Frederiksberg HF-kursus Vektorer i planen, Mat B, SSO Kenneth Leerbeck, 2. J. Vektorer. planen

Transkript

1 Vektorer i planen

2 English abstract This report is about the mathematical concept vectors. It explains what a vector is, and how vectors are indicated with coordinates and arrows. It explains calculating with vectors in general, with coordinates, and how to calculate the length of a vector. It also defines the concept called tværvektor in danish. It exlpains the concept dot product of two vectors, and the context between that and the angle between the vectors. It too explains the concept called determinant in danish, and how that is used to calculate the area of a stretched parallelogram between two vectors. Through the report there will be mathematical proves and illustrations to show and explain the methods being used. Besides that it has the solutions of task 2, 3, 4, 5 and 6 from Bilag 1.

3 Indhold: Indledning... 2 Hvad er en vektor?... 2 Vektorens koordinater... 3 Stedvektorer... 4 Regning med vektorer... 4 Addition... 5 Subtraktion... 5 Multiplikation... 5 Division... 6 Regneregler til hhv. addition, subtraktion og multiplikation:... 6 Tværvektor... 6 Skalarprodukt... 7 Skalarproduktet til vinkelberegning... 8 Determinant... 9 Determinanten til arealberegning... 9 Opgaver (bilag 1) Opgave 2: Opgave 3: Opgave Opgave 5: Opgave Konklusion Perspektivering Litteraturliste... 14

4 Indledning Opgaven handler om vektorer i planen. Et begreb som bruges indenfor fysikken til beskrivelse af fx krafter og hastigheder, men i sin natur er det et matematisk begreb. Opgaven her er fra et matematisk synspunkt. Jeg forklarer bl.a. hvad en vektor er og hvordan den angives med koordinater, herunder vil jeg også komme ind på vektorens længde. Jeg vil komme ind på hvordan man regner med vektorer. Jeg vil definere og redegøre for begreber, som stedvektor, tværvektor, skalarprodukt og determinant. Jeg vil under skalarproduktet redegøre for hvordan vinklen mellem to vektorer beregnes, og dennes sammenhæng med størrelsen af skalarproduktet. Derudover vil jeg under determinant-begrebet komme ind på arealberegning af et udspændt parallelogram mellem to vektorer. Henad vejen vil jeg bevise forskellige sætninger, heriblandt en regneregel for skalarproduktet. Opgave 2,3,4,5 og 6 løses til sidst i opgaven ved brug af begreber, formler og sætninger fra de gennemgåede afsnit. Hvad er en vektor? Hvis du spørger: Hvad er vektorer egentlig for en størrelse? Så vil man nok svare dertil, at det ikke bare er en størrelse, men også en retning. Vektorbegrebet er noget man bruger indenfor beregninger i typisk 2 eller 3 dimensioner, hhv. i planen og i rummet. Rent grafisk illustreres en vektor i form af en pil, som man plotter ind i et koordinatsystem. Pile har som bekendt både en retning og en længde (størrelse), hvilket af netop denne grund gør den idéel til formålet. En vektor skrives som vektorens navn, fx a, med en lille pil henover. I opgaven her angives vektorer med fed i stedet for brug af pilen. Man har bl.a. det man kalder for en 0-vektor, som af navnet er en vektor uden nogen størrelse eller retning. Udover 0-vektoren er der så alle de andre, som kaldes for egentlige vektorer. En egentlig vektor med en bestemt størrelse og retning er i vektorverdenen en repræsentant for alle andre vektorer med præcis den samme størrelse og retning. Vektorens koordinater En vektor kan angives med koordinater. En x-koordinat og en y-koordinat, som skrives over hinanden eller bare som et hvert andet koordinatsæt, dvs. a = (a 1, a 2 ). I tilfælde af en tredje dimension plotter du bare det sidste koordinat på til sidst eller nederst alt efter hvilken notation du bruger. Koordinaterne bestemmes udfra det vi kalder basisvektorer eller enhedsvektorer, som vi

5 indsætter i koordinatsystemet. De hedder hhv. i = (1, 0) og j = (0, 1) og er parallelle og ensrettede med hhv. x- og y-aksen. Man benytter af og til andre basisvektorer, som så også giver vektorerne andre koordinater. Jeg har et eksempel på dette i afsnittet om Skalarproduktet. Disse basisvektorer er dog altid ortogonale på hinanden, hvilket vil sige at de står vinkelret på hinanden. Dette skrives, i j. Vi bestemmer vores vektors koordinater ved at opløse den i basisvektorerene. Ved opløsningen fås to vektorer, a 1 *i og a 2 *j, der lagt sammen bliver defineret som a s koordinater. Dette gøres som vist i illustrationen til højre: I illustrationen er a opløst i basisvektorerne og vi har fået to vektorer, a 1 = (3, 0) og a 2 = (0, 2). Som også skrives at: a = a 1 * i + a 2 * j = (3, 0) + (0, 2) = (3, 2) Dette udgør så vektorens koordinater a = (a 1, a 2 ) = (3, 2). (jeg vil forklare mere om addition af vektorer i afsnittet om Addition) Vi får hermed en retvinklet trekant ud af opløsningen, hvilket fører os til at kunne bestemme vektorens længde, noteres IaI, ganske simpelt vha. pythagoras' sætning, a 2 + b 2 = c 2. Vi får således at: IaI = a a 2 = = 3,6 Bevis: Vi antager at Ia 1 *ii og Ia 2 *ji er kateterne på trekanten og IaI er hypotenusen. IaI 2 = Ia 1 *ii 2 + Ia 2 *ji 2 <=> IaI 2 2 = a 1 * IiI a 2 * IjI 2 (regneregel, (ab) x = a x b x ) <=> IaI = a 1 * 1 + a 2 * 1 (da i og j er enhedsvektorer er deres længde = 1 så kan vi skrive at IiI 2 = 1 2 = 1) <=> IaI = a 1 + a 2 Stedvektorer Man kan også ved hjælp af stedvektorer bestemme en vektors koordinater. Hvis man har to vilkårlige punkter, P og Q, vil man kunne tegne en vektor derimellem, PQ. For at bestemme denne vektors koordinater, kan man tegne endnu en vektor fra koordinatsystemets nulpunkt (0, 0), som også skrives O, og ud til P (p 1, p 2 ). En sådan vektor kaldes en stedvektor og man skriver den som OP. Stedvektorens koordinater er således de samme som punktet P's, så vi kan skrive: OP = P = (p 1, p 2 ). Man tegner ligeledes en vektor ud til Q fra O og kalder denne OQ.

6 Man kan nu ved hjælp af disse stedvektorer angive koordinaterne til en vilkårligt indlagt vektor, som vist her: Vi har punktet P = (p 1, p 2 ) og punket Q = (q 1, q 2 ) og vil angive vektoren mellem disse punkter: PQ = OQ - OP = (q 1, q 2 ) (p 1, p 2 ) = (2, 2) (3, -1) = (-1, 3) (jeg vil forklare mere om subtraktion i afsnittet om subtraktion) Bevis: Man har det man kalder indskudsreglen, som går ud på at et punkt er skudt ind imellem to punkter. 1 I dette tilfælde er Q skudt ind imellem O og P, og reglen siger således at, OP + PQ = OQ, så vi kan altså skrive at: OP + PQ = OQ <=> PQ = OQ - OP Regning med vektorer Indenfor vektorregning kan man addere og subtrahere vektorer med hinanden som man vil. Multiplikation og division er derimod lidt mere tricky. Du kan multiplicere vektorer med tal, men ikke to vektorer med hinanden. Du må heller ikke dividere to vektorer med hinanden eller et tal med en vektor. Det er derimod okay hvis du dividere en vektor med et tal. Jeg vil i de følgende afsnit gå i dybden med hhv. addition, subtraktion, multiplikation og division. Addition Når man adderer vektorer finder man frem til summen af to vektorer. Man lægger x- koordinaterne sammen for sig og y-koordinaterne for sig. Det kan derfor være en fordel indenfor vektorregning at benytte skrivemåden, hvor man stiller koordinaterne over hinanden som i: a + b = a 1 + b 1 = = 3 = (3, 3) a 2 + b Grafisk ser en sådan konstruktion se ud som vist: 1 Vektorer, Geometri og Differentialregning, af Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk, side 12

7 Subtraktion Ved subtraktion af vektorer skriver man som følgende: a - b. Dette kommer nok ikke bag på mange. Man kan såvel også omskrive subtraktionen til en addition således: a + (- b). Og derpå regnes det ud på samme måde som ved addition. Når man sætter minus foran en vektor svarer det til at vende vektoren 180. Resultatet af en subtraktion kan let aflæses grafisk ved at placere b s begyndelsespunkt i a s begyndelsespunkt. Vektoreren der så går fra b s slutpunkt til a s slutpunkt er resultatet af subtraktionen. Dette er illustreret til højre: Som tidligere nævnt bliver b vendt 180 når man ændrer dets fortegn. Dette vil dog ikke påvirke resultatet hvis man løser det grafisk med metoden ovenfor. Man skal dog placere a s startpunkt i b s slutpunkt i stedet og så tegne resultatet imellem b's startpunkt og a's slutpunkt. Multiplikation Når man multiplicere en vektor med at tal svarer det til at du enten forlænger vektoreren eller forkorter den alt efter tallets størrelse. Dette kaldes også en skalering af vektoren. Grunden til dette er at man indenfor vektorregning kalder tal for skalarer. Hvis tallet er større end 1 forlænges vektoreren, hvis mindre forkortes vektoren. Hvis tallet er negativt bliver vektorens retning vendt 180. Dette er illustreret til højre: Når man multiplicerer skal man gange tallet med begge vektorens koordinater. Så hvis vi tager et eksempel og antager at a = (1, 2) og ganger den med 2, så: 2 a = 2 *1 = 2 = (2, 4) 2 *2 4 Division Division er ikke noget der bliver brugt meget da man kan præcis det samme vha. multiplikation. Og multiplikation er bare lettere at regne med, da du ved division skal tænke omvendt. Hvis tallet er større end 1 forkortes vektoren, hvis tallet er mellem 0 og 1 forlænges den. Hvis tallet er negativt vendes retningen 180 ligesom ved multiplikation. Som det også gøres ved multiplikation skal du her dividere med begge vektorens koordinater. Hvis vi igen antager at a = (1, 2) og dividere med tallet 2 :

8 a / 2 = 1 2 = (0,5 ; 1) 2 2 Regneregler til hhv. addition, subtraktion og multiplikation: a) a + 0 = a (0 er betegnelsen for nulvektoren) b) a + b = b + a (den kommunikative lov) c) a + (b + c) = (a + b) + c (den associative lov) d) (s + t) a = s a + t a (den distributive lov) e) s (a + b) = s a + s b (den distributive lov) f ) s (t a) = (s t) a (faktorernes orden er underordnet) g) a = b <=> a + c = b + c 2 Tværvektor En tværvektor er en vektor der går på tværs af den oprindelige vektor og betegnes som den oprindelige vektor bare med en lille ^ henover. Derfor kalder man også tværvektoren for a for a-hat. 3 Tværvektoren til enhver vektor a defineres som den vektor der fremkommer ved at dreje a 90 mod uret, altså i positiv retning. Tværvektoren a^ er således også ortogonal på a, a^ a, på samme måde som basisvektorerne i og j er på hinanden, som beskrevet tidligere. Basisvektor j er således også tværvektoren til basisvektor i. Og tværvektoren til j er i. Illustreret ude til højre: Der gælder at for enhver vektor a = (a 1, a 2 ) er tværvektoren a^ = (-a 2, a 1 ). Bevis: Hvis vektor a har retningsvinklen v, kan koordinatsættet skrives: a = IaI * cos(v) = a 1 = (a 1, a 2 ) IaI * sin(v) a 2 I tværvektoren lægger vi 90 til vektorens vinkel, som svarer til at dreje den 90 mod uret. Den bliver derfor: a^ = IaI * cos(v + 90 ) = IaI * (-sin(v)) = - a 2 = (- a 2, a 1 ) 4 IaI * sin(v + 90 ) IaI * cos(v) a 1 Jeg har illustreret ude til højre hvordan cos(v + 90 ) bliver til -sin(v). Altså cosinusværdien til vinklen til a (læses som vinklen mellem x-aksens plus-side og a) er den samme som sinusværdien til vinklen til a^, dog med ændret fortegn fordi a-hats vinkel er minimum Højniveaumatematik 1, af Thomas Hebsgaard og Hans Sloth fra 1999, side 39 3 Højniveaumatematik 1, af Thomas Hebsgaard og Hans Sloth fra 1999, side 47 4 Højniveaumatematik 1, af Thomas Hebsgaard og Hans Sloth fra 1999, side 47

9 På samme måde kan man se hvordan sin(v + 90 ) bliver til cos(v). Regneregler til tværvektoren: a) a + b = a^ + b^ b) ta = t * a^ Skalarprodukt Som tidligere nævnt kalder man i vektorverdenen tal for skalarer. Skalarproduktet af to vektorer er altså et tal. Man kalder det også for prikproduktet 5 fordi man notere det med en prik som i: a b. Ikke at forveksle prikken med et gangetegn, hvilket ikke skulle være til at tage fejl af, da man, som tidligere nævnt, ikke kan gange to vektorer sammen. Skalarproduktet defineres: a b = a 1 *b 1 + a 2 *b 2 Man har også indenfor skalarproduktet en række regneregler: a) a b = b a (den kommunikative lov) b) a (b + c) = a b + a c (den distributive lov) c) (t a) b = a (t b) = t (a b) 6 d) a a = IaI 2 Bevis for regneregel c: Vi antager at a = (a 1, a 2 ) og b = (b 1, b 2 ) og dermed t a = t(a 1, a 2 ) (t a) b = t a 1 b 1 = t a 2 b 2 (t a 1 ) * b 1 + (t a 2 ) * b 2 (af definitionen af skalarproduktet) = t a 1 b 1 + t a 2 b 2 (vi ganger ind i parenteserne) = t (a 1 b 1 + a 2 b 2 ) (t bliver fællesfaktor og sættes udenfor parentesen) = t (a b) (a 1 b 1 + a 2 b 2 er definitionen på a b) 7 Skalarproduktet til vinkelberegning Indenfor sammenhængen mellem størrelsen af skalarproduktet og vinklen mellem to Højniveaumatematik 1, af Thomas Hebsgaard og Hans Sloth fra 1999, side 50 7 Højniveaumatematik 1, af Thomas Hebsgaard og Hans Sloth fra 1999, side 50

10 egentlige vilkårlige vektorer a og b gælder der følgende: a b > 0 <=> 0 < vinklen til (a, b) < 90 a b = 0 <=> vinklen til (a, b) = 90 (Vektorerne er altså ortogonale) a b < 0 <=> 90 > vinklen til (a, b) < Altså fortæller skalarproduktet noget om hvorvidt vinklen mellem to egentlige vektorer er stump, spids eller ret. Den præcise vinkel bestemmes ved formlen: a b = IaI * IbI *cos(v) <=> a b / (IaI * IbI) = cos(v) <=> v = cos -1 (a b / (IaI * IbI)) Bevis: Vi benytter her et koordinatsystem, hvor vi lader basisvektorerne være ensrettede med hhv. a og a^ og kalder dem hhv. e a og e a^. At vi benytter et andet koordinatsystem betyder ikke noget i forhold til vinklen mellem a og b eller længden af vektorerne. Forudsat at længdeenhederne på basisvektorerne ikke ændres. Basisvektorerne er derfor: e a = a / IaI e a^= a^ / Ia^I = a^ / IaI Retningsvinklen for b er i dette koordinatsystem den samme som vinklen mellem a og b. Man kan se udfra betingelserne for dette system at a = (IaI, 0), og b = (IbI*cos(v), IbI*sin(v)). Skalarproduktet bliver derfor : a b = IaI*IbI cos(v) + 0*IbI sin(v) = IaI*IbI cos(v) 9 Determinant Determinanten af et vektorpar (a, b) defineres som skalarproduktet af a^ og b. Dvs. : det( a, b) = a^ b = -a 2 *b 1 + a 1 *b 2 = a 1 *b 2 - a 2 *b 1 Determinanten af to parallelle vektorer er altså nul, ifølge sætningerne for sammenhængen mellem skalarproduktet og vinklen i det tidligere afsnit. Dette ses på at a^ står ortogonal, altså 90, på a og dermed også på b, da vektorerne er parallelle. Determinanten til arealberegning Når man har to vektorer a og b, kan man udspænde et parallelogram, som vist: Arealet for dette parallelogram kan beregnes ved formlen, A = 8 Højniveaumatematik 1, af Thomas Hebsgaard og Hans Sloth fra 1999, side 53 9 Højniveaumatematik 1, af Thomas Hebsgaard og Hans Sloth fra 1999, side 52

11 det(a, b) Der er her tale om en numerisk værdi og ikke en længde. Bevis: Arealformlen for et almindeligt parallelogram hedder : A = h*g, h for højden og g for grundlinjen. I vektorverdenen kan man indføre et koordinatsystem, som jeg også gjorde tidligere, hvor x-aksen er parallel og ensrettet med a, som vist: a's koordinater hedder såvel (IaI, 0) og IaI er altså grundlinjen i vores parallelogram. Højden er så den numeriske værdi af b's y-koordinat. Man snakker om den numeriske værdi da b's y-koordinat godt kan være negativ, men arealet af parallelogrammet kan altså kun være positivt. Hvis vi kalder vinklen til a og b for v, er koordinaterne til b = (IbI*cos(v), IbI*sin(v)). Når vi nu har både højde og grundlinje kan vi opstille formlen: A = h*g = IbI*sin(v) * IaI = IbI*sin(v) * IaI = det(a, b) (det(a, b) er som tidligere defineret a^ b = a1*b2 -a2*b1 = IaI* IbI*sin(v) 0 *IbI*cos(v) = IaI* IbI*sin(v)) Derfor får vi : det(a, b) 10 Opgaver (bilag 1) Her ser vi nogle eksempler på hvorledes de forskellige begreber, formler og sætninger vi har været igennem kan benyttes indenfor vektorregning: Opgave 2: Det oplyses at IaI = 2. Bestem Ia + 3a^I Da koordinatererne ikke betyder noget for svaret som bare er en længde, så der ikke noget ulovligt i at opdigte a's koordinater, så længe IaI = 2. er Vi giver a koordinaterne (a 1, a 2 ) = (2, 0). Altså er længden stadig lig 2. Tværvektoren har koordinaterne (- a 2, a 1 ) = (0, 2) Ia + 3a^I = I(2, 0) + 3(0, 2)I = I(2, 0) + (0, 6)I = I(2, 6)I 2 2 Længden bestemmes vha. formlen IaI = a 1 + a 2 : 10 Højniveaumatematik 1, af Thomas Hebsgaard og Hans Sloth fra 1999, side 64

12 Ia + 3a^I = = 6,3 Altså er længden af vektoren a + 3a^ lig med 6,3 Opgave 3: Lad a = (-3, 5) og b = (1, 4) Bestem vinklen mellem a og b: Vi benytter her formlen a b = IaI * IbI *cos(v) og isolere v, som er vinklen. a b = IaI * IbI *cos(v) <=> a b / (IaI * IbI) = cos(v) <=> v = cos -1 (a b / (IaI * IbI)) = cos -1 ((-3*1 + 5*4) / ( * )) = 44,99 Vinklen mellem a og b er altså 44,99 grader. Bestem tallet t, så vektorerne a og a + t*b er ortogonale: Fra sætningerne om sammenhængen mellem størrelsen af skalarproduktet og vinklen, ved vi at to vektorer er ortogonale hvis skalarproduktet er lig 0. Derfor kan vi skrive at a (a + t*b) = 0 og så isolere t: a (a + t*b) = 0 <=> a a + a t*b = 0 (her bruges regneregel: a (b + c) = a b + a c) <=> IaI 2 + a t*b = 0 (ifølge en regneregel for skalarproduktet er a a = IaI 2 ) <=> IaI 2 + (a 1 * b 1 ) + t(a 2 *b 2 ) = 0 <=> ((a 1 * b 1 ) + (a 2 *b 2 ))t = -IaI 2 <=> t = -IaI 2 / ((a 1 * b 1 ) + (a 2 *b 2 )) <=> t = -IaI 2 / (a b) <=> -( ) 2 / (-3*1 + 5*4) = -2 Hvis tallet t er lig med -2, får man en vektor a + t*b = (-3, 5) + (-2(1, 4)) = (-5, -3) der står ortogonalt på a. Udfaldet giver god mening da denne vektor også er tværvektoren til a = (-3, 5). a^ = (-a 2, a 1 )= (-5, -3). Opgave 4 Bestem tallet t så vektorerne (2, -3t) og (1, t 20) er parallelle: Vi ved at hvis determinanten er lig 0, så er vektorparret parallelle, så derfor vi altså skrive at, det(a, b) = 0 <=> det((2, -3t), (1, t 20)) = 0. kan Da determinanten er defineret som a^ b = (-(-3t), 2) (1, t 20) kan vi altså skrive følgende: -(-3t)*1 + 2* t 20 = 0. Nu skal t bare isoleres: -(-3t)*1 + 2* t 20 = 0 <=> -(-3t) + 2 t = 20 <=> 5 t = 20 <=> t = 20 / 5 <=> t = 4 Så vektorerne (2, -3*4) = (2, -12) og (1, 4 20) = (1, -16) er således to parallelle vektorer.

13 Opgave 5: I et koordinatsystem er givet tre punkter A(0, -6), B(-1, 2) og C(2, 6). Beregn arealet af trekant ABC samt vinkel C i trekanten: Vi kan her benytte stedvektorerne. Ved at tegne punkterne ind og tegne en ud til hvert af punkterne. Og derefter tegne trekantens sider ved kombinere punkterne som vist ude til højre: stedvektor Som det ses ude til højre har vi bl.a. vektorerne OC, OA og AC. OC s koordinater er lig C's koordinater, og OA's koordinater er lig A's koordinater. Derfor kan vi her sige: AC = OC OA = (2, 6) (0, -6) = (2, 12) Samme procedure køres igennem med AB og BC: BC = OC OB = (2, 6) - (-1, 2) = (3, 4) AB = OB OA = (-1, 2) (0, -6) = (-1, 8) Til beregning af arealet af et parallelogram har vi formlen A = det(a, b). Derfor kan vi dividere dette med 2 for dermed at resultatet af arealet af en trekant. Så vi får: få Opgave 6 A = det(ac, AB) / 2 = det(2, 12),(-1, 8) / 2 = (-12, 2) (-1, 8) / 2 = -12*(-1) + 2*8 / 2 = 14 Dermed er trekant ABC's areal lig med 14 kvadratenheder. Vinkel C i trekanten beregnes ved, v = cos -1 (a b / (IaI * IbI)) fra opgave 3. Så C's v = cos -1 (AC BC / (IACI * IBCI)) = cos -1 ( 2*3 + 12*4) / ( * )) = 27,4 Vinklen til C er således lig med 27,4 grader. I et koordinatsystem er der for hver t givet to vektorer: a = (1+t, 2 - t) og b = (t, 4 t) Bestem de værdier af t for hvilke a og b udspænder et parallelogram med areal 5: For at finde ud af dette, skal vi gå ud fra arealformlen A = det(a, b) og sætte den lig 5. Da der er tale om den numeriske værdi gælder der at det(a, b) = 5 <=> det(a, b) = 5 v det(a, b) = -5. Dette betyder at der også findes en t-værdi til det(a, b) = -5. Altså er der to forskellige t-værdier: 1. t-værdi: det(a, b) = 5 <=> a^ b = 5 <=>

14 (-2 + t, 1 + t) (t, 4 t) = 5 <=> (-2 + t)*t + (1 + t)* (4 t)= 5 <=> -2t + t t + 4t - t 2 = 5 <=> t + 4 = 5 <=> t = 1 2. t-værdi: det(a, b) = -5 <=> a^ b = -5 <=> (-2 + t, 1 + t) (t, 4 t) = -5 <=> (-2 + t)*t + (1 + t)* (4 t) = -5 <=> -2t + t t + 4t - t 2 = -5 <=> t + 4 = -5 <=> t = -9 Det betyder at arealet af det udspændte parallelogram er lig 5, hvis t = 1 og hvis t = -9. Konklusion En vektor angives altså med koordinater bestemt af basisvektorer, og længden af en vektor bestemmes vha. Pythagoras. I vektorregning med koordinater, kan man, både addere, subtrahere, multiplicere og dividere. En tværvektor beskriver den oprindelige vektor, som er drejet 90 mod uret og dermed står vinkelret på den oprindelige vektor. Skalarproduktet af to vektorer er et tal, som fortæller noget om vinklen mellem vektorerne, og kan beregnes udfra vektorernes koordinater ved en formel. Determinanten er også et tal, defineret som skalarproduktet af vektoren b og tværvektoren til a. Man kan benytte determinanten til beregning af arealet af et udspændt parallelogram mellem to vektorer. Perspektivering Vektorbegrebet blev indført tilbage i 1600-tallet, da det i højere og højere grad ikke længere var nok at beskrive fysiske størrelser blot med tal. Man manglede en retning. 11 Som tidligere beskrevet bruger man det til beregninger i hhv. planen og i rummet. Hvis man eksempelvis tager et objekt med en hastighed af 50 km/t, så er det tit meget relevant at vide hvad vej objektet bevæger sig. Man kan også benytte vektorer indenfor byggeindustrien, i den forstand at et objekt har retningen nedad pga. tyngdekraften. Den kraft skal holdes i skak af en anden kraft, så vi ender med at få en nul-vektor, hvilket betyder at objektet nu står stabilt. Vektorer er altså noget man bruger i alle mulige sammenhænge hvor der kræves beregninger i flere dimensioner. 11

15 Litteraturliste Højniveaumatematik 1, af Thomas Hebsgaard og Hans Sloth fra 1999, Nyt Teknisk Forlag side 27-29, 33-39, og Vektorer, Geometri og Differentialregning, af Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk, fra 1999, GYLDENDAL UDDANNELSE side Hjemmesider benyttet: Illustrationerne har jeg tegnet i GeoGebra, på hjemmesiden herunder: