Frederiksberg HF-kursus Vektorer i planen, Mat B, SSO Kenneth Leerbeck, 2. J. Vektorer. planen

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Frederiksberg HF-kursus Vektorer i planen, Mat B, SSO Kenneth Leerbeck, 2. J. Vektorer. planen"

Transkript

1 Vektorer i planen

2 English abstract This report is about the mathematical concept vectors. It explains what a vector is, and how vectors are indicated with coordinates and arrows. It explains calculating with vectors in general, with coordinates, and how to calculate the length of a vector. It also defines the concept called tværvektor in danish. It exlpains the concept dot product of two vectors, and the context between that and the angle between the vectors. It too explains the concept called determinant in danish, and how that is used to calculate the area of a stretched parallelogram between two vectors. Through the report there will be mathematical proves and illustrations to show and explain the methods being used. Besides that it has the solutions of task 2, 3, 4, 5 and 6 from Bilag 1.

3 Indhold: Indledning... 2 Hvad er en vektor?... 2 Vektorens koordinater... 3 Stedvektorer... 4 Regning med vektorer... 4 Addition... 5 Subtraktion... 5 Multiplikation... 5 Division... 6 Regneregler til hhv. addition, subtraktion og multiplikation:... 6 Tværvektor... 6 Skalarprodukt... 7 Skalarproduktet til vinkelberegning... 8 Determinant... 9 Determinanten til arealberegning... 9 Opgaver (bilag 1) Opgave 2: Opgave 3: Opgave Opgave 5: Opgave Konklusion Perspektivering Litteraturliste... 14

4 Indledning Opgaven handler om vektorer i planen. Et begreb som bruges indenfor fysikken til beskrivelse af fx krafter og hastigheder, men i sin natur er det et matematisk begreb. Opgaven her er fra et matematisk synspunkt. Jeg forklarer bl.a. hvad en vektor er og hvordan den angives med koordinater, herunder vil jeg også komme ind på vektorens længde. Jeg vil komme ind på hvordan man regner med vektorer. Jeg vil definere og redegøre for begreber, som stedvektor, tværvektor, skalarprodukt og determinant. Jeg vil under skalarproduktet redegøre for hvordan vinklen mellem to vektorer beregnes, og dennes sammenhæng med størrelsen af skalarproduktet. Derudover vil jeg under determinant-begrebet komme ind på arealberegning af et udspændt parallelogram mellem to vektorer. Henad vejen vil jeg bevise forskellige sætninger, heriblandt en regneregel for skalarproduktet. Opgave 2,3,4,5 og 6 løses til sidst i opgaven ved brug af begreber, formler og sætninger fra de gennemgåede afsnit. Hvad er en vektor? Hvis du spørger: Hvad er vektorer egentlig for en størrelse? Så vil man nok svare dertil, at det ikke bare er en størrelse, men også en retning. Vektorbegrebet er noget man bruger indenfor beregninger i typisk 2 eller 3 dimensioner, hhv. i planen og i rummet. Rent grafisk illustreres en vektor i form af en pil, som man plotter ind i et koordinatsystem. Pile har som bekendt både en retning og en længde (størrelse), hvilket af netop denne grund gør den idéel til formålet. En vektor skrives som vektorens navn, fx a, med en lille pil henover. I opgaven her angives vektorer med fed i stedet for brug af pilen. Man har bl.a. det man kalder for en 0-vektor, som af navnet er en vektor uden nogen størrelse eller retning. Udover 0-vektoren er der så alle de andre, som kaldes for egentlige vektorer. En egentlig vektor med en bestemt størrelse og retning er i vektorverdenen en repræsentant for alle andre vektorer med præcis den samme størrelse og retning. Vektorens koordinater En vektor kan angives med koordinater. En x-koordinat og en y-koordinat, som skrives over hinanden eller bare som et hvert andet koordinatsæt, dvs. a = (a 1, a 2 ). I tilfælde af en tredje dimension plotter du bare det sidste koordinat på til sidst eller nederst alt efter hvilken notation du bruger. Koordinaterne bestemmes udfra det vi kalder basisvektorer eller enhedsvektorer, som vi

5 indsætter i koordinatsystemet. De hedder hhv. i = (1, 0) og j = (0, 1) og er parallelle og ensrettede med hhv. x- og y-aksen. Man benytter af og til andre basisvektorer, som så også giver vektorerne andre koordinater. Jeg har et eksempel på dette i afsnittet om Skalarproduktet. Disse basisvektorer er dog altid ortogonale på hinanden, hvilket vil sige at de står vinkelret på hinanden. Dette skrives, i j. Vi bestemmer vores vektors koordinater ved at opløse den i basisvektorerene. Ved opløsningen fås to vektorer, a 1 *i og a 2 *j, der lagt sammen bliver defineret som a s koordinater. Dette gøres som vist i illustrationen til højre: I illustrationen er a opløst i basisvektorerne og vi har fået to vektorer, a 1 = (3, 0) og a 2 = (0, 2). Som også skrives at: a = a 1 * i + a 2 * j = (3, 0) + (0, 2) = (3, 2) Dette udgør så vektorens koordinater a = (a 1, a 2 ) = (3, 2). (jeg vil forklare mere om addition af vektorer i afsnittet om Addition) Vi får hermed en retvinklet trekant ud af opløsningen, hvilket fører os til at kunne bestemme vektorens længde, noteres IaI, ganske simpelt vha. pythagoras' sætning, a 2 + b 2 = c 2. Vi får således at: IaI = a a 2 = = 3,6 Bevis: Vi antager at Ia 1 *ii og Ia 2 *ji er kateterne på trekanten og IaI er hypotenusen. IaI 2 = Ia 1 *ii 2 + Ia 2 *ji 2 <=> IaI 2 2 = a 1 * IiI a 2 * IjI 2 (regneregel, (ab) x = a x b x ) <=> IaI = a 1 * 1 + a 2 * 1 (da i og j er enhedsvektorer er deres længde = 1 så kan vi skrive at IiI 2 = 1 2 = 1) <=> IaI = a 1 + a 2 Stedvektorer Man kan også ved hjælp af stedvektorer bestemme en vektors koordinater. Hvis man har to vilkårlige punkter, P og Q, vil man kunne tegne en vektor derimellem, PQ. For at bestemme denne vektors koordinater, kan man tegne endnu en vektor fra koordinatsystemets nulpunkt (0, 0), som også skrives O, og ud til P (p 1, p 2 ). En sådan vektor kaldes en stedvektor og man skriver den som OP. Stedvektorens koordinater er således de samme som punktet P's, så vi kan skrive: OP = P = (p 1, p 2 ). Man tegner ligeledes en vektor ud til Q fra O og kalder denne OQ.

6 Man kan nu ved hjælp af disse stedvektorer angive koordinaterne til en vilkårligt indlagt vektor, som vist her: Vi har punktet P = (p 1, p 2 ) og punket Q = (q 1, q 2 ) og vil angive vektoren mellem disse punkter: PQ = OQ - OP = (q 1, q 2 ) (p 1, p 2 ) = (2, 2) (3, -1) = (-1, 3) (jeg vil forklare mere om subtraktion i afsnittet om subtraktion) Bevis: Man har det man kalder indskudsreglen, som går ud på at et punkt er skudt ind imellem to punkter. 1 I dette tilfælde er Q skudt ind imellem O og P, og reglen siger således at, OP + PQ = OQ, så vi kan altså skrive at: OP + PQ = OQ <=> PQ = OQ - OP Regning med vektorer Indenfor vektorregning kan man addere og subtrahere vektorer med hinanden som man vil. Multiplikation og division er derimod lidt mere tricky. Du kan multiplicere vektorer med tal, men ikke to vektorer med hinanden. Du må heller ikke dividere to vektorer med hinanden eller et tal med en vektor. Det er derimod okay hvis du dividere en vektor med et tal. Jeg vil i de følgende afsnit gå i dybden med hhv. addition, subtraktion, multiplikation og division. Addition Når man adderer vektorer finder man frem til summen af to vektorer. Man lægger x- koordinaterne sammen for sig og y-koordinaterne for sig. Det kan derfor være en fordel indenfor vektorregning at benytte skrivemåden, hvor man stiller koordinaterne over hinanden som i: a + b = a 1 + b 1 = = 3 = (3, 3) a 2 + b Grafisk ser en sådan konstruktion se ud som vist: 1 Vektorer, Geometri og Differentialregning, af Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk, side 12

7 Subtraktion Ved subtraktion af vektorer skriver man som følgende: a - b. Dette kommer nok ikke bag på mange. Man kan såvel også omskrive subtraktionen til en addition således: a + (- b). Og derpå regnes det ud på samme måde som ved addition. Når man sætter minus foran en vektor svarer det til at vende vektoren 180. Resultatet af en subtraktion kan let aflæses grafisk ved at placere b s begyndelsespunkt i a s begyndelsespunkt. Vektoreren der så går fra b s slutpunkt til a s slutpunkt er resultatet af subtraktionen. Dette er illustreret til højre: Som tidligere nævnt bliver b vendt 180 når man ændrer dets fortegn. Dette vil dog ikke påvirke resultatet hvis man løser det grafisk med metoden ovenfor. Man skal dog placere a s startpunkt i b s slutpunkt i stedet og så tegne resultatet imellem b's startpunkt og a's slutpunkt. Multiplikation Når man multiplicere en vektor med at tal svarer det til at du enten forlænger vektoreren eller forkorter den alt efter tallets størrelse. Dette kaldes også en skalering af vektoren. Grunden til dette er at man indenfor vektorregning kalder tal for skalarer. Hvis tallet er større end 1 forlænges vektoreren, hvis mindre forkortes vektoren. Hvis tallet er negativt bliver vektorens retning vendt 180. Dette er illustreret til højre: Når man multiplicerer skal man gange tallet med begge vektorens koordinater. Så hvis vi tager et eksempel og antager at a = (1, 2) og ganger den med 2, så: 2 a = 2 *1 = 2 = (2, 4) 2 *2 4 Division Division er ikke noget der bliver brugt meget da man kan præcis det samme vha. multiplikation. Og multiplikation er bare lettere at regne med, da du ved division skal tænke omvendt. Hvis tallet er større end 1 forkortes vektoren, hvis tallet er mellem 0 og 1 forlænges den. Hvis tallet er negativt vendes retningen 180 ligesom ved multiplikation. Som det også gøres ved multiplikation skal du her dividere med begge vektorens koordinater. Hvis vi igen antager at a = (1, 2) og dividere med tallet 2 :

8 a / 2 = 1 2 = (0,5 ; 1) 2 2 Regneregler til hhv. addition, subtraktion og multiplikation: a) a + 0 = a (0 er betegnelsen for nulvektoren) b) a + b = b + a (den kommunikative lov) c) a + (b + c) = (a + b) + c (den associative lov) d) (s + t) a = s a + t a (den distributive lov) e) s (a + b) = s a + s b (den distributive lov) f ) s (t a) = (s t) a (faktorernes orden er underordnet) g) a = b <=> a + c = b + c 2 Tværvektor En tværvektor er en vektor der går på tværs af den oprindelige vektor og betegnes som den oprindelige vektor bare med en lille ^ henover. Derfor kalder man også tværvektoren for a for a-hat. 3 Tværvektoren til enhver vektor a defineres som den vektor der fremkommer ved at dreje a 90 mod uret, altså i positiv retning. Tværvektoren a^ er således også ortogonal på a, a^ a, på samme måde som basisvektorerne i og j er på hinanden, som beskrevet tidligere. Basisvektor j er således også tværvektoren til basisvektor i. Og tværvektoren til j er i. Illustreret ude til højre: Der gælder at for enhver vektor a = (a 1, a 2 ) er tværvektoren a^ = (-a 2, a 1 ). Bevis: Hvis vektor a har retningsvinklen v, kan koordinatsættet skrives: a = IaI * cos(v) = a 1 = (a 1, a 2 ) IaI * sin(v) a 2 I tværvektoren lægger vi 90 til vektorens vinkel, som svarer til at dreje den 90 mod uret. Den bliver derfor: a^ = IaI * cos(v + 90 ) = IaI * (-sin(v)) = - a 2 = (- a 2, a 1 ) 4 IaI * sin(v + 90 ) IaI * cos(v) a 1 Jeg har illustreret ude til højre hvordan cos(v + 90 ) bliver til -sin(v). Altså cosinusværdien til vinklen til a (læses som vinklen mellem x-aksens plus-side og a) er den samme som sinusværdien til vinklen til a^, dog med ændret fortegn fordi a-hats vinkel er minimum Højniveaumatematik 1, af Thomas Hebsgaard og Hans Sloth fra 1999, side 39 3 Højniveaumatematik 1, af Thomas Hebsgaard og Hans Sloth fra 1999, side 47 4 Højniveaumatematik 1, af Thomas Hebsgaard og Hans Sloth fra 1999, side 47

9 På samme måde kan man se hvordan sin(v + 90 ) bliver til cos(v). Regneregler til tværvektoren: a) a + b = a^ + b^ b) ta = t * a^ Skalarprodukt Som tidligere nævnt kalder man i vektorverdenen tal for skalarer. Skalarproduktet af to vektorer er altså et tal. Man kalder det også for prikproduktet 5 fordi man notere det med en prik som i: a b. Ikke at forveksle prikken med et gangetegn, hvilket ikke skulle være til at tage fejl af, da man, som tidligere nævnt, ikke kan gange to vektorer sammen. Skalarproduktet defineres: a b = a 1 *b 1 + a 2 *b 2 Man har også indenfor skalarproduktet en række regneregler: a) a b = b a (den kommunikative lov) b) a (b + c) = a b + a c (den distributive lov) c) (t a) b = a (t b) = t (a b) 6 d) a a = IaI 2 Bevis for regneregel c: Vi antager at a = (a 1, a 2 ) og b = (b 1, b 2 ) og dermed t a = t(a 1, a 2 ) (t a) b = t a 1 b 1 = t a 2 b 2 (t a 1 ) * b 1 + (t a 2 ) * b 2 (af definitionen af skalarproduktet) = t a 1 b 1 + t a 2 b 2 (vi ganger ind i parenteserne) = t (a 1 b 1 + a 2 b 2 ) (t bliver fællesfaktor og sættes udenfor parentesen) = t (a b) (a 1 b 1 + a 2 b 2 er definitionen på a b) 7 Skalarproduktet til vinkelberegning Indenfor sammenhængen mellem størrelsen af skalarproduktet og vinklen mellem to 5 6 Højniveaumatematik 1, af Thomas Hebsgaard og Hans Sloth fra 1999, side 50 7 Højniveaumatematik 1, af Thomas Hebsgaard og Hans Sloth fra 1999, side 50

10 egentlige vilkårlige vektorer a og b gælder der følgende: a b > 0 <=> 0 < vinklen til (a, b) < 90 a b = 0 <=> vinklen til (a, b) = 90 (Vektorerne er altså ortogonale) a b < 0 <=> 90 > vinklen til (a, b) < Altså fortæller skalarproduktet noget om hvorvidt vinklen mellem to egentlige vektorer er stump, spids eller ret. Den præcise vinkel bestemmes ved formlen: a b = IaI * IbI *cos(v) <=> a b / (IaI * IbI) = cos(v) <=> v = cos -1 (a b / (IaI * IbI)) Bevis: Vi benytter her et koordinatsystem, hvor vi lader basisvektorerne være ensrettede med hhv. a og a^ og kalder dem hhv. e a og e a^. At vi benytter et andet koordinatsystem betyder ikke noget i forhold til vinklen mellem a og b eller længden af vektorerne. Forudsat at længdeenhederne på basisvektorerne ikke ændres. Basisvektorerne er derfor: e a = a / IaI e a^= a^ / Ia^I = a^ / IaI Retningsvinklen for b er i dette koordinatsystem den samme som vinklen mellem a og b. Man kan se udfra betingelserne for dette system at a = (IaI, 0), og b = (IbI*cos(v), IbI*sin(v)). Skalarproduktet bliver derfor : a b = IaI*IbI cos(v) + 0*IbI sin(v) = IaI*IbI cos(v) 9 Determinant Determinanten af et vektorpar (a, b) defineres som skalarproduktet af a^ og b. Dvs. : det( a, b) = a^ b = -a 2 *b 1 + a 1 *b 2 = a 1 *b 2 - a 2 *b 1 Determinanten af to parallelle vektorer er altså nul, ifølge sætningerne for sammenhængen mellem skalarproduktet og vinklen i det tidligere afsnit. Dette ses på at a^ står ortogonal, altså 90, på a og dermed også på b, da vektorerne er parallelle. Determinanten til arealberegning Når man har to vektorer a og b, kan man udspænde et parallelogram, som vist: Arealet for dette parallelogram kan beregnes ved formlen, A = 8 Højniveaumatematik 1, af Thomas Hebsgaard og Hans Sloth fra 1999, side 53 9 Højniveaumatematik 1, af Thomas Hebsgaard og Hans Sloth fra 1999, side 52

11 det(a, b) Der er her tale om en numerisk værdi og ikke en længde. Bevis: Arealformlen for et almindeligt parallelogram hedder : A = h*g, h for højden og g for grundlinjen. I vektorverdenen kan man indføre et koordinatsystem, som jeg også gjorde tidligere, hvor x-aksen er parallel og ensrettet med a, som vist: a's koordinater hedder såvel (IaI, 0) og IaI er altså grundlinjen i vores parallelogram. Højden er så den numeriske værdi af b's y-koordinat. Man snakker om den numeriske værdi da b's y-koordinat godt kan være negativ, men arealet af parallelogrammet kan altså kun være positivt. Hvis vi kalder vinklen til a og b for v, er koordinaterne til b = (IbI*cos(v), IbI*sin(v)). Når vi nu har både højde og grundlinje kan vi opstille formlen: A = h*g = IbI*sin(v) * IaI = IbI*sin(v) * IaI = det(a, b) (det(a, b) er som tidligere defineret a^ b = a1*b2 -a2*b1 = IaI* IbI*sin(v) 0 *IbI*cos(v) = IaI* IbI*sin(v)) Derfor får vi : det(a, b) 10 Opgaver (bilag 1) Her ser vi nogle eksempler på hvorledes de forskellige begreber, formler og sætninger vi har været igennem kan benyttes indenfor vektorregning: Opgave 2: Det oplyses at IaI = 2. Bestem Ia + 3a^I Da koordinatererne ikke betyder noget for svaret som bare er en længde, så der ikke noget ulovligt i at opdigte a's koordinater, så længe IaI = 2. er Vi giver a koordinaterne (a 1, a 2 ) = (2, 0). Altså er længden stadig lig 2. Tværvektoren har koordinaterne (- a 2, a 1 ) = (0, 2) Ia + 3a^I = I(2, 0) + 3(0, 2)I = I(2, 0) + (0, 6)I = I(2, 6)I 2 2 Længden bestemmes vha. formlen IaI = a 1 + a 2 : 10 Højniveaumatematik 1, af Thomas Hebsgaard og Hans Sloth fra 1999, side 64

12 Ia + 3a^I = = 6,3 Altså er længden af vektoren a + 3a^ lig med 6,3 Opgave 3: Lad a = (-3, 5) og b = (1, 4) Bestem vinklen mellem a og b: Vi benytter her formlen a b = IaI * IbI *cos(v) og isolere v, som er vinklen. a b = IaI * IbI *cos(v) <=> a b / (IaI * IbI) = cos(v) <=> v = cos -1 (a b / (IaI * IbI)) = cos -1 ((-3*1 + 5*4) / ( * )) = 44,99 Vinklen mellem a og b er altså 44,99 grader. Bestem tallet t, så vektorerne a og a + t*b er ortogonale: Fra sætningerne om sammenhængen mellem størrelsen af skalarproduktet og vinklen, ved vi at to vektorer er ortogonale hvis skalarproduktet er lig 0. Derfor kan vi skrive at a (a + t*b) = 0 og så isolere t: a (a + t*b) = 0 <=> a a + a t*b = 0 (her bruges regneregel: a (b + c) = a b + a c) <=> IaI 2 + a t*b = 0 (ifølge en regneregel for skalarproduktet er a a = IaI 2 ) <=> IaI 2 + (a 1 * b 1 ) + t(a 2 *b 2 ) = 0 <=> ((a 1 * b 1 ) + (a 2 *b 2 ))t = -IaI 2 <=> t = -IaI 2 / ((a 1 * b 1 ) + (a 2 *b 2 )) <=> t = -IaI 2 / (a b) <=> -( ) 2 / (-3*1 + 5*4) = -2 Hvis tallet t er lig med -2, får man en vektor a + t*b = (-3, 5) + (-2(1, 4)) = (-5, -3) der står ortogonalt på a. Udfaldet giver god mening da denne vektor også er tværvektoren til a = (-3, 5). a^ = (-a 2, a 1 )= (-5, -3). Opgave 4 Bestem tallet t så vektorerne (2, -3t) og (1, t 20) er parallelle: Vi ved at hvis determinanten er lig 0, så er vektorparret parallelle, så derfor vi altså skrive at, det(a, b) = 0 <=> det((2, -3t), (1, t 20)) = 0. kan Da determinanten er defineret som a^ b = (-(-3t), 2) (1, t 20) kan vi altså skrive følgende: -(-3t)*1 + 2* t 20 = 0. Nu skal t bare isoleres: -(-3t)*1 + 2* t 20 = 0 <=> -(-3t) + 2 t = 20 <=> 5 t = 20 <=> t = 20 / 5 <=> t = 4 Så vektorerne (2, -3*4) = (2, -12) og (1, 4 20) = (1, -16) er således to parallelle vektorer.

13 Opgave 5: I et koordinatsystem er givet tre punkter A(0, -6), B(-1, 2) og C(2, 6). Beregn arealet af trekant ABC samt vinkel C i trekanten: Vi kan her benytte stedvektorerne. Ved at tegne punkterne ind og tegne en ud til hvert af punkterne. Og derefter tegne trekantens sider ved kombinere punkterne som vist ude til højre: stedvektor Som det ses ude til højre har vi bl.a. vektorerne OC, OA og AC. OC s koordinater er lig C's koordinater, og OA's koordinater er lig A's koordinater. Derfor kan vi her sige: AC = OC OA = (2, 6) (0, -6) = (2, 12) Samme procedure køres igennem med AB og BC: BC = OC OB = (2, 6) - (-1, 2) = (3, 4) AB = OB OA = (-1, 2) (0, -6) = (-1, 8) Til beregning af arealet af et parallelogram har vi formlen A = det(a, b). Derfor kan vi dividere dette med 2 for dermed at resultatet af arealet af en trekant. Så vi får: få Opgave 6 A = det(ac, AB) / 2 = det(2, 12),(-1, 8) / 2 = (-12, 2) (-1, 8) / 2 = -12*(-1) + 2*8 / 2 = 14 Dermed er trekant ABC's areal lig med 14 kvadratenheder. Vinkel C i trekanten beregnes ved, v = cos -1 (a b / (IaI * IbI)) fra opgave 3. Så C's v = cos -1 (AC BC / (IACI * IBCI)) = cos -1 ( 2*3 + 12*4) / ( * )) = 27,4 Vinklen til C er således lig med 27,4 grader. I et koordinatsystem er der for hver t givet to vektorer: a = (1+t, 2 - t) og b = (t, 4 t) Bestem de værdier af t for hvilke a og b udspænder et parallelogram med areal 5: For at finde ud af dette, skal vi gå ud fra arealformlen A = det(a, b) og sætte den lig 5. Da der er tale om den numeriske værdi gælder der at det(a, b) = 5 <=> det(a, b) = 5 v det(a, b) = -5. Dette betyder at der også findes en t-værdi til det(a, b) = -5. Altså er der to forskellige t-værdier: 1. t-værdi: det(a, b) = 5 <=> a^ b = 5 <=>

14 (-2 + t, 1 + t) (t, 4 t) = 5 <=> (-2 + t)*t + (1 + t)* (4 t)= 5 <=> -2t + t t + 4t - t 2 = 5 <=> t + 4 = 5 <=> t = 1 2. t-værdi: det(a, b) = -5 <=> a^ b = -5 <=> (-2 + t, 1 + t) (t, 4 t) = -5 <=> (-2 + t)*t + (1 + t)* (4 t) = -5 <=> -2t + t t + 4t - t 2 = -5 <=> t + 4 = -5 <=> t = -9 Det betyder at arealet af det udspændte parallelogram er lig 5, hvis t = 1 og hvis t = -9. Konklusion En vektor angives altså med koordinater bestemt af basisvektorer, og længden af en vektor bestemmes vha. Pythagoras. I vektorregning med koordinater, kan man, både addere, subtrahere, multiplicere og dividere. En tværvektor beskriver den oprindelige vektor, som er drejet 90 mod uret og dermed står vinkelret på den oprindelige vektor. Skalarproduktet af to vektorer er et tal, som fortæller noget om vinklen mellem vektorerne, og kan beregnes udfra vektorernes koordinater ved en formel. Determinanten er også et tal, defineret som skalarproduktet af vektoren b og tværvektoren til a. Man kan benytte determinanten til beregning af arealet af et udspændt parallelogram mellem to vektorer. Perspektivering Vektorbegrebet blev indført tilbage i 1600-tallet, da det i højere og højere grad ikke længere var nok at beskrive fysiske størrelser blot med tal. Man manglede en retning. 11 Som tidligere beskrevet bruger man det til beregninger i hhv. planen og i rummet. Hvis man eksempelvis tager et objekt med en hastighed af 50 km/t, så er det tit meget relevant at vide hvad vej objektet bevæger sig. Man kan også benytte vektorer indenfor byggeindustrien, i den forstand at et objekt har retningen nedad pga. tyngdekraften. Den kraft skal holdes i skak af en anden kraft, så vi ender med at få en nul-vektor, hvilket betyder at objektet nu står stabilt. Vektorer er altså noget man bruger i alle mulige sammenhænge hvor der kræves beregninger i flere dimensioner. 11

15 Litteraturliste Højniveaumatematik 1, af Thomas Hebsgaard og Hans Sloth fra 1999, Nyt Teknisk Forlag side 27-29, 33-39, og Vektorer, Geometri og Differentialregning, af Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk, fra 1999, GYLDENDAL UDDANNELSE side Hjemmesider benyttet: Illustrationerne har jeg tegnet i GeoGebra, på hjemmesiden herunder:

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil

Læs mere

INTRODUKTION TIL VEKTORER

INTRODUKTION TIL VEKTORER INTRODUKTION TIL VEKTORER x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse HVORFOR INDFØRES VEKTORER?... 3 VEKTORER... 5 Vektoraddition... 7 Kræfternes parallelogram... 9 Multiplikation af vektor

Læs mere

M A T E M A T I K A 3

M A T E M A T I K A 3 M A T E M A T I K A 3 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik A3. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Todimensionale Vektorer

Todimensionale Vektorer Todimensionale Vektorer Frank Villa 6. december 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med

Læs mere

VEKTORGEOMETRI del 1 Vektorregning Parameterfremstillinger Produkter af vektorer

VEKTORGEOMETRI del 1 Vektorregning Parameterfremstillinger Produkter af vektorer VEKTORGEOMETRI del 1 Vektorregning Parameterfremstillinger Produkter af vektorer x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indhold REPETITION OG KOORDINATER... REGNING MED VEKTORER... 8 STEDVEKTOR... 1 VEKTOR

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. KERNESTOF i GYMNASIEMATEMATIK op til A- niveau

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. KERNESTOF i GYMNASIEMATEMATIK op til A- niveau MOGENS ODDERSHEDE LARSEN KERNESTOF i GYMNASIEMATEMATIK op til A- niveau 3. udgave 4 FORORD Denne bog er beregnet for studerende, som har behov for at repetere eller opgradere deres matematiske viden til

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2013 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 12/13 og maj/juni 13/14 Institution Teknisk gymnasium Thisted, EUC - nordvest Uddannelse Fag og niveau

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Pythagoras og andre sætninger

Pythagoras og andre sætninger Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,

Læs mere

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11

Læs mere

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne:

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne: Vektorer i 3D. Grundegreer. Koordinater z k P OP i 0 j x y Enhedsvektorerne De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: i, j og k Vektor OP Hvis punkt p har koordinaterne: P ( a a a3 ) Så har vektor OP koordinaterne:

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Københavns

Læs mere

3D-grafik Karsten Juul

3D-grafik Karsten Juul 3D-grafik 2005 Karsten Juul Når der i disse noter står at du skal få tegnet en figur, så er det meningen at du skal få tegnet den ved at taste tildelinger i Mathcad-dokumentet RumFig2 Det er selvfølgelig

Læs mere

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

XII Vektorer i planen

XII Vektorer i planen Side 1 0101 Afsæt i et koordinatsystem vinklerne 135º og 20º og deres retningspunkter. 0102 Tegn i et koordinatsystem 4 forskellige repræsentanter for vektoren v = 5 3. 0103 Afsæt vektorerne p = 2, q =

Læs mere

Differentialkvotient af cosinus og sinus

Differentialkvotient af cosinus og sinus Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises

Læs mere

Vektorregning for 11. årgang.

Vektorregning for 11. årgang. Vektorregning for 11. årgang. 1. Vektorer side 1-2 2. Linjer side 2 -. Planer side - 7. Skæring mellem linje og plan side 8-9 A1: Om at tegne rumlige figuer side 0-1 A2: Løsning af ligningssystemer side

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande VEKTORGEOMETRI del Skæringer Projektioner Vinkler Afstande x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indhold OVERSIGT... 3 SKÆRINGSPUNKTER OG RØRINGSPUNKTER... 4 Skæring med koordinatakser- og planer...

Læs mere

Klasseundervisning, opgaveløsning ved tavle, samt som selvstændige

Klasseundervisning, opgaveløsning ved tavle, samt som selvstændige STUDIEPLAN Matematik A 1C 1Z HTX 2009 10 Tal og Algebra Tid Uge 34 35 Faglige mål At kunne beherske de grundlæggende regneregler. Fagligt indhold Algebra, brøker, potenser og rødder. Ligninger Tid Uge

Læs mere

Geometriske vektorer. enote En geometrisk vektor

Geometriske vektorer. enote En geometrisk vektor enote 6 1 enote 6 Geometriske vektorer Formålet med denne note er at give en introduktion til geometriske vektorer i planen og rummet, som sigter mod at introducere en række af de metoder, der gør sig

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

06 Formler i retvinklede trekanter del 2

06 Formler i retvinklede trekanter del 2 06 Formler i retvinklede trekanter del 2 I del 2 udledes (nogle af) de generelle formler, der gælder for sinus, cosinus og tangens i retvinklede trekanter. Sætning 1 For enhver vinkel v gælder der BEVIS

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Vektorer og rumgeometri med. TI-Interactive!

Vektorer og rumgeometri med. TI-Interactive! Vektorer og rumgeometri med TI-Interactive! Indtastning af vektorer Regning med vektorer Skalarprodukt og vektorprodukt Punkter og vektorer Rumgeometri med ligninger Jan Leffers (2007) Indholdsfortegnelse

Læs mere

Vektorrum. Vektorer på en ret linje

Vektorrum. Vektorer på en ret linje Vektorrum Vektorer på en ret linje Som vi tidligere har set adskillige gange, kan punkterne på en uendelig ret linje entydigt identificeres med de reelle tal. (Man taler jo ligefrem om den reelle talakse,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin maj-juni 2013 Institution ZBC Ringsted Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B Jacob Debel 12HTX11 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel

Læs mere

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE Matematiklærerens tænkebobler illustrerer, at matematikundervisning ikke udelukkende handler om opgaver, men om en (lige!) blanding af: Kompetencer Indhold Arbejdsmåder CENTRALE

Læs mere

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET Formelsamling Brush-up Flex 2016 Indholdsfortegnelse 1. Brøkregning... 2 2. Parenteser... 3 3. Kvadratsætningerne:... 3 4. Potensregneregler... 4 5. Andengradsligninger...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2014-2017 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Rybners HTX Esbjerg HTX Matematik B Vicki Jacob

Læs mere

Vektorregning. Vektorer som lister

Vektorregning. Vektorer som lister 10 Vektorregning Vektorer som lister En vektor laves nemmest som en liste på TI-89 Titanium / Voyage 200. I nedenstående skærmbillede ser du, hvordan man definerer vektorer og laver en simpel udregning

Læs mere

Camilla, Kristoffer, Sofie, Lisa, Barbara. Abisha, Andreas, Sebastian, Nanna. Når du skal regne med vektorer i Maple, skal du bruge Gym-pakken:

Camilla, Kristoffer, Sofie, Lisa, Barbara. Abisha, Andreas, Sebastian, Nanna. Når du skal regne med vektorer i Maple, skal du bruge Gym-pakken: Vektorer i Maple En arbejdsseddel Vælg eventuelt >View>Expand all sections. Husk også, at du kan få brug for at markere udregninger og trykke Enter i det følgende. Rammer for arbejdet Gruppe 1 Kristine,

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 2007 2014 MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform b. Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 2007 2014 MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform b. Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 007 014 MATEMATIK A-NIVEAU Prøveform b 014 Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Ugesedler til sommerkursus

Ugesedler til sommerkursus Aalborg Universitet - Adgangskursus Ugesedler til sommerkursus Matematik B til A Jens Friis 12 Adgangskursus Strandvejen 12 14 9000 Aalborg tlf. 99 40 97 70 ak.aau.dk sommer Matematik A 1. Lektion : Mandag

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 014 f x x 4x 6. maj 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Koordinatsættet til parablens toppunkt bestemmes ved først at udregne diskriminanten for

Læs mere

Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge.

Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge. Cykloider Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge Retningspunkt (repetition) Figur 1 viser enhedscirklen Det viste punkt P er anbragt sådan at den øverste af buerne

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg GSK Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2 Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

Løsningsforslag Mat B August 2012

Løsningsforslag Mat B August 2012 Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Juli-august 2011 Institution Niels Brock Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HHX Matematik - Niveau A Peter Harremoës GSK-hold Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 2stx101-MAT/A-01062010 Tirsdag den 1. juni 2010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 08/09 Institution Grenaa Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik A Hasse

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Projekt 3.7. Pythagoras sætning

Projekt 3.7. Pythagoras sætning Projekt 3.7. Pythagoras sætning Flere beviser for Pythagoras sætning... Bevis for Pythagoras sætning ved anvendelse af ensvinklede trekanter... Opgave 1: Et kinesisk og et indisk bevis for Pythagoras sætning...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 Københavns

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2010 HTX Vibenhus

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2015-forår 2016 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse Løsningsforslag til Geometri 4.-0. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser, dem

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2013/14 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen 7Ama1V13

Læs mere

Matematisk Formelsamling

Matematisk Formelsamling Duborg-Skolen Duborg-Skolen Duborg-Skolen Duborg-Skolen Matematisk Formelsamling Indholdsfortegnelse Emne side Vektorer i planen... 1 og 2 Linje... 3 Cirkel, ellipse, hyperbel og parabel... 4 Trekant...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold December 2015 vinter VUC Vestegnen stx Mat A Gert Friis

Læs mere

UVB. Skoleår: 2013-2014. Claus Vestergaard og Franka Gallas

UVB. Skoleår: 2013-2014. Claus Vestergaard og Franka Gallas UVB Skoleår: 2013-2014 Institution: Fag og niveau: Lærer(e): Hold: Teknisk Gymnasium Skive Matematik A Claus Vestergaard og Franka Gallas 3. A Titel 1: Rep af 1. og 2. år + Gocart Titel 2: Vektorer i rummet

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Nihal Günaydin 1maA04

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2016 Københavns

Læs mere

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2 GEOMETRI og TRIGONOMETRI del x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse COS, SIN, TAN og RETVINKLEDE TREKANTER... 3 Vinkler målt i radianer:... 6 Grundrelationen:... 8 Overgangsformler:...

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2013

Løsningsforslag MatB Juni 2013 Løsningsforslag MatB Juni 2013 Opgave 1 (5 %) Et andengradspolynomium er givet ved: f (x) = x 2 4x + 3 a) Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen givet ved grafen for f Løsning: a) f (x) = x

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2014-2017 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Rybners HTX Esbjerg HTX Matematik A Henrik Lambæk

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) August 2015- juni 2017 ( 1 og 2. År) Rybners HTX Matematik B

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 2014 Institution Vid Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik A Hasse Rasmussen

Læs mere

Matematik B. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale. Uddannelse. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Matematik B. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale. Uddannelse. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Matematik B Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Teknisk Gymnasium - Skive Tekniske Skole HTX MATEMATIK B Katrine

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 2013/2014 Institution Skive Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik

Læs mere

Det tilstræbte matematikindhold og teknologi spiller det sammen?

Det tilstræbte matematikindhold og teknologi spiller det sammen? 75 K O M M E N TA R E R Det tilstræbte matematikindhold og teknologi spiller det sammen? Henrik Bang Center for Computerbaseret Matematikundervisning, CMU Claus Larsen Center for Computerbaseret Matematikundervisning,

Læs mere

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning  Gratis anvendelse - læs betingelser! Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Nøgleord og begreber

Nøgleord og begreber Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere