Vektorrum. Vektorer på en ret linje

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Vektorrum. Vektorer på en ret linje"

Transkript

1 Vektorrum Vektorer på en ret linje Som vi tidligere har set adskillige gange, kan punkterne på en uendelig ret linje entydigt identificeres med de reelle tal. (Man taler jo ligefrem om den reelle talakse, eller blot om den reelle akse.) Vi vælger således to forskellige punkter O og E på den rette linje, og retningen fra O til E kalder vi den positive retning. Hermed er den rette linje blevet en orienteret ret linje med en positiv og en negativ gennemløbsretning. (Den negative gennemløbsretning er den modsatte af den positive gennemløbsretning.) Punktet O kaldes nulpunktet eller origo, og det identificeres med tallet 0. Tilsvarende kaldes punktet E for enhedspunktet, og det identificeres med tallet 1. Det er nu let nok (i hvert fald i princippet) at identificere et givet punkt P på den orienterede rette linje med et reelt tal x 1. Denne rette linje omtales derfor også som en tallinje eller en abscisseakse. Vi ser også, at ethvert reelt tal x 1 0 kan identificeres med det orienterede rette linjestykke OP x1 fra punktet O til det punkt P x1 på tallinjen, som svarer til tallet x 1. Det orienterede rette linjestykke OP x1 repræsenterer størrelsen x = (x 1 ), og linjestykket OP x1 kaldes så en repræsentant for vektoren x = (x 1 ). Hvis x 1 = 0, indfører vi den såkaldte nulvektor 0 = (0), som blot svarer til punktet O. Nulvektoren kaldes også den uegentlige vektor, mens alle andre vektorer siges at være egentlige. Vi indfører nu mængden R 1 af alle vektorer på den orenterede rette linje, og vi ser, at R 1 = {x = (x 1 ) x 1 R}. Mængden R 1 kaldes et vektorrum, eller mere præcist det 1-dimensionale talvektorrum. Tallet x 1 kaldes koordinaten for vektoren x = (x 1 ). REGNING MED VEKTORER Lad os betragte to vektorer x = (x 1 ) og y = (y 1 ) fra vektorrummet R 1, og lad os endvidere betragte en vilkårlig skalar λ R. Vi bemærker nu, at vektoren

2 (x 1 + y 1 ) svarer til tallet x 1 + y 1, og at vektoren (λx 1 ) svarer til tallet λx 1. Hermed har vi defineret summen x+y = (x 1 +y 1 ) af vektorerne x = (x 1 ) og y = (y 1 ) som vektoren x + y = (x 1 ) + (y 1 ) = (x 1 + y 1 ) og produktet λx af tallet λ og vektoren x = (x 1 ) som vektoren λx = λ(x 1 ) = (λx 1 ). Vi har således, at (3) + (8) = (11), og at 7( 11) = ( 77). Vi ser også, at enhver vektor x = (x 1 ) kan tillægges en længde, som netop er længden af det orienterede linjestykke OP x1, hvis x 1 0. Nulvektoren x = 0 tillægges længden 0. Længden af en vektor x = (x 1 ) kaldes også normen af x og betegnes med x, og vi ser, at x = x 1. Vi bemærker, at 0 = 0, og at x > 0, hvis x 0. Fx er (12) = ( 12) = 12. Vi har således, at x 0 = 0, for enhver vektor x R 1, og at (5) (7) = 35, og ( 1 ) ( 16) = 8. 2 SKALARPRODUKTET Lad nu x = (x 1 ) og y = (y 1 ) være to vilkårlige vektorer fra vektorrummet R 1. Ved skalarproduktet (eller prikproduktet) x y af x og y forstås tallet Vi bemærker, at x x = x 2 1 = x 2. x y = (x 1 ) (y 1 ) = x 1 y 1. Lad os antage, at de to vektorer x = (x 1 ) og y = (y 1 ) er egentlige, og lad os betragte de to til vektorerne x og y hørende rette linjestykker OP x1 og OP y1. Hvis x 1 og y 1 har samme fortegn, har disse to linjestykker samme retning, og hvis x 1 og y 1 har forskellige fortegn, er de to tilhørende rette linjestykker modsat rettede. Hvis θ betegner vinklen mellem de orienterede linjestykker OP x1 og OP y1, ser vi, at θ = 0 o, hvis x 1 og y 1 har samme fortegn, og at θ = 180 o, hvis x 1 og y 1 har forskellige fortegn.

3 Vinklen θ vil vi også kalde vinklen mellem vektorerne x = (x 1 ) og y = y 1, og da cos(0 o ) = 1, og cos(180 o ) = 1, får vi straks, at x y = (x 1 ) (y 1 ) = x y cos(θ). Hvis x = 0, eller y = 0, eller x = y = 0, er skalarproduktet x y = 0, og da vinklen θ mellem nulvektoren 0 og en hvilken som helst vektor kan sættes til hvad som helst, ser vi, at formlen x y = (x 1 ) (y 1 ) = x y cos(θ) åbenbart passer for alle vektorer x, y R 1. Vektorer i planen Lad os nu betragte mængden af alle punkter i planen, og lad os i planen vælge et sædvanligt retvinklet koordinatsystem. Ethvert punkt P i planen kan identificeres med punktets entydigt bestemte koordinatsæt (x 1, x 2 ), og det orienterede linjestykke OP fra O (nulpunktet eller origo) til P kalder vi en repræsentant for vektoren x = (x 1, x 2 ). Tallene x 1 og x 2 kaldes henholdsvis første og anden koordinat for vektoren x = (x 1, x 2 ). Man siger også, at vektoren x = (x 1, x 2 ) er en stedvektor for punktet P = (x 1, x 2 ). Vi ser nu, at mængden af alle sådanne vektorer i planen kan identificeres med mængden R 2 af alle reelle talpar, altså R 2 = R R = {x = (x 1, x 2 ) x 1, x 2 R}, idet talsættet 0 = (0, 0) også regnes for at være en vektor (den uegentlige vektor eller nulvektoren). Punketet O regnes for en repræsentant for nulvektoren. Alle andre vektorer x R 2, hvor altså x 0, kaldes egentlige vektorer. Mængden R 2 kaldes det 2-dimensionale talvektorrum. REGNING MED VEKTORER I PLANEN Lad x = (x 1, x 2 ) og y = (y 1, y 2 ) være to vilkårlige vektorer og lad λ R være en vilkårlig skalar. Vi definerer nu summen x + y af vektorerne x og y og produktet λx af tallet λ og vektoren x ved x+y = (x 1, x 2 )+(y 1, y 2 ) = (x 1 +y 1, x 2 +y 2 ) og λx = λ(x 1, x 2 ) = (λx 1, λx 2 ).

4 Vi har således, at x + 0 = x, for enhver vektor x R 2, og at (2, 3) + (7, 5) = (9, 2) og 11(7, 4) = (77, 44). Vi kan også udregne differensen x y, idet vi selvfølgelig har, at x y = (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) = (x 1 y 1, x 2 y 2 ), så (7, 9) (5, 13) = (7 5, 9 ( 13)) = (2, 22). Lad nu P = (x 1, x 2 ) og Q = (y 1, y 2 ) være to vilkårlige punkter i planen. Idet (y 1, y 2 ) = (y 1 x 1, y 2 x 2 ) + (x 1, x 2 ), er vektoren y x = (y 1 x 1, y 2 x 2 ) den vektor, der har en repræsentant, som er det orienterede linjestykke fra P til Q. Vi siger, at P er begyndelsespunktet, og at Q er slutpunktet (eller endepunktet) for vektoren v = y x. Hvis fx P = (2, 8) og Q = (10, 23), finder vi, at vektoren v = y x, der har P som begyndelsespunkt og Q som slutpunkt, er givet ved v = (10, 23) (2, 8) = (8, 15). Enhver vektor x R 2 har en norm x (eller længde), som netop er længden af det orienterede linjestykke OP, hvor P = (x 1, x 2 ). Altså gælder det, at x = (x 1, x 2 ) = x x 2 2, jvf. Pythagoras læresætning. (Dette er længdeformlen). Man har således, at (5, 12) = = 169 = 13. Vi ser straks, at (1.) x R 2 : x 0 ( x = 0 x = 0 ). (2.) λ R x R 2 : λx = λ x. (3.) x, y R 2 : x ± y x y. Den sidste regel kaldes trekantsuligheden. Lad nu P = (x 1, x 2 ) og Q = (y 1, y 2 ) være to punkter i planen. Afstanden d(p, Q) mellem punkterne P og Q (eller afstanden d(x, y) mellem vektorerne

5 x og y) er længden af linjestykket P Q, og dermed er d(p, Q) = d(x, y) lig med normen af vektoren y x, så vi har derfor, at d(p, Q) = d(x, y) = y x = Dette er afstandsformlen. Vi bemærker, at følgende regler er opfyldt (y 1 x 1 ) 2 + (y 2 x 2 ) 2. (1.) x, y R 2 : d(x, y) 0 ( d(x, y) = 0 x = y ). (2.) x, y R 2 : d(x, y) = d(y, x). Afstandsfunktionen d er symmetrisk. (3.) x, y, z R 2 : d(x, z) d(x, y) + d(y, z). Den sidste regel kaldes trekantsuligheden (for afstandsfunktionen d). Vi vil herefter se på nogle eksempler. Eksempel. Vi betragter vektorerne x = (3, 5) og y = (7, 2). Da er x = = 34 og y = = 53. Endvidere ser vi, at y x = (4, 7), så d(x, y) = y x = = 65. Eksempel. For et vilkårligt t R betragter vi vektorerne x = x(t) = (t, 1 + t) og y = y(t) = (7, 5 2t). Vi finder, at x = x(t) = så x(0) = 1, og x( 2) = 5. Desuden har vi, at y = y(t) = så y(1) = 58, og y( 1) = 98. Endvidere får vi, at så d(x(t), y(t)) = y(t) x(t) = t 2 + (1 + t) 2 = 2t 2 + 2t + 1, 49 + (5 2t) 2 = 4t 2 20t + 74, v = v(t) = y(t) x(t) = (7 t, 4 3t), (7 t) 2 + (4 3t) 2 = 10t 2 38t + 64.

6 Eksempel. Vi betragter punkterne A = (a 1, a 2 ) og B = (b 1, b 2 ). Midtpunktet på linjestykket AB (fra A til B) kaldes M = (m 1, m 2 ). Vi ser, at (m 1, m 2 ) = (a 1, a 2 ) + 1 ( ) b1 a 1, b 2 a ( b 1 + a 1 2 =, b 2 + a ) 2, idet vektoren (m 1, m 2 ) fra O til M fremkommer som summen af vektoren (a 1, a 2 ) fra O til A plus halvdelen af vektoren (b 1 a 1, b 2 a 2 ) fra A til B. Hvis A = (5, 2) og B = (7, 11), er midtpunktet af linjestykket AB lig med M = (6, 13). 2 Eksempel. I planen betragter vi den trekant ABC, hvor A = O = (0, 0) og B = (b 1, 0), hvor b 1 > 0, ligger på førsteaksens positive del. Punktet C = (c 1, c 2 ), hvor c 2 > 0, ligger således ikke på førsteaksen. Det punkt M = (m 1, m 2 ), der har en og samme afstand til vinkelspidserne A, B og C, opfylder betingelsen så d(o, M) = d(a, M) = d(b, M) = d(m, C), m m 2 2 = (m 1 b 1 ) 2 + m 2 2 = (m 1 c 1 ) 2 + (m 2 c 2 ) 2. Heraf ser man, at m 2 1+m 2 2 = m 2 1+b 2 1 2b 1 m 1 +m 2 2 m 2 1+m 2 2 = m 2 1+c 2 1 2c 1 m 1 +m 2 2+c 2 2 2c 2 m 2 m 1 = b = b2 1 c 2 1 2b 1 m 1 + 2c 1 m 1 c c 2 m 2 m 1 = b = c2 1 + b 1 c 1 c c 2 m 2 m 1 = b 1 2 m 2 = c2 1 + c 2 2 b 1 c 1. 2c 2 Punktet M = ( b 1 2, c2 1 + c 2 2 b 1 c ) 1 2c 2 er midtnormalernes fælles skæringspunkt, som er centrum for trekantens omskrevne cirkel. Hvis fx A = (0, 0), B = (8, 0) og C = (6, 9), har vi altså, at M = ( 4, ) ( 69) = 4,. 18 Eksempel. Den cirkel C, der har centrum i punktet M = (m 1, m 2 ), og som har radius r > 0, består af netop de punkter, P = (x 1, x 2 ), der har afstanden d(p, M) = r fra centrum M. Altså er C = {P = (x 1, x 2 ) d(p, M) = r} =

7 {(x 1, x 2 ) (x 1 m 1 ) 2 + (x 2 m 2 ) 2 = r} = {(x 1, x 2 ) (x 1 m 1 ) 2 + (x 2 m 2 ) 2 = r 2 }. Ligningen (x 1 m 1 ) 2 + (x 2 m 2 ) 2 = r eller (x 1 m 1 ) 2 + (x 2 m 2 ) 2 = r 2 kaldes cirklens ligning. Hvis fx M = (3, 13), og r = 5, har den cirkel C, som har centrum i punket M, og som har radius r = 5, ligningen (x 1 3) 2 + (x ) 2 = 25. Vektorregning er nært knyttet til den analytiske geometri, som blev grundlagt af den franske matematiker René Descartes ( ). Umiddelbart efter at Descartes havde udgivet sit kendte, matematiske storværk La Géométrie i 1637, fik den analytiske geometri stor betydning for matematikkens videre udvikling, og den franske matematiker Pierre Varignon ( ) var en stor beundrer af Descartes. Desuden var Varignon gode venner med både Newton, Leibniz og den berømte matematikerfamilie Bernoulli fra Basel i Schweiz. Varignon blev i 1688 professor i matematik ved Collège Mazarin i Paris, og gennem mange år holdt han en række forelæsninger, bl. a. om differentialregning og analytisk geometri. I 1731 blev disse forelæsninger trykt og udgivet med titlen Élemens de mathématique. (Bemærk stavemåden!). I dette værk finder vi følgende interessante og besynderlige, geometriske sætning, som naturligt nok kaldes Varignons sætning: Varignons sætning. Lad F være en vilkårlig firkant i planen R 2, og lad M 1, M 2, M 3 og M 4 være midtpunkterne på denne firkants sider. Da er den firkant P, som har hjørnespidserne M 1, M 2, M 3 og M 4, et parallellogram. Vi vil vise denne sætning som et illustrativt eksempel på regning med vektorer i planen. BEVIS for Varignons sætning. Påstanden er vist, hvis vi kan vise, at de modstående sider i firkanten P er lige lange og parallelle. Firkanten F, som har hjørnespidserne A, B, C og D, kan (evt. efter en flytning, dvs. en parallelforskydning efterfulgt af en drejning) anbringes i et retvinklet koordinatsystem, så A = (0, 0), og B = (x, 0). (Lav en tegning!) Herefter er C = (α, β) og D = (ξ, η). Vi får nu, at M 1 = ( x 2, 0), M 2 = ( α + x, β 2 2 ), M3 = ( α + ξ 2, β + η ), 2

8 og at M 4 = ( ξ 2, η ). 2 Vektoren fra M 1 til M 2 er v 12 = ( α + x 2 og vektoren fra M 4 til M 3 er x 2, β 2 ) ( α = 2, β ) 2 så v 43 = v 12. v 43 = ( α + ξ 2 ξ 2, β + η 2 η 2 ) ( α = 2, β ), 2 Egentlig er vi færdige nu. Hvorfor? Men lad os alligevel også udregne vektorerne v 14 (fra M 1 til M 4 ) og v 23 (fra M 2 til M 3 ). Vi får således, at v 14 = ( ξ 2 x 2, η ) ( ξ x =, η ), og at v 23 = ( α + ξ α + x, β + η β ) ( ξ x =, η ), og helt som ventet er v 23 = v 14. Hermed er Varignons sætning vist ved hjælp af elementær vektorregning. Øvelse. Lad os betragte den firkant, der har vinkelspidserne A = (2, 8), B = (7, 9), C = (5, 19) og D = (3, 22). Bestem koordinaterne til midtpunkterne M 1, M 2, M 3 og M 4 på sidestykkerne i denne firkant, og bestem derpå kantlængderne i det parallelogram, som er givet ved at benytte Varignons sætning. SKALARPRODUKTET Vi skal i dette afsnit se på det såkaldte skalarprodukt, som er en afbildning, hvor to vektorer afbildes på et reelt tal. Det viser sig, at denne afbildning har stor geometrisk betydning, og derfor er skalarproduktet et meget vigtigt begreb i vektorregningen. Vi begynder med at definere skalarproduktet.

9 Definition. Lad x = (x 1, x 2 ) og y = (y 1, y 2 ) være to givne vektorer. Ved skalarproduktet (eller prikproduktet) x y af vektorerne x og y forstås tallet x y = (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) = x 1 y 1 + x 2 y 2. Vi bemærker, at der hermed er defineret en afbildning s : R 2 R 2 R, hvor x, y R 2 : s(x, y) = x y. Vi ser, at (2, 3) (7, 4) = = 26, ( 1, 6) (5, 2) = 5 12 = 17, (0, 67) ( 23, 2) = , og at ( 2, 6) ( 7, 5) = = 16. Desuden ser vi, at for enhver vektor x = (x 1, x 2 ) R 2 x 0 = 0, og at gælder det, x e 1 = (x 1, x 2 ) (1, 0) = x 1 og x e 2 = (x 1, x 2 ) (0, 1) = x 2, idet e 1 = (1, 0) og e 2 = (0, 1), så x = (x 1, x 2 ) R 2 : x = (x e 1 )e 1 + (x e 2 )e 2. Vi har tillige, at x = (x 1, x 2 ) R 2 : x x = x x 2 2 = x 2. For skalarproduktet gælder følgende regler, som man umiddelbart efterviser: (1.) x, y R 2 : x y = y x. (Den kommutative regel). (2.) x, y, z R 2 : x (y + z) = x y + x z. (Den distributive regel). (3.) λ R x R 2 : (λx) y = λ(x y) = x (λy). (Den associative regel). (4.) x R 2 : x x 0 x x = 0 x = 0. Sådan som vi her har defineret skalarproduktet, ser der ud til, at det er afhængigt af koordinatsystemet placering i planen. Drejer man fx koordinatsystemet med en vis vinlel θ vil et givet punkts koordinatsæt blive ændret

10 fra x = (x 1, x 2 ) til x = (ξ 1, ξ 2 ), og dermed har punktets stedvektor også fået ændret sine koordinater. Tilsvarende vil et andet punkts koordinater også blive ændret, og den tilhørende stedvektor y = (y 1, y 2 ) vil blive ændret til y = (η 1, η 2 ). Umiddelbart ser det altså ikke ud til, at skalarproduktet x y skulle være uafhængigt af koordinatsystemets placering, altså at ligningen x 1 y 1 + x 2 y 2 = ξ 1 η 1 + ξ 2 η 2 skulle være opfyldt, men det er faktisk tilfældet. For at vise denne påstand betragter vi to vilkårlige vektorer x og y. Vi husker, at x x = x 2, at y y = y 2, og at (x + y) (x + y) = x + y 2, så x + y 2 = (x + y) (x + y) = x x + x y + y x + y y = hvoraf man får, at x 2 + 2(x y) + y 2, x y = 1 2( x + y 2 x 2 y 2). Denne formel viser, at skalarproduket x y mellem vektorerne x og y kun afhænger af længderne af vektorerne x, y og x + y. Dermed har vi vist, at skalarproduktet ikke afhænger af, om koordinatsystemet bliver drejet en vis vinkel omkring punktet O. Eksempel. Lad os fx antage, at vi om vektorerne x og y ved, at x = 3, at y = 6, og at x + y = 8. Vi finder da, at x y = 1 2 ( x + y 2 x 2 y 2) = 1 2( ) = Øvelse. Bestem skalarproduktet x y af vektorerne x og y, når x = 11, y = 12, og x + y = 13. Vi vil nu vise en særdeles nyttig sætning. Sætning. Lad x og y være to vilkårlige vektorer fra vektorrummet R 2. Der gælder da følgende: (1.) Lad os antage, at vektorerne x og y begge er egentlige vektorer, så x 0 og y 0. Da er skalarproduktet x y af vektorerne x og y lig med længden af den ene vektor multipliceret med den anden vektors

11 retvinklende projektion (regnet med fortegn) ned på den første vektor. Vi kan altså skrive x y = x y 1 = x 1 y, hvor y 1 er den retvinklede projektion af y på x, og x 1 er den retvinklede projektion af x på y. (2.) Hvis x = 0, eller hvis y = 0, eller hvis x = y = 0, så er x y = 0. BEVIS. Det er klart, at x y = 0, hvis enten x = 0, y = 0 eller x = y = 0. Vi antager derfor, at vektorerne x og y begge er egentlige, altså at de ikke er nulvektoren. Vi har tidligere indset, at skalarproduktet x y er uafhængigt af koordinatsystemetes placering. Lad nu x = (x 1, x 2 ), og lad os betragte punktet P x = (x 1, x 2 ). Vektoren x er da stedvektor for punktet P x. Vi drejer nu koordinatsystemet omkring origo O = (0, 0), så punktet P x kommer til at ligge på abscisseaksens positive halvdel. I dette drejede koordinatsystem ser vi, at vektoren x kan skrives som x = ( x, 0), og hvis y = (η 1, η 2 ) i dette koordinatsystem, hvor η 1 åbenbart er den retvinklede projektion af Y på x regnet med fortegn, får vi, at Hermed er påstanden vist. x y = ( x, 0) (η 1, η 2 ) = x η 1. Vi vil nu udnytte denne sætning, men vi skal først have fundet ud af, hvad vi vil forstå ved vinklen θ mellem to vektorer. Lad os derfor betragte vektorerne x og y. Hvis x = 0, eller hvis y = 0, eller hvis x = y = 0, sætter vi den mellemliggende vinkel θ = 90 o. Dette virker måske besynderligt, men det viser sig at være praktisk. Hvis vektorerne x = (x 1, x 2 ) og y = (y 1, y 2 ) er egentlige, er de stedvektorer for punkterne P x = (x 1, x 2 ) og P y = (y 1, y 2 ). Vinklen θ i origo O = (0, 0) mellem linjestykkerne OP x og OP y defineres da som vinklen mellem vektorerne x og y. Som en direkte følge af ovenstående sætning får vi så følgende resultat: Sætning. Lad x og y være to vilkårlige vektorer, og lad θ være vinklen mellem dem. Der gælder da, at (1.) x y > 0 θ [0 o, 90 o [. Vinklen θ er spids. (2.) x y = 0 θ = 90 o. Vinklen θ er ret. Vektorerne x og y er ortogonale. (3.) x y < 0 θ ]90 o, 180 o ]. Vinklen θ er stump.

12 Eksempel. Lad t R være en parameter, og betragt vektorerne Vi finder da, at så x = x(t) = (t, 2) og y = y(t) = (t, t). x y = (t, 2) (t, t) = t 2 2t = t(t 2), x y = 0 t = 0 t = 2 x y, hvor tegnet betyder, at vektorerne x og y er ortogonale eller vinkelrette på hinanden. Endvidere ser vi, at det for vinklen θ mellem vektorerne x og y gælder, at θ er spids t < 0 t > 2, og at θ er stump 0 < t < 2. Øvelse. Lad t R være en parameter, og betragt vektorerne x = x(t) = (t 2, 1) og y = y(t) = (2, t + 1). Lad θ være vinklen mellem vektorerne x og y. Bestem de t R, for hvilke vinklen θ er enten spids, ret eller stump. Vi skal nu vise endnu en sætning. Sætning. Lad x og y være to vilkårlige vektorer, og lad θ være vinklen mellem disse vektorer. Da har man, at x y = x y cos(θ). Skalarproduktet x y kan altså udregnes som normen af den ene vektor ganget med normen af den anden vektor ganget med cosinus til den mellemliggende vinkel. BEVIS. Lad η 1 være den retvinklede projektion regnet med fortegn af vektoren y på vektoren x. Det er da klart, at η 1 = y cos(θ), og heraf aflæses påstanden umiddelbart. Det er velkendt, at cos(θ) [ 1, 1], og vi får da straks følgende resultat: Sætning. Lad x og y være vilkårlige vektorer, og lad θ være vinklen mellem dem. Man har da, at x y x y.

13 Denne ulighed, der er helt fundamental i vektorregningen, kaldes Cauchy- Schwarz ulighed. På baggrund af de foregående sætninger får vi tillige følgende sætning: Sætning. Lad x og y være egentlige vektorer, og lad θ være vinklen mellem dem. Vi har da, at cos(θ) = x y x y. Eksempel. Lad os betragte vektorerne x = (4, 5) og y = (7, 2). Vi ser da, at x = 41, at y = 53, og at x y = = 18. Hvis vinklen mellem vektorerne x og y er θ, får vi nu, at cos(θ) = x y x y = , så θ = 67, 29 o. Øvelse. Bestem vinklen θ mellem vektorerne x og y, når (1.) x = (5, 1) og y = (3, 10). (2.) x = ( 1, 2) og y = (4, 3). (3.) x = (1, 10) og y = ( 20, 2). (4.) x = ( 1, 5) og y = (19, 7 1). 2 2 (5.) x = (2 5, 3) og y = (7, 6 11). Vi fortsætter nu med at vise en sætning, som har et vigtigt geometrisk indhold. Sætning. Betragt en vilkårlig trekant ABC, som har siderne a, b og c. Man har da, at a 2 = b 2 + c 2 2bc cos(a), og at b 2 = a 2 + c 2 2ac cos(b), c 2 = a 2 + b 2 2ab cos(c). Disse formler kaldes cosinusrelationerne.

14 BEVIS. Ud fra hjørnespidserne A, B og C i trekanten ABC definerer vi vektoren x som den vektor, der har begyndelsespunktet C og slutpunktet B. Desuden definerer vi vektoren y som den vektor, der har begyndelsespunktet C og slutpunktet A. Vinklen mellem vektorerne x og y er vinklen C i den pågældende trekant, og desuden ser vi, at x = a, og at y = b. Vektoren z = x y har begyndelsespunktet A og slutpunktet B, og vi ser, at z = x y = c. Vi finder nu, at z = x y 2 = (x y) (x y) = x x + y y 2x y = x 2 + y 2 2 x y cos(c), så c 2 = a 2 + b 2 2ab cos(c). De to øvrige formler vises på analog måde. Øvelse. Cosinusrelationerne kaldes ofte den udvidede pythagoræiske læresætning. Vis ud fra cosinusrelationerne, at Pythagoras læresætning er opfyldt, netop når den betragtede trekant ABC er retvinklet. Vektorer i rummet I det sædvanlige euklidiske rum (det fysiske rum), der har tre dimensioner (længde, bredde og højde) kan vi vælge et fast punkt O, der kaldes nulpunktet eller origo, og tre på hinanden vinkelrette orienterede akser (førsteaksen, andenaksen og tredjeaksen). Når dette er gjort, kan ethvert punkt i rummet identificeres med et tripel (x 1, x 2, x 3 ), som vi også betegner som punktets koordinatsæt, og vi skriver så P = (x 1, x 2, x 3 ). Det er nu klart, at mængden af rummets punkter kan identificeres med mængden R 3 = R R R = {x = (x 1, x 2, x 3 ) x 1, x 2, x 3 R}. Elementerne x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 kaldes vektorer, og tallene x 1, x 2 og x 3 er henholdsvis første, anden og tredje koordinat for vektoren x. Mængden R 3 kaldes det 3-dimensionale talvektorrum. Nulvektoren er triplet 0 = (0, 0, 0), som også kaldes den uegentlige vektor, mens alle andre vektorer siges at være egentlige. Hvis P = (x 1, x 2, x 3 ), kan vektoren x = (x 1, x 2, x 3 ) også karakteriseres ved det orienterede linjestykke OP fra O til P, og vi siger at OP er en repræsentant for x.

15 REGNING MED VEKTORER I RUMMET I det 3-dimensionale talvektorrum R 3 kan vi indfører addition af vektorer og multiplikation af en skalar med en vektor på følgende måde. x, y R 3 : x + y = (x 1, x 2, x 3 ) + (y 1, y 2, y 3 ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3 ) og λ R x R 3 : λx = λ(x 1, x 2, x 3 ) = (λx 1, λx 2, λx 3 ). Desuden ser vi, at x, y R 3 : x y = (x 1, x 2, x 3 ) (y 1, y 2, y 3 ) = (x 1 y 1, x 2 y 2, x 3 y 3 ). Vi har derfor, at (2, 3, 19) + (7, 5, 4) = (9, 8, 15) og 2(5, 6, 13) = (10, 12, 26). Hvis λ 0 er et givet reelt tal, og a = (a 1, a 2, a 3 ), og b = (b 1, b 2, b 3 ) er givne vektorer, har vi således, at λx + a = b λx = b a x = 1 λ( b a ), så x = (x 1, x 2, x 3 ) = ( b 1 a 1 λ, b 2 a 2 λ, b 3 a ) 3. λ Længdeformlen. Enhver vektor x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 har en længde eller en norm, som vi betegner med x, og som er lig med længden af det orienterede linjestykke OP, hvor P = (x 1, x 2, x 3 ). Idet vi sætter p = (x 1, x 2, 0) og q = (0, 0, x 3 ), ser vi, at x = (x 1, x 2, x 3 ) = p + q, og vi bemærker, at vektoren p ligger i den plan π(1, 2), der udspændes af første- og andenaksen, mens vektoren q er parallel med tredjeaksen og derfor vinkelret på p. Ved at benytte Pythagoras læresætning på den retvinklede trekant OQP, hvor Q = (x 1, x 2, 0), ser vi, at x = p 2 + q 2 = p 2 + x 2 3, og da det er klart, at p = x x 2 2,

16 ser vi, at x = Denne formel kaldes længdeformlen. x x x 2 3. Vi finder således, at (2, 5, 3) = = 38, og vi ser, at der gælder følgende regler vedrørende normen for vektorer i det tre-dimensionale talvektorrum. (1) x R 3 : x 0 ( x = 0 x = 0 ). (2) λ R x R 3 : λx = λ x. (3) x, y R 3 : x ± y x + y. Den tredje regel kaldes trekantsuligheden. Afstandsformlen. Lad P = (x 1, x 2, x 3 ) og Q = (y 1, y 2, y 3 ) være to vilkårlige punkter i rummet. Afstanden d(p, Q) mellem punkterne P og Q (eller mellem vektorerne x = (x 1, x 2, x 3 ) og y = (y 1, y 2, y 3 )) er længden af vektoren y x, thi y = (y x) + x, så y x er den vektor, der har det orienterede linjestykke P Q fra P til Q som en repræsentant. Vi har altså, at d(p, Q) = d(x, y) = y x = Denne formel kaldes afstandsformlen. (y 1 x 1 ) 2 + (y 2 x 2 ) 2 + (y 3 x 3 ) 2. Hvis P = (4, 3, 2) og Q = ( 1, 0, 8), er afstanden mellem disse to punkter d(p, Q) = ( 5) = 70, og vi ser desuden, at der gælder følgende regler. (1) x, y R 3 : d(x, y) 0 ( d(x, y) = 0 x = y ). (2) x, y R 3 : d(y, x) = d(x, y). (3) x, y, z R 3 : d(x, z) d(x, y) + d(y, z).

17 Den tredje regel kaldes trekantsuligheden. Vi vil herefter se på et par eksempler. Eksempel. En trekant ABC i rummet har vinkelspidserne A = (3, 5, 7), B = ( 1, 2, 4) og C = (11, 9, 2). Vi betragter nu vektorerne x = (3, 5, 7), y = ( 1, 2, 4) og z = (11, 9, 2). Da har siden a længden z y = ( 2) 2 = = 197, siden b har længden z x = ( 5) 2 = = 105, og siden c har længden y x = ( 4) 2 + ( 3) 2 + ( 3) 2 = = 34. Eksempel. Vi betragter den kugle K, der har centrum i punktet M = (m 1, m 2, m 3 ), og som har radius r > 0. Kuglen K består af netop de punkter P = (x 1, x 2, x 3 ), der har afstanden d(p, M) = r fra centrum M. Vi har således, at K = {P = (x 1, x 2, x 3 ) d(p, M) = r} = {x = (x 1, x 2, x 3 ) (x 1 m 1 ) 2 + (x 2 m 2 ) 2 + (x 3 m 3 ) 2 = r} = og {x = (x 1, x 2, x 3 ) (x 1 m 1 ) 2 + (x 2 m 2 ) 2 + (x 3 m 3 ) 2 = r 2 }. Ligningerne (x 1 m 1 ) 2 + (x 2 m 2 ) 2 + (x 3 m 3 ) 2 = r (x 1 m 1 ) 2 + (x 2 m 2 ) 2 + (x 3 m 3 ) 2 = r 2 kaldes kuglens ligning. Hvis fx M = (2, 8, 3), og r = 6, ser vi, at den kugle K, der har centrum i punktet M, og som har radius r = 6, har ligningen (x 1 2) 2 + (x 2 8) 2 + (x 3 3) 2 = 36. Øvelse. De fire punkter A = (7, 9, 14), B = (3, 8, 5), C = (6, 7, 10) og D = (100, 4, 99) danner et såkaldt tetraeder i rummet. Beregn længden af kantlængderne AB, AC, BC, AD, BD og CD.

18 SKALARPRODUKTET Lad x = (x 1, x 2, x 3 ) og y = (y 1, y 2, y 3 ) være to vilkårlige vektorer fra det tredimensionale talvektorrum R 3. Ved skalarproduktet (eller prikproduktet) x y af vektorerne x og y forstås tallet x y = (x 1, x 2, x 3 ) (y 1, y 2, y 3 ) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3. at Vi bemærker, at x 0 = 0 for enhver vektor x R 3, og vi har desuden, (5, 3, 1) (7, 2, 9) = = 38, og (1, 2, 1) (10, 1, 9) = = 0. 2 Vi ser, at der gælder følgende regler for skalarproduktet i R 3. (1) x, y R 3 : x y = y x. (2) x, y, z R 3 : x (y + z) = x y + x z. (3) λ R x, y R 3 : λ(x y) = (λx) y = x (λy). (4) x R 3 : x x = x 2. Ligesom i tilfældet R 2, er det klart, at x y = 1 2( x y 2 x 2 y 2), så skalarproduktet x y for vektorer x, y R 3 afhænger ikke af, hvordan man drejer koordinatsystemet omkring nulpunktet O. Hvis fx x = 7, y = 5 og x y = 8, ser man, at x y = 1 2( ) = 20. Det er klart, at x 0 = 0 y = 0 0 = 0 for alle vektorer x, y R 3. Hvis e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0) og e 3 = (0, 0, 1), og hvis x = (x 1, x 2, x 3 ) er en vilkårlig vektor i R 3, ser vi, at x e 1 = x 1, x e 2 = x 2 og x e 3 = x 3,

19 så x = (x 1, x 2, x 3 ) = (x e 1, x e 2, x e 3 ) = (x e 1 )e 1 + (x e 2 )e 2 + (x e 3 )e 3. Lad nu x, y R 3 være to egentlige vektorer, og vælg koordinatsystemet, så x = ( x, 0, 0), hvilket er muligt, idet førsteaksen orienteres i retningen fra nulpunktet O til punktet P x = ( x, 0, 0). Idet vi nu yderligere antager, at y ikke har en repræsentant, som ligger på førsteaksen, vil vektorerne x og y udspænde en plan π(1, 2) i rummet. Vi vælger nu andenaksen til at være vinkelret på førsteaksen og til at ligge i planen π(1, 2), og så er y = (y 1, y 2, 0), hvor koordinaten y 1 er projektionen (regnet med fortegn) af y på x. Tredjeaksen vælges vinkelret på både førsteog andenaksen. Vi har nu, at x y = ( x, 0, 0) (y 1, y 2, 0) = x y 1. Vinklen θ mellem vektorerne x og y er defineret som vinklen i planen π(1, 2) mellem de to orienterede linjestykker OP x og OP y, hvor P x = ( x, 0, 0) og P y = (y 1, y 2, 0). Vi bemærker nu, at y 1 = y cos(θ), så ( ) x y = x y cos(θ), hvilket svarer nøje til et lignende resultat, vi fandt for skalarproduktet mellem to vektorer i vektorrummet R 2. Vi bemærker, at formlen ( ) også er gyldig for alle vektorer x, y R 3, altså også hvis x og y ligger på en og samme linje, eller hvis en af vektorerne eller de begge er lig med nulvektoren. I det tilfælde hvor både x og y er egentlige vektorer, får vi, at cos(θ) = x y x y. Hvis x = 0, eller y = 0 eller hvis x = y = 0, sætter vi vinklen θ = 90 o, hvilket viser sig praktisk. og Vi ser også, at x y > 0 θ er spids, x y = 0 θ er ret, x y < 0 θ er stump.

20 Vi vil nu se på et par eksempler og en øvelse. Eksempel. Vi betragter vektorerne x = (2, 1, 7) og y = (3, 5, 12). Da er x y = = 85, x = = 54 og y = = 178, så cos(θ) = , hvoraf man får, at θ = 29, 89 o. Eksempel. For ethvert t R betragter vi vektorerne x = x(t) = (t, 2t, t) og y = y(t) = (2, t, 5t). Da er x y = 2t + 2t 2 5t 2 = 3t 2 + 2t, så x y = 0 t( 3t + 2) = 0 t = 0 t = 2 3. Lad θ være vinklen mellem vektorerne x og y. Vi har da, at θ er spids 0 < t < 2 3, og θ er ret t = 0 t = 2 3, θ er stump t < 0 t > 2 3. Øvelse. I vektorrummet R 3 betragter vi den trekant ABC, hvor A = (1, 2, 3), B = (7, 9, 13) og C = (5, 10, 12). Bestem sidernes kantlængder og størrelsen af vinkelspidserne i denne trekant. Vektorrum af højere dimension Vektorrummene R 1, R 2 og R 3, siges at have dimensionerne 1, 2 og 3, og vi har i de foregående afsnit set, at dimensionen af disse vektorrum er knyttet til geometrien henholdsvis på en ret linje, i planen eller i rummet. Imidlertid regnede vi med vektorerne i R 1, R 2 og R 3 udelukkende ved at anvende vektorernes koordinater, idet vi også bemærkede, at geometriske begreber som længder, afstande og vinkler kunne bestemmes ud fra kendskabet til vektorernes koordinater.

21 Vi vil derfor generalisere de opnåede resultater fra omtalen af vektorrummene R 1, R 2 og R 3 til enhver mængde R n = {x = (x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} bestående af n-sæt, hvor n N, og n > 3. Mængden R n kaldes det n-dimensionale talvektorrum, (eller blot det n-dimensionale vektorrum), og elementerne x = (x 1, x 2,..., x n ) R n kaldes vektorer. En vektor x = (x 1, x 2,..., x n ) R n har koordinaterne x 1, x 2,..., x n, hvor x i er den i te koordinat. Vektoren 0, hvis koordinater alle er 0, kaldes nulvektoren eller den uegentlige vektor, og enhver vektor x 0 siges at være en egentlig vektor. Vi vil nn se på et par eksempler. Eksempel. Vi betragter vektorerne e 1 = (1, 0, 0,..., 0,..., 0, 0), e 2 = (0, 1, 0,..., 0,..., 0, 0), e i = (0, 0, 0,..., 1,..., 0, 0), e n = (0, 0, 0,..., 0,..., 0, 1), fra vektorrummet R n, hvor alle koordinaterne i vektoren e i er 0 bortset fra den i te koordinat, som er 1. Disse n vektorer kan vi samle i vektorsættet ɛ n = (e 1, e 2, e 3,..., e i,..., e n 1, e n ), der kaldes den kanoniske basis eller standardbasen for vektorrummet R n. Eksempel. Vi kunne også betragte vektorerne f 1 = (0, 1, 1,..., 1,..., 1, 1), f 2 = (1, 0, 1,..., 1,..., 1, 1), f i = (1, 1, 1,..., 0,..., 1, 1),......

22 f n = (1, 1, 1,..., 1,..., 1, 0), fra vektorrummet R n, hvor alle koordinaterne i vektoren e i er 1 bortset fra den i te koordinat, som er 0. Disse n vektorer kan vi samle i vektorsættet ϕ n = (f 1, f 2, f 3,..., f i,..., f n 1, f n ). REGNING MED VEKTORER Vi skal se på, hvordan man regner med vektorer fra et vilkårligt vektorrum R n, hvor n N, og det er naturligvis vigtigt, at de regneregler, vi indførte på vektorrummene R 1, R 2 og R 3, er specialtilfælde af de regler, vi nu skal omtale. Hvis x = (x 1, x 2,..., x n ) og y = (y 1, y 2,..., y n ) er vilkårlige vektorer fra vektorrummet R n, definerer vi summen x + y af vektorerne x og y som den vektor i R n, der er givet ved x + y = (x 1, x 2,..., x n ) + (y 1, y 2,..., y n ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ), så koordinaterne i summen x + y udregnes ved addition af koordinaterne i x og y. Desuden definerer vi den såkaldte skalarmultiplikation: Hvis λ R, og hvis x = (x 1, x 2,..., x n ) er en vilkårlig vektor i R n, er produktet λx af tallet λ og vektoren x den vektor, som er givet ved λx = λ(x 1, x 2,..., x n ) = (λx 1, λx 2,..., λx n ). Vektoren 0 = (0, 0,..., 0), hvor alle koordinaterne er 0, er som tidligere anført nulvektoren (i vektorrummet R n ), og vektoren x = ( x 1, x 2,..., x n ) kaldes den til x = (x 1, x 2,..., x n ) modsatte vektor. Bemærk, at x = ( 1)x. For regning med vektorer gælder følgende regler, der kaldes vektorrumsbetingelserne: (1) x, y R n : x + y = y + x. Vi udtrykker dette ved at sige, at vektoraddition er kommutativ.

23 (2) x, y, z R n : (x + y) + z = x + (y + z). Vektoraddition er associativ. (3) x R n : x + 0 = 0 + x = x. Nulvektoren 0 er neutral ved vektoraddition. (4) x R n : x + ( x) = ( x) + x = 0. (5) λ R x, y R n : λ(x + y) = λx + λy. (6) λ, µ R x R n : (λ + µ)x = λx + µx. (7) λ, µ R x R n : λ(µx) = (λµ)x. (8) x R n : 1x = x. Tallet 1 er neutralt ved skalarmultiplikation. Reglerne (5) og (6) kaldes de distributive love, og regel (7) er den associative lov for skalarmultiplikation. Vi definerer differensen x y mellem vektorerne x og y fra vektorrummet R n ved x y = x + ( y) = (x 1 y 1, x 2 y 2,..., x n y n ), og desuden gælder nulreglen for skalarmultiplikation: λx = 0 λ = 0 x = 0. Med disse grundlæggende regneregler er det nu muligt at regne med vektorer, nogenlunde ligesom man regner med reelle tal. Fx har vi, at (5, 4, 3, 9) + 2(1, 1, 2, 4) (3, 8, 5, 7) = og at (5, 4, 3, 9) + (2, 2, 4, 8) (3, 8, 5, 7) = (4, 6, 12, 10), λ 0 x, a, b R n : λx + a = b x = 1 λ( b a ). Lad os nu se på et par eksempler. Eksempel. I vektorrummet R 5 betragter vi de to vektorer a = (1, 2, 1, 3, 0) og b = (7, 9, 5, 0, 4). Vi vil nu bestemme den vektor x = (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) R 5, således at 2x + a = b.

24 Vi finder, at 2x + a = b x = 1 2( b a ) (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = 1 2( 6, 7, 4, 3, 4 ) (x1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = ( 3, 7 2, 2, 3 2, 2). Eksempel. I vektorrummet R 4 betragter vi vektorerne x = x(t) = (1, 2t, 5t, 3) og y = y(s) = (s, 9s, 2, 4), hvor s, t R. Vi ser nu, at z(t, s) = 3x(t) + y(s) = 3(1, 2t, 5t, 3) + (s, 9s, 2, 4) = (3 + s, 6t + 9s, t, 5). Hvis t = s, finder vi, at z(s, s) = (3 + s, 15s, s, 5). Hele den grundlæggende abstrakte vektorrumsteori blev udviklet af den tyske matematiker Hermann Graßmann ( ), der i 1844 udsendte værket Die lineare Ausdehnungslehre. Ein neuer Zweig der Mathematik. SKALARPRODUKTET På vektorrummet R n indfører vi skalarproduktet (eller prikproduktet, på engelsk: The Dot Product) x y af vektorerne x = (x 1, x 2,..., x n ) og y = (y 1, y 2,..., y n ) ved n x y = x 1 y 1 + x 2 y x n y n = x i y i, i=1 som altså er det tal, der opstår, når man ganger koordinaterne i x med koordinaterne i y og lægger alle disse produkter sammen. Bemærk, at skalarproduktet i vektorrummet R n er en umiddelbar generalisering af skalarproduktet i vektorrummene R 1, R 2 og R 3. For skalarproduktet i vektorrummet R n gælder følgende sætning. Sætning.(Regneregler for skalarproduktet) Man har, at (1) x, y R n : x y = y x.

25 (2) x, y, z R n : x (y + z) = x y + x z. (3) λ R x R n : (λx) y = λ(x y) = x (λy). (4) x R n : x x 0 x x = 0 x = 0. BEVIS. Lad os betragte vektorerne x = (x 1, x 2,..., x n ), y = (y 1, y 2,..., y n ) og z = (z 1, z 2,..., z n ) fra vektorrummet R n, og lad λ R være vilkårligt valgt. Man har da, at n n x y = x i y i = y i x i = y x, i=1 i=1 n n n n x (y + z) = x i (y i + z i ) = (x i y i + x 1 z i ) = x i y i + x i z i = x y + x z, i=1 i=1 i=1 i=1 n n (λx) y = (λx i )y i = λ x i y i = λ(x y) i=1 i=1 n n (λx) y = (λx i )y i = x i (λy i ) = x (λy), i=1 i=1 n x x = x 2 i 0, i=1 og x x = 0 ( i = 1, 2,..., n : x 2 i = 0 x = 0 ). Hermed er sætningen bevist, og vi fortsætter så med at se på et par eksempler. Eksempel. Vi ser, at x 0 = 0 for alle vektorer x R n, og lad os i vektorrummet R 4 betragte vektorerne v = (7, 1, 6, 3) og u = (1, 5, 2, 4). Vi har da, at v u = (7, 1, 6, 3) (1, 5, 2, 4) = = 12. Lad os endvidere betragte vektoren a = (2, 1, 3, 5) R 4. Hvis a x = 0, hvor x = (x 1, x 2, x 3, x 4 ), har vi altså, at 2x 1 + x 2 + 3x 3 5x 4 = 0 x 2 = 2x 1 3x 3 + 5x 4,

26 hvilket viser, at A = {x R 4 a x = 0} = {x = (x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 x 2 = 2x 1 3x 3 +5x 4 }. Eksempel. Lad ɛ n = (e 1, e 2,..., e n ) være den kanoniske basis for vektorrummet R n, og lad x = (x 1, x 2,..., x n ) være en vilkårlig vektor i R n. Vi ser da, at x e 1 = x 1, x e 2 = x 2,..., x e n 1 = x n 1 og x e n = x n, så x = (x e 1, x e 2,..., x e i,..., x e n ) = (x e 1 )e 1 + (x e 2 )e (x e i )e i (x e n )e n. LÆNGDER OG AFSTANDE På basis af regel (4) for skalarproduktet indfører vi normen (eller længden) x af en vektor x R n ved x = x x = n x 2 i, og afstanden d(x, y) mellem vektorerne x og y defineres så ved i=1 d(x, y) = x y = n (x i y i ) 2. Fx har vi, at (1, 7, 3 2) = = 63, og afstanden d(x, y) mellem vektorerne x = (2, 5, 6, 3) og y = (7, 5, 3, 1) er normen af vektoren x y = ( 5, 10, 3, 2), hvoraf vi ser, at d(x, y) = = 138. i=1 Vi bemærker, at normen x af en vektor x R n og afstanden d(x, y) mellem to vektorer x og y er indført som en umiddelbar generalisering af begreberne længde og afstand i vektorrummene R 1, R 2 og R 3. På denne måde indfører vi geometriske begreber i vektorrummene R n, hvor n 4. For normer af vektorer gælder følgende regler: Regler for normer. Vi har, at

27 (1) x R n : x 0 x = 0 x = 0. (2) λ R x R n : λx = λ x. (3) x, y, z R n : x+y x + y. Denne regel kaldes trekantsuligheden. For afstanden d(x, y) mellem to vektorer (her x og y) gælder følgende tre regler, som hænger nøje sammen med de tre foregående regler for normer: Regler for afstande. Man har, at (1) x, y R n : d(x, y) = x y 0 d(x, y) = 0 x = y. (2) x, y R n : d(x, y) = x y = y x = d(y, x). (3) x, y, z R n : d(x, z) d(x, y) + d(y, z). Denne regel kaldes også trekantsuligheden. Både for normer og adstande er reglerne (1) og (2) oplagte, mens reglen (3), altså trekantsuligheden, først kan vises, når vi har vist følgende interessante resultat, som er helt fundamentalt for vektorrumsteorien. Cauchy-Schwarz ulighed. Lad x og y være vilkårlige vektorer fra vektorrummet R n, hvor n N. Vi har da, at x y x y. Denne ulighed kaldes Cauchy-Schwarz ulighed. Sådan som den fremgår her, er den første gang vist af den franske matematiker Augustin Louis Cauchy ( ) i I 1888 viste den tyske matematiker Hermann Amandus Schwarz ( ), at for to kontinuerte funktioner f og g, som er defineret på det kompakte interval [a, b] gælder det, at b b b f(x)g(x) dx f(x) 2 dx g(x) 2 dx. a a a Dette resultat er en generalisering af Cauchys ulighed til kontinuerte funktioner, hvor integralet b f(x)g(x) dx a skal opfattes som skalarproduktet mellem de to kontinuert funktioner f og g på intervallet [a, b]. Af og til kaldes uligheden også Bunyakowskys ulighed

28 efter den russiske matematiker Yalovlevich Bunyakowsky ( ), der viste uligheden i BEVIS for Cauchy-Schwarz ulighed. Lad λ R være vilkårligt valgt, og lad x, y R n være to vilkårligt valgte vektorer. Vi ser da, at 0 λx + y 2 = (λx + y) (λx + y) = λ 2 x x + 2λx y + y y = λ 2 x 2 + 2λ(x y) + y 2. Disse udregninger viser, at andengradspolynomiet P, som er givet ved λ R : P (λ) = λ 2 x 2 + 2λ(x y) + y 2, højst har en reel rod, og derfor er diskriminanten Heraf får man så, at D = 4(x y) 2 4 x 2 y 2 0. (x y) 2 x 2 y 2 x y x y x y x y x y. BEVIS for trekantsuligheden. Lad x, y R n være vilkårligt valgt. Vi har da, at 0 x + y 2 = (x + y) (x + y) = x x + 2(x y) + y y = x 2 + 2(x y) + y 2 x x y + y 2 x x y + y 2 = ( x + y ) 2, hvor vi har benyttet Cauchy-Schwarz ulighed. Vi får nu, at x + y x + y, hvilket netop er trekantsuligheden for normer. Da x y = x + ( y), og da y = y, har vi også, at x y x + y, Lad nu x, y, z R n være vilkårligt valgte vektorer. Vi finder da, at d(x, z) = x z = (x y) + (y z)

29 x y + y z = d(x, y) + d(y, z). Hermed er trekantsuligheden bevist. Vi er nu nået så langt, at vi kan definere vinklen mellem to vektorer fra vektorrummet R n. Vinklen mellem to vektorer. Hvis x 0 og y 0 kan Cauchy- Schwarz ulighed omskrives til 1 x y x y 1, og da cos(θ) [ 1, 1] for ethvert θ R, definerer vi vinklen θ mellem vektorerne x og y ved at sætte cos(θ) = x y x y ), så θ = Arccos(. x y x y Hvis x y = 0, siges vektorerne x og y at være vinkelrette eller ortogonale vektorer, og vi skriver x y. Nulvektoren 0 regnes for at være vinkelret på alle vektorer. Vi ser umiddelbart, at følgende sætning er opfyldt Sætning. Lad x, y R n være vilkårlige vektorer, og lad θ være vinklen mellem vektorerne x og y. Man har da, at x y > 0 θ er spids, og x y = 0 θ er ret, x y < 0 θ er stump. Vi bemærker, at vinkelbegrebet i vektorrummet R n, hvor n 4, har mening, fordi Cauchy-Schwarz ulighed er opfyldt. Vinkelbegrebet i vektorrummet R n, hvor n 4, er derfor baseret på skalarproduktet, og vi ser, at det velkendte og anskuelige vinkelbegreb i vektorrummene R 1, R 2 og R 3 er specialtilfælde af det generaliserede vinkelbegreb, vi netop har indført i vektorrummet R n, hvor n N. Vi vil herefter se på nogle eksempler. Eksempel. Hvis x = (2, 1, 5, 3) og y = (7, 3, 2, 4), er x y = = 19,

30 og endvidere er x = = 39 og y = = 78. Vi får da, at vinklen θ mellem vektorerne x og y er θ = Arccos ( x y ) ( 19 ) = Arccos = 69, 85 o. x y Eksempel. Lad t R, og lad os betragte vektorerne fra vektorrummet R 5. Vi ser, at så x = x(t) = (2, t, t, 3, t) og y = y(t) = (t, t, 5, t, 2) x y = 2t + t 2 5t 3t + 2t = t 2 4t, x y = 0 t 2 4t = 0 t = 0 t = 4. Vektorerne x og y er således ortogonale (vinkelrette), netop når t = 0, eller når t = 4. Vi ser også, at x y > 0 t > 4 t < 0, og da er vinklen θ mellem vektorerne x og y er spids, og endvidere ser vi, at og i dette tilfælde er vinklen θ stump. Vi sætter t = 1. Da er x y < 0 0 < t < 4, x = x(1) = (2, 1, 1, 3, 1) og y = y(1) = (1, 1, 5, 1, 2) Vi ser, at x(1) y(1) = 3, og at x(1) = = 16 = 4 og y(1) = = 32 = 4 2. Vinklen θ mellem vektorerne x(1) og y(1) er da givet ved θ = Arccos ( x(1) y(1) ) ( 3 = Arccos x(1) y(1) 16 ) = 97, 62 o. 2

31 Eksempel. En vektor u R n kaldes en enhedsvektor, dersom u = 1. Vi ser, at alle vektorerne e 1, e 2,..., e n 1 og e n i den kanoniske basis ɛ n for vektorrummet R n åbenbart er parvis ortogonale, idet vi jo har, at e i e j = δ i,j = { 0, for i j 1, for i = j, siger man, at sættet ɛ n = (e 1, e 2,..., e n ) er et ortonormalsæt. Symbolet δ i,j kaldes Kroneckers delta. Eksempel. Lad x R være en vilkårligt valgt egentlig vektor, så x 0. Da er vektoren u = 1 x x en enhedsvektor. Vi siger, at u er fremkommet ved normering af x. Lad x, y R n være to egentlige vektorer, og lad θ være vinklen mellem x og y. Hvis u = 1 x x og v = 1 y y, ser vi, at u v = ( 1 x x) ( 1 y y) = x y x y = cos(θ). Dette viser, at vinklen mellem enhedsvektorerne u og v også er θ. Eksempel. Lad os se på vektorsættet ϕ = (f 1, f 2,..., f n ) fra R n, hvor n 2, og hvor vektoren f i = (1, 1,..., 1, 0, 1,..., 1, 1) har alle sine koordinater lig med 1 bortset fra den i te, der er lig med 0. Vi ser, at f i = n 1 for ethvert i = 1, 2,..., n. For i j får vi, at f i f j = n 2, og hvis θ i,j er vinklen mellem vektorerne f i og f j, finder vi, at θ i,j = Arccos ( n 2 ) ( n 2) = Arccos. n 1 n 1 n 1 For n = 100 har vi således, at θ i,j = Arccos ( 98) = 8, 15 o. 99

32 Vi bemærker, at n 2 n 1 1 for n, så θ i,j 0 o for n. Indre produkter Vi bemærker, at vektorers længder, afstande mellem vektorer og vinkler mellem vektorer er fastlagt udelukkende på grundlag af skalarproduktet og dets specifikke egenskaber, og denne iagttagelse er uhyre vigtig. På basis af de fire regler, der gælder for skalarproduktet, vil vi nemlig indføre indføre et mere generelt begreb, som vi skriver [x y], og som kaldes det indre produkt mellem vektorerne x og y fra vektorrummet R n. Dette gøres således: Definition. Ved det indre produkt [x y] mellem vektorerne x og y fra vektorrummet R n forstås en afbildning, der til vektorparret (x, y) knytter tallet [x y], så følgende regler er opfyldt: (1) x, y R n : [x y] = [y x]. (2) x, y, z R n : [x y + z] = [x y] + [x z]. (3) λ R x R n : [λx y] = λ[x y] = [x λy]. (4) x R n : [x x] 0 [x x] = 0 x = 0. ved Svarende til dette indre produkt indfører vi normen [[x]] af vektoren x [[x]] = [x x], og afstanden δ(x, y) mellem vektorerne x og y defineres som δ(x, y) = [[x y]]. Da vi ovenfor viste Cauchy-Schwarz ulighed, benyttede vi udelukkende skalarproduktets fire egenskaber, og da et indre produkt har netop de samme fire egenskaber som skalarproduktet, gælder Cauchy-Schwarz ulighed naturligvis også for et vilkårligt indre produkt. Vi har altså, at x, y R n : [[x]][[y]] [x y] [[x]][[y]],

33 og hvis x 0, og y 0, har vi tillige, at 1 [x y] [[x]][[y]] 1. Vi definerer derfor vinklen Θ mellem vektorerne x og y ved cos(θ) = [x y] [x y] ), så Θ = Arccos(. [[x]][[y]] [[x]][[y]] Hvis [x y] = 0, siges vektorerne x og y at være ortogonale (med hensyn til det valgte indre produkt), og vi skriver x y. Nulvektoren 0 er ortogonal på alle vektorer i vektorrummet R n. Hvis u R n har normen [[u]] = 1, siges u at være en enhedsvektor (med hensyn til det givne indre produkt). Vi vil herefter se på nogle eksempler. Eksempel. Lad os se på det indre produkt n [x y] = ix i y i = x 1 y 1 + 2x 2 y nx n y n i=1 i vektorrummet R n. Vi bemærker, at det enkelte led i den sum, der definerer dette indre produkt er vægtet med koordinatnummeret i. Hvis vi specielt sætter n = 4 og atter betragter vektorerne x = (2, 1, 5, 3) og y = (7, 3, 2, 4), får vi, at [x y] = ( 10) = = 38, og [[x]] = = = 108 [[y]] = = = 143, så i dette tilfælde får man, at Θ = Arccos ( [x y] ) ( 38 ) = Arccos = 76, 98 o. [[x]][[y]] Hvis ikke andet er anført benytter man i praksis altid skalarproduktet.

34 Eksempel. Vi vil dog endnu en gang se på et andet indre produkt. Vi indfører i vektorrummet R 4 det indre produkt [x y] 0, som er defineret ved [x y] 0 = 1 2 x 1y 1 + 2x 2 y x 3y x 4y 4. Vi ser nu atter på vektorerne x = (2, 1, 5, 3) og y = (7, 3, 2, 4), og vi får da, at [x y] 0 = = = 0, 4 så med hensyn til det indre produkt [x y] 0 er vektorerne x og y åbenbart ortogonale. Eksempel. I planen (altså i vektorrummet R 2 ) betragter vi punkterne 0, e 1 = (1, 0) og e 2 = (0, 1). Disse tre punkter danner åbenbart en retvinklet, ligebenet trekant, når vi benytter den sædvanlige euclidiske plangeometri, og det gør vi helt automatisk, hvis vi benytter skalarproduktet, altså prikproduktet. Men lad os nu i vektorrummet R 2 indføre det indre produkt [x y], som er givet ved [x y] = 7x 1 y 1 + 2x 2 y 2, og vi ser straks, at [e 1 e 2 ] = 0, så vektorerne e 1 og e 2 er ortogonale, også med hensyn til dette indre produkt. Det betyder, at trekantsvinklen ved punktet 0 er Θ 0 = 90 o. Trekantsvinklen Θ 1 ved vinkelspidsen e 1, er vinklen mellem vektorerne e 1 = ( 1, 0) og e 2 e 1 = ( 1, 1). Vi finder, at [ e 1 e 2 e 1 ] = 7, at [[ e 1 ]] = 7, og at [[e 2 e 1 ]] = 3. Heraf finder vi så, at Θ 1 = Arccos ( [ e 1 e 2 e 1 ] ) ( 7 = Arccos [[ e 1 ]][[e 2 e 1 ]] 3 ) = 54, 74 o. 7 Endvidere får vi, at trekantsvinklen Θ 2 ved vinkelspidsen e 2, er vinklen mellem vektorerne e 2 = (0, 1) og e 1 e 2 = (1, 1). Vi finder i dette tilfælde, at [ e 2 e 1 e 2 ] = 2, at [[ e 2 ]] = 2, og at [[e 1 e 2 ]] = 3. Heraf finder vi så, at Θ 2 = Arccos ( [ e 2 e 1 e 2 ] ) ( 2 = Arccos [[ e 2 ]][[e 1 e 2 ]] 3 ) = 61, 87 o. 2 Med hensyn til det indre produkt [x y] er trekanten altså retvinklet, men vinkelsummen er ikke 180 o, som den er i det euclidiske tilfælde. Den er derimod Θ 0 + Θ 1 + Θ 2 = 90 o + 54, 74 o + 61, 87 o = 202, 61 o.

35 Linjer Fra plangeometrien (og rumgeometrien) ved vi, at man kan karakterisere en linje på følgende to (i princippet forskellige) måder: 1. En linje er en geometrisk størrelse, som går gennem et givet punkt P 0, og som har en bestemt retning, der er fastlagt ved en vektor r 0. Denne vektor kaldes en retningsvektor for linjen. 2. En linje er en geometrisk størrelse, som går gennem to forskellige givne punkter A og B, og som har retningen fra A til B. Vi vil nu benytte disse (ikke særligt præcise, men dog anskuelige) karakteriseringer til at definere, hvad man vil forstå ved linjer i et vilkårligt vektorrum R n, hvor n 2. Definition. Lad der i vektorrummet R n, hvor n 2, være givet et punkt P 0 = p = (p 1, p 2,..., p n ) og en egentlig vektor r = (r 1, r 2,..., r n ). Ved linjen L, der går gennem punktet P 0, og som har retningsvektoren r forstås punktmængden L = {P = x = (x 1, x 2,..., x n ) R n x = p + tr, hvor t R}. Vi har her tilladt os at identificere punkterne P 0 og P med deres tilhørende stedvektorer p og x. Når man opskriver en linje L på den ovenfor anførte måde, siger man, at linjen er givet ved en parameterfremstilling, og den variable t R kaldes en parameter. Vi vil herefter gennemgå nogle eksempler og se på den anden karakterisering af en ret linje. Eksempel. Lad P 0 = (5, 8, 4, 3, 9) være et fast punkt, og lad vektoren r = (3, 2, 7, 5, 2) være en given vektor i vektorrummet R 5. Den linje, L, der går gennem punktet P 0, og som har retningsvektoren r, har parameterfremstillingen x = (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = p + tr = (5, 8, 4, 3, 9) + t(3, 2, 7, 5, 2) = (5 + 3t, 8 + 2t, 4 + 7t, 3 + 5t, 9 2t), hvor t R. Vi bemærker, at punktet Q = (11, 12, 10, 13, 5) ligger på linjen L: (Sæt t = 2). Det er endvidere klart, at punktet Q 1 = (111, 12, 10, 13, 5) ikke ligger på linjen L.

36 Eksempel. I vektorrummet R n, hvor n 2, betragter vi nulpunktet O, og de n parvis ortogonale koordinatakser K 1, K 2,..., K n 1 og K n, som netop er de rette linjer, der går gennem punktet O, og som har retningsvektorerne henholdsvis e 1, e 2,..., e n 1 og e n. (Disse vektorer er vektorerne i den kanoniske basis ɛ n for vektorrummet R n.) Den i te koordinatakse K i har derfor parameterfremstillingen hvor t R. x = (x 1, x 2,..., x n ) = te i = (0, 0,..., 0, t, 0,..., 0, 0), Vi vil nu benytte den anden karakterisering af en ret linje. Lad A = (a 1, a 2,..., a n ) og B = (b 1, b 2,..., b n ) være to forskellige punkter i vektorrummet R n. Det er da klart, at den linje, L, der går gennem punkterne A og B, har vektoren r, som går fra A til B, som en retningsvektor. Altså er r = (b 1 a 1, b 2 a 2,..., b n a n ), og linjen L har derfor parameterfremstillingerne x = (a 1, a 2,..., a n ) + t(b 1 a 1, b 2 a 2,..., b n a n ) og hvor t R. x = (b 1, b 2,..., b n ) + t(b 1 a 1, b 2 a 2,..., b n a n ), Vi bemærker, at disse to parameterfremstillinger er forskellige - men lige gode! Desuden bemærker vi, at vektoren s = r = (a 1 b 1, a 2 b 2,..., a n b n ) også er en retningsvektor for linjen L. For øvrigt er enhver vektor v = kr, hvor k 0, en retningsvektor for denne rette linje. Eksempel. Lad os i vektorrummet R 4 betragte punkterne A = (4, 1, 3, 7) og B = (5, 6, 9, 2). Den linje L, der går gennem punkterne A og B har retningsvektoren r = (5, 6, 9, 2) (4, 1, 3, 7) = (1, 7, 6, 5). Linjen L har derfor parameterfremstillingerne x = (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (4, 1, 3, 7) + t(1, 7, 6, 5) = (4 + t, 1 7t, 3 + 6t, 7 5t)

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

VEKTORGEOMETRI del 1 Vektorregning Parameterfremstillinger Produkter af vektorer

VEKTORGEOMETRI del 1 Vektorregning Parameterfremstillinger Produkter af vektorer VEKTORGEOMETRI del 1 Vektorregning Parameterfremstillinger Produkter af vektorer x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indhold REPETITION OG KOORDINATER... REGNING MED VEKTORER... 8 STEDVEKTOR... 1 VEKTOR

Læs mere

INTRODUKTION TIL VEKTORER

INTRODUKTION TIL VEKTORER INTRODUKTION TIL VEKTORER x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse HVORFOR INDFØRES VEKTORER?... 3 VEKTORER... 5 Vektoraddition... 7 Kræfternes parallelogram... 9 Multiplikation af vektor

Læs mere

M A T E M A T I K A 3

M A T E M A T I K A 3 M A T E M A T I K A 3 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik A3. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen 1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Todimensionale Vektorer

Todimensionale Vektorer Todimensionale Vektorer Frank Villa 6. december 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august 2007 1 Inversion Inversion er en bestemt type transformation af planen, og ved at benytte transformation på en geometrisk problemstilling

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Vektorregning for 11. årgang.

Vektorregning for 11. årgang. Vektorregning for 11. årgang. 1. Vektorer side 1-2 2. Linjer side 2 -. Planer side - 7. Skæring mellem linje og plan side 8-9 A1: Om at tegne rumlige figuer side 0-1 A2: Løsning af ligningssystemer side

Læs mere

Frederiksberg HF-kursus Vektorer i planen, Mat B, SSO Kenneth Leerbeck, 2. J. Vektorer. planen

Frederiksberg HF-kursus Vektorer i planen, Mat B, SSO Kenneth Leerbeck, 2. J. Vektorer. planen Vektorer i planen English abstract This report is about the mathematical concept vectors. It explains what a vector is, and how vectors are indicated with coordinates and arrows. It explains calculating

Læs mere

6.1 Reelle Indre Produkter

6.1 Reelle Indre Produkter SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II

Læs mere

Differentialkvotient af cosinus og sinus

Differentialkvotient af cosinus og sinus Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Geometriske vektorer. enote En geometrisk vektor

Geometriske vektorer. enote En geometrisk vektor enote 6 1 enote 6 Geometriske vektorer Formålet med denne note er at give en introduktion til geometriske vektorer i planen og rummet, som sigter mod at introducere en række af de metoder, der gør sig

Læs mere

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor enote 7 1 enote 7 Vektorrum I denne enote opstilles en generel teori for mængder, for hvilke der er defineret addition og multiplikation med skalar, og som opfylder de samme regneregler som geometriske

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2013 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2010 HTX Vibenhus

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 2stx101-MAT/A-01062010 Tirsdag den 1. juni 2010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

Vektorer og rumgeometri med. TI-Interactive!

Vektorer og rumgeometri med. TI-Interactive! Vektorer og rumgeometri med TI-Interactive! Indtastning af vektorer Regning med vektorer Skalarprodukt og vektorprodukt Punkter og vektorer Rumgeometri med ligninger Jan Leffers (2007) Indholdsfortegnelse

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

Definition. og lœngden, normen. og afstanden mellem vektorer a og b. Der gælder

Definition. og lœngden, normen. og afstanden mellem vektorer a og b. Der gælder Oversigt [LA] 11, 1, 13 Prikprodukt Nøgleord og begreber Ortogonalitet Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Pythagoras formel Kortest afstand August 00, opgave 6 Cauchy-Schwarz ulighed

Læs mere

Oversigt [LA] 11, 12, 13

Oversigt [LA] 11, 12, 13 Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalitet Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Pythagoras formel Kortest afstand August 2002, opgave 6 Cauchy-Schwarz ulighed Calculus

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012 Dette

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin maj-juni 2013 Institution ZBC Ringsted Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B Jacob Debel 12HTX11 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. KERNESTOF i GYMNASIEMATEMATIK op til A- niveau

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. KERNESTOF i GYMNASIEMATEMATIK op til A- niveau MOGENS ODDERSHEDE LARSEN KERNESTOF i GYMNASIEMATEMATIK op til A- niveau 3. udgave 4 FORORD Denne bog er beregnet for studerende, som har behov for at repetere eller opgradere deres matematiske viden til

Læs mere

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne:

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne: Vektorer i 3D. Grundegreer. Koordinater z k P OP i 0 j x y Enhedsvektorerne De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: i, j og k Vektor OP Hvis punkt p har koordinaterne: P ( a a a3 ) Så har vektor OP koordinaterne:

Læs mere

Analytisk plangeometri 1

Analytisk plangeometri 1 1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt

Læs mere

Vektorregning. Vektorer som lister

Vektorregning. Vektorer som lister 10 Vektorregning Vektorer som lister En vektor laves nemmest som en liste på TI-89 Titanium / Voyage 200. I nedenstående skærmbillede ser du, hvordan man definerer vektorer og laver en simpel udregning

Læs mere

3D-grafik Karsten Juul

3D-grafik Karsten Juul 3D-grafik 2005 Karsten Juul Når der i disse noter står at du skal få tegnet en figur, så er det meningen at du skal få tegnet den ved at taste tildelinger i Mathcad-dokumentet RumFig2 Det er selvfølgelig

Læs mere

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande VEKTORGEOMETRI del Skæringer Projektioner Vinkler Afstande x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indhold OVERSIGT... 3 SKÆRINGSPUNKTER OG RØRINGSPUNKTER... 4 Skæring med koordinatakser- og planer...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 27. maj 2014 kl Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 2stx141-MATn/A

Matematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 27. maj 2014 kl Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 2stx141-MATn/A Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 2stx141-MATn/A-27052014 Tirsdag den 27. maj 2014 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg GSK Matematik

Læs mere

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm.

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm. Homografier Möbius transformationer Følgende tema, handler om homografier, inspireret af professor Børge Jessens noter, udgivet på Københavns Universitet 965-66. Noterne er herefter blevet bearbejdet og

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 Københavns

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2013

Løsningsforslag MatB Juni 2013 Løsningsforslag MatB Juni 2013 Opgave 1 (5 %) Et andengradspolynomium er givet ved: f (x) = x 2 4x + 3 a) Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen givet ved grafen for f Løsning: a) f (x) = x

Læs mere

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum:

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum: Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de ne emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gmnasiepensum: Ordinær kursusgang : Introduktion til vektorer og matricer. Regning

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Ugesedler til sommerkursus

Ugesedler til sommerkursus Aalborg Universitet - Adgangskursus Ugesedler til sommerkursus Matematik B til A Jens Friis 12 Adgangskursus Strandvejen 12 14 9000 Aalborg tlf. 99 40 97 70 ak.aau.dk sommer Matematik A 1. Lektion : Mandag

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse Løsningsforslag til Geometri 4.-0. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser, dem

Læs mere

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder.

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2. Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2.1 I Figur 1.1 i kapitel 1 er der vist et ideelt Kartesiske eller Euklidiske koordinatsystem, med koordinater ( X, Y, Z) = ( X 1, X 2, X

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 2

Matematik F2 Opgavesæt 2 Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Københavns

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

Løsningsforslag Mat B August 2012

Løsningsforslag Mat B August 2012 Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave

Læs mere

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger enote 8 enote 8 Lineære Afbildninger Denne enote undersøger afbildninger mellem vektorrum af en bestemt type, nemlig lineære afbildninger Det vises, at kernen og billedrummet for lineære afbildninger er

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning  Gratis anvendelse - læs betingelser! Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0). EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne

Læs mere

Pythagoras og andre sætninger

Pythagoras og andre sætninger Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,

Læs mere

Svar på opgave 322 (September 2015)

Svar på opgave 322 (September 2015) Svar på opgave 3 (September 05) Opgave: En sekskant har sidelængder 7 7. Bestem radius i den omskrevne cirkel hvis sekskanten er indskrivelig. Besvarelse: ny version 6/0-05. metode. Antag at sekskanten

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338) Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

Bevægelsens Geometri

Bevægelsens Geometri Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.

Læs mere

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport x Parameterkurver Et eksempel på en rapport Parameterkurver 0x MA side af 7 Hypocykloiden A B Idet vi anvender startværdierne for A og B som angivet, er en generel parameterfremstilling for hypocykloiden

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

User s guide til cosinus og sinusrelationen

User s guide til cosinus og sinusrelationen User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

1.1.1 Første trin. Læg mærke til at linjestykket CP ikke er en cirkelbue; det skyldes at det ligger på en diameter, idet = 210

1.1.1 Første trin. Læg mærke til at linjestykket CP ikke er en cirkelbue; det skyldes at det ligger på en diameter, idet = 210 1.1 Konstruktionen Denne side går lidt tættere på den hyperbolske geometri. Vi bruger programmet HypGeo, og forklarer nogle geometriske konstruktioner, som i virkeligheden er de samme, som man kan udføre

Læs mere

Funktioner af to variable

Funktioner af to variable enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net

MATEMATIK A-NIVEAU-Net STUDENTEREKSAMEN MAJ AUGUST 2007 2011 MATEMATIK A-NIVEAU-Net torsdag 11. august 2011 Kl. 09.00 14.00 frs112-matn/a-11082011 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret formelsamling

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

************************************************************************

************************************************************************ Projektet er todelt: Første del har fokus på Euklids system og består af introduktionen, samt I og II. Anden del har fokus på Hilberts system fra omkring år 1900 og består af III sammen med bilagene. Man

Læs mere