Geometriske vektorer. enote En geometrisk vektor

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Geometriske vektorer. enote En geometrisk vektor"

Transkript

1 enote 6 1 enote 6 Geometriske vektorer Formålet med denne note er at give en introduktion til geometriske vektorer i planen og rummet, som sigter mod at introducere en række af de metoder, der gør sig gældende i den generelle vektorrumsteori. Nøglebegreberne er her lineær uafhængighed og lineær afhængighed, samt basis og koordinater. enoten forudsætter kendskab til elementær plan- og rumgeometri, til lineære ligningssystemer som beskrevet i enote 2 og til matrixalgebra som beskrevet i enote??. Version Karsten Schmidt. 6.1 En geometrisk vektor Ved en geometrisk vektor i planen eller rummet forstås et sammenhørende par af en længde og en retning. Geometriske vektorer skriver vi med små fede bogstaver, for eksempel v. En vektor kan repræsenteres af et orienteret linjestykke med et givet begyndelsespunkt og endepunkt. Hvis vektoren v er repræsenteret af det orienterede linjestykke fra begyndelsespunktet A til endepunktet B, benytter vi skrivemåden v = AB. Alle andre orienterede linjestykker med samme længde og retning er også repræsentanter for v, selvom de måske er placeret et andet sted i planen eller rummet. Eksempel 6.1 Parallelforskydninger ved hjælp af vektorer Geometriske vektorer kan benyttes til at angive parallelforskydninger i planen eller rummet. På figur 6.1 er linjestykket CD fremkommet af linjestykket AB ved, at alle punkterne på AB er blevet forskudt med vektoren u. På samme måde er linjestykket EF fremkommet af AB ved parallelforskydning med vektoren v.

2 enote EN GEMETRISK VEKTR 2 D B u F C A v Figur 6.1: Parallelforskydning ved hjælp af vektorer Der gælder, at AB = CD = EF, men bemærk for eksempel også, at AB = FE. I det følgende forudsætter vi, at der er valgt et enhedslinjestykke, hvilket vil sige et linjestykke, der tillægges længden 1. Ved v forstås længden af vektoren v set i forhold til længden af enhedslinjestykket. v er dermed et reelt tal. Alle vektorer med samme længde som enhedslinjestykket kaldes enhedsvektorer. Af praktiske grunde indføres en særlig vektor, som har længden 0, og som ikke tillægges en retning. Den kaldes nulvektoren og skrives 0. For ethvert punkt A sætter vi AA = 0. En vektor, som ikke er nulvektoren, kaldes en egentlig vektor. For enhver egentlig vektor v defineres den modsatte vektor v som den vektor, der har samme længde som v men modsat retning. Hvis v = AB, gælder dermed, at BA = v. For nulvektoren sættes 0 = 0. Det er ofte praktisk at benytte et fælles begyndelsespunkt, når forskellige vektorer skal repræsenteres af orienterede linjestykker. Man vælger derfor et fast punkt, kaldet origo, og betragter vektorer ved de repræsentanter, der har som begyndelsespunkt. Vektorer repræsenteret på denne måde kaldes stedvektorer, fordi der til enhver given vektor v hører ét unikt punkt (eller sted) P, der opfylder, at v = P. Tilsvarende hører der til ethvert punkt Q én unik vektor u således, at Q = u. Ved vinklen mellem to egentlige vektorer i planen forstår man den entydigt bestemte vinkel mellem deres stedvektorer (deres repræsentanter med samme startpunkt, nemlig udgående fra ), som ligger i intervallet [ 0 ; π]. Hvis en vektor v i planen drejes vink- E

3 enote ADDITIN G MULTIPLIKATIN MED SKALAR 3 len π/2 mod uret, fremkommer en ny vektor, der kaldes v s tværvektor og betegnes v. Ved vinklen mellem to egentlige vektorer i rummet forstås vinklen mellem deres stedvektorer i den plan i rummet, som indeholder begge stedvektorer. Det giver god og brugbar mening at lægge vektorer sammen, idet man både tager højde for vektorernes længde og deres retning. Vi vil derfor i det følgende indføre nogle regneoperationer for geometriske vektorer. I første omgang drejer det sig om de to lineære regneoperationer: addition af vektorer og multiplikation af vektor med en skalar (et reelt tal). Senere skal vi se på tre forskellige måder at multiplicere vektorer med hinanden på, nemlig prikprodukt og for rumvektorer krydsprodukt og rumprodukt. 6.2 Addition og multiplikation med skalar Definition 6.2 Addition Der er givet to vektorer i planen eller rummet, u og v. Summen u + v fastlægges ved følgende metode: Vi vælger origo og afsætter stedvektorerne u = Q og v = R. Ved parallelforskydning af linjestykket R med u fremkommer linjestykket QP. P er da stedvektor for summen af u og v. Kort sagt: u + v = P. R P v u+v u Q

4 enote ADDITIN G MULTIPLIKATIN MED SKALAR 4 I fysik taler man om kræfternes parallelogram : Hvis et objekt er påvirket af kræfterne u og v, kan den resulterende kraft bestemmes som sumvektoren u + v, hvis retning angiver den resulterende krafts retning, og hvis længde angiver kraftens størrelse. Hvis specielt u og v har samme længde, men modsat retning, er den resulterende kraft lig med 0-vektoren, da de to kræfter derved netop modvirker hinanden. Vi indfører nu multiplikation af vektor med skalar. Definition 6.3 Multiplikation med skalar Der er givet en vektor v i planen eller rummet og en skalar k. Hvis v = 0, sætter vi kv = vk = 0. I modsat fald forstås der ved produktet kv følgende: Hvis k > 0, så er kv = vk den vektor, der har samme retning som v, men som er k gange så lang som v. Hvis k = 0, så er kv = 0. Hvis k < 0, så er kv = vk den vektor, der har modsat retning af v, og som er k = k gange så lang som v. Eksempel 6.4 Multiplikation med skalar En given vektor v ganges med henholdsvis 1 og 2 : v (-1)v 2v Figur 6.2: Multiplikation af en vektor med 1 og 2 Det følger umiddelbart af definition 6.3, at multiplikation af en vektor med 1 giver vektorens modsatte vektor, ( 1)u = u. I forlængelse heraf bruger vi skrivemåder som ( 5)v = (5v) = 5v.

5 enote ADDITIN G MULTIPLIKATIN MED SKALAR 5 Af definition 6.3 følger umiddelbart nulreglen for geometriske vektorer: kv = 0 k = 0 eller v = 0. I det følgende eksempel vises, at multiplikation af en vilkårlig vektor med en vilkårlig skalar kan udføres ved ren passer/lineal-konstruktion. Eksempel 6.5 Geometrisk multiplikation Givet en vektor a og et linjestykke med længden k. Konstruer vektoren ka. P ka Q a 1 k Figur 6.3: Konstruktion af multiplikation af vektor med vilkårlig skalar Først afsættes Q= a, og linjen Q forlænges. Derefter indlægges der med som begyndelsespunkt en målelinje (lineal), som ikke er parallel med a, og hvor tallene 1 og k afsættes. Trekanten kp tegnes, så den er ensvinklet med trekanten 1Q. Da de to trekanter er ensvinklede, må der gælde, at ka = P. pgave 6.6 Der er givet to parallelle vektorer a og b samt en målelinje. Hvordan kan man med en passer og målelinjen konstruere et linjestykke, som har længden k, og som opfylder, at b = ka? pgave 6.7 Der er givet en egentlig vektor v, og der er givet en målelinje (lineal). Tegn vektoren 1 v v. Parameterfremstillinger for rette linjer i planen eller rummet opstilles ved hjælp af egentlige vektorer. Nedenfor giver vi først et eksempel på en linje, der går gennem origo, og

6 enote ADDITIN G MULTIPLIKATIN MED SKALAR 6 dernæst et eksempel på en linje, der ikke gør. Eksempel 6.8 Parameterfremstilling for ret linje Der er givet en ret linje l, som går gennem origo. Beskriv punkterne på linjen ved hjælp af en parameterfremstilling. l r t r R P Figur 6.4: Parameterfremstilling for linje gennem origo Der vælges et punkt R på l, der ikke er det samme som origo. Vektoren r = R kaldes en retningsvektor for l. Til ethvert punkt P på l svarer der netop ét reelt tal t, der opfylder, at P= tr. mvendt svarer der til ethvert tal t netop ét punkt P på l, så P= tr. Når t gennemløber de reelle tal fra til +, vil P gennemløbe hele l i den retning, som er bestemt ved r. Man siger, at { P P= tr hvor t R } er en parameterfremstilling for l. Eksempel 6.9 Parameterfremstilling for ret linje Givet linjen m, der ikke går gennem origo. Beskriv punkterne på m ved hjælp af en parameterfremstilling. m P t r R r b B Figur 6.5: Parameterfremstilling for linje Først vælges et begyndelsespunkt B på m, og vi sætter b = B. Dernæst vælges et punkt R m, som ikke er det samme som B. Vektoren r = BR er da en retningsvektor for m. Til ethvert punkt P på m svarer der netop ét reelt tal t, der opfylder, at P= b + tr. mvendt svarer der

7 enote ADDITIN G MULTIPLIKATIN MED SKALAR 7 til ethvert tal t netop ét punkt P på l, så P= b + tr. Når t gennemløber de reelle tal fra til +, vil P gennemløbe hele m i den retning, som er bestemt ved r. Man siger, at { P er en parameterfremstilling for m. P= b + tr hvor t R } Bemærk, at også den omvendte vektor r er en gyldig retningsvektor i ovenstående eksempler. Parameterfremstillinger som ovenfor beskriver rette linjer, der er uendeligt lange i hver retning. Men parameterfremstillinger kan afgrænses og derved også bruges til at beskrive linjestykker, hvilket er emnet for de følgende to opgaver. pgave 6.10 Betragt situationen i eksempel 6.9. Indtegn det orienterede linjestykke, som har parameterfremstillingen { P P= b + tr hvor t [ 1; 2 ] }. pgave 6.11 Givet to (ikke ens) punkter A og B. Beskriv med en parameterfremstilling det orienterede linjestykke fra A til B. Efter disse betragtninger opstiller vi en generel sætning for en parameterfremstilling for en ret linje på et vilkårligt interval I. Metode 6.12 Parameterfremstilling for ret linje Givet en ret linje l og to forskellige punkter R og B på l samt origo, hvor R =. Vektoren r = BR kaldes en retningsvektor for l. En parameterfremstilling for l er da l = { P hvor b = B, og I er et givent interval. P= b + tr hvor t I }, Vi får snart brug for mere avancerede regneregler for addition af geometriske vektorer og multiplikation af geometriske vektorer med skalarer end dem, vi har givet eksempler

8 enote ADDITIN G MULTIPLIKATIN MED SKALAR 8 på ovenfor. Vi ridser derfor generelle regneregler op i følgende sætning og diskuterer bagefter eksempler på, hvordan regnereglerne kan begrundes ud fra de allerede definerede regneoperationer og sætninger kendt fra elementær geometri. Sætning 6.13 Regneregler For vilkårlige geometriske vektorer u, v og w og for vilkårlige reelle tal k 1 og k 2 gælder følgende regneregler: 1. u + v = v + u Addition er kommutativ 2. (u + v) + w = u + (v + w) Addition er associativ 3. u + 0 = u Nulvektoren er neutral ved addition 4. u + ( u) = 0 Summen af en vektor og dens modsatte er 0 5. k 1 (k 2 u) = (k 1 k 2 )u Multiplikation af vektor med skalar er associativ } 6. (k 1 + k 2 )u = k 1 u + k 2 u De distributive regler gælder 7. k 1 (u + v) = k 1 u + k 1 v 8. 1u = u Skalaren 1 er neutral i produkt med vektorer Bevis Regnereglerne i sætning 6.13 kan illustreres og eftervises ved hjælp af geometriske konstruktioner. Lad os som eksempel tage den første regel, den kommutative lov. Her behøver vi blot igen at rette blikket mod figuren i definition 6.2, hvor u + v er konstrueret. Hvis vi nu konstruerer v + u, skal vi parallelforskyde linjestykket Q med v og betragte det fremkomne linjestykke RP 2. Der må gælde, at parallelogrammet QPR er identisk med parallelogrammet QP 2 R, hvorfor P 2 = P, og dermed u + v = v + u. I de følgende to opgaver opfordres læseren til selv at redegøre for to af de andre regneregler.

9 enote ADDITIN G MULTIPLIKATIN MED SKALAR 9 pgave 6.14 Gør ved hjælp af figur 6.6 rede for regnereglen k(u + v) = ku + kv. ka kb a b a+b k(a+b) Figur 6.6: Regnereglen k(u + v) = ku + kv pgave 6.15 Tegn en figur, som illustrerer regnereglen (u + v) + w = u + (v + w). For en given vektor u er det klart, at den modsatte vektor u er den eneste vektor, som opfylder ligningen u + x = 0. For to vilkårlige vektorer u og v er det også klart, at der findes netop én vektor, der opfylder ligningen u + x = v, nemlig vektoren x = v + ( u), hvilket illustreres på figur 6.7. x v -u u Figur 6.7: Løsningen til u + x = v er x = v + ( u) Vi kan derfor indføre subtraktion af vektorer som en variant af addition. Definition 6.16 Subtraktion Ved differensen af to vektorer v og u forstås vektoren v u = v + ( u). (6-1)

10 enote LINEARKMBINATINER 10 Det er ikke nødvendigt at indføre en højtidelig definition for division af vektor med skalar. Vi betragter den blot som en omskrivning af multiplikation med skalar: v k = 1 k v, k = Linearkombinationer En pointe ved regnereglen (u + v) + w = u + (v + w) fra sætning 6.13 er, at man kan udelade parenteser, når man skal addere en række vektorer, da det ingen betydning har for den resulterende vektor, i hvilken rækkefølge man har lagt vektorerne sammen. Dette er baggrunden for linearkombinationer, hvor et sæt af vektorer er multipliceret med skalarer og derefter er opskrevet som en sum. Definition 6.17 Linearkombination Når der er givet reelle tal k 1, k 2,..., k n v 1, v 2,..., v n, så kaldes summen og i planen eller rummet vektorerne k 1 v 1 + k 2 v k n v n en linearkombination af de n givne vektorer. Hvis alle koefficienterne k 1,, k n er lig med 0, kaldes linearkombinationen uegentlig. Men hvis blot én af dem er forskellig fra 0, er den egentlig. Eksempel 6.18 Konstruktion af en linearkombination c b d 3c a 2a -b Figur 6.9: Konstruktion af linearkombination På figur 6.9 til venstre er vektorerne a, b og c indtegnet. På figuren til højre har vi konstrueret linearkombinationen d = 2a b + 3c.

11 enote LINEÆR AFHÆNGIGHED G LINEÆR UAFHÆNGIGHED 11 Som eksempel 6.18 viser, beskriver en linearkombination netop blot den nye vektor, man får ved at forlænge andre vektorer og lægge dem sammen. pgave 6.19 Der er i planen givet vektorerne u, v, s og t samt parallelogrammet A, se figur s A t v u Figur 6.10: Linearkombinationer 1. pskriv s som en linearkombination af u og v. 2. Vis, at v kan udtrykkes ved linearkombinationen v = 1 3 s t. 3. Indtegn linearkombinationen s + 3u v. 4. Bestem reelle tal a, b, c og d således, at A kan beskrives ved parameterfremstillingen A = { P P= xu + yv hvor x [ a; b ] og y [ c; d ]}. 6.4 Lineær afhængighed og lineær uafhængighed Hvis to vektorer har repræsentanter på den samme rette linje, siger man, at de er lineært afhængige. Det er klart, at to egentlige vektorer er lineært afhængige, hvis de er parallelle. I modsat fald er de lineært uafhængige. Vi kan formulere det således, at to vektorer u og v er lineært afhængige, hvis den ene kan fremkomme af den anden ved multiplikation med en skalar forskellig fra 0, dvs. hvis der findes et tal k = 0 således, at v = ku.

12 enote LINEÆR AFHÆNGIGHED G LINEÆR UAFHÆNGIGHED 12 Kort sagt, to vektorer er lineært afhængige, hvis den ene kan beskrive den anden. To parallelle vektorer kan beskrive hinanden ved, at den ene kopieres og lægges til (eller trækkes fra) sig selv et vist antal gange; altså, ved at den forlænges eller forkortes. To vinkelrette eller blot ikke-parallelle vektorer kan derimod aldrig beskrive hinanden, uanset hvor meget vi forlænger eller forkorter dem, da vi er nødt til at dreje den ene, før det bliver muligt. Disse er derfor lineært uafhængige. Denne oprindelige betydning af begreberne lineær afhængighed og uafhængighed ønsker vi at generalisere sådan, at begreberne kan bruges om et vilkårligt sæt af vektorer. Definition 6.20 Lineær afhængighed og uafhængighed Et sæt af vektorer (v 1, v 2,..., v n ), hvor n 2, kaldes lineært afhængigt, hvis mindst én af vektorerne kan skrives som en linearkombination af de øvrige. Hvis ingen af vektorerne kan skrives som en linearkombination af de øvrige, kaldes sættet for lineært uafhængigt. Et sæt, som kun består af én vektor, kaldes lineært afhængigt, hvis vektoren er 0- vektoren, og ellers lineært uafhængigt. Eksempel 6.21 Lineært afhængige og lineært uafhængige vektorsæt I planen er givet tre vektorsæt (u, v), (r, s) og (a, b, c), se figur u c v a b r s Figur 6.11: Tre vektorsæt Sættet (u, v) er lineært afhængigt, idet der for eksempel gælder: u = 2v.

13 enote LINEÆR AFHÆNGIGHED G LINEÆR UAFHÆNGIGHED 13 gså sættet (a, b, c) er lineært afhængigt, da for eksempel b = a c. Kun sættet (r, s) er lineært uafhængigt, da der ikke findes måder, hvorpå de kan beskrive hinanden. pgave 6.22 Gør rede for, at tre vektorer i rummet er lineært afhængige, hvis og kun hvis de har repræsentanter, som ligger i samme plan. Hvilke betingelser må tre vektorer i rummet opfylde, for at de er lineært uafhængige? pgave 6.23 vervej (intuitivt), hvad der er det maksimale antal vektorer, som et vektorsæt i planen kan rumme, hvis sættet skal være lineært uafhængigt. Samme spørgsmål for rummet. Når man skal undersøge, om et sæt af vektorer er lineært uafhængigt eller lineært afhængigt, giver definition 6.20 ikke umiddelbart en praktisk fremgangsmåde. Det kan være nemmere at bruge sætningen, der følger nedenfor. Den bygger på, at et vektorsæt er lineært afhængigt, hvis og kun hvis 0-vektoren kan opskrives som en egentlig linearkombination af vektorerne. Antag som en opvarmning til sætningen, at sættet (a, b, c) er lineært afhængigt, fordi c = 2a 3b. Så kan 0-vektoren fremstilles ved den egentlige linearkombination 2a 3b c = 0. Antag omvendt, at 0-vektoren er en egentlig linearkombination af vektorerne u, v og w således: 2u 2v + 3w = 0. Så har vi for eksempel, at w = 2 3 u v og dermed, at vektorerne er lineært afhængige.

14 enote LINEÆR AFHÆNGIGHED G LINEÆR UAFHÆNGIGHED 14 Sætning 6.24 Lineær uafhængighed Lad k 1, k 2,..., k n være reelle tal. At vektorsættet (v 1, v 2,..., v n ) er lineært uafhængigt, er ensbetydende med, at ligningen k 1 v 1 + k 2 v k n v n = 0 (6-2) kun er opfyldt, når alle koefficienterne k 1, k 2,..., k n er lig med 0. Bevis Antag, at sættet (v 1, v 2,..., v n ) er lineært afhængigt, og lad v i være en vektor, som kan skrives som en linearkombination af de øvrige. Vi nyordner (om nødvendigt) sættet, så i = 1, hvorefter v 1 kan skrives på formen v 1 = k 2 v k n v n v 1 k 2 v 2 k n v n = 0. (6-3) 0-vektoren er hermed opskrevet på formen (6-2), hvor ikke alle koefficienter er 0, idet koefficienten til v 1 er 1. Antag omvendt, at sættet er skrevet på formen (6-2), og lad k i nødvendigt) sættet, så i = 1, hvorefter vi har = 0. Vi nyordner (om k 1 v 1 = k 2 v 2 k n v n v 1 = k 2 k 1 v 2 k n k 1 v n. (6-4) Heraf ses det, at sættet er lineært afhængigt. Eksempel 6.25 Lineært afhængigt sæt Ethvert vektorsæt, som indeholder nul-vektoren, er lineært afhængigt. Betragt for eksempel sættet (u, v, 0, w). Det er oplagt, at nul-vektoren kan skrives som linearkombination af de øvrige tre vektorer: 0 = 0u + 0v + 0w. Parameterfremstillinger for planer i rummet opstilles ved hjælp af to lineært uafhængige vektorer. Nedenfor giver vi først et eksempel på en plan, der indeholder origo, og dernæst et eksempel på en plan, der ikke indeholder origo.

15 enote LINEÆR AFHÆNGIGHED G LINEÆR UAFHÆNGIGHED 15 Eksempel 6.26 Parameterfremstilling for en plan Der er givet en plan i rummet, som går gennem origo. Beskriv punkterne i planen ved hjælp af en parameterfremstilling. v R u P Q Figur 6.12: En plan i rummet gennem origo På den givne plan vælges to punkter Q og R, som ikke er origo, og som ikke ligger på en fælles linje gennem origo. Vektorerne u = Q og v = R vil da være lineært uafhængige, og kaldes planens retningsvektorer. Til ethvert punkt P i planen findes der netop ét reelt talpar (s, t) således, at P= su + tv. mvendt findes der også til ethvert reelt talpar (s, t) netop ét punkt P i planen, som opfylder P= su + tv. Man siger, at {P er en parameterfremstilling for den givne plan. P= su + tv, (s, t) R 2 }

16 enote LINEÆR AFHÆNGIGHED G LINEÆR UAFHÆNGIGHED 16 Eksempel 6.27 Parameterfremstilling for en plan En plan i rummet går ikke gennem origo. Beskriv den ved hjælp af en parameterfremstilling. v R P B u Q b Figur 6.13: En plan i rummet Først vælges der et begyndelsespunkt B i planen, og vi sætter b = B. Dernæst vælges der to lineært uafhængige retningsvektorer u = BQ og v = BR, hvor Q og R ligger i planen. Til ethvert punkt P i planen findes der så netop ét reelt talpar (s, t) således, at P= B + BP= b + su + tv. mvendt findes der ligeledes til ethvert reelt talpar (s, t) netop ét punkt P i planen, som opfylder P= b + su + tv. Man siger, at {P er en parameterfremstilling for den givne plan. P= b + su + tv, (s, t) R 2 } Vi anfører nu en generel metode til at opstille en parameterfremstilling for en plan. Bemærk at intervallerne, her kaldt I 1 og I 2, kan vælges frit med det formål at afgrænse planen fremfor at lade den strække sig uendeligt i hver retning.

17 enote DE SÆDVANLIGE BASER I PLANEN G RUMMET 17 Metode 6.28 Parameterfremstilling for en plan Givet en plan m og tre forskellige punkter R, B og Q på m samt origo. Vektorerne v = BR og u = BQ kaldes retningsvektorer for m. En parameterfremstilling for m er da m = { P P= b + su + tv hvor s I 1 og t I 2 }, hvor b = B, og I 1 såvel som I 2 er givne intervaller. pgave 6.29 Giv en parameterfremstilling for det i planen liggende parallelogram A, som vist i figur A B v u b Figur 6.14: Et parallellogram i planen 6.5 De sædvanlige baser i planen og rummet I den analytiske geometri viser man, hvordan tal og ligninger kan beskrive geometriske objekter og fænomener herunder vektorer. Her er begrebet koordinater afgørende. Det handler nemlig om, hvordan vi kan fastlægge de geometriske objekters placering i rummet og i forhold til hinanden ved hjælp af tal og talsæt. For at få grundlaget i orden skal vi vælge et vist antal vektorer, som vi udnævner til basisvektorer. Basisvektorer er vektorer, der ved hinandens hjælp udspænder et rum fuldstændigt (fx et 2D- eller 3D-rum), forstået på den måde at de kan beskrive alle andre vektorer i dette rum. Basisvektorerne ordnes dvs. arrangeres i en bestemt rækkefølge og udgør herefter en basis for det pågældende rum. Når en basis er givet, kan samtlige vektorer, der overhovedet er mulige at lave i det pågældende rum, beskrives ved hjælp

18 enote DE SÆDVANLIGE BASER I PLANEN G RUMMET 18 af koordinater, som er basisvektorernes koefficienter, og koordinaterne samler vi som regel i såkaldte koordinatvektorer. Hvordan hele denne procedure foregår, udfolder vi først gennem standardbaserne i planen og rummet. Senere kommer vi ind på, at det ofte kan være hensigtsmæssigt at benytte andre baser end de sædvanlige, og på hvordan relationen mellem en vektors koordinater er i forskellige baser. Definition 6.30 Standardbasis i planen Ved en standardbasis eller sædvanlig basis for de geometriske vektorer i planen forstås et ordnet sæt af to vektorer (i, j), som opfylder: i har længden 1, og j = î (det vil sige, j er tværvektor for i ). Ved et sædvanligt koordinatsystem i planen forstås en standardbasis (i, j) sammen med et valgt origo. Koordinatsystemet skrives (, i, j). Ved x-aksen og y-aksen forstås orienterede tallinjer gennem, som er parallelle med henholdsvis i og j. Y 1 j i 1 X Figur 6.15: Sædvanligt koordinatsystem i planen

19 enote DE SÆDVANLIGE BASER I PLANEN G RUMMET 19 Sætning 6.31 En vektors koordinater Hvis e = (i, j) er en standardbasis, kan enhver vektor v i planen på netop én måde skrives som en linearkombination af i og j: v = xi + yj. Koefficienterne x og y i linearkombinationen kaldes v s koordinater med hensyn til basen e, eller kortere: v s e-koordinater, og de samles i en koordinatvektor med følgende skrivemåde: [ ] x ev =. y Bemærk at den basis som v s koordinater er udtrykt i, er angivet sænket på venstre side af vektornavnet: e v. Man giver normalt standardbasen navnet e. Bevis Medtages i næste opdatering af enoten.

20 enote DE SÆDVANLIGE BASER I PLANEN G RUMMET 20 Definition 6.32 Et punkts koordinater Lad P være et vilkårligt punkt i planen, og lad (, i, j) være et sædvanligt koordinatsystem i planen. Ved koordinaterne for P med hensyn til koordinatsystemet forstås koordinaterne for stedvektoren P med hensyn til standardbasen (i, j). P(x,y) Y y yj x xi a j i X Figur 6.16: Et punkts koordinater Indføringen af sædvanlig basis og koordinater for vektorer i rummet er en simpel udvidelse af den i planen.

21 enote DE SÆDVANLIGE BASER I PLANEN G RUMMET 21 Definition 6.33 Standardbasis i rummet Ved en standardbasis eller sædvanlig basis for de geometriske vektorer i rummet forstås et ordnet sæt af tre vektorer (i, j, k), som opfylder: i, j og k har alle længden 1, i, j og k er parvist ortogonale, og når i, j og k afsættes ud fra et valgt punkt, og når vi betragter i og j fra endepunktet af k, så overgår i i j, når i drejes omkring det valgte punkt med vinklen π 2 mod uret. Ved et sædvanligt koordinatsystem i rummet forstås en standardbasis (i, j, k) sammen med et valgt origo. Koordinatsystemet skrives (, i, j, k). Ved x-aksen, y-aksen og z-aksen forstås orienterede tallinjer gennem origo, som er parallelle med henholdsvis i, j og k. Z 1 1 k i j 1 Y X Figur 6.17: Sædvanligt koordinatsystem i rummet

22 enote DE SÆDVANLIGE BASER I PLANEN G RUMMET 22 Sætning 6.34 En vektors koordinater Hvis e = (i, j, k) er en standardbasis, kan enhver vektor v i rummet på netop én måde skrives som en linearkombination af i, j og k: v = xi + yj + zk. Koefficienterne x, y og z i linearkombinationen kaldes v s koordinater med hensyn til e-basis, eller kortere: v s e-koordinater, og de samles i en koordinatvektor med følgende skrivemåde: x ev = y. z Definition 6.35 Et punkts koordinater Lad P være et vilkårligt punkt i rummet, og lad (, i, j, k) være et sædvanligt koordinatsystem i rummet. Ved koordinaterne for P med hensyn til koordinatsystemet forstås koordinaterne for stedvektoren P med hensyn til standardbasen (i, j, k). z Z P k a y i j Y zk xi+yj x Q X Figur 6.18: Et punkts koordinator i rummet

23 enote VILKÅRLIGE BASER I PLANEN G I RUMMET Vilkårlige baser i planen og i rummet Hvis der i planen er givet to lineært uafhængige vektorer, er det muligt at skrive enhver anden vektor i planen som en linearkombination af de to givne vektorer. På figur 6.19 betragter vi som eksempel de to lineært uafhængige vektorer a 1 og a 2 samt to andre vektorer u og v. v u a 2 a 1 Vi ser, at Figur 6.19: Koordinatsystem i planen med basis (a 1, a 2 ) u = 1a 1 + 2a 2 og v = 2a 1 + 2a 2. (6-5) Disse linearkombinationer er entydige, idet u og v ikke kan skrives som linearkombination af a 1 og a 2 ved at benytte andre koefficienter end dem, der her indgår. Enhver anden vektor i planen kan på tilsvarende vis skrives som en entydig linearkombination af a 1 og a 2. Man siger, at de to vektorer a 1 og a 2 udspænder hele planen. Dette gør det muligt at generalisere begrebet basis. I stedet for en standardbasis e = (i, j) kan vi lige såvel vælge at benytte vektorsættet (a 1, a 2 ) som en basis for vektorerne i planen, netop fordi sættet af a 1 og a 2 udspænder samme plan som e. Hvis vi kalder basen a, så a = (a 1, a 2 ), siger man, at koefficienterne, der ses i linearkombinationerne ovenfor, er koordinaterne til u henholdsvis v med hensyn til basen a, eller kortere: u og v s a-koordinater, hvilket skrives således: au = [ 1 2 ] og a v = [ ] 2. (6-6) 2 For mængden af geometriske vektorer i rummet går vi frem på tilsvarende måde. Er der givet tre lineært uafhængige vektorer, kan enhver vektor i rummet på entydig vis skrives som en linearkombination af de tre givne vektorer. De udspænder hele rummet. Vi kan derfor i samme stil vælge de tre vektorer som en basis for alle rumvektorer og udtrykke en vilkårlig rumvektor ved hjælp af koordinater med hensyn til denne basis. En fremgangsmåde til at bestemme koordinaterne er vist på figur 6.20, hvor der er givet en a-basis (a 1, a 2, a 3 ) samt en vilkårlig vektor u.

24 enote VILKÅRLIGE BASER I PLANEN G I RUMMET 24 P u a 3 a 2 a 1 Q Figur 6.20: Koordinatsystem med basis (a 1, a 2, a 3 ) Husk på, at vektorerne i en basis ikke behøver at være vinkelrette på hinanden (ortogonale), som vi ellers er vant til med den sædvanlige standardbasis både i planen og i rummet. De skal blot være lineært uafhængige. Gennem u s endepunkt P trækkes en linje, som er parallel med a 3. Det punkt, hvor denne linje skærer den plan, der indeholder a 1 og a 2, betegnes Q. Der findes da to tal k 1 og k 2, så Q= k 1 a 1 + k 2 a 2, fordi (a 1, a 2 ) udgør en basis i den plan, som indeholder a 1 og a 2. Endvidere findes der et tal k 3, så QP= k 3 a 3, da QP og a 3 er parallelle. Så har vi: u = Q + QP= k 1 a 1 + k 2 a 2 + k 3 a 3. u har dermed koordinatsættet (k 1, k 2, k 3 ) med hensyn til basis a.

25 enote VILKÅRLIGE BASER I PLANEN G I RUMMET 25 Eksempel 6.36 Koordinater med hensyn til en vilkårlig basis I rummet er der givet tre lineært uafhængige vektorer a 1, a 2 og a 3 som vist på figur u a 1 a2 a 3 Figur 6.21: Koordinatsystem med basis (a 1, a 2, a 3 ) Da u kan skrives som en linearkombination af a 1, a 2 og a 3 ved u = 3a 1 + a 2 + 2a 3, (6-7) så har u koordinaterne (3, 1, 2) med hensyn til basen a givet ved a = (a 1, a 2, a 3 ), hvilket kort skrives som en koordinatvektor således: 3 au = 1. (6-8) 2 Vi samler overvejelserne om vilkårlige baser ovenfor i den følgende mere formelle definition.

26 enote VILKÅRLIGE BASER I PLANEN G I RUMMET 26 Definition 6.37 Vektorers koordinater med hensyn til en basis Ved en basis a for de geometriske vektorer i planen forstås et vilkårligt ordnet sæt af to lineært uafhængige vektorer (a 1, a 2 ). Lad en vilkårlig vektor u være bestemt ved linearkombinationen u = xa 1 + ya 2. Koefficienterne x og y kaldes u s koordinater med hensyn til basis a, eller kortere: u s a-koordinater, og de samles i en koordinatvektor med følgende skrivemåde: [ ] x au =. (6-9) y Ved en basis b for de geometriske vektorer i rummet forstås et vilkårligt ordnet sæt af tre lineært uafhængige vektorer (b 1, b 2, b 3 ). Lad en vilkårlig vektor v være bestemt ved linearkombinationen v = xb 1 + yb 2 + zb 3. Koefficienterne x, y og z kaldes for v s koordinater med hensyn til basis b, eller kortere: v s b- koordinater, og de samles i en koordinatvektor med følgende skrivemåde: x bv = y. (6-10) z En given vektors koordinatsæt ændres, når man skifter basis. Denne afgørende pointe tager vi hul på i den følgende opgave. pgave 6.38 j a 2 i a 1

27 enote VILKÅRLIGE BASER I PLANEN G I RUMMET 27 Figur 6.22: Basisskifte På figur 6.22 er der i planen givet standardbasis e = (i, j) samt en anden basis a = (a 1, a 2 ). 1. En vektor u har koordinaterne (5, 1) med hensyn til basis e. Bestem u s a-koordinater. 2. En vektor v har koordinaterne ( 1, 2) med hensyn til basis a. Bestem v s e-koordinater. Bemærk hvor vigtigt det er at man er klar over, hvilken basis koordinaterne er givet i! pgave 6.39 b c a d Figur Det fremgår af figur 6.23, at a, b og c er lineært uafhængige. En basis m kan derfor defineres ved (a, b, c). Bestem koordinatvektoren m d. 2. Det fremgår også af figuren, at (a, b, d) er en basis. Lad os kalde denne basis n. Bestem koordinatvektoren n c. 3. Indtegn med origo som begyndelsespunkt den vektor u, som har m-koordinaterne 2 mu = 1. 1

28 enote VEKTRREGNING VED HJÆLP AF KRDINATER Vektorregning ved hjælp af koordinater Når man har valgt en basis for de geometriske vektorer i planen (eller i rummet), så kan alle vektorer beskrives og fastlægges ved hjælp af deres koordinater med hensyn til den valgte basis. Til de to regneoperationer addition og multiplikation med skalar, som tidligere er indført i denne enote ved geometrisk konstruktion, får vi hermed et særdeles praktisk alternativ. I stedet for at udføre de geometriske regne-konstruktioner kan vi blot gennemføre taludregninger med de koordinater, der svarer til den valgte basis. Vi illustrerer dette med et eksempel fra planen, hvor der er givet en basis a ved a = (a 1, a 2 ) samt to vektorer u og v afsat ud fra, se figur pgaven består i at bestemme vektoren b = 2u v, og vi vil gøre det på to forskellige måder. v a 2 u b (4,2) a 1 Figur 6.24: Linearkombination bestemt vha. koordinater Metode 1 (geometrisk): Vi udfører regneoperationerne som defineret i definition 6.2 og definition 6.3 ud fra de grå hjælpevektorer i figur Metode 2 (algebraisk): Vi aflæser koordinaterne for u og v og udfører regneoperationerne direkte på koordinaterne: [ 1 ab = 2 a u a v = 2 2 ] [ 2 2 ] = [ ] 4. (6-11) 2 Herefter kan b tegnes direkte ud fra dens koordinater (4, 2) med hensyn til basen a. At vi har ret til at følge denne fremgangsmåde, fremgår af den følgende sætning.

29 enote VEKTRREGNING VED HJÆLP AF KRDINATER 29 Sætning 6.40 Grundlæggende koordinat-regneregler I planen eller rummet er der givet to vektorer u og v samt et reelt tal k. Der er endvidere valgt en vilkårlig basis a. De to regneoperationer u + v og k u kan da udføres ved hjælp af koordinater således: 1. a (u + v) = a u + a v 2. a (ku) = k a u Sagt med ord: Koordinaterne for en vektorsum fås ved at lægge koordinaterne for addenderne sammen. g koordinaterne for en vektor ganget med et tal er vektorens koordinater ganget med tallet. Bevis Vi gennemfører beviset for mængden af de geometriske rumvektorer. Antag, at koordinaterne for u og v med hensyn til den valgte basis a er givet ved Vi har da: u 1 v 1 au = u 2 og a v = v 2. (6-12) u 3 v 3 u = u 1 a 1 + u 2 a 2 + u 3 a 3 og v = v 1 a 1 + v 2 a 2 + v 3 a 3 (6-13) og dermed ifølge den kommutative, associative og distributive regel fra sætning 6.13: u + v = (u 1 a 1 + u 2 a 2 + u 3 a 3 ) + (v 1 a 1 + v 2 a 2 + v 3 a 3 ) = (u 1 + v 1 )a 1 + (u 2 + v 2 )a 2 + (u 3 + v 3 )a 3, (6-14) hvilket medfører, at u 1 + v 1 u 1 v 1 a(u + v) = u 2 + v 2 = u 2 + v 2 = a u + a v, (6-15) u 3 + v 3 u 3 v 3 hvorefter første del af beviset er fuldført. Ved anden del af beviset benytter vi igen en distributiv regneregel fra sætning 6.13: hvilket medfører, at ku = k(u 1 a 1 + u 2 a 2 + u 3 a 3 ) = (k u 1 )a 1 + (k u 2 )a 2 + (k u 3 )a 3, (6-16) hvorefter anden del af beviset er fuldført. k u 1 u 1 a(ku) = k u 2 = k u 2 = k a u, (6-17) k u 3 u 3

30 enote VEKTRREGNING VED HJÆLP AF KRDINATER 30 Sætning 6.40 gør det muligt at gennemføre mere komplicerede regneopgaver ved hjælp af koordinater, som de følgende eksempler viser. Eksempel 6.41 Koordinatvektor for en linearkombination De tre plane vektorer a, b og c har følgende koordinatvektorer med hensyn til en valgt basis v: [ ] [ ] [ ] va =, v b = og v c =. (6-18) Vi går frem sådan: Bestem koordinatvektoren for d = a 2b + 3c med hensyn til basis v. vd = v (a 2b + 3c) = v (a + ( 2)b + 3c) = v a + v ( 2b) + v (3c) = v a 2 v b + 3 v c [ ] [ ] [ = ] = [ ] Her opnås det tredje lighedstegn ved første del af sætning 6.40 og det fjerde lighedstegn ved anden del af sætning Eksempel 6.42 En plans parameterfremstilling i koordinater v R u P Q Figur 6.25: En plan i rummet Planen gennem origo, som er vist på figur 6.25, har ifølge eksempel 6.26 parameterfremstillingen {P P= su + tv, (s, t) R 2 }. (6-19) Antag, at der i rummet er givet en basis a, og at u 1 v 1 au = u 2 og a v = v 2. u 3 v 3

31 enote VEKTRREGNING VED HJÆLP AF KRDINATER 31 Parameterfremstillingen (6-19) kan da skrives på koordinatform således: hvor a P= (x, y, z) og (s, t) R 2. x u 1 v 1 y = s u 2 + t v 2, (6-20) z u 3 v 3 Eksempel 6.43 En plans parameterfremstilling i koordinater v R P B u Q b Figur 6.26: En plan i rummet Planen i figur 6.26 har ifølge eksempel 6.27 parameterfremstillingen {P Antag, at der i rummet er givet en basis a, og at P= b + su + tv ; (s, t) R 2 }. (6-21) b 1 ab = b 2, a u = u 2 og a v = v 2. b 3 u 3 v 3 Parameterfremstillingen (6-21) kan da skrives på koordinatform således: hvor a P= (x, y, z) og (s, t) R 2 u 1 x b 1 u 1 v 1 y = b 2 + s u 2 + t v 2, (6-22) z b 3 u 3 v 3 v 1

32 enote VEKTRLIGNINGER G MATRIXALGEBRA Vektorligninger og matrixalgebra En lang række problemer vedrørende vektorer fører til vektorligninger. Hvis vi ønsker at løse ligningerne ved hjælp af vektorernes koordinater med hensyn til en given basis, opstår der lineære ligningssystemer. Problemerne kan da løses ved hjælp af matrixmetoder, der ligger i forlængelse af enote 2. Det viser vi eksempler på i dette afsnit, som opsummeres ved hjælp af begrebet koordinatmatricer (se særligt den afsluttende opgave 6.47). Eksempel 6.44 m en vektor er en linearkombination af andre vektorer Der er i rummet givet en basis a og tre vektorer u, v og p, som med hensyn til basis a har koordinaterne au = 1, a v = 4 og a p = Undersøg, om p er en linearkombination af u og v. Vi skal undersøge, om der findes koefficienter k 1, k 2 således, at k 1 u + k 2 v = p. Vi opstiller den tilsvarende koordinatvektorligning k k 2 4 = 7, som er ækvivalent med det lineære ligningssystem 2k 1 + k 2 = 0 k 1 + 4k 2 = 7 5k 1 + 3k 2 = 1. (6-23) Vi ser på ligningssystemets totalmatrix T og angiver (uden mellemregninger) matricens trappeform: T = trap(t) = 0 1 2, (6-24) hvor trappeformen er ækvivalent med det reducerede lineære ligningssystem 1k 1 + 0k 2 = 1 0k 1 + 1k 2 = 2 0k 1 + 0k 2 = 0 k 1 = 1 k 2 = 2. (6-25)

33 enote VEKTRLIGNINGER G MATRIXALGEBRA 33 Ligningssystemet har altså netop én løsning for de to ubekendte: k 1 = 1 og k 2 = 2, hvorfor der åbenbart gælder: 1u + 2v = p. Eksempel 6.45 m et vektorsæt er lineært afhængigt Der er i rummet givet en basis v og tre vektorer a, b og c, som med hensyn til denne basis har koordinaterne va = 1, v b = 0 og v c = Undersøg, om vektorsættet (a, b, c) er lineært afhængigt. Vi vil undersøge, om der findes en egentlig linearkombination k 1 a + k 2 b + k 3 c = 0, da sætning 6.24 fortæller, at vektorerne er lineært afhængige, hvis der findes andre løsninger til denne ligning end nulløsningen (k 1, k 2, k 3 ) = 0. Vi ser på den tilsvarende koordinatvektorligning, k k k = som er ækvivalent med det homogene lineære ligningssystem 0 0, 5k 1 + k 2 + 2k 3 = 0 k 1 + 3k 3 = 0 3k 1 + 4k 2 + k 3 = 0. (6-26) Vi opstiller ligningssystemets totalmatrix T og angiver (uden mellemregninger) matricens trappeform: T = trap(t) = (6-27) Vi ser, at ligningssystemet kun har nulløsningen k 1 = 0, k 2 = 0 og k 3 = 0. Det undersøgte vektorsæt (a, b, c) er derfor lineært uafhængigt. Man ville derfor kunne vælge (a, b, c) som en ny basis for mængden af rumvektorer. I det følgende eksempel genoptager vi diskussionen om forholdet mellem koordinater og basisskifte fra opgave 6.38.

34 enote VEKTRLIGNINGER G MATRIXALGEBRA 34 Eksempel 6.46 Nye koordinater når der skiftes basis j a 2 i a 1 Figur 6.27: Basisskifte På figur 6.27 er der i planen givet en standardbasis e = (i, j) og en anden basis a = (a 1, a 2 ). Når der skiftes basis, ændres givne vektorers koordinater. Her opstiller vi en systematisk metode til at udtrykke ændringen i koordinater ved hjælp af et matrixvektorprodukt. Først aflæser vi a-basisvektorernes e-koordinater: ea 1 = [ 1 2 ] og e a 2 = [ ] 1. (6-28) 1 [ ] v1 Antag, at en vektor v har koordinatsættet a v =. Bestem e-koordinaterne for v. v 2 Vi har, at v = v 1 a 1 + v 2 a 2, og dermed ifølge sætning 6.40: [ ] [ ] [ ][ v1 ev = v 1 + v 2 = Hvis vi sætter M = [ v 2 ] = [ ] 1 1 av. 2 1 ], udtrykkes v s e-koordinater ved matrixvektorproduktet ev = M av. (6-29) Det ses, at matricen M skifter basis på vektoren i denne operation. Vi kan med fordel tilføje en synlig markering af, at den skifter fra a-koordinater til e-koordinater, ved at skrive e M a. Denne notation vil blive brugt flittigt senere hen i enote 7 og fremefter. [ ] v1 Antag, at en vektor v har koordinatsættet e v =. Bestem a-koordinaterne for v. v 2

35 enote VEKTRLIGNINGER G MATRIXALGEBRA 35 Vi benytter den allerede fundne sammenhæng (6-29) og ganger fra venstre på begge sider af ligmedtegnet med den inverse matrix til M. Vi får herved a v isoleret som ønsket: M 1 e v = M 1 M av a v = M 1 ev. (6-30) Mens M skiftede basis på vektoren før, er det nu M 1 der har denne rolle. Det tyder på at hvis en matrix skifter koordinater én vej, så skifter dens inverse matrix koordinater den anden vej. Dette undersøges nærmere i enote 7 hvor vi viser: em a a (M 1 ) e. pgave 6.47 Ved en koordinatmatrix med hensyn til en given basis a for et sæt af vektorer forstår man den matrix, der opstår, når man sætter vektorernes a-koordinatvektorer sammen til en matrix. Beskriv matricen T i eksempel 6.44 og eksempel 6.45 og matricen M i eksempel 6.46 som koordinatmatricer.

36 enote SÆTNINGER M VEKTRER I EN STANDARD E-BASIS Sætninger om vektorer i en standard e-basis I dette afsnit arbejder vi med standard-koordinatsystemer både i planen og rummet. Vi indfører to forskellige multiplikationer mellem vektorer: prikproduktet, der både defineres i planen og rummet, og krydsproduktet, der kun defineres i rummet. Vi ser på geometriske anvendelser af disse multiplikationsformer og på geometriske fortolkninger af determinanter Prikproduktet af to vektorer Definition 6.48 Prikprodukt i planen [ ] a1 I planen er der givet to vektorer e a = og e b = skalarproduktet) af a og b forstås tallet a 2 [ b1 b 2 ]. Ved prikproduktet (eller a b = a 1 b 1 + a 2 b 2. (6-31) Definition 6.49 Prikprodukt i rummet a 1 b 1 I rummet er der givet to vektorer e a = a 2 og e b = b 2. Ved prikproduktet (eller a 3 b 3 skalarproduktet) af a og b forstås tallet a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3. (6-32) For prikproduktet mellem to vektorer gælder de følgende regneregler.

37 enote SÆTNINGER M VEKTRER I EN STANDARD E-BASIS 37 Sætning 6.50 Regneregler for prikprodukt Givet tre vektorer a, b og c i planen eller rummet samt tallet k. Der gælder: 1. a b = b a (kommutativ regel) 2. a (b + c) = a b + a c (distributiv regel) 3. (ka) b = a (kb) = k(a b) 4. a a = a 2 5. a + b 2 = a 2 + b 2 + 2a b. Bevis Reglerne 1, 2 og 3 følger af simpel koordinatudregning. Regel 4 følger af Pythagoras sætning, og regel 5 er en direkte følge af reglerne 1, 2 og 4. I de efterfølgende tre sætninger ser vi på geometriske anvendelser af prikproduktet. Sætning 6.51 Længde af en vektor Lad v være en vilkårlig vektor i planen eller rummet. Længden af v opfylder: v = v v. (6-33) Bevis Sætningen følger umiddelbart af regneregel 4 i sætning Eksempel 6.52 Længde af en vektor Givet vektoren v i rummet og, at e v = (1, 2, 3). Vi har da v = = 14.

38 enote SÆTNINGER M VEKTRER I EN STANDARD E-BASIS 38 Den efterfølgende sætning handler om vinklen mellem to vektorer, se figur b v a Figur 6.28: Vinklen mellem to vektorer Sætning 6.53 Vinkel mellem vektorer I planen eller rummet er der givet to egentlige vektorer a og b. Vinklen v mellem a og b opfylder: cos(v) = a b (6-34) a b Bevis Sætningen kan vises ud fra cosinus-relationen. Undervejs får man også brug for regel 5 i sætning Detaljerne overlades til læseren. Af sætningen ovenfor følger umiddelbart følgende sætning. Følgesætning 6.54 Vinklers størrelsesforhold Betragt situationen i figur Der gælder: 1. a b = 0 vinkel(a, b) = π 2 2. a b > 0 vinkel(a, b) < π 2 3. a b < 0 vinkel(a, b) > π 2 De to følgende sætninger er tilegnet ortogonale projektioner. På figur 6.29 er der i planen eller rummet afsat to vektorer a og b ud fra origo.

39 enote SÆTNINGER M VEKTRER I EN STANDARD E-BASIS 39 b v a P proj(b,a) Figur 6.29: To vektorer afsat i planen Betragt det vinkelrette nedfældningspunkt P af b s endepunkt på den linje, som indeholder a. Ved den ortogonale projektion af b på a forstås vektoren proj(b, a) = P. Sætning 6.55 Længden af en projektion Givet to egentlige vektorer a og b i planen eller rummet. m længden af den ortogonale projektion af b på a gælder: proj(b, a) = a b a. (6-35) Hvis du siger projektionen af b på a, så er det nemt at huske rækkefølgen af vektorerne i udtrykket proj(b, a).. Bevis Ved brug af kendt sætning vedrørende retvinklede trekanter samt sætning (6.53) fås proj(b, a) = cos(v) b = a b a. Sætning 6.56 Formel for projektionsvektor Givet to egentlige vektorer a og b i planen eller rummet. m den ortogonale projektion af b på a gælder: proj(b, a) = a b a 2 a. (6-36)

40 enote SÆTNINGER M VEKTRER I EN STANDARD E-BASIS 40 Bevis Hvis a og b er ortogonale, er sætningen klart opfyldt, da projektionen i så fald er nulvektoren. I modsat fald lad sign(a b) betegne fortegnet for a b. Der gælder, at sign er positiv netop, når a og proj(b, a) er ensrettede, og negativ netop, når de er modsatrettede. Vi får derfor: a proj(b, a) = sign(a b) proj(b, a) a = a b a 2 a, hvor vi undervejs har benyttet sætning 6.55 samt, at a a er en enhedsvektor pegende i a s retning. Bemærk i beviset, at en enhedsvektor altid kan skaffes i en bestemt retning ved at dividere en vilkårlig vektor i den retning med sin egen længde Geometrisk tolkning af determinant af (2 2)-matrix En trekant (p, a, b) er bestemt ved to vektorer afsat ud fra et fælles begyndelsespunkt p, se figur Sætningen herunder viser, hvordan en sådan trekants areal kan udregnes vha. determinanten. Figur 6.30: En trekant udspændt af to vektorer i planen

41 enote SÆTNINGER M VEKTRER I EN STANDARD E-BASIS 41 Sætning 6.57 Areal af trekant ved determinant Arealet af trekant (p, a, b), hvor a og b er vektorer afsat ud fra et fælles begyndelsespunkt p, er den numeriske værdi af den halve determinant af den (2 2)-matrix, der fås ved at sætte a og b ind som søjler i matricen: Areal( (p, a, b)) = 1 det ( [a b] ) 2 Bevis Arealet af en trekant er som bekendt halvdelen af grundlinjen gange højden, Areal( ) = 1 2 gh. Vi kan vælge længden a af a som grundlinje, g = a. Højden i trekanten er længden af b s projektion ind på en linje vinkelret på a, dvs. a s tværvektor â: h = proj(b, â) = jævnfør sætning Tværvektoren er givet ved â = Areal( (p, a, b)) = 1 2 hg b â â = 1 b â a 2 â [ a2 a 1 ]. Derfor er arealet: (6-37) = 1 b â 2 = 1 2 a 1b 2 a 2 b 1 = 1 ( [ 2 det a1 b 1 a 2 b 2 = 1 det ( [a b] ). 2 ] ) (6-38) Vi har benyttet ved tredje ligmedtegn, at a = â, og har ved femte ligmedtegn brugt formlen for determinanten af en (2 2)-matrix baglæns. Sætningen er hermed blevet bevist. Af sætning 6.57 følger umiddelbart følgende.

42 enote SÆTNINGER M VEKTRER I EN STANDARD E-BASIS 42 Følgesætning 6.58 Areal af parallelogram ved determinant Arealet af det af vektorerne a og b udspændte parallelogram er lig med den numeriske værdi af determinanten af den (2 2)-matrix, der fås ved at sætte a og b ind som søjler i matricen Krydsprodukt og rumprodukt Krydsproduktet af to vektorer og rumproduktet af tre vektorer indføres ved hjælp af determinanter. Definition 6.59 Krydsprodukt a 1 I rummet er der givet to vektorer e a = a 2 og e b = a 3 Ved krydsproduktet (eller vektorproduktet) a b af a og b forstås vektoren v givet ved b 1 b 2 b 3. [ ] a2 b det 2 a 3 b 3 [ ] ev = a3 b det 3 a 1 b 1. (6-39) [ ] a1 b det 1 a 2 b 2 Krydsproduktet har en markant geometrisk betydning. Sammenhold figur 6.31 og den efterfølgende sætning. a x b p v a b Figur 6.31: Krydsprodukt vist geometrisk

43 enote SÆTNINGER M VEKTRER I EN STANDARD E-BASIS 43 Sætning 6.60 Areal af trekant ved krydsprodukt For to lineært uafhængige vektorer a og b, som har den mellemliggende vinkel v, opfylder krydsproduktet a b følgende: 1. a b er ortogonal på både a og b. 2. a b = 2 Areal( (p, a, b)). 3. Vektorsættet (a, b, a b) er i højrestilling: Set fra spidsen af a b er retningen fra a til b mod uret. Som det sidste punkt i sætningen antyder, er faktorernes orden ikke ligegyldig i krydsprodukter. Højrehåndsreglen er god til at huske højrestillinger: Grib fat med din højre hånd om vektor a b, så tommelfingeren peger langs med vektoren i positiv retning. Dine andre fingre, der kurver omkring vektoren, peger da i retningen fra a imod b. mvendt, hvis du tager krydsproduktet af to vektorer a og b, så kurv dine fingre i retningen fra a imod b, og du ved straks, hvilken vej den resulterende vektor a b peger, nemlig langs med tommelfingeren. Af sætning 6.60 følger umiddelbart følgende. Følgesætning 6.61 Areal af parallelogram ved krydsprodukt Arealet af det parallelogram, der udspændes af vektorerne a og b, er lig med a b.

44 enote SÆTNINGER M VEKTRER I EN STANDARD E-BASIS 44 Definition 6.62 Rumprodukt a 1 Rumproduktet Rum(a, b, c) af tre vektorer e a = a 2, e b = a 3 defineres ved Rum(a, b, c) = (a b) c, hvilket videre kan udtrykkes ved b 1 b 2 b 3 og e c = c 1 c 2 c 3 Rum(a, b, c) = (a b) c = (c 1 (a 2 b 3 a 3 b 2 ) + c 2 (a 3 b 1 a 1 b 3 ) + c 3 (a 1 b 2 a 2 b 1 ) a 1 b 1 c 1 = det a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 = det ([ e a e b e c]). (6-40) Geometrisk tolkning af determinant af (3 3)-matrix Et tetraeder (p, a, b, c) (en trekantet pyramide ) er udspændt af vektorerne a, b og c afsat ud fra punktet p som vist i figur Herunder gives en sætning til udregning af rumfanget af et sådant tetraeder vha. determinanten. Figur 6.32: Et tetraeder udspændt af tre vektorer i rummet

45 enote SÆTNINGER M VEKTRER I EN STANDARD E-BASIS 45 Trekanter symboliseres sædvanligvis ved, tetraedre ved og firkanter ved. Sætning 6.63 Rumfang af tetraeder Rumfanget af tetraederet (p, a, b, c) er Vol( (p, a, b, c)) = 1 det ([a b c]). (6-41) 6 Bevis Fra elementær rumgeometri vides, at rumfanget Vol( (p, a, b, c)) af et tetraeder (p, a, b, c), der er udspændt af vektorerne a, b og c afsat ud fra punktet p, er en tredjedel af grundfladens areal gange højden, Vol( ) = 1 3 Ah. Vi vælger en vilkårlig af fladerne som grundflade. Arealet A af den trekantede grundflade (p, a, b) kan bestemmes vha. sætning 6.60: A = Areal( (p, a, b)) = 1 a b. 2 Den tilhørende højde h er den vinkelrette afstand fra grundfladen til modstående spids, hvilket er lig med længden af projektionen af c på en vektor, der står lodret på grundfladen. Jævnfør definitionen af krydsprodukt ved vi, at a b netop står vinkelret på grundtrekanten. Denne kan derfor bruges, så højden er h = proj(c, a b) = (a b) c a b. (6-42) Volumet bestemmes: Vol( (p, a, b, c)) = 1 3 Ah = (a b) c a b 2 a b (6-43) = 1 (a b) c. 6 Sammenholdes dette med definition på rumprodukt fra sætning 6.62, (a b) c = det ([a b c]), fås udtrykket på determinantform, og sætningen er bevist.

46 enote SÆTNINGER M VEKTRER I EN STANDARD E-BASIS 46 Et tetraeder har rumfanget 0 og er kollapset, når determinanten i (6-41) er 0. Det sker netop, når en af vektorerne kan skrives som en linearkombination af de to andre, hvilket undersøges i de følgende opgaver. Definition 6.64 Regulært tetraeder Et regulært tetraeder er et tetraeder, der har et egentligt rumfang; altså et rumfang, der er skarpt større end 0. pgave 6.65 Lad A betegne en (2 2)-matrix med søjlevektorerne a og b: A = [ a b ]. (6-44) Vis, at determinanten af A er 0, hvis og kun hvis a og b er lineært afhængige i R 2. Et parallelepipidum udspændt af vektorerne a, b, og c kan sammensættes af de seks tetraeder: (p 1, a, b, c), (p 2, a, b, c), (p 3, a, b, c), (p 4, a, b, c), (p 5, a, b, c) og (p 6, a, b, c). Derfor følger udmiddelbart af sætning 6.63 følgende. (6-45) Følgesætning 6.66 Rumgang af parallelepipedum ved determinant Rumfanget af et parallelepipedum, som er udspændt af vektorerne a, b, og c, er det ([a b c]). pgave 6.67 Lad A betegne en (3 3)-matrix med søjlevektorerne a, b, og c: A = [ a b c ]. (6-46) Vis, at determinanten af A er 0, hvis og kun hvis a, b og c udgør et lineært afhængigt system af vektorer i R 3.

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor enote 7 1 enote 7 Vektorrum I denne enote opstilles en generel teori for mængder, for hvilke der er defineret addition og multiplikation med skalar, og som opfylder de samme regneregler som geometriske

Læs mere

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger enote 8 enote 8 Lineære Afbildninger Denne enote undersøger afbildninger mellem vektorrum af en bestemt type, nemlig lineære afbildninger Det vises, at kernen og billedrummet for lineære afbildninger er

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Uge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A =

Uge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A = OPGAVER Opgaver til Uge 6 Store Dag Opgave Udregning af determinant. Håndregning 0 Der er givet matricen A = 0 2 2 4 0 0. 2 0 a) Udregn det(a) ved opløsning efter en selvvalgt række eller søjle. b) Omform

Læs mere

Matricer og Matrixalgebra

Matricer og Matrixalgebra enote 3 1 enote 3 Matricer og Matrixalgebra Denne enote introducerer matricer og regneoperationer for matricer og udvikler hertil hørende regneregler Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet,

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Frederiksberg HF-kursus Vektorer i planen, Mat B, SSO Kenneth Leerbeck, 2. J. Vektorer. planen

Frederiksberg HF-kursus Vektorer i planen, Mat B, SSO Kenneth Leerbeck, 2. J. Vektorer. planen Vektorer i planen English abstract This report is about the mathematical concept vectors. It explains what a vector is, and how vectors are indicated with coordinates and arrows. It explains calculating

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

INTRODUKTION TIL VEKTORER

INTRODUKTION TIL VEKTORER INTRODUKTION TIL VEKTORER x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse HVORFOR INDFØRES VEKTORER?... 3 VEKTORER... 5 Vektoraddition... 7 Kræfternes parallelogram... 9 Multiplikation af vektor

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

VEKTORGEOMETRI del 1 Vektorregning Parameterfremstillinger Produkter af vektorer

VEKTORGEOMETRI del 1 Vektorregning Parameterfremstillinger Produkter af vektorer VEKTORGEOMETRI del 1 Vektorregning Parameterfremstillinger Produkter af vektorer x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indhold REPETITION OG KOORDINATER... REGNING MED VEKTORER... 8 STEDVEKTOR... 1 VEKTOR

Læs mere

M A T E M A T I K A 3

M A T E M A T I K A 3 M A T E M A T I K A 3 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik A3. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Todimensionale Vektorer

Todimensionale Vektorer Todimensionale Vektorer Frank Villa 6. december 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Vektorregning. Vektorer som lister

Vektorregning. Vektorer som lister 10 Vektorregning Vektorer som lister En vektor laves nemmest som en liste på TI-89 Titanium / Voyage 200. I nedenstående skærmbillede ser du, hvordan man definerer vektorer og laver en simpel udregning

Læs mere

3D-grafik Karsten Juul

3D-grafik Karsten Juul 3D-grafik 2005 Karsten Juul Når der i disse noter står at du skal få tegnet en figur, så er det meningen at du skal få tegnet den ved at taste tildelinger i Mathcad-dokumentet RumFig2 Det er selvfølgelig

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum:

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum: Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de ne emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gmnasiepensum: Ordinær kursusgang : Introduktion til vektorer og matricer. Regning

Læs mere

Vektorrum. Vektorer på en ret linje

Vektorrum. Vektorer på en ret linje Vektorrum Vektorer på en ret linje Som vi tidligere har set adskillige gange, kan punkterne på en uendelig ret linje entydigt identificeres med de reelle tal. (Man taler jo ligefrem om den reelle talakse,

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med

Læs mere

Egenværdier og egenvektorer

Egenværdier og egenvektorer enote 9 enote 9 Egenværdier og egenvektorer Denne note indfører begreberne egenværdier og egenvektorer for lineære afbildninger i vilkårlige generelle vektorrum og går derefter i dybden med egenværdier

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Vektorregning for 11. årgang.

Vektorregning for 11. årgang. Vektorregning for 11. årgang. 1. Vektorer side 1-2 2. Linjer side 2 -. Planer side - 7. Skæring mellem linje og plan side 8-9 A1: Om at tegne rumlige figuer side 0-1 A2: Løsning af ligningssystemer side

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning  Gratis anvendelse - læs betingelser! Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da

Læs mere

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande VEKTORGEOMETRI del Skæringer Projektioner Vinkler Afstande x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indhold OVERSIGT... 3 SKÆRINGSPUNKTER OG RØRINGSPUNKTER... 4 Skæring med koordinatakser- og planer...

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2013 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm.

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm. Homografier Möbius transformationer Følgende tema, handler om homografier, inspireret af professor Børge Jessens noter, udgivet på Københavns Universitet 965-66. Noterne er herefter blevet bearbejdet og

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. KERNESTOF i GYMNASIEMATEMATIK op til A- niveau

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. KERNESTOF i GYMNASIEMATEMATIK op til A- niveau MOGENS ODDERSHEDE LARSEN KERNESTOF i GYMNASIEMATEMATIK op til A- niveau 3. udgave 4 FORORD Denne bog er beregnet for studerende, som har behov for at repetere eller opgradere deres matematiske viden til

Læs mere

Vektorer og rumgeometri med. TI-Interactive!

Vektorer og rumgeometri med. TI-Interactive! Vektorer og rumgeometri med TI-Interactive! Indtastning af vektorer Regning med vektorer Skalarprodukt og vektorprodukt Punkter og vektorer Rumgeometri med ligninger Jan Leffers (2007) Indholdsfortegnelse

Læs mere

Lineær algebra 1. kursusgang

Lineær algebra 1. kursusgang Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Uge 11 Lille Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Det ortogonale komplement

Uge 11 Lille Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Det ortogonale komplement OPGAVER 1 Opgaver til Uge 11 Lille Dag Opgave 1 Det ortogonale komplement a) I R 2 er der givet vektoren (3, 7). Angiv en basis for det ortogonale komplement. b) Find i R 3 en basis for det ortogonale

Læs mere

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne:

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne: Vektorer i 3D. Grundegreer. Koordinater z k P OP i 0 j x y Enhedsvektorerne De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: i, j og k Vektor OP Hvis punkt p har koordinaterne: P ( a a a3 ) Så har vektor OP koordinaterne:

Læs mere

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET Formelsamling Brush-up Flex 2016 Indholdsfortegnelse 1. Brøkregning... 2 2. Parenteser... 3 3. Kvadratsætningerne:... 3 4. Potensregneregler... 4 5. Andengradsligninger...

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Vektorer i planen. Et oplæg Karsten Juul

Vektorer i planen. Et oplæg Karsten Juul Vektorer i planen Et oplæg 3 4 4 2 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der skal gennemgås før man begynder på en lærebogs fremstilling af emnet vektorer. Formålet med øvelserne er

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................

Læs mere

Projekt 3.7. Pythagoras sætning

Projekt 3.7. Pythagoras sætning Projekt 3.7. Pythagoras sætning Flere beviser for Pythagoras sætning... Bevis for Pythagoras sætning ved anvendelse af ensvinklede trekanter... Opgave 1: Et kinesisk og et indisk bevis for Pythagoras sætning...

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2010 HTX Vibenhus

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling Forelæsningsnoter til Lineær Algebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af Asmus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk Afdeling August Revideret 9 ii udgave, oktober 9 Forord Gennem en særlig aftale varetages

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER

LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 006 NIELSEN - SALOMONSEN INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG AARHUS UNIVERSITET 006 Indhold Forord 5. Vektorer og linearkombinationer 7. Basis og dimension

Læs mere

Matematik og FormLineære ligningssystemer

Matematik og FormLineære ligningssystemer Matematik og Form Lineære ligningssystemer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2014 Ligningssystemer og matricer Til et ligningssystem svarer der en totalmatrix [A b] bestående af koefficientmatrix

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport x Parameterkurver Et eksempel på en rapport Parameterkurver 0x MA side af 7 Hypocykloiden A B Idet vi anvender startværdierne for A og B som angivet, er en generel parameterfremstilling for hypocykloiden

Læs mere

Den todimensionale normalfordeling

Den todimensionale normalfordeling Den todimensionale normalfordeling Definition En todimensional stokastisk variabel X Y siges at være todimensional normalfordelt med parametrene µ µ og når den simultane tæthedsfunktion for X Y kan skrives

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni 2000 og Juni 2001.

Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni 2000 og Juni 2001. Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni og Juni. Preben Alsholm 9. november 9 Juni Opgave 3 f : P (R) R 3 er givet ved f (P (x)) P () a + P () b, hvor a (,, ) og b (, 3, ). Vi viser,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Københavns

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 12/13 og maj/juni 13/14 Institution Teknisk gymnasium Thisted, EUC - nordvest Uddannelse Fag og niveau

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin maj-juni 2013 Institution ZBC Ringsted Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B Jacob Debel 12HTX11 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel

Læs mere

Matlab script - placering af kran

Matlab script - placering af kran Matlab script - placering af kran 1 Til at beregne den ideelle placering af kranen hos MSK, er der gjort brug af et matlab script. Igennem dette kapitel vil opbygningen af dette script blive gennemgået.

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 1 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 1.1 Indledning - typer af ligningesystemer og løsninger Den lineære ligning 2x=3 kan løses umiddelbart ved at dividere med 2 på begge sider, så vi får:

Læs mere

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer. MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere