Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik

Transkript

1 Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt sværere opgaver. Kombiatioer. Multipliatiospricippet Ved et valg der består af forsellige delvalg med heholdsvis m, m,..., m valgmuligheder, er der i alt m m... m valgmuligheder.. Esempel Når ma fx sal udfylde e tipsupo, sal ma træffe 3 valg da ma sal sætte 3 rydser, et i hver ræe. I hver ræe er der 3 muligheder for at sætte et ryds, dvs. ma a udfylde e tipsupo på måder..3 Esempel Ma a også bruge multipliatiospricippet til at bestemme hvor mage forsellige delmægder der fides af e mægde med elemeter. Når ma sal udtage e delmægde, sal ma for hvert elemet afgøre om det sal med eller ie med, der er altså to muligheder for hvert elemet. Derfor er der forsellige delmægder af e mægde med elemeter. Her er både de tomme mægde og mægde selv talt med..4 Opgave Tallee fra til 00 sal fordeles i tre disjute delmægder således at ige af mægdere er tomme, og ige mægde ideholder to på hiade følgede tal. At to mægder er disjute betyder at de ie har oge elemeter tilfælles. På hvor mage måder a det gøres?.5 Esempel Til et stæve er der 4 hold der æmper om guld, sølv og broze. Når ma sal bestemme på hvor mage forsellige måder medaljere a fordeles, har ma 4 muligheder for at uddele guld, 3 for sølv og for broze, dvs. der er i alt 4 3 måder at fordele medaljere på. I oveståede esempel sulle ma udtage tre hold ud af 4 hvor ræefølge havde betydig. Geerelt hvis ma sal udtage r ud af elemeter således at ræefølge af de r elemeter har betydig, a ma gøre det på måder.... r! r!

2 Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar Sætig Symbolet r beteger atallet af måder hvorpå ma a udtage r elemeter ud af ude hesytage til ræefølge af de elemeter ma udtager. Altså atallet af måder hvorpå ma a udtage e delmægde med r elemeter ud af e mægde med elemeter. Der gælder at r! r! r! Nogle beytter betegelse K, r i stedet for r. Bemær at 0! per defiitio, og at formle derfor også gælder for r 0. Bevis! I første omgag huser vi på at ma a udtage r elemeter i ræefølge på r! måder. Desude a r elemeter ordes i r! forsellige ræefølger, dvs. hver delmægde er talt med r! gage, hvis vi udtager de r elemeter i ræefølge. Derfor er! r!! r r! r! r!.7 Esempel Sætige a bruges i et utal af sammehæge, år ma sal afgøre på hvor mage måder ma a udvælge oget. Fx a de syv vidertal i lotto, år der er 36 tal at vælge imellem, udtræes på forsellige måder..8 Esempel Ma a også bruge sætige til at udrege på hvor mage måder ma a udtage syv ort af et sæt almidelige spilleort med 5 ort, således at ma etop har et par, altså to ort med samme talværdi og fem ort med fem adre talværdier. Der er 3 forsellige talværdier, dvs. vi a udvælge de talværdi parret har, på 3 3 måder. Desude a vi vælge de fem talværdier de fem sidste ort sal have, på 5 79 måder. For hver talværdi er der fire ort, dvs. vi u a vælge de to ort der idgår i vores par, på 4 6 måder. Desude a vi vælge hvert af de fem adre ort på 4 4 måder. I alt er der altså ifølge multipliatiospricippet måder at udtage syv ort på, så ma etop har et par..9 Opgave Bestem på hvor mage måder ma a udtage ses ort fra et sæt spilleort, således at ma etop har to par..0 Esempel På et sabræt med 8 8 felter ravler e myre fra det ee hjøre til det diagoalt modsatte hjøre. De ravler u på stregere mellem feltere eller lags ate af brættet, og de sørger for at ture bliver så ort så mulig. Vi sal u rege ud hvor mage forsellige

3 Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar ruter myre a vælge. Først bemærer vi at de samlet sal gå otte felter op og otte felter til højre, hvis vi forestiller os at de starter i ederste vestre hjøre. De sal med adre ord vælge præcis hvile otte af de 6 sridt der sal være lodrette, dvs. de har forsellige ruter at vælge imellem.. Opgave I e by har ma et cetrum der u består af veje der går ord-syd og øst-vest. Der er syv veje ord-syd og fem veje øst-vest, me pga. vejarbejde er vejrydset mellem de midterste vej ord-syd og de midterste vej øst-vest totalt spærret så ma ie a passere fra e af de fire veje rydset består af, til e af de adre. Joata står i det sydvestlige hjøre af cetrum og sal til det ordøstlige hjøre, og ha øser at gå så ort så muligt. Hvor mage forsellige ruter a ha vælge imellem?. Opgave Der sal bygges 5 byer på 3 øer, midst e på hver. Desude sal der etableres færgeforbidelser mellem hvert par af byer på forsellige øer. Bestem det midst mulige atal færgeforbidelser. BW994.3 Opgave I e oves -polygo idteges samtlige diagoaler, og det atages at der ie fides tre diagoaler som særer hiade i samme put. Polygoes sider er ie diagoaler. a Bestem atallet af særigsputer mellem diagoaler. b Bestem atallet af dele som diagoalere deler polygoe i. c Bestem atallet af treater der opstår. Altså treater hvis hjører er polygoes hjører eller e særig mellem to diagoaler. Pascals treat og regig med biomialoefficieter Biomialoefficietere r viser sig at ue frembriges på e iteressat måde, og for at vise dette har vi behov for følgede formel.. Sætig Der gælder at Bevis Hvis ma sal udtage + elemeter ud af +, a ma ete udtage + ud af de første af de + elemeter, eller ma a udtage elemeter bladt de første samt udtage det sidste ud af de + elemeter. Dermed er

4 Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar Bemær at ma år frem til lighedsteget ved at tælle det samme på to forsellige måder; dette er et meget avedeligt tric. Alterativt a ma også blot rege, me det er ie helt så elegat: + +! + +!!! +!!! +! +! +!!! + +. Pascals treat + +. Biomialoefficietere a derfor opstilles i det ma alder Pascals treat således at e biomialoefficiet hele tide er summe af de to ovefor: Sætig Der gælder at + x 0 x. Bevis Når ma gager + x ud, får ma etop x ved at gage x et fra af paretesere med -tallere fra reste. Dette a ma gøre på måder..4 Biomialformle Der gælder at Bevis Ifølge sætig.3 er i0 + i i0. i Alterativt a ma beytte tricet med at tælle det samme på to forsellige måder, da begge sider af lighedsteget agiver atallet af delmægder af e mægde med elemeter. Vi har tidligere set at der fides etop delmægder af e mægde med elemeter. Ma a også tælle delmægdere ved at summere atal delmægder med 0,,... op til elemeter, og det er etop det der står på højreside..5 Opgave Vis at

5 Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar Opgave Lad P x + x + x +... x. Vis at + x P x P for alle reelle tal x og alle aturlige tal. BW998 Hit: Udyt at xp x x. 3 Flere ombiatioer At vælge r elemeter ud af svarer til at splitte de elemeter op i to buer: e med r elemeter og e med r elemeter. Nogle gage har ma imidlertid brug for at fordele de elemeter i mage flere buer. 3. Sætig Symbolet r,r,...,r m beteger atallet af måder hvorpå ma a dele e mægde med elemeter i m disjute delmægder A, A,..., A m med heholdsvis r, r,..., r m elemeter i hver delmægde, således at r + r r m. Der gælder at! r, r,..., r m r!r!... r m! Bevis Vi viser sætige ved idutio efter m. Hvis m, følger det af sætig.6. Atag at sætige er sad for m, og vi øser at vise at sætige er sad for m disjute delmægder med heholdsvis r, r,..., r m elemeter i hver. Atal måder hvorpå ma a dele mægde i m disjute delmægder med r, r,..., r m, r m + r m elemeter i hver, er ifølge idutiosatagelse r, r,..., r m, r m + r m! r!r!... r m!r m + r m! Desude a delmægde A m med r m +r m elemeter deles i to disjute delmægder med heholdsvis r m og r m elemeter på r m +r m r m,r m r m +r m! r m!r m! måder. Ifølge multipliatiospricippet får vi u! r m + r m!! r, r,..., r m r!r!... r m!r m + r m! r m!r m! r!r!... r m! 3. Esempel E lasse med elever sal deles i tre grupper med fire i hver. På hvor mage måder a dette gøres? Hvis gruppere beteges A, B og C, a de tolv elever ifølge sætige fordeles i gruppere A, B og C med 4 i hver på 4,4, måder. Me i spørgsmålet havde de tre grupper ige betegelse og var altså ie ordede, dvs. vi har talt hver ombiatio med 3! 6 gage. Der er dermed måder at dele lasse på.

6 Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar Opgave E ube er sammesat af små ehedsuber. På hvor mage måder a ma omme fra det ee hjøre til det diagoalt modsatte hjøre, år ma u må gå lags atere af ehedsubere og sal vælge e rute der er så ort så mulig? 4 Reursio I stedet for at fide e formel for atal ombiatioer ud fra e eller ade parameter, a ma bestemme atallet af ombiatioer reursivt dvs. at ma a besrive hvor mage ombiatioer der er for et givet, ud fra atallet af ombiatioer for og måse yderligere for. Ma a sige at reursio går ud på at ma udtryer det -te tal af fx e talræe ved hjælp af ogle af de foregåede tal. Fx er Fiboacci-tallee,,, 3, 5, 8, 3,... besrevet reursivt da det æste tal i ræe etop er summe af de to foregåede. 4. Esempel Peter sal gå op ad e trappe med tri. I hvert sridt går ha ete et eller to tri op. På hvor mage forsellige måder a ha gå op ad trappe? Dette problem a løses ved reursio. Lad A betege atal ombiatioer ved e trappe med tri. Det er emt at idse at A og A. Det sidste sridt a ete bestå af et eller to tri. Hvis trappe har tri, må der være A ombiatioer der eder med et sridt på et tri, da der er A forsellige måder at å det æstsidste tri på. Tilsvarede er der A ombiatioer som afsluttes med et sridt på to tri. Dermed er A A + A ligesom for Fiboaccitallee, og ma a gå op ad e trappe på tri på 33 forsellige måder. 4. Opgave Peter sal gå op ad e trappe med tri, me tager dee gag både sridt af et, to og tre tri. På hvor mage forsellige måder a Peter gå op ad trappe? 4.3 Opgave E iteressat delmægde af mægde M {,,..., }, hvor er et ulige tal, er e delmægde som for hvert lige tal de ideholder, også ideholder de to ulige abotal. Hvor mage iteressate delmægder fides der af M 3? 5 Sadsyligheder Kombiatori bruges også ofte i sadsylighedsregig. Hvis ma fx øser at berege sadsylighede for at få syv rigtige i lotto med 36 tal, er der u e af de ombiatioer af 7 forsellige tal som udtræes, dvs. sadsylighede for at få syv rigtige er Opgave da alle ombiatioer er lige sadsylige. I e sål er der fem røde bolde, tre blå og to grøe. Hvad er sadsylighede for at der er e rød, blå og e grø bold tilbage i såle, hvis ma fjerer syv tilfældige bolde?

7 Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar Opgave I e papasse ligger et stort atal løse soer. Nogle af soere er røde; de øvrige er blå. Det oplyses at det samlede atal soer ie overstiger 993. Edvidere oplyses det at sadsylighede for at træe to soer af samme farve, år ma på tilfældig måde udtræer to soer fra asse, er. Hvad er efter de foreliggede oplysiger det største atal røde soer der a befide sig i asse? GM993

8 Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar Løsigssitser Opgave.4 Kald delmægde som ideholder, for A, delmægde som ideholder, for B og de sidste for C. Der er u to muligheder for at placere tallet 3, da ige mægde må ideholde to på hiade følgede tal. Da dette gælder for alle de resterede tal, er der altså forsellige måder at fordele tallee på. I e eelt af disse ombiatioer bliver mægde C dog tom, dvs. resultatet er 98. Opgave.9 Ma a vælge de to pars talværdier på 3 78 måder og talværdiere for de sidste to ort på 55 måder. Når talværdiere er bestemt, a de to par hver vælges på 4 6 måder og de to adre ort på 4 4 måder. Der er altså i alt måder. Opgave. Der må være lige mage ruter ord om som syd om det spærrede ryds, så derfor a vi øjes med at tælle dem ord om. Vi beteger vejrydsee a,b således at Joata står ved, og sal til 5,7, og det spærrede vejryds beteges 3,4. Hvis Joata sal ord om det spærrede ryds, sal ha ete geem 5, eller 4,3, me ie geem begge. Joata a omme til 5, på 5 5 måder da ha samlet sal gå fire gage mod ord og e gag mod øst. Ha a omme fra 5, til 5,7 på e måde, så samlet er der 5 ruter geem 5,. Hvis ha i stedet vælger at gå via 4,3, er der 5 0 måder at omme fra, til 4,3 da ha sal gå tre gage mod ord og to gage mod øst. Desude er der 5 ruter fra 4,3 til 5,7. Samlet er der altså 50 ruter via 4,3. Dette giver i alt 0 5 ruter for Joata at vælge imellem. Opgave. Atag at vi har e placerig af byere hvor der er midst to øer med mere ed e by. Lad atallet af byer på de to øer være og med. Hvis vi flytter e by fra ø til ø, edlægger vi forbidelser og opretter, dvs. der bliver færre forbidelser. Dermed er der færrest muligt forbidelser, år der er øer med e by og e ø med 3 byer. Dette giver 3 + forbidelser. Opgave.3 a Hvert særigsput mellem to diagoaler a på etydig måde repræseteres ved de fire hjører som de to diagoaler forbider. Dermed er der 4 særigsputer mellem diagoaler. b For hver gag ma teger e y diagoal, opstår der e del mere samt e del mere for hvert særigsput dee diagoal daer med e ade diagoal. Der er diagoaler, dvs. at polygoe deles i dele. c Atallet af treater der har alle tre hjører i polygoes hjører, er 3. Nu tæller vi treater der etop har et hjøre som ie er et af polygoes hjører, me e særig mellem to diagoaler. For hver særig mellem to diagoaler opstår der etop fire sådae treater, dvs. der er 4 4. Treater som har et af polygoes hjører samt to særiger mellem diagoaler som hjører, opstår ved at ma vælger fem puter, vælger et af putere som hjøre og teger diagoalere mellem de fem puter, og der opstår u e såda treat på dee måde, dvs. at der er 5 5 sådae treater. Treater hvis hjører u består af særiger mellem diagoaler, opstår ved at ma vælger ses puter og teger tre diagoaler mellem dem på e såda måde at de alle særer hiade, og dette a

9 Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar gøres på etop e måde, dvs. der er 6 af slagse. I alt er der Opgave Opgave.6 Lad heholdsvis A og B betege vestre- og højreside af de formel vi øser at vise. Da xp x x, er x A Desude er x B + x x 0 0 x + P x + x. + x + x. Dermed er A B for alle reelle tal x. Da både A og B er polyomier, er de dermed også idetise for x. Opgave 3.3 Ma sal gå lags i sider i ehedsubere, tre i hver af de tre retiger. Dvs. ma a vælge mellem 9 3,3,3 680 forsellige ruter. Opgave 4. På samme måde som i esemplet idses at ture a afsluttes med et sridt af heholdsvis et, to eller tre tri, og derfor bliver A A 3 + A + A. Der er derfor 97 ombiatioer. Opgave 4.3 Lad A betege atallet af iteressate delmægder af M som ie ideholder tallet, og lad B betege atallet af iteressate delmægder af M som ideholder tallet, hvor er et ulige tal. Da et lige tal u må idgå i e iteressat delmægde, hvis dets to ulige abotal idgår, må A A + B, mes B A + B. Det ses emt at A og B. Ud fra de reursive formel a ma så udrege at A 3 +B Bemær at A, B, A 3, B 3, A 5,... etop er Fiboacci-talee. Opgave 5. Der er i alt forsellige ombiatioer af tre bolde. Ud af disse er der etop med e bold af hver farve ifølge multipliatiospricippet. Dermed er sadsylighede Opgave 5. Med beteges det samlede atal soer, med r atallet af røde soer. De opgive betigelse vedrørede sadsylighede er esbetydede med at sadsylighede for at træe to soer af forsellig farve er, altså med at r r.

10 Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar Ved udregig fides at dee relatio mellem og r er esbetydede med som videre giver 4r 4r + 0, r ±. De størst mulige værdi for r er da åbebart givet ved r 0 ± 0, hvor 0 er det størst mulige vadrattal midre ed eller lig med 993. Ved udregig ses at Altså er 0 44, og dermed fås r