Aalborg Universitet Esbjerg 18. december 2009 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks B Finite Element Metode BM7 1

Transkript

1 8. december 29 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks B Finite Element Metode BM7 E9

2 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil BM7 E9 Appendiks B Finite element metode... 3 B. Opbygning af finite element program i MATLAB... B.. Bestemmelse af flytninger... 2 B... Eksempel på opbygning af stivhedsmatrice for CST element... 3 B..2. Verificering af tilstrækkeligt valgt antal Gauss punkter... 9 B..3. Understøtning og last... 2 B.2. Bestemmelse af spændinger B.2.. Stress smoothing B 2. Patch test B 2.. Fremgangsmåde B 2.2. Resultater B 3. konvergensstudie B 3.. Mesh B 3.2. Laster og understøtninger B Flytningsfelt B 3.3. Løsning og fejl B konvergenshastighed Side II

3 BM7 E9 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks B Finite element metode Finite element metoden (FEM) er en numerisk beregningsmetode til løsning af differentialligninger, som indebærer diskretisering af et kontinuum til et endeligt antal elementer og frihedsgrader. Figur : Diskretisering af kontinuum til endeligt antal elementer. Et element består af et antal knuder med et defineret antal frihedsgrader (dof). Elementerne sættes sammen via knuderne. Begreberne knuder, elementer og dof er derfor centrale begreber i forbindelse med finite element metoden. Der findes forskellige typer elementer, som har forskellige egenskaber, fx stang, bjælke, skal, plade og solidelementer. I et strukturelt problem vælges flytninger som de variable frihedsgrader. Når et kontinuum belastes vil det deformere. Flytningerne har betydning for tøjninger og spændinger, som skal være i ligevægt med den ydre belastning. I et kontinuum er ligevægtsligningen opfyldt. Det betyder, at der er ligevægt mellem de spændinger der er i kontinuummet og belastningen. I to dimensioner er ligevægtsligningerne som følger,,2 æ Ligevægtsligningerne kaldes den stærke form. Stærk form er kontinuummets differentialligning. Af den konstitutive betingelse er følgende givet hvor er materialematricen, afhængig af spændingstilstanden Af den kinematiske betingelse er følgende defineret 2 Side 3

4 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil BM7 E9 Hvor u er aksial flytning og v er tværflytning Ved indsættelse af de konstitutive og kinematiske betingelser i ligevægtsligningen opnås en anden differentialligning udtrykt i flytninger. Derfor kan et kontinuums flytninger altid beskrives ved styrende differentialligninger og randbetingelser. I den stærke form er ligevægt opfyldt overalt i et kontinuum. Målet er at bestemme flytningerne for derigennem at kunne bestemme spændingerne. EKSEMPEL Der betragtes en udkraget bjælke med belastning P i endepunktet, se figur 2. Figur 2: Udkraget bjælke Der ønskes bestemt et udtryk for tværflytningen som funktion af x. På baggrund af ovenstående principper kan bjælkens differentialligning bestemmes til som er en fjerdeordens differentialligning udtrykt i tværflytningen,. Geometriske randbetingelser ved knude Der er taget udgangspunkt i den almindelige bjælketeori (Bernoulli) og der regnes altså uden forkydningsbidrag. Bjælketeorien forudsætter små flytninger og det antages, at plane snit forbliver plane om neutralaksen. Statiske randbetingelser ved knude 2 da krumningen er den anden afledede af flytningen Da forskydningen er den første afledte af momentet. Side 4

5 BM7 E9 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Differentialligningen kan løses direkte ved integration og indsættelse af randbetingelser, hvorved tværflytningen som funktion af x kan bestemmes 2 3, 2 6, 2 6 6, Indsættes i w 2 6 For x=l 3 Løsningen til differentialligningen er eksakt. Det er således muligt, ved integration af bjælkens differentialligning og bestemmelse af integrationskonstanter på baggrund af randbetingelser, at bestemme flytningsvariationen over bjælken. Generelt er det vanskeligt at løse differentialligningerne med randbetingelser, for et kontinuum. I FEM er der behov for at kunne omskrive den stærke form, til en form der kan løses algebraisk uanset problemets karakter. Ideen fremgår af figur 3. Stærk form differentialligning Svag form virtuelt arbejdes princip Diskretiseret form algebraiske ligninger der kan løses numerisk Figur 3: Omskrivning af stærk form til diskretiseret form. Side 5

6 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil BM7 E9 Den stærke form omformes til et udtryk der vedrører arbejde, ved at introducere et virtuelt flytningsfelt. Virtuelle flytninger er dimensionsløse og er derfor i princippet blot vægte. Det virtuelle flytningsfelt benævnes i det følgende,. Kontinuummets volumen benævnes V og dets overflade benævnes S. Hvis kontinuummet er i ligevægt gælder arbejdsligningen Det indre virtuelle arbejde vedrører de virtuelle tøjninger og spændingerne inde i kontinuummet (V), mens det ydre virtuelle arbejde vedrører virtuelle flytninger og kræfter på kontinuummets overflade (S) samt virtuelle flytninger og bodyforce inde i kontinuummet (V). Ligevægtsligningen betragtes på tensornotation,,2,3 ;,2,3 Det virtuelle flytningsfelt ganges på den stærke form og der integreres over kontinuummet Dermed er ligevægtsligningen omformet til et udtryk der vedrører virtuelt arbejde. Det fremgår, at uanset hvilket flytningsfelt der vælges, vil ligningen være opfyldt. I litteraturen omskrives ovenstående ligning via divergens teorien til arbejdsligningen hvor er virtuelle tøjninger er spændinger inde i kontinuummet er bodyforce (volumenkraft) er spændinger på overflade Udtrykket på venstre side af lighedstegnet i ligningen svarer til det indre virtuelle arbejde. Udtrykket på højre side af lighedstegnet i ligningen svarer til det ydre virtuelle arbejde. Dermed er den stærke form omskrevet til arbejdesligningen. Arbejdsligningen kaldes den svage form. Continuum Mechanics of Solids, Steen Krenk pp Side 6

7 BM7 E9 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Arbejdsligningen i matrixnotation I FEM interpoleres et elements flytninger ud fra formfunktioner. Formfunktionerne, N i, er et udtryk for, hvordan elementet deformerer når en frihedsgrad sættes til og øvrige frihedsgrader er fastholdt. Udvikling i flytning over elementet kan derfor skrives hvor er flytningsinterpolationsmatricen som indeholder formfunktionerne er flytningerne i elementets knuder Tøjninger bestemmes på baggrund af tøjningsinterpolationsmatricen, B, som indeholder de første afledede af formfunktionerne. Fra den konstitutive betingelse er følgende sammenhæng mellem tøjninger og spændinger givet hvor er materialematricen, der afhænger af spændingstilstanden og indeholder elasticitetsmodul og Poissons forhold Det udnyttes at virtuelle flytninger og tøjninger kan skrives på følgende måde 2 Udtrykkene implementeres i arbejdsligningen hvorved diskretiseret form fremkommer. og er ikke funktioner af koordinaterne og kan derfor holdes uden for integraltegnene 2 Cook et al. pp Side 7

8 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil BM7 E9 der blot er en vægtning reduceres ud af ligningssystemet Ovenstående ligning svarer til Det betyder, at stivhedsmatricen for hvert element kontinuummet er diskretiseret i er givet ved EKSEMPEL 2 Der betragtes en bjælke jf. figur 4. Figur 4: Bjælkemodel. Ligevægtsligningen kan udtrykkes som Der ganges en virtuel flytning,, på og integreres over voluminet, V. Divergensteorien anvendes to gange. Det medfører Ovenstående udtrykker virtuelt arbejde for en Bernoulli bjælke. Side 8

9 BM7 E9 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Krumningerne er defineret som Af den konstitutive betingelse Der betragtes en udkraget bjælke med randbetingelser jf. figur 5. Figur 5: Udkraget bjælke med belastning P i endepunktet. Der indsættes i den svage form. Der er ingen påsat moment og ingen fordelt last. Derved udgår 2. og 4. led i den svage form. Problem Ved hjælp af ovenstående ligning løses problemstillingen jf. figur 6 med hensyn til tværflytningen. Figur 6: Til venstre, det virkelige problem. Til højre, et tænkt system i ligevægt. For at løse integralet anvendes integrationstabeller Løsningen er i overensstemmelse med løsningen bestemt i eksempel Side 9

10 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil BM7 E9 Problem 2 Ved hjælp af ovenstående ligning løses problemstillingen jf. figur 7 med hensyn til tværflytningen Figur 7: Til venstre, det virkelige problem. Til højre, et tænkt system i ligevægt. For at løse integralet anvendes integrationstabeller Løsningerne er eksakte. Virtuelt arbejdes princip (VAP) kan således anvendes til at bestemme løsninger til differentialligningen udtryk i flytninger.vap giver eksakte løsninger. Når den svage form omskrives til diskretiseret form sker der imidlertid en tilnærmelse. Flytningerne interpoleres henover elementerne på baggrund af knudeflytningerne som beregnes ved hjælp af VAP. En grov elementinddeling vil give en større tilnærmelse end en fin elementinddeling. Det at en finere elementinddeling giver en bedre tilnærmelse til teorien kaldes konvergens. For at en FEM løsning konvergerer mod den teoretiske løsning, kræver det, at visse krav er opfyldt for elementet. Der stilles krav til kompabilitet og komplethed. Kompabilitetskravet er opfyldt hvis der er kontinuitet over elementranden. er den højeste afledede i den svage form. Eksempelvis for bjælken er 2 For at opfylde kompabilitetskravet skal der således være kontinuitet over elementranden. Flytningen over randen skal altså være kontinuert og differentiabel. Kravet skyldes at der skal tages drejningen over elementranden skal være kontinuert. Drejningen findes som den afledte af flytningen. Skive og stangelementer er eksempler på elementer hvor drejning ikke medtages som frihedsgrad. Der er kontinuitet over randen tilstrækkelig. Kravet om komplethed er opfyldt hvis der ikke er led i Pascals trekant som springes over. Side

11 BM7 E9 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil B. Opbygning af finite element program i MATLAB Der er udarbejdet et finite element program i MATLAB. Programmet anvender skiveelementerne CST og LST. Programmet bestemmer flytninger og spændinger i en given geometri. Der udføres en Patch test på elementerne, som skal eftervise at elementerne kan producere en konstant spænding for irregulære elementer. Endvidere laves et konvergensstudie, hvor elementernes konvergenshastighed undersøges. Der vedlægges scripter for to programmer af hensyn til overskueligheden, Patch Test og Konvergensstudie. Formålet med dette afsnit er at forklare den teori der anvendes, når der udarbejdes et finite element program, som anvendes til beregning af flytninger og spændinger. CST (constant strain triangle) er et tre knudet skiveelement, der har to frihedsgrader per knude, og. Det giver i alt 6 frihedsgrader per element. Flytningerne varierer lineært over elementet, og leverer dermed et konstant tøjningsfelt, da tøjningerne er flytningernes første afledte. LST (lineær strain triangle) modelleres ved at indlægge en knude på hver rand af CST elementet. LST elementet er derfor en skive med seks knuder, der i alt har 2 frihedsgrader per element. Flytningerne varierer parabolsk over elementet. LST elementet kaldes derfor også et højere ordens element, mens CST elementet kaldes et førsteordenselement. Figur 8. Principskitser for CST og LST. Til venstre: CST, Til højre: LST. Flytninger i en struktur sker, når strukturen påvirkes med en last. Flytningernes størrelse afhænger af hvor stiv strukturen er og hvor stor belastning den udsættes for. Den grundlæggende sammenhæng mellem flytninger, last og stivhed er følgende hvor er den globale stivhedsmatrice og er den globale lastvektor er flytningsvektoren (indeholder både lodrette og vandrette flytninger) Spændingerne bestemmes på baggrund af tøjningerne, ε, som er flytningernes afledte, og den konstitutive matrice, D som indeholder oplysninger om materialet. Side

12 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil BM7 E9 hvor er spændingsvektoren er den konstitutive matrice er tøjningsvektoren For et skiveelement i plan spændingstilstand er den konstitutive matrice som følger /2 hvor E er elasticitetsmodulen er poissons forhold B.. Bestemmelse af flytninger Til bestemmelse af flytningerne skal den globale stivhedsmatrice bestemmes. Den globale stivhedsmatrice,, bestemmes af følgende Formfunktioner N Lagrange A metode geometrisk metode Tøjningsinterpolationsmatrice B Integration gauss Lokal stivhedsmatrice ke Assemblering af ke for alle elementer K Stivhedsmatricen for et enkelt element er givet ved følgende hvor B er en tøjningsinterpolationsmatricen D er den konstitutive matrice Fremgangsmåden for bestemmelse af k e er at flytte elementerne over i et isoparametrisk rum, og derefter anvende Gaussintegration. Gauss integration hvor,5 j er determinanten til Jacobi matricen W i og W i er Gauss vægte Side 2

13 BM7 E9 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Elementerne bliver i det isoparametriske rum standardiseret, så alle elementerne får den samme geometri, og derfor også den samme formfunktion, hvilket gør integrationsprocessen lettere. Formfunktioner i det isoparametriske rum repræsenterer både geometrien og de variable, som fx flytningerne. I Gaussintegration opererer man ved at evaluere en funktion i et specifikt punkt, og gange det resulterende tal med en passende vægt faktor og summere resultater. Antallet af de specifikke punkter bestemmes af graden af formfunktioner. Beregning af stivhedsmatricen for et enkelt element eksemplificeres herunder, idet der er taget udgangspunkt i et CST element. B... Eksempel på opbygning af stivhedsmatrice for CST element Der ses på et CST element med følgende fysiske koordinater,,, 6,2 og 4,4, se figur 9. Figur 9: Illustration af CST element i (x,y) koordinatsystem. Da det er valgt at bestemme stivhedsmatricen ved hjælp af det isoparametriske rum og Gaussintegration, udføres der en koordinattransformation. Elementet transformeres over i et referencekoordinatsystem,, hvor koordinaterne er vist på figur. Uanset tidligere beliggenhed får elementet disse koordinater når det transformeres. Figur : Illustration af CST element transformeret ovre i referencekoordinatsystemet (r,s). Bestemmelse af formfunktioner Formfunktionerne kan nu bestemmes. Formfunktionerne beskriver variationen af den variable hen over elementet. I tilfældet her er den variable flytningerne, men formfunktionerne kan også anvendes til at beskrive andre variable, fx temperaturen hen over elementet og geometrien. Side 3

14 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil BM7 E9 Variationen af en formfunktion, N, over et CST element kan ses på figur for knude. Figur : Illustration af variation af formfunktion for knude et. Det karakteristiske ved formfunktionerne er at summen af alle tre formfunktioner skal være lig en i et hvilket som helst punkt. Dette betyder at værdien af en formfunktion til en bestemt knude i knudepunktet er lig en, mens de resterende formfunktioner har værdien nul i det knudepunkt. Formfunktionerne kan bestemmes på forskellige måder Lagrange A metoden Geometrisk metode Lagrange s metode er uegnet i forbindelse med triangulære elementer, men kan anvendes i forbindelse med firkantede elementer. Dette er eksemplificeret i Appendiks BB, se slutningen af nærværende appendiks. Bestemmelse af formfunktioner vha. A metoden Formfunktionen til A metoden bestemmes på følgende måde Hvor: er formfunktionerne er en vektor bestående de variable fra Pascals trekant A er en matrice bestående af koordinatværdierne indsat i til hver knude Værdierne i findes af Pascals trekant Pascals trekant Side 4

15 BM7 E9 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Der findes visse regler ved anvendelse af Pascals trekant. Afhængig af elementtypen, bestemmes antallet af elementer fra trekanten som indgår i x. Et CST element skal bruge tre, et LST seks, Q4 fire og Q8 skal bruge otte, svarende til antal knuder. Man starter i toppen af trekanten, hvorfor alle elementer får tallet med. Af formfunktion N ses at hvis r og s er lig nul, giver formfunktionen en, hvilket den skal i knude. Derfor skal der startes i toppen af Pascals trekant. Herefter gås ned efter i trekanten, rækkerne må ikke springes over og x og y må ikke vægtes skævt. Hvorfor et Q4 element får følgende værdier i. CST elementet får følgende, A matricen kommer til at se således ud 2 3 Formfunktionerne kan nu bestemmes Bestemmelse af formfunktioner vha. geometrisk metode Formfunktionerne bestemmes her ved at optegne rette linjer mellem knuderne. Formfunktionerne bestemmes på følgende måde hvor er det antal mulige linier der kan tegnes ved bestemmelse af en formfunktion Linjerne må kun krydse hinanden i knuderne. De eller den rette linje optegnes mellem de knuder som ikke hører til den formfunktion som skal findes. Se figur 2. Side 5

16 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil BM7 E9 Figur 2: Ret linie mellem knude 2 og 3 til bestemmelse af formfunktionen for knude. Funktionen for den rette linje er Den første formfunktion kan nu bestemmes For at bestemme konstanten C, anvendes randbetingelserne. Formfunktionen findes til Til bestemmelse af de resterende to formfunktioner optegnes to rette linjer, L 2 og L 3, se figur 3. Figur 3: Ret linje gennem knude og 3 til bestemmelse af N 2, ret linie gennem knude og 2 til bestemmelse af N 3. Formfunktionen bestemmes (randbetingelse) Formfunktionen er analog med, dog er, og bliver Side 6

17 BM7 E9 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Bestemmelse af tøjningsinterpolationsmatricen Når formfunktioner er bestemt kan interpolationsmatricen B bestemmes. B indeholder de afledede af formfunktionerne i det fysiske rum og anvendes til bestemmelse af tøjningerne: Hvor d er de knudeflytningerne i det fysiske rum For et CST element findes tøjningerne således / / / / Formfunktionerne er imidlertid bestemt i det isoparametriske rum, og der afledes derfor mht. til referencekoordinaterne, r og s. Derefter transformeres over i det fysiske rum ved hjælp af Jacobi. / / / / / / Det bemærkes, at komponenterne i dn generelt vil være funktioner af r og s. CST 3 Tabel. Gauss integrationspunkter og vægte. Kilde: Cook et al. Gauss integrationspunkter og vægte LST Jacobimatricen består af de afledede af formfunktionerne ganget med koordinaterne fra det fysiske koordinatsystem,. Jacobi matricen ser således ud, og vil altid for et plant element blive en 2x2 matrice De afledte af formfunktionerne transformeres over i de fysiske koordinater ved at gange med den inverse Jacobi. Matricen der kommer ud af det kaldes b, og den indeholder de komponenter der skal bruges i tøjningsinterpolationsmatricen.,25,25,25,375,25,25,25,25,25,375 Side 7

18 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil BM7 E9 Interpolationsmatricen B kan nu bestemmes, ved indsættelse af de fundne værdier fra b matricen., 2,,25,25 2,,,25,25,2 2,2,25,25 2,2,2,25,25,3 2,3,25,375 2,3,3,375,25 Bestemmelse af den lokale stivhedsmatrice for et CST element Det næste trin i bestemmelse af stivhedsmatricen K er bestemmelse af j, som er determinanten til Jacobi matricen det Alle udtrykkene i stivhedsmatricen er nu bestemt, og denne kan bestemmes. ½,25,25,25,25,25,375,25,25,25 2,25,3,375,25,3,3,3 2,25,25,25,25,25,25,25,25,25,375,375 ½ 6,25,3894,875,875,3894,375,288,288,375,44,263,587,7644,375,288,288,375,5577,75,75,5577,827,7788,722,9327,44,587,263,7644,827,722,7788,9327,97,5625,5625 2,697 Således er stivhedsmatricen for et enkelt CST element bestemt. For at tjekke om den lokale stivhedsmatrice er korrekt, kan følgende udføres kontrol af diagonalen, alle værdier skal være positive. kontrol af egenværdierne, netop tre af egenværdierne være lig nul, ellers udfører elementet ikke de tre stivlegeme bevægelser. Kontrol af, om stivhedsmatricen er symmetrisk. Assemblering af den globale stivhedsmatrice Hvis der er flere elementer, beregnes stivhedsmatricerne for hvert enkelt element hver for sig, og derefter assembleres. CST elementer vil altid dele 2 knuder med hinanden. I et mesh med 2 CST elementer vil der derfor være i alt 4 knuder og dermed 8 frihedsgrader, se figur 4: to cst elementer. Den assemblerede stivhedsmatrice vil derfor blive en 8 8 matrice og de steder i den globale stivhedsmatrice hvor der fællesfrihedsgrader vil der være bidrag fra begge lokale stivhedsmatricer. Side 8

19 BM7 E9 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Figur 4: To CST elementer Hvis stivhedsmatricen for element kaldes ke og stivhedsmatricen for element 2 kaldes ke2 bliver der assembleret på følgende måde, idet det alene markeres hvor der er bidrag fra hvilke lokale stivhedsmatricer Det bemærkes, at princippet for opbygningen af stivhedsmatricen for LST elementer er den samme som for CST elementer, dog anvendes som minimum tre Gauss punkter i stedet for et til integrationen. B..2. Verificering af tilstrækkeligt valgt antal Gauss punkter I eksemplet ovenfor er stivhedsmatricen for et CST element, dertil er anvendt et Gauss punkt. Det er desuden postuleret, at tre Gauss punkter vil være tilstrækkeligt i forbindelse med opbygningen af stivhedsmatrien for LST elementer. Dette eftervises i dette afsnit at et Gauss punkt er tilstrækkeligt for CST. Antallet at punkter i summationen, ½, bestemmes af graden af polynomiet. For en lineær formfunktion er det tilstrækkelig med et Gauss punkt og dens tilhørende Gauss vægt. Se evt. nedenstående eksempel. EKSEMPEL Der laves et MATLAB script hvor det eftervises, at stivhedsmatricen bliver ens om der anvendes et eller tre Gauss punkter. For tre Gauss punkter ½ MATLAB scriptet ses i vinduet nedenfor Side 9

20 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil BM7 E9 %koordinater fra (x,y)for CST element x=[ ; 6 2; 4 4]; % differentierede formfunktioner dn=[- ; - ]; % Jacobi matricen J=dN*x % Determinanten til Jacobi matricen j=det(j) b=inv(j)*dn % tøjningsinterpolationsmatricen B=[b(,) b(,2) b(,3) b(2,) b(2,2) b(2,3) b(2,) b(,) b(2,2) b(,2) b(2,3) b(,3)]; % konstitutive matrice E=2; nu=.3; D=(E/(-nu^2))*[ nu ; nu ; ((-nu)/2)] % Stivhedsmatricen fra tre Gauss punkter w3=(/3); % Gauss vægten ke=b'*d*b*.5*j*w3; K=ke+ke+ke Stivhedsmatricen bliver Stivhedsmatricen for tre Gauss punkter K =.e+5 * I afsnit B.. blev stivhedsmatricen for elementet bestemt ved hjælp af et enkelt Gauss punkt bestemt til følgende,3894,875,375,288,44,587,875,3894,288,375,263,7644,375,288,5577,75,827,722,288,375,75,5577,7788,9327,44,263,827,7788,97,5625,587,7644,722,9327,5625 2,697 Eksemplet viser at de to stivhedsmatricer er ens, det kan heraf konkluderes at for en lineær formfunktion er det tilstrækkeligt med et Gauss punkt til bestemmelse af stivhedsmatricen. B..3. Understøtning og last Når stivhedsmatricen er bestemt skal der påføres last og nogle knuder skal understøttes for at undgå frit legeme bevægelser. Til det formål opbygges en matrice, der kaldes BC_data og en lastvektor, f. BC_data er en matrice med fire søjler, og én række for hver af de berørte frihedsgrader, dvs. de frihedsgrader hvortil en given flytning (Dirchlet=) eller ydre kraft (Neuman=2) er kendt. Side 2

21 BM7 E9 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil I BC_datas første søjle står der hvilken knude det drejer sig om, i den anden søjle angiver man hvorvidt der er tale om kendt flytning eller kendt kraft, i tredje søjle angives hvilken af knudens to frihedsgrader det drejer sig om, altså foregår det i vandret eller lodret retning, mens der i fjerde søjle er angivet størrelsen af den kendte flytning eller kraft. Et eksempel på BC_data for følgende rektangulære plade indspændt i den ene ende og udsat for træk, P, i x aksen positiv retning i knude 2 og træk, Q, i y aksens negativ retning i knude 3, se figur 5. Figur 5: To CST elementer Lastvektoren er en vektor der har den længde der svarer til antallet af frihedsgrader i systemet. Hvis der er en bodyforce, b, i systemet indsættes denne i lastvektoren sammen med oplysningerne fra BC_data. De frihedsgrader der er fastholdt mod flytning skal ikke have last i lastvektoren. Første og anden frihedsgrad for knude er frihedgrad nr og 2, første frihedsgrad for knude 2 er frihedsgrad nr. 3, anden frihedsgrad for knude 3 er frihedsgrad nr. 6 mens første frihedsgrad for knude 4 er frihedsgrad nr. 7.,,, Oplysningerne fra BC_data har også indflydelse på stivhedsmatricen som bliver Side 2

22 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil BM7 E Når geometrien således er understøttet og belastet kan flytningerne endelig bestemmes idet B.2. Bestemmelse af spændinger Når flytningerne er kendt kan de anvendes som udgangspunkt for bestemmelse af spændingerne. Da materialet er elastisk anvendes Hookes lov. hvor D er den konstitutive matrice Den konstitutive matrice er kendt, dvs. det der skal bestemmes, er tøjningsvektoren. Til det formål udnyttes tøjningsinterpolationsmatricen, B, der er kendt fra tidligere, samt de beregnede flytninger, idet: hvor er knudeflytningerne Da elementerne der anvendes er af C kontinuitet kan de ikke give interelement kontinuitet i tøjningerne der bliver altså en diskontinuitet i tøjningsfeltet henover elementranden. Dette kan ikke forekomme i virkeligheden, men problemet kan omgås, ved at anvende en anden metode til at bestemme spændingerne end den direkte (den beskrevet ovenfor). Der findes forskellige alternative metoder, som har fået fællesbetegnelsen smoothing operations. Disse kan levere interelementkontinuitet. B.2.. Stress smoothing Den metode der her anvendes, er global smoothing 3. Metoden er en af de tidligt udviklede metoder, og går ud på at bestemme knudespændinger på baggrund af et glattet spændingsfelt (over hele strukturen). 3 Cook et al. pp Side 22

23 BM7 E9 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Spændingskomponenten, der beregnes på baggrund af det glattede felt, kaldes, mens er en af komponenterne, i den knudespændingsvektor,, der kan beregnes direkte af udtrykket: De to spændingskomponenter vil afvige fra hinanden, da de beregnes med udgangspunkt i to forskellige spændingsfelter. Princippet i metoden er nu, at minimere forskellen mellem og. Der opstilles et udtryk for forskellen set over hele strukturen Længden af F G svarer til det totale antal knuder i strukturen. Når F G afledes mht. til en global vektor som indeholder alle knudespændinger,, (den er ukendt) skal det give nulvektoren. Det vil sige En omskrivning af ovenstående giver følgende ligning hvor N er de kendte formfunktioner Ligningen skal løses med hensyn til som så vil blive en vektor, der indeholder alle knudespændingerne, som svarer til den komponent fra spændingsvektoren, der er sat ind på s plads på højre side af lighedstegnet. Det kunne fx være spændingen i x retningen, da er det også spændingen i x retningen i alle knuder der kommer ud i den globale spændingsvektor. Ønskes den samlede spænding i knuderne kan von Mises referencespænding beregnes og indsættes i højresiden. Løsning Integrationerne i matrix a e og vektor s e løses ved hjælp af Gauss. I forbindelse med et CST element er tre Gauss punkter tilstrækkeligt til at give en nøjagtig integration, mens der for LST elementet er behov for anvendelse af 6 Gauss punkter (gp). Side 23

24 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil BM7 E9 For CST bliver Gauss matricen 2/3 /6 /6 For LST bliver Gauss matricen /6 /6 2/3 /3 /3 /3, , , , , , Derved bliver ½ ½, , , ,838687, , , , , , ,838687, I forbindelse med CST elementer er der tre formfunktioner, hvorfor bliver en 3 3 matrice, og bliver en 3 vektor. og bestemmes for alle elementer, og der assembleres derefter. Derved bestemmes A og S,, Det betyder, at løsningen til ligningen kan skrives _ Von Mises referencespænding Som nævnt, kan man på s plads indsætte von Mises referencespænding og derved beregne den glattede von Mises spænding i alle knuder. Von Mises referencespænding er bestemt af følgende 3 Side 24

25 BM7 E9 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil B 2. Patch test Formålet med at foretage en patch test er, at undersøge hvorvidt de programmerede elementer fungerer korrekt. Elementerne skal kunne levere konvergerende resultater for flytninger, tøjninger og spændinger, og såfremt elementerne består en patch test vil det være tilfældet. Patch testen går ud på, at eftervise, at en assemblering af elementer skal kunne reproducere en given konstant spænding. B 2.. Fremgangsmåde Der laves et finite element program i overenstemmelse med den i afsnit gennemgåede teori. Programmet kaldes Patch Test. Programmet er vedlagt på nærværende CD. Såfremt programmet er lavet korrekt, skal elementerne kunne gennemgå en patch test. Sammenhængen mellem tøjninger og spændinger er den konstitutive matrice, D. Det fremgår, at hvis poissons forhold sættes til, reduceres D til følgende, 2 2 Heraf ses det, at, forudsat Poissons forhold sættes til nul, bliver hovedspændinger samt forskydningsspænding direkte proportionale med deres tilhørende tøjninger, hvilket betyder, at spændingerne kan beregnes af følgende 2 Der opbygges et simpelt patch af elementer med irregulær form, hvormed der er lavet en finite element model. Modellen med CST elementer understøttes og belastes som vist på figur 6 herunder. Figur 6: Mesh med CST elementer. Side 25

26 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil BM7 E9 Koordinatmatricen er som følger Sammenhængen mellem elementerne bliver således X og connect matricerne er bygget op manuelt. I den forbindelse er der sørget for at bygge connect op på en sådan måde, at jacobi matricen ikke bliver negativ hvilket ville resultere i negative værdier på diagonalen i stivhedsmatricen hvilket naturligvis ikke er meningsfyldt. På samme måde laves en manuel model med LST elementer, se figur 7. Figur 7: Mesh med LST elementer. Koordinatmatricen bliver Sammenhængen mellem elementerne bliver som følger For F anvendes følgende 2 Side 26

27 BM7 E9 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Hvor H er den halve højde af skiven som vist på figuren, mens t er tykkelsen. 5 2 Lastpåvirkningen svarer i begge tilfælde til et jævnt fordelt træk over skiven, ved hjælp af konsistente knudekræfter, som er indspændt. Det giver anledning til konstant spænding,, mens spændinger i øvrige retninger bliver, da Poissons forhold er sat til nul. Spændingerne beregnes i programmet på sædvanlig vis. Hvis elementet virker som det skal, vil der beregnes være netop den, som blev anvendt til at bestemme F. Spændingerne er beregnet med udgangspunkt i flytningerne. Vandrette flytninger kan beregnes analytisk i alle punkter, og det kontrolleres derfor, om de vandrette flytninger på randen, som programmet beregner, giver den korrekte værdi og udviklingen i flytningerne over skiven betragtes. Vandret flytning på randen 4 5 5, Hvis de beregnede resultater i alle knuder giver den korrekte værdi, virker elementerne som de skal. B 2.2. Resultater Spændinger og flytninger plottes ved hjælp af paraview og fremgår af figur 8 herunder. Paraview er et free source postprocesseringsprogram der kan visualisere flytninger og spændinger. Resultater for CST Flytninger Spændinger Min: Maks:,238 Min: Maks: Figur 8: Flytnings hhv. spændingsfordeling i pladen. Det gule og røde kryds er x y koordinatsystemet, med centrum i pladens midte. Resultater for LST Flytninger Spændinger Min: Maks:,238 Min: Maks: Figur 9: Flytnings hhv. spændingsfordeling i pladen. Det gule og røde kryds er x y koordinatsystemet, med centrum i pladens midte. På baggrund af resultaterne konkluderes det, at elementerne virker korrekt. Der er ikke fundet afvigelse mellem det analytiske og det numerisk beregnede resultat for hhv. knudeflytning og knudespænding. Side 27

28 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil BM7 E9 Det betyder altså, at anvendelse af de programmerede CST og LST elementer kan finde sted, og det er altså blot et spørgsmål om, at anvende tilstrækkeligt mange elementer, da vil resultaterne konvergere mod det korrekte. B 3. konvergensstudie Det er således fundet, at programmet Patch Test fungerer korrekt med hensyn til bestemmelse af flytninger og spændinger. Programmet anvendes derfor som udgangspunkt for et nyt program, Konvergensstudie. Programmet er vedlagt på nærværende CD. I konvergensstudiet undersøges den hastighed som elementerne konvergerer med. B 3.. Mesh Der ses på den samme geometri som i programmet Patch Test. Da der skal undersøges konvergenshastighed er det nødvendigt, på en effektiv måde at kunne øge elementantallet i sit mesh, i stedet for at anvende manuel opbygning, som er ineffektiv. Til det formål anvendes et andet free source program, Gmesh. Der laves en inputfil i notepad til G mesh, hvor geometrien fastlægges og hvor man angiver hvordan der skal meshes, se nedenstående vindue, figur 2, for eksempel Figur 2. Inputfil til Gmesh. Dernæst læses filen ind i Gmesh og der meshes. Ovenstående inputfil giver en elementinddeling som illustreret på figur 2. Side 28

29 BM7 E9 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Figur 2: Mesh på baggrund af Inputfil. Meshet gemmes og kan hentes ind i programmet, hvorved X og connect bliver givet automatisk. B 3.2. Laster og understøtninger Lastvektoren bestemmes på baggrund af det valgte flytningsfelt. B Flytningsfelt Flytningsfeltet for skiven vælges som følger Elementerne CST og LST programmeres til at konvergere mod dette flytningsfelt. Flytningsfeltet er bestemt analytisk ud fra en kontinuummekanisk betragtning. På baggrund af det valgte flytningsfelt bestemmes derfor en bodyforce, som anvendes i programmet til bestemmelse af lastvektoren. Der er valgt et flytningsfelt, hvor flytningerne og spændingerne på randen er lig nul, se appendiks T. Dette bevirker at spændingerne på randen for en påsat last ikke skal bestemmes. Der ses på en skive, som er fastholdt mod vandret og lodret flytning på hele randen, se figur 22. Figur 22: Skive med understøtninger, mål i mm. Af flytningsfeltet findes tøjningerne som efterfølgende anvendes til bestemmelse af spændingerne, da disse anvendes i ligevægtsligningerne til bestemmelse af bodyforcen. Side 29

30 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil BM7 E9 Bodyforce Bodyforcen som anvendes til bestemmelse af lastvektoren, findes fra ligevægtsligningerne: Ligevægt i x retningen Ligevægt i y retningen Spændingerne findes ved relationen mellem spændinger og tøjninger Hvor /2 Spændingerne findes 2 Tøjningerne findes som de afledte af flytningerne 2 Side 3

31 BM7 E9 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil ½ ½ ½ 2 I programmeringsmæssig sammenhæng er det lettere at anvende end 2 2 Da tøjningen i y retningen er lig nul, kan udtrykkene for spændingerne reduceres 2 Herefter kan spændingerne afledt med hensyn til hhv. x og y bestemmes. Bodyforcen i x retningen bestemmes cos 2 2 cos Bodyforcen i y retningen bestemmes Side 3

32 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil BM7 E9 Som det fremgår af ovenstående ligninger, er bodyforcen en funktion af x og y, altså de fysiske koordinater. Alle elementer bidrager til den globale lastvektor som bestemmes ved at assemblere de lokale lastvektorer for hvert af elementerne. B 3.3. Løsning og fejl Der løses mht. til flytninger og spændinger og for hvert mesh sammenholdes med den analytiske løsning som jo netop er det introducerede flytningsfelt. Plottet i paraview ser det analytiske flytningsfelt således ud, se nedenstående figurer. Min: Maks: Figur 23: Flytninger i pladefeltet. Mens det analytiske spændingsfelt ser således ud, idet det er von mises spændingerne der er plottet Min: Maks: Figur 24: Spændingerne i pladefeltet Det fremgår visuelt af figur 23 og figur 24, at flytninger og spændinger langs randen er nul. B konvergenshastighed Det er konvergensen på flytningerne der undersøges for begge elementtyper. Når den numeriske flytningsvektor bestemmes vil der komme bidrag til flytningerne både i x retningen og y retningen. Konvergenshastigheden for de to elementer bestemmes alene med udgangspunkt i flytningerne i x retningen (u flytningen). For hver element bestemmes u flytningen i Gausspunktet numerisk og analytisk. Den afvigelse på resultatet som kommer ved den numeriske beregning vurderes i forhold til den analytiske løsning, og fejlen bestemmes af følgende,5 Differencen mellem den numerisk bestemte flytning og den analytiske flytning kvadreres med henblik på at sikre, at det er den relative fejl der kigges på, således at en negativ fejl ikke kan opveje en Side 32

33 BM7 E9 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil positiv fejl da begge fejl skal medregnes. For ikke at overvurdere fejlen tages kvadratroden efterfølgende. Det sidste led:,5 bliver derved også taget kvadratroden af, leddet kan imidlertid opfattes som en skaleringsfaktor, så det er ligegyldigt. I stedet for at kvadrere for derefter at tage kvadratroden, kunne den numeriske værdi af differencen være anvendt. Der laves en logaritmisk afbildning af fejlen som funktion af elementstørrelsen, og det skal forventeligt give en ret linje. Hældningen udtrykker graden af konvergens. Et mesh med CST elementer skal konvergere med en hældning på 2, mens et mesh med LST skal konvergere med en hældning på 3, se figur 25. Figur 25: Grønne linje viser teoretisk konvergensrate for CST mens blå linje viser teoretisk konvergensrate for LST I de mesh der laves, er det væsentligt, at der er det samme længdebredde forhold i elementerne. Det skyldes, at fejlen afbildes som funktion af kun én sidelængde, h. Der er undersøgt for følgende mesh. Der er forfinet 5 gange ved at firedoble elementantallet. Se figur 26. _ST6.msh _ST64.msh _ST256.msh _ST24.msh _ST496.msh Figur 26: Anvendte mesh. For CST er anvendt de fire sidste, mens der for LST er anvendt de fire første. Når der ikke gennemføres analyse på LST med det fineste mesh, skyldes det, at det overskrider kapaciteten i MATLAB (fejlmelding: out of memory). Side 33

34 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil BM7 E9 Analyserne er kørt i MATLAB og resultaterne fremgår af tabel 2 og figur 27. antal elementer sidelængde, h log(/h) Error log(error) Error log(error) ,969 7,756, ,5, ,8796, ,293, ,25, ,855,8924,289, ,25,275 2,23,3546,367, ,625,9647,598,2926 out of memory Tabel 2: Resultater fra konvergensstudie i MATLAB. CST LST Figur 27: Resultat af konvergensstudie i MATLAB. Det er fundet, at hældningerne bliver som forventet. Det betyder, at programmet virker efter hensigten. Side 34

35 BM7 E9 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks BB Dette afsnit omhandler bestemmelse af formfunktionerne til et Q4 element ved hjælp af Lagranges metode. Der er nedenfor opskrevet forenklede formler til bestemmelse af formfunktionerne N og N 2, de efterfølgende formfunktioner bestemmes af samme princip. Hvor n er antallet af knuder. Nedenstående figur viser et Q4 element i et (x,y) koordinatsystem. Figur 28: Q4 element, i (x,y) koordinatsystem med bredder 2a og 2b. Der ses på x retningen med flytningen u i. Der interpoleres først over top og bund. Ved interpolation over bunden ses på knude til 2, som en stang og formfunktionerne for denne bestemmes. 2 2 Formfunktionerne i toppen er lig formfunktionerne i bunden. Flytningerne i de to stænger findes således Herefter interpoleres lineært i y retningen mellem og. Der ses på stangen mellem knude og 4. Formfunktionerne findes Side 35

36 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil BM7 E9 2 2 Formfunktionerne for knude 2 og 3 og flytningen i findes Da Q4 elementet er todimensionelt, skal formfunktionerne indeholde noget fra x og y retningen. De endelige formfunktioner får derfor følgende udseende I det isoparametriske rum har knuderne i Q4 elementet følgende koordinater.,, 2.,, 3.,, 4.,, Formfunktioner får nu følgende udseende Side 36