Overslagsberegninger - analytisk. Beregning ved Elementmetoden - numerisk. Måling vha. straingauges - eksperimentel

Transkript

1 Overslagsberegninger - analytisk Beregning ved Elementmetoden - numerisk Måling vha. straingauges - eksperimentel P7-Projekt Efterår 004 Gruppe H

2 Gr. H P7 efterår 004

3 Gr. H P7 efterår 004 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Appendiks...5 Appendiks : Koncentreret last...5 Appendiks : Airy s spændingsfunktion...7 Appendiks : Koncentreret last...0 Appendiks 4: Formfunktioner for lodrette flytninger... Appendiks 5: Forklaring til bjælkens B-matrice...6 Appendiks 6: Bestemmelse af tøjninger for bjælke...7 Appendiks 7: Den direkte metode...9 Appendiks 8: Bestemmelse af stivhedsmatricen efter VAP... Appendiks 9: Anvendelse af boundary conditions...4 Appendiks 0: CST elementets formfunktioner samt B-matrice...7 Appendiks : Q4-elementets formfunktion og B-matrice...9 Appendiks : Shear locking i Q4-elementet... Appendiks : Gauss integration... Appendiks 4: Udarbejdelse af B-matricen...5 Appendiks 5: Dokumentation og testning...9 Appendiks 6: Kildekoder...45 Appendiks 7: Håndberegning...75 Appendiks 8: Inertiberegning af skalmodel...78 Appendiks 9: Bestemmelse af E-modul...79

4 Gr. H P7 efterår 004 4

5 Gr. H P7 efterår 004 Appendiks Efterfølgende er de anvendte appendiks indsat. Appendiks : Koncentreret last The simple radial distribution går ud på, at alle punkter i afstanden r fra kraften P er udsat for et radialt tryk. Spændingerne i disse punkter kan skrives som følgende i polære koordinater: P cosθ σ r = ; σθ = τ r, θ = 0 π r Denne løsning er tilladt, såfremt kompatibilitetsligningen kan opfyldes ud fra Airy s spændingsfunktion, som er fastlagt i appendiks : Airy s spændingsfunktion. I dette tilfælde betragtes følgende spændingsfunktion: P φ = r θ sin θ π Det undersøges nu om denne spændingsfunktion kan opfylde kompatibilitetsligningen for polære koordinater. Ved differentiation fås: φ P = θ sinθ r π φ P P = r sinθ r θ cosθ θ π π φ = 0 r φ P P = r cosθ + r θ sinθ θ π π Disse kan nu indsættes i kompatibilitetsligningen for polære koordinater: φ φ φ = r r r r θ r r r r θ P P P θ sinθ r cosθ r θ sinθ + + = r r r r θ r π r π π 0 P + + cosθ 0 = r r r r θ π r P P P cos cos cos 0 r r θ θ θ = π r r π r r θ π r 4 P cosθ + P cosθ + P cosθ = 0 π r π r π r 5

6 Gr. H P7 efterår 004 Dermed er det vist, at kompatibilitetsbetingelserne er opfyldt, og dermed er den valgte spændingsfunktion en løsning. Nu undersøges det om den lodrette ligevægt er opfyldt. σ r s lodrette komposant regnes som r cosθ på overfladen, hvilket medfører at summen af alle komposanter skal være lig P. π π 4P σ cos cos 0 r r θ dθ = θ dθ = π 0 P Hermed er det vist, at den lodrette ligevægt er opfyldt. 6

7 Gr. H P7 efterår 004 Appendiks : Airy s spændingsfunktion I det følgende vil spændingsfunktionen φ blive udledt. Den bruges i teorien til bestemmelse af spændingerne i afsnittet koncentreret last. På efterfølgende figur ses en rektangulær plade med bredderne dx og dy i plan spændingstilstand. På figuren er spændingerne opgivet i positiv retning, hvorved ligevægtsligningerne kan opstilles. σ xx σ σ dy y σ yx σ yx + dy y yy yy + σ σ xy xy + x σ dx σ x xx xx + dx σ xy σ yx σ yy Figur : Illustration til bestemmelse af ligevægtsligninger. Vandret ligevægt: σ σ x σ xx xx x xx dy + σ σ dx dy + y σ + y yx xx = 0 σ + x yx xx dx dy + σ dy dx = 0 yx σ + y yx dy dx σ yx dx = 0 Lodret ligevægt: σ yy σxy σ yy dx + σ yy + dy dx + σxy + dx dy σxy dy = 0 y x σ yy σxy dy dx + dy dx = 0 y y σ yy y σxy + = 0 x 7

8 Gr. H P7 efterår 004 Af momentligevægt vides, at: σ = σ = τ xy yx Da ligevægtsligningerne ikke uden videre kan løses indføres en funktion kaldet spændingsfunktionen φ. Følgende sammenhæng er givet: xy σ xx φ y = σ yy φ φ = τ xy = x x y Disse indsættes i henholdsvis vandret og lodret ligevægtsbetingelse: σ σ xx yx φ φ + = + = x y x y y x y 0 σ yy σxy φ φ + = + = y x y x x x y Heraf ses ligevægtsbetingelserne er opfyldt. 0 For to-dimensionelle problemer kan kompatibilitetsligningen, der angiver sammenhængen mellem de forskellige tøjninger, findes af følgende: ε x = u x ε y v = y γ xy u v = + y x Disse tøjninger er afhængige af u og v, og da γ xy afhænger af både u og v kan forskydningsspændingen ikke vælges uden hensyntagen til ε x og ε y. Derfor er det nødvendigt, at finde en sammenhæng de tre tøjninger imellem, og denne sammenhæng kaldes kompatibilitetsligningen. Den findes ved at differentiere ε x to gange med hensyn til y, ε y to gange med hensyn til x og γ xy en gang med hensyn til x og en gang med hensyn til y, og derved fås følgende: ε x y ε y + x = γ xy x y () Da udgangspunktet er at spændingerne gættes således ligevægtsbetingelserne opfyldes, medfører det ikke nødvendigvis at problemet kan realiseres. Hermed menes, at det ikke er sikkert at flytningerne u og v er sammenhængende. Dette sikres såfremt kompatibilitetsligningen opfyldes. Ved anvendelse af Hooke s lov, kan ovenstående omskrives til en sammenhæng mellem de forskellige spændinger: ε x = ( σ ν σ ) ε ( σ ν σ ) E x y y = ( + ν ) γ = τ = E y x xy G xy E τ xy 8

9 Gr. H P7 efterår 004 Ved indsættelse af disse i formel (), findes følgende: y ( σ ν σ ) + ( σ ν σ ) = ( + ν ) x y x y x τ xy x y Hvilket ved gennemregning giver: τ xy x y σ = x x σ y y Ved at differentiere den vandrette ligevægtsbetingelse med hensyn til x, og den lodrette ligevægtsbetingelse med hensyn til y, og derefter lægge dem sammen, fås følgende: σ x x x x + y τ xy + y σ y + y y τ xy + x = 0 ( σ + σ ) = 0 ( ) x y Sættes de definerede størrelser for σ x og σ y ind i formel () kan spændingsfunktionen udtrykkes som følgende fjerdegradspolynomium: φ φ + + φ = x x y y Denne spændingsfunktion kaldes ligeledes Airy s spændingsfunktion og kan bruges til løsning af todimensionale problemer. Airy s spændingsfunktion omskrives til polære koordinater på følgende måde: φ φ φ = r r r r θ r r r r θ 9

10 Gr. H P7 efterår 004 Appendiks : Koncentreret last I afsnit 5. Spændingsberegning for forsøgsopstilling, blev spændingsfordelingen bestemt efter the simple radial distribution, hvor det blev forudsat, at profilet var en uendelig stor skive. I afsnit 5. Spændingsberegninger for forsøgsopstilling, hvor der ikke blev forudsat en uendelig stor skive, blev spændingerne beregnet vha. superposition af spændingerne beregnet som ved the simple radial distribution, og spændingerne beregnet efter påførelse af en lodret spænding på undersiden af bjælken. En anden metode til bestemmelse af spændingerne under en koncentreret last i en bjælke, der ikke anses for værende uendelig stor gennemgås efterfølgende. Metoden er ikke nær så præcis, som metoden anvendt i afsnit 5. Spændingsberegninger for forsøgsopstilling, men alligevel opnås acceptable resultater. Tæt ved den koncentrerede last, sker der en lokal forstyrrelse, i form af flydning i materialet, hvorved spændingsfordelingen bliver som efterfølgende. Figur : Illustration af spændingsfordeling. Ses udsnittet mnpq som en bjælke vil reaktionerne i punkt n og p være P, som vist efterfølgende. Figur : Illustration af udsnit mnpq samt reaktioner i punkt n og p. 0

11 Gr. H P7 efterår 004 Lige under lasten fordeler spændingerne sig som vist efterfølgende: Figur 4: Illustration af spændinger på randen. Integreres de radiale spændinger fås følgende vertikale og horisontale komposanter: Figur 5: Skitse til bestemmelse af bøjningsmomentet. Bøjningsmomentet kan nu bestemmes ud fra superposition af momentbidraget, der er illustreret på efterfølgende skitse, og spændingerne beregnet efter the simple radial distribution. P π Figur 6: Skitse til bestemmelse af bøjningsmoment. Bøjningsmomentet bestemmes til: P P M 0 = l C π

12 Gr. H P7 efterår 004 Indsættes dette moment i Navier s formel, fås spændingerne i snit AD: N M σ = + y A I P ( P P l π π C ) = + y C I For I C = fås: P P l C σ = + y π C C π Dermed er spændingerne fra momentbidraget beregnet. Til disse adderes så spændingerne beregnet efter the simple radial distribution, og et rimeligt overslag over spændingerne i en bjælke, der ikke anses for værende uendelig stor, er udarbejdet.

13 Gr. H P7 efterår 004 Appendiks 4: Formfunktioner for lodrette flytninger Den lodrette flytning er både afhængig af de lodrette flytninger i de to knudepunkter samt drejningerne i de to knudepunkter. Med andre ord w(x) er afhængig af v, v, θ, θ. dvs. der er 4 ubekendte, derfor kan der opstilles et -grads polynomium. Det erindres, at drejning i et punkt kan findes som den afledte af den lodrette flytning. wx ( ) = a x + b x + c x+ d Til polynomiet kan opstilles 4 betingelser, dvs. 4 ligninger med 4 ubekendte. Betingelser: for x = 0 w(0) = -v (flytning = flytning i knude ) -w,x (0) = θ (drejning = drejning i knude ) for x = L w(l) = -v (flytning = flytning i knude ) -w,x (L) = θ (drejning = drejning i knude ) w(0) = -v v = a 0 + b 0 + c 0+ d d = v w(l) = -v -w,x (0) = θ v = a L + b L + c L v v v b c L L L L al = v + v b L c L a = w x = a x + b x+ c, x ( ) w, x (0) = θ c= θ -w,x (L) = θ w x = a x + b x+ c, x ( ) w L = a L + b L+ c= θ, i denne formel indsættes a og c., x ( ) v v b θ w, x ( L) = + L + b L θ = θ L L L L v v b L+ θ + b L θ = θ L L v v b L+ θ+ b L θ = θ L L v v b L+ θ θ+ θ = b L L L v v v v θ θ + θ+ θ = b L b= + + L L L L L L

14 Gr. H P7 efterår 004 Da de 4 konstanter a, b, c og d er bestemt indsættes de i wx ( ) = a x + b x + c x+ d v v θ θ + + L L v v v v wx ( ) L L θ θ θ = + x x θ x v L L L L L L L L v v θ v v θ θ v x v x θ x θ x = + x θ x v L L L L L L L L L L L v x v x θ x v x v x θ x θ x v x v x θ x θ x = θ x v L L L L L L L L L L L L w( x) v x v x θ x L v x v x θ x L θ x L v x L v x L θ x L θ x L θ x L v L = L L L L L L L L L L L L L L L w( x) = v x v x θ x L v x + v x θ x L θ x L+ v x L v x L+ θ x L + θ x L θ x L v L ( ) ( ) θ ( ) θ ( ) = v x x + x L L + v x + x x L + x L x L+ x L x L + x L+ x L ( ) ( ) θ ( ) θ ( ) = v x + x L L + v x x L + x L+ x L x L + x L+ x L ( ) x x x x x W x v x v x x x = + + θ θ + L L L L L L L L Heraf aflæses formfunktionerne direkte: N N N N x x = + L L x x = + x L L x x = L L x x = + L L

15 Gr. H P7 efterår 004 På efterfølgende figurer er de fire formfunktioner optegnet. - 0 L/4 L/ N -0,5-0,8475 L/4 L 0-0,565 x 0 L/4-0, ,5 L/ L/4 N5-0,8475 L x Figur 7: Formfunktionerne N og N 5. 0 L/4 L/ L/4 L N4 x N6 0 L/4 L/ L/4 L x Figur 8: Formfunktionerne N 4 og N 6. 5

16 Gr. H P7 efterår 004 Appendiks 5: Forklaring til bjælkens B-matrice Ved Bernoulli-Euler bjælker forudsættes det, at tværsnit forbliver vinkelrette på bjælkeaksen selv ved deformation. Dette er illustreret på efterfølgende figur. W -z*d/dx*w,(x) W,(x) W,(x) Figur 9: Illustration af bjælkens tværsnit ved deformation. Som det ses af skitsen, findes tøjningen som den afledede af krumningen, og tøjningen er den afledede af nedbøjningen. Derfor er tøjningen den dobbelt afledede af nedbøjningen. 6

17 Gr. H P7 efterår 004 Appendiks 6: Bestemmelse af tøjninger for bjælke Vha. tøjningsinterpolationsmatricen bestemmes tøjningerne. [ N ] N 0 0 N 0 0 = 0 N N4 0 N5 N 6 Flytningsinterpolationsmatricen [ B] Differentiation af N og N. N N første række af N, x = -anden række af N, Tøjningsinterpolationsmatricen x = N, = L L x = N, x = L L xx x Differentiation af N, N 4, N 5 og N 6. x x 6 x 6 x 6 x N = N, x = N, xx= L L L L L L x x 4 x x 4 6 x N4 = x N 4, x= N, 4 xx= L L L L L L N N x x 6 x 6 x x 6 5 = N 5, x = N, 5 xx= L L L L L L x x x x 6 x = N, = N6, xx= L L L L L L 6 6 x Den differentierede flytningsmatrix indsættes og bliver til B-matricen. [ B] N, x 0 0 N, x 0 0 = 0 N, xx N4, xx 0 N5, xx N6, xx L L = 6 x 4 6 x x 6 6 x 0 0 L L L L L L L L 7

18 Gr. H P7 efterår 004 Tøjningerne kan nu bestemmes u v L L θ ε = [ B] [ d] = 6 x 4 6 x x 6 6 x u 0 0 L L L L L L L L v θ 6 x 4 6 x x 6 6 x ε = u + u + v θ + v + + θ L L L L L L L L L L 8

19 Gr. H P7 efterår 004 Appendiks 7: Den direkte metode Stivhedsmatricen [ k] kan konstrueres søjle for søjle ved, at de fire nedenstående figurer betragtes en ad gangen. Den n te søjle fremkommer ved, at den n te frihedsgrad tildeles flytningen/drejningen, mens alle andre frihedsgrader tildeles flytningen/drejningen 0. Derefter kan der ved simpel bjælketeori bestemmes størrelsen af lasterne, hvorved stivhedsmatricen er bestemt. k ij Figur 0: Illustration af de fire forskellige flytninger. I det følgende vises hvorledes. søjle af stivhedsmatricen k bestemmes. Derfor tages der udgangspunkt i Figur 0 (a), hvor flytningen v = og θ = 0. En virtuel kraft af størrelsen påføres længst fra indspændingen. Momentkurven hidrørende fra denne skal integreres sammen med momentkurven for henholdsvis og k. Disse to integrationer summeres og sættes lig, da den lodrette flytning k v =. Figur : Illustration af forskelligt belastede bjælker med tilhørende momentkurver. På baggrund af ovenstående fås følgende ligning: k l k l = EI EI 9

20 Gr. H P7 efterår 004 I det følgende påføres et virtuelt moment af størrelsen længst fra indspændingen. Momentkurven hidrørende fra denne skal integreres sammen med momentkurven for henholdsvis og k. Disse to integrationer summeres og sættes lig 0, da vinkeldrejningen θ = 0. k Figur : Illustration af forskelligt belastede bjælker med tilhørende momentkurver. På baggrund af ovenstående fås følgende ligning: k l k l + = EI EI 0 Ved at løse to ovenstående ligninger med to ubekendte fås følgende: k EI 6EI = og k = l l De sidste to værdier i første søjle findes ved hjælp af ligevægtsbetingelser. Af lodret ligevægt vides: Af momentligevægt fås: EI k + k = 0 k = l 6EI k4 + k k l = 0 k4 = l Deraf er første søjle i stivhedsmatricen bestemt. De tre resterende søjler bestemmes på samme måde med udgangspunkt i de tre øvrige figurer (b-d). Stivhedsmatricen bliver derfor som følger: EI 6EI EI 6EI l l l l 6EI 4EI 6EI EI l l l l k = EI 6EI EI 6EI l l l l 6EI EI 6EI 4EI l l l l 0

21 Gr. H P7 efterår 004 Appendiks 8: Bestemmelse af stivhedsmatricen efter VAP Der er tidligere udledt en generel formel til bestemmelse af stivhedsmatricen [ k ]. T [ ] = [ ] [ ] [ ] k B E B dv V Stang element: Efterfølgende udledes stivhedsmatricen for et bar-element/stang-element. I et stangelement er der kun flytninger i den aksiale retning. Fra Appendiks 4: Formfunktioner for lodrette flytninger hentes flytningsinterpolationsmatricen. [ N ] = x x L [ B] [ ] [ N] L = = L L Stangelementets regnes at have konstant E-modul samt tværsnits areal A. Integreres k-matricen i hhv. y og z aksens retning fremkommer følgende integral: L T [ ] = [ ] [ ] k B EA B dx [ ] [ k] 0 L L k = EA dx L L 0 L EA EA EA EA EA L L L L L = L dx = dx = L EA L L EA EA EA EA 0 0 L L L L L EA = L Bjælke element: Efterfølgende udledes stivhedsmatricen for et beam-element/bjælke-element. I et bjælke element kan der være tre flytninger pr. knude, aksiale, tvær og drejninger.

22 Gr. H P7 efterår 004 Fra Appendiks 6: Bestemmelse af tøjninger for bjælke hentes tøjningsinterpolationsmatricen. [ B] L L = 6 x 4 6 x x 6 6 x 0 0 L L L L L L L L B-matricen reduceres, da der i det efterfølgende kun regnes med tværflytning og drejning i de to knuder. B bliver dermed. 6 x 4 6 x x 6 6 x = L L L L L L L L [ B] Bjælke elementet regnes at have konstant E-modul samt inertimoment I. Integreres k-matricen i hhv. y og z aksens retning fremkommer følgende integral: L T [ k] = [ B] EI [ B] [ k] 0 T dx 6 x L L 4 6 x = L L L 6 x 4 6 x x 6 6 x EI x 6 dx L L L L L L L L 0 L L 6 x L L EI 6 EI EI 6 EI L L L L 6 EI 4 EI 6 EI EI 6L 6L L L L L EI 6L 4L 6L L = EI 6 EI EI 6 EI = L 6L 6L L L L L 6L L 6L 4L 6 EI EI 6 EI 4 EI L L L L Ovenstående er stivhedsmatricen [ k ] for bjælke element med to flytninger i to knuder.

23 Gr. H P7 efterår 004 Havde der været tre flytninger i hver knude bliver stivhedsmatricen som følger. De to sidste flytninger er aksiale flytninger, som er fundet for stangelementet. Til at bestemme den endelige stivhedsmatrice anvendes assemblering, som er nærmere forklaret under Assemblering i afsnit Stivhedsmatrix. 6L 6L AL AL 6L 4L 6L L EI EA EI = = I I bar L 6L 6L L = L AL AL 6L L 6L 4L I I [ k] og [ k] bøjning [ k] beam = AL AL I I 0 6L 0 6L EI 0 6L 4L 0 6L L L AL AL I I 0 6L 0 6L 0 6L L 0 6L 4L

24 Gr. H P7 efterår 004 Appendiks 9: Anvendelse af boundary conditions Der betragtes en bjælke model som vist på efterfølgende figur: Figur : Frihedsgrader samt lasten P. Af figuren kan det ud fra understøtningerne siges at: Vandret flytning i knude er nul og lodret flytning i knude og er nul. Knude kan flytte sig både vandret og lodret. Drejningen i knude er nul. Figur : Kendte flytninger. Af Figur kan det igen ud fra understøtningerne samt fra lasten P siges at: Momenterne i knude og er nul. De vandrette reaktioner i knude og er nul og den lodrette reaktion i knude er P. Figur : Kendte reaktioner. 4

25 Gr. H P7 efterår 004 Stivhedsmatricen [k] udregnet til: k k k k4 k5 k6 k7 k8 k9 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k = k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k8 k8 k8 k k k k k k k k k k k k k k k [ ] Først ordnes de kendte og ukendte flytninger og reaktioner. Flytninger: [ ] Reaktioner: [ ] u 0 v 0 θ θ u u D = v = v θ 0 u u v 0 θ θ H H R R M 0 H 0 R = R = P M M H 0 R R M 0 u 0 u v 0 = = = v [ D ] og [ D ] c x θ 0 u v 0 θ [ ] [ ] x θ H H 0 c M H 0 R M 0 M 0 R R = og R = R P 5

26 Gr. H P7 efterår 004 Efterfølgende skal stivhedsmatricen ligeledes opdeles. k k4 k5 k7 k9 kcc kcd kce kcg kci k4 k44 k45 k47 k k 49 dc kdd kde kdg kdi = = k7 k74 k75 k77 k79 kgc kgd kge kgg k gi k9 k94 k95 k97 k 99 kic kid kie kig kii [ k ] k k k k k [ k ] k k k k k og [ k ] ec ed ee eg ei k k k k k k k k k k k k = k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k [ k ] og [ k ] = = k6 k64 k65 k67 k 68 k6 k6 k66 k68 k k k k k k k k k Herfra er det almindelig algebra til bestemmelse af de ubekendte. Flytninger: Reaktioner: ( ) Dx = K Rc K D Rx = K Dx + K D c c 6

27 Gr. H P7 efterår 004 Appendiks 0: CST elementets formfunktioner samt B-matrice Flytningerne opskrives som: u = a+ ax+ ay v= a4 + a5x+ a6y Disse kan også skrives som: u x y a a v x y a a u x y a u x y a = v x y a 4 v = x y a4 u x y a 5 a 5 v x y a6 a6 A Dette medfører 6 ligninger med 6 ubekendte. I eksemplet regnes CST elementet at have x = y = y = 0. De seks ligninger bliver derfor: u = a u = a + a x u = a + a x + a x v = a 4 v = a + a x 4 5 v = a + a x + a x a = u u u = u + a x a = u u u = u + x + a x x u x ( x x ) u u x u a = + x y x y y a = v 4 v v = v + a x a = 5 5 v v v = v + x + a x v x 6 x ( x x ) v v x v a6 = + x y x y y 7

28 Gr. H P7 efterår 004 x y x y Da [ u] = [ N] [ d] [ N] = [ A] [ A], så: x x x x x x y x y y = x x x x x x y x y y Flytningsinterpolationsmatricen N bestemmes til: x y x y x ( x x) y x y x y x x y x x y y [ N] = [ A] = x ( x x) y x y x y x x y x x y y Tøjningsinterpolationsmatricen B bestemmes ved: x x x ( x x) x = 0 = x x y x y y ( x x) x y x 0 x y x x y x y [ B] [ N] Denne B-matrice gælder dog kun for elementer med x = y = y = 0. Stivhedsmatricen bestemmes af: T [ ] [ ] [ ] [ ] k = B E B tda A 0 8

29 Gr. H P7 efterår 004 Appendiks : Q4-elementets formfunktion og B-matrice Efterfølgende opstilles formfunktioner samt tøjningsinterpolationsmatrice for Q4 elementet. Følgende element betragtes: b (x4,y4) y,v (x,y) x,u b (x,y) (x,y) a a Først interpoleres langs nederste linje og øverste linje. Mellem knude og knude : a x a + u = u x + a a u Mellem knude 4 og knude : a x a + u4 = u x 4 + a a u Interpolation mellem de to fundne flytninger. Mellem - og 4-: b y b+ y b y a x a+ x b+ y a x a+ x u = u + u4 = u + u + u4 + u b b b a a b a a ( a x) ( b y) ( a+ x) ( b y) ( a x) ( b+ y) ( a+ x) ( b+ y) = u+ u + u4 + a b a b a b a b ( a x) ( b y) ( = u + a+ x )( b y ) ( )( ) ( )( ) u + a+ x b+ y u a x b y + + u 4 4 ab 4 ab 4 ab 4 ab Heraf kan formfunktionerne direkte aflæses: N N ( a x) ( b y) ( a+ x) ( b y) = N = 4 a b 4 a b ( a+ x) ( b+ y) ( a x) ( b+ y) = N = 4 a b 4 a b 4 Q4 elementets endelige flytningsfelt kan udtrykkes ved: [ u] = [ N] [ d] u N 0 N 0 N 0 N4 0 v = 0 N 0 N 0 N 0 N 4 [ d ] u 9

30 Gr. H P7 efterår 004 Tøjningsinterpolationsmatricen findes ved af: [ B] = [ ] [ N ] [ B] / x 0 N 0 N 0 N 0 N4 0 = 0 / y 0 N 0 N 0 N 0 N 4 / y / x y b 0 b y 0 b+ y 0 b y 0 = 0 x a 0 a x 0 a+ x 0 a x 4 ab x a y b a x b y a+ x b+ y a x b y Herfra er stivhedsmatricen at finde ved: b a T [ ] [ ] [ ] [ ] k = B E B t dxdy da dv = t dxdy b a 0

31 Gr. H P7 efterår 004 Appendiks : Shear locking i Q4-elementet Efterfølgende forklares udtrykket Shear Locking i Q4-elementet. T Tøjningsenergien findes af formlen U = [ ε] [ E] [ ε] dv. V Antages element tykkelsen at være t, og der regnes med plan spændingstilstand, anvendes følgende konstitutive matrix: [ E] E ν ν 0 ν ( ν )/ = På efterfølgende figur ses, hvorledes en bøjningspåvirket klods deformeres, og hvorledes et bøjningspåvirket Q4-element deformeres. Q (x,y) Q y,v b Melem y,v Melem Mb x,u Mb x,u b a a a a Figur : Skitse af deformation ved bøjning. De korrekte tøjninger for en bøjningspåvirket klods vil være: θb y θb y εx = εy = ν γ xy = 0 a a Det ses, at Q4 elementets top - og bundlinjer forbliver rette og knuderne vil kun have vandrette b flytninger af størrelsen θel.

32 Gr. H P7 efterår 004 Tøjninger i Q4 elementet: b θ elem 0 b θ elem ε x y b 0 b y 0 b+ y 0 b y 0 0 ε y 0 x a 0 a x 0 a x 0 a x = 4 a b + b γ x a y b a x b y a+ x b+ y a x b y θ xy elem 0 b θ elem 0 y θelem x θelem εx = εy = 0 γ xy = a a Det ses, at tøjningerne i x-retningen er ens for begge tilfælde. ε y kunne være en god tilnærmelse til 0, hvis ν = 0. Den største bekymring er, at γ xy ikke er 0. Indsættes hhv. tøjningerne fra Q4 elementet og fra klodsen i udtrykket for tøjningsenergien fås Uelem ogub. Det arbejde, som udføres af momentet, skal være lig med tøjnings energien: M θ M θ = Uelem og = U elem elem b b Påføres det samme moment på både klods og Q4, M = M elem = M b, vil forholdet imellem drejningerne blive: b θ elem θ b ν = ν a + b Heraf ses, at hvis sidelængderne er lige lange og poissons-forhold er 0,, bliver forholdet 0,674, a hvilket er en relativ stor afvigelse. Forøges forholdet mellem sidelængerne, går forholdet b θelem mellem drejningerne mod nul; 0. Dette fænomen kaldes Shear Locking. Bøjning er ikke θb forhindret af shear locking, men elementet synes at blive mere stiv pga. dette.

33 Gr. H P7 efterår 004 Appendiks : Gauss integration I forbindelse med opstilling af stivhedsmatricen k, er det nødvendigt at integrere et. grads polynomium hen over det tilhørende element. Det er valgt at anvende numerisk Gauss integration til dette formål, som i denne situation tillige giver den korrekte værdi. Princippet bag Gauss integration gennemgås efterfølgende. Princippet bag Gauss integration er, at multiplicere værdien af integranden i udvalgte integrationspunkter med en vægtfaktor for derefter at addere disse. Det er derfor nødvendigt at bestemme, hvor mange integrationspunkter (n) man ønsker integranden udregnet i, samt de tilhørende vægte (w). Efterfølgende er opskrevet linie-, areal- samt volumen-integraler til Gauss integration: Linieintegral Vi ønsker at beregne følgende integral ved brug af Gauss: x x f ( xdx ) Det er derfor nødvendigt at transformere f ( x ) med integrationsgrænser x og x om til φ( ξ ) med integrationsgrænser - og. Integralet opskrives derfor som: φ( ξ)dξ Ved anvendelse af Gauss integration opskrives integralet som: φ( ξ) dξ φiwi n i= Arealintegral Hvis φ = φξη (, ), kan integralet opskrives som: A φξη (, ) da φiwia n i= Volumenintegral Hvis φ = φξηζ (,, ), kan integrationen opskrives som: V φξηζ (,, ) dv n φiwv i i=

34 Gr. H P7 efterår 004 I projektet er der tale om et arealintegral, hvor der dog anvendes arealkoordinater, således at φ = φλ (, λ, λ). Til bestemmelse af antallet af integrationspunkter (n) anvendes Pascals trekant, hvor efterfølgende figur illustrerer sammenhængen mellem plane triangulære elementer og antallet af integrationspunkter for komplette elementer: (n=6) (n=4) (n=) Figur 4: Illustration af Pascals trekant samt sammenhæng mellem plane triangulære elementer og antallet af integrationspunkter for komplette elementer. Det vælges at anvende Gauss integration med n =, hvorved vægten w fastsættes til. De tre valgte integrationspunkter for LST - elementet er markeret med rødt på efterfølgende figur: Figur 5: Illustration af de tre valgte integrationspunkter for LST - elementet. 4

35 Gr. H P7 efterår 004 Appendiks 4: Udarbejdelse af B-matricen I forbindelse med opstilling af B-matricen for LST-elementet, vælges det at anvende arealkoordinater (Se afsnit Arealkoordinater). LST-elementet er illustreret på efterfølgende figur, hvor de anvendte arealkoordinater samt frihedsgrader for de seks knuder tillige er angivet: Figur 6: Illustration af LST elementet med angivelse af arealkoordinater samt frihedsgrader. Flytningerne interpoleres over LST-elementet som [ u] = [ N] [ d], hvor [ ] elementet, [ N ] er flytningsinterpolationsmatricen og [ ] u er flytningen af d er flytningen af de enkelte frihedsgrader (Se Figur 6). Dette kan opskrives som: u v u v u u N 0 N 0 N 0 N4 0 N5 0 N6 0 v v = 0 N 0 N 0 N 0 N 0 N 0 N u v 4 u5 v 5 u6 v 6 Flytningsinterpolationsmatricen [ N ] er karakteriseret ved, at antallet af rækker svarer til antallet af flytningsstørrelser, mens antallet af søjler svarer til antallet af frihedsgrader. De enkelte [ N i ] kaldes formfunktioner, og det er dem der bestemmes efterfølgende. Formfunktioner bestemmes ved, at man giver den betragtede knude en flytning på en, mens de resterende knuder fastholdes. 5

36 Gr. H P7 efterår 004 På efterfølgende figur gives knude en flytning på en, og de resterende knuder fastholdes. Der indlægges to røde streger, som går igennem alle de knuder der fastholdes. Det er nu muligt at bestemme formfunktionen ved først at angive værdien af λ langs de to røde streger til hhv. λ = 0 λ 0= 0 og λ = ½ λ ½= 0. Der opskrives nu en formfunktion som N N = a ( λ 0) ( λ ½). Det vides dog endvidere, at N = i punkt hvor λ =, og a bestemmes derfor efterfølgende til N = ( λ 0) ( λ ½). Formfunktionerne for efterfølgende: N og N bestemmes ved indeksrotation, og formfunktionerne er opskrevet N N N = ( λ 0) ( λ ½) = ( λ 0) ( λ ½) = ( λ 0) ( λ ½) På efterfølgende figur gives knude 4 en flytning på en, og de resterende knuder fastholdes. Der indlægges to røde streger, som går igennem alle de knuder der fastholdes. Det er nu muligt at bestemme formfunktionen først at angive værdien af hhv. λ og λ langs de to røde streger til hhv. λ = 0 λ 0= 0 og λ = 0 λ 0= 0. Der opskrives nu en midlertidig N 4 ved formfunktion som N = a ( λ 0) ( λ 0). Det vides dog endvidere, at N 4 = i punkt 4 hvor λ = ½ogλ = ½, og a bestemmes derfor efterfølgende til N 4 = 4 ( λ 0) ( λ 0). Formfunktionerne for efterfølgende: N og 5 N 6 bestemmes ved indeksrotation, og formfunktionerne er opskrevet N N N = 4 ( λ 0) ( λ 0) 4 = 4 ( λ 0) ( λ 0) 5 = 4 ( λ 0) ( λ 0) 6 6

37 Gr. H P7 efterår 004 Tøjningerne for LST-elementet bestemmes ved differentiation af flytningerne som [ ] [ B] [ d ] hvor [ ε] = [ δ] [ u] er tøjningen af elementet, [ B] = [ δ ] [ N ] er tøjningsinterpolationsmatricen og [ d ] er flytningen af de enkelte frihedsgrader (Se Figur 6). Dette kan opskrives som: ε =, u v u v u N 0 N 0 N 0 N 0 N 0 N 0 ε xx u, x, x, x, x 4, x 5, x 6, x v ε yy = v, y = 0 N, y 0 N, y 0 N, y 0 N4, y 0 N5, y 0 N6, y u4 γ xy u, y v, x N, y N, x N, y N, x N, y N, x N4, y N4, x N5, y N5, x N6, y N + 6, x v4 De enkelte led i tøjningsinterpolationsmatricen [ B ] kan nu bestemmes ved differentiation af formfunktionerne, hvor princippet ved differentiation er som følger: u v u v N Ax, δ N δn δλ δn δλ δn δλ δ x δλ δ x δλ δ x δλ δ x A A A A = = + + Resultaterne er indsat efterfølgende: (4 ) y y, (4 ) y y, (4 ) y N = λ N = λ N = λ y A A A, x, x, x Hvor og N er bestemt ved indeksrotation. N,x,x N N y y y y y y y y = (4 λ ) + (4 λ ), N = (4 λ ) + (4 λ ), A A A A y y y y = (4 λ ) + (4 λ ) A A 4, x 5, x 6, x Hvor og N er bestemt ved indeksrotation. N5,x 6,x 7

38 Gr. H P7 efterår 004 x x x x x x N (4 λ ), N (4 ), N (4 ) A λ A λ = = = A, y, y, y Hvor og N er bestemt ved indeksrotation. N,y,y N N x x x x x x x x = (4 λ ) + (4 λ ), N = (4 λ ) + (4 λ ), A A A A x x x x = (4 λ ) + (4 λ ) A A 4, y 5, y 6, y Hvor og N er bestemt ved indeksrotation. N5,y 6,y 8

39 Gr. H P7 efterår 004 Appendiks 5: Dokumentation og testning Først er de anvendte metoder til testning af finite element metode programmet i Matlab angivet, hvorefter udvalgte modeller er konstrueret til sammenligning med Ansys som dokumentation for programmets validitet. Testning I forbindelse med testning af programmet, undersøges det, hvorvidt de tre stivlegemebevægelser opfyldes. Det undersøges derfor, hvorvidt f = K a= 0, dvs. at der ikke optræder kræfter ved vandret flytning, lodret flytning eller rotation. Dette undersøges efterfølgende for et tilfælde bestående af et vilkårligt element: Vandret flytning Ved kontrol af den vandrette flytning gives alle knudepunkter en flytning på f.eks. en mod højre (eller evt. venstre), som illustreret på efterfølgende figur. Det er nu muligt at opskrive den transformerede flytningsvektor a, som: a =[ ] Flytningsvektoren a multipliceres herefter med stivhedsmatricen K, og idet kraftvektoren angives som en nul vektor, er der ikke fundet fejl ved denne test. Lodret flytning Ved kontrol af den lodrette flytning gives alle knudepunkter en flytning på f.eks. en opad (eller evt. nedad), som illustreret på efterfølgende figur. Det er nu muligt at opskrive den transformerede flytningsvektor a, som: a =[ ] Flytningsvektoren a multipliceres herefter med stivhedsmatricen K, og idet kraftvektoren angives som en nulvektor, er der ikke fundet fejl ved denne test. 9

40 Gr. H P7 efterår 004 Rotation Ved kontrol af rotation gives alle elementerne en bestemt drejning med uret (eller evt. mod uret), som illustreret på efterfølgende figur. Det er nu muligt at opskrive den transformerede flytningsvektor a, som: a = [ ] Flytningsvektoren a multipliceres herefter med stivhedsmatricen K, og idet kraftvektoren angives som en nul vektor, er der ikke fundet fejl ved denne test. Alternativt kan stivhedsmatricen K testes ved at bestemme egenværdierne. Hvis stivlegemebevægelserne er opfyldt, så vil tre af egenværdierne være nul, idet der ikke kræves energi til hhv. lodret flytning, vandret flytning eller rotation. Resten af egenværdierne skal være positive, idet der kræves energi til at udføre de resterende egensvingninger. Idet kravet om tre egenværdier med værdien nul er opfyldt, og de 5 resterende egenværdier er positive for det ovenstående tilfælde, så er der ligeledes ikke fundet fejl ved denne test. Dokumentation I forbindelse med dokumentation for programmets validitet er der udvalgt tre forskellige modeller der konstrueres i hhv. finite element metode programmet i Matlab samt Ansys, hvorefter resultaterne sammenlignes og kommenteres. I alle tilfælde betragtes en bjælke med data, som illustreret på efterfølgende figur, og med en inddeling på hhv. 0 i længderetningen og i højderetningen: Figur 7: Illustration af bjælke anvendt til test med ang. af geometriske data. De tre udvalgte modelller er som følger: Indspændt bjælke med en enkeltkraft på 50kN placeret ved bjælkeenden. Simpelt understøttet bjælke med en enkeltkraft på 00kN placeret midt på bjælken. Simpelt understøttet bjælke med en ens fordelt linielast på 50N/mm. 40

41 Gr. H P7 efterår 004 Indspændt bjælke med en enkeltkraft på 50kN placeret ved bjælkeenden Flytningen sammenlignes ved bjælkeenden, og spændingerne sammenlignes i fjerdedelspunktet mellem midtpunktet og kraften. Modellen er gengivet på efterfølgende figur, hvor de blå kryds markerer de punkter flytningerne er sammenlignet i, og de røde kryds markerer de punkter spændingerne er sammenlignet i: Figur 8: Illustration af den anvendte model med angivelse af udvalgte elementnumre. Det første der kontrolleres er flytningen ved bjælkeenden, hvor resultaterne er indsat i efterfølgende skema med øverste knude øverst og nederste knude nederst: Flytning i x-retning Flytning i y-retning Ansys Matlab Ansys Matlab,40,40-9,4-9,4-0,00-0,00-9,6-9,6 -,44 -,44-9,4-9,4 Forskellen på flytning i x-retning for hhv. øverste, midterste samt nederste knude skyldes, at der er påsat en enkeltkraft i den øverste knude frem for at fordele lasten på alle tre knuder efter princippet om konsistente knudekræfter. Herefter kontrolleres spændingerne i fjerdedelspunktet, hvor resultaterne er indsat i skemaet: Element Knude σ x nr. nr. Ansys Mat-lab (øverste) 5,6 5, (øverste) 58, 58, 7 95 (øverste) 46,8 46,8 9 (midterste) -0,4459-0, (midterste) 7,85 7,85 (midterste) -0, -0, 70 (midterste) -0,4-0,4 7 (midterste) 7,885 7,885 7 (midterste) -0,4468-0, (nederste) -5,8-5,8 (nederste) -4,68-4,68 (nederste) -47,9-47,9 Resultaterne er ligeledes kontrolleret for σ y og τ xy, og stemmer med samme nøjagtighed som de ovenfor viste. 4

42 Gr. H P7 efterår 004 Simpelt understøttet bjælke med en enkeltkraft på 00kN placeret midt på bjælken Flytningen sammenlignes midt på bjælken, og spændingerne sammenlignes i fjerdedelspunktet mellem midtpunktet og en bjælkeende. Modellen er gengivet på efterfølgende figur, hvor de blå kryds markerer de punkter flytningerne er sammenlignet i, og de røde kryds markerer de punkter spændingerne er sammenlignet i: Figur 9: Illustration af den anvendte model med angivelse af udvalgte elementnumre. Det første der kontrolleres er flytningen midt på bjælken, hvor resultaterne er indsat i efterfølgende skema med øverste knude øverst og nederste knude nederst: Flytning i x-retning Flytning i y-retning Ansys Matlab Ansys Matlab 0,69 0,68 -,46 -,46 0,67 0,67 -,4598 -,4598 0,66 0,66 -,4478 -,4478 Herefter kontrolleres spændingerne i fjerdedelspunktet, hvor resultaterne er indsat i skemaet: σ x Element nr. Knude nr. Ansys Mat-lab (øverste) -5,6-5, (øverste) -58, -58, 7 95 (øverste) -46,8-46,8 9 (midterste) 0,4470 0, (midterste) -7,805-7,805 (midterste) 0,9 0,9 70 (midterste) 0, 0, 7 (midterste) -7,868-7,868 7 (midterste) 0,4464 0, (nederste) 5,8 5,8 (nederste) 4,67 4,67 (nederste) 47,9 47,9 Resultaterne er ligeledes kontrolleret for σ y og τ xy, og stemmer med samme nøjagtighed som de ovenfor viste. 4

43 Gr. H P7 efterår 004 Simpelt understøttet bjælke med en ens fordelt linielast på 50N/mm Flytningen sammenlignes midt på bjælken, og spændingerne sammenlignes i fjerdedelspunktet mellem midtpunktet og en bjælkeende. Modellen er gengivet på efterfølgende figur, hvor de blå kryds markerer de punkter flytningerne er sammenlignet i, og de røde kryds markerer de punkter spændingerne er sammenlignet i: Figur 0: Illustration af den anvendte model med angivelse af udvalgte elementnumre. Det første der kontrolleres er flytningen midt på bjælken, hvor resultaterne er indsat i efterfølgende skema med øverste knude øverst og nederste knude nederst: Flytning i x-retning Flytning i y-retning Ansys Matlab Ansys Matlab 0,669 0,669 -,966 -,966 0,669 0,669 -,04 -,04 0,669 0,669 -,959 -,959 Herefter kontrolleres spændingerne i fjerdedelspunktet, hvor resultaterne er indsat i skemaet: σ x Element nr. Knude nr. Ansys Mat-lab (øverste) -7,57-7, (øverste) -74,0-74, (øverste) -67,7-67,7 9 (midterste) 0,408 0,408 0 (midterste) -6,66-6,66 (midterste) 0,7 0,7 70 (midterste) 0,0646 0, (midterste) -5,0660-5, (midterste) 0,649 0,648 0 (nederste) 7,95 7,95 (nederste) 6,5 6,5 (nederste) 67,66 67,66 Resultaterne er ligeledes kontrolleret for σ y og τ xy, og stemmer med samme nøjagtighed som de ovenfor viste. 4

44 Gr. H P7 efterår 004 Det observeres, at der er enkelte afvigelser på fjerde og sidste decimal efter kommaet, men dette vurderes at skyldes udskriftsnøjagtighed. Der er derfor opbygget en tiltro til, at finite element metode programmet i Matlab kan anvendes til beregning af diverse bjælker inden for programmets anvendelsesområde. 44

45 Gr. H P7 efterår 004 Appendiks 6: Kildekoder I det efterfølgende er kildekoderne til finite element metode programmet i Matlab angivet: PURPOSE - analyse af et plant element REFERENCES P-E Austrell K-G Olsson REVISED BY H - efterår 004 clear; clc; Her indtastes de relevante data til beregningen Bjælkedimensioner: LX=?; Bjælkens længde indtastes i mm LY=?; Bjælkens højde indtastes i mm t=?; Bjælkens tykkelse i mm Mesh inddeling NX=?; Antal inddelinger i bjælkens længderetning NY=?; Antal inddelinger i bjælkens højderetning Understøtningsbetingelser BC= el. ; Valgt understøtningsbetingelse =simpelt understøttet =indspændt Belastning F=, el. ; Belastningens placering samt form =Lodret virkende enkeltkraft placeret midt på bjælken =Lodret virkende enkeltkraft placeret ved bjælkeenden =Lodret virkende ensfordelt linielast på hele bjælken Fe=?; Størrelsen af enkeltkraften angives i N, hvor der regnes positiv opad Fl=?; Størrelsen af den ensfordelte linielast angives i N/mm, hvor der regnes positiv opad Efterfølgende er selve beregningsprogrammet opstillet Topologi matrice samt lokale frihedsgrader [TOPO,Edof]=topologi(NX,NY); Funktionen topologi kaldes og returnerer TOPO (NEL x +6) og Edof (NEL x +) XY - matricen [XY]=koordinater(LX,LY,NX,NY); Funktionen koordinater kaldes og returnerer XY (NNO x +) 45

46 Gr. H P7 efterår Antallet af elementer, knuder samt frihedsgrader NEL=size(TOPO,); Antallet af elementer NNO=size(XY,); Antal knudepunkter DOF=*NNO; Antallet af frihedsgrader Element koordinater [ex,ey]=ekoordinater(nel,xy,topo); Funktionen ekoordinater kaldes og returnerer ex og ey (NELx6) Materiale data [E,ny,D]=matdata; Funktionen matdata kaldes og returnerer E, ny og D (materialedata) Global stivhedsmatrice [K]=stivhedsmatrice(DOF,NEL,TOPO,XY,D,t); Funktionen stivhedsmatrice kaldes og returnerer K (DOF x DOF) (den globale stivhedsmatrice) Last vektor [f]=lastvektor(dof,topo,nx,ny,f,fe,fl,lx); Funktionen lastvektor kaldes og returnerer f (DOF x ) (lastpåvirkningen) Understøtningsbetingelser [bc]=underst(bc,topo,nx,ny); Funktionen underst kaldes og returnerer bc (understøtningsbetingelser) Løsning af ligningesystemet [a]=solveq(k,f,bc); Funktionen solveq kaldes og returnerer a i mm (DOF x ) (flytning i de enkelte frihedsgrader) [ed]=extract(nel,edof,a); Funktionen extract kaldes og returnerer ed (NEL x ) (flytning i de enkelte frihedsgrader pr. element) [edx,edy]=eflytninger(nel,ed); Funktionen eflytninger kaldes og returnerer edx og edy (NEL x 6) (flytning i hhv x og y retning pr. element) Element kræfter [et,es]=ts(nel,d,ed,topo,xy); Funktionen ts kaldes og returnerer et (NEL x 9) og es (NEL x 9) (tøjninger samt spændinger) Plots af D deformeret samt udeformeret model udeformeret(ex,ey) Funktionen udeformeret kaldes og optegner en D udeformeret model deformeret(ex,ey,edx,edy) Funktionen deformeret kaldes og optegner en D deformeret model defudef(ex,ey,edx,edy) Funktionen defudef kaldes og optegner både en D udeformeret samt deformeret model 46

47 Gr. H P7 efterår Plots af D spændingsbilleder xsp(ex,ey,edx,edy,nel,es) Funktionen xsp kaldes og optegner normalspændinger i x-retning ysp(ex,ey,edx,edy,nel,es) Funktionen ysp kaldes og optegner normalspændinger i y-retning xysp(ex,ey,edx,edy,nel,es) Funktionen xysp kaldes og optegner forskydningsspændinger 47

48 Gr. H P7 efterår 004 PURPOSE - bestemmelse af TOPO og Edof (topologi matricer) REFERENCES P-E Austrell K-G Olsson REVISED BY H - efterår 004 Input: NX : antal inddelinger i bjælkens længderetning NY : antal inddelinger i bjælkens højderetning Output: TOPO : topologi matrice Edof : topologi matrice med frihedsgrader function[topo,edof]=topologi(nx,ny) NEL=NX*NY*; NEL = Number of ELements Topologi matrice TOPO=zeros(NEL,7); Topologi matricen (NELx7 nulmatrice) Første løkke beregner række,,5... osv. ved positiv rot. mod uret elemn=-; Sættes til - for at der i løkken kan adderes med, og de ulige rækker findes for j=:ny for i=:nx elemn=elemn+; TOPO(elemn,)=elemn; Første søjle viser elementnummeret TOPO(elemn,)=*i-+(*NX+)**(j-); Anden søjle viser start knudenummeret TOPO(elemn,)=(*i-+(*NX+)**(j-))+(*NX+)*+; Trejde søjle viser anden knude med startknuden som udgangspunkt osv. TOPO(elemn,4)=(*i-+(*NX+)**(j-))+(*NX+)*; TOPO(elemn,5)=(*i-+(*NX+)**(j-))+(*NX+)+; TOPO(elemn,6)=(*i-+(*NX+)**(j-))+(*NX+)*+; TOPO(elemn,7)=(*i-+(*NX+)**(j-))+(*NX+); end end Anden løkke beregner række,4,6...osv. ved positiv rot. mod uret elem=0; Sættes til 0 for at der i løkken kan adderes med, og de lige rækker findes 48

49 Gr. H P7 efterår 004 for J=:NY for I=:NX elem=elem+; TOPO(elem,)=elem; TOPO(elem,)=*I-+(*NX+)**(J-); TOPO(elem,)=*I-+(*NX+)**(J-)+; TOPO(elem,4)=*I-+(*NX+)**(J-)+(*NX+)*+; TOPO(elem,5)=*I-+(*NX+)**(J-)+; TOPO(elem,6)=*I-+(*NX+)**(J-)+(*NX+)+; TOPO(elem,7)=*I-+(*NX+)**(J-)+(*NX+)+; end end Lokale frihedsgrader for i=:nel Edof(i,:)=[i TOPO(i,)*- TOPO(i,)* TOPO(i,)*- TOPO(i,)* TOPO(i,4)*- TOPO(i,4)* TOPO(i,5)*- TOPO(i,5)* TOPO(i,6)*- TOPO(i,6)* TOPO(i,7)*- TOPO(i,7)*]; end 49

50 Gr. H P7 efterår 004 PURPOSE - bestemmelse af XY (knudernes koordinater) REFERENCES P-E Austrell K-G Olsson REVISED BY H - efterår 004 Input: LX : bjælkens længde i mm LY : bjælkens højde i mm NX : antal inddelinger i bjælkens længderetning NY : antal inddelinger i bjælkens højderetning Output: XY : matrice til angivelse af knudernes koordinater function[xy]=koordinater(lx,ly,nx,ny) Hjørnekoordinater keyp=[ De 4 hjørnekoordinater genereres ud fra bjælkens dimensioner LX 0.0 LX LY 0.0 LY]; Knudernes koordinater for i=0:*nx x(i+)=keyp(,)+i*(keyp(,)-keyp(,))/.0/nx; Knudepunkternes x-værdier findes end for j=0:*ny y(j+)=keyp(,)+j*(keyp(4,)-keyp(,))/.0/ny; Knudepunkternes y-værdier findes end XY - matricen NNO=(*NY+)*(*NX+); NNO = Number of NOdes XY=zeros(NNO,); XY - matricen (NNOx nulmatrice) kn=0; Sættes til 0 for at der i løkken kan startes med række,,..osv. 50

51 Gr. H P7 efterår 004 for j=0:*ny for i=0:*nx kn=kn+; XY(kn,)=kn; Første søjle viser knudenummeret XY(kn,)=x(i+); Anden søjle viser x-koordinaten XY(kn,)=y(j+); Trejde søjle viser y-koordinaten end end 5

52 Gr. H P7 efterår 004 PURPOSE - bestemmelse af ex og ey (elementernes koordinater) REFERENCES P-E Austrell K-G Olsson REVISED BY H - efterår 004 Input: NEL : antallet af elementer XY : knudernes koordinater TOPO : topologi matricen Output: ex : elementernes x-koordinater ey : elementernes y-koordinater function[ex,ey]=ekoordinater(nel,xy,topo) Element koordinater for ii=:nel for i=:6 ex(ii,i)=xy(topo(ii,+i),); angivelse af elementernes x-koordinater ey(ii,i)=xy(topo(ii,+i),); angivelse af elementernes y-koordinater end end 5

53 Gr. H P7 efterår 004 PURPOSE - bestemmelse af E, ny og D (materialedata) REFERENCES P-E Austrell K-G Olsson REVISED BY H - efterår 004 Output: E : elasticitetsmodul ny : poissons forhold D : elasticitetsmatricen function[e,ny,d]=matdata Materiale data E=.e5; E-modulet opgivet i N/mm ny=0.; poissons forhold angives her til 0. D=(E/(-ny^))*[ ny 0; Angivelse af D - (ofte benævnt E) ny 0; *(-ny)]; 5

54 Gr. H P7 efterår 004 PURPOSE - bestemmelse af K (den globale stivhedsmatrice) REFERENCES P-E Austrell K-G Olsson REVISED BY H - efterår 004 Input: DOF : antallet af frihedsgrader NEL : antallet af elementer TOPO : topologi matricen XY : knudernes koordinater D : elasticitetsmatricen t : bjælkens tykkelse i mm Output: K : global stivhedsmatrice function[k]=stivhedsmatrice(dof,nel,topo,xy,d,t) Global stivhedsmatrice K=zeros(DOF); Den globale stivhedsmatrice (DOFxDOF nulmatrice) Lokale stivhedsmatricer for ii=:nel k=zeros(); Den lokale stivhedsmatrice (x nulmatrice) n=; n angiver det valgte antal integrationspunkter-hvor : Exact Quadratic, 4: Exact Cubic, 5: Exact Fourth order [w,lambda]=intgr(n); Funktionen intgr kaldes og returnerer w og lambda til beregning af hhv. k og B [a,b,a]=geodata(topo(ii,:),xy); Funktionen geodata kaldes og returnerer a,b og A til beregning af B for i=:n B=bmat(lambda(i,:),a,b,A); Funktionen bmat kaldes og returnerer B (tøjningsinterpolationsmatricen) kgem=b'*d*b; Denne udregner en "midlertidig" k-værdi k=k+w(i)*kgem*a*t; Denne udregner k (de lokale stivhedsmatricer) end [K]=assem(TOPO(ii,:),K,k); Funktionen assem kaldes og returnerer K (den globale stivhedsmatrice) end 54

55 Gr. H P7 efterår 004 PURPOSE - bestemmelse af Gauss-punkter og vægte til integration med areal-koordinater REFERENCES L Damkilde REVISED BY H - efterår 004 Input: n : antallet af integrationspunkter : Exact Quadratic 4: Exact Cubic 6: Exact Fourth order Output: w : Vægte for hvert integrationspunkt lambda(i,:) = De areal-koordinater for integrationspunkt i function [w,lambda] = intgr(n); Gauss punkter og vægte if (n==) w()= (/); w()= w(); w()= w(); lambda(,)=0.5; lambda(,)=0.5; lambda(,)=0.0; lambda(,)=0.5; lambda(,)=0.0; lambda(,)=0.5; lambda(,)=0.0; lambda(,)=0.5; lambda(,)=0.5; elseif (n==4) w()= ; w()= 0.508; w()= w(); w(4)= w(); lambda(,)=0.; lambda(,)=0.; lambda(,)=0.; lambda(,)=0.6; lambda(,)=0.; lambda(,)=0.; lambda(,)=0.; lambda(,)=0.6; lambda(,)=0.; 55

56 Gr. H P7 efterår 004 lambda(4,)=0.; lambda(4,)=0.; lambda(4,)=0.6; elseif (n==6) w()= ; w()= w(); w()= w(); w(4)= ; w(5)= w(4); w(6)= w(4); lambda(,)= ; lambda(,)= ; lambda(,)= ; lambda(,)= ; lambda(,)= ; lambda(,)= ; lambda(,)= ; lambda(,)= ; lambda(,)= ; lambda(4,)= ; lambda(4,)= ; lambda(4,)= ; lambda(5,)= ; lambda(5,)= ; lambda(5,)= ; lambda(6,)= ; lambda(6,)= ; lambda(6,)= ; end 56

57 Gr. H P7 efterår 004 PURPOSE - bestemmelse af geometriske data (a,b,a) til brug ved bestemmelsen af B (tøjningsinterpolationsmatrice) REFERENCES P-E Austrell K-G Olsson REVISED BY H - efterår 004 Input: TOPO : knuder for hvert element XY : koordinater til hver knude Output: a : geometrisk variabel b : geometrisk variabel A : arealet af trekanten function [a,b,a]=geodata(topo,xy) Geometrisk data a=[xy(topo(4),)-xy(topo(),) XY(TOPO(),)-XY(TOPO(4),) XY(TOPO(),)-XY(TOPO(),)]; a=(x-x x-x x-x) b=[xy(topo(),)-xy(topo(4),) XY(TOPO(4),)-XY(TOPO(),) XY(TOPO(),)-XY(TOPO(),)]; b=(y-y y-y y-y) V=[XY(TOPO(),)-XY(TOPO(),);XY(TOPO(),)-XY(TOPO(),);0]; V=[x-x;y-y;0] V=[XY(TOPO(4),)-XY(TOPO(),);XY(TOPO(4),)-XY(TOPO(),);0]; V=[x-x;y-y;0] V=abs(cross(V,V)); V=V x V A=0.5*V(); A=0.5*V 57

58 Gr. H P7 efterår 004 PURPOSE - assemblering af K (den globale stivhedsmatrice) REFERENCES P-E Austrell K-G Olsson REVISED BY H - efterår 004 Input: ELEMTOPO : knuder for et bestemt element K : global stivhedsmatrice k : lokale stivhedsmatricer Output: K : global stivhedsmatrice function [K]=assem(ELEMTOPO,K,k) K-matricen for i=:6 t(i*-)=elemtopo(i+)*-; Definition af t for de enkelte frihedsgrader t(i*)=elemtopo(i+)*; end K(t(:),t(:))=K(t(:),t(:))+k; Denne udregner K (den globale stivhedsmatrice) 58