæst beregnes brøken f x f = f (x + x) f (x) = (x + x) 2 x 2 = x 2 + 2x x + ( x) 2 x 2 = 2x x + ( x) 2. f x = 2x x + ( x)2 x = 2x + x. Hvis x 0 vil dette udtryk gå mod 2x. Derfor er f (x) = 2x. Sætning.5 Når f (x) = x er den afledte funktion f (x) = x 2. Bevis For f (x) = x er Dvs. f = f (x + x) f (x) = x + x x x = x (x + x) x + x x (x + x) x = x (x + x). f x = x x (x+ x) = x Når x 0, vil dette udtryk nærme sig x (x + x). x (x+0) =, og derfor er x 2 f (x) = x 2. Sætning.6 Hvis f (x) = x, er den afledte funktion f (x) = 2 x. Bevis For f (x) = x er f = f (x + x) f (x) = x + x x

12 2 Differentialregning 5 Man forlænger med x + x+ x. Det viser sig nemlig, at man så kan udnytte regnereglen (a b)(a + b) = a 2 b 2. Dette udtryk kan man ikke umiddelbart skrive om, så der er ikke andet at gøre end at regne direkte på f x. Her viser det sig, at man kan gøre brug af en smart omskrivning: 5 f x + x x x = x ( )( ) x + x x x + x + x = x ( x + x + x ) ( ) 2 ( ) 2 x + x x = x ( x + x + x ) x + x x = x ( x + x + x ) x = x ( x + x + x ) =. x + x + x Tabel.: Diverse funktioner og deres afledte funktioner. f (x) f (x) k 0 x x 2 2x x 3 3x 2 x n nx n x x 2 x 2 x e x e kx a x ln(x) e x ke kx ln(a) a x x Dette udtryk vil nærme sig = x+0+ x 2, når x 0, dvs. x f (x) = 2 x. I tabel. kan man se nogle yderligere eksempler på, hvordan den afledte funktion ser ud for nogle bestemte funktioner. Eksempel.3 Ifølge sætning.6 er den afledte funktion af f (x) = x givet ved f (x) = 2 x. Idet f (x) giver hældningen på tangenterne til grafen, kan man f.eks. beregne, at tangenten i punktet P(4,2) har hældningen f (4) = 2 4 = 2 2 = 4. (2) y = 4 x + Dette kan ses på figur.5. Tangenten er altså en ret linje med ligningen y = 4 x + b. Hvis man er interesseret i at finde hele ligningen, kan dette gøres ved at indsætte røringspunktet P(4,2) i tangentens ligning: 2 f (x) = x P(4, 2) 2 = b b =. I punktet P(4,2) har grafen for f (x) = x altså en tangent med ligningen 4 () y = 4 x +, Figur.5: Grafen for f (x) = x har i punktet P(4,2) en tangent, som har ligningen y = 4 x +. hvilket også fremgår af figur.5.

13 .3 Sum og differens 3.3 Sum og differens Det viser sig, at for at finde den afledte funktion f af en given funktion f, er det ikke nødvendigt at anvende metoden fra foregående afsnit hver gang. Det er tilstrækkeligt at kende den afledte funktion for en række simple funktioner, som f.eks. dem fra afsnittet ovenfor. Der gælder nemlig nogle regneregler, som kan bruges, hvis man skal finde den afledte funktion af en funktion f, som er»bygget op af«simplere funktioner. Sætning.7 Hvis f (x) = c p(x), hvor c er en konstant, så er f (x) = c p (x). Bevis Når f (x) = c p(x) er Dvs. f = c p(x + x) c p(x) = c (p(x + x) p(x) ) = c p. f x = c p x = c p x. Lader man x 0, vil p x p (x), og dvs. c p x c p (x). Altså er f (x) = c p(x). Hvad dette resultat kan bruges til ses i dette eksempel. Eksempel.4 Ifølge sætning.4 er den afledte funktion af p(x) = x 2 givet ved p (x) = 2x. Men hvad er den afledte funktion af f (x) = 7x 2? Her kan man benytte sætning.7. Hvis f (x) = 7x 2, så er f (x) = c p(x), hvor c = 7 og p(x) = x 2. Da man allerede kender den afledte funktion af p(x) = x 2, får man ifølge sætning.7, at f (x) = c p (x) = 7 2x = 4x. Man kan altså finde den afledte funktion af f (x) = 7x 2, blot fordi man kender den afledte funktion af x 2. Eksempel.5 Skal man finde differentialkvotienten af f (x) = 4x 3, kan f (x) skrives som f (x) = 4 p(x), hvor p(x) = x 3. Et tabelopslag giver, at p (x) = 3x 2. Ifølge sætning.7 er f (x) = 4 p (x) = 4 3x 2 = 2x 2. Sætning.8 Hvis en funktion er givet ved f (x) = p(x)+q(x), er f (x) = p (x)+q (x).

14 4 Differentialregning Bevis Man anvender definition. og beregner først f = f (x + x) f (x) = ( p(x + x) + q(x + x) ) ( p(x) q(x) ) = p(x + x) p(x) + q( x) q(x) = p + q. Herefter får man f x = p + q x = p x + q x. Lader man nu x 0, vil p x p (x) og q x q (x), hvilket betyder, at f (x) = p (x) + q (x). Sætning.9 Hvis f (x) = p(x) q(x), så er f (x) = p (x) q (x). Denne sætning minder meget om sætning.8, og beviset kan gennemføres på tilsvarende måde. Eksempel.6 Sætningerne.7,.8 og.9 kan anvendes i kombination til at differentiere lidt mere komplicerede funktionsudtryk. Funktionen f (x) = 4x 2 + 5ln(x) 3x er f.eks. sat sammen af de mere simple udtryk x 2, ln(x) og x, som alle kan findes i tabel.. Bruger man sætning.8 og.9 får man, at f (x) = ( 4x 2) + (5ln(x)) (3x). Herefter kan man bruge sætning.7, så f (x) = 4 (x 2) + 5 (ln(x)) 3 (x). De afledede funktioner for x 2, ln(x) og x, slår man nu op i tabellen. Man får så f (x) = 4 2x + 5 x 3, hvilket kan reduceres til f (x) = 8x + 5 x 3..4 Produkt, sammensat funktion og kvotient Ser man på de sætninger, der ind til nu er bevist, kunne man få den tanke, at man altid blot kan differentiere enkeltdele af et funktionsudtryk hver for sig. Dette er dog på ingen måde tilfældet, hvilket næste sætning viser.

15 .4 Produkt, sammensat funktion og kvotient 5 Sætning.0 (Produktreglen) Hvis en funktion er givet ved f (x) = p(x) q(x), er f (x) = p (x) q(x) + p(x) q (x). Bevis Når f (x) = p(x) q(x), er f = f (x + x) f (x) = p(x + x) q(x + x) p(x) q(x). For at omskrive dette udtryk, så det indeholder både p og q bruger man et trick: Man trækker leddet p(x) q(x + x) fra og lægger det herefter til igen. Herved ændrer man nemlig ikke noget: f = p(x + x) q(x + x) p(x) q(x) = p(x + x) q(x + x) p(x) q(x + x) + p(x) q(x + x) p(x) q(x) }{{} summen af disse to led er 0 Herefter kan man sætte uden for parentes, så f = ( p(x + x) p(x) ) q(x + x) + p(x) (q(x + x) q(x) ) = p q(x + x) + p(x) q. Så bliver f x = p q(x + x) + p(x) q x = p q q(x + x) + p(x) x x. Lader man nu x 0, vil Samlet set får man derfor p x p (x) q(x + x) q(x) p(x) p(x) q x q (x). f (x) = p (x) q(x) + p(x) q (x). Eksempel.7 Skal man finde differentialkvotienten af f (x) = x ln(x), skriver man f (x) som f (x) = p(x) q(x), hvor p(x) = x, q(x) = ln(x). Tabelopslag giver, at Sætning.0 giver så p (x) = 2 x, q (x) = x. f (x) = p (x) q(x) + p(x) q (x) = 2 x ln(x) + x x.

16 6 Differentialregning Dette kan så reduceres yderligere til f (x) = ln(x) 2 x + f (x) = ln(x) + 2 x 2. x Den næste sætning handler om sammensatte funktioner. Det er funktioner, der kan beskrives som en»funktion af en funktion«. Herved forstås funktioner som f (x) = (ln(x)) 2, g (x) = x 3 + 4, h(x) = e 6x+x2, k(x) = ln(x 2 + e x ). 6 Funktionen f er f.eks. sammensat af en indre funktion, som er q(x) = ln(x), og en ydre funktion, som er p(q) = q 2, fordi ln(x) er opløftet i 2. potens. Når man skal differentiere en sådan funktion, skal man opdele i en ydre funktion og en indre funktion. 6 Fremgangsmåden ved differentiation er angivet i følgende sætning. Sætning. (Kædereglen) Hvis en sammensat funktion f er givet ved f (x) = p(q(x)), så er den afledte funktion f (x) = p (q(x)) q (x). Bevis Hvis f (x) = p(q(x)), så bliver f x = f (x + x) f (x) x p(q(x + x)) p(q(x)) =. (.) x q er defineret ved q = q(x + x) q(x), hvilket giver q(x + x) = q(x) + q. Brøken i udtrykket (.) kan derfor omskrives til f x = p(q(x) + q) p(q(x)) x. Hvis man ikke skriver eksplicit, at q er afhængig af x kan dette også skrives som f p(q + q) p(q) =. x x Så længe q ikke er 0, kan man forlænge brøken med q, hvorved man får f x = p(q + q) p(q) q q x. (.2) De to faktorer på højre side af (.2) undersøges nu hver for sig. Brøken p(q+ q) p(q) q kan skrives som p q, hvor det er underforstået, at p er en funktion af q. Idet q = q(x + x) q(x), vil der gælde, at q 0, når x 0, hvilket betyder at p q p (q), når x 0.

17 .4 Produkt, sammensat funktion og kvotient 7 For brøken q x gælder, at q x q (x), når x 0. Samlet set får man altså fra ligningen (.2), at f x p (q) q (x), når x 0. Husker man nu, at q faktisk er en funktion af x, har man f (x) = p (q(x)) q (x). Eksempel.8 En funktion f er givet ved forskriften f (x) = x f kan altså skrives som f (x) = p(q(x)), hvor p(q) = q og q(x) = x Disse to funktioner kan differentieres vha. tabelopslag: p (q) = 2 q og q (x) = 2x. Sætning. giver, at f (x) = p (q(x)) q (x) = 2 q 2x ( ) = 2 x x Ved ( ) erstattes q med x 2 + 3, da q(x) = x Udtrykket kan reduceres yderligere, og man får f (x) = 2 x x = x x Eksempel.9 En funktion f er givet ved forskriften f (x) = e x2. For at differentiere f skrives f (x) = p(q(x)), hvor p(q) = e q, q(x) = x 2. Tabelopslag giver Sætning. giver p (q) = e q, q (x) = 2x. f (x) = p (q(x)) q (x) = e q 2x = e x2 2x. Sætningerne.0 og. kan også bruges til at bevise en sætning om differentiation af kvotienter af funktioner. Der gælder nemlig følgende sætning.

18 8 Differentialregning Sætning.2 (Kvotientreglen) Hvis en funktion er givet ved f (x) = p(x) q(x), er f (x) = p (x) q(x) p(x) q (x) (q(x)) 2. Bevis f (x) = p(x) q(x) kan omskrives til f (x) = p(x) q(x). Dette er et produkt af to funktioner, dvs. ifølge sætning.0 er 7 Funktionsudtrykket q(x) kan siges at være sammensat af s(q) = q og q(x). Herefter bruger man, at s (q) = q 2. ( ) f (x) = p ( ) (x) q(x) + p(x) = p (x) q(x) q(x) + p(x). (.3) q(x) ( For at komme videre med dette bliver man nødt til at undersøge. q(x)) Her er der tale om den afledte af en sammensat funktion. Ved brug af sætning. får man så 7 ( ) = q(x) q(x) 2 q (x). Indsætter man nu dette resultat i (.3), får man ( f (x) = p (x) q(x) + p(x) ) q(x) 2 q (x) = p (x) q(x) p(x) q (x) q(x) 2 = p (x) q(x) q(x) 2 p(x) q (x) q(x) 2 = p (x) q(x) p(x) q (x) q(x) 2. Eksempel.0 Lad f (x) = x2 e. Differentialkvotienten f (x) findes ved at skrive f (x) = x p(x) q(x), hvor p(x) = x 2, q(x) = e x. Tabelopslag giver Sætning.2 giver, at p (x) = 2x, q (x) = e x. f (x) = p (x) q(x) p(x) q (x) (q(x)) 2 = 2x e x x 2 e x (e x ) 2. Dette kan så reduceres yderligere til f (x) = 2x x2 e x.

19 .4 Produkt, sammensat funktion og kvotient 9 Der findes funktioner, hvor det ikke er nok at bruge en enkelt af regnereglerne i sætningerne.0,. og.2. Nogle gange er det nødvendigt at kombinere dem. Her følger derfor et»vildt«eksempel: Eksempel. En funktion er givet ved forskriften f (x) = Hvordan differentieres denne funktion? Først skrives f (x) = p(q(x)), hvor x2 ln(x), x >. p(q) = q, q(x) = x 2 ln(x). Her er det nemt nok at differentiere p(q), men hvad med q(x)? Denne deles yderligere op: q(x) = s(t(x)), hvor s(t) = t, t(x) = x 2 ln(x). Nu består problemet i at differentiere t. Dette kan gøres ved at skrive t som t(x) = n(x) m(x), n(x) = x 2, m(x) = ln(x). Her er n (x) = 2x, m (x) = x. Ifølge sætning.0 vil man så få t (x) = n (x) m(x) + n(x) m (x) = 2x ln(x) + x 2 x. Dette kan reduceres til t (x) = 2x ln(x) + x. Nu har man alt det, man skal bruge, og man kan begynde at arbejde sig tilbage gennem de mange delfunktioner: q (x) = s (t(x)) t (x) = 2 t (2x ln(x)+ x) = 2 (2x ln(x)+ x). x 2 ln(x) Dette kan reduceres til Til sidst kan man derfor finde q 2x ln(x) + x (x) = 2. x 2 ln(x) f (x) = p (q(x)) q (x) = 2x ln(x) + x q2 2 x 2 ln(x) 2x ln(x) + x = ( ) 2 x2 ln(x) 2 x 2 ln(x) Dette kan så til sidst reduceres til f 2ln(x) + (x) = 2x 2 ln(x) ln(x).

20 20 Differentialregning Ved hjælp af sætningerne.7.2 og tabelopslag kan man differentiere en hvilken som helst funktion. Afsnittet her afsluttes derfor med en opsummering af disse sætninger: Sætning.3 Følgende regneregler kan anvendes til bestemmelse af en afledt funktion: f (x) = c p(x) f (x) = c p (x). f (x) = p(x) + q(x) f (x) = p (x) + q (x). f (x) = p(x) q(x) f (x) = p (x) q (x). f (x) = p(x) q(x) f (x) = p (x) q(x) + p(x) q (x). f (x) = p(q(x)) f (x) = p (q(x)) q (x). f (x) = p(x) q(x) f (x) = p (x) q(x) p(x) q (x) q(x) 2..5 Tangentligninger Den afledte funktion giver tangenthældningen i et vilkårligt punkt på grafen. Har man en tangenthældning og et punkt, kan man bestemme en ligning for tangenten. Her følger et par eksempler. Eksempel.2 Funktionen f (x) = x 2 +4x+6 har en tangent i punktet P(, f ( )). Hvad er tangentens ligning? (, 3) (2) () Figur.6: Grafen for f (x) = x 2 +4x+6 har en tangent med ligningen y = 2x +5 i punktet P(,3). Tangenten er en ret linje, så den har ligningen y = ax + b. Dvs. man skal altså bestemme de to tal a og b for at kunne skrive ligningen op. a er tangentens hældning, og den er givet ved f (x), derfor bestemmer man først f (x): f (x) = 2x = 2x + 4. Førstekoordinaten til punktet er x 0 =, derfor er tangentens hældning f ( ) = 2 ( ) + 4 = 2, og tangentens ligning er altså y = 2x + b. For at kunne bestemme hele ligningen skal man kende det punkt, i hvilket tangenten rører grafen. Førstekoordinaten er x 0 =, andenkoordinaten er y 0 = f ( ) = ( ) ( ) + 6 = = 3. Tangentens røringspunkt er derfor (, 3). Dette punkt indsættes i tangentens ligning, dvs. 3 = 2 ( ) + b b = 5. Altså er tangentens ligning y = 2x + 5. Grafen og tangenten kan ses på figur.6.

21 .5 Tangentligninger 2 Eksempel.3 Funktionen g (x) = 3x + ln(x) har en tangent i punktet P(, f ()). For at bestemme tangentens ligning, bestemmer man først Tangentens hældning er så og ligningen er y = 4x + b. g (x) = 3 + x. a = f () = 3 + = 4, For at bestemme b udregner man andenkoordinaten til røringspunktet y 0 = f () = 3 + ln() = 3, og dette tal sættes sammen med x 0 = ind i tangentens ligning: Altså er tangentens ligning 3 = 4 + b b =. y = 4x. Som det ses af de to forrige eksempler, bruger man samme fremgangsmåde, hver gang man skal bestemme en tangentligning i et punkt. Der kunne derfor måske være en fordel i at samle hele proceduren i én formel. Dette er gjort i følgende sætning. Sætning.4 Lad der været givet en funktion f (x). Tangenten til grafen for f i punktet P(x 0, f (x 0 )) har da ligningen y = f (x 0 ) (x x 0 ) + f (x 0 ). Bevis Tangenten er en ret linje, så den har ligningen y = ax + b. Da f (x) giver tangenthældningen, og tangenten rører grafen i P(x 0, f (x 0 )), må tangentens hældning være a = f (x 0 ). Tangentens ligning kan altså skrives som y = f (x 0 ) x + b. (.4) For at bestemme skæringen med andenaksen, b, indsættes det kendte punkt 8 P(x 0, f (x 0 )) i tangentens ligning, som så løses for b: f (x 0 ) = f (x 0 ) x 0 + b b = f (x 0 ) x 0 + f (x 0 ). 8 Husk, at både grafen for f og tangenten går gennem P(x 0, f (x 0 )), dvs. dette punkt skal passe ind i tangentens ligning. Dette udtryk for b sættes ind i tangentligningen (.4), og man får y = f (x 0 ) x f (x 0 ) x 0 + f (x 0 ), som ved at sætte uden for parentes kan skrives som y = f (x 0 ) (x x 0 ) + f (x 0 ).

22 22 Differentialregning Her følger et par eksempler på anvendelsen af formlen. Eksempel.4 Funktionen f (x) = 3x 2 +0 har en tangent i punktet P(5, f (5)). For at bestemme tangenten benyttes formlen y = f (x 0 ) (x x 0 ) + f (x 0 ) med x 0 = 5, dvs. y = f (5) (x 5) + f (5). Før formlen kan bruges, skal man kende f (x): f (x) = 3 2x + 0 = 6x. Herefter beregner man f (5) = 6 5 = 30 f (5) = = 85. Ved indsættelse i formlen fås ligningen y = 30 (x 5) + 85, som reduceres til y = 30x 65. Eksempel.5 Funktionen g (x) = (7x + ) e x har en tangent i punktet P(0, g (0)). Tangenten har ligningen y = g (0) (x 0) + g (0) = g (0) x + g (0). 9 Funktionen differentieres vha. produktreglen, sætning.0. Nu finder man 9 g (x) = 7 e x + (7x + ) e x = (7x + 8) e x. Dvs. g (0) = ( ) e 0 = 8 = 8 g (0) = (7 0 + ) e 0 = =. Indsætter man dette i udtrykket ovenfor, når man frem til ligningen y = 8x +.

23 .5 Tangentligninger 23 Bestemmelse af røringspunkter Hvis man kender forskriften for en funktion og et punkt på grafen, kan man bestemme en ligning for tangenten til grafen i dette punkt. Men det er også muligt at regne den anden vej: Hvis man kender tangenten, kan man finde røringspunktet. I dette afsnit bliver der vist nogle eksempler Eksempel.6 En funktion er givet ved forskriften f (x) = x 2 + 3x +. Grafen for funktionen har en tangent med ligningen y = x + 2, hvor på grafen er røringspunktet for denne tangent? (2) Den afledte funktion er f (x) = 2x + 3, (,3) og den giver tangenthældningen i ethvert punkt på grafen. Den tangent, man kender ligningen for, har hældningen, dvs. f (x) = i røringspunktet. Det giver ligningen () 2x + 3 = x =. Tangentens røringspunkt ligger altså ud for på førsteaksen. Nu mangler man blot andenkoordinaten, som er Figur.7: Tangenten y = x + 2 rører grafen for f (x) = x 2 + 3x + i punktet (,3). f () = = 3. Røringspunktet har altså koordinaterne (,3), se figur.7. Eksempel.7 Funktionen f er givet ved f (x) = x 4 x + 3, x > 0. Grafen for f har en tangent med hældning 2. Hvor er denne grafs røringspunkt, og hvad er tangentens ligning? Da det er f (x), der er tangenthældningen, skal man her finde ud af, hvornår f (x) = 2. Først finder man derfor f (x), f (x) = + 4 x 2, x > 0. Herefter løser man ligningen f (x) = 2, + 4 x 2 = 2 4 x 2 = x = 2 x = 2. Der er to løsninger til ligningen, men da f (x) kun er defineret for x > 0, kasseres den negative løsning. Den søgte førstekoordinat til røringspunktet er så x = 2. Andenkoordinaten til røringspunktet er f (2) = = 3,

24 (2) 24 Differentialregning 2 (2, 3) () og røringspunktet har altså koordinaterne (2,3), se figur.8. Tangentens ligning er ifølge sætning.4 givet ved y = f (2) (x 2) + f (2), Figur.8: Grafen for f (x) = x x har en tangent med hældning 2 i punktet (2,3). men da man allerede kender tangentens hældning f (2) = 2 og har beregnet f (2) = 3, bliver denne ligning til y = 2 (x 2) + 3, som kan reduceres til y = 2x. Eksempel.8 Grafen for funktionen f (x) = x 3 3x 2 2x+5 har to tangenter med hældningen 3. Hvad er røringspunkterne for disse tangenter? Tangenternes hældning er 3, dvs. f (x) = 3. For at løse denne ligning skal man først bestemme f (x), f (x) = 3x 2 3 2x 2 = 3x 2 6x 2. Ligningen f (x) = 3 er derfor andengradsligningen 3x 2 6x 2 = 3 3x 2 6x 24 = 0. Løser man denne ligning, finder man løsningerne x = 2 x = 4. De to røringspunkter er altså ( 2, f ( 2)) og (4, f (4)). De to andenkoordinater kan nu bestemmes, f ( 2) = ( 2) 3 3 ( 2) 2 2 ( 2) + 5 = 27 f (4) = = 63. De to røringspunkter er altså ( 2,27) og (4, 63). I disse to punkter har grafen for f tangenter med hældning 3. Hvis man er interesseret i at finde ligningerne for disse to tangenter kan det gøres på samme måde som i eksempel.7. Eksempel.9 I eksempel.8 så man, at grafen for f (x) = x 3 3x 2 2x + 5 havde to tangenter med hældning 3. Findes der en hældning a, så grafen har præcis én tangent med denne hældning? Dette spørgsmål er lidt mere komplekst, men idet man finder røringspunkter for tangenterne ved at løse ligningen f (x) = a for en bestemt hældning a, kan spørgsmålet oversættes til det følgende: Findes der et tal a, så ligningen f (x) = a (.5) har præcis én løsning?

25 .5 Tangentligninger 25 Fra eksempel.8 har man, at så ligningen (.5) bliver f (x) = 3x 2 6x 2. 3x 2 6x 2 = a 3x 2 6x 2 a = 0. Dette er en andengradsligning. Hvis denne ligning skal have præcis én løsning skal dens diskriminant være lig 0. Diskriminanten for denne ligning bliver 0 0 husk, at diskriminanten er d = B 2 4AC, hvor A, B og C er ligningens koefficienter. d = ( 6) ( 2 a) = 36 2 ( 2 a) = a. (De skrives her som A, B og C, fordi koefficienten til andengradsleddet ikke må hedde a, da det er tangentens Hvis dette skal give 0, skal hældning.) a = 0 2a = 288 a = 24. Der findes altså præcis én tangent til grafen med hældning a = 24. Faktisk kan man ved at se nærmere på diskriminanten konstatere, at hvis a > 24 findes der to tangenter med hældningen a; mens der ingen tangenter findes med hældningen a, hvis a < 24. Eksempel.20 I dette eksempel ses på grafen for funktionen f (x) = x 2 + 3x + 6. Hvor mange af grafens tangenter går også gennem punktet P(2,7)? At svare på dette spørgsmål er ikke helt simpelt, idet punktet P ikke ligger på grafen. På figur.9 kan man se et billede af situationen; her kan man også se, at der er to tangenter til grafen for f, der går gennem P. Ifølge sætning.4 er tangentens ligning y = f (x 0 ) (x x 0 ) + f (x 0 ). Problemet består nu i at finde frem til røringspunkterne for de tangenter, der går gennem P(2,7). Røringspunktet er defineret ud fra dets førstekoordinat x 0 ; men den kender man ikke. 0 (2) P(2, 7) () Figur.9: Grafen for f (x) = x 2 + 3x + 6 har to tangenter, der går gennem P(2,7). Til gengæld ved man, at tangenterne går gennem P(2,7), så disse koordinater skal passe ind i tangentens ligning, dvs. man har 7 = f (x 0 ) (2 x 0 ) + f (x 0 ). (.6) For at kunne komme videre med denne ligning er det nødvendigt at kende f (x), som findes ved at differentiere f, f (x) = 2x + 3. Dette kan sammen med funktionens forskrift indsættes i ligningen (.6), så man får ligningen som kan reduceres til 7 = (2x 0 + 3) (2 x 0 ) + (x x 0 + 6), 7 = 2x 0 + x x x 0 + 6,

26 26 Differentialregning der igen kan reduceres, så man ender med andengradsligningen Denne ligning har løsningen x 2 0 4x 0 5 = 0. x = x = 5. Idet der er to røringspunkter, er der altså to tangenter. Røringspunkternes andenkoordinater og tangenternes ligninger kan herefter bestemmes ved at gå frem som i eksempel.4..6 Monotoniforhold og ekstrema Hvis en funktion opfører sig på den måde, at funktionsværdien bliver større, når den uafhængige variabel bliver større, kalder man den for en voksende funktion. Forholder det sig til gengæld sådan, at funktionsværdien bliver mindre, når den uafhængige variabel bliver større, kaldes funktionen aftagende. Formelt har man følgende definition, Definition.5 Lad en funktion f være defineret på et interval. ) Hvis der for ethvert sæt af to vilkårlige tal x, x 2 i intervallet gælder x x 2 f (x ) f (x 2 ), kaldes funktionen voksende i intervallet. 2) Hvis der for ethvert sæt af to vilkårlige tal x, x 2 i intervallet gælder x x 2 f (x ) f (x 2 ), kaldes funktionen aftagende i intervallet. Eksempel.2 Grafen for funktionen f (x) = 2x + er en ret linje med positiv hældning. Denne funktion er derfor voksende. En ret linje med negativ hældning er omvendt grafen for en aftagende funktion (det kunne f.eks. være f (x) = 4x + 3). En funktion, der er enten voksende overalt eller aftagende overalt, kaldes en monoton funktion. Men det er ikke alle funktioner der er monotone. Der findes mange funktioner, som er voksende nogle steder og aftagende andre steder. Når man beskriver, hvor funktionen vokser, og hvor den aftager, siger man, at man beskriver funktionens monotoniforhold. En funktions monotoniforhold finder man ved at opdele førsteaksen i de intervaller, hvor funktionen er voksende, og de intervaller, hvor funktionen er aftagende.

27 .6 Monotoniforhold og ekstrema 27 Eksempel.22 På figur.0 kan man se grafen for funktionen f (x) = x 2 4x +. Der er også indtegnet et lodret linjestykke ud for x = 2. Man kan se, at på venstre side af linjestykket er funktionen aftagende, mens den er voksende på højre side. (2) x = 2 f () Funktionens monotoniforhold er så, at f (x) er aftagende, når x 2, og voksende, når x 2. I eksempel.22 blev monotoniforholdene bestemt ved aflæsning. Man kan altid tegne grafen for en given funktion og bestemme monotoniforholdene ved aflæsning, men det giver en begrænsning i præcision. Figur.0: Grafen for f (x) = x 2 4x +. Derfor kunne det være smart, hvis man i stedet kunne regne ud, hvor grafen skifter fra at være aftagende til at være voksende eller omvendt, hvis blot man kender funktionens forskrift. Fra eksempel.2 har man, at hvis grafen for en funktion er en ret linje, er dens monotoniforhold bestemt af hældningskoefficienten. Er hældningen positiv, er funktionen voksende, er den negativ, er funktionen aftagende. Tangenterne til grafen for en funktion er netop rette linjer, og deres hældningskoefficienter er bestemt ved f (x), derfor giver følgende sætning intuitivt mening, Sætning.6 For en funktion f (x) gælder at: ) Hvis f (x) 0 for alle x i et interval, er f voksende i intervallet. 2) Hvis f (x) 0 for alle x i et interval, er f aftagende i intervallet. 3) Hvis f (x) = 0 for alle x i et interval, er f konstant i intervallet. Hvis man skal bestemme monotoniforholdene for en funktion f skal man altså undersøge f for at finde ud af, hvornår f (x) går fra at være positiv til at være negativ, eller omvendt. Går f (x) fra at være positiv til at være negativ, må værdien af f (x) passere 0. Altså skal man finde ud af, hvornår f (x) = 0. Dette illustreres i følgende eksempel. Eksempel.23 Her ses på samme funktion som i eksempel.22, f (x) = x 2 4x +. For at finde ud af, hvornår grafen går fra at være voksende til at være aftagende, skal man finde ud af, hvor f (x) = 0. Først bestemmer man derfor f (x), f (x) = 2x 4.

28 28 Differentialregning (2) Ligningen f (x) = 0 bliver derfor f (x) < 0 2 f (x) > 0 () 2x 4 = 0 x = 2. Ud for x = 2 har grafen derfor en tangent med hældning 0, dvs. en vandret tangent. Dette kan også ses på figur.. f (x) = 0 Figur.: Grafen for f (x) = x 2 4x + er aftagende før x = 2 og voksende efter x = 2. Ud for x = 2 er der en vandret tangent. På grafen kan man se, at funktionen er aftagende før x = 2 og voksende efter. Har man ikke grafen, kan man finde frem til fortegnet for f (x) ved beregning. Skal man finde ud af, om f (x) er positiv eller negativ, når x < 2, vælger man et tal mindre end 2, som man sætter ind i forskriften for f. Et tal mindre end 2 kunne f.eks. være 0. Her får man f (0) = = 4. Fra tidligere ved man, at f (x) kun giver 0 for x = 2. Derfor vil værdien af f (x) have samme fortegn for alle tal x < 2, og det er altså kun nødvendigt at undersøge fortegnet for f (x) for ét tal mindre end 2; her var det x = 0. 2 Tallene 0 og 3, som man satte ind i forskriften for f (x) indgår altså ikke i monotoniforholdene. Det var blot to tilfældige tal mindre hhv. større end 2, som blev indsat for at finde fortegnet for f (x), når x er større/mindre end 2. Da 4 < 0 konkluderer man at f (x) er negativ for alle x < 2, dvs. her er f aftagende. På samme måde kan man vælge et tal større end 2, f.eks. 3 og beregne f (3) = = 2 > 0, dvs. f (x) er positiv for x > 2, og f (x) er altså voksende for disse værdier af x. Monotoniforholdene for f er altså alt i alt, at f (x) er aftagende for x 2 og voksende for x 2. 2 Fortegnslinje Monotoniforholdene for funktionen i eksempel.23 kan også beskrives vha. en fortegnslinje. En sådan linje kan f.eks. se således ud: x : 2 f (x) : f (x) : 0 min. + Af figuren kan man se, at før x = 2 er f (x) < 0, og efter x = 2 er f (x) > 0. Dette er illustreret med hhv. og + på figuren. I den nederste linje ser man, at dette viser, hvor f (x) er aftagende, og hvor den er voksende (illustreret med hhv. og ). 3 Fortegnslinjen er altså ikke det samme som monotoniforholdene, men monotoniforholdene kan aflæses på fortegnslinjen. Vha. fortegnslinjen kan man skrive monotoniforholdene op. 3 Men man kan også aflæse noget mere. Ud for x = 2 har funktionen f nemlig et minimum, dvs. et sted hvor funktionsværdien er lavest mulig. Man kan se på figuren, at der er tale om et minimum, idet funktionen først aftager og derefter vokser. I dette tilfælde er der faktisk tale om et globalt minimum, fordi det er det laveste punkt på hele grafen. Hvis et minimum ikke er globalt, taler man om et lokalt minimum. På samme

29 .6 Monotoniforhold og ekstrema 29 måde taler man i øvrigt også om globale og lokale maksima. En illustration kan ses på figur.2. En samlet betegnelse for disse punkter på grafen er ekstrema. Et ekstremum er altså et sted på grafen, hvor der er maksimum eller minimum (lokalt eller globalt). (2) lokalt maksimum Eksempel.24 I dette eksempel bestemmes monotoniforhold og ekstrema for funktionen f (x) = x 3 6x 2 + 9x +. lokalt minimum () Den afledte funktion er globalt minimum f (x) = 3x 2 2x + 9, dvs. ligningen f (x) = 0 bliver andengradsligningen Figur.2: Funktioner kan have både globale og lokale ekstrema. 3x 2 2x + 9 = 0, som har løsningerne x = og x = 3. Disse to løsninger deler tallinjen ind i tre intervaller: Tallene mindre end, tallene mellem og 3 og tallene større end 3. Nu vælger man et tal fra hvert af disse intervaller for at finde fortegnene for f (x) i intervallerne: x < : f (0) = = 9 > 0 < x < 3 : f (2) = = 3 < 0 x > 3 : f (5) = = 24 > 0 (2) Herudfra kan man så tegne en fortegnslinje x : 3 f (x) : f (x) : + 0 maks. 0 min. + Ud fra fortegnslinjen kan man aflæse monotoniforholdene: f (x) er voksende for x og for x 3 og aftagende for x 3. Idet man ved, at monotoniintervallerne skiller ved x = og x = 3, kan man også aflæse monotoniforholdene fra grafen (se figur.3) i stedet for at tegne fortegnslinjen. () Figur.3: Grafen for f (x) = x 3 6x 2 +9x+ har et lokalt maksimum og et lokalt minimum. Ud fra fortegnslinjen kan man også se, at der er to lokale ekstrema. Det ene ekstremum er et lokalt maksimum ud for x =, det andet er et lokalt minimum ud for x = 3. Andenkoordinaterne til de to ekstrema findes: f () = = 5f (3) = =. Funktionen f har altså et lokalt maksimum i (,5) og et lokalt minimum i (3,).

30 30 Differentialregning (2) Eksempel.25 I dette eksempel bestemmes evt. ekstrema for funktionen f (x) = 6 x 2x, x > 0. Grafen for denne funktion kan ses på figur.4. Her ser man, at det ser ud som om funktionen har et globalt maksimum i nærheden af x = 2. () Figur.4: Grafen for f (x) = 6 x 2x ser ud til at have et globalt maksimum. For at bestemme, om funktionen har et globalt maksimum, finder man først f (x) = 6 2 x 2 = 3 2. x Ligningen f (x) = 0 bliver derfor 3 x 2 = 0 2 x = 3 x = ( 3 2 ) 2 = 9 4. Der er altså et muligt ekstremum ud for x = Det er også vigtigt at huske, at funktionen kun er defineret for x > 0, så man må ikke sætte x lig 0 eller et negativt tal. For at kunne lave en fortegnslinje, ser vi på f (x) for x < 9 4 og for x > < x < 9 4 : f () = 3 2 = > 0 x > 9 4 : f (9) = = < 0 Fortegnslinjen ser derfor således ud x : f (x) : f (x) : maks. Det skraverede areal viser, at funktionen ikke er defineret for x 0. Vha. fortegnslinjen kan man se, at grafen vokser frem til x = 9 4, hvorefter den aftager. Funktionen har altså et globalt maksimum ud for x = 9 4. Andenkoordinaten til dette punkt er ( 9 f 4 ) = = = 9 2. Funktionen har altså et globalt maksimum i ( 9 4, 9 2). Vendetangenter Hvis man ser på eksemplerne ovenfor, ser det ud til, at hver gang en graf har en vandret tangent, skifter den fra at vokse til at aftage, eller omvendt. Det er imidlertid ikke altid tilfældet, hvilket næste eksempel viser. Eksempel.26 Her undersøges funktionen f (x) = x 3 2x x 62

31 .6 Monotoniforhold og ekstrema 3 for at finde frem til monotoniforholdene. Først findes f (x) f (x) = 3x 2 2 2x + 48 = 3x 2 24x + 48, og derefter løses f (x) = 0, som er andengradsligningen 3x 2 24x + 48 = 0. Det viser sig, at denne andengradsligning kun har én løsning, nemlig x = 4. Herefter bestemmes fortegnet for f (x) for x < 4 hhv. x > 4, x < 4 : f (0) = = 48 > 0 x > 4 : f (5) = = 3 > 0. Fortegnslinjen ser altså således ud: x : f (x) : f (x) : + 4 0? + (2) f (4) = 0, så der er en vandret tangent ud for x = 4, men der er hverken tale om maksimum eller minimum, idet funktionen vokser både før og efter x = 4. Situationen kan ses på.5. I dette tilfælde taler man om en vandret vendetangent. Fortegnslinjen ser altså således ud () x : f (x) : f (x) : vend. + Figur.5: I punktet (4, f (4)) har grafen for f (x) = x 3 2x x 62 en vendetangent. og funktionen f er voksende for alle x. Betegnelsen vendetangent kan godt virke lidt underlig. Ser man på grafen på figur.5, er det tydeligt, at grafen netop fortsætter og altså ikke vender. Men hvis det ikke er grafen, der vender, hvad er det så? Ser man nærmere på grafen vil man se, at grafen ikke krummer på samme måde før og efter det punkt, hvor der er vandret vendetangent. På den konkrete graf er krumningen sådan, at grafen ligner før vendetangenten, og efter vendetangenten.

32 32 Differentialregning Opsummering af metode Dette afsnit afsluttes med en generel opskrift på, hvordan man bestemmer monotoniforhold og ekstrema for en given funktion f (x): 5 Husk, at der også kan være vendetangenter. ) Bestem f (x). 2) Løs ligningen f (x) = 0. Løsningen er de steder, hvor der er mulige ekstrema. 5 3) Løsningerne til ligningen f (x) = 0 deler førsteaksen i en række intervaller. Bestem fortegnet for f (x) i hvert af disse ved at indsætte et tal fra hvert interval i forskriften for f (x). Man kan også vælge at tegne grafen for at undersøge, hvordan funktionen opfører sig i monotoniintervallerne. I så fald bliver denne udregning og fortegnslinjen overflødig. 4) Tegn en fortegnslinje. 5) Konkludér vha. fortegnslinjen. Hvis man skal bestemme et maksimum eller et minimum skal man huske at beregne andenkoordinaten til punktet..7 Optimering I sidste afsnit blev det gennemgået, hvordan man kan finde ekstrema for en funktion. Dette kan bruges til optimering af en størrelse. Optimering går ud på at finde ud af, hvornår en given størrelse er så stor eller lille som muligt. y Hvis man har den størrelse, man skal optimere, givet som en funktion af én variabel, så består optimering blot i at bestemme maksimum eller minimum; men virkeligheden er ikke altid så simpel. Skal man f.eks. bestemme hvornår et givent areal er størst, kan det sagtens forekomme, at arealet afhænger af både en længde og en bredde. Der bliver så nødt til at være nogle andre betingelser, der afgør hvordan længden og bredden afhænger af hinanden. x x Hvordan optimering rent konkret kan foregå illustreres måske bedst med nogle eksempler. Figur.6: En hønsegård bygges langs med en mur. Eksempel.27 I en have skal der bygges en hønsegård langs med en mur (se figur.6). Der skal således indhegnes 3 sider af et rektangel. Hvis der er 20 m hegn til rådighed, hvordan skal indhegningen så bygges, så den dækker det største areal? Længden og bredden af det rektangel, der udgør hønsegården, kan man kalde x og y, se figuren. Den samlede længde af hegnet må så svare til længden af de tre sider, dvs. 2x+y. Da hegnet er 20 m langt, må der gælde, at 2x + y = 20, og isolerer man y i denne ligning, får man y = 20 2x.

33 .7 Optimering 33 Arealet af rektanglet er A = x y, og det er denne størrelse der skal være størst mulig. Denne størrelse afhænger af to variable, x og y, så man kan ikke umiddelbart bestemme dens største værdi. Men da man lige har fundet ud af, at y = 20 2x kan arealet også skrives som A = x y = x (20 2x) = 20x 2x 2, og så afhænger arealet kun af x. 6 6 Bemærk i øvrigt, at 0 < x < 0. At x > 0 følger af, at x er en længde, betingelsen Hvornår er dette areal så størst? For at finde de mulige ekstrema for funktionen går man frem fuldstændig som i foregående afsnit, dvs. man løser De to sider af længde x kan derfor tilsam- x < 0 følger af at der kun er 20 m hegn. ligningen A = 0. men ikke være 20 eller mere. Det betyder også, at evt. løsninger for x som ikke ligger Idet A = 20x 2x 2, bliver i intervallet mellem 0 og 0 skal kasseres. A = x = 20 4x, Dvs. ligningen A = 0 er ligningen A 20 4x = 0 x = Der er altså muligvis et maksimum for arealet, hvor x = 5. For at være sikker på, at der nu også er tale om et maksimum kan man tegne grafen for A, den ses på figur.7. På grafen ser man, at det drejer sig om et maksimum. Altså er arealet størst, når x = 5. Dette giver så at y = 0, og at arealet er A = 50, hvilket man også kan se på figuren. 5 5 x Eksempel.28 En cylinderformet beholder, der skal rumme liter, skal laves, så materialeforbruget er mindst muligt. Vi kan her gå ud fra, at materialetykkelsen er ens overalt, således at materialeforbruget er mindst, når overfladearealet er mindst. En cylinder kan defineres ud fra to parametre: Dens radius r (i toppen og bunden) og dens højde h, se figur.8. Idet beholderens rumfang er målt i liter, og l = dm 3, vil r og h blive målt i dm. Figur.7: Arealet er størst, hvor x = 5. r h Rumfanget af en cylinder er givet ved V = πr 2 h, og da rumfanget skal være på liter, har man Figur.8: En cylinder er defineret ud fra dens højde og radius. Overfladearealet af en cylinder er πr 2 h = h = πr 2. (.7) A = 2πr 2 + 2πr h. Indsætter man udtrykket for h fra (.7), får man A = 2πr 2 + 2πr πr 2 = 2πr r.

34 34 Differentialregning 5,54 2 A 0, 0,54 Figur.9: Overfladearealet er mindst når radius er 0,54 dm. 2r x x Figur.20: Et blomsterbed på 0 m 2 sammensættes af et rektangel og en halvcirkel. r x Arealet er nu givet som en funktion af r. Der, hvor arealet er mindst muligt, er A = 0. Idet A = 4πr 2 r 2, har man derfor ligningen som har løsningen 4πr 2 r 2 = 0, r = 3 0,54 dm. 2π At det drejer sig om et minimum kan ses på figur.9. Når man kender radius, r = 0,54 dm, kan man beregne højden, idet man fra (.7) har, at h = =,08 dm. π 0,542 En cylinderformet beholder, der skal rumme liter, har derfor det mindste overfladeareal, når radius er r = 0,54 dm og højden er h =,08 dm. Eksempel.29 I en have skal der anlægges et blomsterbed på 0 m 2. Blomsterbedet skal have form som et rektangel sat sammen med en halvcirkel, se figur.20. Da der skal lægges sten rundt langs kanten af bedet, er man interesseret i at gøre omkredsen så lille som muligt. Hvilken størrelse skal de to længder x og r på figuren så have? Blomsterbedet består af et rektangel med sidelængder x og 2r samt en halvcirkel med radius r. Dets areal er derfor A = 2r x + πr 2 2. Da arealet skal være 0 m 2, kan man sætte dette lig med 0. Herefter isoleres x. 2r x + πr 2 2 = 0 x = 5 r πr 4. (.8) Det er omkredsen, der skal være mindst mulig. Derfor opstiller man nu et udtryk for omkredsen. Idet figuren består af 3 rette linjer og en halvcirkel, bliver omkredsen O = 2r + 2x + πr. I dette udtryk indsættes udtrykket for x fra (.8), og man får ( 5 O = 2r + 2 r πr ) ( + πr = 2 + π ) r r. For at finde minimum for dette udtryk, differentierer man først, og finder O = 2 + π 2 0 r 2. Dette sættes lig 0, og man får ligningen 2 + π 2 0 r 2 = 0,

35 .8 Væksthastighed 35 som har løsningen r = π,67 m. For at finde ud af, om dette nu også er et minimum fremstilles en fortegnslinje ved at se på fortegnet for O for værdier af r mindre end hhv. større end,67. 0 < r <,67 : O () = 2 + π = 6,43 < 0 r >,67 O (2) = 2 + π =,07 > 0 Fortegnslinjen ser derfor således ud x : 0,67 f (x) : f (x) : 0 min. + og der er et minimum, når radius i cirklen er r =,67 m. Længden x bliver så (resultatet fra (.8) anvendes) x = 5,67 π,67 =,67 m. 4 Opsummering af metode Den metode, der er anvendt i ovenstående eksempler, kan beskrives på følgende måde. ) Opstil en ligning ud fra en betingelse, der er givet i opgaven (f.eks. fast omkreds, fast areal, fast rumfang). Isolér herefter én af de variable i den opstillede ligning. 2) Opstil et udtryk for den størrelse, der skal optimeres, og erstat en af de variable i udtrykket med det udtryk, man fandt frem til under punkt. ). Man står nu med en funktion af én variabel. 3) Bestem ekstrema for den funktion, man fandt frem til under punkt 2). Bestem evt. de resterende mål. Man kan i princippet komme ud for, at der er flere end to variable i det udtryk, der skal optimeres. Her bliver man så nødt til at have mere end én betingelse for at kunne opskrive udtrykket som en funktion af én variabel. Det svarer til, at man skal udføre punkt ) 2) nogle gange..8 Væksthastighed Vha. differentialregning kan man som tidligere vist finde frem til, hvornår bestemte matematiske størrelser antager deres maksimum og minimum. Dette kan f.eks. bruges til optimering. Men differentialregning kan

36 36 Differentialregning også bruges til at få indblik i, hvor hurtigt bestemte størrelser vokser til bestemte tidspunkter. 7 Bemærk, at i definitionen kaldes den uafhængige variabel t i stedet for x. I princippet kunne den sagtens have heddet x, betegnelsen t bruges kun for at understrege, at der er tale om tid. Der gælder nemlig følgende definition. 7 Definition.7 Hvis f (t) er en given funktion, hvor t betegner tiden, så kalder man f (t) for væksthastigheden til tiden t. Antal spurve (40, 440) Eksempel.30 På figur.2 ses grafen for f (t), som viser hvordan antallet af spurve på en bestemt ø vokser med tiden (målt i år). På figuren kan man aflæse, at grafen går gennem punktet (4,440). Samtidigt er der tegnet en tangent gennem dette punkt; tangentens hældning er 5,25. Med andre ord er 50 5 t (år) Figur.2: Populationen af spurve på en bestemt ø til tiden t (i år). f (40) = 440 og f (40) = 5,25. Dette er en rent matematisk beskrivelse, som kan oversættes til følgende: ) Efter 40 år er der 440 spurve på øen. 2) Efter 40 år vokser antallet af spurve på øen med 5,25 spurve om året. Eksempel.3 En kande med lunkent vand sættes i et køleskab. Vandets temperatur er herefter givet ved funktionen hvor tiden t måles i minutter. f (t) = e 0,0 t, Herudfra kan man f.eks. bestemme væksthastigheden f (45). Først bestemmes f (t) = ( 0,0) e 0,0 t = 0,5 e 0,0 t, og derefter f (45) = 0,5 e 0,0 45 = 0,096. Hvad viser dette tal? For det første ser man, at tallet er negativt, dvs. at temperaturen falder. Tallets størrelse viser hvor meget. At f (45) = 0,096 kan derfor fortolkes på denne måde: Efter 45 minutter i køleskabet falder vandets temperatur med 0,096 C pr. minut.

37 Deskriptiv statistik 2 Den deskriptive statistik er en gren af matematikken, der beskæftiger sig med at beskrive et talmateriale. Man forsøger altså at skabe et overblik over et talmateriale, der måske umiddelbart virker uoverskueligt. Jf. engelsk»describe«, beskrive. Dette overblik kan skabes på flere måder, f.eks. kan man lave en tabel over talmaterialet og evt. gruppere nogle af tallene, udregne nogle deskriptorer, dvs. enkelte tal der beskriver talmaterialet, eller tegne diagrammer over tallene. 2. Ugrupperet statistik Den ugrupperede statistik handler om at beskrive adskilte data. Man kan f.eks. forestille sig, at man har spurgt 25 gymnasieelever i en klasse på et tilfældigt gymnasium, hvor meget tv de så dagen før. Svarene kunne fordele sig som i tabel 2.. Dette giver ikke så meget overblik over tallene. Det første man kan gøre er derfor at sortere dem. Det er gjort i tabel 2.2. Som man kan se i tabel 2.2 er der nogle af tallene, der optræder flere gange. Det kan derfor være en god ide at lave en tabel over de forskellige tal og deres hyppigheder (dvs. hvor mange gange de optræder). Tabellen kunne se således ud: Observation, x Hyppighed, h Frekvens, f Kumuleret frekvens 0 4 6% 6% 0,5 2 8% 24% 7 28% 52%,5 2 8% 60% % 80% 2,5 2 8% 88% 3 2 8% 96% 3,5 4% 00% I alt 25 00% Tabel 2.: Tv-kiggere blandt gymnasieelever. Antal timers tv (usorteret) 2 3 3,5 0 0,5 2 2,5 2 0,5,5 2 2,5 0 3, Tabel 2.2: Tv-kiggere blandt gymnasieelever, sorteret efter antal timer. Antal timers tv (sorteret) ,5 0,5,5, ,5 2, ,5 Betydningen af de forskellige kolonner er givet i følgende definition. 37

38 38 2 Deskriptiv statistik Definition 2. For et datasæt med n forskellige sorterede observationer x, x 2,..., x n defineres følgende størrelser: ) Hyppigheden h i er antallet af gange observationen x i optræder i datasættet. 2) Frekvensensen f i er hyppigheden i forhold til det samlede antal, dvs. f i = h i n. 3) Den kumulerede frekvens er summen af frekvenserne til og med frekvensen for den observation, man betragter. Frekvensen i tabellen ovenfor angiver altså, hvor stor en del af de adspurgte elever, der har set tv i 0 timer, 0,5 timer, osv. Dette kan være nyttigt, hvis man skal sammenligne to klasser, der ikke har lige mange elever. Tallet angives ofte i procent, men det er ikke nødvendigt. Den kumulerede frekvens angiver, hvor mange elever, der har set f.eks. times tv eller mindre. Den kumulerede frekvens for observationen x 3 ( time) er 52%. Det betyder, at 52% af eleverne har set tv i time eller mindre. Tallet kan findes ved at lægge frekvenserne for observationerne x, x 2 og x 3 sammen: Kumuleret frekvens for x 3 = f + f 2 + f 3 = 6% + 8% + 28% = 52%. 2.2 Middelværdi og spredning Selv om en tabel som den ovenstående kan lette overblikket over et datasæt, så er det nogle gange nemmere at sammenligne forskellige datasæt, hvis man kan beskrive dem med nogle få tal, såkaldte deskriptorer. En deskriptor kunne f.eks. være middelværdien, som fortæller hvad den gennemsnitlige observation er. Middelværdien finder man ved at lægge alle observationerne sammen og dele med det samlede antal. For tallene i tabel 2.2 er middelværdien , ,5 µ = =, Når nu hyppighederne for de enkelte observationer allerede er opregnet (i tabellen ovenfor er f.eks. angivet, at observationen»0«optræder 4 gange) kan man også anvende hyppighederne fra tabellen, så regnestykket bliver , ,5 µ = =, Resultatet ændrer sig selvfølgelig ikke. 2 Bemærk at frekvenserne her angives som decimaltal. Frekvensen for den første observation er f.eks. ikke 6, men 6%, hvilket jo er det samme som 0,6. Idet frekvenserne fås ved at dele hyppighederne med det samlede antal kunne man også dividere alle hyppighederne med 25 til at begynde med, hvorved man får 2 µ = 0 0,6 + 0,5 0,08 + 0, ,08 + 3,5 0,04 =,46. Det er den sidste udregning, der anvendes i den følgende definition.

39 2.3 Kvartilsæt 39 Definition 2.2 For et datasæt med n forskellige sorterede observationer x, x 2,..., x n med frekvenserne f, f 2,..., f n, defineres middelværdien µ og spredningen σ som ) µ = x f + x 2 f x n f n. 2) σ = (x µ) 2 f + (x 2 µ) 2 f (x n µ) 2 f n. Middelværdien angiver den gennemsnitlige observation. Når µ =,46 for datasættet ovenfor betyder det altså, at de 25 gymnasieelever gennemsnitligt har set tv i,46 timer. Spredningen kan være lidt vanskeligere at forstå, men den beskriver, hvor langt fra middelværdien, observationerne i gennemsnit ligger. Hvis f.eks. alle eleverne havde svaret,5 time, så ville spredningen have været σ = 0. For det konkrete datasæt er spredningen σ = (0,46) 2 0,6 + (0,5,46) 2 0, (3,5,46) 2 0,04 =,048. Mange CAS-værktøjer har indbyggede redskaber til at beregne middelværdi og spredning ud fra usorterede data. 2.3 Kvartilsæt Middelværdien af et datasæt kan påvirkes stærkt, hvis der optræder ekstreme værdier. Hvis der f.eks. havde været en enkelt elev, der så tv i 20 timer dagen før, ville middelværdien have været meget højere. Derfor giver det nogle gange mening at beskrive et datasæt vha. medianen som er den midterste observation. Stiller man samtlige 25 tal fra tabel 2.2 op på en lang række, er medianen altså det midterste tal, dvs. tal nr. 3: 3 median 0, 0, 0, 0, 0,5, 0,5,,,,,,,,,5,,5, 2, 2, 2, 2, 2, 2,5, 2,5, 3, 3, 3,5 3 Hvis der er et lige antal observationer er medianen gennemsnittet af de to midterste observationer. Medianen for elevernes tv-kiggeri er altså. Dvs. halvdelen af eleverne har set tv i time eller mindre. Den anden halvdel har set tv i time eller mere. Det er vigtigt at bemærke, at dette intet har at gøre med middelværdien, og som man kan se er de to tal også forskellige. Nogle gange kan man ønske lidt mere information end medianen alene giver. Medianen findes ved at dele observationssættet over i 2 halvdele. Mere information finder man, hvis man deler talsættet op i fire fjerdedele. Herved finder man de såkaldte kvartiler: nedre kvartil median øvre kvartil 0, 0, 0, 0, 0,5, 0,5,,,,,,,,,5,,5, 2, 2, 2, 2, 2, 2,5, 2,5, 3, 3, 3,5

40 40 2 Deskriptiv statistik Nedre kvartil er medianen af den nederste halvdel. Da den nederste halvdel indeholder et lige antal observationer (2) bliver nedre kvartil gennemsnittet af de to midterste værdier (nr. 6 og 7). Nedre kvartil er derfor Q = 0,5 + 2 = 0,75. Medianen er det samme som før. Dvs. medianen er Q 2 =. Øvre kvartil er medianen af den øverste halvdel. Her skal der igen tages gennemsnittet af to værdier, dvs. Q 3 = = 2. De tre tal Q, Q 2 og Q 3 kaldes tilsammen kvartilsættet. Kvartilsættet for elevernes tv-forbrug er {0,75;;2}. I stedet for betegnelserne»nedre kvartil, median og øvre kvartil«bruger man også nogle gange»første, andet og tredje kvartil«. Definition 2.3 For et ugrupperet datasæt definerer man Medianen (eller andet kvartil) Q 2, som er den midterste observation. Er der et lige antal observationer, er medianen gennemsnittet af de to midterste. Nedre (eller første) kvartil Q, som er medianen af den første halvdel af observationerne. Øvre (eller tredje)kvartil Q 3, som er medianen af den sidste halvdel af observationerne. Mængden { Q ;Q 2 ;Q 3 } bestående af alle kvartilerne, kaldes kvartilsættet. At nedre kvartil for tv-forbruget er 0,75 viser, at en fjerdedel (25%) af eleverne så 0,75 timers tv eller mindre, mens tre fjerdedele (75%) så tv i 0,75 timer eller mere. Øvre kvartil, Q 3 = 2 viser på samme måde, at tre fjerdedele af eleverne så tv i 2 timer eller mindre, mens en fjerdedel så tv i 2 timer eller mere. Kvartilsættet kan på denne måde være nyttigt til at give et overblik over tallene. 2.4 Afbildninger I dette afsnit gennemgås 3 forskellige afbildninger til at få overblik over et ugrupperet datasæt: Et stolpediagram, som er godt til at få overblik over et enkelt datasæt.

41 2.4 Afbildninger 4 Et trappediagram. Et boksplot, som er godt til sammenligning af forskellige datasæt. Stolpediagram Undersøgelsen om gymnasieelevers tv-forbrug gav følgende tabel Observation, x Hyppighed, h Frekvens, f Kumuleret frekvens 0 4 6% 6% 0,5 2 8% 24% 7 28% 52%,5 2 8% 60% % 80% 2,5 2 8% 88% 3 2 8% 96% 3,5 4% 00% I alt 25 00% h ,5,5 2 2,5 3 3,5 x Herudfra kan man tegne et stolpediagram. Det består i, at man afsætter de enkelte observationer ud ad en førsteakse, og derefter tegner stolper, hvis højde er lig hyppigheden eller frekvensen. På figur 2. ses et stolpediagram, hvor højden på søjlerne er givet ved hyppigheden. Figur 2.2 er det samme stolpediagram, men her er højderne givet ved frekvensen. Som man kan se, er de to stolpediagrammer ens, bortset fra inddelingen på andenaksen. Hvis man blot vil have et overblik over datamaterialet er det udmærket at anvende hyppighederne. Vil man imidlertid sammenligne to datasæt, er det en god ide at anvende frekvenserne. Det gør det nemmere at sammenligne, især hvis de to datasæt man sammenligner ikke indeholder lige mange observationer. Det kunne f.eks. være hvis man sammenlignede to klasser med et forskelligt antal elever. Trappediagram Et trappediagram er et diagram over de kumulerede frekvenser. Man afsætter den kumulerede frekvens ud for observationen og bevæger sig derefter vandret, ind til man kommer til den næste observation, hvor man springer op til den næste kumulerede frekvens. Herved fremkommer et diagram, der ligner en trappe, se figur 2.3. Det er muligt at anvende et trappediagram til at sammenligne forskellige observationssæt, men boksplottet, som introduceres nedenfor, er et mere overskueligt redskab til sammenligninger. Boksplot Et boksplot er et diagram, som laves udelukkende ud fra kvartilsættet. Herved kasserer man en masse information, men til gengæld får man et Figur 2.: Elevernes tv-forbrug som stolpediagram med hyppigheden op ad andenaksen. 30% 25% 20% 5% 0% 5% f 0 0,5,5 2 2,5 3 3,5 Figur 2.2: Elevernes tv-forbrug som stolpediagram med frekvensen op ad andenaksen. kumuleret frekvens 00% 80% 60% 40% 20% 2 3 Figur 2.3: Trappediagram over elevernes tvforbrug. x x

42 42 2 Deskriptiv statistik diagram, der på meget overskuelig vis kan vise, hvordan tallene fordeler sig Figur 2.4: Boksplot over elevernes tvforbrug. Et boksplot over elevernes tv-forbrug kan ses på figur 2.4. Der tegnes lodrette streger ud for den mindste observation (0), nedre kvartil (0,75), medianen (), øvre kvartil (2) og den største observation (3,5). Dernæst forbindes de lodrette streger som på figuren. Selve boksen kommer derved til at indeholde den midterste halvdel af observationerne, mens de vandrette linjestykker i enderne viser tvforbruget for den nederste hhv. den øverste fjerdedel af klassen. Når man tegner boksplot over fordelinger, bliver det nemt at sammenligne. Hvis man har målt minimum, maksimum og kvartilsæt for to forskellige klasser på et gymnasium kunne man for eksempel have følgende tabel (klasse A er den samme klasse som før): Klasse Mindste værdi Q Q 2 Q 3 Største værdi A 0 0,75 2 3,5 B 0,5,75 4 B A Figur 2.5: Sammenligning af tv-forbrug vha. boksplots. Kigger man blot på tallene, kan det være svært at se forskel på de to klasser. Tegner man derimod et boksplot over begge fordelinger i samme diagram (se figur 2.5) bliver det pludselig nemmere at sammenligne. F.eks. kan man se, at selv om klasse B har den elev, der har det største tvforbrug, så har de nederste 75% af eleverne i klasse B et tv-forbrug, der ligger lidt under de nederste 75% i klasse A. Den midterste halvdel i klasse B har ligger også tættere end i klasse A, dvs. der er ikke så stor spredning i deres tv-forbrug. 2.5 Grupperet statistik Tabel 2.3: Udsnit af statistik over årsindkomster i Danmark i 203.[] Interval (i 000 kr.) Antal Man taler om grupperet statistik, når de data man ser på, er arrangeret i intervaller. Dette kan f.eks. ske, hvis der er tale om et meget stort datasæt, eller hvis man måler data med mange decimaler. Her vil man typisk have et meget stort antal forskellige observationer, og det giver derfor mening at gruppere dem i intervaller. I tabel 2.3 ses et udsnit af statistikken over danske bruttoindkomster. Der er her tale om så mange tal, at det ikke kan betale sig at liste alle de indkomster, der ligger til grund for tabellen. Derfor har man i stedet opdelt de forskellige indkomster i intervaller Når man ser på tabellen, kan man ikke umiddelbart se, om en indkomst på kr. skal regnes med i det første eller det andet interval. Der kan derfor være en god ide i at bruge intervalnotation for at beskrive om de beløb der ligger på grænserne skal regnes med det ene eller det andet sted.

43 2.6 Middelværdi og spredning 43 Man kan også se, at hyppighederne er nogle meget store tal, og det giver derfor mening at beregne frekvenserne i stedet. En tabel med disse oplysninger ser således ud: Interval Hyppighed, h Frekvens, f Kumuleret frekv. [0; [ ,% 4,% [00 000; [ ,% 38,3% [ ; [ ,7% 62,0% [ ; [ ,0% 8,9% [ ; [ ,6% 92,5% [ ; [ ,5% 00,0% I alt ,0% 2.6 Middelværdi og spredning Middelværdien og spredningen kan ikke beregnes på samme måde, som det blev gjort for den ugrupperede statistik. Det kan de ikke, fordi man ikke ved, hvordan indkomsterne fordeler sig i de enkelte intervaller. De rå data, der ligger til grund for tabellen, har man ikke. Det man så gør i stedet, er at antage at indkomsterne ligger jævnt fordelt i intervallerne. Så kan man nemlig bruge intervallernes midtpunkter som enkelte observationer. Definition 2.4 For et datasæt, der er grupperet i intervaller [a ;b [, [a 2 ;b 2 [,..., [a n ;b n [ defineres middelværdien µ og spredningen σ således: ) µ = m f + m 2 f m n f n. 2) σ = (m µ) 2 f + (m 2 µ) 2 f (m n µ) 2 f n. f i er intervallets frekvens, og m i er intervallets midtpunkt, m i = a i +b i 2. For at beregne middelværdi og spredning for datasættet ovenfor, tilføjer man en kolonne med intervalmidtpunktet: Interval Intervalmidtpunkt, m Frekvens, f [0; [ ,% [00 000; [ ,% [ ; [ ,7% [ ; [ ,0% [ ; [ ,6% [ ; [ ,5% Middelværdien er så µ = , , ,075 =

44 44 2 Deskriptiv statistik Gennemsnitsindkomsten i tabellen er altså på kr. Spredningen er σ = ( ) 2 0,4 + + ( ) 2 0,075 = Spredningen er altså på kr. 2.7 Afbildninger I dette afsnit gennemgås tre afbildninger for grupperede data: Histogrammer, som svarer til de stolpediagrammer, man kan tegne for ugrupperede data. Sumkurver, som svarer til trappediagrammer og bl.a. kan anvendes til at bestemme kvartilsættet. Boksplots, som er fuldstændigt magen til den tilsvarende afbildning for ugrupperede data. Histogrammer 0% kr Figur 2.6: Histogram over indkomstfordelingen. I et histogram afbilder man intervallernes frekvens som søjler. I modsætning til et stolpediagram kan man dog ikke lade søjlernes højde være afgjort af frekvensen. Hvis man gjorde det, ville brede intervaller få mere vægt i afbildningen end smalle intervaller, og det duer ikke. I stedet lader man søjlernes areal svare til frekvensen, se figur 2.6. Når man bruger arealet til at angive frekvensen er det nødvendigt at angive, hvor stort et areal, der svarer til en bestemt procentdel. Dette er illustreret på figuren, hvor rektanglet i øverste højre hjørne viser, hvor stort et areal, der svarer til 0%. Da det er arealet, der angiver frekvensen, er der ikke brug for en andenakse, og den udelades derfor som regel. For et histogram er det altså vigtigt at huske, at I et histogram er intervalfrekvensen arealet af den pågældende søjle. Hvis det forholder sig sådan, at alle intervallerne er lige brede, kan man dog lade højden svare til frekvensen. Mange CAS-værktøjer arbejder på denne måde. Men det er vigtigt at huske, at så skal intervallerne være lige brede. Sumkurver En sumkurve tegnes på baggrund af de kumulerede frekvenser. Kurven illustrerer, hvor mange procent af datasættet, der ligger under en bestemt værdi. Da kurven skal vise, hvor mange procent, der ligger under en given

45 2.7 Afbildninger 45 værdi, er det de højre intervalendepunkter, der afsættes ud ad førsteaksen. Man kan derfor tilføje en kolonne med intervalendepunkter til tabellen ovenfor: Interval Højre intervalendepunkt Kumuleret frekvens [0; [ ,% [00 000; [ ,3% [ ; [ ,0% [ ; [ ,9% [ ; [ ,5% [ ; [ ,0% Kumuleret frekvens 00% 80% Sumkurven tegnes derefter ved at afsætte de højre intervalendepunkter ud af førsteaksen og de kumulerede frekvenser ud ad andenaksen. De afsatte punkter forbindes derefter med linjestykker. Da sumkurven angiver, hvor mange procent der ligger under en given værdi, kan den bruges til at undersøge, f.eks. hvor mange procent der har en årsindkomst på under kr. eller hvad den maksimale indkomst er for de 80% lavestlønnede. Det sidste kalder man 0,8-fraktilen eller 80%-fraktilen. Der gælder følgende definition: 60% 40% 20% kr Figur 2.7: Sumkurve over indkomstfordelingen. Definition 2.5 For et statistisk talmateriale betegner p-fraktilen den værdi i observationssættet, der har en kumuleret frekvens på p. På figur 2.8 kan man se en aflæsning af 0,8-fraktilen. Man går ud fra 80% på andenaksen og aflæser den tilsvarende værdi på førsteaksen. Det aflæste tal viser, at 80% af de undersøgte i statistikken tjener kr. eller mindre. Tilsvarende tjener 20% derfor kr. eller mere. Kumuleret frekvens 00% 80% 60% 40% Kumuleret frekvens 00% 80% 60% 50,2% 40% Figur 2.8: På figuren til venstre aflæses 0,8- fraktilen. Tallet viser at 80% tjener under kr. Til højre aflæses ud for på førsteaksen. Tallet her viser, at 50,2% tjener kr. eller mindre. 20% 390,45 kr % kr (a) Aflæsning af 0,8-fraktilen (b) Hvor mange tjener under kr.?

46 46 2 Deskriptiv statistik Figur 2.9: Aflæsning af kvartilsættet på sumkurven for indkomstfordelingen. Kumuleret frekvens 00% 75% 50% 25% 0% kr. Figuren viser også en aflæsning af, hvilken fraktil der svarer til en indkomst på kr. Her går man ud fra på førsteaksen og aflæser det tilsvarende tal på andenaksen. Det aflæste tal er 50,2%. Det betyder at 50,2% tjener under kr. om året. Altså tjener 49,8% mere end kr. om året. Ud fra sumkurven definerer man også kvartilsættet. Definition 2.6 På en sumkurve for et givent statistisk materiale kan man aflæse kvartilsættet { Q ;Q 2 ;Q 3 }. ) Nedre kvartil, Q er 25%-fraktilen. 2) Medianen, Q 2 er 50%-fraktilen. 3) Øvre kvartil, Q 3 er 75%-fraktilen. På figur 2.9 ses en aflæsning af kvartilsættet. Man går ud fra hhv. 25%, 50% og 75% på andenaksen og aflæser de tilsvarende værdier på førsteaksen. Her ser man, at kvartilsættet er {4504 kr.; kr.; kr.}. Disse tal viser, at 25% tjener kr. eller mindre, 50% tjener kr. eller mindre, og 75% tjener kr. eller mindre.

47 2.7 Afbildninger 47 Boksplot At tegne et boksplot for et grupperet datasæt er ikke anderledes end at tegne et boksplot for et ugrupperet datasæt. Der hvor de to ting adskiller sig er i, hvordan man skal finde kvartilsættet. Når først det er fundet så er fremgangsmåden fuldstændigt den samme. For indkomstfordelingen, der er set på ovenfor, var kvartilsættet {4504;249367;365327}. Den mindste værdi var 0 og den største Et boksplot over denne fordeling vil derfor se ud som på figur kr. Figur 2.0: Boksplot over indkomstfordelingen.

48

49 Integralregning 3 Integralregning er en gren af matematikken, der ligger i forlængelse af differentialregningen. På sin vis kan man sige, at integralregning er præcis det modsatte af differentialregning. I kapitel blev det gennemgået, hvordan man til en given funktion kan finde en afledt funktion, som beskriver tangenthældningen. Regner man»den anden vej«, finder man det, man kalder en stamfunktion. 3. Stamfunktioner Man har følgende definition. Definition 3. Lad der være givet en funktion f. En funktion F, der opfylder kaldes en stamfunktion til f. F (x) = f (x), En stamfunktion F til en funktion f er altså en funktion, der har f som afledt funktion. At undersøge om en given funktion er stamfunktion til en anden, kan man derfor gøre ved at differentiere. Eksempel 3. Er F (x) = x 3 + 2x 5 en stamfunktion til f (x) = 3x 2 + 2? Dette kan man undersøge ved at differentiere F : Ofte betegner man stamfunktioner med store bogstaver, sådan at f.eks. en stamfunktion til f (x) kaldes F (x) og en stamfunktion til h(x) kaldes H(x). I princippet kan man kalde stamfunktionerne det, man vil, men det er lettere at se, hvor de kommer fra, hvis man anvender denne notation. F (x) = 3x = 3x Når man differentierer F, får man forskriften for f. Dvs. F (x) = f (x) og F er derfor en stamfunktion til f. Eksempel 3.2 Er H(x) = 4x + ln(x) en stamfunktion til g (x) = 2x + x? Differentierer man H(x) finder man H (x) = 4 + x = 4 + x. Dette er ikke det samme som g (x), dvs. H er ikke en stamfunktion til g. Eksempel 3.3 Både F (x) = x 2 +e x +4 og F 2 (x) = x 2 +e x 7 er stamfunktioner til f (x) = 2x + e x. 49

50 50 3 Integralregning Differentierer man de to funktioner F og F 2, finder man nemlig F (x) = 2x + e x + 0 = 2x + e x F 2 (x) = 2x + e x 0 = 2x + e x. Altså er F (x) = F 2 (x) = f (x) og begge de to funktioner er altså stamfunktioner til f. Af eksempel 3.3 kan man se, at en funktion kan have flere stamfunktioner. De to stamfunktioner i eksemplet er dog ikke specielt forskellige. De adskiller sig kun med en konstant. Faktisk er grunden til, at en funktion kan have flere stamfunktioner, at når man differentierer en konstant, får man 0, uanset konstantens størrelse. Det betyder, at man altid kan finde en ny stamfunktion ved at lægge en konstant til en anden stamfunktion, idet en konstant, som er lagt til, forsvinder ved differentiation. Sætning 3.2 Hvis F (x) og F 2 (x) begge er stamfunktioner til en funktion f, så er hvor k er en konstant. F (x) F 2 (x) = k, Bevis 2 I udregningen bruger man, at både F og Da både F (x) og F 2 (x) er stamfunktioner til f, så er 2 F 2 er stamfunktioner til f, dvs. F (x) = f (x) og F 2 (x) = f (x). ( F (x) F 2 (x) ) = F (x) F 2 (x) = f (x) f (x) = 0. Differentierer man differensen F (x) F 2 (x) får man altså 0. Det eneste, der giver 0, når man differentierer, er en konstant, og derfor må F (x) F 2 (x) = k, hvor k er en konstant. Det sætning 3.2 siger, er altså, at en given funktion godt nok har uendeligt mange stamfunktioner, men at de alle kan findes ved blot at lægge forskellige konstanter til en anden stamfunktion. Eksempel 3.4 F (x) = x 2 + ln(x) er en stamfunktion til f (x) = 2x + x, fordi F (x) = 2x + x = f (x). Men så er F (x) = x 2 + ln(x) + 3 F 2 (x) = x 2 + ln(x) 4 F 3 (x) = x 2 + ln(x) også stamfunktioner til f (x).

51 3.2 Det ubestemte integral Det ubestemte integral At beregne stamfunktionerne til en funktion f (x) kaldes at integrere f (x). Man har følgende definition. 3 Sætning 3.3 Lad f være en given funktion. Det ubestemte integral af f (x) er mængden af alle stamfunktioner til f (x). Det skrives f (x) d x. 3 Notationen d x betyder, at man integrerer det, som står mellem og d x. Symbolet d x er altså ikke en matematisk størrelse. Det viser blot, hvor det der skal integreres slutter, og at den uafhængige variabel hedder x. Funktionen f (x) kaldes integranden. At f (x) d x er mængden af alle stamfunktioner 4 viser man ved at inkludere en konstant i resultatet af beregningen. Eksempel 3.5 Her bestemmes (2x + 3) d x. (2x + 3) d x = x 2 + 3x + k. 4 I nogle gennemgange af integralregningen sættes der lighedstegn mellem notationen F (x) for en stamfunktion og f (x) d x. Her vil F (x) dog blive anvendt for at vise, at man har at gøre med en konkret stamfunktion til f (x), mens f (x) d x er alle stamfunktionerne. x 2 +3x er en stamfunktion til 2x +3 og konstanten k viser, at man her har fundet frem til alle stamfunktioner. Konstanten k i eksempel 3.5 kaldes en integrationskonstant. Tabel 3. viser de ubestemte integraler for en række simple funktioner. Hvis man vil overbevise sig om, at påstandene i tabellen er korrekte, kan man differentiere den højre kolonne og se, at det giver den venstre. 3.3 Regneregler Ligesom der findes regneregler for differentiation, findes der også nogle regneregler for ubestemte integraler. Tabel 3.: Ubestemte integraler af nogle simple funktioner. f (x) a x x 2 f (x) d x ax + k 2 x2 + k 3 x3 + k x n n+ xn+ + k x e x e ax ln(x) + k e x + k a e ax + k Sætning 3.4 Lad f være en funktion og c en vilkårlig konstant. Da gælder c f (x) d x = c f (x) d x. Bevis Hvis man differentierer højre side af udtrykket i sætningen, får man ( c ( f (x) d x) = c f (x) d x) = c f (x). Det første lighedstegn følger af en regneregel for differentiation, sætning.7. Det andet følger af, at f (x) d x er stamfunktionerne til f.

52 52 3 Integralregning Man har nu vist, at c f (x) d x er stamfunktionerne til c f (x), men det betyder at c f (x) d x = c f (x) d x, og sætningen er dermed vist. Sætning 3.4 kan bruges til bestemme integraler af funktioner, der ikke står i tabel 3.. Eksempel 3.6 Hvad er 6x 2 d x? 6x 2 står ikke i tabel 3., men x 2 gør. Man kan derfor bruge sætning 3.4, så man får 6x 2 d x = 6 x 2 d x = 6 3 x3 + k = 2x 3 + k. De næste to regneregler, der er vigtige at kende, er disse. Sætning 3.5 Lad f og g være to funktioner. Så gælder der (f ) ) (x) + g (x) d x = f (x) d x + g (x) d x, (f ) 2) (x) g (x) d x = f (x) d x g (x) d x. Bevis Her bevises kun den første del af sætningen. Den anden del forløber fuldstændig analogt. Idet ( f (x) d x + ( g (x) d x) = ( f (x) d x) + g (x) d x) = f (x) + g (x), er f (x) d x + g (x) d x stamfunktionerne til f (x) + g (x), dvs. (f (x) + g (x) ) d x = f (x) d x + g (x) d x, og sætningen er hermed vist. Eksempel 3.7 Hvad er (e x + x)d x? e x + x står ikke i tabel 3., men e x og x står der hver for sig. Derfor kan man bruge sætning 3.5, sådan at man får (e x + x)d x = e x d x + x d x = e x + 2 x2 + k. Sætning 3.4 og sætning 3.5 kan også bruges på samme tid, som i dette eksempel.

53 3.4 Bestemmelse af stamfunktioner 53 Eksempel 3.8 Det ubestemte integral (9x 2 +4x 3) d x bestemmes på følgende måde: (9x 2 + 4x 3) d x = 9 x 2 d x + 4 x d x = 9 3 x x2 3 x + k = 3x 3 + 2x 2 3x + k. 3 d x Undervejs benyttes både sætning 3.4 og sætning 3.5 samt opslag i tabel Bestemmelse af stamfunktioner I det foregående afsnit blev det gennemgået, hvordan man finder det ubestemte integral af en funktion. Det ubestemte integral er mængden af alle stamfunktioner. At der er flere stamfunktioner, skyldes som nævnt at den afledte funktion af en konstant er 0. Leder man efter en bestemt stamfunktion, skal man derfor have flere oplysninger end blot en funktionsforskrift på den funktion, man vil finde stamfunktionen til. Den yderligere oplysning, man skal have, kan være ) Et punkt, som stamfunktionens graf går gennem. 2) Ligningen for en tangent til stamfunktionens graf. Stamfunktion, hvis graf går gennem et punkt Idet alle stamfunktionerne til en given funktion kun adskiller sig med en konstant, vil graferne for alle stamfunktionerne være lodrette parallelforskydninger af hinanden. Kender man derfor et punkt, som grafen for den søgte stamfunktion går igennem, kan man fastlægge værdien af integrationskonstanten k. Derved finder man en ganske bestemt stamfunktion. Eksempel 3.9 Her bestemmes den stamfunktion F (x) til f (x) = x 3 +2x, hvis graf går gennem P(2,0). (2) Først sættes F (x) lig med det ubestemte integral af f (x): F (x) = (x 3 + 2x ) d x = 4 x4 + x 2 x + k. P(2,0) Den søgte stamfunktion F (x), er den stamfunktion, der har en helt bestemt værdi af k nemlig den værdi, der gør, at grafen går gennem P(2,0). 5 () På figur 3. kan man se et udsnit af alle stamfunktionerne til f. Den stamfunktion, som går gennem P(2,0), er den man skal finde forskriften til. Figur 3.: Et billede af alle stamfunktionerne til f (x) = x 3 + 2x.

54 54 3 Integralregning Man ved, at stamfunktionen har forskriften F (x) = 4 x4 + x 2 x + k. Man ved også, at grafen for F går gennem punktet P(2,0). Hvis det er tilfældet, må F (2) = 0, og det giver ligningen Løser man denne ligning får man F (2) = k = k = 0 k = 4. Nu kan man skrive forskriften op: F (x) = 4 x4 + x 2 x + 4. Den stamfunktion til f (x), hvis graf går gennem punktet P(2,0) har altså denne forskrift. Eksempel 3.0 Hvilken stamfunktion til g (x) = e x 3x har en graf, der går gennem punktet Q(0, 7)? Stamfunktionen har forskriften G(x) = (e x 3x) d x = e x 3 2 x2 + k. Idet grafen for G går gennem Q(0, 7) er Ligningen løses G(0) = e k = 7. e k = k = 7 k = 8. Den søgte stamfunktion har derfor forskriften G(x) = e x 3 2 x2 8. Stamfunktion, hvis graf har en bestemt tangent 2 (2) () Figur 3.2: Stamfunktionerne til f (x) = 4 x samt linjen med ligningen y = 4x +. Hvis man kender en tangent til stamfunktionens graf, er det også muligt at bestemme stamfunktionens forskrift. Eksempel 3. I dette eksempel bestemmes den stamfunktion til f (x) = 4 x, hvis graf har linjen med ligningen y = 4x + som tangent. Stamfunktionen kaldes F (x). Dens forskrift er 4 F (x) = x d x = 4 ln(x) + k. På figur 3.2 ses nogle af stamfunktionerne til f (x) samt linjen med ligningen y = 4x+. Som det kan ses på billedet, er der en af stamfunktionerne, der har linjen som tangent.

55 3.4 Bestemmelse af stamfunktioner 55 Hvis y = 4x + er tangent til stamfunktionen ved man, at stamfunktionens graf et sted har tangenthældningen 4. Tangenthældningen for funktionen F (x) er givet ved F (x), men da F er en stamfunktion til f, er F (x) = f (x). At bestemme, hvor F har tangenthældningen 4, er derfor det samme som at bestemme, for hvilken værdi af x, f (x) = 4. Derfor løser man ligningen f (x) = 4: f (x) = 4 4 x = 4 x =. Nu ved man, at tangenten rører grafen ud for x =. For at finde koordinatsættet til røringspunktet ser man igen på tangentens ligning. Både tangenten og grafen går gennem røringspunktet. Man kan ikke finde røringspunktet vha. forskriften for F (x), fordi man endnu ikke kender k, men man kan bruge tangentens ligning. Indsætter man x = i ligningen y = 4x +, får man y = 4 + = 5. Grafen for F (x) går derfor gennem punktet (,5). Dette kan bruges til at bestemme k, idet man så har F () = 4 ln() + k = k = 5 k = 5. Da man nu kender k, er stamfunktionens forskrift bestemt: F (x) = 4 ln(x) + 5. Når man bestemmer en stamfunktion, hvis graf går gennem et bestemt punkt, kan der kun være tale om én bestemt stamfunktion. Har man i stedet opgivet en tangent til stamfunktionens graf, kan der være flere stamfunktioner, der passer på oplysningen. Eksempel 3.2 I dette eksempel bestemmes den stamfunktion til f (x) = x 3 + 3x, hvis tangent har linjen med ligningen y = 2x + 8 som tangent. Stamfunktionen har forskriften F (x) = ( x 3 + 3x) d x = 4 x x2 + k. Man leder nu efter det sted, hvor stamfunktionens graf har tangenthældningen 2 (idet dette er tangentens hældning): f (x) = x 3 + 3x = 2. Løser man denne ligning finder man to løsninger, nemlig x = x = 2.

56 56 3 Integralregning Der er altså to forskellige stamfunktioner, der har linjen y = 2x + 8 som tangent. Man skal derfor bestemmt to røringspunkter. Det første røringspunkt har førstekoordinaten x = og andenkoordinaten y = 2 ( ) + 8 = 0, og det andet har førstekoordinaten x = 2 og andenkoordinaten y = = 4. Den første stamfunktions graf går altså gennem punktet (, 0), og her findes værdien af k ved at løse ligningen F ( ) = 4 ( ) ( )2 + k = 0 k = (2) Den anden stamfunktions graf går gennem (2,4), så her skal man løse ligningen F (2) = k = 4 k = 2. Funktionen f (x) = x 3 + 3x har altså to stamfunktioner, hvis grafer har linjen y = 2x + 8 som tangent, nemlig F (x) = 4 x x F 2 (x) = 4 x x () På figur 3.3 kan man se graferne for de to stamfunktioner samt tangenten. Figur 3.3: De to stamfunktioner til f (x) = x 3 +3x, hvis grafer har linjen y = 2x +8 som tangent. 5 Det er ligegyldigt hvilken stamfunktion, man vælger, derfor vil man typisk vælge den simpleste, dvs. der hvor integrationskonstanten k = Bestemte integraler Ind til nu er det kun blevet gennemgået, hvordan man finder ubestemte integraler. Men der er selvfølgelig også noget, der hedder et bestemt integral. For en funktion f og to tal a og b definerer man et tal, der kaldes det bestemte integral af f i intervallet [a;b]. Dette tal beregnes vha. en stamfunktion. 5 Definition 3.6 Lad F være en stamfunktion til f. Det bestemte integral af f i intervallet [a;b] er da tallet b a f (x)d x = F (b) F (a). De to tal a og b kaldes integrationsgrænserne. 6 Egentlig uendeligt mange funktioner, da integrationskontanten k kan have enhver tænkelig værdi. Bemærk altså at det ubestemte integral f (x) d x er en funktion, 6 mens det bestemte integral b a f (x) d x er et tal. Når man skal beregne tallet b a f (x)d x, finder man først en stamfunktion F (x) og beregner dernæst F (b) F (a) ved at sætte tallene a og b ind.

57 3.5 Bestemte integraler 57 Eksempel 3.3 Hvis man skal beregne 4 x2 d x skal man altså først finde en stamfunktion til x 2. Dette kunne f.eks. være F (x) = 3 x3. Dernæst beregnes F (4) F (), dvs Samlet kan udregningen skrives på følgende måde: 4 [ x 2 d x = 3 x3] 4 = = 2. Værdien af det bestemte integral er altså 2. Bemærk, at man her har skrevet stamfunktionen i kantede parenteser, før man sætter tallene ind; dette gøres for at gøre udregningen mere overskuelig. Svarende til sætning 3.4 og sætning 3.5 gælder der følgende sætning. Sætning 3.7 Lad der være givet to funktioner f og g og et interval [a;b]. Da gælder ) 2) 3) b a b a b a b c f (x) d x = c a (f (x) + g (x)) d x = (f (x) g (x)) d x = f (x) d x. b a b a f (x) d x + f (x) d x b a b a g (x) d x. g (x) d x. Beviset udelades her, da sætningen følger umiddelbart af de tilsvarende sætninger for ubestemte integraler. For bestemte integraler gælder desuden følgende sætning: Sætning 3.8 Lad f være en funktion defineret på et interval, der indeholder tallene a, b og c. Da gælder, at b a c b f (x)d x = f (x)d x + f (x)d x. a c Bevis Lad F være en stamfunktion til f. Ud fra definition 3.6 får man b a = hvorved det ønskede er vist. f (x)d x = F (b) F (a) = F (b) F (c) + F (c) F (a) b c f (x)d x + c a f (x)d x, Sætning 3.8 viser i virkeligheden ikke andet end, at man kan opdele et bestemt integral i flere ved at opdele intervallet [a;b] i delintervaller.

58 58 3 Integralregning (2) f 3.6 Arealer under grafer Det viser sig, at der er en sammenhæng mellem det bestemte integral og arealet under grafen for en funktion. For en funktion f vil arealet mellem grafen og førsteaksen mellem de to tal a og b på førsteaksen, være givet ved b a f (x)d x, se figur 3.4. Det kræver dog, at grafen ikke skærer førsteaksen. a b () Figur 3.4: Det markerede areal har størrelsen b a f (x)d x. (2) f Dette kan formuleres som en sætning. Sætning 3.9 Hvis der for funktionen f gælder, at f (x) 0 i intervallet [a;b], er arealet A af den punktmængde der er begrænset af grafen for f og førsteaksen i intervallet [a;b] givet ved b A = f (x)d x. a a x b () Bevis Først antages, at f er voksende i hele intervallet [a;b]. Dernæst defineres en funktion A(x) på intervallet [a; b]. Funktionsværdien af A(x) er arealet mellem grafen for f og førsteaksen i intervallet [a; x], se figur 3.5. Figur 3.5: A(x) svarer til det viste areal. Da funktionen f er voksende, må der gælde (se figur 3.6(a)), at A(x + x) A(x) f (x) x, og (se figur 3.6(b)) A(x + x) A(x) f (x + x) x. Dette kan samles i dobbeltuligheden f (x) x A(x + x) A(x) f (x + x) x. (3.) Hvis man dividerer med x på alle sider af denne ulighed fås A(x + x) A(x) f (x) f (x + x). (3.2) x Figur 3.6: Det markerede areal mellem grafen og førsteaksen har arealet A(x + x) A(x). De to skraverede arealer f (x) x og f (x + x) x er hhv. mindre og større end dette areal. f (x + x) f (x) (2) f f (x + x) f (x) (2) f a x x + x b () a x x + x b () (a) A(x + x) A(x) f (x) x. (b) A(x + x) A(x) f (x + x) x.

59 3.6 Arealer under grafer 59 Nu lader man x 0. Herved vil og Uligheden (3.2) bliver så til f (x) f (x), f (x + x) f (x), A(x + x) A(x) A (x). x f (x) A (x) f (x), hvorved man kan konkludere, at A (x) = f (x), hvilket vil sige, at A er en stamfunktion til f. Derfor må 7 b a f (x)d x = A(b) A(a). Men ud fra definitionen af A(x) kan man se, at A(a) = 0, mens A(b) svarer til arealet mellem grafen for f og førsteaksen i intervallet [a; b]. A(b) A(a) er altså lig arealet, og sætningen er hermed vist for voksende funktioner. 7 Dette følger af definitionen på det bestemte integral. Hvis funktionen derimod er aftagende, er beviset principielt det samme, dog vil ulighedstegnene i (3.) og (3.2) vende den modsatte vej. Hvis funktionen ikke er monotont voksende eller aftagende, kan man dele førsteaksen op i funktionens monotoniintervaller. På disse intervaller gælder sætningen, og den må derfor gælde for hele intervallet pga. sætning 3.8. Her følger nogle eksempler på beregning af arealet mellem grafen for en funktion og førsteaksen: Eksempel 3.4 Hvis man skal finde arealet mellem grafen for funktionen f (x) = x og førsteaksen i intervallet [4;9], beregner man 9 4 [ d x = 2 x x Det søgte areal (se figur 3.7) er derfor 2. ] 9 4 = = 2. (2) f (x) = x Eksempel 3.5 På figur 3.8 kan man se, at grafen for funktionen 4 9 () f (x) = 3e x x 4 sammen med første- og andenaksen afgrænser en punktmængde M. Arealet af M kan bestemmes ved et bestemt integral. Før man kan beregne integralet, bliver man dog nødt til at kende integrationsgrænserne. Figur 3.7: Arealet mellem grafen for funktionen f og førsteaksen i intervallet [4; 9] er 2.

60 60 3 Integralregning (2) Den nedre grænse er 0, idet punktmængden begynder ved andenaksen. Den øvre grænse kan findes, der hvor grafen skærer førsteaksen. For at finde dette sted, skal man løse ligningen f (x) = 0, dvs. 3e x x 4 = 0. f (x) = 3e x x 4 M () Denne ligning kan ikke løses analytisk, så man bliver nødt til at anvende et CAS-værktøj, hvorved man finder ud af, at løsningen er Figur 3.8: Grafen for f (x) = 3e x + x 4 afgrænser sammen med akserne en punktmængde M. x =,8628. Man skal altså integrere f (x) over intervallet [0;,8628]. Det giver, ( 3e x x ) d x = [ 3e x x2 4 8 ],8628 = ( 3e,8628, = 2, ) ) ( 3e Punktmængden M har altså arealet 2, (2) f (x) = 2x 3 M () Figur 3.9: Punktmængden M ligger under førsteaksen. Hvis grafen ligger under førsteaksen Sætning 3.9 kan bruges til at beregne arealet mellem grafen for en funktion og førsteaksen, men kun hvis funktionens graf ligger over førsteaksen. Hvad mon der sker, hvis grafen ligger under førsteaksen? Eksempel 3.6 På figur 3.9 ses punktmængden M, der ligger mellem grafen for f (x) = 2x og førsteaksen i intervallet [;3]. Man kan ikke uden videre bruge det bestemte integral til at beregne arealet af M, da grafen for f ligger under førsteaksen. Glemmer man dette og beregner det bestemte integral, finder man 3 [ ( 2x ) d x = x 2 x ] 3 = ( 3 2 3) ( 2 ) = 0, og det giver ikke mening, da et areal ikke kan være negativt. Da der er tale om en lineær funktion, kan man dog beregne arealet geometrisk, idet M er et trapez, og her finder man, at arealet er 0. Altså giver det bestemte integral arealet, men med omvendt fortegn. Konklusionen fra eksemplet ovenfor gælder generelt. Det bestemte integral giver altså arealet mellem grafen og førsteaksen med fortegn. Ligger grafen for f over førsteaksen finder man altså arealet, men ligger den under, finder man arealet med negativt fortegn.

61 3.7 Arealer mellem grafer Arealer mellem grafer Det bestemte integral kan også bruges til at beregne arealer mellem grafer. Hvis den ene graf ligger helt over den anden, skal man blot finde arealet under begge graferne, og trække disse fra hinanden. Der gælder følgende sætning. Sætning 3.0 Lad der være givet to funktioner f og g, sådan at f (x) g (x) på hele intervallet [a; b]. Så er arealet mellem graferne for f og g i intervallet [a;b] givet ved b a (f (x) g (x)) d x. Bevis Idet grafen for f ligger over grafen for g er arealet under grafen for f større end arealet under grafen for g. Arealet mellem de to grafer er derfor b a f (x) d x som ifølge sætning 3.7 er lig med b a b a g (x) d x, (f (x) g (x)) d x. Eksempel 3.7 I dette eksempel beregnes arealet mellem graferne for de to funktioner f (x) = x2 3 i intervallet [ ;2] (se figur 3.0). + 6 og g (x) = x x + 3 På figuren kan man se, at grafen for f ligger over grafen for g. Arealet mellem de to grafer er derfor ifølge sætning (f (x) g (x)) d x = = = 2 (( x 2 ) ( 5 6 x2 2x + 3 ) d x [ ] 5 8 x3 x 2 + 3x )) ( x x + 3 d x 2 = ( ) ( 5 8 ( )3 ( ) ( ) ) = 7 2. Eksempel 3.8 På figur 3. kan man se, at graferne for de to funktioner (2) f g () 2 Figur 3.0: Arealet mellem graferne for f (x) = x2 x og g (x) = 2 + 2x + 3 i intervallet [ ;2]. f (x) = x 2 + og g (x) = x + 3

62 (2) 62 3 Integralregning M f g () afskærer en punktmængde M. Arealet af denne mængde kan bestemmes vha. et integral, men for at kunne gøre det skal man kende integrationsgrænserne. Man skal derfor finde ud af, ud for hvilke værdier af x de to grafer skærer hinanden. Dette gør man ved at løse ligningen f (x) = g (x): x 2 + = x + 3 x 2 + x 2 = 0 x = 2 x =. Figur 3.: Graferne for f (x) = x 2 + og g (x) = x + 3 afskærer en punktmængde M. Man skal derfor integrere over intervallet [ 2; ]. Idet grafen for g ligger over grafen for f i dette interval, skal man beregne 2 (g (x) f (x)) d x = = 2 2 ( ( x + 3) (x 2 + ) ) d x ( x 2 x + 2) d x [ ] = 3 x3 2 x2 + 2x 2 = ( ) = 9 2, og dette er altså arealet af punktmængden M. ( 3 ( 2)3 2 ( 2)2 + 2 ( 2) ) Sætning 3.0 kan også bruges i det tilfælde, hvor den ene graf (eller begge) ligger under førsteaksen. Så længe den ene graf ligger helt over den anden, er der intet problem. Eksempel 3.9 I dette eksempel beregnes arealet mellem graferne for i intervallet [0;3] (se figur 3.2). f (x) = x + og g (x) = 2 x + 3 Da grafen for f ligger over grafen for g skal man beregne 3 0 (f (x) g (x)) d x = 3 0 ( (x + ) (2 x + 3) ) 3 d x = ( 2 x + x 2) d x 0 (2) for at finde arealet. f Integralet kan beregnes ved håndkraft, men man kan også bruge et CASværktøj. Herved finder man, at arealet er 3 g () 3 0 ( 2 x + x 2) d x = 5,24. Figur 3.2: Arealet mellem graferne for f (x) = x + og g (x) = 2 x + 3.

63 Sandsynlighedsregning 4 Sandsynlighedsregning er en gren af matematikken, der beskæftiger sig med den kunst at sætte målbare tal på tilfældige fænomener. De første bøger om sandsynlighedsregning beskæftigede sig især med diverse spil.[3] Sandsynlighedregning beskæftiger sig i første omgang udfald og deres sandsynligheder. Et udfald kan forstås som resultat af et»eksperiment«. Det kunne f.eks. være Resultatet af et kast med en terning. Gevinsten på et skrabelod. Værdierne af 5 tilfældige spillekort. Sandsynlighederne er en beskrivelse af, hvor ofte et bestemt udfald af eksperimentet forekommer. F.eks. hvor ofte man får 5 ere i et kast med en terning. Kaster man en terning, vil sandsynligheden for at få en 5 er være 6 ; men hvad betyder det egentligt? Fortolkningen af denne sandsynlighed er, at hvis man slår med terningen et meget stort antal gange, vil ca. 6 af slagene resultere i 5 ere. I praksis er sandsynligheden fundet vha. denne formel antal gunstige udfald sandsynlighed = antal mulige udfald. (4.) Formlen virker dog kun i de tilfælde, hvor alle udfaldene er lige sandsynlige. For at gøre sandsynlighedsberegninger simplere, giver det derfor mening at beskrive udfaldene på en sådan måde, at alle udfaldene bliver lige sandsynlige. For let at kunne beskrive, hvilke af udfaldene, der betragtes som»gunstige«, beskriver man dem ved hjælp af en såkaldt stokastisk variabel. Det er en størrelse, der knytter et tal til de forskellige udfald. Den stokastiske variabel kunne f.eks. knytte tallet til de gunstige udfald og 0 til resten af udfaldene. 4. Udfald, hændelser og stokastiske variable En stokastisk variabel er derfor i virkeligheden ikke en variabel, men en funktion. Dette er dog ikke væsentligt i forhold til gennemgangen nedenfor. Ser man på et kast med en terning, så er der 6 muligheder for, hvad terningen kan vise. Disse muligheder er opsummeret i tabel 4.. De 6 muligheder er lige sandsynlige, og disse udgør udfaldsrummet U, der er 63

64 64 4 Sandsynlighedsregning mængden af alle mulige udfald, U = {,2,3,4,5,6}. Til hvert element u U i udfaldsrummet hører der en sandsynlighed 2 P et kommer fra det engelske ord probability, der betyder»sandsynlighed«. udfald er P(u), 2 som man kan se i tabel 4.. Summen af sandsynlighederne for alle. Tabel 4.: Mulige udfald ved et kast med en terning. u P(u) Tabel 4.2: Udfald ved kast med en terning, samt de tre stokastiske variable X, Y og Z. u P(u) X Y Z Enhver delmængde af udfaldsrummet kaldes en hændelse. En hændelse er altså en betegnelse for nogle bestemte udfald, som man kigger på i en given situation (det svarer til de»gunstige udfald«i formlen 4.). Nogle mulige hændelser kunne være: H = {6} H 2 = {,2} H 3 = {,3,5}. Hændelsen H svarer til at få en 6 er, H 2 svarer til at få en er eller en 2 er, mens H 3 svarer til at terningen viser et ulige tal. De tre hændelser kan beskrives ved tre stokastiske variable, X, Y og Z, som knytter et tal til de hændelser man ser på (dvs. hhv.»6 er«,» er eller 2 er«,»ulige tal«). De tre stokastiske variables værdier kan f.eks. vælges som i tabel 4.2. Værdierne af de stokastiske variable er valgt, sådan at alle de udfald, der hører til hændelsen, man ser på, har samme værdi. Tallene kan derudover være fuldstændigt tilfældige, men i praksis vil man dog ofte vælge dem, så de beskriver hændelsen bedst muligt. Sandsynligheden for en hændelse H betegnes med P(H) eller P(X = t), hvor t er den værdi af X, der udgør hændelsen. Ved at se på tabellen finder man ud af, at med de valgte værdier for de stokastiske variable er P(H ) = P(X = 6), P(H 2 ) = P(Y = 2) og P(H 3 ) = P(Z = ). Man beregner sandsynligheden for en hændelse ved at lægge alle de udfald, der udgør hændelsen, sammen: P(X = 6) = P(6) = 6 P(Y = 2) = P() + P(2) = = 3 P(Z = ) = P() + P(3) + P(5) = = Diskrete sandsynlighedsfordelinger Den type af udfaldsrum og stokastiske variable, der er gennemgået ovenfor, svarer til det man kalder diskrete sandsynlighedsfordelinger. Man taler om diskrete sandsynlighedsfordelinger, når udfaldene er adskilte, tællelige hændelser. Metoderne, man anvender her, er stort set de samme, som man anvender for ugrupperet statistik. Sandsynlighederne P(X = t) kan her forstås på samme måde som frekvenserne i statistikken.

65 4.2 Diskrete sandsynlighedsfordelinger 65 P K Figur 4.: Kaster man en mønt 3 gange, er der 8 forskellige muligheder for, hvordan udfaldet kan være. De udfald, der ender med 2 gange»krone«er markeret. P K P K P K P K P K P K Hvis man skal beregne sandsynlighederne for en hændelse, bliver det nemmere, hvis udfaldsrummet vælges, sådan at alle udfald er lige sandsynlige. Hvis man f.eks. kaster en mønt 2 gange og tæller antallet af»krone«, så er der 4 forskellige muligheder for, hvor mange gange man kan få»krone«: 0,, 2 eller 3 gange. Men disse muligheder er ikke lige sandsynlige, og det er derfor ikke smart at betegne dem som udfald. Man beskriver i stedet udfaldene som de kast, der rent faktisk kan forekomme, dvs. kombinationer af»plat«og»krone«: ppp, ppk, pkk, osv. Hvis man kigger på antallet af»krone«i 3 kast med en mønt, så er der tre mulige udfald der begge resulterer i 2 gange»krone«. Hændelsen, der udgør disse tre udfald, kan beskrives på denne måde H = { kkp,kpk,pkk }. Tabel 4.3: Værdierne af den stokastiske variabel X for alle mulige udfald af 3 kast med en mønt. u X (u) ppp 0 ppk pkp pkk 2 kpp kpk 2 kkp 2 kkk 3 For at få overblik over alle de mulige udfald, kan man tegne et såkaldt træ, se figur 4.. Her ses det, at der i alt er 8 mulige udfald, som er lige sandsynlige, og at hændelsen H ganske rigtigt indeholder 3 elementer. For at beregne sandsynlighederne, kan man lave en tabel over alle de 8 mulige udfald, og lade den stokastiske variabel X tælle antallet af»krone«i udfaldene (se tabel 4.3). Man kan se i tabellen, at X = 2 forekommer 3 steder, dvs. P(X = 2) = 3 8 = 3 8. Den samlede sandsynlighedsfordeling for antallet af»krone«i 3 kast med en mønt kan ses i tabel 4.4. En anden måde at præsentere sandsynlighedsfordelingen på er som stolpediagram. Et stolpediagram for sandsynlighedsfordelingen i tabel 4.4 kan ses på figur 4.2. Her følger et par eksempler på, hvordan man regner sandsynlighedsfordelinger ud for diverse stokastiske variable. Eksempel 4. Hvis et udfaldsrum U = {u,u 2,u 3,u 4 } med tilhørende sandsynlighed er givet som i tabel 4.5 og der samtidig er defineret en stokastisk variabel X Tabel 4.4: X s sandsynlighedsfordeling. P(X = t) 0,4 0,3 0,2 0, t P(X = t) Figur 4.2: X s sandsynlighedsfordeling som stolpediagram. t

66 66 4 Sandsynlighedsregning som i tabellen, så kan man beregne sandsynlighedsfordelingen for X på følgende måde. Der er tre værdier, som den stokastiske variabel kan antage, nemlig, 0 og 2. Sandsynlighederne for disse beregnes ud fra de udfald, der repræsenterer disse værdier: Tabel 4.5: En række udfald med tilhørende sandsynligheder og en stokastisk variabel X. u P(u) X u 0,2 u 2 0,4 0 u 3 0,3 u 4 0, 2 Tabel 4.6: De mulige værdier for X : summen af øjnene ved et kast med to terninger Tabel 4.7: Sandsynlighedsfordelingen for øjensummen ved et kast med to terninger. t P(X = t) P(X = ) = P(u ) + P(u 3 ) = 0,2 + 0,3 = 0,5 P(X = 0) = P(u 2 ) = 0,4 P(X = 2) = P(u 4 ) = 0,. Disse tre værdier beskriver sandsynlighedsfordelingen for den stokastiske variabel X. Eksempel 4.2 Ved et kast med to terninger består udfaldsrummet U af talpar (t, t 2 ), hvor t er øjnene på den første terning, og t 2 øjnene på den anden. Der er i alt 36 af sådanne talpar, udfaldsrummet har altså 36 elementer: U = { (,), (,2), (,3), (,4), (,5), (,6), (2,), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) } Alle disse udfald er lige sandsynlige, dvs. sandsynligheden af ét af udfaldene er 36. Man kan nu definere den stokastiske variabel X, hvis værdi er summen af øjnene på terningerne. De mulige værdier af X er så tallene fra 2 til 2, men det er ikke alle værdierne, der er lige sandsynlige. Som man kan se i tabel 4.6, er der nogle af værdierne, der forekommer oftere end andre. Hvis man nu vil vide, hvor sandsynligt det er, at få øjensummen 9 ved et kast med to terninger, kan man tælle antallet af 9-taller i tabel 4.6 og gange med 36, som er sandsynligheden for ét bestemt udfald. Der er fire 9-taller, så P(X = 9) = 4 36 = 9. Den samlede sandsynlighedsfordeling for X kan ses i tabel 4.7. Middelværdi og spredning Sandsynlighedsfordelingerne for stokastiske variable viser, hvor sandsynligt det er at få bestemte resultater af et eksperiment. Disse fordelinger kan behandles ligesom frekvenserne i statistik, og det giver derfor mening at bruge forskellige deskriptorer til at beskrive dem. Man har følgende definition.

67 4.3 Kontinuerte sandsynlighedsfordelinger 67 Definition 4. Lad X være en diskret stokastisk variabel med de mulige værdier x,...,x n, og lad p i = P(X = x i ). Da beregnes middelværdien µ X og spredningen σ X som µ X = x p + + x n p n σ X = (x µ X ) 2 p + + (x n µ X ) 2 p n Middelværdien viser, hvilken værdi, man kan forvente at få i gennemsnit, når man udfører eksperimentet en hel del gange. Spredningen viser til gengæld, hvor langt resultaterne i gennemsnit ligger fra middelværdien. Eksempel 4.3 Hvis man ser på antallet af»krone«i 3 kast med en mønt, så er sandsynlighedsfordelingen givet i tabel 4.4. Middelværdien kan beregnes ud fra tabellen som µ X = 0 P(X = 0) + P(X = ) + 2 P(X = 2) + 3 P(X = 3) = =,5. Dette er det antal»krone«, man må forvente at få i 3 kast med en mønt. Det er selvfølgelig ikke muligt at få»krone«,5 gange, så tallet skal forstås på den måde, at man må forvente at få»krone«gennemsnitligt,5 gange pr. kast. Eksempel 4.4 I foregående eksempel, blev det beregnet, at middelværdien af antallet af»krone«i 3 kast med en mønt er,5. Herudfra kan man beregne spredningen, σ X : σ X = = 0,75 = 0,866. (0,5) (,5) (2,5) (3,5)2 8 Dette er så et mål for, hvor langt værdierne for X i gennemsnit vil ligge fra middelværdien, Kontinuerte sandsynlighedsfordelinger De metoder, man anvender til at beskrive diskrete sandsynlighedsfordelinger, er de samme som anvendes i forbindelse med ugrupperet statistik. Ligesom man kan lave statistik på ugrupperede og grupperede data, findes der sandsynlighedsfordelinger, der svarer til begge disse muligheder.

68 0,3 0,2 0, (2) () Figur 4.3: Grafen for en frekvensfunktion. Det samlede areal under kurven er. 3 Dette svarer fuldstændigt til anvendelsen af histogrammer inden for den grupperede statistik Sandsynlighedsregning I den grupperede statistik inddeler man observationerne i intervaller med hver deres frekvens, hvilket man så bagefter kan indtegne i et histogram for at få et overblik. Arealet under hele histogrammet er altid eller 00%. Dette svarer til det, man kalder en kontinuert sandsynlighedsfordeling, blot skal man her forestille sig, at man kender fordelingen af sandsynligheder så godt, at man kan gøre intervallerne uendeligt smalle, sådan at man i stedet for et histogram får en glat kurve. Arealet under denne kurve er (se figur 4.3). Den funktion, som kurven på figur 4.3 er grafen for, kaldes sandsynlighedsfordelingens frekvensfunktion. Når man taler om kontinuerte fordelinger, giver det ikke mening at tale om sandsynligheden for at få en bestemt værdi. Man taler i stedet om sandsynligheden for at værdien falder i et bestemt interval. Denne beregnes som arealet under grafen for frekvensfunktionen mellem de to værdier. 3 Eksempelvis kan man beregne sandsynligheden for, at den stokastiske variabel X antager værdier i intervallet [t ; t 2 ] som t2 P(t X t 2 ) = f X (x)d x, t hvor f X er frekvensfunktionen for den stokastiske variabel X. En kontinuert stokastisk variabel kan derfor defineres som en størrelse, der antager værdier i et interval. Sandsynlighedsfordelingen for en stokastisk variabel X kan så beregnes vha. dens tilhørende frekvensfunktion f X (x), der er defineret på samme interval. 0,3 0,2 0, (2) () Figur 4.4: Sandsynligheden P( X 2) svarer til det markerede areal under grafen for frekvensfunktionen. Eksempel 4.5 Sandsynlighedsfordelingen for en stokastisk variabel X er givet ved frekvensfunktionen e x 3 f X (x) = (e x 3 + ) 2. Det er den samme frekvensfunktion, som er afbildet på figur 4.3. Sandsynligheden for, at den stokastiske variabel antager værdier i intervallet [;2] kan beregnes som Dvs. 2 2 e x+3 f X (x) d x = (e x + e 3 ) 2 d x = 0,497. P( X 2) = 0,497. Denne sandsynlighed svarer til det areal, der er markeret på figur 4.4. Eksempel 4.6 Sandsynlighedsfordelingen for en stokastisk variabel Y er givet ved frekvensfunktionen { 2 25 f Y (x) = x x x for 0 x 5. 0 ellers

69 4.3 Kontinuerte sandsynlighedsfordelinger 69 Funktionen har værdien 0 uden for intervallet [0;5], hvilket betyder, at Y kun kan antage værdier i dette interval. Hvis man vil beregne sandsynligheden for at den stokastiske variabel antager værdier i intervallet [2;3], skal man beregne Dvs. 3 2 f Y (x) d x = 3 2 ( 2 25 x x x) d x = P(2 Y 3) = = 0,296. Denne sandsynlighed svarer til det areal, der er markeret på figur 4.5. (2) 0,3 0,2 0, Fordelingsfunktionen () Da det kan være besværligt at skulle integrere frekvensfunktionen, hver gang man skal beregne en sandsynlighed, beregner man ofte sandsynlighederne ud fra fordelingsfunktionen, F X. Denne er defineret på følgende måde. Figur 4.5: Sandsynligheden P(2 Y 3) svarer til det markerede areal under grafen for frekvensfunktionen. Definition 4.2 Hvis den stokastiske variabel X har frekvensfunktionen f X, defineres fordelingsfunktionen som t F X (t) = P(X t) = f X (x) d x. (2) Fordelingsfunktionen giver arealet under grafen for frekvensfunktionen op til t. Grafen for en fordelingsfunktion bliver altså en graf, hvor funktionsværdierne vokser fra 0 til, se figur ,8 Grafen for fordelingsfunktionen svarer derfor til sumkurven i den grupperede statistik. Funktionsværdierne for F X svarer altså til kumulerede frekvenser. Ud fra fordelingsfunktionen, kan man beregne alle mulige sandsynligheder. Der gælder nemlig følgende sætning. 0,6 0,4 0, () Sætning 4.3 Hvis en stokastisk variabel X er defineret på intervallet [a; b] og har fordelingsfunktionen F X, så er Figur 4.6: Grafen for en fordelingsfunktion. Bemærk at funktionsværdierne stiger fra 0 mod, ligesom for en sumkurve. ) P(X t) = F X (t). 2) P(X t) = F X (t). 3) P(t X t 2 ) = F X (t 2 ) F X (t ). Bevis ) følger af definitionen på fordelingsfunktionen. 2) følger af, at P(X t) = P(X t) = F X (t).

70 70 4 Sandsynlighedsregning For at bevise 3), beregner man t2 P(t X t 2 ) = = = t t2 f X (x) d x t f X (x) d x + t2 f X (x) d x t t t f X (x) d x f X (x) d x f X (x) d x = F X (t 2 ) F X (t ). Eksempel 4.7 Sandsynligheden P( X 2), der blev beregnet i eksempel 4.5, kan beregnes vha. fordelingsfunktionen. Frekvensfunktionen var f X (x) = Dette giver fordelingsfunktionen Dvs. e x 3 (e x 3 + ) 2. t t e x 3 F X (t) = f X (x) d x = (e x 3 + ) 2 d x = e 3 t +. (2) P( X 2) = F X (2) F X () = e e 3 + = 0,497, hvilket er det samme som før. Funktionsværdierne F (2) og F () kan også aflæses på grafen, se figur ,27 0, () Figur 4.7: Sandsynligheden P( X 2) = F X (2) F X (). Eksempel 4.8 Sandsynligheden P(2 X 3), der blev beregnet i eksempel 4.6, kan man også beregne ved først at finde fordelingsfunktionen for sandsynlighedsfordelingen. Frekvensfunktionen var givet ved f Y (x) = { 2 25 x x x for 0 x 5. 0 ellers Da frekvensfunktionen kun har værdier forskellig fra 0 intervallet [0; 5] antager fordelingsfunktionen værdien 0 for x < 0 og for x > 5. I intervallet [0;5] bliver fordelingsfunktionen t F Y (t) = f Y (x) d x = t = 250 t t t 2. 0 ( 2 25 x x x) d x

71 4.3 Kontinuerte sandsynlighedsfordelinger 7 Fordelingsfunktionen er så samlet set 0 for t < 0 F Y (t) = 250 t t t 2 for 0 t 5 for t > 5. Denne fordelingsfunktion er den samme som den, hvis graf kan ses på figur 4.8. Sandsynligheden P(2 Y 3) kan nu beregnes som P(2 Y 3) = F Y (3) F Y (2) = = 37 25, hvilket heldigvis er det samme som før. De to funktionsværdier F Y (2) og F Y (3) kan ses afbildet på grafen på figur (2) Middelværdi og spredning Som for diskrete fordelinger kan man beskrive kontinuerte fordelinger vha. nogle deskriptorer. Man definerer derfor også her middelværdi og spredning. Dette gøres ud fra frekvensfunktionen () Figur 4.8: Grafen for F Y. Sandsynligheden P(2 Y 3) kan beregnes som F Y (3) F Y (2). Definition 4.4 Lad X være en kontinuert stokastisk variabel, og lad f X være dens frekvensfunktion. Da beregnes middelværdien µ X og spredningen σ X som µ X = x f X (x) d x σ X = (x µ X ) 2 f X (x) d x Disse udregninger bliver hurtigt besværlige, så det kan være en fordel at anvende et CAS-værktøj. (2) 0,3 0,2 0, Eksempel 4.9 I eksempel 4.5 havde den stokastiske variabel frekvensfunktionen µ X = 3 5 () f X (x) = e x 3 (e x 3 + ) 2. Figur 4.9: Grafen for f X (frekvensfunktionen) med indtegnet middelværdi µ X. Middelværdien bliver så e x 3 µ X = x f X (x) d x = x (e x 3 + ) 2 d x = 3,

72 72 4 Sandsynlighedsregning og spredningen bliver σ X = (x µ X ) 2 f X (x) d x = (x 3) 2 = π 3 3,29. e x 3 (e x 3 + ) 2 d x Grafen for tæthedsfunktionen sammen med en markering af middelværdien og spredningen kan ses på figur 4.9. Eksempel 4.0 Den stokastiske variabel i eksempel 4.6 havde frekvensfunktionen f Y (x) = { 2 25 x x x for 0 x 5. 0 ellers (2) Middelværdien kan nu beregnes vha. denne frekvensfunktion. Ved beregning skal man huske at funktionen kun antager værdier forskellig fra 0 i intervallet [0;5], dvs. 0,3 0,2 0, µ X = () Figur 4.0: Grafen for frekvensfunktionen f Y og middelværdien µ Y. µ Y = x f Y (x) d x = 5 0 x ( 2 25 x x x) d x = ,08. Middelværdien µ Y kan ses afbildet sammen med grafen for frekvensfunktionen på figur 4.0. Eksempel 4. Spredningen af den stokastiske variabel fra eksempel 4.6 kan beregnes, når man ved fra det foregående eksempel, at middelværdien er µ X = Så bliver spredningen σ Y = ( x 25 2) 2 fy (x) d x = = = 2,037. ( ) x 25 2 ( x x x) d x

73 Binomialfordelingen 5 Binomialfordelingen er en sandsynlighedsfordeling, som bruges til at beregne, hvor stor sandsynligheden er for at få et bestemt antal succeser i en række af eksperimenter. Det kunne f.eks. være, hvor stor sandsynligheden er for at få tre 6 ere, når man kaster en terning fem gange. Når man regner på denne situation, tager man udgangspunkt i et eksperiment, man kalder basiseksperimentet, som udføres et antal gange. Hver gang eksperimentet udføres er der en sandsynlighed for succes (som man kalder basissandsynligheden, p) og en sandsynlighed for fiasko (som er p). I ovenstående eksempel er basiseksperimentet et kast med en terning. Det eksperiment udføres fem gange. Basissandsynligheden er sandsynligheden for at få succes (dvs. en 6 er); den er 6. Sandsynligheden for fiasko er så 6 = 5 6, hvilket svarer til sandsynligheden for at få noget andet end en 6 er. Hvis man ikke får succes, så får man fiasko, dvs. sandsynligheden for succes og sandsynligheden for fiasko må tilsammen give. Hvis man skal have tre 6 ere i de fem kast, så kan det ske på flere måder. Det kunne f.eks. være de første tre kast, der gav 6 ere; eller det kunne være de sidste tre. De tre 6 ere kan altså falde på mange forskellige måder. For at man kan sige noget om sandsynligheden, er det derfor nødvendigt først at vide, på hvor mange forskellige måder, man kan få tre 6 ere i fem kast. 5. Binomialkoefficienten Binomialkoefficienten er et tal, der fortæller på hvor mange måder man kan vælge et bestemt antal ud af en større mængde, f.eks. på hvor mange måder man kan vælge 3 ud af 5. For at kunne stille en formel op, får man brug for noget notation, som gør formlerne nemmere at læse. Definition 5. Hvis n er et naturligt tal, definerer man n! på følgende måde, Tallet n! kaldes»n fakultet«. n! = n (n ) (n 2) 2. Eksempel 5. Tallet 6! er tallet 6! = =

74 74 5 Binomialfordelingen Som man måske kan fornemme, kan n! blive et temmeligt stort tal, selv for små værdier af n. Tabel 5.: Mulighederne for at vælge tre bogstaver ud af ABCDE. ABC ACD BCD CDE ABD ACE BCE ABE ADE BDE Hvis man skal vælge 3 ud af 5, er problemet ikke større, end at man kan tælle sig frem ved at gå systematisk til værks. Hvis man f.eks. skal vælge tre bogstaver ud af ABCDE kommer man frem til mulighederne i tabel 5.. Der er altså 0 forskellige måder at vælge 3 ud af 5 på. Dette tal kan man regne sig frem til ved følgende ræsonnement. Det første bogstav kan vælges på 5 måder, det næste på 4, og det sidste på 3 måder. Det giver i alt = 60 måder at vælge på. Det er mange gange flere end i tabellen, så der må være noget, man ikke har taget højde for. Det, man har glemt at tage højde for, er, at der ikke er forskel på, om man vælger ABC eller CBA, idet det jo er de samme tre bogstaver, der vælges i disse to tilfælde. Tre bogstaver kan arrangeres på 3 2 = 6 måder, så de 60, der blev beregnet ovenfor falder i grupper af 6, der er ens. Der er altså i virkeligheden 60 6 = 0 måder at vælge 3 ud af 5 på. Det er heldigvis samme tal, som man finder ved at tælle sig frem. Den samlede udregning er altså som kan omskrives til = 0, = = 5! 3! 2! = 5! 3! (5 3)!. Denne beregning kan altså bruges til at beregne, på hvor mange måder man kan vælge 3 ud af 5. Dette kan man oversætte til en generel formel. Definition 5.2 (Binomialkoefficienten) Binomialkoefficienten K n,r angiver på hvor mange måder, man kan vælge r ud af n. Tallet K n,r kan beregnes som K n,r = n! r! (n r )!. Eksempel 5.2 I et sæt spillekort er der 52 kort. Hvis man skal vælge 5 af disse kan det gøres på 52! K 52,5 = 5! (52 5)! = 52! 5! 47! = forskellige måder.

75 5.2 Binomialfordelingen Binomialfordelingen I foregående afsnit blev det beregnet, at der er 0 måder at vælge 3 ud af 5 på. Dvs. K 5,3 = 0. Hvis man skal beregne sandsynligheden for at få tre 6 ere i fem kast med en terning, ved man nu, at de tre 6 ere kan falde på 0 forskellige måder. Én af disse består i, at det er de første tre kast der giver 6 ere. Sandsynligheden for, at et kast giver en 6 er er 6. Dette skal ske i de første tre kast. Fjerde og femte kast må ikke give 6 ere, sandsynligheden for dette er 5 6. Den samlede sandsynlighed for at få først tre 6 ere og dernæst to kast, der giver noget andet, er derfor De første tre {}}{ De sidste to {}}{ ( = 6 6 ) 3 ( ) Alle de måder, man kan få de tre 6 ere på, må være lige sandsynlige. Hvis man er interesseret i, hvor sandsynligt det er at få tre 6 ere i fem kast (og altså ikke kun at få tre 6 ere i de første tre kast), må denne sandsynlighed ganges med antallet af måder, man kan få de tre 6 ere på, dvs. sandsynligheden bliver ( ) 3 ( ) = 25 0,0322. (5.) Hvis man samler alle deludregninger under ét kan udregningen (5.) skrives således ( ) 3 ( K 5, (5.2) 6 6) Her anvender man kun de tal, der oprindeligt ses på, nemlig antallet af 6 ere (3), antallet af kast (5) og sandsynligheden for at få en 6 er i et enkelt kast ( 6 ). Den generelle formel Når man skal skrive en generel formel for binomialfordelingen op, indfører man en stokastisk variabel X, der tæller antallet af succeser i n eksperimenter. I hver gentagelse af eksperimentet er der en sandsynlighed for succes, som er p. Man siger så, at X er binomialfordelt med antalsparameter n og basissandsynlighed p. Sandsynligheden for r succeser, P(X = r ), kan beregnes ved følgende formel, der er en generalisering af beregningen (5.2). Sætning 5.3 Hvis den stokastiske variable X er binomialfordelt med antalsparameter n og basissandsynlighed p, så er sandsynligheden for r succeser givet ved P(X = r ) = K n,r p r ( p) n r. Eksempel 5.3 Hvad er sandsynligheden for at få præcis fire ere i 5 kast med en terning?

76 76 5 Binomialfordelingen Tabel 5.2: Sandsynligheden for, at der er r oversvømmelser i løbet af 5 år. P(X = t) 0,4 0,3 0,2 0, r P(X = r ) 0 0,2373 0, , , , , Figur 5.: Sandsynlighedsfordelingen for X : Antal oversvømmelser i løbet af en 5-års periode. t Den stokastiske variabel, der tæller antallet af ere i de 5 kast, er binomialfordelt med antalsparameter 5 og basissandsynlighed 6. Sandsynligheden for at få de fire ere er derfor ( ) 4 ( P(X = 4) = K 5,4 ) ( ) 4 ( ) 5 = 365 = 0, Der er altså 4,8% sandsynlighed for at få præcis fire ere i 5 kast med en terning. Eksempel 5.4 På en lille tropeø i stillehavet er der i gennemsnit oversvømmelse om sommeren hvert 4. år. Sandsynligheden for at der kommer en oversvømmelse i løbet af en enkelt sommer er altså 4. Den stokastiske variabel, der tæller antallet af oversvømmelser i løbet af 5 år må være binomialfordelt med antalsparameter 5 og basissandsynlighed 4. I løbet af en 5-års periode kan der forekomme alt mellem 0 og 5 oversvømmelser. Den samlede sandsynlighedsfordeling kan man derfor finde ved at beregne P(X = 0), P(X = ),..., P(X = 5). Her er f.eks. ( ) 3 ( ) 3 2 P(X = 3) = K 5,3 = 0, Dette er altså sandsynligheden for, at der er oversvømmelser 3 gange i løbet af en 5-års periode. Den samlede fordeling kan ses i tabel 5.2. Et stolpediagram kan ses på figur 5.. Som man kan se både i tabellen og på figuren er, at det er mest sandsynligt, at der kommer oversvømmelse i et enkelt år; men man kan også se, at der er en forholdsvist stor sandsynlighed for, at der slet ikke kommer en oversvømmelse i løbet af de 5 år. Til gengæld er det meget lidt sandsynligt (0,000) at der kommer oversvømmelse i alle 5 år i en 5-års periode. Hvis man vil vide, hvor stor sandsynligheden er for, at der er højst én oversvømmelse i løbet af de 5 år, skal man udregne P(X ) = P(X = 0) + P(X = ) = 0, ,3955 = 0,6328. Det er altså meget sandsynligt, at der er højst én oversvømmelse i løbet af de 4 år. Til gengæld er der dog også en sandsynlighed på P(X > ) = P(X ) = 0,6328 = 0,3672 for at der er mere end oversvømmelse i løbet af 5 år. 5.3 Middelværdi og spredning Middelværdien og spredningen for en binomialfordelt stokastisk variabel er givet ved følgende formler, som ikke bevises.

77 5.3 Middelværdi og spredning 77 Sætning 5.4 Hvis den stokastiske variabel X er binomialfordelt med antalsparameter n og basissandsynlighed p, så er µ X = np σ X = np( p). Eksempel 5.5 Hvis man kaster med en terning 0 gange og tæller antallet af 5 ere, så er den stokastiske variabel, der repræsenterer antallet af 5 ere binomialfordelt med antalsparameter n = 0 og basissandsynlighed p = 6. Middelværdien er så µ X = n p = 0 6,667. Hvis man kaster en terning 0 gange, vil man derfor gennemsnitligt få,667 5 ere. Spredningen er σ X = np( p) = 0 ( 6 ) =,79. 6 Eksempel 5.6 I eksempel 5.4 blev der set på en stokastisk variabel med antalsparameter 5 og basissandsynlighed 4. Her er middelværdien og spredningen er σ X = np( p) = µ X = n p = 5 4 =,25, 5 ( 4 ) = 0,

78

79 Normalfordelingen 6 Mange statistiske målinger resulterer i frekvensfordelinger, der med god tilnærmelse følger den statistiske fordeling, der kaldes normalfordelingen. Et eksempel på dette kunne være tykkelsen af brød skåret på en maskine. Ingen maskine skærer helt perfekt. I tabel 6. ses målinger foretaget på en maskine, der skal skære brød i cm tykke skiver. Nogle af skiverne bliver for tykke og nogle for tynde; men det ser dog ud til, at de fleste har en tykkelse på omkring cm. Ud fra tallene i tabellen kan man også finde middelværdien µ og spredningen σ for tykkelsen af brødskiverne. Det viser sig, at µ =,5 og σ = 0,248. På figur 6. er der tegnet et histogram over fordelingen fra tabel 6.. På figuren er også indtegnet grafen for frekvenssfunktionen for normalfordelingen med middelværdi,5 og spredning 0,248. frekvensfunktionens graf er en klokkeformet kurve, der ser ud til at passe ganske godt med de målte værdier af brødskivernes tykkelse. Forskriften for frekvensfunktionen er den følgende. Definition 6. Normalfordelingen med middelværdi µ og spredning σ har frekvensfunktionen f norm (x;µ,σ) = σ (x µ) 2 2π e 2σ 2. Den tilsvarende fordelingsfunktion er t F norm (t;µ,σ) = f norm (x;µ,σ) d x. Tabel 6.: Målinger på 00 skiver brød skåret på en maskine.,5 0,5 (2) Tykkelse (cm) Antal 0,55 0,65 2 0,65 0,75 4 0,75 0,85 6 0,85 0,95 9 0,95,05 4,05,5 6,5,25 5,25,35 0,35,45 0,45,55 8,55,65 6 0,5,5 () Figur 6.: Histogram over tykkelsen af brødskiver. Der er mange fænomener, der resulterer i normalfordelte data. Nogle af de fænomener der følger en sådan fordeling kunne være Målefejl i eksperimenter. Størrelsen af ting, der er maskinelt fremstillet (som f.eks. tykkelsen af brødskiverne ovenfor). Biologiske variable som f.eks. højde og vægt. 79 Mange biologiske variable er dog kun tilnærmelsesvis normalfordelte og er i virkeligheden log-normalfordelte.[4].

80 80 6 Normalfordelingen Figur 6.2: Hvis frekvensfunktionerne har den samme spredning, men forskellig middelværdi, er graferne forskudt vandret. Har de den samme middelværdi, men forskellig spredning, ændres bredden af kurven. 0,6 (2) µ = µ = µ = 2 0,8 0,6 (2) 0,8 σ = 2 0,4 0,2 0,4 0,2 σ = σ = () 2 3 () (a) Forskellig middelværdi. (b) Forskellig spredning. Middelværdien og spredningen påvirker udseendet af kurven. Hvis man ændrer middelværdien flytter kurven sig i vandret retning. Hvis spredningen bliver mindre, bliver kurven smallere; bliver spredningen større, bliver kurven bredere (se figur 6.2). Som for alle andre kontinuerte sandsynlighedsfordelinger finder man sandsynligheden for at få en måling i et bestemt interval ved at bestemme arealet under grafen for frekvensfunktionen i det pågældende interval. Eksempel 6. En maskine på en fabrik fylder kg poser med sukker. Vægten af poserne er normalfordelt med middelværdien µ = 000 g og spredning σ = 25 g. Frekvensfunktionen er så f norm (x;000,25) = 2π 25 e (x 000) Sandsynligheder beregnes dog nemmest ud fra fordelingsfunktionen. Sandsynligheden for i en stikprøve at få en pose, der vejer mellem 950 og 975 g bliver P(950 X 975) = F norm (975;000,25) F norm (950;000,25) = 0,359 = 3,59%. Der er altså en ikke ubetydelig sandsynlighed for at få fat i en pose der vejer et lille stykke under kg. Grafen for normalfordelingens frekvensfunktion er symmetrisk omkring middelværdien. Faktisk opfører frekvensfunktionen sig så pænt, at man har følgende sætning (som ikke bevises her). Sætning 6.2 Hvis X er en normalfordelt stokastisk variabel med middelværdi µ og spredning σ er P(µ σ X µ + σ) = 0,6827 P(µ 2σ X µ + 2σ) = 0,9545 P(µ 3σ X µ + 3σ) = 0,9973.

81 6 Normalfordelingen 8 68,27% 3,59% 3,59% 2,4% 2,4% µ 3σ µ 2σ µ σ µ µ + σ µ + 2σ µ + 3σ Figur 6.3: For en normalfordelt stokastisk variabel gælder, at sandsynligheden for at X ligger i et symmetrisk interval på spredning til hver side af middelværdien er et fast tal. Det samme gælder for et interval på 2 spredninger til hver side af middelværdien, osv. Ud fra denne sætning kan man se, at 68,27% af alle målinger vil ligge i et interval der dækker spredning til hver side af middelværdien. 95,45% vil ligge i et interval på 2 spredninger til hver side af middelværdien, osv. Dette kan ses illustreret på figur 6.3. Eksempel 6.2 Her ses igen på eksemplet med brødskiverne fra starten af kapitlet. Det viste sig, at den stokastiske variabel, der angiver tykkelsen af brødskiverne med god tilnærmelse er normalfordelt med middelværdi µ =,5 og spredning σ = 0,248. Ud fra dette kan man få svar på spørgsmål som (2) ) Hvad er sandsynligheden for at få en skive brød, hvis tykkelse er mellem 0,9 cm og cm? 2) Hvad er sandsynligheden for at få en skive brød, hvis tykkelse er over,3 cm? Begge svar findes nemmest ved at bruge fordelingsfunktionen F norm (t;,5,0,248) til at udregne arealet under grafen for frekvensfunktionen. Sandsynligheden for at få en skive brød med en tykkelse mellem 0,95 cm og cm er så P(0,9 X ) = F norm (;,5,0,248) F norm (0,9;,5,0,248) = 0,56. Sandsynligheden for at få en skive brød, der er tykkere end,3 cm er,5 0,5 0,5,5 (a) P(0,9 X ) = 0,56. (2),5 () P(X,3) = P(X,3) = F norm (,3;,5,0,248) = 0,2740. De arealer, der repræsenterer sandsynlighederne kan ses på figur ,5 0,5,5 (b) P(X,3) = 0,2740. () Figur 6.4: Sandsynlighederne for at brødskivernes tykkelser falder i bestemte intervaller kan aflæses som arealet under grafen for tæthedsfunktionen.

82

83 Hypotesetest 7 I dette kapitel gennemgås to metoder til at undersøge en hypotese på baggrund af en stikprøve. Begge typer af tests tager udgangspunkt i den sandsynlighedsfordeling, der hedder χ 2 -fordelingen. 7. Statistiske test Et slikfirma, der producerer en bestemt slags vingummier, oplyser på sin hjemmeside, at fordelingen af vingummiernes farver er 20% røde, 30% gule og 50% grønne. Hvis man skal teste, om firmaets påstand om fordelingen af de forskellige farver vingummier er korrekt, er det oplagt at tage en stikprøve. En sådan stikprøve kunne f.eks. bestå i at købe en maxipose med 00 vingummier og se på farvefordelingen. Resultatet af en sådan stikprøve kan ses i tabel 7.. I tabellen kan man også se de forventede værdier, dvs. hvor mange vingummier af hver slags, man forventer at finde i posen. De forventede værdier er simpelthen beregnet ved at tage hhv. 20%, 30% og 50% af de 00 vingummier man forventer altså at finde præcis den fordeling, som firmaet har oplyst. I virkeligheden kan man ikke ud fra en stikprøve se, om firmaets påstand er korrekt. Idet firmaet producerer et meget stort antal poser med vingummier, så kan man sagtens forestille sig, at man kan finde en pose, hvor der næsten udelukkende er røde vingummier i. På den anden side, er det næppe ret sandsynligt at finde sådan en pose, hvor der næsten kun er røde vingummier. Hvis man tager en stikprøve og finder 98 røde vingummier, vil man derfor nok mene at firmaets påstand er forkert. Tabel 7.: Fordelingen af vingummier i en pose med 00 stk. Farve Antal Forventet Rød 6 20 Gul Grøn Spørgsmålet bliver altså i stedet, hvor langt stikprøvens værdier må ligge fra de forventede, for at vi stadig kan acceptere påstanden. For at give et mål for, hvor langt de to fordelinger ligger fra hinanden beregner man den såkaldte Q-værdi. Definition 7. Afstanden mellem den observerede fordeling o,...,o n og den forventede fordeling f,...,f n måles ved Q-værdien: Q = (o f ) 2 f + (o 2 f 2 ) (o n f n ) 2. f 2 f n 83

84 84 7 Hypotesetest Tallet n i definitionen er antallet af kategorier. I dette tilfælde er n = 3, da der er 3 forskellige farver vingummier. Så i eksemplet skal man lægge 3 brøker sammen for at beregne Q-værdien: (6 20)2 (40 30)2 (44 50)2 Q = + + = 4, Fordelingen af Q-værdier Før man kan sige, om denne Q-værdi er lille eller stor, er det nødvendigt at vide noget om, hvad man kan forvente af en stikprøve, hvis påstanden er rigtig. For at få et overblik over, hvilke Q-værdier man kan forvente, kan man derfor lave en computersimulering af stikprøver. Computersimuleringerne laves med det udgangspunkt, at firmaets påstand er korrekt. Tabel 7.2: Fordelingen af Q-værdier ved simulering af hhv. 30, 00 og 000 stikprøver. Værdier over 0 er ikke taget med i tabellen. Antal stikprøver Q [0; [ [; 2[ [2; 3[ 2 37 [3; 4[ [4; 5[ [5; 6[ 2 32 [6; 7[ [7; 8[ [8; 9[ [9; 0[ Hver gang man simulerer en stikprøve får man en ny Q-værdi. Den ene Q-værdi, der blev beregnet ovenfor, kan ikke fortælle noget om, hvordan stikprøverne typisk vil se ud men det kan man finde ud af, hvis man laver mange simuleringer. I tabel 7.2 er angivet, hvordan Q-værdierne fordelte sig ved simulering af hhv. 30, 00 og 000 forskellige stikprøver. Som man kan se i tabellen er der (som man måske kunne forvente) mange flere stikprøver med små Q-værdier end med store. Det betyder, at værdierne i en stikprøve ofte vil ligge tæt på de forventede værdier. Man kan måske få en endnu bedre idé om, hvordan Q-værdierne fordeler sig ved at lave en grafisk afbildning. På figur 7. kan man se to histogrammer lavet ud fra tabel 7.2. Enhederne på graferne er valgt, så arealet af en søjle svarer til frekvensen af det pågældende interval. På figuren kan man måske fornemme, hvordan fordelingen af Q-værdierne nærmer sig en bestemt fordeling. Hvis man gentog computersimuleringerne, ville man med garanti få nogle andre tal end dem i tabel 7.; men det er helt sikkert, at man vil ende med en fordeling, der ligner den på figur 7.(c), hvis blot man simulerer et stort antal stikprøver. Man kan matematisk regne sig frem til, hvordan Q-værdierne vil fordele sig for et meget stort antal stikprøver. På figur 7.(c) er der indtegnet en kurve, der følger denne fordeling. Som man kan se, er der en fin overensstemmelse mellem kurven og histogrammet. Kurven på figur 7.(c) viser altså, hvordan Q-værdierne vil fordele sig ved et stort antal stikprøver (når fordelingen af farver er, som firmaet siger). Figur 7.: Fordelingen af Q-værdier ved 30, 00 og 000 stikprøver. På den sidste figur er tilføjet grafen for frekvensfunktionen for χ 2 med 2 frihedsgrader. 0,4 0,2 0,4 0,2 0,4 0,2 f χ 2 (x;2) Q Q Q (a) 30 stikprøver. (b) 00 stikprøver (c) 000 stikprøver

85 7.3 Goodness of fit 85 Den viste kurve er frekvensfunktionen for en ganske bestemt sandsynlighedsfordeling, nemlig χ 2 -fordelingen med 2 frihedsgrader. Hvordan fordelingen præcist ser ud afhænger af, hvor mange kategorier, der er i fordelingen. Det er dette der beskrives ved antallet af frihedsgrader, som er 2 d f = antal kategorier. I eksemplet med vingummierne er d f = 2, fordi der er 3 forskellige farver. Frekvensfunktionen for χ 2 -fordelingen med n frihedsgrader betegnes med f χ 2(x;n). På figur 7.2 kan man se graferne for frekvensfunktionerne med d f =,..., Goodness of fit χ 2 -fordelingen er hovedgrundlaget for en statistisk testmetode kaldet goodness of fit, som første gang blev beskrevet i en artikel af Karl Pearson i 900.[5] Ideen i testen er, at man matematisk kan vise, at hvis man kender fordelingen af N variable, så vil Q-værdierne for et uendeligt stort antal stikprøver fordele sig som f χ 2(x; N ). I eksemplet med vingummierne fandt man en Q-værdi på 4,85. Hvis firmaets påstand om fordeling er korrekt, så skal alle de Q-værdier, man kan få i en stikprøve, følge fordelingen f χ 2(x;2). Det kan man bruge til at bestemme, hvor sandsynligt det er, at få en stikprøve med en Q-værdi på 4,85 eller mere, hvis firmaets påstand er korrekt. Denne sandsynlighed beregnes ud fra fordelingsfunktionen F χ 2(x;2), sådan at Tegnet χ er det græske bogstav chi (udtales ki ). 2 Antallet af frihedsgrader viser, hvor mange af tallene i tabellen, det er nødvendigt at kende, for at man kender dem alle. Hvis man ved, at der er 00 vingummier, behøver man kun kende to af værdierne i stikprøven for at kende alle tre. 0,6 0,4 0,2 (2) f χ 2 (x;) f χ 2 (x;2) f χ 2 (x;3) f χ 2 (x;4) f χ 2 (x;5) () Figur 7.2: χ 2 -fordelingen med hhv., 2, 3, 4 og 5 frihedsgrader. P(Q 4,85) = P(Q < 4,85) = F χ 2(4,85;2). Funktionen F χ 2(x;n) er en meget kompliceret funktion, men den er heldigvis bygget ind i de fleste CAS-værktøjer, så vha. et CAS-værktøj beregner man (2) P(Q 4,85) = P(Q < 4,85) = F χ 2(4,85;2) = 0,088 = 8,8%. Dette tal betyder, at hvis firmaets påståede fordeling er korrekt, så er der 8,8% sandsynlighed for at tage en stikprøve med en Q-værdi på 4,85 eller mere. Dette kan ses illustreret på figur 7.3. Nulhypotese og signifikansniveau Selv om man nu har fundet ud af, at der er 8,8% sandsynlighed for at få en Q-værdi på 4,85 eller derover, har man stadig ikke fået afklaring på, om man vil acceptere firmaets påstand. 0,5 0,25 0, f χ 2 (x;2) 4,85 () Figur 7.3: Arealet af det skraverede stykke er 0,088, dvs. P(Q 4,85) = 8,8%. Inden man beregner Q-værdien og den tilhørende sandsynlighed, skal man derfor have afgjort med sig selv, hvor lille sandsynligheden skal være, for at man ikke længere tror på påstanden. Dette kalder man signifikansniveauet.

86 86 7 Hypotesetest Typiske valg for signifikansniveauet er %, 5% eller 0%. For at finde ud af, om man skal tro på firmaets påstand, udfører man derefter en hypotesetest. Hele fremgangsmåden er den følgende: ) Først beskriver man den hypotese, man vil teste. Denne kaldes nulhypotesen, H 0. I dette tilfælde er H 0 : Der er 20% røde, 30% gule og 50% grønne vingummier. 2) Dernæst vælges et signifikansniveau. Her kan man f.eks. vælge 5%. 3) På baggrund af nulhypotesen beregner man nu de forventede værdier. Derefter beregner man Q-værdien for stikprøven. Her er Q-værdien beregnet ovenfor: Q = 4,85. 4) Man beregner derefter sandsynligheden for i en tilfældig stikprøve at få en Q-værdi som er større end eller lig med den, man har fået. Antallet af frihedsgrader i den anvendte χ 2 -fordeling er én mindre end antallet af kategorier. Her blev P(Q 4,85) = 8,8%. 5) Til sidst ser man, om den fundne sandsynlighed er større eller mindre end det valgte signifikansniveau. Er sandsynligheden mindre, forkastes nulhypotesen, hvis den er større godtages hypotesen. I dette tilfælde godtages hypotesen, idet 8,8% > 5%, som var det valgte signifikansniveau. 3 Jo lavere signifikansniveau man vælger, jo større sandsynlighed er der for at godtage en hypotese, selvom den kan vise sig at være forkert (falsk positiv). Omvendt er der større sandsynlighed for at forkaste en rigtig hypotese (falsk negativ), hvis man vælger et højt signifikansniveau. 0,5 0,25 0, (2) f χ 2 (x;2) Q = 4,85 k = 5,99 () Figur 7.4: Arealet af det skraverede stykke er 0,05 = 5%. Her ligger Q = 4,85 under den kritiske værdi k = 5,99, så nulhypotesen godtages. Hvis man i stedet for 5% havde valgt et signifikansniveau på 0%, ville man have forkastet hypotesen. Det er derfor vigtigt, at signifikansniveauet altid vælges, inden undersøgelsen foretages ellers kan man blot vælge signifikansniveauet sådan, at hypotesen bliver bekræftet, hvis det er det, man ønsker. 3 Kritisk værdi I undersøgelsen ovenfor blev det beregnet, at sandsynligheden for at få en Q-værdi på 4,85 eller mere lå på 8,8%. I stedet for at lave denne beregning, kunne man have undersøgt, hvor stor Q-værdien maksimalt kan være, før sandsynligheden kommer under signifikansniveauet. Denne maksimale værdi kaldes den kritiske værdi. I eksemplet med vingummierne finder man den kritiske værdi, k, ved at løse ligningen P(Q k) = 0,05 F χ 2(k;2) = 0,05. Hvis man løser denne ligning vha. et CAS-værktøj, finder man k = 5,99. Dvs. hvis Q-værdien ligger under denne værdi, så godtages hypotesen. Dette kan ses illustreret på figur 7.4.

87 7.4 Test for uafhængighed Test for uafhængighed I tabel 7.3 ses resultatet af en meningsmåling op til et valg, hvor der kan stemmes på partierne D, M og Q. Som man kan se i tabellen, stemmer mænd og kvinder ikke helt ens. Idet der er forskel, kan man stille sig selv det spørgsmål, om der er en sammenhæng mellem partivalg og køn. χ 2 -fordelingen kan her bruges til at undersøge, om partivalget er uafhængigt af køn. Tabel 7.3: Resultatet af en meningsmåling. Mænd Kvinder D M Q Ved ikke For at kunne bruge χ 2 -fordelingen til at svare på dette spørgsmål, skal man først have beregnet en Q-værdi. Men for at beregne en Q-værdi, skal man kende den forventede fordeling af stemmer. Denne beregner man ud fra den antagelse, at der er uafhængighed mellem de afgivne stemmer, og folks køn. Man beregner altså, hvor mange procent, der i alt stemmer på de forskellige partier, uanset køn. I tabel 7.4 er der udregnet, hvor mange mennesker (uafhængigt af køn), der stemmer på de forskellige partier. Derefter er der udregnet, hvor mange procent det svarer til. Man kan f.eks. se, at 386 mænd og 297 kvinder vil stemme på parti D. Dette svarer til 683 stemmer i alt. Da der er 30 deltagere i meningsmålingen i alt, bliver den andel der vil stemme på parti D 683 = 0,525 = 52,5%. 30 Resten af procentsatserne regnes ud på samme måde. De forventede værdier beregnes nu ud fra den antagelse, at mænd og 683 kvinder stemmer ens, dvs. 30 af mændene stemmer på parti D, og det gør af kvinderne også. Da der er 695 mænd i undersøgelsen, bliver den forventede værdi for mændene = 364,9. 30 Der er 606 kvinder, så derfor bliver det forventede antal kvinder, der stemmer på parti D = 38,. 30 Resten af udregningerne af de forventede værdier kan ses i tabel 7.5. Mænd Kvinder I alt I alt i pct. D M Q Ved ikke I alt = 52,5% = 20,% = 23,3% = 4,2% Tabel 7.4: I denne tabel er beregnet, hvor mange der sammenlagt stemmer på det enkelte parti, og hvor stor en procentdel dette tal udgør af det samlede antal adspurgte.

88 88 7 Hypotesetest Tabel 7.5: De forventede værdier regnes ud på baggrund af den procentvise fordeling i tabel 7.4. Bemærk, at»i alt«-tallene bliver de samme for de forventede værdier som for de observerede værdier. D M Q Ved ikke Mænd Kvinder I alt = 364, = 39, = 6, = 28, = 38, = 2, = 4, = 25,2 54 I alt Når nu de forventede værdier er beregnet, kan man beregne Q-værdien. Iflg. definition 7. er Q = (o f ) 2 f + (o 2 f 2 ) 2 f (o n f n ) 2 ( ,9)2 (297 38,)2 (30 25,2)2 = ,9 38, 25,2 = 6,95. I beregningen indgår der i alt 8 brøker, idet der er 8 målte værdier i den oprindelige tabel (tabel 7.3). Frihedsgrader Når nu Q-værdien er bestemt, skal man bestemme antallet af frihedsgrader for at kunne lave en hypotesetest ud fra χ 2 -fordelingen. f n 4 Antallet af frihedsgrader svarer til, hvor mange af tallene i tabellen, man skal kende for at kunne regne resten ud (under forudsætning af, at man ved, hvor mange der blev spurgt i alt). Antallet af frihedsgrader bestemmes ved at kigge på antallet af rækker og kolonner i den oprindelige meningsmåling (tabel 7.3). Antallet af frihedsgrader beregnes så som 4 d f = (antal rækker ) (antal kolonner ). I eksemplet med meningsmålingen er der 4 rækker og 2 kolonner, så d f = (4 ) (2 ) = 3. Test og konklusion Beregning af Q-værdi og bestemmelsen af antal frihedsgrader er nødvendigt for at kunne udføre en test for uafhængighed. Fremgangsmåden er nærmest den samme som for goodness of fit-testen. ) Opstil nulhypotesen. I eksemplet er nulhypotesen H 0 : Der er ingen sammenhæng mellem køn og partivalg. 2) Vælg et signifikansniveau. Det kan f.eks. være 0%. 3) Bestem de forventede værdier og beregn Q-værdien. I eksemplet blev Q = 6,95. 4) Bestem antallet af frihedsgrader, d f og beregn den kritiske værdi k. I eksemplet blev d f = 3, så den kritiske værdi bestemmes ved at 5 Husk, at signifikansniveauet blev valgt til løse ligningen 5 0% = 0,0. F χ 2(k;3) = 0,0 Løser man denne ligning på et CAS-værktøj, finder man k = 6,25.

89 7.5 Valg af test 89 5) Da Q-værdien ligger over den kritiske værdi (se illustration på figur 7.5), forkastes nulhypotesen. Man konkluderer derfor, at der er en sammenhæng mellem køn og partivalg. 0,2 (2) f χ 2 (x;3) 7.5 Valg af test 0, Q = 6,95 Som det fremgår af afsnittene ovenfor findes der to forskellige χ 2 -tests: Goodness of fit og test for uafhængighed. 6 Når man ser på et datasæt og skal vælge fremgangsmåde, er det derfor vigtigt at kunne skelne mellem de to typer test. Goodness of fit Goodness of fit-testen bruges til at sammenligne en stikprøve med en fordeling, man allerede kender. Det kunne f.eks. være valgdata fra et tidligere år, oplagstal for en avis fra tidligere, osv. osv. Skal man bruge goodness of fit, er det altså fordi man skal sammenligne en stikprøve med nogle tal, man kender inden stikprøven bliver taget. Uafhængighedstest k = 6,25 () Figur 7.5: Arealet af det skraverede stykke er 0,0 = 0%. Her ligger Q = 6,95 over den kritiske værdi k = 6,25, så nulhypotesen forkastes. 6 Enkelte CAS-værktøjer kalder kun testen for uafhængighed for en χ 2 -test. Man kan kun antage, at det er noget man har gjort for at forvirre folk mest muligt. Både goodness of fit og testen for uafhængighed er altså χ 2 -tests. I en uafhængighedstest kender man ikke tidligere data. Her undersøger man en stikprøve for at finde ud af, om der er en sammenhæng i de tal man har målt. Det kunne f.eks. være en undersøgelse for om mænd og kvinder vælger ens i en række spørgsmål, eller om unge og gamle har forskellige politiske holdninger, osv. En uafhængighedstest kan altså bruges, når man vil finde sammenhænge mellem forskellige kategorier, udelukkende vha. tallene fra stikprøven. Altså: Sammenligner man en stikprøve med nogle data, man kender, inden stikprøven tages, så skal man bruge goodness of fit. Sammenligner man kun de enkelte data inden for stikprøven, skal man bruge en uafhængighedstest. 7.6 Konklusioner på hypotesetests Når man står med et datasæt, som skal analyseres i forhold til en kendt fordeling eller skal testes for uafhængighed, er der nærliggende at formulere den hypotese, at der er en forskel. Det er bare ikke det scenarie, man stiller op, for det kan man ikke teste. Det eneste man kan teste, er om et datasæt svarer til en kendt fordeling (goodness of fit) eller til en ligefordeling (test for uafhængighed). Den nulhypotese, man formulerer, går derfor altid ud på, at der ikke er en signifikant forskel. Også selv om det i virkeligheden er det modsatte, man er interesseret i at vide.

90 90 7 Hypotesetest Hvis der er tale om goodness of fit, vil H 0 altså være, at den målte fordeling svarer til den forventede. Altså, at der ikke er forskel. Er der tale om test for uafhængighed, vil H 0 være, at der ikke er en sammenhæng. Hvis der er forskel eller sammenhæng, vil det derefter vise sig, at man forkaster H 0. At forkaste en nulhypotese svarer til, at man finder en Q- værdi, der ligger over den kritiske værdi. Sammenligner man i stedet direkte med signifikans-niveauet, vil man forkaste nulhypotesen, når man finder en p-værdi, der ligger under signifikansniveauet. Når man analyserer H 0 kan dette altså gøres på to måder: ) Bestem den kritiske værdi ud fra signifikansniveauet. Forkast H 0, hvis Q er større end den kritiske værdi. 2) Bestem p-værdien. Forkast H 0, hvis p er mindre end signifikansniveauet.

91 Mængdelære A Mængdelæren er en af de discipliner som rigtigt megen anden matematik (f.eks. funktionsbegrebet og sandsynlighedsregningen) bygger på. I dette afsnit gives derfor en kort gennemgang af nogle af de centrale begreber inden for mængdelæren. A. Mængder En matematisk mængde kan defineres som en samling af objekter. I princippet kan et»objekt«være hvad som helst, men her ses kun på mængder af tal. En mængde kan defineres på følgende måde. Definition A. En mængde er en veldefineret samling af indbyrdes forskellige objekter. Bemærk, at der altså kræves, at de objekter, der indgår i mængden, skal være forskellige. Man kan altså ikke lave en mængde, der består af fire 2-taller; der kan kun være ét. Mængder benævnes normalt med store bogstaver, man kan f.eks. tale om mængden M. Hvis man vil angive, at mængden M består af tallene,, 2, 3 og 0 skriver man M = {,2,3,0}. (A.) Dette kaldes at skrive mængden på listeform. Man kan se, at tallet 3 ligger i mængden M. Hvis man vil skrive dette matematisk, skriver man 3 M, I princippet behøver tallene ikke at skrives i rækkefølge, dvs. {,2,3} og {3,,2} er den samme mængde. hvilket læses»3 tilhører M«eller»3 er element i M«. Matematisk notation er sådan indrettet, at man mange gange kan sige det modsatte ved blot at overstrege et symbol. Hvis man vil sige, at 7 ikke er element i M, skriver man 7 M. Meget store mængder Man kan af og til komme ud for, at en mængde indeholder rigtigt mange tal. Hvis det er tilfældet, kunne det tænkes, at det bliver uoverkommeligt og måske også uoverskueligt at skrive alle tallene op på listeform, som 9

92 92 A Mængdelære i (A.). Hvis man f.eks. skal skrive mængden H af alle positive, hele tal mellem 0 og 00, kan man skrive følgende: H = {,2,3,...,00}. Man skriver altså lige præcis nok tal, til at læseren kan regne ud, hvordan man fortsætter, og skriver derefter det sidste tal. Prikkerne... sættes så ind i stedet for alle de mange tal, man ikke lige havde plads til på papiret. I princippet kan man også forestille sig en mængde, der»ikke slutter«. Mængden af positive, ulige tal indeholder f.eks. uendeligt mange elementer. Denne mængde kan man skrive på følgende måde: U = {,3,5,7,...}. Specielle mængder Der findes nogle mængder, som man ofte refererer til i mængdelæren. Man bruger specielle symboler for disse mængder, nemlig Den tomme mængde, dvs. en mængde der ikke indeholder nogen elementer overhovedet. N De naturlige tal, mængden af hele positive tal, N = {,2,3,4,5,...}. Bemærk, at 0 ikke er med. Z De hele tal, mængden Z = {..., 2,,0,,2,3,...}. Q De rationale tal, mængden af alle tal, der kan skrives som brøker, f.eks. 7 og 5 2. R De reelle tal, mængden af alle tal på hele tallinjen. Nogle af de tal, som tilhører R er, 6, π, e og 2. 2 Dette skyldes, at alle hele tal kan skrives som brøker, f.eks. er 2 = 6 3 og 4 = 8 2. Her er det i øvrigt værd at bemærke, at alle de naturlige tal også er hele tal, dvs. mængden N er en del af mængden Z. På samme måde er mængden af hele tal Z en del af mængden af rationale tal Q, 2 og mængden af rationale tal er en del af mængden af reelle tal (se figur A.). A.2 Mængdebygger R Q Z N Nogle gange kan det være praktisk at beskrive en mængde ved at angive en betingelse (eller flere) som elementerne i mængden opfylder. Et eksempel på dette kunne være Figur A.: Alle naturlige tal er hele tal, og alle hele tal er rationale tal, osv. A : alle de tal, som ligger mellem og 6. Denne mængde kan skrives ved at anvende den såkaldte mængdebygger: A = {x R < x < 6}. Dette udtryk består af to dele. Den del, der kommer før den lodrette streg (x R) fortæller, hvor tallene i mængden skal komme fra. Her betyder x R, at tallene i mængden skal hentes fra mængden af reelle tal, dvs. alle tal vil kunne bruges. Den del, der følger efter stregen, er en betingelse,

93 A.3 Intervaller 93 som tallene skal opfylde; altså i dette tilfælde, at de skal ligge mellem og 6. 3 Andre eksempler på mængder skrevet vha. mængdebyggeren kunne være B = {x Z < x < 6}, C = { x Q x 2 < 9 }. Her er B mængden af alle hele tal mellem og 6, dvs. den kan også skrives på listeform som B = {2,3,4,5}. C er mængden af alle de brøker, hvis kvadrater er mindre end 9. Denne mængde kan ikke skrives på listeform, idet der er uendeligt mange tal, der opfylder denne betingelse. 3 Skrivemåden < x < 6 er en sammenskrivning af < x og x < 6, dvs. det drejer sig om de tal, der både er større end og mindre end 6. A.3 Intervaller Mængden A i afsnittet ovenfor er et eksempel på det, man kalder for et interval. Et interval er en mængde, der indeholder alle reelle tal mellem to givne værdier, f.eks.»alle reelle tal mellem og 6«eller»alle reelle tal fra 5 til og med 80«. De mængder, der indeholder alle tal større end eller mindre end en given værdi, kalder man også intervaller. Inden for matematikken har man mange steder brug for at tale om intervaller, og man har derfor fundet på en notation, der gør det nemt at tale om et bestemt interval. Mængden A ovenfor kan fx skrives som A = ];6[. Dette betyder, at mængden A består af alle tallene mellem og 6. Tallene og 6 kaldes hhv. venstre og højre endepunkt. At parenteserne vender væk fra tallene betyder, at hverken eller 6 regnes med i intervallet (se figur A.2). Hvis man i stedet vil angive det interval, der strækker sig fra til 6, men hvor og 6 skal tages med, skriver man Figur A.2: Intervallet ]; 6[. De tomme cirkler ud for og 6 betyder, at disse tal ikke hører til intervallet. D = [;6]. D vil vha. mængdebyggeren kunne skrives som D = {x R x 6}. Et par andre eksempler kunne være (se figur A.3). ] 3;2] = {x R 3 < x 2} [ [ { } 4; 2 = x R 4 x < Skal man angive intervallet af alle tal større end 3, anvender man tegnet (uendelig) for det højre endepunkt: E = ]3; [. Mængden E består altså af alle de tal, der er større end 3. Hvis man i stedet skal tale om f.eks. alle de tal, der er mindre end eller lig med 5, skrives: F = ] ;5]. [ [ Figur A.3: Intervallerne ] 3; 2] og 4; 2.

94 94 A Mængdelære Bemærk, at når man bruger symbolet, skal parentesen vende væk fra symbolet (dette skyldes, at ikke er et tal, men blot en angivelse af, at intervallet ikke slutter i den ene eller den anden retning). Hvis man lader intervallet være ubegrænset i begge retninger, får man det interval, der består af alle tal, dvs. man kan skrive R = ] ; [. A.4 Mængdeoperationer Man kan ud fra to mængder A og B danne nye mængder på forskellige måder. Man kan f.eks. se på alle de tal, der både ligger i A og i B eller alle de tal, som ligger i A, men ikke i B. De følgende definitioner angiver nogle måder at lave nye mængder på (såkaldte mængdeoperationer). A A B B Definition A.2 Fællesmængden af to mængder A og B består af de tal, der både ligger i A og i B. Fællesmængden af A og B skrives A B. Figur A.4: Fællesmængden A B. Eksempel A. Hvis A = {,2,3,4,5} og B = {2,4,6,8}, så er A B = {2,4}. A A B B Definition A.3 Foreningsmængden af to mængder A og B består af de tal, der ligger enten i A eller i B (eller i begge). Foreningsmængden af A og B skrives A B. Figur A.5: Foreningsmængden A B. Eksempel A.2 Hvis A = {,2,3,4,5} og B = {2,4,6,8}, så er A B = {,2,3,4,5,6,8}. A A \ B B Definition A.4 Differensmængden mellem to mængder A og B består af de tal, der ligger i A men ikke i B. Differensmængden mellem A og B skrives A \ B. Figur A.6: Differensmængden A \ B. Eksempel A.3 Hvis A = {,2,3,4,5} og B = {2,4,6,8}, så er A \ B = {,3,5}. og B \ A = {6,8}. Når man finder differensmængder er rækkefølgen altså ikke ligegyldig.

95 A.5 Relationer mellem mængder 95 Til sidst defineres komplementærmængden, der består af alle de elementer, der ikke ligger i en given mængde. For at dette begreb kan være veldefineret, er det nødvendigt først at definere en grundmængde, der består af alle de tal, man vil tillade en mængde at indeholde. 4 Definition A.5 Lad G være grundmængden. Komplementærmængden A består af de elementer i G, som ikke ligger i A, dvs. A = G \ A. 4 Grundmængden kan være alle tal, dvs. R, men det kan også være de naturlige tal N, eller en afgrænset mængde, som f.eks. { 2,0, 3,7 }. A A.5 Relationer mellem mængder Det kan nogle gange være interessant at sammenligne forskellige mængder. I den sammenhæng bliver man nødt til at definere, hvad det f.eks. betyder at to mængder er lig hinanden. Definition A.6 To mængder A og B siges at være lig med hinanden, når de indeholder præcist de samme elementer. I dette tilfælde skriver man A = B. Figur A.7: Komplementærmængden A. A Hvis alle A s elementer ligger i B, men alle B s elementer ikke nødvendigvis ligger i A, kaldes A en delmængde af B. Definition A.7 Mængden A siges at være en delmængde af mængden B, hvis alle elementer i A også ligger i B. Dette skrives A B. Eksempel A.4 Mængden A = {,} er en delmængde af B = { 2,,0,,2,3,4}, dvs. {,} { 2,,0,,2,3,4}. B A Ovenfor blev det argumenteret for, at alle naturlige tal er hele tal, og at alle hele tal er rationale tal, osv. Dette kan udtrykkes vha. delmængdebegrebet, sådan at man kan skrive. Figur A.8: A er en delmængde af B, A B. Dette er illustreret på figur A.. N Z Q R. Hvis to mængder slet ikke har noget tilfælles kaldes de disjunkte. Definition A.8 To mængder A og B kaldes disjunkte, hvis ingen af A s elementer ligger i B (og ingen af B s elementer ligger i A), dvs. når A B =. Eksempel A.5 Mængderne A = {, 2, 3} og B = {, 0, 7} er disjunkte. A B Figur A.9: A og B er disjunkte.

96

97 Flere afledte funktioner B I dette afsnit udledes det, hvordan de afledte funktioner til ln(x), e x, a x og x n ser ud. Den første af disse udledninger gør brug af tre-trins-reglen, resten udledes ved brug af regnereglerne i afsnit.3 og.4. Hermed er der ført bevis for de sidste af påstandene i tabel.. Sætning B. Hvis f (x) = ln(x), er den afledte funktion f (x) = x. Bevis Her bruges tre-trins-reglen. Først finder man ( ) ( x + x f = ln(x + x) ln(x) = ln = ln + x ). x x Hernæst ser man på f x = ln ( ) + x x = ( x x ln + x ). (B.) x I udregningen bruges regnereglen ( a ) ln(a) ln(b) = ln. b Dette kan ikke umiddelbart reduceres yderligere. Nu skal man lade x 0, men udtrykket i (B.) er umiddelbart for kompliceret. Man bruger derfor et lille trick: Man indfører en ny variabel t, som man sætter lig med x x. At lade x 0 svarer så til at lade t 0. (B.) kan nu omskrives til som igen må være svare til f x = ln( + t), xt f x = x t ln( + t) = ( ) x ln ( + t) t. (B.2) Det er et velkendt resultat i matematikken at[2] (2) ( + t) t e når t 0. (B.3) Faktisk bruges dette nogle steder som definition på tallet e. Resultatet i (B.3) vil ikke blive bevist her, men et godt indicium for påstanden ses på figur B., der er grafen for funktionen ( + t) t. Lader man nu x 0 er det altså det samme som at lade t 0 i (B.2), og vha. resultatet fra (B.3) får man, at det giver f (x) = x ln(e) = x. e Figur B.: Grafen for ( + t) t. () 97

98 98 B Flere afledte funktioner Sætning B.2 Når f (x) = e x, er den afledte funktion f (x) = e x. Bevis Da e x er den inverse funktion af ln(x) gælder følgende ligning: ln(e x ) = x. (B.4) Differentierer man på begge sider af lighedstegnet, så gælder ligningen stadig. 2 Det er her vigtigt at huske, at man ikke kender den afledte funktion af e x endnu. Denne kan derfor ikke skrives som andet end (e x ), hvilket er det samme som f (x). På venstre side skal man differentiere en sammensat funktion, og man får derfor 2 ( ln(e x ) ) = e x (e x ) = e x f (x). På den højre side får man (x) =. Da venstre side er lig højre side, gælder der derfor e x f (x) = f (x) = e x. Sætning B.3 Hvis f (x) = a x, hvor a > 0, så er f (x) = ln(a) a x. Bevis Funktionen f kan omskrives til ( f (x) = a x = e ln(a)) x = e ln(a) x. Denne funktion er en sammensat funktion, og dens afledte funktion er f (x) = e ln(a) x ln(a) = a x ln(a) = ln(a) a x. Sætning B.4 Hvis f (x) = x n, er den afledte funktion f (x) = nx n. Bevis Først foretages følgende omskrivning af f (x): f (x) = x n = e ln(xn) = e n ln(x). f kan altså skrives som en sammensat funktion, hvor den ydre funktion er p(q) = e q, og den indre er q(x) = n ln(x), hvor n er en konstant.

99 B Flere afledte funktioner 99 Differentierer man den ydre funktion, finder man Den indre funktion giver Altså er p (q) = e q. q (x) = n x. f (x) = p (q) q (x) = e q n x = e n ln(x) n x = xn n x = n x n.

100

101 Grænseværdier og differentiabilitet C I kapitel blev den afledte funktion f (x) bestemt ved at se på brøken f x, når x nærmer sig 0. Hvad der egentlig menes med»nærmer sig 0«blev egentlig ikke undersøgt yderligere. Man nøjes med at omskrive brøken, sådan at man kan sætte x = 0 og få et brugbart resultat. Hvis dette skal gøres matematisk stringent bliver man dog nødt til at definere, hvad man mener med vage begreber som»nærmer sig«og»tæt på«. For at gøre dette bliver man nødt til at vide noget om grænseværdier. C. Grænseværdier For at komme ind på, hvad man forstår ved grænseværdier, ses først på funktionen f (x) = x2 x. Denne funktion er ikke defineret for x =, idet som ikke giver nogen mening. f () = 2 = 0 0, (2) Hvis man tegner grafen for f får man billedet på figur C.. Her kan man 2 se, at selvom funktionen ikke er defineret for x =, så er grafen dog så pæn, at man måske kan sige noget om, hvad f () burde give, hvis denne værdi var defineret. () Hvis man indsætter værdier af x som er»tæt på«, får man tabel C.. Ud fra figur C. og tabel C. virker det rimeligt at påstå, at jo tættere x kommer på, jo tættere kommer f (x) på 2. Så selv om f () ikke er defineret, så vil f (x) nærme sig et fast tal, når x nærmer sig. Man taler derfor om, at f (x) har en grænseværdi for x gående mod. Denne grænseværdi har værdien 2. Man skriver derfor, at lim f (x) = 2. x Betegnelsen»lim«kommer af latin limes, der betyder»grænse«(jf. engelsk limit). Måden, man matematisk set definerer en grænseværdi på, er ved at se på, om funktionsværdien kommer tættere på noget bestemt, når den uafhængige variabel nærmer sig en bestemt værdi (f.eks. x = som ovenfor). Man har følgende definition på grænseværdien af en funktion i et punkt. 0 Figur C.: Grafen for f (x) = x2 x. Tabel C.: Funktionsværdier for funktionen f (x) = x2 x. x f (x) 0,5,5 0,9,9 0,99,99 udefineret,0 2,0, 2,,5 2,5

102 02 C Grænseværdier og differentiabilitet (2) Definition C. Lad der være givet en funktion f og et tal L. Hvis man ved at vælge et x tættere på x 0 end en lille værdi δ kan sørge for at f (x) er tættere på L end en given værdi ε, så kaldes L for grænseværdien af f (x) for x gående mod x 0, og man skriver lim x x 0 f (x) = L. L ε ε δ δ x 0 () På figur C.2 er det vist, hvordan dette kan beskrives: Funktionsværdien f (x) kan komme tættere på L end en given afstand ε, når blot x er tættere end δ på x 0. Eksempel C. For funktionen f (x) = x2 9 x 3 gælder, at Figur C.2: Hvis funktionsværdien skal ligge tættere end ε på L, kan dette gøres ved at lade x ligge tættere end δ på x 0. lim f (x) = 6. x 3 Dette betyder at f (x) kan komme så tæt på 6 som muligt, når blot x vælges tilstrækkeligt tæt på 3. Hvis man f.eks. vil have f (x) til at være tættere på 6 end ε = 0, (dvs. f (x) skal ligge mellem 5,9 og 6,), kan man f.eks. vælge x tættere på 3 end δ = 0,07, dvs. f.eks. x = 3,05 f (3,05) = 3, ,05 3 = 0,3025 0,05 = 6,05, som ligger tættere på 6 end de ønskede 0,. Vil man endnu tættere på, sådan at man f.eks. kræver, at f (x) skal ligge mellem 5,99 og 6,0, kan man gøre det ved at sætte x = 2,995. Så får man f (2,995) = 2, ,995 3 = 0, = 5,995, 0,005 og igen er man tæt nok på tallet 6. To eksempler er egentlig ikke nok til at konkludere, at grænseværdien er 6. Man bliver faktisk nødt til et finde et udtryk for, hvordan man skal vælge δ, når størrelsen af ε er givet. Derfor kan man konkludere, at x 2 9 lim x 3 x 3 = 6. Grænseværdi-begrebet giver god mening, hvis man vil undersøge, hvordan funktioner opfører sig i nærheden af variabelværdier, hvor de ikke er defineret. Men hvis nu, man vil undersøge grænseværdien af en funktion i en værdi af x, hvor den er defineret, hvad finder man så? Eksempel C.2 Hvad er lim x 5 x 2 + 3? Udtrykket x er defineret for x = 5, hvor det giver = 28.

103 C. Grænseværdier 03 Hvis man lader x nærme sig 5, så vil værdien af x nærme sig 28, og man finder derfor, at lim x 5 x2 + 3 = 28. Nogle gange kan man altså blot sætte det x, man vil undersøge ind i udtrykket. (2) Hvis man vil finde grænseværdien af en funktion f (x) for x = x 0, kan man altså i nogle tilfælde blot udregne f (x 0 ). Det er dog ikke altid tilfældet, selv om funktionen er defineret for x = x 0. Eksempel C.3 Her ses på funktionen () f (x) = { x + for x < 2 4 x for x 2. Figur C.3: Grafen for den stykkevist lineære funktion i eksempel C.3. Funktionen f opfører sig altså således, at den er lig x +, så længe x < 2, derefter er den lig 4 x. En sådan funktion kaldes en»stykkevist lineær funktion«. Grafen for f kan ses på figur C.3. Funktionsværdien i x = 2 er f (2) = 4 2 = 2, men hvad er mon funktionens grænseværdi i x = 2? Når x < 2, så er f (x) = x +, dvs. f (x) vil komme tættere og tættere på 2 +, jo tættere x kommer på 2. Hvis man undersøger grænseværdien ved at nærme sig x = 2 nedefra, vil man derfor finde værdien 3. Undersøger man grænseværdien af f (x) ved at nærme sig x = 2 ovenfra, vil man følge grafen for 4 x, hvorved funktionsværdien vil nærme sig 2, når x nærmer sig 2. Da man får to forskellige svar, alt efter hvilken vej, man nærmer sig x = 2, må man konkludere, at grænseværdien lim x 2 f (x) ikke eksisterer selv om funktionen er defineret for x = 2. Eksempel C.4 Ovenfor blev der set på funktionen f (x) = x2 x, og det blev konkluderet, at lim f (x) = 2. x I princippet kan man argumentere for, at dette ikke kan være givet ud fra figur C. og tabel C., idet det er umuligt kun ud fra figuren og tabellen at se, om den rigtige grænseværdi f.eks. er 2, og ikke præcis 2. Det viser sig dog, at x 2 kan omskrives til (x + )(x ), og derfor er så længe x. x 2 x = (x + )(x ) x = x +,

104 04 C Grænseværdier og differentiabilitet Men da definitionen på grænseværdien ikke afhænger af, hvordan funktionen rent faktisk opfører sig, når x =, men kun når x er tæt på, så er x 2 lim x x = lim x +. x Her skal man altså blot finde ud af, hvilket tal x + nærmer sig, når x nærmer sig. Dette tal er præcis 2. Altså er x 2 lim x x = 2. Som man kan se af eksemplet ovenover, kan der altså være en fordel i, at undersøge, om den funktion, man skal finde en grænseværdi for, kan omskrives, så man nemmere kan se, hvad den søgte grænseværdi er. C.2 Kontinuitet De fleste af de funktioner, man ser på i gymnasiet, har grafer som er sammenhængende. Denne type funktioner kaldes kontinuerte. Præcis hvad det vil sige, at en funktion er kontinuert, kan defineres vha. grænseværdier. I eksempel C.3 blev der set på en funktion, hvis graf ikke var sammenhængende (se figur C.3). I eksemplet blev det vist, at denne funktion ikke har nogen grænseværdi, der hvor grafen»springer«. Omvendt blev der i eksempel C.2 vist en funktion, hvor grænseværdien for et givet x netop var lig funktionsværdien. Denne funktions graf er sammenhængende, fordi man, når man nærmer sig den valgte x-værdi, vil nærme sig den samme funktionsværdi både ovenfra og nedenfra og denne funktionsværdi svarer til et punkt på grafen. Man kan derfor definere kontinuerte funktioner på følgende måde. Definition C.2 En funktion f kaldes kontinuert på et interval ]a;b[, hvis der for alle x 0 ]a;b[ gælder, at lim x x 0 f (x) = f (x 0 ). Eksempel C.5 Funktionen f (x) = x 2 + 4, er kontinuert for alle x R. Hvis man vælger f.eks. x 0 = 3, finder man lim f (x) = lim x 3 x 3 x2 + 4 = = f (3), og dette kan gøres for enhver værdi af x 0 ikke blot 3. Altså er f (x) kontinuert.

105 C.3 Differentiabilitet 05 Eksempel C.6 Funktionen f (x) = { x for x 3 4 for x = 3 (2) er ikke kontinuert. Man kan se på grafen (figur C.4), at () men lim f (x) = 3, x 3 f (3) = 4. Figur C.4: Denne funktion er ikke kontinuert. Altså er lim x 3 f (x) f (3), og funktionen er derfor ikke kontinuert. C.3 Differentiabilitet Vha. grænseværdibegrebet kan man definere differentialkvotienten mere præcist i forhold til fremgangsmåden i kapitel. En funktion, hvor differentialkvotienten eksisterer for alle punkter i et givent interval, siges at være differentiabel i dette interval. Definition C.3 Lad der være givet en funktion f, som er defineret på et interval ]a;b[. Hvis grænseværdien f (x 0 + x) f (x 0 ) lim x 0 x (C.) eksisterer for alle x 0 ]a;b[, siges funktionen at være differentiabel på intervallet ]a; b[. Grænseværdien (C.) kaldes differentialkvotienten i x 0 og betegnes med f (x 0 ). Der er ikke noget nyt i denne definition. Blot nævner definitionen i kapitel ikke grænseværdier, og derfor bliver definitionen ikke lige så præcis som denne. Men indholdet er det samme. Til slut kan nævnes, at hvis en funktion er differentiabel, er den også kontinuert. For at en funktion kan være differentiabel skal den altså være sammenhængende. Det omvendte gælder ikke. Det viser sig, at man godt kan finde funktioner, hvis grafer er sammenhængende, men som ikke er differentiable. Groft sagt svarer differentiabilitet til at grafen er en»glat«kurve. Der må altså ikke være»knæk«på grafen. På figur C.5 ses et eksempel på grafen for en funktion, der er kontinuert men ikke differentiabel. (2) 3 2 () Figur C.5: Denne funktion er ikke differentiabel i x = 3 og x = 2; men den er kontinuert overalt.

106

107 Bibliografi [] Danmarks Statistik. INDKP02: Indkomst i alt efter region, enhed, køn og indkomstinterval. URL: (sidst set ). [2] Demetrios Kanoussis. Euler s Number e. 9. maj 205. URL: http : / / www. goldenratiopublications.com/eulers-number-e/ (sidst set ). [3] Victor J. Katz. A History of Mathematics. An Introduction. 2. udg. Addison-Wesley Educational Publishers, Inc., 998. [4] Eckhard Limpert, Werner A. Stahel og Markus Abbt.»Log-normal Distributions across the Sciences: Keys and Clues«. I: BioScience 5.5 (200), s [5] R.L. Plackett.»Karl Pearson and the Chi-Squared Test«. I: International Statistical Review/Revue Internationale de Statistique 5. (apr. 983), s

108 Indeks A afledt funktion, 8 0, 2, 97 differens, 3 kvotient, 8 produkt, 5 regneregler, 3 sammensat funktion, 6 sum, 3 aftagende funktion, 26 antalsparameter, 75, 77 areal mellem grafer, 6, 62 under graf, 58 B basiseksperiment, 73 basissandsynlighed, 73, 75, 77 bestemt integral, 56, 58 binomialfordeling, 73, 75, 76 middelværdi, 76 spredning, 76 binomialkoefficient, 73, 74 boksplot, 4, 42, 44, 47 C χ 2 -fordeling, 83, 85 frekvensfunktion, 85 χ 2 -test goodness of fit, 85, 89 uafhængighedstest, 87, 89 D delmængde, 64, 95 deskriptiv statistik, 37 deskriptor, 37, 38, 66, 7 differenskvotient, 9 differensmængde, 94 differentiabel, 8, 05 differentialkvotient, 8, 9, 05 differentialregning, 7 differentiere, 8, 49 disjunkt, 95 diskret sandsynlighedsfordeling, 64 E ekstremum, 29, 32, 33 lokalt, 29 F fakultet, 73, 74 fordelingsfunktion, 69, 70, 79, 8 foreningsmængde, 94 fortegnslinje, 28 forventet værdi, 83, 87 fraktil, 45 frekvens, 38, 4, 43, 64, 68 kumuleret, 38, 4, 44, 69 frekvensfunktion, 68 70, 85 frihedsgrader, 85, 88 funktion afledt, 8 0, 2 aftagende, 26 monoton, 26 sammensat, 6, 98 voksende, 26 fællesmængde, 94 G goodness of fit, 85, 89 grundmængde, 95 grupperet statistik, 42 grænser, 56 grænseværdi, 0, 02, 04, 05 H hele tal, 92 histogram, 44, 68, 79 hypotese, 83 hypotesetest, 86, 89 hyppighed, 37, 38, 4, 43 hældningskoefficient, 7, 27 hændelse, 64, 65 I integral bestemt, 56, 58 regneregler, 5 ubestemt, 5 08

109 Indeks 09 integralregning, 49 integrand, 5 integrationsgrænser, 56 integrationskonstant, 5, 53, 56 interval, 42, 68, 93 -endepunkt, 45 -midtpunkt, 43 K komplementærmængde, 95 kontinuert, 04 kontinuert sandsynlighedsfordeling, 68 kontinuert stokastisk variabel, 7 kritisk værdi, 86 kumuleret frekvens, 38, 4, 44, 69 kvartil, 39 nedre, 40, 42, 46 øvre, 40, 42, 46 kvartilsæt, 40, 4, 46 kvotientreglen, 8, 9 kædereglen, 6, 7 L lim, 0, 04 listeform, 9, 93 M maksimum, 29, 32 globalt, 29, 30 lokalt, 29 median, 39, 40, 42, 46 middelværdi, 38, 39, 43, 67, 7, 76, 79 minimum, 28, 32, 34, 35 globalt, 28 lokalt, 28 monoton funktion, 26 monotoniforhold, 26 29, 3, 32 mængde, 9 mængdebygger, 92, 93 N naturlige tal, 92, 95 nedre kvartil, 40, 42, 46 normalfordeling, 79 fordelingsfunktion, 79, 8 frekvensfunktion, 79 middelværdi, 79 spredning, 79 nulhypotese, 86, 89 O optimering, P p-fraktil, 45 produktreglen, 5 Q Q-værdi, R rationale tal, 92, 95 reelle tal, 92 røringspunkt, 8, 2, 23, 24 S sammensat funktion, 6, 98 sandsynlighed, 63, 64, 75 sandsynlighedsfordeling, 65 signifikansniveau, 85, 86 spredning, 39, 43, 67, 7, 72, 76, 79 stamfunktion, 49, 50, 53, 54 statistik, 37 grupperet, 42, 68 ugrupperet, 37, 64 stikprøve, 83 stokastisk variabel, 63 65, 68, 75, 76, 8 stolpediagram, 40, 4, 65 sumkurve, 44, 69 T tangent, 7, 27, 54 -hældning, 7 9, 20, 55 -ligning, 7, 20, 2 vandret, 28 tom mængde, 92 trappediagram, 4 tre-trins-reglen, 9, 97 træ, 65 U uafhængighedstest, 87, 89 ubestemt integral, 5 udfald, 63, 65 udfaldsrum, V vendetangent, 30, 3 voksende funktion, 26 væksthastighed, 36 Ø øvre kvartil, 40, 42, 46