x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium"

Transkript

1 SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium

2 Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 SANDSYNLIGHEDSFELT... 3 DE STORE TALS LOV... 4 Sadsyligheder og frekveser:... 4 STOKASTISK VARIABEL... 5 Middelværdi, spredig og varias... Væddemål... 7 Sætiger om middelværdi, spredig og varias... 8 Normeret stokastisk variabel... Uafhægige stokastiske variable... 3 Tæthedsfuktio og fordeligsfuktio... KOMBINATORIK Pricippet om iklusio og eksklusio Skuffepricippet (Dirichlets skuffepricip eller dueslagspricippet) CENTRALE BEGREBER: Permutatioer og kombiatioer Multiplikatiospricippere:... 3 Additiospricippere Permutatioer Kombiatioer Pascals Trekat (De Aritmetiske Trekat) Chu-Vadermodes idetitet BINOMIALFORDELING NEGATIV BINOMIALFORDELING DEN HYPERGEOMETRISKE FORDELING... 0 DEN NEGATIVE HYPERGEOMETRISKE FORDELING... DEN MULTINOMIALE FORDELING... 4 DEN MULTIVARIABLE HYPERGEOMETRISKE FORDELING... POISSON-FORDELING... 8

3 SANDSYNLIGHEDSREGNING Begrebet sadsylighed er som udgagspukt kyttet til situatioer eller forsøg, hvor der - fordi der spiller ogle tilfældigheder id - optræder mere ed ét muligt udfald. Vi kalder sådae situatioer eller forsøg for stokastiske eksperimeter, mes eksperimeter med ét (forudsigeligt) udfald kaldes determiistiske eksperimeter. Ma ka så udvide sadsylighedsbegrebet til at omfatte alle situatioer ved at tildele et sikkert udfald sadsylighede 00% og et umuligt udfald sadsylighede 0%. I disse tilfælde bruger vi dog betegelse hædelse i stedet for udfald. SANDSYNLIGHEDSFELT Et stokastisk eksperimet ka beskrives ved et sadsylighedsfelt, der ete er edeligt eller uedeligt. Edelige sadsylighedsfelter (sadsylighedsfordeliger) Defiitio : Et edeligt sadsylighedsfelt UPbestår, af et udfaldsrum U u u, u,...,, 3 u, hvor, 3,4, 5,..., der er mægde af samtlige mulige udfald, samt e sadsylighedsfuktio P: U 0;, der agiver sadsylighede for de ekelte udfald. Der gælder: i i 3 P u P( u ) P( u ) P( u )... P( u ) Ma ka også avede ordet sadsylighedsfordelig i stedet for sadsylighedsfelt. Eksempel : Et stokastisk eksperimet består i at kaste e møt 3 gage og for hvert kast otere, om det giver plat eller kroe. Det edelige sadsylighedsfelt, der beskriver dette eksperimet, er: = Kotrol Eksempel : Et stokastisk eksperimet består i at kaste e almidelig terig (kubus) og otere øjetallet. Det edelige sadsylighedsfelt bliver så: U Pu U P(u) kkk kkp kpk kpp pkk pkp ppk ppp I det sidste eksempel ville ma kue bestemme middelværdie for sadsylighedsfeltet, mes det ikke er tilfældet for det første eksempel (overvej selv hvorfor!). Vi veter med at berege middelværdier, til vi har fået idført begrebet stokastisk variabel. Eksemplere og er begge eksempler på såkaldte symmetriske sadsylighedsfordeliger, hvilket følger af defiitio : Defiitio : Et edeligt sadsylighedsfelt, hvor sadsylighedere for hvert udfald er es (dvs. Pu Pu u, u U ), kaldes et symmetrisk sadsylighedsfelt. i j i j 3

4 Et eksempel på et edeligt sadsylighedsfelt, der IKKE er symmetrisk er: Eksempel 3 (et IKKE-symmetrisk sadsylighedsfelt): Det stokastiske eksperimet, der består i at kaste to teriger og otere summe af øjetallee, giver følgede edelige sadsylighedsfelt: U Kotrol: Pui Pu i Bemærk altså, at oveståede IKKE er et symmetrisk sadsylighedsfelt, selvom ma ret hurtigt ka bemærke e form for symmetri i skemaet. Diskrete uedelige sadsylighedsfelter Defiitio 3: Et diskret uedeligt sadsylighedsfelt UPbestår, af et udfaldsrum U u, u, u,... med tælleligt mage udfald samt e sadsylighedsfuktio P: U 0; 3 agiver sadsylighede for de ekelte udfald. Der gælder: i i 3 P u P( u ) P( u ) P( u )..., der Eksempel 4: Et stokastisk eksperimet består i at blive ved med at kaste e møt, idtil ma første gag får plat, og ma oterer ved hvert kast, om det blev plat eller kroe. Dette giver følgede uedelige sadsylighedsfelt: U p kp kkp kkkp kkkkp kkkkkp... Pu 4 Kotrol: Pu i i Eksempel 5: Et stokastisk eksperimet består i at blive ved med at kaste e terig, idtil ma slår e 4'er, og ma oterer atallet af kast. Dette giver følgede uedelige sadsylighedsfordelig: U Pu Med e sætig fra forløbet om uedeligheder får ma: Pui... i 3 5 Kotrol: 4

5 Ma ka også have kotiuerte uedelige sadsylighedsfelter: Eksempel 3 : Forestil dig et område med arealet A, hvor ma udvælger pukter helt tilfældigt. De 4 ekelte pukter må ødvedigvis tildeles sadsylighede 0, og derfor har ma ige sadsylighedsfuktio. I stedet vil ma arbejde med såkaldte tæthedsfuktioer, der i dette tilfælde vil kue fortælle os, at sadsylighede for at udvælge et pukt ide for et delområde med arealet d d vil være P. A Vi idfører tæthedsfuktioer (i é dimesio) i Defiitio 0. Hædelser Defiitio 4: E delmægde af et udfaldsrum kaldes e hædelse. Af defiitioe følger: Sætig : Sadsylighede for e hædelse er summe af sadsyligheder for de udfald, som hædelse består af. Eksempel : I eksempel 4 kue e hædelse H bestå i, at ma får plat i adet eller tredje kast, H kp, kkp. Sadsylighede for dee hædelse er: dvs. 3 PH Pkp Pkkp Eksempel 7: I eksempel 3 kue e hædelse være at slå midst 9 med de to teriger, dvs. 5 H 9,0,, og PH P9 P0 P P Da e delmægde af U både ka være de tomme mægde og hele U, har ma følgede særlige hædelser: Hvis H Ø, er PH 0, hvilket kaldes for e umulig hædelse. Hvis H U, er PH, hvilket kaldes for e sikker hædelse. Og hvis ma tager udgagspukt i e hædelse H, har ma følgede: De komplemetære hædelse til H skrives H og består af alle de udfald i U, der ikke er med i H. De umulige hædelse og de sikre hædelse er komplemetære hædelser. Desude gælder følgede vigtige sætig: Sætig : PH PH 5

6 Eksempel 8: I eksempel 7 er de komplemetære hædelse til H hædelse H,3,4,5,,7,8, der består i højst at slå 8 med to teriger. Sadsylighede er PH PH I e hel del situatioer er det meget emmere at bestemme sadsylighede for de komplemetære hædelse ed for de søgte hædelse, og så ka sætig beyttes. Eksempel 9: I eksempel 5 kue ma se på hædelse H, der består i, at ma får midst kast. Hvis ma øsker at fide sadsylighede for dee hædelse, er det emmere først at se på komplemetærhædelse H, der består i at opå etop kast, hvorefter ma har: 5 PH PH

7 Øjetal for terig A Hædelser i et symmetrisk sadsylighedsfelt I et symmetrisk sadsylighedsfelt, hvor sadsylighedere for hvert udfald som bekedt er es, ka ma ret emt berege sadsylighede for e hædelse: Sætig 3: I et symmetrisk sadsylighedsfelt, hvor udfaldsrummet ideholder udfald, er sadsylighede for hædelse H beståede af r udfald givet ved: r PH Atal gustigeudfald Dette skrives sommetider: P hædelse Atal mulige udfald Eksempel 0: Se på terigkastet fra eksempel, hvor ma har et symmetrisk sadsylighedsfelt, og hvor atallet af elemeter i udfaldsrummet er H 3, 4,5,, der består i at slå midst e 3'er, ideholder 4 elemeter, så ma har. Hædelse 4 P H 3 Sætig 3 ka godt virke meget begræset i sie avedelsesmuligheder af forudsætige om, at det skal være e symmetrisk sadsylighedsfordelig, me ofte ka ma i ikke-symmetriske tilfælde betragte situatioe fra e ade idfaldsvikel, der giver et adet udfaldsrum, og dermed implicit arbejde med et "bagvedliggede" symmetrisk sadsylighedsfelt. Eksempel : I eksempel 3, hvor ma kastede to teriger og så på summe af øjetallee, fik ma som bekedt et ikke-symmetrisk sadsylighedsfelt. Me hvis ma ædrer udfaldsrummet til følgede med 3 udfald,... U Øjetal for terig B (,) (,) (,3) (,4) (,5) (,) (,) (,) (,3) (,4) (,5) (,) 3 (3,) (3,) (3,3) (3,4) (3,5) (3,) 4 (4,) (4,) (4,3) (4,4) (4,5) (4,) 5 (5,) (5,) (5,3) (5,4) (5,5) (5,)... får ma et symmetrisk sadsylighedsfelt med Pu i. 3 Hædelse beståede i, at summe giver 4, er så H 3,,,,,3, og da H ideholder 3 elemeter, er 3 PH. 3 (,) (,) (,3) (,4) (,5) (,) Hædelse beståede i, at summe giver 8, er H 5 P H. 3 ideholder altså 5 elemeter, dvs.,, 5,3, 4,4, 3,5,, og 7

8 Betiget sadsylighed: Vi har hidtil ku set på hædelser hver for sig. Vi skal u til at se på flere hædelser i forbidelse med hiade forstået på de måde, at vi skal se på sadsylighede for, at hædelse A idtræffer uder forudsætig af at hædelse B er idtruffet. Dette skrives som: P A B Det læses som: Sadsylighede for hædelse A, givet hædelse B. Eller: De betigede sadsylighed for hædelse A, givet hædelse B. Eksempel : Eksempler på sådae situatioer kue være: Hvad er sadsylighede for at få et ulige øjetal ved et kast med e terig, givet at øjetallet er over 3? Hvad er sadsylighede for at være farveblid, givet at du er e mad? Hvis ma kaster e møt tre gage, hvad er så sadsylighede for at få kroe i tredje kast, givet at ma har fået plat i adet kast? Vi øsker at fide e formel til at berege disse betigede sadsyligheder og ser derfor på U u, u, u,..., u beståede af udfald: følgede udfaldsrum 3 A u, u3, u5, u7, u8 og B u4, u5, u, u8, u0 Fællesmægde A B u, u er forskellige hædelser. udgør i sig selv e hædelse, og de er væsetlig i dee 5 8 sammehæg, for år vi skal se på sadsylighede for, at hædelse A idtræffer uder forudsætig af, at hædelse B er idtruffet, så svarer det til, at vi har begræset udfaldsrummet fra U til B og u ser på sadsylighede for, at hædelse A Bidtræffer. Eller med adre ord: Det er givet, at e af hædelsere u4, u5, u, u8 ogu0 er idtruffet, og vi skal u fide sadsylighede for, at det er e af hædelsere u5eller u 8, der er idtruffet. P A B er sadsylighede for, at udfaldet ligger i fællesmægde A B, i forhold til Dvs. sadsylighede for, at udfaldet ligger i B: Sætig 4: P A B P A B P B Bemærk, at A B B A (kommutativitet), for vestreside består jo af de elemeter, der både ligger i A og B, mes højreside består af de elemeter, der både ligger i B og A, dvs. det er de samme elemeter, der idgår på begge sider. 8

9 Da omskriviger af sætig 4 giver P A B P A B PBog PB A PB A P A og da P A B PB A, har ma altså P A B PB PB A P A eller omskrevet: Sætig 5 (Bayes' sætig): P A P A B P B A P B, Eksempel 3: Hvad er sadsylighede for et ulige øjetal ved et kast med terig, givet at øjetallet er over 3?,3,5 4,5, AB 5. Vi har altså de to hædelser A og B, hvor Det er et symmetrisk sadsylighedsfelt med mulige udfald, så alle udfald har sadsylighede P og ma har så: A B P A B PB 3 3 Ma kue også have set på de modsatte situatio: Hvad er sadsylighede for at få et øjetal over 3, givet at kastet gav et ulige øjetal? PB A PB A P A P Bayes' sætig avedt til dee udregig: B PB A P A B P A Hvis sadsylighedere for de to hædelser A og B er lige store, fortæller Bayes' sætig os altså, at de to betigede sadsyligheder er lige store. Me hvis f.eks. sadsylighede for e hædelse A er dobbelt så stor som sadsylighede for e hædelse B, så vil de betigede sadsylighed for hædelse A, givet hædelse B, også være dobbelt så stor som de betigede sadsylighed for hædelse B, givet hædelse A. Lad os u se på et tilfælde, hvor sadsylighedere for hædelsere A og B ikke er lige store: Eksempel 4: Hvad er sadsylighede for et ulige øjetal ved et kast med terig, givet at øjetallet er over 4?,3,5 5, AB 5. Vi har de to hædelser A og B, hvor P A B Ma har så: P A B PB Hvad er sadsylighede for at få et øjetal over 4, givet at kastet gav et ulige øjetal? PB A PB A P A 3 3 PB Bayes' sætig avedt til dette: PB A P A B P A Bayes sætig ka avedes til adet ed terigkast. De er relevat i mage sammehæge: 9

10 Eksempel 4b: Vi ser på følgede opdigtede situatio: 0% af alle vokse daskere er tatoverede, 4% af alle vokse er slemme forbrydere og 98% af alle vokse slemme forbrydere er tatoverede. E slem forbrydelse er blevet begået, og vi pågriber e tilfældig vokse dasker, hvorefter vi opdager, at hu er tatoveret, hvorefter vi straks gør hede til mistækt med begrudelse, at 98% af alle slemme forbrydere er tatoverede. Tallet 98% er korrekt, me er det det rigtige tal at basere si begrudelse på? Vi lader T være hædelse vokse tatoveret dasker, dvs. PT 0,0. Vi lader F være hædelse vokse slem forbryder, dvs. PF 0,04. Med disse betegelser ka 98% af alle vokse slemme forbrydere er tatoverede oversættes til PT F 0,98. Me bemærk u, at vi har pågrebet e tilfældig vokse dasker og opdaget, at hu er tatoveret. Og vi øsker u at fide sadsylighede for, at hu er e slem P T F. Vi aveder Bayes sætig til forbryder. Dette svarer til PF T og ikke at fide sadsylighede: PF 0,04 PF T PT F 0,98 0, 05,5% PT 0,0 Det er altså ikke særlig sadsyligt, at vi har fået fat i e slem forbryder, me hvis P T F fra hiade, risikerer ma at foretage ma ikke ka skele PF T og dee fejlslutig. Prosecuter s Fallacy (Aklageres fejlslutig) er e fællesbetegelse for e række fejlslutiger, der som avet heviser til ka optræde i retssager, me også helt geerelt i dagligdage. Vi ka beytte Bayes sætig til at belyse e ekelt af dem: Vi lader B være hædelse Beviset er fudet og U hædelse De aklagede er uskyldig. P B U altså sadsylighede for at have fudet det Hermed er de betigede sadsylighed pågældede bevis, givet at de aklagede er uskyldig, mes PU B er sadsylighede for, at de aklagede er uskyldig, givet det pågældede bevis optræder. Læg godt mærke til forskelle! Prosecuter s Fallacy optræder, hvis ma forveksler disse to sadsyligheder med hiade. I e P U B, der er væsetlig (hvis dee sadsylighed er meget lille, ser sage skidt ud retssag er det for de aklagede), mes PB U ofte ka være emmere at rege ud. Bayes sætig giver os: PU P U B P B U P B Det afgørede i dee sammehæg er brøke på højreside i oveståede. For selv hvis P U B aklagere er i stad til at fremlægge et argumet for, at PB U er meget lille, så behøver ikke også at være så lille, da brøke ka være meget stor. Lad os se på et ekstremt eksempel: 0

11 Eksempel 4c: Vi atager, at vi har e populatio på 5 millioer meesker, og e forbrydelse har fudet sted. Der er efterladt et DNA-spor. Politiet vælger tilfældigt bladt hele populatioe e mistækt og foretager e DNA-test. Der er overesstemmelse mellem de mistæktes DNA og det efterladte DNA-spor, og det gælder ku for ud af persoer. Så politiet kokluderer, at PB U 0, 000, dvs. at sadsylighede for 0000 at få dette bevis, givet at persoe er uskyldig, er 0,0%, og derfor må persoe være skyldig. Me ud af de 5 millioer meesker er uskyldige, dvs. PU, og da æste alle i populatioe er uskyldige, er PB PB U 0,000, dvs. Bayes sætig giver PU B, dvs. sadsylighede for, at persoe er uskyldig, givet dette bevis optræder, er faktisk æste 00%. Der er avedt " " et par steder i oveståede eksempel, da vi ikke er iteresserede i det eksakte resultat. Når vi har lært om multiplikatios- og additiospricippere, vil vi se, at ma teoretisk set - ville kue fide P B ved PB PB U PU PB U PU. E poite ved Eksempel 4c er, at ma ikke ka beytte f.eks. e DNA-test, hvis de optræder som det eeste bevis, da ma så har PU. Me hvis det optræder samme med adre beviser, ka det være et stærkt bevis. Med oveståede udtryk ka Bayes sætig altså omskrives til følgede sammehæg, hvor vi først rigtigt ka forstå ævere i brøke, år vi har geemgået oget kombiatorik: Sætig 5 udvidet: P A P A B P B A P B A P A P B A P A Eksempel 4d: Til e fest testes for, om deltagere har idtaget stoffer. Der avedes et apparatur, hvor 99% af alle, der har idtaget stoffer, vil blive testet positive. Ku 3% af dem, der ikke har idtaget stoffer, vil blive testet positive. Vi atager, at % af alle deltagere i feste har idtaget stoffer. Vi idfører u følgede hædelser: B: Teste er positiv (dvs. apparatet siger Biiiiiiiip ) S: Persoe har idtaget stoffer. S : Persoe har ikke idtaget stoffer (de komplemetære hædelse til oveståede) Hermed er altså: P B S 0,99 P S P S P B S 0, 0 0,98 0,03 E tilfældig perso bliver testet positiv, og vi øsker u at fide sadsylighede for, at P S B : persoe har idtaget stoffer. Vi skal altså bestemme P B S P S B P S 0,0 0,99 0, 40 40% P B S P S P B S P S 0,990,0 0,030,98 Det mest sadsylige er altså, at persoe ikke har idtaget stoffer.

12 Vi ser u på et eksempel, hvor sadsylighedere for hædelsere A og B er lige store, og hvor vi P B A P A B : derfor øjes med at berege P A B, da vi ved, at Eksempel 5: Hvis ma kaster e møt tre gage, hvad er så sadsylighede for at få kroe i tredje kast, givet at ma har fået plat i adet kast? Det er et symmetrisk sadsylighedsfelt med udfaldsrummet U ppp, ppk, pkp, pkk, kpp, kpk, kkp, kkkog Pu i. 8 Vi har desude: 4 Hædelse at få kroe i tredje kast: A ppk, pkk, kpk, kkk P A 8 4 Hædelse at få plat i adet kast: B ppp, ppk, kpp, kpk PB 8 AB ppk, kpk P A B 8 4 P A B P A B 4 PB 4 Oveståede er et eksempel på såkaldt uafhægige hædelser. Ma ka hurtigt overbevise sig selv om, at det at få plat i adet kast ikke ka have oge idvirkig på, om ma får kroe i tredje kast, eller sagt på e ade måde: Sadsylighede for at få kroe i tredje kast er uafhægig af, om ma har fået plat eller ej i adet kast. Vi defierer u: Defiitio 5: Hædelse A siges at være uafhægig af hædelse B, hvis P A B P A Øvelse : Udersøg i hvilke af situatioere i eksemplere 3, 4 og 5, at de ee af hædelsere er uafhægig af de ade. Vi ser u på følgede vigtige - og måske overraskede - sætig: Sætig : Hvis hædelse A er uafhægig af hædelse B, så er hædelse B også uafhægig af hædelse A, og ma taler derfor om de uafhægige hædelser A og B. Bevis : Atag, at hædelse A er uafhægig af hædelse B. Der gælder så ifølge defiitio 5 og sætig 4: P A B P A P A B P B Og dermed ka udtrykket omskrives til: PB A P B A P A PB P B P A PB A dvs. ifølge sætig 4: P B Ifølge defiitio 5 har vi altså, at B er uafhægig af A.

13 Ved at ærstudere beviset ka ma desude se følgede sætig: Sætig 7: Hædelsere A og B er uafhægige, etop hvis P A B P A PB Øvelse : Tjek, om du - evt. ved ærlæsig af beviset for sætig - ka se, at der gælder "etop hvis" (dvs. e biimplikatio) i Sætig 7. Eksempel : Vi kaster e møt fire gage og vil gere udersøge, om følgede hædelser er uafhægige: A: Ma får kroe i adet kast. B: Ma får midst to plat i alt. Sadsylighedsfeltet er symmetrisk og består af et udfaldsrum med mulige udfald: U pppp, pppk, ppkp, ppkk, pkpp, pkpk, pkkp, pkkk, kppp, kppk, kpkp, kpkk, kkpp, kkpk, kkkp, kkkk A pkpp, pkpk, pkkp, pkkk, kkpp, kkpk, kkkp, kkkk 8 udfald B pppp, pppk, ppkp, ppkk, pkpp, pkpk, pkkp, kppp, kppk, kpkp, kkpp A B pkpp, pkpk, pkkp, kkpp 4 udfald 8 P A PB 3 4 P A B 4 P A B P A P B, er hædelsere IKKE uafhægige. Da 3 udfald Da hædelse B i eksempel er mere sadsylig ed hædelse A, så ved vi desude ifølge Bayes' sætig, at det er mere sadsyligt at få midst to plat, givet at adet kast var kroe, ed det er at få kroe i adet kast, givet at ma får midst to plat. Eksempel 7: E møt kastes 3 gage, og vi vil gere udersøge, om følgede hædelser er uafhægige: A: Ma får kroe i første kast. B: Ma får det samme i alle tre kast. Vi har mægdere: U ppp, ppk, pkp, pkk, kpp, kpk, kkp, kkk A B kpp, kpk, kkp, kkk ppp, kkk A B kkk Udregigere giver: P A PB 4 8 P A B 8, er hædelsere A og B uafhægige. Da P A B P A PB Sætig 7 er ekstremt vigtig. Avedelse vil oftest være, at ma øsker at fide sadsylighede for, at flere hædelser (A, B, C, ) alle idtræffer, og at ma ka geemskue, at de er uafhægige af hveradre. Sætig 7 siger så, at vi ka fide dee søgte sadsylighed ved at multiplicere sadsylighedere for de ekelte hædelser.

14 Sadsyligheder og frekveser: DE STORE TALS LOV Sadsyligheder og frekveser er begge størrelser, der ligger i itervallet 0, eller mellem 0% og 00%, me det er vigtigt at skele mellem disse to beslægtede begreber. Sadsyligheder hører - ikke overraskede - hjemme ide for sadsylighedsregig, mes frekveser hører hjemme ide for statistik. Sadsyligheder er oget, ma tæker sig frem til (ofte ved iddragelse af kombiatorik), mes frekveser fremkommer ved beregig på idsamlet datamateriale. Dette ka illustreres med følgede skema: Sætig 8 (De store tals lov): Ved getagelse af et eksperimet gage gælder f A P A for, hvor f A er frekvese af hædelse A, og P A er sadsylighede for hædelse A. Eller lidt løst sagt: Jo flere gage ma udfører et eksperimet, jo tættere kommer frekvese for e hædelse i store træk på sadsylighede for dee hædelse. Eller: De observerede hyppigheder vil i store træk komme relativt tættere på de forvetede hyppigheder, jo flere gage ma udfører et eksperimet. Bemærk, at dette ikke er e almidelig matematisk sætig. Sætige kobler statistik og sadsylighedsregig samme, og de afviger fra vores allerede kedte sætiger om for et græseværdier ved, at vi ikke ka sætte tal på, hvor stor skal være, for at f A P A givet. Vi ka ku udtale os om sadsyligheder for de slags. Dvs. vi er ødt til, hvis vi skal have e præcis formulerig, der ville kue bruges til udregiger, at idføre sadsylighedsbegrebet i formulerige. Det ka skrives på forskellige måder. E af dem er: M M p f A P A, 0, : Dvs. uaset, hvor tæt,, vi kræver, at frekvese eksperimet skal komme på sadsylighede, P A, ikke sker, gøres midre ed ehver positiv størrelse givet tilpas stort tal - M. Sætige fugerer dog også som e ret statistisk sætig. Hvis f.eks. 4,7% af alle daskere vil stemme på partiet Q, så ka ma rege med, at jo flere daskere, ma udtager i e stikprøve, jo tættere vil frekvese af Q-stemmere i stikprøve i store træk komme på 4,7%. Når ma ide for statistik skal foretage et såkaldt hypotesetest, er det observerede og forvetede hyppigheder, der idgår i testet, da atallet af observatioer er væsetligt for vurderige. 4, f A, for hædelse A ved getagelser af et,, for hædelse A, så ka risikoe for, at det hvis bare vi sørger for, at er større ed et

15 STOKASTISK VARIABEL Vi øsker u at idføre begrebere middelværdi, varias og spredig som ogle størrelser, der skal fortælle oget om vores eksperimeter. Me disse størrelser kræver tal, der ka reges på, og vi har U ppp, ppk, pkp, pkk, kpp, kpk, kkp, kkk - der ikke allerede set eksempler på udfaldsrum - f.eks. består af tal. Vi vil derfor idføre begrebet stokastisk variabel, der er e fuktio, der sætter tal på de ekelte udfald. I oveævte tilfælde med vores plat og kroe kue e stokastisk variabel f.eks. være e fuktio, der agav det samlede atal plat, eller det kue være e fuktio, der gav værdie 0, hvis det adet kast gav kroe, og ellers -5. Helt geerelt idfører vi altså: Defiitio : E stokastisk variabel X i et edeligt sadsylighedsfelt er e fuktio der til ethvert udfald i udfaldsrummet kytter et reelt tal. X : U R, Eksempel 8: Hvis ma kaster e møt tre gage, ka e stokastisk variabel være de fuktio, der til hvert af de 8 udfald kytter atallet af kroe: U kkk kkp kpk kpp pkk pkp ppk ppp X u 3 0 Hvis ma kytter e sadsylighedsfuktio på, får ma: t P X t Her er t altså de værdier, som de stokastiske variabel ka atage. Eksempel 9: Et lykkehjul med forskellige farver ka drejes, og eksperimetet beståede i at dreje é gag ka beskrives ved sadsylighedsfeltet: U Grø Blå Sort Gul Violet Hvid Pu 0,08 0,05 0,5 0,30 0,0 0,40 Lykkehjulet avedes i et tivoli, så ma ka vide pege, hvis ma er heldig, og vores stokastiske variabel skal i dette tilfælde være e fuktio, der "oversætter" farve til et beløb (i kroer). Det kue f.eks. være: U Grø Blå Sort Gul Violet Hvid X u Når vi har idført begrebet stokastisk variabel, ka vi idføre følgede størrelser, der fortæller oget om de stokastiske variabel (og dermed om det eksperimet, som de stokastiske variabel er e del af): 5

16 Middelværdi, spredig og varias Defiitio 7: I et edeligt sadsylighedsfelt med de stokastiske variabel X, der ka atage værdiere x, x, x3,..., x m, idføres størrelsere: m Middelværdi ( eller E X ): xi P X xi Varias: var X x P X x i m i Spredig: var X i i Eksempel 0: Vi vil bestemme middelværdi, varias og spredig for de stokastiske variabel idført i eksempel 8: xi P X xi i var X xi P X xi 0 3 i var X 0,8 4 Vi vil altså i geemsit få,5 kroe, år vi udfører eksperimetet. Eksempel : Vi udreger middelværdie i Eksempel 9: i x P X x 0 0, , ,5 0, , 0 0 0, 40 i i 0,8 0, 75 0, 0 4,5 Dvs. ma vider i geemsit 4,5 pr. spil (som sikkert koster et sted mellem 0 og 0 kroer pr. spil). I Gym-pakke ligger kommadoere middel, varias og spredig, der ka bruges til at udrege disse værdier, år de stokastiske variabels sadsylighedstabel er agivet som e tabel. Dette gøres ved at adskille de to rækker med e lodret lije som vist edefor:

17 Væddemål I situatioer, hvor det er muligt at fastsætte sadsyligheder for de mulige udfald af et væddemål samt kytte reelle tal til de ekelte udfald, ka ma bruge middelværdie af de stokastiske variabel, der beskriver væddemålet, til at afgøre, om det er et favorabelt væddemål. På uværede tidspukt magler vi oget kombiatorik for at kue se på ogle sofistikerede væddemål, så det følgede eksempel er forholdsvis simpelt: Eksempel a: Hvis du ka slå to ere i ét slag med disse to teriger, får du 50 kr., me hvis du ikke ka, skal du betale mig kr. Vil du gå med til det væddemål? Sadsylighede for at slå to ere i ét slag med to teriger er, så de 3 stokastiske variabel X, der beskriver væddemålet er: x P x 3 3 Middelværdie for dee stokastiske variabel er: 35 5 E X xi P X xi 50 0 i Da middelværdie er egativ, ka det ikke betale sig for dig at idgå dette væddemål. Dette stemmer med tommelfigerregle, der siger, at hvis oge tilbyder dig et væddemål, skal du sige ej, da du må gå ud fra, at det ikke ka betale sig for dig, for hvorfor skulle du ellers få tilbuddet? Eksempel b: Det koster 0 kroer at købe et lod i tombolae, hvor der er 5000 sedler. Der er é seddel med hovedgeviste på 5000 kroer, 50 sedler med e gevist på 00 kroer og 00 sedler med e gevist på 50 kroer. Vi vil rege på, om det ka betale sig at købe et lod: X / Gevist 4849 P E X xi P X xi i Da et lod koster 0 kroer, og de geemsitlige gevist er kroer, ka det sjovt ok ikke betale sig at købe et lod. Ma kue også med det samme medrege loddets pris, hvilket gøres med de stokastiske variabel X 0, hvor ma får: X - 0 / Idtægt 4849 P E X 0 xi 0 P X xi i Med dee stokastiske variabel, der altså trækker 0 fra hver af X s fuktiosværdier, er det afgørede, om middelværdie er uder 0, og da de er det, ka det ikke betale sig at købe et lod. 7

18 Øvelse 3: Vi slår plat og kroe med to møter hver. Jeg kaster først. Hvis du får flere plat ed mig, får du 0 kr. Hvis du ikke får flere plat ed mig, skal du betale 5 kr. Vil du idgå dette væddemål? Tommelfigerregle siger, at du skal afvise væddemålet. Me prøv selv at rege efter og 5 se, at middelværdie er. Sætiger om middelværdi, spredig og varias I Eksempel b så vi et eksempel på, hvorda ma ka dae e y stokastisk variabel X 0 ud fra de stokastiske variabel X ved at trække 0 fra alle fuktiosværdier. Og måske blev det bemærket, at middelværdie for de ye stokastiske variabel også blev 0 midre ed de opridelige. Det er et af resultatere i følgede sætig: Sætig 9: I et edeligt sadsylighedsfelt med de stokastiske variable X og Y gælder følgede, år a og b er reelle tal: Middelværdi: a) E a X b a E X b b) E X Y E X E Y Spredig: c) a X b a X Varias: d) var X E X E X e) var a X b a var X Bemærk (se evt. Defiitio ), at stokastiske variable er fuktioer, dvs. X Yer e sumfuktio, og X er e produktfuktio (da X X X ), mes a X b er e fuktio multipliceret og efterfølgede adderet med kostater. Præcis som vi keder det fra alle adre fuktioer. Dvs. X Y er de fuktio, der til hvert udfald kytter summe af de tal, som de stokastiske variable X og Y hver især kytter til det pågældede udfald. Og 8 X kvadrerer X s fuktiosværdier. Eksempel 3a: Vi atager, at vi har edeståede edelige sadsylighedsfelt: U Blå Grø Rød Sort P 0,4 0,3 0, 0, Vi ser følgede to stokastiske variable X og Y i sadsylighedsfeltet: U Blå Grø Rød Sort X 4 5 Y X sort 5og Y sort 3, gælder: Da ma altså f.eks. har X Y sort 5 3 8, X sort 5 5 og X sort

19 Eksempel 3b: Vi ka ud fra tabellere i Eksempel 3a se, at ma for de stokastiske variabel X får sadsylighedsfuktioe: t 4 5 P X t 0,7 0, 0, Disse sadsyligheder gælder også for X og a X b, da disse stokastiske variable jo tager udgagspukt i X s fuktiosværdier. Nogle eksempler er: Ifølge Sætig 9d har ma altså: X E X E X var 8,5,7, Bemærk, at vi ikke ka opstille e tabel som i Eksempel 3b, år vi iddrager de stokastiske variabel Y, fordi de har adre sadsyligheder ed X: Eksempel 3c: Med iformatioere fra Eksempel 3a har ma: Da sadsylighedsfuktioere er forskellige, ka ma ikke opstille e tabel som i Eksempel 3b. Hvis ma skal kue opskrive både X og Y i ét skema (og dermed også forskellige sammesætiger af disse, som f.eks X Y, X Y og X 3 Y ), er ma derfor ødt til at gå helt tilbage og iddrage udfaldsrummet, da dette er fælles for de to stokastiske variable: U Blå Grø Rød Sort P 0,4 0,3 0, 0, X 4 5 Y X Y X Y X 3 Y E X X u P u 0,4 0,3 40, 50,,7 i 4 E Y Y u P u 0,4 7 0,3 7 0, 30,, i 4 E X Y X Y u P u 80,4 90,3 0, 80, 8,9 i 4 E X Y X Y u P u 0,4 40,3 80, 50,, i Det bemærkes, at E X Y i i i i i i i i er i overesstemmelse med Sætig 9b, me det er også værd at bemærke, at da, 7,, 74,, dvs. der gælder ikke geerelt e tilsvarede sætig for multiplikatio (me vi skal seere se, hvorår dette gælder). 9

20 Efter disse eksempler er vi klar til at bevise sætigere: Bevis 9: E stor del af bevisere består i at kue rege med sumteg. 9.a: Vi beytter Defiitio7 på middelværdi og bemærker, at det er selve værdiere af de stokastiske variabel, der bliver ædret med a og b, mes der ikke sker oget med sadsylighedsfuktioe, der jo er tilkyttet det opridelige sadsylighedsfelt: m m m E a X b a x b P X x a x P X x b P X x i i i i i i i i m i i i i i m m a x P X x b P X x a E X b a E X b Der blev i æst sidste skridt beyttet P X x i i, da sadsylighedere for alle udfald og dermed også for alle værdier af de stokastiske variabel summerer op til. 9.e: Vi beytter Defiitio 7 på varias: var m i i a X b a x b E a X b P X x i m i m i a xi b a E X b P X xi a xi E X P X xi m i i i var a x E X P X x a X 9.c: Dette følger direkte af Sætig 9.e samt Defiitio 7. 9.b: Når vi skal bevise dee sætig, er det vigtigt at være opmærksom på, at vi er ødt til at gå helt tilbage til udfaldsrummet, år vi arbejder med sumtegee, for som vi så i Eksempel 3c, kue forskellige udfald godt give es værdier for X, me forskellige værdier for X Y (f.eks. blå og grø). i i i i i E X Y X Y u P u X u Y u P u i i X ui Pui Y ui P ui X ui P ui Y ui P ui E X E Y i i i 9.d: Her skal ma gøre sig klart, at ma med X meer de stokastiske variabel, der til hvert udfald giver kvadratet på de værdi, som de stokastiske variabel X giver. var m X xi E X P X xi i m i xi E X xi E X P X xi m m m xi P X xi E X P X xi xi E X P X xi i i i m m i i i E X E X P X x E X x P X x i i E X E X E X E X E X E X 0

21 Eksempel 4: Sætig 9.d. blev tidligere - ide computere overtog arbejdet - avedt, år ma skulle bestemme variase, fordi det ofte var hurtigere at foretage dee udregig (se også Eksempel 3b ederst). Lad os se på eksempel 8 og sammelige med eksempel 0: U kkk kkp kpk kpp pkk pkp ppk ppp X u 3 0 X u x i 0 3 x i P X x i P X x i E X xi P X xi 0 3 i E X x i P X xi i X E X E X var Resultatet stemmer med eksempel 0 (me ma ka også bemærke, at der i dette tilfælde ikke var det store regearbejde at spare). Sætig 9 agiver ogle regler for regig med middelværdier, spredig og varias. Da var( X ), fortæller spredige og variase på si vis det samme om de stokastiske variabel. De fortæller det bare med forskellige værdier. Vi støder på dem ige ide for statistik. Vores regler skulle gere stemme overes med vores ituitive forståelse af begrebere middelværdi og spredig. For se på edeståede figur, hvor vi betragter e stokastisk variabel X samt ogle ædriger af dee. De røde og blå prikker repræseterer de mulige værdier for de pågældede stokastiske variabel, og for at gøre det emmere at overskue tildeles hver værdi samme sadsylighed (der er 0%). : De stokastiske variabel X har middelværdie 3,3 og spredige,45. Spredige er agivet med det violette lijestykke. Spredige er et udtryk for, hvor spredt puktere (vægtet) ligger omkrig middelværdie. : Her ses på e y stokastisk variabel, hvor der er lagt 5 til hver værdi. Dette øger middelværdie med 5, me spredige påvirkes ikke. 3: Her er hver værdi for de stokastiske variabel multipliceret med 3. Dette påvirker både middelværdi og spredig (se figure). Bemærk, hvorda puktere bliver mere spredt. 4: Agivet med blå prikker.

22 Normeret stokastisk variabel Ehver stokastisk variabel X ka ormeres: Defiitio 8: Lad X være e stokastisk variabel med middelværdi og spredig. X De stokastiske variabel N kaldes så for de tilsvarede ormerede stokastiske variabel. Eksempel 5: Vi ser ige på Eksempel 8, hvor vi i Eksempel 0 beregede, at X og : P X x X 3 De tilsvarede ormerede stokastiske variabel X N er så: N P U x Sætig 0: E ormeret stokastisk variabel har middelværdie 0 og spredige. Eksempel : Vi beytter Sætig 9 til at berege middelværdi og spredig for de ormerede stokastiske variabel fra Eksempel 5. Først beyttes Sætig 9.a: X E U E E X E X Dvs. middelværdie af de stokastiske variabel U er 0. X Sætig 9.c giver os: U X X Dvs. at de stokastiske variabel U har spredige. Bevis 0: Vi ka udytte Sætig 9 til at bevise Sætig 0: Vores udgagspukt er, at de stokastiske variabel X har middelværdie og spredige (der er e ikke-egativ størrelse). Af Sætig 9.a følger: X E N E E X E X 0 Dvs. middelværdie for de stokastiske variabel U er 0. X Af Sætig 9.c følger: N X X X X X X Dvs. de stokastiske variabel N har spredige. Normerig er e metode til at gøre forskellige stokastiske variable sammeligelige, på samme måde som idekstal idføres for at kue sammelige prisudvikliger af forskellige størrelser.

23 Uafhægige stokastiske variable I Defiitio 5 og sætigere og 7 så vi på uafhægige hædelser. Vi ka på samme måde tale om uafhægige stokastiske variable. Ma skal huske på, at e stokastisk variabel er e fuktio, der til ethvert elemet i udfaldsrummet kytter et reelt tal, dvs. de ka godt kytte det samme tal til flere forskellige udfald, og e stokastisk variabel ka så være e metode til at få daet forskellige hædelser, emlig hvis ma lader de forskellige hædelser hver især bestå af de udfald, som de stokastiske variabel tildeler samme værdi. Eksempel 7: Vi ser ige på situatioe fra Eksempel 8 (e møt kastes tre gage og de stokastiske variabel X agiver atal 'kroe'). U kkk kkp kpk kpp pkk pkp ppk ppp X u 3 0 I dette tilfælde daer de stokastiske variabel hædelsere: H ppp H H H 3 4 kpp, pkp, ppk kkp, kpk, pkk Vi beytter derfor u Sætig 7 som udgagspukt for følgede defiitio: kkk Defiitio 9: De stokastiske variable X og Y kaldes uafhægige, hvis det gælder, at: P X x Y y P X x P Y y x Vm X, y Vm Y i j i j i j Eksempel 8: Vi ser edu egag på situatioe med 3 kast med e møt. Vi ser på tilfældet: X: Agiver atallet af kroe. Y: Agiver atallet af plat. Vores klare foremmelse må være, at disse to stokastiske variable IKKE er uafhægige, for hvis ma keder værdie for de ee, keder ma de også for de ade ud fra ligige y 3 x. Vi ser på et par situatioer: a) X giver, og Y giver. Vi ka ikke have begge dele på é gag, så P X Y P X Y P X P Y, er de stokastiske variable IKKE uafhægige, Vi har P X,og PY, dvs. P X PY Da og derfor behøver vi egetlig ikke at se på flere udregiger, me her kommer e mere for forståelses skyld. b) X giver, og Y giver. Her har vi: P X Y og P X P Y Dvs. P X Y P X P Y 3

24 Eksempel 9: Tre kast med e møt og følgede stokastiske variable: X: Atal kroe. Y: Atal kast Bemærk, at Y er e ret kedelig stokastisk variabel, der hele tide giver 3. Dermed skulle det også være oplagt, at disse to stokastiske variable er uafhægige. Der ses på ogle situatioer (tæk selv over sadsylighedere): a) X 0 og Y 3: P X 0 Y 3 P X 0 P Y Dvs. P X 0 Y 3 P X 0 P Y 3 b) X og Y 3: 3 3 P X Y 3 P X PY Dvs. P X Y 3 P X P Y 3 c) X og Y 3: 3 3 P X Y 3 P X PY Dvs. P X Y 3 P X P Y 3 d) X 3 og Y 3 : P X 3 Y 3 P X 3 PY Dvs. P X 3 Y 3 P X 3 P Y 3 Vi har u geemgået alle kombiatioer og set, at udtrykket er sadt i alle tilfælde, og dermed er disse to stokastiske variable uafhægige. Eksempel 30: Ige 3 kast med e møt, dvs. U kkk, kkp, kpk, kpp, pkk, pkp, ppk, ppp. X: Atal kroe. Z: Atal skift fra plat til kroe. Vi ser på 4 ud af de mulige kombiatioer (overvej selv sadsylighedere). a) X 0 Z 0 P X 0 Z 0 P X 0 PZ 0 Falsk b) X 0 Z P X 0 Z 0 P X 0 PZ Falsk 8 c) X 0 Z P X 0 Z 0 P X 0 PZ Falsk 8 4 h) X Z P X Z P X 3 PZ Falsk 4 8 Edu egag har vi altså IKKE uafhægige stokastiske variable. Bemærk, at Defiitio 9 ikke er e sætig (muligvis er avet alee ok til at give é e mistake om, at det forholder sig såda). Det er e defiitio, der sikrer, at vi ka bruge ordet uafhægighed på samme måde, som vi gjorde i forbidelse med hædelser. Når vi seere aveder dee sætig, er det IKKE som i eksemplere ovefor ved at udrege sadsyligheder og teste om X og Y er uafhægige. Vi aveder de modsat ved at atage eller ræsoere os frem til, at X og Y P X x Y y P X x P Y y. er uafhægige, hvorefter vi ka udytte, at i j i j 4

25 Sætig : For uafhægige stokastiske variable X og Y gælder: E X Y E X E Y Vi husker, at de stokastiske variabel X Y er de stokastiske variabel, der til ethvert udfald kytter produktet af de værdier, som de ekelte stokastiske variable X og Y hver især kytter. Det er derfor ødvedigt, at de to stokastiske variable X og Y er baseret på det samme sadsylighedsfelt, hvilket de stregt taget ikke behøver at være i Defiitio 9. Me oveståede er ikke så væsetligt, da ma altid ka tilpasse udfaldsrummet og dermed sadsylighedsfeltet. F.eks. ka et kast med e terig og e møt beskrives med to udfaldsrum U,,3, 4,5, og U k, p, me hvis det er ødvedigt, ka disse slås samme til ét U k, p, k, p,3 k,3 p,4 k,4 p,5 k,5 p, k, p. I beviset for Sætig avedes dobbelte sumteg, der skal forstås på de måde, at for hver værdi af i udreges hele sumteget med j. Tæk over, hvorfor hvert skridt i beviset er gyldigt. Specielt er det vigtigt at forstå det første lighedsteg ed til midste detalje. Bevis : Vores udgagspukt er, at vi har to uafhægige stokastiske variable X og Y, dvs. vi ved, P X x Y y P X x P Y y x Vm X, y Vm Y. De stokastiske at i j i j i j variabel X 's værdimægde består af k elemeter, mes VmY ideholder l elemeter. Vi beytter så Defiitio 7 (på middelværdi) og reger løs: k l E X Y xi y j P X xi Y y j i j k l i j k i i j j i j k xi y j P X xi P Y y j l x P X x y P Y y xi P X xi E Y E Y xi P X xi E Y E X i i k Eksempel 3: I Eksempel 9 så vi på de ret oplagte uafhægige stokastiske variable, hvor X var atal 'kroe', og Y var atal kast. Y har oplagt middelværdie 3, og Sætig giver så: 3 9 E X Y E X E Y 3 Det er ikke verdes mest overraskede resultat, da de stokastiske variabel X Y giver os atal 'kroe' multipliceret med 3. Eksempel 3: E rød og e sort terig kastes. Vi øsker at fide middelværdie for de stokastiske variabel, der agiver produktet af øjetallee. Vi lader X og Y være de stokastiske variable, der agiver øjetallee for heholdsvis de røde og de sorte terig. X og Y er oplagt uafhægige (øjetallee på de to teriger afhæger ikke af hiade), og de har begge middelværdie E X E Y 3,5, da alle øjetallee,, 3, 4, 5 og har samme sadsylighed. X Y, der agiver produktet af øjetallee, har dermed ifølge Sætig middelværdie: E X Y E X E Y 3,5 3,5,5 I opgave a) blev dette tal udreget ud fra Defiitio 7. Avedelse af Sætig gør udregige væsetlig kortere. 5

26 Der gælder også e sætig om variase i forbidelse med uafhægige stokastiske variable: Sætig : Hvis X og Y er uafhægige stokastiske variable, er Var X Y Var X Var Y. Bevis : Vi beytter Sætig 9a mageta, 9b blå samt 9d rød, hvor variasere ka udreges ud fra middelværdier, og da vores forudsætig er, at X og Y er uafhægige stokastiske variable, ka vi også beytte Sætig grø. Vi får så: Y Var X E X Y E X Y E X E Y E Y E X Y E X E Y E X E Y E X Y E X Y X Y E X E X E X E Y E Y E X E Y r Y E Y E X E Y Var X Var Y Var X Va X E Eksempel 33: Vi ser edu egag på Eksempel 9, hvor vi havde uafhægige stokastiske variable. Variase for Y er 0, da de tildeler alle udfald værdie 3, og vi har så ifølge Sætig : 3 Var X Y Var X Var Y Var X 0 Var X 4 Vi får brug for sætigere og, år vi i forbidelse med kombiatorik skal bestemme middelværdier og sprediger for forskellige stadardfordeliger. Tæthedsfuktio og fordeligsfuktio Når vi arbejder med vores diskrete sadsylighedsfelter med tilkyttet stokastisk variabel X, har vi vores sadsylighedsfuktio P X x i, der til hver værdi af de stokastiske variabel kytter sadsylighede for dee værdi. Dette ka afbildes i et pidediagram med Gym-pakke: Eksempel 34: Dataee fra Eksempel 3 afbildes i Maple (se pidediagrammet til vestre): Desude ses til højre (pidediagrammet med de blå pide) de tilsvarede ormerede stokastiske M 7 variabel,4. Bemærk, at sadsylighedere er de samme, me at pidee er forskudt mod vestre (så middelværdie bliver 0) og skubbet samme (så spredige bliver ).

27 Vi skal seere ide for statistik arbejde med kotiuerte fuktioer, og her ka ma ikke arbejde med sadsylighedsfuktioer på samme måde, da sadsylighede for et kokret udfald i e kotiuert fordelig vil være 0 (da der er uedelig mage udfald ide for ethvert iterval). I disse tilfælde arbejder ma med tæthedsfuktioer. Defiitio 0: For et (kotiuert) udfaldsrum U I, hvor I er et iterval, kaldes e fuktio f for b tæthedsfuktioe, hvis der gælder [, ] a a, b I med b a, hvor Pu [ a, b] for itervallet ab,. P u a b f x dx for alle er sadsylighede for, at udfaldet ligger ide Eksempel 35a: De mest kedte og mest direkte eller idirekte avedte tæthedsfuktioer er helt klart ormalfordeliger (eller Gauss-fordeliger). Med middelværdie og spredige er forskrifte: f x e x Kig på både første- og adeakse. Bemærk, at ma ved ormerige (fra rød til blå graf) både har fået gjort grafe smallere og højere i modsætig til diskrete sadsylighedsfelter (Eksempel 34), hvor de ku bliver smallere. Det skyldes, at ma på adeakse ikke lægere har sadsyligheder, me sadsylighedstætheder (det går vi mere i dybde med, år vi veder tilbage til ormalfordeliger i forbidelse med statistik). Ma ka også forstå det ud fra Defiitio 0, hvor det fremgår, at arealet uder grafere skal være, da tæthedsfuktioe er e sadsylighedsfuktio. Lad os se på, hvorda ma ka bruge Defiitio 0 til at berege sadsyligheder med udgagspukt i e ormalfordelig. 7

28 Eksempel 35b: Vi ser på ormalfordelige med middelværdie 00 og spredige 0: x00 0 f x e 0 Hvis vi øsker at fide sadsylighede for, at et udfald ligger i itervallet [90,05], dvs. Pu [90,05], har vi ifølge Defiitio 0: Beregige udføres i Maple: 05 [90,05] P u f x dx 90 Dvs. der er 9% chace for, at udfaldet er mellem 90 og 05. Da U, ka ma tjekke, at Pu U (hvilket jo pr. defiitio SKAL gælde) ved: Begrebet tæthedsfuktio er egetlig kyttet til kotiuerte udfaldsrum, me ma ka også avede det på diskrete udfaldsrum. Ma taler så om diskrete tæthedsfuktioer, me hvis du kigger på vores defiitioer, ka du se, at det er det samme som de sadsylighedsfuktioer, vi idførte i defiitioere og 3. Det følgede begreb avedes hvilket også klart fremgår af defiitioe både for diskrete og kotiuerte udfaldsrum: Defiitio : Fordeligsfuktio. For et sadsylighedsfelt med tilkyttet stokastisk variabel X og sadsylighedsfuktio P, er fordeligsfuktioe F de fuktio, der til ehver værdi x agiver sadsylighede for højst at opå værdie x, dvs: F x P X x. For et (kotiuert) udfaldsrum U I (hvor I er et iterval) med tæthedsfuktioe f, er fordeligsfuktioe F givet ved: x F x a hvor a er itervallet I s vestre edepukt (evt. ). f t dt, Eksempel 3a (edeligt/diskret sadsylighedsfelt): Fra Eksempel 3 har vi følgede sadsylighedsfuktio P x og fordeligsfuktio F x : X P x F x

29 Eksempel 3b: E fordeligsfuktio for et sadsylighedsfelt med tilkyttet stokastisk variabel vil afbildes som et såkaldt trappediagram: De blå lijer, der udgår fra frekvesere 5%, 50% og 75% på adeakse, avedes til at aflæse det såkaldte kvartilsæt, som består af de tilsvarede aflæsiger på førsteakse (7, 9 og ). Det veder vi tilbage til, me du ka godt allerede overveje, hvorda edre kvartile 7, mediae 9 og øvre kvartile skal fortolkes. Eksempel 37 (kotiuert sadsylighedsfelt): Vi ser på fordeligsfuktioe for ormalfordelige med middelværdie 0 og spredige 5: Bemærk, at F (selvfølgelig) er e voksede fuktio, og F x for x. På grafe til højre er illustreret, at 80% af alle udfald vil være uder (eller lig) 4,, mes 30% af udfaldee vil være uder (eller lig) 7,4. Det er desude vist, hvorda ma med fsolve ka bestemme disse værdier i Maple. 9

30 KOMBINATORIK Kombiatorik beskæftiger sig med edelige eller tællelige diskrete strukturer. Som du husker fra forløbet om uedeligheder, vil det altså sige, at strukture ete skal være edelig eller skal kue ummereres med de aturlige tal (hvilket f.eks. ikke var tilfældet med itervallet [0,], der heller ikke er e diskret struktur). Ma ka også sige, at kombiatorik omhadler det at tælle (elemeter i) mægder. Vi får derfor brug for begrebet kardialtal, der blev itroduceret i forbidelse med uedelighedsbegrebet. Der avedte vi det hovedsageligt til at skele mellem forskellige slags uedeligheder ved at betege disse med 0,,,... Me u arbejder vi hovedsageligt med edelige mægder, og her bliver det oget simplere, da kardialtallet for e edelig mægde simpelthe er atallet af elemeter i mægde. Vi bruger samme otatio, som vi keder fra umerisk værdi, lægde af lijestykke og lægde af vektor. Dvs. vi har: A 8, 3,0,7,, er A 5, hvilket udtales Mægde A har kardialtallet 5. Hvis Hvis B abc, bdc, eab, bca Hvis C,4,,8,...,00, er C 50., er B 4, dvs. B har kardialtallet 4. Og vi har: 0. Vores første pricip illustrerer klart udtalelse om, at ma ide for kombiatorik beskæftiger sig med at tælle elemeter i mægder, for det er etop e tællemetode. Det er: Pricippet om iklusio og eksklusio. Vi ser først på to mægder A og B, hvor vi øsker at tælle atallet af elemeter i foreigsmægde A B, dvs. alle de størrelser, der ete ligger i A eller i B eller i begge. I oveståede tilfælde har vi A B a, d, h, k, m, s, p, q, t og altså AB 9. Vi ka hurtigt se, at vores atal 9 ikke fremkommer ved at lægge atallet af elemeter i A samme med atallet af elemeter i B, for der er elemeter i A og 5 elemeter i B, og summe af disse tal er. De ekstra elemeter skyldes, at vi er kommet til at tælle elemetere m og s med to gage, fordi de både ligger i A og i B. Me det ka vi rette op på ved at trække dem fra ige é gag. Det gøres ved at trække atallet af elemeter i fællesmægde A B AB m, s. Vi har dermed geerelt: A B A B A B fra, da Iklusio Eksklusio 30

31 Vi ser u på tre mægder A, B og C, hvor vi øsker at bestemme AB C : I det kokrete tilfælde til vestre har ma: A 9, 4,,, 7,8 A B 7, 4,0,,3,4,7,8, B 9 C,, 4,5,8, C A B 4,, 7,8 A B 4 AC,8 AC B C, 4,8 B C 3 A B C,8 A B C A B C 9, 7, 4, 0,,,3, 4,5,, 7,8,, A B C 4 Tjek, at du har styr på, hvad der mees med de forskellige fællesmægder og foreigsmægde. Det er altså tallet 4, vi skal komme frem til. Hvis vi går frem på samme måde, som vi gjorde i tilfældet med mægder, ka vi prøve at lægge atallet af elemeter i de ekelte mægder samme og derefter fratrække atallee af elemeter i de tre parvise fællesmægder ( A B, AC og B C ). Vi får så 9 4 3, dvs. vi får midre ed det øskede. Dette skyldes elemetere i AB C. For først blev de talt med tre gage (da de tilhører alle mægdere A, B og C). Me derefter blev de trukket fra tre gage, da de også tilhører alle fællesmægdere A B, AC og B C. De skal derfor lægges til ige, og det gøres ved at lægge elemetere i AB C til. Vores geerelle udtryk bliver altså: A B C A B C A B AC B C A B C Iklusio Eksklusio Iklusio Sammelig udtrykket ovefor med mægdediagrammere. Tjek, at du ka se, at hvert elemet eder med at være blevet talt med etop é gag. Med 4 mægder får ma (bemærk, hvorda ma skifter mellem iklusio og eksklusio): A B C D A B C D A B AC A D B C B D C D A B C A B D AC D B C D A B C D For at tjekke dette udtryk skal du tage hvert område for sig og bemærke, at det etop bliver reget med é gag. Tag f.eks. et elemet i A B C D. Det ligger i alle fire mægder A, B, C og D og dermed også i samtlige fællesmægder. Derfor bliver det først talt med 4 gage, så bliver det fratrukket gage, så lægges det til 4 gage og edelig trækkes det fra gag. Altså er det i alt talt med é gag. 3

32 Tag som et adet eksempel et elemet, der ligger i AB C, me ikke i D. Det bliver først talt med 3 gage, derefter fratrækkes det 3 gage (da det ligger i A B, AC og B C, me ikke i fællesmægder, hvor D idgår), så lægges det til é gag og edelig fratrækkes det IKKE ige, da det ikke tilhører A B C D. Ige er det altså talt med etop é gag. Øvelse 4: a) Tjek, at e størrelse tilhørede C, me ikke A, B eller D, bliver talt med etop é gag. b) Tjek, at e størrelse, der tilhører B D, me hverke A eller C, bliver talt med etop é gag. Pricippet med skiftevis iklusio og eksklusio ka udvides til vilkårligt mage mægder. Eksempel 38: Vi øsker at besvare et spørgsmål ide for talteori og arbejder altså med hele tal: M,,3,...,000 er ikke divisible med oge af tallee 3, 7 og 0? Hvor mage tal i mægde Vi idfører u følgede mægder: M er mægde beståede af de tal i M, der er divisible med 3. 3 M er mægde beståede af de tal i M, der er divisible med 7. 7 M er mægde beståede af de tal i M, der er divisible med 0. 0 Hermed er M 3 M 7 M0 mægde beståede af de tal i M, der er divisible med midst ét af tallee 3, 7 og 0, og vores spørgsmål bliver altså besvaret, år vi har fudet atallet af elemeter i M M \ M M M, hvilket gøres ved: komplemetærmægde svar svar M M M M M Pricippet om iklusio og eksklusio fortæller os: M M M M M M M M M M M M M M M M3 M7består af de tal, som både 3 og 7 er divisorer til, dvs. alle de tal, som 37 er divisor til (da både 3 og 7 skal være med i primfaktoropløsige). Det er altså tallee i mægde,4,3,84,...,987. Dem er der 47 af, da ,. M 3 M 7 M0 består af de tal, som både 3, 7 og 0 er divisorer til, dvs. alle de tal som er divisor til (primfaktoropløsige skal ideholde tallee, 3, 5 og 7). Det er de 4 tal i mægde 0,40,30,840. Atallet 4 ses også ved, at 000 4,7 0. Da ,3 3, er der 333 elemeter i M 3. Og på dee måde ka atallet af elemeter i de ekelte mægder bestemmes, hvorved ma får: M M M M M M M M M M M M M M M Og dermed er: M M M 3 M 7 M svar 3

33 Eksempel 39: I e klasse ude tomme stole har de elever faste pladser. E dag vælger ma at placere alle elever helt tilfældigt. På hvor mage måder ka elevere placeres, så ikke e eeste sidder på si rigtige plads? Vi magler ogle begreber for at kue sætte tal på dette eksempel. Disse begreber kommer seere, hvilket selvfølgelig vil øge avedelsesmulighedere for pricippet om iklusio og eksklusio. Vi lader A være mægde beståede af samtlige forskellige måder, ma ka placere elevere på. Vi ummererer elevere og lader Ai være mægde af forskellige placeriger, hvor elev ummer i sidder på de rigtige positio. Foreigsmægde A A A3... A kommer så til at bestå af alle de placeriger, hvor midst é elev sidder rigtigt. Atallet af elemeter i dee mægde ka fides ved hjælp af pricippet om iklusio og eksklusio, og ma ka så svare på spørgsmålet ved at trække dette atal fra det samlede atal måder at placere elevere. Koblige mellem kombiatorik og sadsylighedsregig er Sætig 3, da vi i symmetriske sadsylighedsfelter ka bestemme sadsylighede for e hædelse ved at tælle atallet af elemeter i udfaldsrummet og atallet af elemeter i hædelse. Da vi desude har set, hvorda ma sommetider ka omforme et ikke-symmetrisk edeligt sadsylighedsfelt til et symmetrisk sadsylighedsfelt ved at agive udfaldsrummet på e ade måde (Eksempel ), vil Sætig 3 samme med kombiatorik være et stærkt matematisk redskab. Udtrykt med sadsyligheder lyder Eksempel 39: Eksempel 39 (med sadsyligheder): Hvad er sadsylighede P for, at elevere ved e tilfældig placerig bliver sat, så ikke e eeste sidder rigtigt? Da samtlige placeriger er lige sadsylige, har ma et symmetrisk sadsylighedsfelt, og vores sadsyligheder ka derfor bestemmes ved at dividere kardialtallet for de pågældede mægde med kardialtallet for A. A4 F.eks. fides sadsylighede for, at elev ummer 4 kommer til at sidde rigtigt, ved P4. A Og de søgte sadsylighed er P A A A A A A Et adet meget simpelt og meget avedeligt pricip ide for kombiatorik er 33

34 Skuffepricippet (Dirichlets skuffepricip eller dueslagspricippet) Dirichlets skuffepricip siger, at hvis du har flere sokker ed skuffer, ka du ikke placere sokkere i skuffere, ude at midst é skuffe kommer til at ideholde mere ed é sok. Eller tilsvarede: Hvis du har flere duer ed dueslag, ka du ikke placere duere i dueslagee, så ige duer kommer til at dele dueslag med e ade. Eller geerelt: Hvis gestade skal placeres i m beholdere, hvor m, vil der være midst é beholder med mere ed é gestad. Eksempel 40: I e klasse vil der altid være midst persoer, der har hilst på det samme atal klassekammerater om morgee (e hilse går begge veje). For hvis der er persoer i klasse, har alle disse mulighed for at hilse på 0 til persoer, dvs. muligheder, me hvis e perso har hilst på 0 persoer (ige), ka der ikke samtidig være e, der har hilst på persoer (alle) og omvedt. Der er altså muligheder for atal hilser, og da der er persoer i klasse, fortæller skuffepricippet os, at midst persoer har hilst på det samme atal. Eksempel 4: I e mægde ideholdede midst 7 forskellige heltal vil der altid være midst to af tallee, der giver samme pricipale rest ved divisio med. For atallet af mulige pricipale rester er (tallee 0,,, 3, 4 og 5), og dette atal er midre ed atallet af tal i mægde, hvorfor skuffepricippet fører til de agive koklusio. Eksempel 4: E ade formulerig af Eksempel 4 er, at i e mægde ideholdede midst 7 heltal vil der altid være midst é differes mellem to tal i mægde, der er divisibel med. Eksempel 43: Vi skal seere behadle det såkaldte Fødselsdagsparadoks, der drejer sig om, at sadsylighede for, at der i et selskab er to persoer med samme fødselsdag, er overraskede stor (i forhold til de flestes ituitio). Vi ka idtil videre øjes med at kostatere, at skuffepricippet fortæller os, at hvis et selskab består af midst 37 persoer, vil der med sikkerhed være midst to persoer med samme fødselsdag. 34

35 CENTRALE BEGREBER: Permutatioer og kombiatioer Ide for kombiatorik er det vigtigt at kue skele mellem følgede to ord: Kombiere: kombi'ere ; v sammesætte, foree forskellige dele til et hele OPRINDELSE: lat. combiare. Permutere: permu'tere ; v ombytte, omstille OPRINDELSE: af lat. permutare ædre, bytte, udveksle, per- + mutare flytte oget, ædre, bytte. Vi defierer u: Defiitio : Lad A a, a, a3,..., a være e mægde med elemeter (e -mægde), og lad r være et helt tal, hvorom det gælder, at 0 r. a) E permutatio af mægde A er e opstillig af de elemeter i e bestemt rækkefølge (også kaldet e ordet mægde). b) Atallet af permutatioer af A skrives P. c) E r - permutatio fra mægde A er e ordet delmægde fra A beståede af r elemeter. d) Atallet af r-permutatioer fra mægde A skrives P, r. Når ma i defiitioe tillader r, ka ma også kalde e permutatio af e -mægde for e - permutatio. Og e 0-permutatio er de (ordede) tomme mægde, som der ku er é af, dvs. P,0. Eksempel 44: Lad A a, b, c, d, e være e mægde med 5 elemeter. Fire forskellige permutatioer af A er så: adceb ecabd edcba aebdc Følgede er IKKE permutatioer: adabc bceed aaaaa Forskellige 4-permutatioer fra A er: beda acbd acdb edcb Forskellige 3-permutatioer fra A er: ace deb abc edc Forskellige -permutatioer fra A er: a c d b Defiitio 3: Lad A være e -mægde, og lad r være et helt tal, hvorom det gælder, at 0 r. a) E kombiatio fra A er e delmægde af A. b) Atallet af kombiatioer fra A beteges K. c) E r - kombiatio fra A er e kombiatio med r elemeter fra A. d) Atallet af r-kombiatioer fra A beteges K, r. Eksempel 45: Lad A a, b, c, d, e. 4 forskellige kombiatioer fra A er: a, c, d a, b, c, d, e Ø b, a Følgede kombiatioer er es: a, c, d c, a, d d, c, a Forskellige -kombiatioer: a, b a, c b, c e, b c, d Vi øsker at bestemme udtryk for,,, og, skal vi have itroduceret ogle pricipper: P K P r K r, me ide det ka lade sig gøre, 35

36 Multiplikatiospricippere: Sætig 3 (multiplikatiospricippet for valgmuligheder): Ved et samlet valg beståede af ordede delvalg med atallet af valgmuligheder v, v, v3,..., v, hvor atallet af valgmuligheder vi i det ekelte delvalg altså er uafhægigt af de foregåede delvalg, er det samlede atal valgmuligheder: V v v v... samlet 3 v. Eller udtrykt med begreber fra sadsylighedsregig: Udfaldsrummet, der beskriver de forskellige samlede valgmuligheder, vil ideholde V samlet elemeter, hvor Vsamlet v v v3... v. Med ordede delvalg mees, at hvis det samme delvalg træffes flere gage, er placerige væsetlig. Dvs. hvis ma f.eks. kaster e terig 4 gage og dermed træffer fire es delvalg, skal der i de pågældede situatio være forskel på, om ma får øjetallee 3,,, eller,,3,. Dermed ville sætige ikke kue bruges, hvis ma kastede 4 es teriger é gag, da ma i så fald ikke ville kue skele 3,,, og,,3, fra hiade. Eksempel 4: E køs har par sko, 5 par strømper, 3 bukser, skjorter og 4 bluser. Ha har ige sas for sammesætig af tøjet, så valget af de ekelte dele er uafhægige af hiade. På hvor mage måder ka ha klæde sig på (år e påklædig består af af hver slags beklædigsdel)? Der skal træffes 5 uafhægige delvalg med atal valgmuligheder, 5, 3, og 4. Det samlede atal valgmuligheder er derfor V samlet Ha har altså 70 forskellige måder at klæde sig på. Eksempler på tre af de 70 elemeter i udfaldsrummet: sko, strømpepar, buks, skjorte, bluse 4 5 sko, strømpepar, buks, skjorte, bluse 3 sko, strømpepar, buks, skjorte, bluse 3 Bevis 3: Beviset for Sætig 3 vil typisk være et såkaldt tælletræ, hvor vi her ser på et kokret eksempel med tre delvalg med atal valgmuligheder 3, og 4: Der er Vsamlet forskellige samlede valgmuligheder svarede til de 4 røde pilespidser. Udfaldsrummet med 4 elemeter er agivet. Det adet multiplikatiospricip er egetlig bare e variatio af det første, hvor ma i stedet for valgmuligheder (og dermed aturlige tal) taler om sadsyligheder for permutatioer (og dermed om tal mellem 0 og ): 3

37 Sætig 4 (multiplikatiospricippet for sadsylighede for permutatioer af hædelser): Lad A A... A3 A være e permutatio af hædelser A, A, A3,..., A. Sadsylighede for, at hædelsere alle idtræffer i de agive rækkefølge, er: P( A A A... A ) P( A ) P( A ) P( A )... P( A ) 3 3 A idtræffer, år hædelsere A, A, A3,..., Ai hvor P Ai er sadsylighede for, at hædelse allerede er idtruffet. Eksempel 47: Ma kaster é terig 5 gage og øsker at fide sadsylighede for at slå e er alle 5 gage. Da udfaldet af et terigkast ikke afhæger af tidligere kast, har ma 5 uafhægige hædelser, hver med sadsylighede for at idtræffe. Hermed bliver de søgte sadsylighed: P i Eksempel 48: Ma kaster é terig 5 gage og øsker at fide sadsylighede for at slå e er i de 3 første kast og e er i de sidste kast. Ige har ma 5 uafhægige hædelser med sadsylighede for at idtræffe, så ma får: P Bemærk, at dette IKKE er det samme som sadsylighede for at slå 3 ere og ere med 5 teriger, da sætige lægger vægt på rækkefølge (jævfør ordet: permutatio) Eksempel 49: Ma kaster e møt tre gage og øsker at fide sadsylighede for udfaldet pkk. Dee permutatio består af tre uafhægige hædelser hver med sadsylighede 0,5, så ma har: P pkk 8 Eksempel 50: Vi omformulerer Eksempel 4 til u at se på sadsylighede for at få e kokret permutatio, f.eks: sko, strømpepar 4, buks, skjorte5, bluse. Hvis atallet af valgmuligheder for de ekelte type beklædig er v i, og hvis hvert valg ka beskrives med et symmetrisk sadsylighedsfelt (dvs. at ige beklædigsdel foretrækkes frem for adre af samme slags), vil sadsylighede for et bestemt valg være. Da vi havde 5 uafhægige delvalg med atal valgmuligheder, 5, 3, og 4, giver det altså: P P vi Oveståede eksempel ka fugere som e avisig på, hvorda ma kommer fra det første multiplikatiospricip til det adet. Det er væsetligt at bemærke, at multiplikatiospricippere er e slags "både-og"-pricipper. De forklarer, hvorda ma skal rege på situatioer, hvor både e hædelse og e ade hædelse og e tredje hædelse og... skal idtræffe. Bemærk, at sadsylighede bliver midre, jo flere hædelser der kobles på. Det har vist sig, at meesker ikke altid har e ituitiv opfattelse af multiplikatiospricippere. F.eks. vil e del meesker - specielt hvis problemet ikke formuleres så direkte - vurdere sadsylighede for, at perso A er bakdirektør og kører i Mercedes, højere ed sadsylighede for, at perso A er bakdirektør. Vi skal u se på "ete-eller"-pricippere: 37

38 Additiospricippere Ide vi ser på additiospricippere, skal vi have defieret et begreb: Defiitio 4: To hædelser A og B kaldes disjukte, hvis de ikke har ogle udfald tilfælles, dvs. hvis AB Ø Eksempel 53: E terig kastes, og ma ser på de fire hædelser: A: Øjetallet er lige. B: Øjetallet er ulige. C: Øjetallet er midst 5. D: Øjetallet er. A og B er disjukte hædelser, da øjetallet ikke både ka være lige og ulige. De er desude komplemetære hædelser, da de desude tilsamme udgør hele udfaldsrummet U. A B Ø A og B er disjukte. A B Ø A B U A og C er ikke disjukte hædelser, da A og B er komplemetære. AC C og D er disjukte hædelser, da C D Ø. Sætig 5 (Additiospricippet for valgmuligheder): Hvis ma skal vælge et elemet i e af de disjukte mægder A, A, A3,..., A ideholdede heholdsvis v, v, v3,..., v elemeter, er atallet V af valgmuligheder: V v v v3... v. Eksempel 5: E pige har om fredage lov til at vælge e usud tig. Hu ka vælge mellem 5 slags is, 4 slags chokolade, 3 slags vigummi og flødebolle. Hedes samlede atal valgmuligheder er Vsamlet Eksempel 5: E dreg skal i gymasiet og har 4 gymasier at vælge imellem, der udbyder heholdsvis 3,, og 5 relevate studieretiger. Ha har i alt Vsamlet 3 5 valgmuligheder. Sætig (Additiospricippet for sadsyligheder): Sadsylighede P for, at é af de disjukte hædelser A, A, A3,..., A idtræffer, er: P P A P A P A P A 3... Eksempel 54: E møt kastes tre gage. Vi øsker at fide sadsylighede for, at vi får etop é kroe eller tre kroe. Vi lader hædelse A bestå i at få etop é kroe, og hædelse A er at få tre kroe. 3 Vi keder sadsylighedere fra tidligere ( P A og P A ), og da det er disjukte 8 8 hædelser (ma ka jo ikke både få etop é kroe og tre kroe), får ma: 3 4 P P A P A Vi er u æste fremme ved de cetrale sætiger ide for kombiatorik. Vi magler blot at få defieret et ekelt begreb: 38

39 Permutatioer Defiitio 5: Lad. Med skrivemåde!, der læses " fakultet", forstås! Desude fastsættes det, at 0! Eksempel 55:! ! Eksempel 5: I Maple idtastes fakultet meget simpelt, da ma ka beytte tastaturets udråbsteg (ma ka også fide symbolet uder 'commo symbols'): Som det ses, følger Maple også defiitioe 0!. Helt geerelt taler ma om Det tomme produkt, hvilket sættes til at give det eutrale elemet ved multiplikatio (dvs. ). Ma har også De tomme sum, der sættes til det eutrale elemet ved additio (dvs. 0). Ma ka desude bemærke, at Maple godt ka udrege r! for et decimaltal, selvom vores defiitio ikke tillader det. Det skyldes, at fakultetbegrebet ka udvides til de såkaldte gammafuktio, der er defieret for alle reelle tal bortset fra egative heltal (se edeståede): Bemærk, at, mes!. Der gælder! for aturlige tal. Sætig 7: Atallet af permutatioer af e -mægde er: P! 39

40 Eksempel 57: Et ederladsk fodboldhold stiller op i e formatio, hvor der altså er forskellige pladser at spille. Træere har udtaget de spillere, der skal spille, me skal u fide ud af, hvilke pladser de skal spille. Hvor mage forskellige holdopstilliger ka hu vælge? Vi har e -mægde, og e holdopstillig svarer til e permutatio af dee, dvs: P! Eksempel 58: E sliksulte elev har købt e slikpose med e skumbaa, et skumjordbær, e saltlakrids og e vigummi med citrosmag. Hvor mage forskellige rækkefølger ka eleve vælge at spise slikket i? Dette er e 4-mægde, og e spiserækkefølge svarer til e permutatio, dvs: P 4 4! Eksempel 59: E ade sliksulte elev har ikke købt oge slikpose. I hvor mage forskellige rækkefølger ka eleve spise det slik, der ikke er der? Det er e 0-mægde (de tomme mægde), så der er 0! mulig rækkefølge (der svarer til ikke at spise oget). Bevis 7: Vi øsker at bruge multiplikatiospricippet (Sætig 3). Vi skal træffe delvalg. Vores første delvalg består i at vælge ét elemet bladt de elemeter i vores mægde og placere dette som første elemet i vores ordede mægde. I e permutatio af forskellige elemeter må det samme elemet ikke idgå flere gage, så år vi skal træffe vores æste delvalg, har vi ku muligheder for at vælge det adet elemet i vores ordede mægde. Og dette gælder uaset hvilket elemet, der blev valgt første gag (dvs. atal valgmuligheder i delvalget er uafhægigt af udfaldet af det første delvalg). Ved tredje delvalg har vi ud fra samme argumet valgmuligheder, og således fortsættes, idtil der ved vores sidste delvalg ku er ét elemet tilbage i de opridelige mægde, som vi ikke har placeret i de ordede mægde. Sætig 3 giver derfor, at det samlede atal valgmuligheder (dvs. atal forskellige P 3...! permutatioer) er Sætig 8: Atallet af r-permutatioer fra e -mægde er:! P(, r) ( r)! Eksempel 0: De ederladske træer fra tidligere har u 4 spillere til rådighed til si foretruke opstillig. Hvor mage forskellige holdopstilliger ka hu vælge? 4! 4! P(4,) (4 )! 3! Eksempel : Der er 5 hylder i et skab, og ma skal fide e hylde til bukser, bluser og strømper (e til hver). Hvor mage måder ka det gøres på? 5! 5! P ( 5,3) 0 (5 3)!! 40

41 Eksempel : I e klasse på 5 elever skal vælges e elevrådsrepræsetat, e elevrådsrepræsetatsekretær samt e suppleat. 5! 5! Dette ka gøres på P5, forskellige måder. 5 3!! Bevis 8: Vi har at gøre med e -mægde. Vores permutatio skal bestå af r elemeter fra dee mægde opstillet i rækkefølge. Ige beytter vi Sætig 3 (multiplikatiospricippet for delvalg). Vi skal træffe r delvalg. Ved det første delvalg har vi valgmuligheder, dvs. der ka stå forskellige elemeter på vores permutatios første plads. Vores adet delvalg (permutatioes ade plads) foretages bladt muligheder. Vores tredje delvalg foretages bladt muligheder. Og vores r'te (det sidste) delvalg foretages bladt r muligheder. Vi får derfor følgede (udervejs ædres udtrykket til e brøk, der forlæges): P, r... r r... r r r r...! r r... r! Det er ikke det helt store arbejde at opskrive brøke i Maple, me hvis ma vil avede e r! kommado til det, skal ma hete pakke combiat:! Bemærk, at P(5,3) i oveståede IKKE er e kommado i Maple. Det er skrevet som tekst, da Maple ikke gekeder dee otatio. Det er udtrykket med fakultetstegee, som Maple udreger. Som det ses, svarer umbperm(,r) til P, r, mes kommadoe permute(,r) giver os de kokrete permutatioer. Bemærk, at mægde,,3 optræder gage, fordi det er permutatioer og ikke kombiatioer. 4

42 Eksempel 3 (Fødselsdagsparadokset): Vi ka beytte Sætig 8 om permutatioer til at arbejde med det såkaldte Fødselsdagsparadoks, der blev omtalt i Eksempel 43. Vi atager, at ma ka have fødselsdag på 35 forskellige dage (og ser altså bort fra de 9. februar), og at sadsylighedsfeltet er symmetrisk, hvilket det selvfølgelig ikke helt vil være i praksis, da der ikke vil være præcis lige mage meesker, der har fødselsdag hver dag. Fødselsdagsparadokset kue så lyde: 8 elever begyder i e x-klasse. Hvad er sadsylighede for, at midst to af elevere har fødselsdag de samme dag? Vi bruger sætigere, 3, 3 og 8 til at svare på spørgsmålet. Vi begyder med at se på vores hædelse og de komplemetære hædelse: H: Der er midst to elever, der har fødselsdag samme dag. H : Ige elever har fødselsdag samme dag. Det er emmest at fide sadsylighede for de komplemetære hædelse, da ma ellers skal berege sadsylighede for med samme fødselsdag, 3 med samme fødselsdag,, 8 med samme fødselsdag. Når ma har fudet sadsylighede for de komplemetære hædelse, ka vi bruge Sætig til at bestemme sadsylighede for vores søgte hædelse. Vores atagelse om, at sadsylighedsfeltet er symmetrisk, gør, at vi ka fide sadsylighedere ved at se på atal gustige udfald delt med atal mulige udfald (Sætig 3). Atal mulige udfald: Hver elev skal placeres på e dag (eleves fødselsdag). Der skal altså træffes et samlet valg beståede af 8 delvalg, hvor hvert delvalg har 35 valgmuligheder (for hver elev har mulighed for at have fødselsdag på e hvilke som helst dag). Sætig 3 giver os så: 8 Nmulige Vsamlet 35 Atal gustige udfald (i hædelse H ): Et muligt udfald er etop e 8-permutatio fra vores 35-mægde, for vi skal udtage 8 forskellige dage bladt de 35 dage, og disse skal hver især kyttes til et bestemt bogstav. Det bliver altså e ordet delmægde, hvor f.eks. 47,3,48, svarer til, at elev a har fødselsdag dag 47, elev b har fødselsdag dag 3, elev c har fødselsdag dag 48,. Sætig 8 giver så: Vi har dermed: PH PH Ngustige P, r 35! 35 8! 35! Ngustige 0, 54 5, 4% 8 N ! mulige Der er altså godt 5% chace for, at der i dee x-klasse med 8 elever vil være midst to elever med fødselsdag samme dag. Dee chace er væsetlig større, ed de fleste umiddelbart ville have troet, og deraf kommer avet Fødselsdagsparadokset. Da resultatet er overraskede, er det selvfølgelig oplagt at avede i forbidelse med væddemål. 4

43 Eksempel 4 (Fødselsdagsparadokset ige): Ma ka også avede Sætig 4 i stedet for Sætig 3. Her bliver argumetatioe: Vi øsker at fide sadsylighede for, at alle elever har forskellige fødselsdage, hvorefter vi ka avede Sætig om komplemetære hædelser. Elev a skal have placeret si fødselsdag, og sadsylighede for at ramme e dag, der ikke allerede er besat, er Så skal elev b have placeret si fødselsdag. Der er u 34 ledige dage ud af 35 dage, så sadsylighede for at ramme e ledig dag er Elev c har så sadsylighede 33 for at ramme e ledig dag. 35 Og såda fortsættes, idtil elev å har sadsylighede Dette fører (selvfølgelig) til samme resultat som i Eksempel 3. Helt geerelt gælder for et selskab på r persoer: PH 35! 35 r 35 r! I x-klassere er der ca. 80 elever. Formle giver derfor, at sadsylighede for, at midst to elever i x-klassere har fødselsdag samme dag, er 99,99% (reg selv efter!). Du ka også prøve at fide ud af, hvor mage persoer, der skal være i et selskab, før der er mere ed 50% chace for, at der er midst to med samme fødselsdag. Kombiatioer Sætig 9: Atallet af kombiatioer fra e -mægde er: K Eksempel 5: Ma har et ubegræset atal es brikker til rådighed og øsker u at placere et vilkårligt atal af dem på feltere på et skakbræt, således at der på hver felt står ete 0 eller brik. Skakbrættets felter udgør u e 4-mægde (hvert felt er et elemet i mægde), og vi skal udtage de felter, hvor der skal placeres e brik. Dette ka gøres på 4 K måder. Eksempel : E gymasieklasse med 3 elever bliver iviteret på skitur. På hvor mage forskellige måder ka gruppe af elever, der tager af sted, sammesættes? Her er der tale om kombiatioer og ikke permutatioer, da der ikke er oge ordig af elever, og gruppe - der godt ka være e tom gruppe - ka så sammesættes på: Bevis 9: Vi beytter Sætig 3 (multiplikatio af valgmuligheder) på situatioe. Vi har e mægde med elemeter, og vi ka dae e kokret kombiatio ved at kigge på et elemet ad gage og stille spørgsmålet: "Skal dette elemet med i kombiatioe eller ej?". Da der er elemeter, skal vi træffe delvalg, der alle har valgmuligheder ("ja" eller "ej"). Hermed giver sætig 3 os K 43

44 Sætig 0: Atallet af r-kombiatioer fra e -mægde er:! K(, r) ( r)! r! Eksempel 7: De ederladske træer fra tidligere skal u i første omgag ud af de 4 spillere blot udtage de, der skal starte på bae. På hvor mage måder ka det gøres? 4! 4! K(4,) 34 (4 )!! 3!! Eksempel 8: De ederladske træer har emmere ved at vælge de 3 spillere, der ikke skal med i startopstillige. Hvor mage måder ka det gøres på? 4! 4! K(4,3) 34 (4 3)! 3!! 3! Eksempel 9: Hvor mage forskellige lotto-kupoer fides der (der er 3 tal, hvoraf 7 skal vælges)? 3! 3! K(3, 7) (3 7)! 7! 9! 7! Eksempel 70: Det er svært ok at vide i lotto, me u idføres et yt spil, hvor ma bladt de 3 tal ikke blot skal udvælge 7 tal, me hele 9. Hvor mage forskellige kupoer fides der i dee ye slags lotto? 3! 3! K(3, 9) (3 9)! 9! 7! 9! Eksemplere 7 og 8 samt 9 og 70 illustrerer e vigtig poite, ma også ka se ved at betragte selve formle:! K, r r! r!!!! K, r K, r r! r! r! r! r! r! Der er lige mage r -kombiatioer og r-kombiatioer fra e -mægde, eller med adre ord: Det er lige meget, om du vælger de elemeter, der skal med i di delmægde, eller dem, der ikke skal med. Vi skal sart se på de såkaldte biomialfordeliger, og i de forbidelse kommer K, r til at spille e rolle. Ma bruger i de forbidelse ofte e ade skrivemåde: Defiitio : K, r kaldes e biomialkoefficiet og skrives K, r biomialkoefficiete over r., der udtales r Det er dee otatio, der avedes i Maple (hvis ma ikke vil bruge kommadoe 'biomial'): Bemærk, at K(0,4) ikke er e kommado i Maple. Det er udtrykket med fakultetstegee, som Maple udreger. 44

45 Bevis 0: I beviset beytter vi ud over de ofte beyttede Sætig 3 også sætigere 7 og 8. Vi skal fide atallet af r-kombiatioer fra e -mægde, me vælger at askue situatioe fra e ade sysvikel. Vi vil ige forsøge at fide atallet af r-permutatioer fra e -mægde P, r (et resultat vi allerede keder fra Sætig 8). I stedet for at skabe de ekelte permutatioer med det samme forestiller vi os u, at vi gør følgede: ) Vi udtager først de r elemeter, der skal idgå i permutatioe. ) Derefter permuterer vi de r udtage elemeter. Pukt ) svarer etop til at udtage r-kombiatioer, mes pukt ) er behadlet i sætig 7. Vores "valg" med P, r valgmuligheder består altså af to delvalg, hvor det første har K, r valgmuligheder og det adet P r muligheder. P, r! r P r! r! Dermed giver sætig 3: P, r K, r P K, r Bevis : Da vi skulle bevise Sætig 9 ( K ), beyttede vi e takegag, hvor vi tog et elemet ad gage og så på de to valgmuligheder: Ete skal elemetet med i kombiatioe eller elemetet skal ikke med. Vi kue også have avedt e ade idfaldsvikel: Vi skal fide det samlede atal kombiatioer fra e -mægde, og dee gag tæller vi først 0-kombiatioere, så -kombiatioere, så -kombiatioere, osv. idtil -kombiatioere. Sætig 5 om additio af valgmuligheder giver så: K... 0 Samme med Sætig 9 giver dette resultat os altså følgede sætig: Sætig :... 0 Pascals Trekat (De Aritmetiske Trekat) Biomialkoefficietere optræder i De Aritmetiske Trekat, der er bedre kedt som Pascals Trekat. r Tallee er fremkommet ved, at ma daer trekates form med -tallere, hvorefter de adre tal daes é række ad gage ved at tage summe af de to ærmeste tal i oveståede række.!!!!!! Bemærk, at og.!! 0!!! 0 0! 0!! 0!! 45

46 Pascal trekat opskrevet med biomialkoefficieter ser ud på følgede måde: Vi har allerede argumeteret for -tallere i trekate, me magler at argumetere for alle de adre tal. Dette gøres med sætige: Sætig : For og k gælder: k k k Bevis : Vi beytter sætig 0 og laver e række omskriviger:!! k k k! k! k! k! k k k k! k k!! k k! k! k! k! k! k! k!! ( k k)!! k! k! k! k! k! k! k!!!! k! k! k! k! k! k! k! k! Bevis (alterativt): Ma ka også bevise Sætig ved e sproglig argumetatio. Vi ser på e -mægde A og øsker at fide atallet af k-kombiatioer fra dee mægde. Vi fjerer u et eller adet elemet fra A og får dermed --mægde B. Hvis vi ser på alle de k-kombiatioer fra A, der IKKE ideholder elemetet består de af k elemeter fra B, og der fides derfor k af dee slags kombiatioer. Alle de k-kombiatioer fra A, der ideholder ideholder k elemeter fra B, og der fides derfor af disse. Da e k-kombiatio fra A ete ideholder k eller ikke ideholder har ma dermed Sætig (de to atal adderes, da det er ete-eller ). 4

47 Ma ka altså avede Pascals trekat til at aflæse biomialkoefficieter: Vi ka f.eks. aflæse: og Eksempel 7: Pascals trekat agiver også koefficietere fora de ekelte led, hvis ma opskriver r x y med leddee i rækkefølge med faldede ekspoet på potese x. F.eks: Bemærk, at koefficietere, 7,, 35, 35,, 7 og etop er tallee i række for 7 i Pascals x y som et produkt med 7 faktorer ummeret,, 3, trekat. Dette ka idses ved at tæke på 7 4, 5,, 7. Koefficiete fora f.eks. 5 x y fremkommer på følgede måde: 5 x y fremkommer ved, at ma i 5 af faktorere har Hvert led i hver faktor skal gages samme. valgt leddet x, mes ma i de to sidste faktorer har valgt leddet y. Og ma ka etop vælge disse 5 7 faktorer på forskellige måder. 5 Vi har hermed argumeteret for følgede sætig: Sætig 3 (Biomialformle): x y x y i0 i i i Eksempel 7: Ud fra Pascals Trekat ka vi altså ifølge Sætig 3 opskrive f.eks.: x y x 9x y 3x y 84x y x y x y 84x y 3x y 9xy y 47

48 Da vi har e computer til rådighed, har vi ikke problemer med at rege med store mægder, me tidligere var Chu-Vadermodes idetitet e vigtig sætig, da de kue beyttes til at berege store biomialkoefficieter ud fra midre: Chu-Vadermodes idetitet Sætig 4: For aturlige tal, m og r, hvor r r m, gælder: m m m m m m... r r 0 r r r 0 r r m m Hvilket også ka skrives: r i0 r i i Bevis 4: I e gymasieklasse er der drege og m piger. Ma øsker at udtage et udvalg beståede af r elever, hvor r r m, dvs. udvalget må hverke ideholde flere medlemmer, ed der er drege eller piger. m Vi har m elever i klasse, så udvalget på r elever ka udtages på r måder. Me vi kue også betragte det på følgede måde: Først ser vi på de mulige udvalg, hvor der er r drege og 0 piger. Dette er et samlet valg opdelt i de to delvalg, hvor det første består i at udtage r elever bladt de drege, hvilket ka gøres på måder, og det adet består i at udtage 0 elever bladt de m piger, r m hvilket ka gøres på måder. Sætig 3 giver så, at dette samlede valg ka foretages på 0 m forskellige måder. r 0 Derefter ses på de mulige udvalg, hvor der er r drege og pige. Det er ige to delvalg, år vi først udtager r medlemmer bladt dregee og medlem bladt pigere, og det samlede atal m muligheder er r. Således fortsættes, idtil vi til sidst ser på udvalget beståede af udelukkede piger, og år alle disse muligheder lægges samme (Sætig 5), fremkommer Sætig 4. Eksempel 73: Bemærk, at der udervejs i Bevis 4 blev beyttet e takegag, der ka være yttig i ogle typer opgaver (se evt. afsittet om de hypergeometriske fordelig). Ma har e krukke med 30 kugler. blå, 0 røde og 8 grøe. Hvad er sadsylighede for at trække 3 blå, røde og grø, hvis ma trækker kugler fra krukke (ude tilbagelægig)? Opgave drejer sig om sadsyligheder, me vi begyder med at se på valgmuligheder. Vi skal træffe 3 delvalg (blå, rød, grø), og vores atal gustige valgmuligheder er derfor: 0 8 V gustige De mulige valgmuligheder er kugler bladt 30: Dvs. sadsylighede er ifølge Sætig 3: P 0,

49 BINOMIALFORDELING Vi har tidligere set geerelt på begrebet fordeligsfuktio. Vi skal u se på e kokret fordelig med store avedelsesmuligheder. Defiitio 7: Et biomialeksperimet (eller beroulli-eksperimet) er et stokastisk eksperimet, der består af e række idetiske deleksperimeter, der ku har mulige udfald: Succes og fiasko. Eksempel 74: E terig kastes 000 gage, og ma er iteresseret i at slå ere. Her er succes det at slå e er, mes fiasko er ikke at slå e er. Eksempel 75: 5000 meesker udersøges for kræft. Her er succes det at få kostateret kræft, mes fiasko er ikke at få kostateret kræft. Eksempel 7: E udersøgelse bladt 500 daskere af vælgertilslutige til de politiske partier ideholder mulighede for at vælge ét bladt 0 partier eller vælge ved ikke. Dette liger ikke umiddelbart et biomialeksperimet, da der er mulige udfald, me ma ka opdele eksperimetet i 0 biomialeksperimeter ved f.eks. at sige: Stemte persoe på SF eller stemte persoe ikke på SF osv. Det er e helt cetral del af et biomialeksperimet, at de ekelte deleksperimeter skal være uafhægige af hiade. Dette står ikke eksplicit i Defiitio 7, da det implicit fremgår af ordet idetiske, da deleksperimetere ikke er idetiske, hvis successadsylighede ædres. Ma ka derfor IKKE avede biomialfordelige, hvis ma f.eks. står med e krukke med blå og røde kugler og trækker é kugle ad gage og oterer farve ude at lægge kugle tilbage i krukke, da sadsylighede for at trække e rød kugle ved trækig ummer afhæger af udfaldet af trækig ummer. Stregt taget ka ma heller ikke avede biomialfordelige, hvis ma laver e stikprøveudersøgelse bl.a. de daske vælgere (Eksempel 7), da ma aldrig udspørger de samme perso mere ed é gag (dvs. ma arbejder "ude tilbagelægig"). Når ma alligevel aveder biomialfordelige i dee situatio, skyldes det, at det skal avedes til statistik, og at fejle er ubetydeligt lille, så læge stikprøves størrelse er meget midre ed populatioes størrelse. Sætig 5 (biomialfordelige): Ved et biomialeksperimet beståede af deleksperimeter med succes-sadsylighede p, er sadsylighede P r for succes i r af eksperimetere: P( r) r r K(, r) p ( p) Defiitio 8: Et biomialeksperimet med deleksperimeter og successadsylighede p b, p. beteges Eksempel 77: Hvad er sadsylighede for at slå etop tre ere ved et kast med 5 almidelige teriger? P (3) K(5,3) ,% Eksempel 78: Hvis 4,7% af daskere stemmer på DF, hvad er så sadsylighede for, at der bladt 500 tilfældigt udvalgte daskere er etop 0, der stemmer på DF? 0 K 80 P 0 500, 0 0,47 0,47 0, ,9% 49

50 Bevis 5: I beviset avedes Defiitio 3 (kyttet til Sætig 0) og sætigere 4 og om multiplikatio og additio af sadsyligheder. Vi ser på deleksperimeter med successadsylighede p. Så er fiaskosadsylighede p, da vi ku har disse to mulige udfald, og da summe af sadsyligheder for alle udfald skal være. Vi opstiller u disse deleksperimeter i rækkefølge og ser på e kokret situatio med r succeser og dermed r fiaskoer: Sætig 4 giver os sadsylighede for etop dette samlede udfald (dvs. succes og fiasko i lige etop dee rækkefølge). Me r succeser ka fremkomme på forskellige måder (e ade rækkefølge af succes og fiasko). K, r, da ma ka forestille sig, at ma skal udtage r-mægder beståede af Atallet af måder er umree på de deleksperimeter, der giver succes., r Sadsylighede for hver af de K r disjukte hædelser er sadsylighede for, at e af disse disjukte hædelser idtræffer, er: K, r led r p p, så r r r r r r r r r r P p p p p p p... p p K, r p p r succes Med Gym-pakke til Maple ka ma få teget både pidediagrammer og fordeligsfuktioer (trappediagrammer) for biomialfordelige. Her er det vigtigt at bemærke, at de to størrelser, der karakteriserer biomialfordeliger, er atallet af deleksperimeter og successadsylighede p. Atallet af succeser fugerer som vores uafhægige variabel og er altså ikke med til at karakterisere de pågældede fordelig. Eksempel 79: Vi vil gere se et pidediagram og et trappediagram for b 30, i Maple: 3 50

51 Eksempel 80: Gym-pakke ka også berege kokrete sadsyligheder eller sadsyligheder for at få midst et bestemt atal succeser (såkaldte kumulerede sadsyligheder). Vi vil gere udrege sadsylighedere for at få heholdsvis 0, og 3 succeser: Disse værdier ka sammeliges med pidediagrammet i Eksempel 79. Vi ser u på sadsylighedere for at få højst oveståede atal succeser: Disse værdier ka sammeliges med trappediagrammet i Eksempel 79. Hvis vi vil have sadsylighede for at få midst et bestemt atal succeser, ka vi udytte sætig om komplemetære hædelser, der giver os: Det bemærkes, at 0, , For biomialfordeliger gælder følgede vigtige sætig, hvoraf første del gere skulle virke ituitivt rigtig: Sætig : Biomialfordelige b, p har: p og p p 5

52 Bevis : Første del af sætige bevises ved at opdele biomialeksperimetet i de idetiske deleksperimeter med successadsylighede p og så udytte Sætig 9b. De ekelte deleksperimeter beskrives ved de stokastiske variabel X, der agiver atallet af succes ved é udførelse af eksperimetet, dvs. X i ka atage værdiere 0 og ( x x i 0 og ). Det samlede biomialeksperimets stokastiske variabel X bliver så X X X X 3... X, da ma etop skal lægge atallet af succeser i de ekelte deleksperimeter samme for at få det samlede atal succeser. Hvert deleksperimet består i at udføre et forsøg, der har sadsylighede p for succes og sadsylighede p for fiasko. Middelværdie for atal succeser er derfor: j j E X x P X x 0 p p p Alle deleksperimetere er idetiske, og Sætig 9b giver så: i j E X p p p... p p i Til at bestemme variase for biomialfordelige udytter vi, at de ekelte deleksperimeter er uafhægige, dvs. vi ka beytte Sætig. Me først skal vi have bestemt variase af de ekelte deleksperimeter (der som allerede vist har middelværdie p). Dette kue gøres ved hjælp af Sætig 9d, me her udreges det ud fra selve defiitioe på begrebet varias (Defiitio 7): Var X x P X x i i 0 p p p p p p p p p p Sætig giver så første lighedsteg i edeståede: i... Var X Var X p p p p p p p p p p Dermed er: i i led led Var X p p. Ide vi ser et eksempel på avedelse af dee sætig, skal vi have idført et sidste begreb og behadlet det i forbidelse med biomialfordelige. Defiitio 9: I følgede defiitio avedes etalsbetegelser. Hvis der er flere størrelser, der opfylder betigelsere, er der flere typetal eller typeitervaller. a) Ide for statistik er typetallet observatioe med de største hyppighed. b) Ide for statistik er typeitervallet observatiositervallet med de største tæthed. c) Ide for sadsylighedsregig er typetallet de værdi af de stokastiske variabel, der har størst sadsylighed. Sætig 7: I e biomialfordelig b, p gælder: a) Hvis pgiver et helt tal, er p typetallet. b) Hvis p p giver et helt tal, er der to typetal, emlig p p og p p. c) Hvis ige af betigelsere a) eller b) er opfyldt, er typetallet det største hele tal, der er midre ed p p (hvilket vil være et de to hele tal, der ligger tættest på p). Bemærkig: Da p ligger mellem 0 og, følger a) af c), så på si vis er a) e overflødig del af sætige. Me de er simplere formuleret ed c) og medtages derfor alligevel. 5

53 Bevis 7: Vi vil bevise sætige ved at se på forholdee mellem sadsylighedere for to successive atal succeser (dvs. to atal, der følger lige efter hiade, f.eks. 8 og 9). Pr Poite er, at så læge forholdet er større ed, vil sadsylighede være større for r Pr succeser ed r succeser. Når brøke giver uder, vil sadsylighede være større for r succeser ed r succeser. Hvis brøke giver, er de to sadsyligheder lige store:! r r r r p p P r K, r p p r! r! r p r r P r K, r p p! r r r p p p r! r! Så hvis vi ser på, hvorår sadsylighede for r succeser er større ed for r succeser: r p r p r p p r p p r r p p p r r p Tilsvarede udregig ka foretages med lighedsteg og med ulighedsteget pegede de ade vej, og ma har altså: Hvis p p r er sadsylighede for r succeser større ed for r succeser. Hvis p p r er sadsylighede for r succeser de samme som for r succeser. Hvis p p r er sadsylighede for r succeser midre ed for r succeser. Ud fra disse tre sammehæge følger Sætig 7 (overvej selv hvorfor!). Eksempel 8: Vi ser på biomialfordelige Middelværdie er: p b 50, 0. Spredige er: p p ,9 4,5,3 0 0 Da p 5 er et helt tal, er typetallet 5, dvs. det mest sadsylige atal succeser er 5. For at askueliggøre dette ses på sadsylighedere for 4, 5 og succeser: Et pidediagram over biomialfordelige teges: Det bemærkes, at sadsylighede for 5 succeser er større ed for 4 og. Dette er et eksempel, hvor middelværdie og typetallet er es. Bemærk desude, at spredige er, og sammelig dette tal med pidediagrammet (gå, ud til begge sider fra middelværdie 5), så du får e foremmelse af begrebet spredig. 53

54 5 Eksempel 8: Vi ser på biomialfordelige b 5, Middelværdie er p 5 54,7 5 Spredige er 5 p p 5 3, Da p p er et helt tal, er der to typetal, emlig 55 og 54. For at askueliggøre dette ses på sadsylighedere for 53, 54, 55 og 5 succeser: Pidediagrammet er: Bemærk, at sadsylighedere for 54 og 55 succeser er (præcis) lige store. Bemærk også, at dette ikke gælder for 53 og 5 succeser. Eksempel 83: Vi ser på biomialfordelige b 00;0,75. Middelværdie er p 00 0,75 7,5 Spredige er p p 000,750,85 3, 7997 Da hverke p 7,5 eller p p 00 0,75 0,75 7,5 0,75 7,75 er hele tal, er typetallet det største hele tal, der er midre ed 7,75, dvs. 7. For at askueliggøre dette ses på sadsylighedere for, 7 og 8 succeser: Pidediagrammet teges: 54

55 NEGATIV BINOMIALFORDELING De egative biomialfordelig (også kaldet Pascalfordelige) baserer sig lige som biomialfordelige på biomialeksperimeter, me fra e ade sysvikel. Det er i modsætig til biomialfordelige e uedelig sadsylighedsfordelig. Defiitio 0: De egative biomialfordelig er sadsylighedsfordelige for atallet af succeser i et biomialeksperimet, hvor deleksperimetere udføres, idtil et fra start fastsat atal fiaskoer r er ået. De egative biomialfordelig er bestemt af successadsylighede p og det fastsatte atal r af fiaskoer. NB r, p. De agives ved Det fremgår implicit af dee defiitio, at r er et aturligt tal. Me vi skal sart se, at vi kommer til at avede biomialkoefficieter og dermed fakultetsteg, år vi skal agive sadsylighedere. Da vi idførte fakultetsteget, blev det ævt, at ma kue udvide dette begreb til at omhadle reelle tal (gammafuktioe). På samme måde ka ma udvide de egative biomialfordelig til at tillade reelle r-værdier. I så fald kaldes det Polya-fordelige. Vi holder os dog til Pascalfordelige (aturlige tal). Eksempel 84: Vi bliver ved med at kaste e terig, idtil vi slår e er. Hvis dette skal være e egativ biomialfordelig, skal vi altså se på sadsylighedere for de 5 forskellige atal kast, ide vi slår vores er, og vi må sætte successadsylighede til p (da vi fortsætter, hvis vi ikke slår e er), og det fastsatte atal fiaskoer er r, da vi stopper første gag, vi slår e er. 5 Vores egative biomialfordelig kommer derfor til at hedde NB,. Vi fider sadsylighedere for de forskellige atal succeser: P0, da 0 succeser fremkommer, hvis vi slår e er i første kast. 5 5 P, da succes fremkommer, hvis vi ikke slår e er i første kast, me i adet P. Først to ikke-seksere og i tredje kast e er. 3 5 P. Først ikke-seksere og i + te kast e er. 5 De egative biomialfordelig NB, er altså: P 0,7 0,39 0, 0,09 0,080 0,07 0,05 0,047 0,039 0,03 Når vi lægger sadsylighedere samme, får vi e uedelig række, som vi gekeder fra vores forløb om uedeligheder, emlig e kvotietrække. Vi ka derfor udrege rækkesumme: 5 5 P

56 Bemærk, at udseede af pidediagrammet i Eksempel 84, hvor sadsylighedere hele veje midskes for større -værdier, gælder for samtlige egative biomialfordeliger med r, dvs. p- værdie ka ikke ædre dette (overvej dette!). Dette specialtilfælde af de egative biomialfordelig r kaldes også for de geometriske fordelig. Lad os u se på fordeliges udseede i et tilfælde, hvor r : Eksempel 85: Fra et kortspil ude jokere trækkes (MED tilbagelægig og bladig) ét kort ad gage, idtil der er trukket 5 hjerter. Vores egative biomialfordelig giver os sadsylighedere for de forskellige atal truke kort, der ikke var hjerter, år vi stopper efter de 5. truke hjerter. 3 Vi ser altså på de egative biomialfordelig NB 5, 4. Hvis du overvejer situatioe, ka du muligvis allerede ude udregiger se, at vi ikke lægere får de største sadsylighed for 0 truke ikke-hjerter. Lad os se på ogle sadsyligheder: 5 P0 0, 0977%, da vi her trækker 5 hjerter i træk Hvis vi skal ede med at have trukket ét kort, der ikke er hjerter, skal vi have trukket kort i alt (5 hjerter og ikke-hjerter). Dette mider rigtig meget om vores biomialfordelig, for det svarer jo til deleksperimeter med succes. MEN! Der er e lille, væsetlig forskel. Vi ved, at vores succes ikke må være placeret som sidste trækig, for så ville vi allerede være stoppet efter at have trukket hjerter i de første 5 træk. Vores succes har altså ku 5 pladser at vælge imellem. Vi får dermed følgede udregig (jævfør biomialfordelige Sætig 5): ! 3 3 P 5 0,3% 4 4! 5! Hvis vi skal have trukket to kort, der ikke er hjerter, skal vi have trukket 7 kort i alt (5 hjerter og ikke-hjerter). Ige må vi ifølge vores regler for trækigere ødvedigvis ede med e hjerter, dvs. vores ikke-hjerter skal være placeret på de første pladser. Vi får dermed: 5 5 3! 3 P 0,840% 4 4!! 4 4 Samme argumetatio giver os: P 4 4 Vores egative biomialfordelig får følgede udseede: Det er altså mest sadsyligt at trække ete eller ikke-hjerter. Eller tilsvarede: Det er mest sadsyligt, at ma eder med at have trukket eller 7 kort. 5

57 Eksempel 85 gav e avisig på, hvorda ma ka behadle de geerelle egative biomialfordelig NBr, p. P er sadsylighede for succeser og r fiaskoer i r deleksperimeter, hvor der ikke må være e succes i sidste deleksperimet, dvs. de succeser skal fordeles på r pladser. Dette giver os følgede sætig: Sætig 8: Sadsylighede for succeser i de egative biomialfordelig NBr, per: r r P p p I de æste sætig bruges heltalsfuktioe agivet ved it. For positive tal agiver de det største heltal, der er midre ed eller lig med argumetet. Dvs. på positive tal virker de ved at afskære evetuelle decimaler af et tal, f.eks. it 9, Bemærk altså, at heltalsfuktioe IKKE afruder. Da heltalsfuktioe afskærer decimaler, vil de for egative tal agive det midste heltal, der er større ed eller lig med argumetet. I Maple fides de to beslægtede fuktioer floor og ceil (ceilig), hvor floor for alle tal agiver det største heltal, der er midre ed eller lig argumetet, mes ceil agiver det midste heltal, der er større ed eller lig argumetet. Afprøv begge dele og tjek, at du forstår betydige af dem. For positive tal virker floor og it es, så floor kue også have været avedt i edeståede: Sætig 9: For de egative biomialfordelig NBr, pgælder: p r a) Det geemsitlige atal succeser er: ge p r b) Det geemsitlige atal deleksperimeter er: Age p c) Typetallee/typetallet (det mest sadsylige atal succeser) er: pr pr og, hvis tallee er hele tal (differese mellem de to brøker er ). p p pr it, hvis tallet ikke er et helt tal. p d) Det mest sadsylige atal deleksperimeter er: r r p og, hvis tallee er hele tal (differese mellem de to brøker er ). p p r it p p, hvis tallet ikke er et helt tal. I Sætig 9.c gælder specielt for r, at ma får og 0, og her er det så ku 0, der er typetal. Bemærk, at forskelle mellem atal deleksperimeter og atal succeser er r (overvej dette!). Når du har lavet edeståede to øvelser, behøver vi altså ku at bevise b) og c) i Sætig 9. Øvelse 5: Vis, at der med udtrykkee fra Sætig 9 gælder: ge r Age. p r p r p r r p r r p Øvelse : Vis, at, r og r p p p p p p 57

58 Bevis 9: Vi vil beytte de store tals lov (Sætig 8) til at bevise Sætig 9.b. Vi forestiller os, at vi udfører vores eksperimet m gage. Dette giver os e masse forskellige atal deleksperimeter f, f, f3,..., f m. Hvis det f.eks. var vores terigkast fra Eksempel 84, så kue det være, at vi i første eksperimet fik 4 deleksperimeter ( ere kom i fjerde kast), i adet eksperimet deleksperimet ( ere kom i første kast), i tredje kast 9 deleksperimeter ( ere kom i iede kast), osv. Vi lægger alle disse atal deleksperimeter samme og får det samlede atal N af deleksperimeter i de m eksperimeter: f f f f N 3... m Da hvert eksperimet fortsætter, idtil vi har fået r fiaskoer, har vi det samlede atal fiaskoer: N m r fiasko N fiasko mr Dermed er frekvese af fiaskoer: N N Me hvis vores m er tilpas stort (vi forestiller os, at vi laver græseovergage m, da geemsittet jo etop er baseret på uedelig mage getagelser), så fortæller de store tals lov os, at dee frekves svarer til sadsylighede for fiasko, og de er p. mr Vi har altså: p N I dette udtryk isoleres N, da det etop er det geemsitlige atal deleksperimeter i hvert m eksperimet, fordi N er det samlede atal deleksperimeter og m det samlede atal eksperimeter: mr N r p N m p Tjek med udtrykket i Sætig 9.b og se, at beviset er geemført. For at bevise Sætig 9.c beyttes samme fremgagsmåde som i Bevis 7. Vi opstiller forholdet mellem to successive sadsyligheder og ser på, hvorår det kommer uder. r r r! p p p P! r! P r r r! p p! r! r!! r!! r!! r r r p p p p p r Vi er iteresserede i, om dee brøk er større eller midre ed for de forskellige -værdier. For hvis brøke er større ed, vil sadsylighede for succeser være større ed for succeser. Og hvis brøke er midre ed, er vi kommet for lagt, for så er sadsylighede for succeser midre ed for succeser. Hvis brøke har værdie, er sadsylighedere for og succeser lige store. Vi udreger: r r r p r p p p p p p p r r r p r p p p p p p p r r r p r p p p p p p p Udervejs i ulighedere blev det beyttet, at p 0. Tjek, at det øskede er bevist. 58

59 Eksempel 8: Vi aveder Sætig 9 på eksemplere 84 og I Eksempel 84 havde vi NB,. 5 p r ge 5. Dvs. ma får i geemsit 5 ikke-seksere, før ma første gag får e er. p 5 A ge r. Dvs. ma skal i geemsit kaste gage for at få de første er. p 5 5 pr 0. Dvs. typetallet er 0. p 5 I Eksempel 85 havde vi NB 3 5, p r 4 ge 5. p 3 4 Dvs. ma får i geemsit 5 ikke-hjertere, før ma år 5 hjerter. r 5 Age 0. Dvs. ma kommer i geemsit til at trække 0 kort. p p r pr og 4. Dvs. typetallee er og. p 3 3 p Vi skal u se på e fordelig, der på e del pukter mider om biomialfordelige, og som i ogle sammehæge derfor erstattes af dee, da biomialfordelige er simplere at rege med og er e god tilærmelse. 59

60 DEN HYPERGEOMETRISKE FORDELING Defiitio : Udgagspuktet for de hypergeometriske fordelig er e populatio på objekter, hvoraf k symboliserer succes og k symboliserer fiasko. Fra de objekter udtrækkes ude tilbagelægig t objekter, og de hypergeometriske fordelig agiver så sadsylighede for at få r succeser. Vi har altså at gøre med e række IKKE-uafhægige stokastiske eksperimeter med forskellige successadsyligheder, da ma ikke lægger tilbage efter hver trækig. Eksempel 87: Stadardeksemplet er e krukke ideholdede to forskelligt farvede kugler. Det kue være e krukke med 0 kugler, hvoraf 5 er grøe og 45 sorte. Og spørgsmålet kue være: Hvad er sadsylighede for at trække etop 3 grøe kugler, hvis ma trækker 0 kugler op af krukke? Her kue grø symbolisere succes, og de stokastiske variabel X kue så agive atal succeser ved optrækig af 0 kugler. P X 3. Vi skulle så fide Eksempel 88: I e meigsmålig udgør de stemmeberettigede del af befolkige populatioe, og stikprøve udgør så de t meesker, der udspørges. At ville stemme på partiet Imperiet (T) agiver succes, og fiasko er så ikke at ville stemme på partiet T. De hypergeometriske fordelig agiver så sadsylighedere for de forskellige atal bladt de t meesker, der vil stemme på partiet T. Bemærk, at vi i Eksempel 78 behadlede oveståede situatio som e biomialfordelig, og det er også det, ma ormalt vil gøre, da populatioe er meget større ed stikprøve. Me hvis ma skal have det helt præcist, skal det altså være de hypergeometriske fordelig. Sætig 30: Lad h, k, t være det hypergeometriske eksperimet, der består af objekter, hvoraf k er succeser, og hvorfra der trækkes t objekter ude tilbagelægig. X er de stokastiske variabel, der agiver atallet r af succeser. Ud fra oveståede gælder t r og k r, og ma har så: k k r t r P X r t Bevis 30: Vi har allerede i Eksempel 73 set de takegag, der skal bruges til at berege sadsylighedere. De fides ved at beytte sætig 3, dvs. fide atal gustige udfald og dele det med atal mulige udfald. De mulige udfald er alle udtrækiger af t elemeter fra e -mægde, dvs., mes de gustige udfald ifølge Sætig 3 fides ved at fide atallet af mulige t udtrækiger af r succeser bladt de k succeser og multiplicere det med atallet af mulige udtrækiger af de t r fiaskoer bladt de kelemeter, der er fiaskoer. 0

61 Eksempel 89 (udregig af sadsylighede beskrevet i Eksempel 87): Vi har 0 og k 5. Da t 0har ma: Dvs. at sadsylighede for, at der er etop 3 grøe bladt de 0 optruke kugler, er 7%. Eksempel 90: Vi har e vælgerskare på 4 millioer meesker, hvoraf millio vil stemme på partiet Imperiet (med partibogstavet T). Vi udvælger e stikprøve på 500 persoer og øsker at fide sadsylighede for, at præcis 00 af dem vil stemme på T. Vi prøver både at beytte de korrekte hypergeometriske fordelig og biomialfordelige, der ku er e tilærmelse, da ma ikke lægger tilbage, dvs. ma ka ikke spørge de samme perso flere gage: De hypergeometriske fordelig: Biomialfordelige (successadsylighede er 5%): Afvigelse ligger på 4. betydede ciffer, så vi ka se, at det ikke er urimeligt at avede biomialfordelige i etop dee situatio.

62 DEN NEGATIVE HYPERGEOMETRISKE FORDELING Muligvis kommer det ikke som de store overraskelse, at der også er e egativ hypergeometrisk fordelig: Defiitio : Se på e samlig af objekter, hvoraf k ka beteges som succes. De resterede kobjekter beteges som fiasko. Der trækkes bladt objektere ude tilbagelægig, idtil et på forhåd fastsat atal t af fiaskoer er ået ( 0 t k ). De egative hypergeometriske fordelig agiver sadsylighedere i trækige. Pr for atallet r af succeser Bemærk, at det er e edelig sadsylighedsfordelig, for ma har 0 r k. De egative hypergeometriske fordelig karakteriseres ved, k og t, og de skrives NHG, k, t. Sætig 3: For de egative hypergeometriske fordelig NHG, k, t gælder: P r k k r t t r t r t Bevis 3: Hvis ma har fået r succeser, har ma trukket r tobjekter, for ma trækker jo, idtil ma har ået t fiaskoer. Dvs. vi ka bruge vores hypergeometriske fordelig (Sætig 30) med r ttrækiger og med de væsetlige tilføjelse, at vi skal have sorteret alle de trækiger fra, der eder med e succes (for regle er jo, at ma slutter, år ma år t fiaskoer). Vi ser u på de r tobjekter, der er trukket. Sadsylighede for, at det sidste objekt er e fiasko, t er. Vi bruger så vores multiplikatiospricip for sadsyligheder ( både-og ), hvor vi siger, at r t vi skal både have trukket r succeser og t fiaskoer, og vi skal have e fiasko i sidste trækig. Det giver os: k k k k r r t r t r t t Pr r t r t r t r t Eksempel 9: E slikpose ideholder 50 stykker slik, hvoraf 7 er lakridser. E perso vil gere have 5 lakridser og bliver derfor ved med at tage stykker op, idtil det øskede atal er ået (aturligvis kigger persoe ikke ed i pose eller lægger stykker tilbage). Bemærk, at da det er lakridsere, der er afgørede for, hvorår persoe stopper, skal disse sættes som fiaskoer, selvom det er dem, persoe foretrækker. Dvs. pose ideholder 33 succeser og 7 fiaskoer. Vores egative hypergeometriske fordelig giver os så sadsylighedere for det atal ikke-lakridser, der trækkes.

63 Eksempler: P0 0, 9%, hvilket er sadsylighede for at trække udelukkede lakridser P, 07%. Her trækkes 5 lakridser og ikke-lakrids Et pidediagram over dee egative hypergeometriske fordelig er: Det er altså mest sadsyligt (9,3%), at ma trækker 8 stykker, der ikke er lakridser, for at få 5 lakridser (dvs. 3 stk. slik i alt). Og de agive middelværdi fortæller os, at vi må forvete i geemsit at skulle trække godt 4 stykker slik for at få 5 lakridser. Ude bevis ka det æves, at geemsittet for de egative hypergeometriske fordelig kt NHG, k, t er. Tjek, at det stemmer med Eksempel 9. k Vi ka også bruge geemsittet til æste eksempel: Eksempel 9: Hvor mage kort skal ma i geemsit trække fra et kortspil (5 kort) for at få esser? Her er essere fiaskoer, da de er afgørede for, hvorår ma stopper. Vores fordelig bliver altså NHG 5,48,. Geemsittet for fordelige er derfor: kt , k Dvs. der skal i geemsit trækkes godt kort ( esser og 9 ikke-esser). 3

64 DEN MULTINOMIALE FORDELING Biomialfordelige og de hypergeometrisk fordelig beskæftiger sig begge med deleksperimeter, hvor der ku er to mulige udfald succes og fiasko. Forskelle på de to er, at biomialfordelige beskæftiger sig med idetiske deleksperimeter (svarede til med tilbagelægig, hvis ma tæker på trækig af kugler fra krukker eller kort fra kortspil), mes de hypergeometriske fordelig er ude tilbagelægig. Begge fordeliger ka udvides til fordeliger, hvor deleksperimetet har mere ed to mulige udfald. Biomialfordelige bliver i så fald til de multiomiale fordelig, mes de hypergeometriske fordelig bliver til de multivariable hypergeometriske fordelig. Defiitio 3: Et multiomialeksperimet er et stokastisk eksperimet, der består af udførelser af U u, u, u,..., u, hvor s. idetiske deleksperimeter med mere ed to mulige udfald, dvs. del 3 De stokastiske variable X, X, X 3,..., X s agiver atallee af udfaldee u, u, u3,..., us i de udførelser. Vi skriver sadsylighede P X r X r X3 r3... X s rs som Pr, r, r3,..., r s s Sætig 3: Ved et multiomialeksperimet med deleksperimeter, der hver har s mulige udfald med sadsylighedere p, p, p 3,..., p s, hvor givet ved følgede sadsylighedsfuktio, hvis s i p, er de multiomiale fordelig i s r : i i! P r r r r p p p p s ri r r rs i,, 3,..., s 3... s! r! r! r3!... rs! i ri! r3 p Hvis s r i i, er sadsylighede 0 (overvej selv, hvorfor). Eksempel 93: I e krukke med 00 kugler er der 37 blå, 9 røde, grøe og 3 sorte kugler. 0 gage trækkes fra krukke e kugle, der efterfølgede lægges tilbage. Sadsylighede for at trække 7 blå, røde, 4 grøe og 3 sorte kugler er: 0! P 7,, 4,3 0,37 0, 9 0, 0,3 0, 033,% 7!! 4! 3! Sadsylighede for at trække 8 blå, 5 røde, 0 grøe og 7 sorte kugler er: 0! P 8,5, 0, 7 0,37 0, 9 0, 0,3 0, , 0045% 8! 5! 0! 7! Sadsylighede for at trække 5 blå, 7 røde, 4 grøe og 9 sorte kugler er 0, da Bemærk, hvorda Sætig 3 er e udvidelse af Sætig 5, da ma ved at idføre skrivemåde r r og r r samt p p og p p i biomialfordelige kue få Sætig succes 5 til at hedde: fiasko succes fiasko r r! rsucces Pr, r K, r p p p p r! r! rfiasko succes fiasko succes fiasko succes fiasko Derfor er det ikke overraskede, at beviset for Sætig 3 mider om beviset for Sætig 5 4

65 Bevis 3: Vi ser på deleksperimeter med de mulige udfald u, u, u3,..., u s, der i de ekelte deleksperimeter idtræffer med sadsylighedere p, p, p3,..., p s, og som i de udførelser hver især idtræffer r, r, r 3,..., r s gage. Sætig 4 ka så bruges til at berege sadsylighede P permutatio for, at de ekelte udfald idtræffer i e bestemt rækkefølge: r r rs P p p... p p p... p... p p... p p p... p permutatio s s s s r faktorer r faktorer rs faktorer Det er væsetligt at bemærke, at dette udtryk er det samme uaset hvilke permutatio, der ses på. For så magler vi blot at tælle hvor mage af sådae permutatioer, der fides: Først skal vi bladt de deleksperimeter have placeret de r deleksperimeter, der gav! udfaldet u. Det ka gøres på K, r r! r! måder, da vi udvælger r placeriger bladt mulige (præcis som i beviset for biomialfordelige). Derefter (og hermed opfyldes betigelse om ordede delvalg i Sætig 3 om multiplikatio af valgmuligheder) skal vi bladt de resterede r placeriger have udvalgt de r placeriger, hvor udfaldet u idtraf (bemærk, at atallet af valgmuligheder er uafhægigt af, hvorda vi placerede u - hvilket sikrer, at vi om lidt ka beytte Sætig 3). Dette ka gøres på K r, r r! måder. r! r r! Når vi efterfølgede skal have placeret u3 på r 3 forskellige placeriger, er der rr tilbage rr! K r r, r3 måder. r! r r r! at vælge imellem, dvs. det ka gøres på 3 3 Og således fortsættes, idtil us skal placeres (det ka ku gøres på måde, me dette -tal ka r r... rs! K r r... rs, rs. r! r r... r! ifølge vores system skrives som): Sætig 3 (multiplikatio for valgmuligheder) giver så, at det samlede atal permutatioer er:! r! r r! r r... rs!!... r! r! r! r r! r! r r r! r! r r... r! r! r! r!... r! 3 3 s s 3 s s Og da vores valg af permutatio er et ete-eller valg, giver Sætig os:! r r r3 r Pr, r, r3,..., r 3... s s p p p ps r! r! r!... r! 3 Eksempel 94: 30 teriger kastes. Sadsylighede for at få ere, 4 ere, 5 3 ere, 4 ere, 7 5 ere og ere er: P,4,5,,7, s !! 4! 5!! 7!! 30! 0, , 0080%! 4! 5!! 7!! Sadsylighede for at få 5 af hver øjetal er: 30! P5,5,5,5,5,5 0, , 040% 5! Sadsylighede for 30 ere er: P ! 0,0,0,0,0,30 4,50 % 5 0! 30! s 5

66 DEN MULTIVARIABLE HYPERGEOMETRISKE FORDELING Vi udvider u de hypergeometriske fordelig ved at sige: Defiitio 4: I e populatio på objekter er objektere opdelt efter egeskabere u, u, u3,..., u s, ( s ), hvor k, k, k3,..., ks agiver atallet af objekter med de pågældede egeskab, og hvor s ki. i Fra de objekter udtrækkes ude tilbagelægig t objekter. De stokastiske variable X, X, X 3,..., X s agiver atallet af objekter i udtrækige med hver af egeskabere u, u, u3,..., u s og de multivariable hypergeometriske fordelig er så fordelige beskrevet ved P X r X r X3 r3... X s rs, der skrives Pr, r, r3,..., r s Sætig 33: I de multivariable hypergeometriske fordelig gælder for s ri t : i s k k k3 ks ki... r r r r r Pr, r, r3,..., r ; t ; k r t t 3 s i i s i i Bevis 33: Beviset er mage til beviset for Sætig 30 bare med ogle ekstra faktorer. Eksempel 95: I e krukke med 00 kugler er der 37 blå, 9 røde, grøe og 3 sorte kugler. Der trækkes 0 kugler fra krukke (ude tilbagelægig). Sadsylighede for at trække 7 blå, røde, 4 grøe og 3 sorte kugler er: P7,, 4,3,5% 00 0 Sadsylighede for at trække 8 blå, 5 røde, 0 grøe og 7 sorte kugler er: P8,5,0,7 0,0047% 00 0 Sadsylighede for at trække blå, røde, grøe og 5 sorte kugler er 0, da der ku er 3 sorte kugler i krukke.

67 Eksempel 9: Fra et kortspil ude jokere trækkes 5 kort til e håd. Sadsylighede for at trække hjerter, spar og klør er: P,,,0 3,04% 5 5 Sadsylighede for at trække billedkort, es og talkort (-0) er: 4 3 P,,,40% 5 5 Hvis ma skal fide sadsylighede for at trække billedkort og 3 ruder, skal ma være opmærksom på, at dette ikke er e brugbar opdelig efter egeskaber, da et billedkort også ka være e ruder, dvs. ogle kort besidder begge egeskaber. 7

68 POISSON-FORDELING Vi slutter af med e meget avedelig fordelig, der desværre i disse oter udledes ud fra biomialfordelige på e ikke helt tilfredsstillede måde, da der bl.a. hevises til e sætig, vi ikke har bevist. Defiitio 5: Vi ser på e stokastisk proces, hvor e hædelse idtræffer med e fast, geemsitlig hyppighed uafhægigt af, hvorår eller hvor de sidst er idtruffet. Poissofordelige agiver så sadsylighede for de forskellige atal idtrufe hædelser i et givet iterval. Poissofordeliger karakteriseres ved parametere, der agiver, hvor mage gage hædelse i geemsit idtræffer i det give iterval, og vi agiver så de pågældede fordelig ved Pois. Bemærk, at vi altså allerede ude overhovedet at have agivet fordelige keder geemsittet for poissofordelige Pois, for det er. Bemærk også, at vi faktisk er ødt til at have fudet (eller aslået) dette geemsit, før vi overhovedet er i stad til at begyde at rege på fordelige. Bemærk desude, at lægde af vores give iterval ikke kommer til at idgå i udtrykkee, for vores er kyttet til dee lægde, og hele iformatioe ligger altså i. Og bemærk edelig, at det give iterval ikke behøver at være et tidsrum. Det ka f.eks. også være e lægde, et areal eller et rumfag. Eksempel 97: Her er ogle eksempler, hvor poissofordeliger kommer i spil. a) Se på e radioaktiv kilde med tilpas lag halverigstid til, at vi ka atage aktivitete for at være kostat i tid. Hvis vi 30 gage måler atal hefald i itervaller af 0 sekuder, ka vi fide det geemsitlige atal hefald pr. 0 sekuder. Når dette geemsit er fudet, ka vi fide sadsylighedere for de forskellige atal hefald ide for 0 sekuder. b) E eledig dartspiller kaster dartpile mod e dartskive. Pilee rammer fuldstædig tilfældigt på skive. Atallet af pile på skive delt med skives areal vil fortælle os, hvor mage pile der i geemsit vil være ide for et vist givet areal. Kig u på arealer på skive af dee give størrelse. Pilee vil være poissofordelt, dvs. sadsylighedere for de forskellige atal pile ide for de give arealer vil kue aflæses af poissofordelige. c) På et lagt stykke DNA fides e række gemutatioer, og dette giver os et geemsit for, hvor mage gemutatioer der er på et givet stykke. Atal gemutatioer på stykker af de give lægde vil være poissofordelt. Sætig 34: Sadsylighede for, at de give hædelse idtræffer k gage i det give iterval i poissofordelige Pois, er givet ved: P k k e k! 8

69 Bevis 34: Vi ser på vores give iterval (ude at lægge os fast på, om det repræseterer tid, lægde, areal, rum eller oget helt femte), hvor hædelse i geemsit idtræffer gage: Itervallet opdeles i stykker, da det i første omgag gør det muligt for os at avede vores (diskrete) biomialfordelig på situatioe. Hvis vi betragter det som e biomialfordelig, har vi deleksperimeter, og vi ka bestemme successadsylighede p, da vi også keder geemsittet. Vores Sætig giver: p Hermed har vi sadsylighedsfordelige (Sætig 5): k k k k! P k p p k k! k! Dette udtryk omskrives: P k k! k k k! k! k! k k! k! k Her er k faktorer k... k k k! k k... k! Bemærk, at oveståede udtryk altså fremkommer, år vi aveder biomialfordelige på situatioe. Poite er u, at vi IKKE ka avede biomialfordelige på situatioe, for i biomialfordelige udfører vi ku vores deleksperimet gage, dvs. ved alle de sorte streger i itervallet. Og vores situatio går etop ud på, at vores deleksperimeter så at sige skal udføres hele tide. Dette ka vi imidlertid opå ved at foretage græseovergage. Dvs. vores biomialfordelig vil komme tættere og tættere på vores poissofordelig, jo større vi gør. Prøv at sammelige udtrykket for biomialfordelige med udtrykket for poissofordelige i Sætig 34 og tjek, at vi har vist sætige, år vi om lidt har argumeteret for, at de sorte del af udtrykket fra biomialfordelige går mod, og de magetafarvede del går mod e for. Vi ser først på det sidste. Vi gekeder udtrykket fra Fuktioer del, hvor det blev ævt, at x x lim e. Dvs. vi har lim e. At alle faktorere i de sorte del af udtrykket går mod for ses ved e omskrivig af e af faktorere (der tages et ekelt eksempel, og du skal så tjekke, at du ka se, at det samme ka gøres med de adre): for, da tællere i de sidste brøk er e kostat, mes ævere går mod uedelig. 9

70 Eksempel 98: Ide et forsøg med e radioaktiv kilde måles baggrudsstrålige. Vi måler 0 gage i vores iterval på 0 sekuder og får et geemsit på,4 måliger. Vores poissofordelig er altså Pois.4. Vi ser først på et par eksempler på udregiger af sadsyligheder: 3 3,4 e,4 e P3 7, % 3! 3! 9 9,4 e,4 e P9 8, 5% 9! 9! Et pidediagram over poissofordelige er: Eksempel 99: På e sti belagt med es fliser observeres 387 fugleklatter på et stykke med 00 fliser. Atallet af fugleklatter på hver flise må forvetes at følge poissofordelige Pois Et pidediagram er: 70

71 Ud over, at agiver middelværdie for e poissofordelig, så agiver de faktisk også variase: Sætig 35: For poissofordelige Pois gælder: var X Vi behøver ku at vise udtrykket for variase, for udtrykket for spredige følger direkte af dette. Vi udytter følgede idetitet, som vi viste i forbidelse med taylorrækker: x x e 0! Vi ka u bevise sætige: Bevis 35: Vi beytter Sætig 9.d ( var X E X E X var X k k k 0 e e e e e k! k k k 0 k k k k! k! k k k k 0 k! k! k k k0 k0 ). Vi får så: k k e k e k! k! e e k k e e k k k [Første led i summatioe giver 0, så det fjeres] k e e e k 0 k! k! k! Når ma siger, at usikkerhede på et tælletal er, så atager ma altså, at tælletallee er poissofordelt, og ma reger med, at det pågældede tal er tilpas tæt på middelværdie. For egetlig er det jo, der er usikkerhede (spredige). Dette fortæller os også, at de relative usikkerhed på tælletallet er, dvs. de relative usikkerhed midskes, år tælletallet øges. Det er derfor, ma som udgagspukt skal forsøge at opå så store tælletal som muligt. 7

72 7

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable Diskrete og kotiuerte stokastiske variable Beroulli Biomial fordelig Negativ biomial fordelig Hypergeometrisk fordelig Poisso fordelig Kotiuerte stokastiske variable Uiform fordelig Ekspoetial fordelig

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

antal gange krone sker i første n kast = n

antal gange krone sker i første n kast = n 1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasum Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 Sadsylghedsfelt... 3 Edelge sadsylghedsfelter (sadsylghedsfordelger):... 3 Uedelge

Læs mere

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0. Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Sadsylighedsregig E ote om sadsylighedsregig. Via basal sadsylighedsregig gøres læsere klar til forstå biomialfordelige. Herik S. Hase, Sct. Kud Versio 5.0 Opgaver til hæftet ka hetes her. PDF Facit til

Læs mere

Elementær Matematik. Polynomier

Elementær Matematik. Polynomier Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Statistik ved Bachelor-uddaelse i folkesudhedsvideskab Græseværdisætiger Det hadler om geemsit Statistikere elsker geemsit Det er oplagt e god ide at tage geemsit. Hvis jeg f.eks skal gætte på vægte af

Læs mere

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6. enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik.

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig Uge, tirsdag. Niels Trolle Aderse, Afdelige for Biostatistik. Geerelt om kurset: - Formål - Forelæsiger - Øvelser - Forelæsigsoter - Bøger - EpiBasic: http://www.biostat.au.dk/teachig/software

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Analyse 1, Prøve maj 2009

Analyse 1, Prøve maj 2009 Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager

Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Sadsylighedstætheder og kotiuerte fordeliger på R Helle Sørese Uge 6, madag Velkomme I dag: Praktiske bemærkiger Hvad skal vi lave på SaSt2? Sadsylighedstætheder

Læs mere

Den flerdimensionale normalfordeling

Den flerdimensionale normalfordeling De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning) Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

Baggrundsnote til sandsynlighedsregning

Baggrundsnote til sandsynlighedsregning Baggrudsote til sadsylighedsregig Kombiatorik. Multiplikatiospricippet E mægde beståede af forskellige elemeter kaldes her e -mægde. Elemetere i e m-mægde og elemetere i e -mægde ka parres på i alt m forskellige

Læs mere

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside :

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside : Statistiske test Efteråret 00 Jes Friis, AAU Hjemmeside : http://akaaudk/jfj Kotiuerte fordeliger Defiitio: Tæthedsfuktio E sadsylighedstæthedsfuktio på R er e itegrabel fuktio f : R [0; [ hvor f d = Defiitio:

Læs mere

Løsninger til kapitel 7

Løsninger til kapitel 7 Løsiger til kapitel 7 Opgave 7.1 a) HpoStat giver resultatet: Pop. varias er ukedt, me 30, så Normalf. bruges approksimativt = 54,400 s 1.069,90 = 00,000 0,95 49,868 58,93 Dette betder, at med 95% sikkerhed

Læs mere

Undersøgelse af numeriske modeller

Undersøgelse af numeriske modeller Udersøgelse af umeriske modeller Formål E del af målsætige med dette delprojekt er at give kedskab til de begræsiger, fejl og usikkerheder, som optræder ved modellerig. I de forbidelse er følgede udersøgelse

Læs mere

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353 Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

Statistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer

Statistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer Statistik Lektio 7 Hpotesetest og kritiske værdier Tpe I og Tpe II fejl Strke af e test Sammeligig af to populatioer 1 Tri I e Hpotesetest E hpotesetest består af 5 elemeter: I. Atagelser Primært hvilke

Læs mere

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Test i to populatioer Hypotesetest for parrede observatioer Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

KOMPLEKSE TAL x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

KOMPLEKSE TAL x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium KOMPLEKSE TAL x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse E kort historie om imagiært og virkeligt... Tallegemet De Komplekse Tal... Idførelse af realdel og imagiærdel samt i... 8 Subtraktio,

Læs mere

Spørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset.

Spørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset. STATISTIK Skriftlig evaluerig, 3. semester, madag de 30. auar 006 kl. 9.00-3.00. Alle hælpemidler er tilladt. Opgaveløsige forsyes med av og CPR-r. OPGAVE Ved e produktio af viduer er der mulighed for,

Læs mere

Estimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter

Estimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter Statistik og Sadsylighedsregig 1 STAT kapitel 4.2 4.3 Susae Ditlevse Istitut for Matematiske Fag Email: susae@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susae Estimatio ved mometmetode Idimellem ka det være svært (eller

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders

Læs mere

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M

Læs mere

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n Ladmåliges fejlteori Lektio 3 Estimatio af σ Dobbeltmåliger Geometrisk ivellemet Lieariserig - rw@math.aau.dk Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet Repetitio: Middelværdi og Varias Sætig: Middelværdi

Læs mere

30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. 30. august 005 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig 3 Uge, torag d. 8. september 005 Michael Væth, Afdelig for Biostatistik. Mere om kategoriske data Test for uafhægighed I RxC tabeller Test for uafhægighed

Læs mere

Asymptotisk optimalitet af MLE

Asymptotisk optimalitet af MLE Kapitel 4 Asymptotisk optimalitet af MLE Lad Y 1, Y 2,... være uafhægige, idetisk fordelte variable med værdier i et rum (Y,K). Vi har givet e model (ν θ ) θ Θ for fordelige af Y 1 (og dermed også for

Læs mere

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ )

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ ) 3. februar 003 Epidemiologi og biostatistik. Uge, torag d. 3. februar 003 Morte Frydeberg, Istitut for Biostatistik. Type og type fejl Nogle specielle metoder: Test i RxC tabeller Test i x tabeller Fishers

Læs mere

Statistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion

Statistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion Statistik 8. gag 1 KONIDENSINTERVALLER Kofidesitervaller: kapitel 11 Valg og test af fordeligsfuktio Statistik 8. gag 11. KONIDENS INTERVALLER Et kofides iterval udtrykker itervallet hvori de rigtige værdi

Læs mere

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15 Vejledede besvarelser til opgaver i apitel 5 Opgave a) De teststatistier, ma aveder til at teste om to middelværdier er es, består af et estimat på forselle mellem middelværdiere,, divideret med et udtry

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til

Læs mere

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5.

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5. Istitut for Matematiske Fag Aarhus Uiversitet De 27. jauar 25. Sadsylighedsteori.2 og 2 Uge 5. Forelæsiger: Geemgage af emere karakteristiske fuktioer og Mometproblemet afsluttes, og vi starter på afsittet

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig

Læs mere

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith Georg Mohr Kokurrece Noter om uligheder Søre Galatius Smith. juli 2000 Resumé Kapitel geemgår visse metoder fra gymasiepesum, som ka bruges til at løse ulighedsopgaver, og ideholder ikke egetligt yt stof.

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 13 udgave 013 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske

Læs mere

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation.

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation. De reelle tal Morte Grud Rasmusse 5. ovember 2015 Ordede mægder Defiitio 3.1 (Ordet mægde). pm, ăq kaldes e ordet mægde såfremt: For alle x, y P M gælder etop ét af følgede: x ă y, x y, y ă x @x, y, z

Læs mere

Bekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet)

Bekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet) Oversigt (idholdsfortegelse) Bilag 1 Bilag 2 Bilag 3 De fulde tekst Bekedtgørelse om takstædriger i offetlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jerbaevirksomheder m.v. (takststigigsloftet) I medfør

Læs mere

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006 Dages program Økoometri De multiple regressiosmodel 5. februar 006 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.-3.3+appedix E.-E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af parametree

Læs mere

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik Uge 7 I Teoretisk Statistik, 9 februar 004 Beskrivede statistik Kategoriserede variable 3 Kvatitative variable 4 Fraktiler for ugrupperede observatioer 5 Fraktiler for grupperede observatioer 6 Beliggeheds-

Læs mere

6 Populære fordelinger

6 Populære fordelinger 6 Populære fordeliger I apitel 4 itroducerede vi stoastise variabler so e åde at repræsetere udfald af et esperiet på. De stoastise variabler ue være både disrete (fx terigslag) og otiuerte (fx vareægder).

Læs mere

Stikprøvefordelinger og konfidensintervaller

Stikprøvefordelinger og konfidensintervaller Stikprøvefordeliger og kofidesitervaller Stikprøvefordelige for middelværdi De Cetrale Græseværdi Sætig Egeskaber Ved Estimatore Kofidesitervaller t-fordelige Estimator og estimat E stikprøve statistik

Læs mere

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple

Læs mere

Talfølger og -rækker

Talfølger og -rækker Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber

Læs mere

Indholdsfortegnelse Generelt Diskrete stokastiske variable: Kontinuerte stokastiske variable: Regneregler for stokastiske variable

Indholdsfortegnelse Generelt Diskrete stokastiske variable: Kontinuerte stokastiske variable: Regneregler for stokastiske variable Idholdsfortegelse Geerelt:...3 Stokastisk variabel:...3 Tæthedsfuktio/sadsylighedsfuktio for stokastisk variabel:...3 Fordeligsfuktio/sumfuktio for stokastisk variabel:...3 Middelværdi:...4 Geemsit:...4

Læs mere

Længde [cm] Der er frit vandspejle i sandkassen. Herudover er sandkassen åben i højden cm i venstresiden og 0-20 cm i højresiden.

Længde [cm] Der er frit vandspejle i sandkassen. Herudover er sandkassen åben i højden cm i venstresiden og 0-20 cm i højresiden. Vadtrasportmodel Formål For beregig af vadtrasporte i sadkasse er der lavet e boksmodel. Formålet med boksmodelle er at beskrive vadtrasporte i sadkasse. Herover er formålet at bestemme de hydrauliske

Læs mere

Generelle lineære modeller

Generelle lineære modeller Geerelle lieære modeller Regressiosmodeller med é uafhægig itervalskala variabel: Y e eller flere uafhægige variable: X,..,X k De betigede fordelig af Y givet X,..,X k atages at være ormal med e middelværdi,

Læs mere

Introduktion til Statistik

Introduktion til Statistik Itroduktio til Statistik 4. udgave Susae Ditlevse og Helle Sørese Susae Ditlevse, susae@math.ku.dk Helle Sørese, helle@math.ku.dk Istitut for Matematiske Fag Købehavs Uiversitet Uiversitetsparke 5 2100

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige

Læs mere

cos(t), v(t) = , w(t) = e t, z(t) = e t.

cos(t), v(t) = , w(t) = e t, z(t) = e t. Aalyse Øvelser Rasmus Sylvester Bryder. og. oktober 3 Bevis for Cotiuity lemma Theorem. Geemgås af Michael Staal-Olse. Bevis for Lemma.8 Dee har vi faktisk allerede vist; se Opgave 9.5 fra Uge. Det er

Læs mere

IMFUFA TEKST NR TEKSTER fra ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER. Jørgen Larsen

IMFUFA TEKST NR TEKSTER fra ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER. Jørgen Larsen TEKST NR 435 2004 Basisstatistik 2. udgave Jørge Larse August 2006 TEKSTER fra IMFUFA INSTITUT ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER FOR STUDIET AF MATEMATIK OG FYSIK SAMT DERES FUNKTIONER I UNDERVISNING, FORSKNING

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 17. udgave 016 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de

Læs mere

Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol

Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol Simpel Lieær Regressio Opsplitig af variatioe Determiatios koefficiet Variasaalse F-test Model-kotrol Opbgig af statistisk model Specificer model Ligiger og atagelser Estimer parametre Modelkotrol Er modelle

Læs mere

Supplerende noter II til MM04

Supplerende noter II til MM04 Supplerede oter II til MM4 N.J. Nielse 1 Uiform koverges af følger af fuktioer Vi starter med følgede defiitio: Defiitio 1.1 Lad S være e vilkårlig mægde og (X, d et metrisk rum. E følge (f af fuktioer

Læs mere

Konfidens intervaller

Konfidens intervaller Kofides itervaller Kofides itervaller for: Kofides iterval for middelværdi, varias kedt Kofides iterval for middelværdi, varias ukedt Kofides iterval for adel Kofides iterval for varias Bestemmelse af

Læs mere

Modul 14: Goodness-of-fit test og krydstabelanalyse

Modul 14: Goodness-of-fit test og krydstabelanalyse Forskigsehede for Statistik ST01: Elemetær Statistik Bet Jørgese Modul 14: Goodess-of-fit test og krydstabelaalyse 14.1 Idledig....................................... 1 14.2 χ 2 -test i e r c krydstabel.............................

Læs mere

Estimation og test i normalfordelingen

Estimation og test i normalfordelingen af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Etimatio og tet i ormalfordelige Dee tekt ideholder et overblik over ogle grudlæggede pricipper for etimatio og tet i ormalfordelige i hyppigt forekommede ituatioer:

Læs mere

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18 ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 14 udgave 014 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske

Læs mere

Program. Ensidet variansanalyse Normalfordelingen. Antibiotika og nedbrydning af organisk materiale. Tegninger

Program. Ensidet variansanalyse Normalfordelingen. Antibiotika og nedbrydning af organisk materiale. Tegninger Faculty of Life Scieces Program Esidet variasaalyse Normalfordelige Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Esidet variasaalyse (oe-way ANOVA) Hvilke type data? Hvad er problemstillige? Variatio mellem

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 7

BEVISER TIL KAPITEL 7 BEVISER TIL KAPITEL 7 A. Komplemetærhædelse Det er klart, at e hædelse A og de komplemetære hædelse A udgør hele udfaldsrummet U, dvs. A A = Da fås P(U = U P(A A = P (A + P(A = da de to hædelser er dsjukte

Læs mere

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q 3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896

Læs mere

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

Skitse til notat om hvor de forskellige sandsynlighedsfordelinger kan tænkes at komme fra

Skitse til notat om hvor de forskellige sandsynlighedsfordelinger kan tænkes at komme fra E6 efterår 1999 Notat 8 Jørge Larse 12. oktober 1999 Skitse til otat om hvor de forskellige sadsylighedsfordeliger ka tækes at komme fra I statistik opererer ma i vid udstrækig med et lille atal»stadardfordeliger«.

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

Program. Populationer og stikprøver. Praktiske oplysninger. Eksempel vaccine mod miltbrand hos får. Praktiske oplysninger

Program. Populationer og stikprøver. Praktiske oplysninger. Eksempel vaccine mod miltbrand hos får. Praktiske oplysninger Faculty of Life Scieces Program Populatioer og stikprøver Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Praktiske oplysiger Populatioer og stikprøver Data Datatyper Visualiserig Cetrum og spredig af e fordelig

Læs mere

Kvantemekanik 4 Side 1 af 11 Energi og tid. Hamiltonoperatoren

Kvantemekanik 4 Side 1 af 11 Energi og tid. Hamiltonoperatoren Kvateekaik 4 Side 1 af 11 ergi og tid Hailtooperatore Af KM3 fregik det, at ehver observabel er repræseteret ved e operator, f.eks. jf. udtryk (3.1) og (3.). Ispireret af det klassiske udtryk for kietisk

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Rettevejledning til HJEMMEOPGAVE 1 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen

Rettevejledning til HJEMMEOPGAVE 1 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen Rettevejledig til HJEMMEOPGAVE Makro, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørese Opgave... Udsaget er forkert. De omtalte skatteomlægig må atages at øge beskæftigelse p.gr.a. e positiv substitutioseffekt

Læs mere

RESEARCH PAPER. Nr. 2, En model for lagerstørrelsen som determinant for købs- og brugsadfærden for et kortvarigt forbrugsgode.

RESEARCH PAPER. Nr. 2, En model for lagerstørrelsen som determinant for købs- og brugsadfærden for et kortvarigt forbrugsgode. RESEARCH PAPER Nr., 005 E model for lagerstørrelse som determiat for købs- og brugsadfærde for et kortvarigt forbrugsgode af Jørge Kai Olse INSTITUT FOR AFSÆTNINGSØKONOMI COPENHAGEN BUSINESS SCHOOL SOLBJERG

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

Sammenligning af to grupper

Sammenligning af to grupper Sammeligig af to gruer Reetitio, heruder om kritiske værdier Sammeligig af to gruer Sammeligig af to middelværdier Sammeligig af to adele Sammeligig af to variaser yoteser og hyotesetest. E hyotese er

Læs mere

Viden Om Vind oftere, stop i tide

Viden Om Vind oftere, stop i tide Vide Om Vid oftere, stop i tide Spørgsmål og svar Idhold Risici og relevas 2 Steffe Aderse Sadsyligheder 5 Per Hedegård Spørgsmål til eksperte 7 Thomas Aderse Til 8 Rasmus Østergaard Pederse E sikker strategi

Læs mere

Trygve Haave1mo. (Fore1æs ninger ved Aarhus Universitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. T E O R I INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS

Trygve Haave1mo. (Fore1æs ninger ved Aarhus Universitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. T E O R I INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS Trygve Haave1mo. INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS T E O R I (Fore1æs iger ved Aarhus Uiversitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. le INDHOLD..._..._... Grudlaget for de teoretiske Statistik. Kollektiv og ~a:dsylighed.

Læs mere