Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik"

Transkript

1 Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt sværere opgaver. Kombiatioer. Multipliatiospricippet Ved et valg der består af forsellige delvalg med heholdsvis m, m,..., m valgmuligheder, er der i alt m m... m valgmuligheder.. Esempel Når ma fx sal udfylde e tipsupo, sal ma træffe 3 valg da ma sal sætte 3 rydser, et i hver ræe. I hver ræe er der 3 muligheder for at sætte et ryds, dvs. ma a udfylde e tipsupo på måder..3 Esempel Ma a også bruge multipliatiospricippet til at bestemme hvor mage forsellige delmægder der fides af e mægde med elemeter. Når ma sal udtage e delmægde, sal ma for hvert elemet afgøre om det sal med eller ie med, der er altså to muligheder for hvert elemet. Derfor er der forsellige delmægder af e mægde med elemeter. Her er både de tomme mægde og mægde selv talt med..4 Opgave Tallee fra til 00 sal fordeles i tre disjute delmægder således at ige af mægdere er tomme, og ige mægde ideholder to på hiade følgede tal. At to mægder er disjute betyder at de ie har oge elemeter tilfælles. På hvor mage måder a det gøres?.5 Esempel Til et stæve er der 4 hold der æmper om guld, sølv og broze. Når ma sal bestemme på hvor mage forsellige måder medaljere a fordeles, har ma 4 muligheder for at uddele guld, 3 for sølv og for broze, dvs. der er i alt 4 3 måder at fordele medaljere på. I oveståede esempel sulle ma udtage tre hold ud af 4 hvor ræefølge havde betydig. Geerelt hvis ma sal udtage r ud af elemeter således at ræefølge af de r elemeter har betydig, a ma gøre det på måder.... r! r!

2 Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar Sætig Symbolet r beteger atallet af måder hvorpå ma a udtage r elemeter ud af ude hesytage til ræefølge af de elemeter ma udtager. Altså atallet af måder hvorpå ma a udtage e delmægde med r elemeter ud af e mægde med elemeter. Der gælder at r! r! r! Nogle beytter betegelse K, r i stedet for r. Bemær at 0! per defiitio, og at formle derfor også gælder for r 0. Bevis! I første omgag huser vi på at ma a udtage r elemeter i ræefølge på r! måder. Desude a r elemeter ordes i r! forsellige ræefølger, dvs. hver delmægde er talt med r! gage, hvis vi udtager de r elemeter i ræefølge. Derfor er! r!! r r! r! r!.7 Esempel Sætige a bruges i et utal af sammehæge, år ma sal afgøre på hvor mage måder ma a udvælge oget. Fx a de syv vidertal i lotto, år der er 36 tal at vælge imellem, udtræes på forsellige måder..8 Esempel Ma a også bruge sætige til at udrege på hvor mage måder ma a udtage syv ort af et sæt almidelige spilleort med 5 ort, således at ma etop har et par, altså to ort med samme talværdi og fem ort med fem adre talværdier. Der er 3 forsellige talværdier, dvs. vi a udvælge de talværdi parret har, på 3 3 måder. Desude a vi vælge de fem talværdier de fem sidste ort sal have, på 5 79 måder. For hver talværdi er der fire ort, dvs. vi u a vælge de to ort der idgår i vores par, på 4 6 måder. Desude a vi vælge hvert af de fem adre ort på 4 4 måder. I alt er der altså ifølge multipliatiospricippet måder at udtage syv ort på, så ma etop har et par..9 Opgave Bestem på hvor mage måder ma a udtage ses ort fra et sæt spilleort, således at ma etop har to par..0 Esempel På et sabræt med 8 8 felter ravler e myre fra det ee hjøre til det diagoalt modsatte hjøre. De ravler u på stregere mellem feltere eller lags ate af brættet, og de sørger for at ture bliver så ort så mulig. Vi sal u rege ud hvor mage forsellige

3 Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar ruter myre a vælge. Først bemærer vi at de samlet sal gå otte felter op og otte felter til højre, hvis vi forestiller os at de starter i ederste vestre hjøre. De sal med adre ord vælge præcis hvile otte af de 6 sridt der sal være lodrette, dvs. de har forsellige ruter at vælge imellem.. Opgave I e by har ma et cetrum der u består af veje der går ord-syd og øst-vest. Der er syv veje ord-syd og fem veje øst-vest, me pga. vejarbejde er vejrydset mellem de midterste vej ord-syd og de midterste vej øst-vest totalt spærret så ma ie a passere fra e af de fire veje rydset består af, til e af de adre. Joata står i det sydvestlige hjøre af cetrum og sal til det ordøstlige hjøre, og ha øser at gå så ort så muligt. Hvor mage forsellige ruter a ha vælge imellem?. Opgave Der sal bygges 5 byer på 3 øer, midst e på hver. Desude sal der etableres færgeforbidelser mellem hvert par af byer på forsellige øer. Bestem det midst mulige atal færgeforbidelser. BW994.3 Opgave I e oves -polygo idteges samtlige diagoaler, og det atages at der ie fides tre diagoaler som særer hiade i samme put. Polygoes sider er ie diagoaler. a Bestem atallet af særigsputer mellem diagoaler. b Bestem atallet af dele som diagoalere deler polygoe i. c Bestem atallet af treater der opstår. Altså treater hvis hjører er polygoes hjører eller e særig mellem to diagoaler. Pascals treat og regig med biomialoefficieter Biomialoefficietere r viser sig at ue frembriges på e iteressat måde, og for at vise dette har vi behov for følgede formel.. Sætig Der gælder at Bevis Hvis ma sal udtage + elemeter ud af +, a ma ete udtage + ud af de første af de + elemeter, eller ma a udtage elemeter bladt de første samt udtage det sidste ud af de + elemeter. Dermed er

4 Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar Bemær at ma år frem til lighedsteget ved at tælle det samme på to forsellige måder; dette er et meget avedeligt tric. Alterativt a ma også blot rege, me det er ie helt så elegat: + +! + +!!! +!!! +! +! +!!! + +. Pascals treat + +. Biomialoefficietere a derfor opstilles i det ma alder Pascals treat således at e biomialoefficiet hele tide er summe af de to ovefor: Sætig Der gælder at + x 0 x. Bevis Når ma gager + x ud, får ma etop x ved at gage x et fra af paretesere med -tallere fra reste. Dette a ma gøre på måder..4 Biomialformle Der gælder at Bevis Ifølge sætig.3 er i0 + i i0. i Alterativt a ma beytte tricet med at tælle det samme på to forsellige måder, da begge sider af lighedsteget agiver atallet af delmægder af e mægde med elemeter. Vi har tidligere set at der fides etop delmægder af e mægde med elemeter. Ma a også tælle delmægdere ved at summere atal delmægder med 0,,... op til elemeter, og det er etop det der står på højreside..5 Opgave Vis at

5 Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar Opgave Lad P x + x + x +... x. Vis at + x P x P for alle reelle tal x og alle aturlige tal. BW998 Hit: Udyt at xp x x. 3 Flere ombiatioer At vælge r elemeter ud af svarer til at splitte de elemeter op i to buer: e med r elemeter og e med r elemeter. Nogle gage har ma imidlertid brug for at fordele de elemeter i mage flere buer. 3. Sætig Symbolet r,r,...,r m beteger atallet af måder hvorpå ma a dele e mægde med elemeter i m disjute delmægder A, A,..., A m med heholdsvis r, r,..., r m elemeter i hver delmægde, således at r + r r m. Der gælder at! r, r,..., r m r!r!... r m! Bevis Vi viser sætige ved idutio efter m. Hvis m, følger det af sætig.6. Atag at sætige er sad for m, og vi øser at vise at sætige er sad for m disjute delmægder med heholdsvis r, r,..., r m elemeter i hver. Atal måder hvorpå ma a dele mægde i m disjute delmægder med r, r,..., r m, r m + r m elemeter i hver, er ifølge idutiosatagelse r, r,..., r m, r m + r m! r!r!... r m!r m + r m! Desude a delmægde A m med r m +r m elemeter deles i to disjute delmægder med heholdsvis r m og r m elemeter på r m +r m r m,r m r m +r m! r m!r m! måder. Ifølge multipliatiospricippet får vi u! r m + r m!! r, r,..., r m r!r!... r m!r m + r m! r m!r m! r!r!... r m! 3. Esempel E lasse med elever sal deles i tre grupper med fire i hver. På hvor mage måder a dette gøres? Hvis gruppere beteges A, B og C, a de tolv elever ifølge sætige fordeles i gruppere A, B og C med 4 i hver på 4,4, måder. Me i spørgsmålet havde de tre grupper ige betegelse og var altså ie ordede, dvs. vi har talt hver ombiatio med 3! 6 gage. Der er dermed måder at dele lasse på.

6 Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar Opgave E ube er sammesat af små ehedsuber. På hvor mage måder a ma omme fra det ee hjøre til det diagoalt modsatte hjøre, år ma u må gå lags atere af ehedsubere og sal vælge e rute der er så ort så mulig? 4 Reursio I stedet for at fide e formel for atal ombiatioer ud fra e eller ade parameter, a ma bestemme atallet af ombiatioer reursivt dvs. at ma a besrive hvor mage ombiatioer der er for et givet, ud fra atallet af ombiatioer for og måse yderligere for. Ma a sige at reursio går ud på at ma udtryer det -te tal af fx e talræe ved hjælp af ogle af de foregåede tal. Fx er Fiboacci-tallee,,, 3, 5, 8, 3,... besrevet reursivt da det æste tal i ræe etop er summe af de to foregåede. 4. Esempel Peter sal gå op ad e trappe med tri. I hvert sridt går ha ete et eller to tri op. På hvor mage forsellige måder a ha gå op ad trappe? Dette problem a løses ved reursio. Lad A betege atal ombiatioer ved e trappe med tri. Det er emt at idse at A og A. Det sidste sridt a ete bestå af et eller to tri. Hvis trappe har tri, må der være A ombiatioer der eder med et sridt på et tri, da der er A forsellige måder at å det æstsidste tri på. Tilsvarede er der A ombiatioer som afsluttes med et sridt på to tri. Dermed er A A + A ligesom for Fiboaccitallee, og ma a gå op ad e trappe på tri på 33 forsellige måder. 4. Opgave Peter sal gå op ad e trappe med tri, me tager dee gag både sridt af et, to og tre tri. På hvor mage forsellige måder a Peter gå op ad trappe? 4.3 Opgave E iteressat delmægde af mægde M {,,..., }, hvor er et ulige tal, er e delmægde som for hvert lige tal de ideholder, også ideholder de to ulige abotal. Hvor mage iteressate delmægder fides der af M 3? 5 Sadsyligheder Kombiatori bruges også ofte i sadsylighedsregig. Hvis ma fx øser at berege sadsylighede for at få syv rigtige i lotto med 36 tal, er der u e af de ombiatioer af 7 forsellige tal som udtræes, dvs. sadsylighede for at få syv rigtige er Opgave da alle ombiatioer er lige sadsylige. I e sål er der fem røde bolde, tre blå og to grøe. Hvad er sadsylighede for at der er e rød, blå og e grø bold tilbage i såle, hvis ma fjerer syv tilfældige bolde?

7 Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar Opgave I e papasse ligger et stort atal løse soer. Nogle af soere er røde; de øvrige er blå. Det oplyses at det samlede atal soer ie overstiger 993. Edvidere oplyses det at sadsylighede for at træe to soer af samme farve, år ma på tilfældig måde udtræer to soer fra asse, er. Hvad er efter de foreliggede oplysiger det største atal røde soer der a befide sig i asse? GM993

8 Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar Løsigssitser Opgave.4 Kald delmægde som ideholder, for A, delmægde som ideholder, for B og de sidste for C. Der er u to muligheder for at placere tallet 3, da ige mægde må ideholde to på hiade følgede tal. Da dette gælder for alle de resterede tal, er der altså forsellige måder at fordele tallee på. I e eelt af disse ombiatioer bliver mægde C dog tom, dvs. resultatet er 98. Opgave.9 Ma a vælge de to pars talværdier på 3 78 måder og talværdiere for de sidste to ort på 55 måder. Når talværdiere er bestemt, a de to par hver vælges på 4 6 måder og de to adre ort på 4 4 måder. Der er altså i alt måder. Opgave. Der må være lige mage ruter ord om som syd om det spærrede ryds, så derfor a vi øjes med at tælle dem ord om. Vi beteger vejrydsee a,b således at Joata står ved, og sal til 5,7, og det spærrede vejryds beteges 3,4. Hvis Joata sal ord om det spærrede ryds, sal ha ete geem 5, eller 4,3, me ie geem begge. Joata a omme til 5, på 5 5 måder da ha samlet sal gå fire gage mod ord og e gag mod øst. Ha a omme fra 5, til 5,7 på e måde, så samlet er der 5 ruter geem 5,. Hvis ha i stedet vælger at gå via 4,3, er der 5 0 måder at omme fra, til 4,3 da ha sal gå tre gage mod ord og to gage mod øst. Desude er der 5 ruter fra 4,3 til 5,7. Samlet er der altså 50 ruter via 4,3. Dette giver i alt 0 5 ruter for Joata at vælge imellem. Opgave. Atag at vi har e placerig af byere hvor der er midst to øer med mere ed e by. Lad atallet af byer på de to øer være og med. Hvis vi flytter e by fra ø til ø, edlægger vi forbidelser og opretter, dvs. der bliver færre forbidelser. Dermed er der færrest muligt forbidelser, år der er øer med e by og e ø med 3 byer. Dette giver 3 + forbidelser. Opgave.3 a Hvert særigsput mellem to diagoaler a på etydig måde repræseteres ved de fire hjører som de to diagoaler forbider. Dermed er der 4 særigsputer mellem diagoaler. b For hver gag ma teger e y diagoal, opstår der e del mere samt e del mere for hvert særigsput dee diagoal daer med e ade diagoal. Der er diagoaler, dvs. at polygoe deles i dele. c Atallet af treater der har alle tre hjører i polygoes hjører, er 3. Nu tæller vi treater der etop har et hjøre som ie er et af polygoes hjører, me e særig mellem to diagoaler. For hver særig mellem to diagoaler opstår der etop fire sådae treater, dvs. der er 4 4. Treater som har et af polygoes hjører samt to særiger mellem diagoaler som hjører, opstår ved at ma vælger fem puter, vælger et af putere som hjøre og teger diagoalere mellem de fem puter, og der opstår u e såda treat på dee måde, dvs. at der er 5 5 sådae treater. Treater hvis hjører u består af særiger mellem diagoaler, opstår ved at ma vælger ses puter og teger tre diagoaler mellem dem på e såda måde at de alle særer hiade, og dette a

9 Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar gøres på etop e måde, dvs. der er 6 af slagse. I alt er der Opgave Opgave.6 Lad heholdsvis A og B betege vestre- og højreside af de formel vi øser at vise. Da xp x x, er x A Desude er x B + x x 0 0 x + P x + x. + x + x. Dermed er A B for alle reelle tal x. Da både A og B er polyomier, er de dermed også idetise for x. Opgave 3.3 Ma sal gå lags i sider i ehedsubere, tre i hver af de tre retiger. Dvs. ma a vælge mellem 9 3,3,3 680 forsellige ruter. Opgave 4. På samme måde som i esemplet idses at ture a afsluttes med et sridt af heholdsvis et, to eller tre tri, og derfor bliver A A 3 + A + A. Der er derfor 97 ombiatioer. Opgave 4.3 Lad A betege atallet af iteressate delmægder af M som ie ideholder tallet, og lad B betege atallet af iteressate delmægder af M som ideholder tallet, hvor er et ulige tal. Da et lige tal u må idgå i e iteressat delmægde, hvis dets to ulige abotal idgår, må A A + B, mes B A + B. Det ses emt at A og B. Ud fra de reursive formel a ma så udrege at A 3 +B Bemær at A, B, A 3, B 3, A 5,... etop er Fiboacci-talee. Opgave 5. Der er i alt forsellige ombiatioer af tre bolde. Ud af disse er der etop med e bold af hver farve ifølge multipliatiospricippet. Dermed er sadsylighede Opgave 5. Med beteges det samlede atal soer, med r atallet af røde soer. De opgive betigelse vedrørede sadsylighede er esbetydede med at sadsylighede for at træe to soer af forsellig farve er, altså med at r r.

10 Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar Ved udregig fides at dee relatio mellem og r er esbetydede med som videre giver 4r 4r + 0, r ±. De størst mulige værdi for r er da åbebart givet ved r 0 ± 0, hvor 0 er det størst mulige vadrattal midre ed eller lig med 993. Ved udregig ses at Altså er 0 44, og dermed fås r

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Kombinatorik. 1 Kombinationer. Indhold

Kombinatorik. 1 Kombinationer. Indhold Kombator, marts 04, Krste Roselde Georg Mohr-Kourrece Kombator Kombator går ud på at tælle atallet af ombatoer af et eller adet, og for at ue tælle atallet af ombatoer smart har ma brug for forsellge tællestrateger

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

Bilag 5: DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen

Bilag 5: DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen Bilag 5: DEA-odelle Bilaget ideholder e teis besrivelse af DEA-odelle FRSYNINGSSERETARIATET FEBRUAR 2013 INDLEDNING... 3 INPUTSTYRET DEA-MDEL... 3 UTPUTSTYRET DEA-MDEL... 7 SALAAFAST... 12 2 Idledig Data

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder

Læs mere

TEKST NR 435 2004. TEKSTER fra IMFUFA

TEKST NR 435 2004. TEKSTER fra IMFUFA TEKST NR 435 2004 Basisstatisti 2. udgave Jørge Larse August 2006 TEKSTER fra IMFUFA INSTITUT ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER FOR STUDIET AF MATEMATIK OG FYSIK SAMT DERES FUNKTIONER I UNDERVISNING, FORSKNING

Læs mere

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6. enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på

Læs mere

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15 Vejledede besvarelser til opgaver i apitel 5 Opgave a) De teststatistier, ma aveder til at teste om to middelværdier er es, består af et estimat på forselle mellem middelværdiere,, divideret med et udtry

Læs mere

Om Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n.

Om Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n. IMFUFA Carste Lude Peterse Om Følger og Ræer Nyttige Græseværdier lim = 1 lim! = x = 0! lim lim (1 + x ) = e x! lim = e 1 Nyttige Ræer 1 p < p > 1 1 log p ( + 1) < p > 1 x = = x 1 x for x < 1 og Z, diverget

Læs mere

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste

Læs mere

6 Populære fordelinger

6 Populære fordelinger 6 Populære fordeliger I apitel 4 itroducerede vi stoastise variabler so e åde at repræsetere udfald af et esperiet på. De stoastise variabler ue være både disrete (fx terigslag) og otiuerte (fx vareægder).

Læs mere

ORDEN OG UDVALG: KUNSTEN AT TÆLLE KOMBINATORIK N H

ORDEN OG UDVALG: KUNSTEN AT TÆLLE KOMBINATORIK N H ORDEN OG UDVALG: UNSTEN AT TÆLLE OMBINATORI Edeligt symmetrisk sadsylighedsfelt I et edeligt symmetrisk sadsylighedsfelt ( P ) U, ka sadsylighede for e give hædelse H, hvor altså H U, som bekedt bereges

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation.

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation. De reelle tal Morte Grud Rasmusse 5. ovember 2015 Ordede mægder Defiitio 3.1 (Ordet mægde). pm, ăq kaldes e ordet mægde såfremt: For alle x, y P M gælder etop ét af følgede: x ă y, x y, y ă x @x, y, z

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 SANDSYNLIGHEDSFELT... 3 DE STORE TALS LOV... 4 Sadsyligheder og frekveser:... 4 STOKASTISK

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder De Platoiske legemer De fem regulære polyeder Ole Witt-Hase jauar 7 Idhold. Polygoer.... Nogle topologiske betragtiger.... Eulers polyedersætig.... Typer af et på e kugleflade.... Toplasvikle i e regulær

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt

Læs mere

Analyse 1, Prøve maj 2009

Analyse 1, Prøve maj 2009 Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede

Læs mere

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353 Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi

Læs mere

Baggrundsnote til sandsynlighedsregning

Baggrundsnote til sandsynlighedsregning Baggrudsote til sadsylighedsregig Kombiatorik. Multiplikatiospricippet E mægde beståede af forskellige elemeter kaldes her e -mægde. Elemetere i e m-mægde og elemetere i e -mægde ka parres på i alt m forskellige

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Talfølger og -rækker

Talfølger og -rækker Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

antal gange krone sker i første n kast = n

antal gange krone sker i første n kast = n 1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

Differentiation af potensfunktioner

Differentiation af potensfunktioner Hvd er mtemti? B, i-bog ISBN 978 87 766 494 3 Hjemmesideevisig: Differetitio f potesfutioer, Kpitel 4, side 76 Differetitio f potesfutioer. Pscls tret og biomilformle Vi strter med t mide om t poteser

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Den flerdimensionale normalfordeling

Den flerdimensionale normalfordeling De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y

Læs mere

Kommunikation over støjfyldte kanaler

Kommunikation over støjfyldte kanaler Istitut for Matematise Fag wwwmathaaud Kommuiatio over støjfyldte aaler MAT2-projetrapport af G3-7 forårssemestret 2008 Istitut for Matematise Fag Fredri Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Øst Telefo 99 40 88

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0. Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Sadsylighedsregig E ote om sadsylighedsregig. Via basal sadsylighedsregig gøres læsere klar til forstå biomialfordelige. Herik S. Hase, Sct. Kud Versio 5.0 Opgaver til hæftet ka hetes her. PDF Facit til

Læs mere

Bekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet)

Bekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet) Oversigt (idholdsfortegelse) Bilag 1 Bilag 2 Bilag 3 De fulde tekst Bekedtgørelse om takstædriger i offetlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jerbaevirksomheder m.v. (takststigigsloftet) I medfør

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

Projekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne ( lille sætning. {} 0, ) og Fermats { } ...,-44,-20,4,28,52,...

Projekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne ( lille sætning. {} 0, ) og Fermats { } ...,-44,-20,4,28,52,... Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( {} 0, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Vindmøllesekretariatet og Biogassekretariatet

Vindmøllesekretariatet og Biogassekretariatet og Biogass Brugertilfredshedsudersøgelse af og Biogasss sagsbehadlig og ydelser bladt ommuer Tabelrapport, telefoudersøgelse December Projetosuleter Asger H. Nielse Coie F. Larse Alle rettigheder til udersøgelsesmaterialet

Læs mere

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5.

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5. Istitut for Matematiske Fag Aarhus Uiversitet De 27. jauar 25. Sadsylighedsteori.2 og 2 Uge 5. Forelæsiger: Geemgage af emere karakteristiske fuktioer og Mometproblemet afsluttes, og vi starter på afsittet

Læs mere

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q 3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896

Læs mere

Undersøgelse af numeriske modeller

Undersøgelse af numeriske modeller Udersøgelse af umeriske modeller Formål E del af målsætige med dette delprojekt er at give kedskab til de begræsiger, fejl og usikkerheder, som optræder ved modellerig. I de forbidelse er følgede udersøgelse

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith Georg Mohr Kokurrece Noter om uligheder Søre Galatius Smith. juli 2000 Resumé Kapitel geemgår visse metoder fra gymasiepesum, som ka bruges til at løse ulighedsopgaver, og ideholder ikke egetligt yt stof.

Læs mere

Estimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter

Estimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter Statistik og Sadsylighedsregig 1 STAT kapitel 4.2 4.3 Susae Ditlevse Istitut for Matematiske Fag Email: susae@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susae Estimatio ved mometmetode Idimellem ka det være svært (eller

Læs mere

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning) Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.

Læs mere

IMFUFA TEKST NR TEKSTER fra ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER. Jørgen Larsen

IMFUFA TEKST NR TEKSTER fra ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER. Jørgen Larsen TEKST NR 435 2004 Basisstatistik 2. udgave Jørge Larse August 2006 TEKSTER fra IMFUFA INSTITUT ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER FOR STUDIET AF MATEMATIK OG FYSIK SAMT DERES FUNKTIONER I UNDERVISNING, FORSKNING

Læs mere

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Statistik ved Bachelor-uddaelse i folkesudhedsvideskab Græseværdisætiger Det hadler om geemsit Statistikere elsker geemsit Det er oplagt e god ide at tage geemsit. Hvis jeg f.eks skal gætte på vægte af

Læs mere

StudyGuide til Matematik B.

StudyGuide til Matematik B. StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag

Læs mere

Begreber og definitioner

Begreber og definitioner Begreber og defiitioer Daske husstades forbrug på de medierelaterede udgiftsposter stiger og udgør i 2012*) 11,3 % af husstadees samlede forbrug mod 5,5 % i 1994. For husstade med de laveste idkomster

Læs mere

Modul 14: Goodness-of-fit test og krydstabelanalyse

Modul 14: Goodness-of-fit test og krydstabelanalyse Forskigsehede for Statistik ST01: Elemetær Statistik Bet Jørgese Modul 14: Goodess-of-fit test og krydstabelaalyse 14.1 Idledig....................................... 1 14.2 χ 2 -test i e r c krydstabel.............................

Læs mere

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18 ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt

Læs mere

A14 4 Optiske egenskaber

A14 4 Optiske egenskaber A4 4 Optiske egeskaber Brydigsideks Når lys træffer e græseflade mellem to materialer, kastes oget af lyset tilbage (refleksio), mes oget går igeem græseflade med foradret retig (brydig eller refraktio).

Læs mere

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple

Læs mere

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

Estimation og test i normalfordelingen

Estimation og test i normalfordelingen af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Etimatio og tet i ormalfordelige Dee tekt ideholder et overblik over ogle grudlæggede pricipper for etimatio og tet i ormalfordelige i hyppigt forekommede ituatioer:

Læs mere

Trygve Haave1mo. (Fore1æs ninger ved Aarhus Universitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. T E O R I INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS

Trygve Haave1mo. (Fore1æs ninger ved Aarhus Universitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. T E O R I INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS Trygve Haave1mo. INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS T E O R I (Fore1æs iger ved Aarhus Uiversitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. le INDHOLD..._..._... Grudlaget for de teoretiske Statistik. Kollektiv og ~a:dsylighed.

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor godschauffør området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Induktionsbevis og sum af række side 1/7

Induktionsbevis og sum af række side 1/7 Iduktosbevs og sum af række sde /7 Skrver ma,,,...,,..., =, 2, 3,... 2 3 taler ma om e talfølge, eller blot e følge. Adre eksempler på følger er, -,, -,, -,..., (-) +,..., =, 2, 3,..., 2, 3, 4,...,,...,

Læs mere

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Bogstvregig - supplerede eksepler Reduktio... Ligiger... d Bogstvregig Side Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Reduktio M gger to preteser ed hide ved -

Læs mere

Den grådige metode 2

Den grådige metode 2 Algoritmedesig 1 De grådige metode De grådige metode Et problem løses ved at foretage e række beslutiger Beslutigere træffes e ad gage i e eller ade rækkefølge Hver beslutig er baseret på et grådighedskriterium

Læs mere

Pearsons formel for χ 2 test. Den teoretiske forklaring

Pearsons formel for χ 2 test. Den teoretiske forklaring Pearsos formel for χ test De teoretse forlarg Ole Wtt-Hase 04 Idhold. Normalfordelge og χ.... Pearsos formel for χ test... 3. Forlarg på Pearsos formel....4 Pearsos formel for χ test. Normalfordelge og

Læs mere

Denne kaldes også potensmængden over Ω og betegnes ofte 2 Ω. Notationen beror på, at man via relationen

Denne kaldes også potensmængden over Ω og betegnes ofte 2 Ω. Notationen beror på, at man via relationen Idledig. De modere sadsylighedsteori, hvis aksiomatiske basis blev formuleret af russere A.N. Kolmogorov i 1933 i boge Grudbegriffe der Wahrscheilichkeitrechug, er bygget op omkrig et tripel ofte beteget

Læs mere

30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. 30. august 005 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig 3 Uge, torag d. 8. september 005 Michael Væth, Afdelig for Biostatistik. Mere om kategoriske data Test for uafhægighed I RxC tabeller Test for uafhægighed

Læs mere

Den hurtige Fouriertransformation

Den hurtige Fouriertransformation Polyomier De hurtige Fouriertrasformatio Polyomium: Geerelt: p + 2 3 4 ( x) = 5 + 2x + 8x + 3x 4x p(x) =! " eller x i p(x) = a + a x + a 2 x 2 +!+ a! x! Jea Baptiste Joseph Fourier (768-83) 2 Evaluerig

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Test i to populatioer Hypotesetest for parrede observatioer Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasum Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 Sadsylghedsfelt... 3 Edelge sadsylghedsfelter (sadsylghedsfordelger):... 3 Uedelge

Læs mere

Bestemmelse af vandføring i Østerå

Bestemmelse af vandføring i Østerå Bestemmelse af vadførig i Østerå Geerelt varierer vadstade og vadførige i daske vadløb over året. Normalt er vadførige lille om sommere for derpå at øge om efteråret. Om vitere ses ormalt de højeste vadføriger

Læs mere

Sædeventiler (PN 16) VF 2-2-vejs ventil, flange VF 3-3-vejs ventil, flange

Sædeventiler (PN 16) VF 2-2-vejs ventil, flange VF 3-3-vejs ventil, flange Datablad Sædevetiler (PN 16) VF 2-2-vejs vetil, flage VF 3-3-vejs vetil, flage Besrivelse Futioer: Meais lyoblig samme med AMV(E) 335, AMV(E) 435 Dedieret vetil med to eller tre porte Veleget til fordelerfutio

Læs mere

Bachelorprojekt for BSc-graden i matematik

Bachelorprojekt for BSc-graden i matematik D E T N A T U R V I D E N S K A B E L I G E F A K U L T E T K Ø B E N H A V N S U N I V E R S I T E T Bachelorprojekt for BSc-grade i matematik Mikkel Abrahamse & Sue Precht Reeh Ekstremal grafteori Vejleder:

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders

Læs mere

Forelæsningsnoter til Stokastiske Processer E05. Svend-Erik Graversen Revideret af Jan Pedersen Kapitel 12 og Appendix B og G af Jan Pedersen

Forelæsningsnoter til Stokastiske Processer E05. Svend-Erik Graversen Revideret af Jan Pedersen Kapitel 12 og Appendix B og G af Jan Pedersen Forelæsigsoter til Stokastiske Processer E5 Sved-Erik Graverse Revideret af Ja Pederse Kapitel 12 og Appedix B og G af Ja Pederse 16. august 25 Forord Nærværede otesæt skal bruges i forbidelse med kurset

Læs mere

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel Cykelfysik 1/7 Cykelfysik Om udvekslig og kaftoveføsel Idhold 2. Kaftoveføsel og abejde...2 3. Abejde ved cykelkøsel...4 4. Regeeksemple fo e acecykel...5 5. Det e hådt at køe op ad bakke...6 6. Simple

Læs mere

Elementær Matematik. Sandsynlighedsregning

Elementær Matematik. Sandsynlighedsregning lemetær Matematk Sadsylghedsregg Ole Wtt-Hase Køge Gymasum 008 INDHOLD KAP. KOMBINATORIK.... MULTIPLIKATIONS- OG ADDTIONSPRINCIPPT.... PRMUTATIONR... 3. KOMBINATIONR...3 KAP. NDLIGT SANDSYNLIGHDSFLT...7.

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig

Læs mere

Kapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL

Kapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Kapitel 0 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Torbe Obel Soeborg Hydrologisk afdelig, GEUS Nøglebegreber: Kalibrerigsprotokol, observatiosdata, kalibrerigskriterier, idetificerbarhed, etydighed, parameterestimatio,

Læs mere

Introduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem

Introduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse Asymmetric Travelig Salesma Problem David Pisiger, Efterår 2003 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Kvantemekanik 4 Side 1 af 11 Energi og tid. Hamiltonoperatoren

Kvantemekanik 4 Side 1 af 11 Energi og tid. Hamiltonoperatoren Kvateekaik 4 Side 1 af 11 ergi og tid Hailtooperatore Af KM3 fregik det, at ehver observabel er repræseteret ved e operator, f.eks. jf. udtryk (3.1) og (3.). Ispireret af det klassiske udtryk for kietisk

Læs mere

Statistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion

Statistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion Statistik 8. gag 1 KONIDENSINTERVALLER Kofidesitervaller: kapitel 11 Valg og test af fordeligsfuktio Statistik 8. gag 11. KONIDENS INTERVALLER Et kofides iterval udtrykker itervallet hvori de rigtige værdi

Læs mere

Titel Versionsnr. Udgave-dato Gyldighed Udarbejdet af Godkendt af Handicapreglement Gældende KR/HVM KR/CKP. Indhold

Titel Versionsnr. Udgave-dato Gyldighed Udarbejdet af Godkendt af Handicapreglement Gældende KR/HVM KR/CKP. Indhold Hadicapreglemet Titel Versiosr. Udgave-dato Gyldighed Udarbejdet af Godedt af Hadicapreglemet 0.0.07 Gældede KR/HVM KR/CK Idhold 0. Formål med hadicapsystemet... 3. Defiitioer... 3. Hadicap... 3. arhadicap...

Læs mere

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ )

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ ) 3. februar 003 Epidemiologi og biostatistik. Uge, torag d. 3. februar 003 Morte Frydeberg, Istitut for Biostatistik. Type og type fejl Nogle specielle metoder: Test i RxC tabeller Test i x tabeller Fishers

Læs mere

Lidt Om Fibonacci tal

Lidt Om Fibonacci tal Lidt om Fioi tl Lidt Om Fioi tl Idhold. Defiitio f Fioi tllee.... Kivl... 3. Telefokæder....3 4. E formel for Fioi tllee...4 Ole Witt-Hse 008 Lidt om Fioi tl. Defiitio f Fioi tllee Fioi tllee er opkldt

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 7

BEVISER TIL KAPITEL 7 BEVISER TIL KAPITEL 7 A. Komplemetærhædelse Det er klart, at e hædelse A og de komplemetære hædelse A udgør hele udfaldsrummet U, dvs. A A = Da fås P(U = U P(A A = P (A + P(A = da de to hædelser er dsjukte

Læs mere

FORDELINGER: HYPERGEOMETRISK FORDELING, BINOMIALFORDELING MIDDELVÆRDI DEFINITION. X er en stokastisk variabel på et endeligt sandsynlighedsfelt ( )

FORDELINGER: HYPERGEOMETRISK FORDELING, BINOMIALFORDELING MIDDELVÆRDI DEFINITION. X er en stokastisk variabel på et endeligt sandsynlighedsfelt ( ) FORDELINGER: HYERGEOMETRIS FORDELING, BINOMIALFORDELING MIDDELVÆRDI Mddelværd MIDDELVÆRDI (TYS: ERWARTUNGSWERT ) DEFINITION X er e stokastsk varabel på et edelgt sadsylghedsfelt U, ( ) Mddelværde af X

Læs mere