Interferens og optisk gitter
|
|
- Klaus Bertelsen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Interferens optisk gitter eller vidste du, at coscos cos Børge Nielsen, Egedal Gymnasium HF, x x 1 x 305 cos x1? 05, Vi ønsker af en endnu ubegribelig grund at beregne summen A x cos0 cos coscos n1 Ay 0 n1 hvor φ er faseforskydningen fra et led til det næste i summerne. Dette vil vi gøre geometrisk, se figur 1. radius r = OC, se figur 1. Ved at dele trekant OCU i to retvinklede trekanter finder vi 1 1 r Vi deler nu tilsvarende trekanten OCT i to retvinklede trekanter. Vinklen OCT er n φ, derfor bliver 1 n A r hvor A er længden af vektoren A. Vi deler de to ligninger med hinanden, får n A 1 hvoraf n A Men hvordan finder vi så koordinaterne for vektoren A ikke bare længden af denne? Hertil skal vi finde vinklen mellem vektoren A x aksen, se figur 1. Figur 1 Geometrisk addition af us cousled. Vi vil beregne summerne ved hjælp af vektorer, således er Linjen OC danner vinklen φ/ med y aksen, vinklen COM har størrelsen 90 n φ/. Herved bliver vinklen mellem vektoren A x aksen 90 90n 1 n cos 0 a 1, 0 cos a, cos a 3,... cos n 1 a n n 1 Hver af disse vektorer har amplituden (længden) a = 1. Vi vil beregne vektorsummen A a a a a 1 3 n Det er herefter klart, at A x A y er hhv. x koordinaten y koordinaten for A. Vi begynder med at beregne radius i cirklen med centrum C Derfor bliver koordinaterne for vektoren A : Ax Acosn 1 Ay A n 1 Derved har vi vist formlerne cos 0 cos cos cos n 1 n cos n 1 (1) 6 LMFK-bladet /019
2 0 n 1 n n 1 Men kunne vi så finde summerne, hvis hvert cous /usled var yderligere faseforskudt med en fase, der er ens for alle leddene? Det kunne fx være fasen ω t, hvor ω er vinkelfrekvensen t er tiden, altså summerne A x cos tcostcos t cos t n1 A y t t t t n1 Også disse summer kan vi nemt klare, idet vi roterer figur 1 en vinkel ω t i positiv omløbsretning omkring begyndelsespunktet O. Vinklen med x aksen forøges herved med ω t, formlerne for R S ændres til costcostcost costn1 n cos t n 1 t t t t n1 n t n 1 Det er således klart, at amplituden for den resulterende svingning er n uanset om vi adderer de n cousled eller usled. Med andre betegnelser for de variable kan formlerne skrives () (3) (4) cosxcosx ycosxycos xn1y n y y cos x n 1 y x x yxy xn1y n y y x n 1 y Det bemærkes, at disse formler (naturligvis) så kan eftervises vha. den komplekse eksponentialfunktion e ix. Læseren opfordres til selv at lave denne lille øvelse, hvis du ikke allerede har gjort det! 3 eksempler, cosxcosx 1 cosx 305 cos x1 05,, 05, x x 1 x 305 x1 cos 0 cos x cos x cos 3x 4 x x cos x 3 Formlerne kan så bruges til at beregne interferensen mellem mange bølger med samme amplitude med konstant faseforskel, fx bølgerne bag et optisk gitter. Intensiteten af fx lysbølger, der interfererer, vil være proportional med kvadratet på den resulterende bølges amplitude, altså I I 0 n Her er I 0 intensiteten, hvis der kun er et led i formlen. Hvis vi indfører betegnelsen n x (5) (6) (7) 8 LMFK-bladet /019
3 vil x være et mål for, hvor langt vi er kommet rundt på cirklen på figur 1, således at hvis x = 1, vil de n vektorer netop danne en hel cirkel, idet jo x formlen ovenfor giver n φ = π, den resulterende amplitude vil være 0. Hvis x =, vil vi være nået gange rundt på cirklen, den resulterende amplitude vil igen være 0 osv. Formlen for intensiteten med x som variabel bliver Ix I 0 x x n På figur har vi valgt n = 500, så summen indeholder 500 cous eller usled med en faseforskydning mellem hvert led på x 500 Vi ser, at intensiteten (den lilla graf) falder hurtigt af ved voksende faseforskydning bliver 0 når x rammer et helt tal (destruktiv interferens). Maksima ud over det centrale nås omtrent midt mellem de hele tal. Her når summen af de 500 pile toppen af cirklen på figur 1. Den røde graf viser intensiteten ganget med en faktor 10. Det første maksimum efter den centrale top kan ses at være ca. 4,7 % af maksimalintensiteten, det næste maksimum omtrent 1,6 % af maksimalintensitet osv. Intensiteten af den centrale top kan nemt findes af formel (7) for små faseforskydninger φ: I I 0 n n I 0 I0 n Figur Intensiteten (kvadratet på amplituden) for summen af 500 cousled som funktion af faseforskellen. Dette er selvfølgelig ikke overraskende, da alle de n led i amplitudesummen er tæt på 1 så summen giver n. Intensiteten af den centrale top forstærkes derfor kraftigt med antallet af led i summen. Anvendelse: Det optiske gitter Her er forskellige anvendelser: Den enkelte spektrallinjes centraltop med sidelinjer som vist på figur Det optiske gitters forskellige ordener Spektral opløsningsevne for optisk gitter Den enkelte spektrallinje: Centraltop sidelinjer Vi ser på et optisk gitter, hvor laserstrålen rammer vinkelret ind på gitteret. Vi antager, at laserstrålen har bredden D (fx 0,5 mm), at den belyser n gitterstreger i gitteret. Vi ser på interferensen af alle n ringbølger i laserstrålens bredde i retningen givet ved vinklen θ, målt i forhold til normalen til gitteret, se figur 3. Bølgerne fra alle streger i gitteret vil interferere i lang afstand fra gitteret i pilenes retning. Vi har sammenhængen nd s For at omsætte afstanden s til en faseforskel mellem 1. bølge n. bølge, skal vi dele s med bølgelængden λ gange med π: LMFK-bladet /019 9
4 æ æ s n d n Faseforskellen mellem to nabostreger er d I 0. orden (se senere) finder vi, at når s = λ er n φ = π, vi er nået 1 gang rundt på cirklen på figur 1. Faserne for de n bølger varierer fra 0 for den første til 360 for den sidste. Bølgerne interfererer derfor destruktivt, vi når intensitetsnulpunktet med x = 1 på figur. Vinklen θ er bestemt af ligningen (8) eller n d n d D 1. intensitetsnulpunkt (9) Det andet intensitetsnulpunkt nås, når s = λ n φ = 4π. Ligningen for vinklen θ bliver så n d D. intensitetsnulpunkt (10) Figur 3 Interferens mellem n cirkelbølger i retning θ i forhold til normalen til gitteret. 30 LMFK-bladet /019
5 Eksempel Antag, at der er tale om en laserstråle med bredden 0,5 mm på det sted, hvor den rammer det optiske gitter, at det optiske gitter har 300 streger pr. mm. Der vil derfor være 150 belyste streger. Gitterkonstanten er 1/300 mm eller 3333 nm. Laserens bølgelængde antages at være 53 nm. Heraf finder vi: 53 nm 0, D nm som giver Gitterets forskellige ordener I formel (7) for intensiteten kan vi erstatte faseforskellen φ mellem de enkelte oscillatorer med φ + m π, hvor m er det såkaldte ordenstal (m = 0, 1,,...), uden at ændre på intensitetens værdi. Vi vil derfor få stærke toppe hver gang φ passerer m π, med svage sidelinjer præcis som på figur. Alle oscillatorerne er her i fase, idet den næste oscillator i rækken er m hele svingninger foran/bagefter den forrige. θ = 0, intensitetsnulpunkt For at finde de tilhørende vinkler, bruger vi formel (8) tilsvarende θ = 0,1. intensitetsnulpunkt Det skal bemærkes, at disse beregninger kun gælder i 0. orden. Hvis skærmen er 1 m fra det optiske gitter, vil afstanden til centralpletten være hhv. 1 mm mm. Afstanden mellem de to intensitetsnulpunkter nærmest centraltoppen vil være mm de næstnærmeste vil have afstanden 4 mm. Vælges et optisk gitter med større gitterkonstant, vil det ikke have nen indflydelse på disse vinkler, da n d = D der er bredden af laserstrålen. Vi vil altså se en centraltop i 0. orden med intensitetsnulpunkter toppe som på figur, hvor x er målt i mm. Hvis vi omvendt måler disse afstande, kan laserstrålens effektive bredde (i hvert fald i teorien) bestemmes. n d n hvoraf d faseforskel fra streg til streg Vi erstatter φ med m π ( ser således alene på retninger med konstruktiv interferens mellem alle ringbølgerne) d m deler med π på begge sider m d Figur 4 Intensiteten I(φ), hvor φ er faseforskellen mellem to nabostreger i gitteret. LMFK-bladet /019 31
6 ENDNU FLERE MULIGHEDER MED TRÅDLØSE SENSORER FRA PASCO Familien af trådløse sensorer fra PASCO når i starten af 019 op over 0 forskellige. Alle kan tilgås fra Mac, Windows, tablets, Chromebooks eller smartphones alle har mulighed for stand-alone lning. FIND DEM ALLE PÅ HER ER ET PAR EKSEMPLER: PS-30 Trådløs kraft- accelerationssensor med indbygget gyroskop Fantastisk velegnet til undersøgelse af centripetalkraft i cirkelbevægelse. PS-311 Trådløs spændingssensor PS-31 Trådløs strømsensor Ægte galvanisk adskillelse fra computeren. Glem alle problemer med brum støj fra computer-stel. Trådløs kraft- acc.-sensor 1.100,- Førpris 1.95,- Trådløs spændingscensor 555,- Førpris 650,- Trådløs strømsensor 775,- Førpris 895,- Frederiksen Scientific A/S. Viaduktvej 35. DK-6870 Ølgod. Tel info@frederiksen.eu. Heraf finder vi endelig: m d Gitterligningen (11) Dette er den velkendte gitterligning, der knytter bestemte retninger/vinkler til konstruktiv interferens mellem alle ringbølger fra de belyste streger i gitteret. Således vil afstanden til to nabostreger i gitteret være m λ når den bedømmes fra et punkt langt fra gitteret i retningen bestemt af vinklen θ, jf. figur 3. I figur 4 er intensiteten (7) afbildet som funktion af faseforskellen φ mellem de enkelte streger i gitteret. Her er valgt n = 10, så der altså kun er 10 belyste streger i gitteret. Det fremgår, at vi har konstruktiv interferens mellem alle bølger hver gang φ passerer et helt antal ganget med π. For at besvare dette spørgsmål ser vi igen på figur. Hvis en spektrallinje af en given orden har sit maksimum i den centrale top, en anden spektrallinje med en bølgelængde tæt på den første (i samme orden) har centrale top placeret i det første intensitetsnulpunkt for den første, har vi defineret, hvad vi forstår ved usikkerheden på bølgelængden dermed hvor tæt de to spektrallinjer kan være på hinanden uden at de flyder sammen. Vi vil bruge teorien til at præcisere denne definition så kaldet Rayleigh kriteriet. Vi ser på figur, vi forestiller os, at en spektrallinje med bølgelængden λ har konstruktiv interferens i retningen givet ved vinklen θ i m. orden, sådan at gitterligningen er opfyldt: d m Vi ganger nu med det hele tal n på begge sider (antallet af belyste linjer i gitteret): konstruktiv interferens i retning θ, bølgelængde λ Hvilke bølgelængder kan vi se forskel på? Rayleigh kriterium Bredden af det centrale intensitetsmaksimum vist på figur gør, at to spektrallinjer kan ligge så tæt på hinanden, at vi ikke kan skelne dem fra hinanden. Men hvor tæt er det? nd nm Venstresiden genkendes som afstanden s på figur. Hvis vi forøger afstanden s med en bølgelængde ( derved ændrer vinklen θ til θ + θ), vil bølgerne fra alle belyste streger i gitteret give destruktiv interferens i den nye retning, som forklaret i forbindelse med figur. Vi får så: destruktiv interferens i retning θ + θ, bølgelængde λ nd nm (1) 3 LMFK-bladet /019
7 n D = d Kombinerer vi de sidste to ligninger, får vi d m D Opløsning i bølgelængden i m. orden (14) Ofte udtrykkes et gitters opløsningsevne ved bstavet R (resolution): R n m Opløsningsevne, Rayleighs kriterium (15) I 1. orden er gitterets opløsningsevne derfor lig med antallet af belyste streger i gitteret. Er der derfor fx 1000 belyste streger i gitteret, er opløsningen R = 1000 i 1. orden, / 1/ 1000 eller 0,1%. Lyset i spektralanalysen skal derfor (fx vha. linser) spredes over så mange linjer i gitteret som muligt ( samles igen bagefter vha. linser) for at opnå den bedste spektrale opløsning. Figur 5 Rayleighkriteriet maksimum møder minimum Vi forestiller os nu, at en anden spektrallinje med bølgelængden λ + λ ligeledes i m. orden har konstruktiv interferens i samme retning θ + θ. Denne vil opfylde konstruktiv interferens i retning θ+ θ, bølgelængde λ+ λ nd nm( ) (13) Højresiderne i de to ligninger (1) (13) må være ens, da jo venstresiderne er det. Derfor er nm nm Isoleres λ i ovenstående ligning, finder vi n m Den relative opløsning i bølgelængde bliver derfor Eksempel bredden af spektrallinje Vi antager, at laserstrålens bredde er D = 0,5 mm, at vi ser på 1. orden. Desuden antager vi, at bølgelængden er λ = 53 nm. Herved bliver 3333 nm 067, % nm altså 53 nm 0, , 5nm Hvis altså en anden spektrallinje ligger tættere end 3,5 nm på linjen med λ = 53 nm, vil det ikke være muligt at skelne de to linjer fra hinanden med denne bredde af det belyste område på gitteret. Det er jo ikke særlig relevant for en laser med kun en bølgelængde men fortæller alligevel om bredden af den pågældende linje. Eksempel Opløsning af de to gule D linjer i natriumspektret I natriumspektret er der to tætliggende spektrallinjer med bølgelængderne 588,9950 nm 589,594 nm, svarende til de to overgange 3p 3/ 3s 1/ 3p 1/ 3s 1/. Forskellen skyldes elektronens spin (op eller ned), den såkaldte spin banekobling. Vi beregner den nødvendige spektralopløsning i 1. orden: 1 n m Rayleighs kriterium Hvis vi udtrykker antallet af belyste streger ved laserstrålens bredde D, er D = n d, hvoraf 589, 937 nm R 986 n1 0, 5974 nm Her er 589,937 nm middelbølgelængden for de to spektrallinjer. Altså skal der være ca belyste streger i gitteret, svarende til en opløsning på 0,1 % i bølgelængde, hvis de to spektrallinjer skal kunne separeres. LMFK-bladet /019 33
8 Men hvad med opløsningsevnen udtrykt ved vinklen θ? Vi tager udgangspunkt i ligningerne (1) (13) trækker dem fra hinanden: nd nm( ) nm Vi går nu ud fra, at θ er en lille vinkel, så vi kan rækkeudvikle us til 1. orden samtidig med, at højresiden reduceres: ndcos nm θ isoleres: m d cos Vi heri indfører, at får n m m m d cos dcos n m n d cos eller Eksempel Vi fortsætter eksemplet ovenfor. Vinklen θ beregnes af gitterligningen m 1 53 nm 0, 1596 d 3333 nm Formel (15) giver så: 53 nm nm cos 913, hvoraf θ = 9, , 0, 06 Dette stemmer (naturligvis) godt med beregningen i 0. orden tidligere. For små vinkler θ er θ = λ / D. Sammenlign denne med vinkelopløsningen for en cirkulær apertur, som fx et teleskop med åbningsdiameteren D: θ = 1, λ / D, efter et tilsvarende Rayleigh kriterium for separation af to punktkilder. Se evt. borgeleo.dk for andre interessante emner! D cos vinkelopløsningsevne (16) hvor D er bredden af det belyste område på det optiske gitter. Radiomodtager radiosender Klaus Nielsen, fysikmatematik.wordpress.com En elektrisk fluesmækker af typen med stænger i ketsjeren udsender radiobølger. Find en gammel radio, tænd for fluesmækkeren. Der høres meget støj i radioen over et stort radiobølgeområde. Køb en stor fjeder i en grovvarebutik. Forbind et sæt høretelefoner direkte til fjederen, tænd for fluesmækkeren lyt. Fjederen virker som en spole med induktans L samtidig så som en antenne. Der er en elektrisk modstand R i spolen i høretelefonerne, der opstår dermed en RL svingningskreds. Andre elektriske sensorer kan ses på siden om fysikforsøg elektriske sensorer m.m. på min hjemmeside. 34 LMFK-bladet /019
En sumformel eller to - om interferens
En sumformel eller to - om interferens - fra borgeleo.dk Vi ønsker - af en eller anden grund - at beregne summen og A x = cos(0) + cos(φ) + cos(φ) + + cos ((n 1)φ) A y = sin (0) + sin(φ) + sin(φ) + + sin
Læs mereInterferens mellem cirkelbølger fra to kilder i fase Betingelse for konstruktiv interferens: PB PA = m λ hvor m er et helt tal og λ er bølgelængden
Interferens mellem cirkelbølger fra to kilder i fase Betingelse for konstruktiv interferens: PB PA = m λ hvor m er et helt tal og λ er bølgelængden På figuren er inegnet retninger (de røde linjer) med
Læs mereHvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum?
Hvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum? - om fysikken bag til brydningsindekset Artiklen er udarbejdet/oversat ud fra især ref. 1 - fra borgeleo.dk Det korte svar:
Læs mereElementær Matematik. Trigonometriske Funktioner
Elementær Matematik Trigonometriske Funktioner Ole Witt-Hansen Indhold. Gradtal og radiantal.... sin x, cos x og tan x... 3. Trigonometriske ligninger...3 4. Trigonometriske uligheder...5 5. Harmoniske
Læs mereInterferens og gitterformlen
Interferens og gitterformlen Vi skal studere fænomenet interferens og senere bruge denne viden til at sige noget om hvad der sker, når man sender monokromatisk lys, altså lys med én bestemt bølgelængde,
Læs mereVUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner
Læs mereMåling af spor-afstand på cd med en lineal
Måling af spor-afstand på cd med en lineal Søren Hindsholm 003x Formål og Teori En cd er opbygget af tre lag. Basis er et tykkere lag af et gennemsigtigt materiale, oven på det er der et tyndt lag der
Læs mereFysik 2 - Den Harmoniske Oscillator
Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator Esben Bork Hansen, Amanda Larssen, Martin Qvistgaard Christensen, Maria Cavallius 5. januar 2009 Indhold 1 Formål 1 2 Forsøget 2 3 Resultater 3 4 Teori 4 4.1 simpel
Læs mereMatematik 1 Semesteruge 5 6 (30. september oktober 2002) side 1. Komplekse tal Arbejdsplan
Matematik Semesteruge 5 6 (30. september -. oktober 2002) side Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med opgaveregning
Læs mereVektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...
Læs mereEnkelt og dobbeltspalte
Enkelt og dobbeltsalte Jan Scholtyßek 4.09.008 Indhold 1 Indledning 1 Formål 3 Teori 3.1 Enkeltsalte.................................. 3. Dobbeltsalte................................. 3 4 Fremgangsmåde
Læs mereOptisk gitter og emissionsspektret
Optisk gitter og emissionsspektret Jan Scholtyßek 19.09.2008 Indhold 1 Indledning 1 2 Formål og fremgangsmåde 2 3 Teori 2 3.1 Afbøjning................................... 2 3.2 Emissionsspektret...............................
Læs mereAnalytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen
Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger
Læs mereVariabel- sammenhænge
Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8
Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt
Læs mereGUX. Matematik. A-Niveau. Torsdag den 31. maj Kl Prøveform a GUX181 - MAA
GUX Matematik A-Niveau Torsdag den 31. maj 018 Kl. 09.00-14.00 Prøveform a GUX181 - MAA 1 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Prøven består af opgaverne 1 til 11 med i alt 5 spørgsmål. De 5 spørgsmål
Læs mereStudieretningsopgave
Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...
Læs mereAnalyse af måledata II
Analyse af måledata II Usikkerhedsberegning og grafisk repræsentation af måleusikkerhed Af Michael Brix Pedersen, Birkerød Gymnasium Forfatteren gennemgår grundlæggende begreber om måleusikkerhed på fysiske
Læs mereVinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014
Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereØvelse i kvantemekanik Elektron- og lysdiffraktion
7 Øvelse i kvantemekanik Elektron- og lysdiffraktion 2.1 Indledning I begyndelsen af 1800-tallet overbeviste englænderen Young den videnskabelige verden om at lys er bølger ved at at påvise interferens
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereHarmonisk oscillator. Thorbjørn Serritslev Nieslen Erik Warren Tindall
Harmonisk oscillator Thorbjørn Serritslev Nieslen Erik Warren Tindall November 27, 2007 Formål At studere den harmoniske oscillator, som indgår i mange fysiske sammenhænge. Den harmoniske oscillator illustreres
Læs mereMatematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan
Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober - 12. oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereOhms lov. Formål. Princip. Apparatur. Brug af multimetre. Vi undersøger sammenhængen mellem spænding og strøm for en metaltråd.
Ohms lov Nummer 136050 Emne Ellære Version 2017-02-14 / HS Type Elevøvelse Foreslås til 7-8, (gymc) p. 1/5 Formål Vi undersøger sammenhængen mellem spænding og strøm for en metaltråd. Princip Et stykke
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereØvelse i kvantemekanik Måling af Plancks konstant
Øvelse i kvantemekanik Måling af Plancks konstant Tim Jensen og Thomas Jensen 2. oktober 2009 Indhold Formål 2 2 Teoriafsnit 2 3 Forsøgsresultater 4 4 Databehandling 4 5 Fejlkilder 7 6 Konklusion 7 Formål
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereForsøg del 1: Beregning af lysets bølgelængde
Forsøg del 1: Beregning af lysets bølgelængde Formål Formålet med denne forsøgsrække er, at vise mange aspekter inden for emnet lys med udgangspunkt i begrænset materiale. Formålet med forsøget er at beregne
Læs mereVi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge.
Cykloider Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge Retningspunkt (repetition) Figur 1 viser enhedscirklen Det viste punkt P er anbragt sådan at den øverste af buerne
Læs mereProjekt 3.1 Pyramidestub og cirkelareal
Projekt. Pyramidestub og cirkelareal - i tilknytning til afsnit., især for A Indhold Rumfanget af en pyramidestub... Moderne metode... Ægyptisk metode... Kommentarer til den ægyptiske beregning... Arealet
Læs mereLøsninger til øvelser i kapitel 1
Øvelse 1.1 Øvelse 1. Øvelse 1.3 Afspil animationerne og forklar med dine egne ord, hvad du ser. a) Afspil lydfilerne og forklar med dine egne ord, hvad du hører. Frekvenserne fordobles for hver oktav.
Læs mereSvingninger. Erik Vestergaard
Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard
Læs mereTilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden.
Tilhørende: Robert Nielsen, 8b Geometribog Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. 1 Polygoner. 1.1 Generelt om polygoner. Et polygon er en figur bestående af mere end
Læs mereADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex
ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET Formelsamling Brush-up Flex 2016 Indholdsfortegnelse 1. Brøkregning... 2 2. Parenteser... 3 3. Kvadratsætningerne:... 3 4. Potensregneregler... 4 5. Andengradsligninger...
Læs mereNedenfor er tegnet svingningsmønsteret for to sinus-toner med frekvensen 440 og 443 Hz:
Appendiks 1: Om svævning: Hvis to toner ligger meget tæt på hinanden opstår et interessant akustisk og matematisk fænomen, der kaldes svævning. Det er dette fænomen, der ligger bag alle de steder, hvor
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereStx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler
Stx matematik B december 2007 Delprøven med hjælpemidler En besvarelse af Ib Michelsen Ikast 2012 Delprøven med hjælpemidler Opgave 6 P=0,087 d +1,113 er en funktion, der beskriver sammenhængen mellem
Læs mereVejledende besvarelse
Side 1 Vejledende besvarelse 1. Skitse af et andengradspolynomium Da a>0 og da parablen går gennem (3,-1) skal f(3)=-1. Begge dele er opfyldt, hvis f (x )=x 2 10, hvor en skitse ses her: Da grafen skærer
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Nasser 0. april 0 c 008-0. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereAalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A
Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00
Læs mereSfærisk Geometri. Ikast Ib Michelsen
Sfærisk Geometri Ikast 2018 Ib Michelsen Ib Michelsen Matematik A: Sfærisk Geometri Sidst ændret: 25-11-2018 Udskrevet: C:\Users\IbM\Dropbox\3uy\SfGe\SG0.odt 12 sider Indholdsfortegnelse Indledning...4
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 sider Skriftlig prøve, lørdag den 12. december, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":
Læs mereGUX. Matematik. A-Niveau. August 2015. Kl. 9.00-14.00. Prøveform a GUX152 - MAA
GUX Matematik A-Niveau August 05 Kl. 9.00-4.00 Prøveform a GUX5 - MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Prøven består af opgaverne til 0 med i alt 5 spørgsmål. De 5 spørgsmål indgår med lige vægt
Læs mereLaboratorieøvelse Kvantefysik
Formålet med øvelsen er at studere nogle aspekter af kvantefysik. Øvelse A: Heisenbergs ubestemthedsrelationer En af Heisenbergs ubestemthedsrelationer handler om sted og impuls, nemlig at (1) Der gælder
Læs mereEksamensspørgsmål: Trekantberegning
Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 2007 2014 MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform b. Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA
STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 007 014 MATEMATIK A-NIVEAU Prøveform b 014 Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereTrekants- beregning for hf
Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel
Læs mereKommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5
Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Projekter: Kapitel - Projektet er delt i to små projekter, der kan laves uafhængigt af hinanden. Der afsættes fx - timer til vejledning med efterfølgende
Læs mereProjektopgave Observationer af stjerneskælv
Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der
Læs mereKomplekse tal. x 2 = 1 (2) eller
Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse
Læs mereHeisenbergs Usikkerhedsrelationer Jacob Nielsen 1
Heisenbergs Usikkerhedsrelationer Jacob Nielsen 1 Werner Heisenberg (1901-76) viste i 1927, at partiklers bølgenatur har den vidtrækkende konsekvens, at det ikke på samme tid lader sig gøre, at fastlægge
Læs mereRøntgenspektrum fra anode
Røntgenspektrum fra anode Elisabeth Ulrikkeholm June 24, 2016 1 Formål I denne øvelse skal I karakterisere et røntgenpektrum fra en wolframanode eller en molybdænanode, og herunder bestemme energien af
Læs mereBesvarelse af stx_081_matb 1. Opgave 2. Opgave 1 2. Ib Michelsen, 2z Side B_081. Reducer + + = + + = Værdien af
Ib Michelsen, z Side 1 7-05-01 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 Besvarelse af stx_081_matb 1 Opgave 1 Reducer ( x + h) h( h + x) ( x h) h( h x) + + = x h xh h h x x + + = Værdien
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereVEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande
VEKTORGEOMETRI del Skæringer Projektioner Vinkler Afstande x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Februar 019 ; Michael Szymanski ; mz@ghg.dk 1 Indhold OVERSIGT... 3 SKÆRINGSPUNKTER OG RØRINGSPUNKTER...
Læs mereGUX Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 1
GUX-013 Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 1 Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål. Besvarelsen af denne delprøve
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereProjekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.
Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske
Læs mereIMPEDANSBEGREBET - KONDENSATOREN. Faseforskydning mellem I og U Eksempel: R, X og Z I og U P, Q og S. Diagrammer
AC IMPEDANSBEGREBET - KONDENSATOREN Faseforskydning mellem I og U Eksempel: R, X og Z I og U P, Q og S Diagrammer Kondensatorens faseforskydning: En kondensator består alene af ideel reaktiv del (X C ),
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereKunstig solnedgang Forsøg nr.: Formål: Resume: Nøgleord: Beskrivelse:
Lysforsøg Kunstig solnedgang... 2 Mål tykkelsen af et hår... 5 Hvorfor blinker stjernerne?... 7 Polarisering af lys... 9 Beregning af lysets bølgelængde... 10 Side 1 af 10 Kunstig solnedgang Forsøg nr.:
Læs mereBrydningsindeks af luft
Brydningsindeks af luft Øvelsesvejledning til brug i Nanoteket Udarbejdet i Nanoteket, Institut for Fysik, DTU Rettelser sendes til Ole.Trinhammer@fysik.dtu.dk 14. marts 2012 1 Introduktion Alle kender
Læs mereKøbenhavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Afleveringsopgave 4 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte forsider
Læs mereMatematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver
Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,
Læs mereKaotisk kuglebevægelse En dynamisk analyse
Kaotisk kuglebevægelse En dynamisk analyse Ole Witt-Hansen 08 Kaotisk kuglebevægelse Kaotisk bevægelse Kaotiske bevægelser opstår, når bevægelsesligningerne ikke er lineære. Interessen for kaotiske bevægelser
Læs mereKapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereIMPEDANSBEGREBET - SPOLEN. Faseforskydning mellem I og U Eksempel: R, X og Z I og U P, Q og S. Diagrammer
AC IMPEDANSBEGREBET - SPOLEN Faseforskydning mellem I og U Eksempel: R, X og Z I og U P, Q og S Diagrammer Spolens faseforskydning: En spole består egentlig af en resistiv del (R) og en ideel reaktiv del
Læs mere1 Løsningsforslag til årsprøve 2009
1 Løsningsforslag til årsprøve 009 Opgave 1 Figur 1 viser en tegning af en person der står på en skrænt og smider en sten ud over vandet. Vandet har overflade i t-aksen. Stenen følger grafen for funktionen
Læs mereBrydningsindeks af vand
Brydningsindeks af vand Øvelsesvejledning til brug i Nanoteket Udarbejdet i Nanoteket, Institut for Fysik, DTU Rettelser sendes til Ole.Trinhammer@fysik.dtu.dk 15. marts 2012 Indhold 1 Indledning 2 2 Formål
Læs mereProjektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik
Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.
Læs merea og b. Den magnetiske kraftlov Og måling af B ved hjælp af Tangensboussole
3.1.2. a og b Den magnetiske kraftlov Og måling af B ved hjælp af Tangensboussole Udført d. 15.04.08 Deltagere Kåre Stokvad Hansen Max Berg Michael Ole Olsen 1 Formål: Formålet med øvelsen er at måle/beregne
Læs mereFigur 1: Kraftpåvirkning af vingeprol
0.. AERODYNAMIK 0. Aerodynamik I dette afsnit opstilles en matematisk model for de kræfter, der virker på en vingeprol. Disse kræfter kan få rotoren til at rotere og kan anvendes til at krøje nacellen,
Læs mereKapitel 10. B-felt fra en enkelt leder. B (t) = hvor: B(t) = Magnetfeltet (µt) I(t) = Strømmen i lederen (A) d = Afstanden mellem leder og punkt (m)
Kapitel 10 Beregning af magnetiske felter For at beregne det magnetiske felt fra højspændingsledninger/kabler, skal strømmene i alle ledere (fase-, jord- og eventuelle skærmledere) kendes. Den inducerede
Læs merea og b Den magnetiske kraftlov Og måling af B ved hjælp af Tangensboussole
3.1.2. a og b Den magnetiske kraftlov Og måling af B ved hjælp af Tangensboussole Udført d. 15.04.08 Deltagere Kåre Stokvad Hansen Max Berg Michael Ole Olsen 1 Formål: Formålet med øvelsen er at måle/beregne
Læs mereAnalytisk plangeometri 1
1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)
Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x i [,] drejes 36 om x-aksen. Vis,
Læs mereProjekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion
ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit
Læs mereInden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.
Komplekse tal Mike Auerbach Odense 2012 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.
Læs mereGrafisk bestemmelse - fortsat Støttepunkter. Grafisk bestemmelse y. giver grafen. Niveaukurver og retning u = ( 1
Oversigt [S]. Nøgleord og begreber Retningsafledt Gradientvektor Gradient i flere variable Fortolkning af gradientvektoren Agst, opgave 5 Delvis afledt [S]. Directional derivatives and te... Definition
Læs mereKalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015
Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1
Læs mereIb Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1
Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.
Opsamling Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.. Brøkregning, parentesregneregler, kvadratsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående
Læs mereMatematik A August 2016 Delprøve 1
Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,
Læs merepraktiskegrunde Regression og geometrisk data analyse (2. del) Ulf Brinkkjær
praktiskegrunde Praktiske Grunde. Nordisk tidsskrift for kultur- og samfundsvidenskab Nr. 3 / 2010. ISSN 1902-2271. www.hexis.dk Regression og geometrisk data analyse (2. del) Ulf Brinkkjær Introduktion
Læs mereIntroduktion til cosinus, sinus og tangens
Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,
Læs mereFysik 2 - Oscillator. Amalie Christensen 7. januar 2009
Fysik 2 - Oscillator Amalie Christensen 7. januar 2009 1 Indhold 1 Forsøgsopstilling 3 2 Forsøgsdata 3 3 Teori 4 3.1 Den udæmpede svingning.................... 4 3.2 Dæmpning vha. luftmodstand..................
Læs mereSvingninger & analogier
Fysik B, 2.år, TGK, forår 2006 Svingninger & analogier Dette forsøg løber som tre sammenhængende forløb, der afvikles som teoretisk modellering og praktiske forsøg i fysiklaboratorium: Lokale 43. Der er
Læs mereKomplekse tal og algebraens fundamentalsætning.
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 2
Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.
Læs mereLøsning til aflevering - uge 12
Løsning til aflevering - uge 00/nm Opg.. Længden af kilerem til drejebænk. Hjælp mig med at beregne den udvendige, længde af kileremmen, der er anvendt på min ældre drejebænk. Største diameter på det store
Læs mereAffine transformationer/afbildninger
Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning
Læs mere