Quaternioner blev første gang beskrevet

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Quaternioner blev første gang beskrevet"

Transkript

1 vise sig indirekte, i forandret form, som f.eks. neurotiske symptomer eller fejlhandlinger. Det ubevidste er imidlertid ikke bare en art skjult bevidsthed, men er knyttet til træk ved mennesket, der er kropslige, og fungerer efter andre lovmæssigheder, primærprocesserne. De love, som er nogle helt andre end logikkens og den rationelle tænknings, var det netop den psykoanalytiske teoris opgave at redegøre for. dermed var selve ideen om eksistens af egentlige psykologisk betingede sygdomme, der selv var af psykologisk natur, etableret. Disse skulle opfattes psykologisk, knyttet til et menneskes oplevelser og samspil med andre mennesker, og skulle behandles på samme måde. Ved gendannelse, gentagelse og forståelse af skjulte betydninger, var det under medvirken af et andet menneske, en terapeut muligt at forme sig selv på ny, på en måde hvor de psykologiske sår var helet. Det var psykoterapi. Psykoanalysen blev således det bedste eksempel på en teori om psykologisk betingede sygdomme og deres behandling. Psykoanalysen blev dog ikke kun en lægevidenskabelig og psykologisk disciplin, men fik langt bredere betydning for forståelsen af kunst, sprog, og samfundsmæssige fænomener. Tidligere teoridannelser havde naturligvis også haft konsekvenser for f.eks. kunstnerisk praksis, men psykoanalysen fik på en helt unik måde direkte betydning for en ny kunstopfattelse, nemlig surrealismen, både inden for billedkunst og litteratur. Hvad er et tal? Også matematikken gjorde i 1800-tallet meget store fremskridt og blev for alvor en selvstændig disciplin. Franskmanden Évariste Galois ( ) grundlagde gruppeteorien, man arbejdede bredt med analysen, og geometrien fik nyt liv og nyt grundlag. Men der viste sig også sprækker i fundamentet. Besad man en reel forståelse af, hvad det egentlig var, man arbejdede med? Hvad var egentlig substansen i den matematiske viden? Det bekymrede nogle, at man tilsyneladende ikke kunne give særligt gode svar. Især det fundamentale begreb om tal blev genstand for interesse. Flere mente, at matematikken måtte være af en anden art end de rent empiriske videnskaber. Selvom man forsøgte at forstå matematikken som empirisk, begyndte man også i visse kredse at anse den som en erkendelse af den type, som Kant havde kaldt apriori, dvs. forud for erfaringen. siden man begyndte at tælle, har man primært betragtet tal som noget, E R G O N AT U RV I D E N S K A B E N S F I L O S O F I S K E H I S T O R I E 209

2 I 1673 udviklede Gottfried Wilhelm Leibniz en maskine til at lave matematiske beregninger med. Maskinen kunne gange og dividere, og den kunne endda finde kvadratrødder. Den blev brugt af matematikere og bogholdere. Her ses en rekonstruktion fra der var knyttet til et antal af enheder. Man talte f.eks. sine får. Men man har også brugt tal til at måle med, f.eks. når man vejede noget. Hvis det bestod af små ting, såsom korn, kunne man i princippet sige, at man vejede ved at tælle antallet af korn under den antagelse, at de alle var identiske. Men hvis man målte en væskes mængde eller vægt, eller bare et linjestykkes længde, var det mere uklart, hvad man egentlig talte. Man kunne fastsætte en enhed, som man så målte med. Men denne enhed kunne i princippet være vilkårligt lille. Længden af et givet linjestykke ville så blive udtrykt med større og større tal, når enheden, man målte med, blev mindre og mindre. Men længden var selvfølgelig den samme, bare udtrykt med et andet tal. Det var også væsentligt ved tal set som antal, at man ikke løb ind i et største tal der kunne være ubegrænset mange tal. Tilsvarende kunne et givet linjestykke opdeles i ubegrænset mange dele eller enheder, der så blev ubegrænset små. Forholdet mellem tal og mål havde optaget matematikere og filosoffer siden antikken. Dér havde man indset, at et så simpelt forhold som forholdet mellem siden i et kvadrat og diagonalen ikke kunne udtrykkes som forholdet imellem to hele tal. Tilsvarende gjaldt også om forholdet imellem længden af en cirkels omkreds og den samme cirkels diameter, det forhold, man så betegnede med udtrykket π. Siden man i 1600-tallet begyndte at erstatte geometriske metoder i beskrivelsen af naturen med aritmetiske og specielt siden Isaac Newton ( ) og Gottfried Wilhelm Leibniz ( ) udviklede analysen, dvs. studiet af kontinuerte fænomener som f.eks. bevægelse med matematiske metoder havde man frembragt mere og mere avancerede teknikker til håndtering af fysiske fænomener. Man kunne udtrykke dette i formler, der i en vis forstand hvilede i sig selv. Men disse formler kunne kun relateres til observationer via målinger, og målinger resulterede typisk i tal. 210 E TA B L E R I N G E N A F D E V I D E N S K A B E L I G E D I S C I P L I N E R

3 Quaternioner blev første gang beskrevet af den irske matematiker William Rowan Hamilton ( ) i 1843 i et forsøg på at udvikle en notation for komplekse tal i højere dimensioner. En quaternion består af et reelt tal og tre komplekse tal og kan danne meget komplicerede firedimensionale fraktalformer, hvis man programmerer dem ind i en computer i dag. Her ses et forsøg af den tyske kunstner Thorsten Fleisch (f. 1972) i filmen Gestalt fra Quaternioner blev senere erstattet af vektor- og matrix-notationer og bruges i dag kun inden for computergrafik til at rotere 3D-objekter med Thorsten Fleisch, I midten af 1800-tallet var det blevet klart, at man reelt ikke forstod, hvad tal egentlig var for noget. Man arbejdede med mange forskellige former for tal hele tal, negative tal, rationelle tal, irrationale tal, komplekse tal og sågar noget man kaldte quaternioner og samtidig arbejdede man med begreber som længde og størrelse af et areal, der jo netop kunne variere kontinuert og dermed antage en vilkårlig størrelse. det er umiddelbart ret let at indse, at hvis man spørger om, hvor mange længder, der kan være mellem 0 og 100 meter, så er svaret uendeligt mange, for man kan ikke angive en mindste størrelse, som en sådan længde skulle kunne opdeles i. Man kan altid findele yderligere. Hvis man ønsker at udtrykke disse længder som tal og opfatter disse som en proportion, f.eks. som forholdet mellem en enhed og antallet af gange, denne enhed går op i længden, så er antallet også uendeligt, men der er stadig mange længder, som faktisk kan forekomme, som man ikke får med. Eksempelvis hvis man opdeler 100 meter i to dele på hver 50 meter, og så afsætter en længde ud fra nulpunktet svarende til længden af diagonalen i et kvadrat, hvor hver side er 50 meter. Ud fra Pythagoras (ca f.v.t.) læresætning vil længden være =5 _ 0 _ 0 _, og den er igen identisk med 10 gange =5 _, der er et irrationalt tal, dvs. at det netop ikke kan udtrykkes som en brøk. Der er altså ikke noget forhold mellem tal, der kan udtrykke denne længde. Ikke desto mindre arbejdede man flittigt i de matematiske formuleringer af videnskabelige teorier med funktionelle sammenhænge, som, hvis de skulle have empirisk mening, måtte kunne knyttes sammen med tal via målinger. Yderligere havde man E R G O N AT U RV I D E N S K A B E N S F I L O S O F I S K E H I S T O R I E 211

4 traditionelt en teori om måling, der sagde, at en sådan netop var et udtryk for det antal af gange, en given enhed kunne anvendes eller bruges på det, der måltes. Når man målte en længde, gik man ud fra en enhed f.eks. en meter og målingen bestod så i at finde ud af, hvor mange gange meteren gik op i den givne længde. Man kunne netop derfor udtrykke det som en proportion, som en brøk. Men man kunne tit komme ud for, at det antal så at sige ikke var et tal. de problemer, som man havde haft, siden Leibniz udarbejdede hvad han kaldte infinitesimalregning, dvs. med at opfatte differentiering og integrering som regning med en særlig slags små, uendeligt små, størrelser (se s. 118) dem begyndte man at kunne se løsninger på i begyndelsen af 1800-tallet. Franskmanden Augustin Louis Cauchy ( ) formulerede en opfattelse af differentiering og integrering, der baserede sig på, at der var tale om relationer mellem funktioner og egenskaber ved disse. Det centrale begreb for ham var grænse i den betydning, at vi kan nærme os en grænse, men ikke overskride den, dvs. vi kan komme vilkårligt tæt på. Det væsentlige var, at han forsøgte at definere dette, uden at skulle tale om uendeligt små størrelser eller regne med dem. Dette involverede distinktionen mellem, at noget er uendeligt, og at noget er ubegrænset. At sige, at der er uendeligt mange tal, er at tale om dem alle sammen uendeligt mange af dem. Men at sige, at der er ubegrænset mange, er at sige, at lige gyldigt hvilket tal, der kommer på tale, så er det altid muligt at angive et tal, der er større. I tilfældet med definition af grænseværdi-begrebet drejede det sig så om at gøre en forskel, ikke uendeligt lille, men vilkårligt lille i betydningen at der altid ubegrænset kunne findes en forskel, der er mindre. Taler vi om tallet 1, kan vi altså angive en brøk, f.eks , der er meget tæt på 1, men 1129 er tættere på osv. Det interessante er nu, at også her gælder, at selvom vi har mange af den slags tal, der nærmer sig 1, så er der også her mange, vi ikke får med, selvom vi altså taler om en ubegrænset serie af tal, der nærmer sig til 1, og hvor forskellen mellem tallet og 1 kan gøres vilkårligt lille. Helt op til midten af 1800-tallet tænkte man om tal i to begrebsrammer. Den ene var aritmetisk, det var tal til at tælle med, og den anden var geometrisk, og havde med kurver at gøre. Fra og med midten af 1800-tallet forsøgte flere og flere matematikere at give en fuldstændig forståelse af analysen, dvs. infinitesimalregningen, ved hjælp af klare aritmetiske begreber. Man ønskede altså at få den aritmetiske og den geometriske forståelse 212 E TA B L E R I N G E N A F D E V I D E N S K A B E L I G E D I S C I P L I N E R

5 y 1 x For at give mening til konceptet om en grænseværdi udviklede Cauchy nogle bestemte matematiske sekvenser. Det var nogle ordnede lister af elementer {a 1, a 2,..., a n }, som har den egenskab, at de konvergerer mod et bestemt tal. Her ses en Cauchy-sekvens i blåt, som for stigende n har en ultimativ destination, dvs. en grænse, i værdien 1. til at hænge sammen. Den tyske matematiker Richard Dedekind ( ) ydede en afgørende indsats i denne bestræbelse. Hvis en linje bestod af uendeligt mange punkter, og der var flere punkter, der lå i en afstand fra nulpunktet, end der var punkter, som kunne udtrykkes med rationelle tal, dvs. med brøker, så kunne de, der ikke var brøker, forstås som grænser for serier af brøker, der nærmede sig vilkårligt tæt til dem. De såkaldte irrationale tal var således at forstå som grænseværdier, og de eksisterede på samme måde som andre grænseværdier. dedekind udviklede, hvad der var en teori om de reelle tal. Det er de tal, der kan udtrykkes som længder af linjestykker, og som man kan skrive som uendelige decimalbrøker, men hvor man altså kan komme i den situation, at et givet tal på denne form faktisk aldrig fuldt kan nedskrives, da man jo ikke kan skrive en uendelig lang serie af cifre, men altid kan skrive et tal, der er vilkårligt tæt på det tal, man egentlig ville skrive. Tallet =2 _ eller tallet π, der jo begge geometrisk set har klare definitioner, kan f.eks. aldrig med et endeligt antal cifre skrives ned. En anden væsentlig grund til, at man i højere grad begyndte at tænke aritmetisk om tal, var, at man forstod dem som løsninger til ligninger ligninger af alle mulige slags. =2 _ er som bekendt løsning til ligningen x 2 = 2, der jo bare geometrisk siger, at vi søger længden af diagonalen i et kvadrat med siden 1, ligesom π er forholdet imellem længden af en- E R G O N AT U RV I D E N S K A B E N S F I L O S O F I S K E H I S T O R I E 213

6 A B 0 a x b Matematikkens standard-definition af de reelle tal, dvs. alle tal undtagen komplekse tal, er det såkaldte Dedekind-snit, publiceret i Det siger, at hvis alle punkter på en lige linje falder i to klasser, A og B, hvor den ene klasse ligger til højre for et bestemt punkt x, og den anden klasse ligger til venstre for samme punkt x, så eksisterer der kun et punkt, nemlig x, som definerer snitpunktet for de to klasser. Hvis snittet producerer et rationelt tal, har vi hermed defineret det. Hvis det ikke producerer et rationelt tal, men falder mellem to rationelle tal, definerer vi det som et irrationalt tal. hver cirkels omkreds og længden af samme cirkels diameter. Dedekind nåede sine resultater allerede i 1858, men da det var ret kontroversielle resultater, publiceredes de først i bredere kredse i dedekinds forskningsprogram med at udtrykke de væsentligste matematiske begreber i de teorier, der anvendtes til beskrivelse af forhold i naturen i form af aritmetiske operationer på tal, førte så til en analyse af begrebet tal. For man måtte jo starte med de naturlige tal 1,2,3,4..., og hvad var det egentlig for noget? Dedekind indså, at man kunne definere disse ved at antage, at i hvert fald tallet 1 var et tal, og at der fandtes en funktion, der som sit input kunne tage et tal og som output levere et nyt, der også var et tal, og hvor der var lagt en enhed til. Hvis man altså startede med 1, så ville man få, at funktionen lad os kalde den S ville levere et tal, S(1), der så kunne kaldes 2, og da det var et tal, kunne det indgå, og man kunne tale om S(2), der så var 3 osv. Denne proces kunne køre ubegrænset. Men alt dette ser ud som om, vi alligevel definerer og analyserer tal med tal. samtidig med Dedekind havde matematikeren Georg Cantor ( ) udviklet en ny art matematisk teori, mængdelæren, der ikke udtalte sig om tal, men i al almindelighed om ansamlinger af genstande eller objekter. Det afgørende var, at man kunne operere med mængder uden at kende antallet af deres elementer. F.eks. kunne man afgøre, om to mængder havde samme antal elementer uden at behøve vide, hvor mange der var. Cantor kunne endda definere, hvad det ville sige, at der var uendeligt mange elementer i en mængde: nemlig at en sådan mængde havde del-mængder med lige så mange elementer som selve mængden. Et eksempel er jo, at i mængden af naturlige tal er der masser af delmængder, f.eks. mængden af lige tal, der også er uendeligt mange af. Endvidere kunne Cantor vise, at 214 E TA B L E R I N G E N A F D E V I D E N S K A B E L I G E D I S C I P L I N E R

7 en mængde af elementer altid har flere delmængder, end der er elementer i mængden, hvilket ville sige, at en uendelig mængde af elementer, f.eks. de naturlige tal, havde flere end uendeligt mange delmængder. Det forekom besynderligt. Men med mængdeteorien kunne Cantor og Dedekind definere vi kunne også sige konstruere de naturlige tal ud fra antagelsen om, at der fandtes bare én genstand i verden og også den mængde, som havde netop denne genstand som sit element. For hvis der var en genstand, så var der også en mængde med denne genstand som element. Men hvis en sådan mængde fandtes, så var det en ny genstand, og denne kunne så være element i en ny mængde osv. Den første mængde kunne vi kalde 0, den næste 1 og den næste igen 2 osv. Da de hele tiden ville være delmængder af hinanden, fik man en serie af mængder, der var ordnet. Man kunne tale om, at mængderne hele tiden havde et større og større antal elementer, og at de kunne ordnes i en rækkefølge og således tælles op. Der var således to slags tal: kardinaltal, der sagde noget om antal, og ordinaltal, der sagde noget om rækkefølge. Problemet var at finde et første element, som man kunne være sikker på eksisterede. Det blev den tomme mængde, man satsede på, for den kunne udtrykkes som mængden af genstande, der ikke var identiske med sig selv. Og det var der jo ingen genstande, der ikke var, ergo var mængden tom. Men mængden, der havde den tomme mængde som element, måtte så også eksistere, og så var processen i gang. Man kunne sige hokuspokus, og tallene var definerede. Man behøvede bare mængdeteorien og lidt logik. det så simpelt ud, men viste sig mere problematisk, end man skulle tro (se s. 262). I de følgende årtier blev der arbejdet meget med denne type analyser af grundlæggende matematiske begreber, begreber der var så grundlæggende, at de også var afgørende elementer i vores grundlæggende forståelse af verden. Især Dedekinds og Cantors grundlagsarbejde inden for matematikken og logikken har sidenhen ført til en lang række nye og højt avancerede formelle systemer med egne symboler og transformationsregler som kun ganske få mennesker kan forstå. ZFC-mængdelæren baserer sig for eksempel på 10 aksiomer, mens Bertrand Russell ( ) udviklede den såkaldte type-teori for at undgå de værste paradokser. det blev dog Gottlob Frege ( ), der gav et bud på, hvordan man kunne analysere selve tal-begrebet. Dermed skabte han også en sondring mellem at bidrage til viden inden for et givet domæne, og så bidra- E R G O N AT U RV I D E N S K A B E N S F I L O S O F I S K E H I S T O R I E 215

8 ge til forståelsen af de begreber, med hvilke man udtrykte og talte om denne viden. Det blev kimen til en afgørende ændring af forståelsen af forholdet mellem empirisk videnskab og filosofisk refleksion, eller analyse, som det kom til at hedde. Den sproglige vending i filosofien Den matematiker og filosof, som mere end nogen anden forsøgte at afklare begreberne, var tyskeren Gottlob Frege. Han er central, fordi han ses som den første teoretiker, der foretager det, der er blevet kaldt den sproglige vending. Han forsøger at løse problemer ved omhyggelig og detaljeret analyse af begreber og sprog, ved at gøre sig klart, hvad det egentlig er, vi siger og gør, når vi tænker. Han forstår ikke tænkning som en psykologisk aktivitet. Det, der interesserer ham, er derimod at afdække de logiske sammenhænge, der ligger bag, hvad vi siger, og de strukturer, der ligger i dette. Han betegnes ofte som filosoffernes filosof, da han er en uhyre krævende tænker, der bevæger sig på et uhørt højt teknisk og abstrakt niveau. Han formulerer nogle centrale teoretiske standpunkter, der er aldeles overraskende. De er karakteriseret dels ved, at nogle af dem er blevet stående som væsentlige filosofiske standpunkter, og dels ved, at det har været muligt at vise, at andre er forkerte. Frege er således en filosof og teoretiker, der foretager monumentalt væsentlige fejltagelser. Det er disse væsentlige fejltagelser, eftertiden lærer af. På den måde er udviklingen omkring Frege også et alternativ til hans kollega Friedrich Nietzsches ( ) opfattelse, at filosofien blot erstatter det ene sæt af metaforer med det andet uden at der i egentligste forstand vindes ny erkendelse. Rent fagvidenskabeligt er han grundlæggeren af den moderne logik, den såkaldte matematiske logik, idet han ønskede at bedrive logik på samme måde, som man bedrev matematik. Men han mente bestemt ikke, at logik var matematik derimod mente han, at matematik var logik. Freges projekt gik ud på at aflede hele aritmetikken og analysen fra logikken han var logicist. Han mente heller ikke, at logik havde noget med psykologi at gøre, tværtimod måtte psykologien også opfylde logikkens love. Således var tænkning ikke en indre håndtering af mentale entiteter begreber eller erkendelse via repræsentation af den ydre verden. Han var altså også imod det erkendelsesteoretiske projekt, som blev startet af Descartes ( E TA B L E R I N G E N A F D E V I D E N S K A B E L I G E D I S C I P L I N E R

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5 SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Henrik S. Hansen, version 1.5 Indhold Tallenes udvikling... 2 De naturlige tal... 2 De hele tal... 2 De rationale tal... 3 De reelle tal... 3 De komplekse tal... 4 Indledning...

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer formulere sig skriftligt og mundtligt om matematiske påstande og spørgsmål og have blik for hvilke typer af svar, der kan forventes (tankegangskompetence) løse matematiske problemer

Læs mere

Metoder og erkendelsesteori

Metoder og erkendelsesteori Metoder og erkendelsesteori Af Ole Bjerg Inden for folkesundhedsvidenskabelig forskning finder vi to forskellige metodiske tilgange: det kvantitative og det kvalitative. Ser vi på disse, kan vi konstatere

Læs mere

Her følger en række opmærksomhedsfelter i relation til undervisningens form og elevens læring:

Her følger en række opmærksomhedsfelter i relation til undervisningens form og elevens læring: BRØK 1 Vejledning Udvidelsen af talområdet til også at omfatte brøker er en kvalitativt anderledes udvidelse end at lære om stadigt større tal. Det handler ikke længere bare om nye tal af samme type, som

Læs mere

matematikhistorie og dynamisk geometri

matematikhistorie og dynamisk geometri Pythagoras matematikhistorie og dynamisk geometri med TI-Nspire Indholdsfortegnelse Øvelse 1: Hvem var Pythagoras?... 2 Pythagoras læresætning... 2 Geometrisk konstruktion af Pythagoræisk tripel... 3 Øvelse

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste at mestre for at kunne begå sig i (samt

Læs mere

Matematik. Læseplan og formål:

Matematik. Læseplan og formål: Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Matematik i AT (til elever)

Matematik i AT (til elever) 1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Matematik - undervisningsplan

Matematik - undervisningsplan I 4. klasse starter man på andet forløb i matematik, der skal lede frem mod at eleverne kan opfylde fagets trinmål efter 6. klasse. Det er dermed det som undervisningen tilrettelægges ud fra og målsættes

Læs mere

Fibonacci følgen og Det gyldne snit

Fibonacci følgen og Det gyldne snit Fibonacci følgen og Det gyldne snit af John V. Petersen Indhold Fibonacci... 2 Fibonacci følgen og Binets formel... 3... 4... 6... 6 Bevis for Binets formel... 7 Binets formel fortæller os, at...... 9...

Læs mere

Årsplan for matematik på mellemtrinnet 2015-2016 (Lærere: Ebba Frøslev og Esben O. Lauritsen)

Årsplan for matematik på mellemtrinnet 2015-2016 (Lærere: Ebba Frøslev og Esben O. Lauritsen) Årsplan for matematik på mellemtrinnet 2015-2016 (Lærere: Ebba Frøslev og Esben O. Lauritsen) Bog: Vi bruger grundbogssystemet Format, som er et fleksibelt matematiksystem, der tager udgangspunkt i læringsstile.

Læs mere

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Introduktion: Vi vil nu se på et konkret eksempel på hvordan man i praksis fordeler mandaterne i et repræsentativt demokrati,

Læs mere

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer Basis: Klassen består af 22 elever og der er afsat 4 ugentlige timer. Grundbog: Vi vil arbejde ud fra Matematrix 4, arbejds- og grundbog, kopisider, Rema, ekstraopgaver og ugentlige afleveringsopgaver

Læs mere

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 33 Årsprøven i matematik Årsprøve og rettevejledledning 34-35 36 og løbe nde Talmængder og regnemetoder Mundtlig matematik 37 Fordybelses uge 38-39 Procent - Gennemgå

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Guide til lektielæsning

Guide til lektielæsning Guide til lektielæsning Gefions lærere har udarbejdet denne guide om lektielæsning. Den henvender sig til alle Gefions elever og er relevant for alle fag. Faglig læsning (=lektielæsning) 5- trinsmodellen

Læs mere

Fagplan for faget matematik

Fagplan for faget matematik Fagplan for faget matematik Der undervises i matematik på alle klassetrin (0. - 7. klasse). De centrale kundskabs- og færdighedsområder er: I matematik skal de grundlæggende kundskaber og færdigheder i

Læs mere

Årsplan for matematik i 3. klasse

Årsplan for matematik i 3. klasse www.aalborg-friskole.dk Sohngårdsholmsvej 47, 9000 Aalborg, Tlf.98 14 70 33, E-mail: kontor@aalborg-friskole.dk Årsplan for matematik i 3. klasse Mål Eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

1gma_tændstikopgave.docx

1gma_tændstikopgave.docx ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

Årsplan for matematik 2012-13

Årsplan for matematik 2012-13 Årsplan for matematik 2012-13 Uge Tema/emne Metode/mål 32 Matematiske arbejdsmåder(metode) 33 Intro 34 Tal + talforståelse 35 Brøker-procent 36 Potens+kvadrat-og kubikrod 37 Emneuge 38 Ligninger-uligheder

Læs mere

Nye Fælles Mål og årsplanen. Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent

Nye Fælles Mål og årsplanen. Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent Nye Fælles Mål og årsplanen Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent Interview Find en makker, som du ikke kender i forvejen Stil spørgsmål, så du kan fortælle os andre om vedkommende ift.:

Læs mere

Årsplan for matematik i 1.-2. kl.

Årsplan for matematik i 1.-2. kl. Årsplan for matematik i 1.-2. kl. Lærer Martin Jensen Mål for undervisningen Målet for undervisningen er, at eleverne tilegner sig matematiske kompetencer og arbejdsmetoder jævnfør Fælles Mål. Eleverne

Læs mere

Fag- og indholdsplan 9. kl.:

Fag- og indholdsplan 9. kl.: Fag- og indholdsplan 9. kl.: Indholdsområder: Tal og algebra: Tal - regneregler og formler Størrelser måling, beregning og sammenligning. Matematiske udtryk Algebra - teoretiske sammenhænge absolut og

Læs mere

Filosofi. Studieleder: Lektor, mag.art. Poul Lübcke.

Filosofi. Studieleder: Lektor, mag.art. Poul Lübcke. Filosofi Studieleder: Lektor, mag.art. Poul Lübcke. Vi er alle i en vis forstand filosoffer, idet vi ofte tvinges til at gøre os de forudsætninger klare, hvorpå vor stilling til livets tilskikkelser og

Læs mere

forstå, arbejde med og analysere problemstillinger af matematisk art i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold

forstå, arbejde med og analysere problemstillinger af matematisk art i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold Årsplan for undervisningen i matematik på 4. klassetrin 2006/2007 Retningslinjer for undervisningen i matematik: Da Billesborgskolen ikke har egne læseplaner for faget matematik, udgør folkeskolens formål

Læs mere

Årsplan for 5. klasse, matematik

Årsplan for 5. klasse, matematik Årsplan for 5. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet så det

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5 Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: 33 Addition og subtraktion Anvendelse af regningsarter 34 Multiplikation og division Anvendelse af regningsarter 35 Multiplikation med decimaltal Anvendelse af

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Fagplan for matematik på Bakkelandets Friskole

Fagplan for matematik på Bakkelandets Friskole Fagplan for matematik på Bakkelandets Friskole Formål for faget matematik: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Programmering Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Oversigt Undervisningen Hvad er programmering Hvordan er et program organiseret? Programmering og fysik Nobelprisen

Læs mere

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Der arbejdes hen mod slutmålene i matematik efter 10. klassetrin. www.uvm.dk => Fælles Mål 2009 => Faghæfter alfabetisk => Matematik => Slutmål for faget

Læs mere

Evaluering af matematikundervisningen december 2014

Evaluering af matematikundervisningen december 2014 Evaluering af matematikundervisningen december 0 Evalueringen er udarbejdet på baggrund af et ønske om dokumentation for elevernes udbytte af matematikundervisningen. Af forskellige årsager er evalueringen

Læs mere

Projekt 4.1 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse

Projekt 4.1 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse ISBN 978-87-7066-498- Projekter: Kapitel 4 Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse

Læs mere

Årsplan for matematik 4. klasse 14/15

Årsplan for matematik 4. klasse 14/15 Årsplan for matematik 4. klasse 14/15 Status: 4.b er en klasse der består af ca. 20 elever. Der er en god fordeling mellem piger og drenge i klasser. Klassen har 5 matematiktimer om ugen. Vi fortsætter

Læs mere

Årsplan for matematik 10. klassetrin. 2012 2013 v. CJU

Årsplan for matematik 10. klassetrin. 2012 2013 v. CJU Årsplan for matematik 10. klassetrin 2012 2013 v. CJU Når dette skoleår er omme, så er det målet, at undervisningen har bidraget til, at formålet for faget er opfyldt: Formålet med undervisningen er, at

Læs mere

MATEMATIK. Formål for faget

MATEMATIK. Formål for faget Fælles Mål II MATEMATIK Formål for faget Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv

Læs mere

Animationer med TI-Nspire CAS

Animationer med TI-Nspire CAS Animationer med TI-Nspire CAS Geometrinoter til TI-Nspire CAS version 2.0 Brian Olesen & Bjørn Felsager Midtsjællands Gymnasieskoler Marts 2010 Indholdsfortegnelse: Indledning side 1 Eksempel 1: Pythagoras

Læs mere

Hvad er tal? Af Terese M. O. Nielsen

Hvad er tal? Af Terese M. O. Nielsen Hvad er tal? Af Terese M. O. Nielsen Hvad er tal?... 5 Indledning... 5 Emner - 1g... 6 Regning - tal og repræsentationer af tal... 6 Litteratur... 6 Potenstal - definitioner og beviste sandheder... 6 Oversigt

Læs mere

Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang.

Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang. Den tekniske platform Af redaktionen Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang. Teknologisk udvikling går således hånd i hånd med videnskabelig udvikling.

Læs mere

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for gymnasiet Bind 3 A-niveau af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen 4 Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for stx. Bind 3.

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen

Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen I dette kapitel beskrives det, hvilke Fælles Mål man kan nå inden for udvalgte fag, når man i skolen laver aktiviteter med Space Challenge.

Læs mere

Læseplan for matematik på Aalborg Friskole

Læseplan for matematik på Aalborg Friskole Læseplan for matematik på Aalborg Friskole LÆSEPLAN FOR MATEMATIK PÅ AALBORG FRISKOLE 1 1. FORLØB 1.-3. KLASSETRIN 2 ARBEJDET MED TAL OG ALGEBRA 2 ARBEJDET MED GEOMETRI 2 MATEMATIK I ANVENDELSE 3 KOMMUNIKATION

Læs mere

IZAK9 lærervejledning

IZAK9 lærervejledning IZAK9 lærervejledning Immersive learning by Copyright Qubizm Ltd. 2014 1 Indholdsfortegnelse Introduktion... 3 Øvelser og organisering... 3 Hvordan er opgaverne udformet?... 4 Opgaveguide Videofilm på

Læs mere

Benyt evt. programmeringsguiden Kør frem vælg sekunder i stedet for rotationer.

Benyt evt. programmeringsguiden Kør frem vælg sekunder i stedet for rotationer. Lego Mindstorms Education NXT nat1 nat april 2014 Dette dokument ligger på adressen: http://www.frborg-gymhf.dk/eh/oev/legonxtnat1nat2014.pdf Følgende er en introduction til Lego Mindstorms NXT. Her er

Læs mere

Innovations- og forandringsledelse

Innovations- og forandringsledelse Innovations- og forandringsledelse Artikel trykt i Innovations- og forandringsledelse. Gengivelse af denne artikel eller dele heraf er ikke tilladt ifølge dansk lov om ophavsret. Børsen Ledelseshåndbøger

Læs mere

Matematik, sprog, kreativitet og programmering. Lærervejledning. Stefan Mandal Winther VIA Center for Undervisningsmidler 01-05-2015

Matematik, sprog, kreativitet og programmering. Lærervejledning. Stefan Mandal Winther VIA Center for Undervisningsmidler 01-05-2015 Matematik, sprog, kreativitet og programmering 2015 Lærervejledning Stefan Mandal Winther VIA Center for Undervisningsmidler 01-05-2015 Indhold Indledning... 2 CFU og kodning i undervisningen... 2 Læringsmål

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

OM BEVISER. Poul Printz

OM BEVISER. Poul Printz OM BEVISER Poul Printz Enhver, der har stiftet bekendtskab med matematik selv å et relativt beskedent niveau, er klar over, at matematiske beviser udgør et meget væsentligt element af matematikken. De

Læs mere

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer Regneregler og Algebra. Læringsmål Faglige aktiviteter

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer Regneregler og Algebra. Læringsmål Faglige aktiviteter Fag: Matematik Hold: 26 Lærer: Harriet Tipsmark Undervisningsmål 9/10 klasse Læringsmål Faglige aktiviteter 33-35 Målet for undervisningen er, at eleverne tilegner sig gode matematiske færdigheder og at

Læs mere

Kaos og fraktaler i dynamiske systemer. Bodil Branner Institut for Matematik Danmarks Teniske Universitet (DTU)

Kaos og fraktaler i dynamiske systemer. Bodil Branner Institut for Matematik Danmarks Teniske Universitet (DTU) Kaos og fraktaler i dynamiske systemer Bodil Branner Institut for Matematik Danmarks Teniske Universitet (DTU) UNF Matematik Camp 2010 Oversigt tre simple eksempler på klassiske fraktaler deterministiske

Læs mere

Vikar-Guide. 1. Fælles gennemgang: Vikarguiden findes på side 5. 2. Efter fælles gennemgang: Venlig hilsen holdet bag Vikartimen.

Vikar-Guide. 1. Fælles gennemgang: Vikarguiden findes på side 5. 2. Efter fælles gennemgang: Venlig hilsen holdet bag Vikartimen. Vikar-Guide Fag: Klasse: OpgaveSæt: Fysik/Kemi 7. klasse Reaktionstid 1. Fælles gennemgang: Vikarguiden findes på side 5. 2. Efter fælles gennemgang: Venlig hilsen holdet bag Vikartimen.dk Hjælp os med

Læs mere

Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931

Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Kommentar til 1 Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Denne afhandling af den 24-årige Kurt Gödel er blevet en klassiker. Det er vist den eneste

Læs mere

5. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK

5. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK Lærer: SS Forord til faget i klassen Vi vil i matematik arbejde differentieret i hovedemnerne geometri, statistik og sandsynlighed samt tal og algebra. Vi vil i 5. kl. dagligt arbejde med matematisk kommunikation

Læs mere

HOT (i matematik-fysik)

HOT (i matematik-fysik) HOT (i matematik-fysik) Af Peter Limkilde, HOT (Højere Ordens Tænkning) bygger på en ide om, at evnen til at tænke abstrakt udvikles med alderen, og at man kan fremme den naturlige udvikling gennem målrettet

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin sommer 15 Institution VUC-vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik C Kofi Mensah 1maC05

Læs mere

Lærervejledning. Matematik i Hasle Bakker 4.-6. klasse

Lærervejledning. Matematik i Hasle Bakker 4.-6. klasse Lærervejledning Matematik i Hasle Bakker 4.-6. klasse Lærervejledning I Matematik for 4.-6. klasse sendes eleverne gruppevis ud i for at løse matematikopgaver med direkte afsæt i både natur og menneskeskabte

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

TW 2011/12. Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag. Formål for faget matematik:

TW 2011/12. Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag. Formål for faget matematik: TW 2011/12 Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag Formål for faget matematik: Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at

Læs mere

Kædebrøker. b 0 f.eks. 3 b 0 + a 1. f.eks. 3 + 1 b 1 7. a 1. b 1 + a f.eks. 3 + 1 7 + 1. f.eks. 3 + b 1 + a 2 7 + Notation: a 2 b 2 + an.

Kædebrøker. b 0 f.eks. 3 b 0 + a 1. f.eks. 3 + 1 b 1 7. a 1. b 1 + a f.eks. 3 + 1 7 + 1. f.eks. 3 + b 1 + a 2 7 + Notation: a 2 b 2 + an. Kædebrøker Naturvidenskabsfestivalen 2006 foredrag på Herning htx, 26. september Flemming Topsøe Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet b 0 f.eks. 3 b 0 + a 1 f.eks. 3

Læs mere

Formål for faget Matematik

Formål for faget Matematik Formål for faget Matematik Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

Svar nummer 2: Meningen med livet skaber du selv 27. Svar nummer 3: Meningen med livet er at føre slægten videre 41

Svar nummer 2: Meningen med livet skaber du selv 27. Svar nummer 3: Meningen med livet er at føre slægten videre 41 Indhold Hvorfor? Om hvorfor det giver mening at skrive en bog om livets mening 7 Svar nummer 1: Meningen med livet er nydelse 13 Svar nummer 2: Meningen med livet skaber du selv 27 Svar nummer 3: Meningen

Læs mere

Domænerne og den systemiske teori

Domænerne og den systemiske teori Domænerne og den systemiske teori Upubliceret artikel af Kit Sanne Nielsen og Sune Bjørn Larsen Juli 2005 I denne artikel vil vi gøre et forsøg på at gennemgå teorien om domænerne og den systemiske teoris

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin maj-juni 10/11 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold stx Matematik C Trille Hertz Quist 1.c mac Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere