Side 16. Man an tage den ansuelige formel (5.4) som udgangspunt for bestemmelse af integral over omdrejningsflade, idet udtryet for urveelementet tage

Størrelse: px

Starte visningen fra side:

Download "Side 16. Man an tage den ansuelige formel (5.4) som udgangspunt for bestemmelse af integral over omdrejningsflade, idet udtryet for urveelementet tage"

Viggo Lorentzen
7 år siden
Visninger:

1 Tilfjelser til Matematis Analyse, 4. udgave. Side 7. En vetor an indlρgges i et talrum af jere dimension ved tilfjelse af oordinater med vρrdien 0. Specielt: en vetor (a; b) i planen an ogsνa opfattes som en vetor (a; b; 0) i rummet. Side 150. Semaet an udvides med tre tilfρlde: Nr. Parameter Besrivelse af urven Kurveelement ds I t x X(t); y Y (t) II t % P (t); ' Φ(t) III x y Y (x) IV y x X(y) V ' % P (') VI % ' Φ(%) [X 0 (t)] +[Y 0 (t)] dt [P (t)φ 0 (t)] +[P 0 (t)] dt 1+[Y 0 (x)] dx [X 0 (y)] +1dy [P (')] +[P 0 (')] d' 1+[%Φ 0 (%)] d% Side 158. Man an tage den ansuelige formel (5.34) som udgangspunt for bestemmelse af integral over cylinderflade, idet udtryet for urveelementet tages fra flgende sema. (Det er det samme sema som det til side 150 rende). Nr. Parameter Besrivelse af urven Kurveelement ds I t x X(t); y Y (t) II t % P (t); ' Φ(t) III x y Y (x) IV y x X(y) V ' % P (') VI % ' Φ(%) [X 0 (t)] +[Y 0 (t)] dt [P (t)φ 0 (t)] +[P 0 (t)] dt 1+[Y 0 (x)] dx [X 0 (y)] +1dy [P (')] +[P 0 (')] d' 1+[%Φ 0 (%)] d%

2 Side 16. Man an tage den ansuelige formel (5.4) som udgangspunt for bestemmelse af integral over omdrejningsflade, idet udtryet for urveelementet tages fra flgende sema. (Det er en oversρttelse" af semaet rende til side 158). Nr. Parameter Besrivelse af urven Kurveelement ds I t % P (t); z Z(t) II t r R(t); (t) III % z Z(%) IV z % P (z) V r R( ) VI r (r) [P 0 (t)] +[Z 0 (t)] dt [R(t) 0 (t)] +[R 0 (t)] dt 1+[Z 0 (%)] d% [P 0 (z)] +1dz [R( )] +[R 0 ( )] d 1+[r 0 (r)] dr Side 167 Ionrete tilfρlde sriver man ofte x; y; z i stedet for r 1, r ; r 3. For Jacobi-determinanten an man da benytte de ortere v) y; : Side 17. Undersgelse af et uegentligt integral bestνar af fem sridt: (1) fortegnsovervejelse, () besρring af integrationsmρngde, (3) integration, (4) grρnsevρrdiundersgelse, (5) onlusion. Den prρcise formulering er givet i semaet pνa side 17. Bemρr, at fremgangsmνaden under I ogsνa an anvendes vis f ie er deneret pνa M eller ie er ontinuert pνa M. 3

3 Til afsnit 4.5. Taylors grρnseformel (side 7) an med lidt ρndrede betegnelser srives sνaledes f f(x + ) f(x) 1 f 0 (x) + f0(x) 1 f00 (x)+ f00 (x)+ f (x)+f X i1 f 0 i (x)+ 1 X i1 X j1 j f 00 ij (x)+"() : (x)λ + "() Bemρr, at vi af typograse grunde sriver f 0 i stedet for f0 1 x 1 ; etc. Hvis der ie er, men variable, fνar man analogt f i1 f 0 i (x)+ 1 i1 j1 j f 00 ij (x)+"() : Dette er altsνa Taylors grρnseformel med udvilingsorden n og med vilνarligt variabelantal. Bemρr, at den frste sum ogsνa an srives rf(x): Med enbli pνa bestemmelse af estremum vil vi nu anvende formlen med et stationρrt punt u som udvilingspunt. Den frste sum pνa jre side er da nul. Vi sρtter og fνar a ij f 00 ij (u); f 1 F () +"() ; F () i1 j1 j a ij : For at afgre sprgsmνalet om estremum sal vi undersge fortegnet for f for smνa vρrdier af : I denne undersgelse indgνar ogsνa fortegnet for F (), og dette an ie umiddelbart bestemmes, fordi der i F () indgνar led, der indeolder produter j. Vi vil derfor nu omsrive F () pνa en sνadan mνade, at der un indgνar vadrater. Λ Frst bemρres, at matricen A a ij er en symmetris matrix, jρvnfr sρtningen om ombytning af differentiationsrρeflgen, og at F () er en vadratis form. Indfres den til vetoren svarende sjlematrix,an man srive F () T A Af sρtning 8.4 i LA flger, at den vadratise form an srives vor 1 ;::: ; F () 1 + :::+ 1 e1 ;::: ; er egenvρrdierne for A, mens oprindelige ( 1 ;::: ; ) ved en ortogonal substitution. Specielt gρlder : ; er et nyt oordinatsρt, der fνas af det Man ar nu 1 + :::+ 1 + :::+ : f :::+ 1 + "() ; vorefter vi an disutere fortegnet for f for smνa vρrdier af. Der er flere tilfρlde at betragte. 4

4 1. Alle egenvρrdier er positive, d.v.s. matricen A er positiv denit. Ladnummereringen vρre sνaledes, at 1 er den mindste egenvρrdi. Vi fνar da f ::: "()Λ : + "() 1 1 e 1 + :::+ + "() Da "()! 0for! 0; og 1 > 0, vil [:::] vρre positiv, sνa snart er tilstrρelig lille. Altsνa f > 0 for 0 < <f; vilet betyder, at f ar egentligt minimum idetstationρre punt. er negativ denit.. Alle egenvρrdier er negative, d.v.s. matricen A Man gνar frem pνa principielt samme mνade som under punt 1. Nummereringen vρlges nu sνaledes, at 1 er den strste egenvρrdi, og man fνar da f» "()Λ : Heraf sluttes, at [:::] er negativ, sνa snart er tilstrρelig lille; og man nder, at f ar egentligt masimum i det stationρre punt. 3. Mindst én egenvρrdi er positiv, og mindst én er negativ, d.v.s. matricen A er indenit. Lad egenvρrdierne vρre sνaledes nummererede, at man ar 1 > 0og < 0. Vi udtryer vetoren idetildede oordinater og ar da specielt i 1 f + "( e 1 1 ; 0;::: ;0) e 1 for e1 ; 0;::: ; 0 ; i f e for 0;::: ;0; : For alle tilstrρelig smνa vρrdier af 1 + "(0;::: ; 0; ) 1 og bestemmes fortegnene for de betragtede funtionstilvρster af 1 ; enoldsvis : Det betyder, at der vilνarligt nρr ved det stationρre punt u ndes punter, vori der gρlder f > 0, og punter, vori der gρlder f < 0. Funtionen f an da veren ave masimum eller minimum i puntet u: 4. Mindst én egenvρrdi er nul, og de vrigar samme fortegn, d.v.s. matricen A er semidenit. Vi an forudsρtte en sνadan nummerering, at de p frste egenvρrdier er nul, medens resten er positive. (Er de negative, gνar man frem pνa lignende vis). Vi ar da f 1 p+1 p+1 + :::+ i + "() : Det frste led er strre end eller lig med nul. Vρlges vetoren nu sνaledes, at p+1 ::: 0; bestemmes fortegnet af funtionen "(), vorom vi intet ved. Der fνas derfor intet generelt udsagn om fortegnet for f for smνa vρrdier af : Altsνa an vi idettetilfρlde ie afgre sprgsmνalet om estremum i det stationρre punt pνa grundlag af de partielle afledede af anden orden. Resultatet af ovenstνaende overvejelser er gengivet i semaet side

5 Til afsnit 6. stamfuntionsbestemmelse Ved bestemmelse af en eventuel stamfuntion til et givet, ontinuert vetorfelt V pνa et νabent omrνade A R sal man ved brug af stamfuntionssρtningen frst pνavise, at der esisterer stamfuntioner; derefter bestemmer man en sνadan ved integration. Hvis man imidlertid pνa forνand ar en begrundet formodning om, at der esisterer stamfuntioner, an man ofte med fordel benytte en fremgangsmνade, der bestνar i, at man danner den funtion, der an vρre tale om, vorpνa der gres prve. Regningerne besrives i tilfρldet 3: 1. Den formodede stamfuntion er det tangentielle urveintegral af V langs en trappelinie fra et fast punt (ff; ; fl) A til det lbende punt (x; y; z), altsνa funtionen F 0 (x; y; z) Z x ff V x (;;fl)d + Z y V y (x; ; fl)d + Z z fl V z (x; y; )d; (x; y; z) A 1 ; jρvnfr (6.11). Puntet (ff; ; fl) vρlges sνa simpelt som muligt af ensyn til de regninger, der sal udfres. I mange tilfρlde an man benytte (0; 0; 0). Mρngden A 1 bestνar af de punter, som man an nνa med en trappelinie, der udgνar fra (ff; ; fl) ; og som elt ligger i A: Det an indtrρffe, at A 1 er en ρgte delmρngde af A.. Nνar man ar udregnet F 0 (x; y; z), bestemmes funtionens denitionsmρngde A : Denne an ave A 1 som ρgte delmρngde. 3. Derefter undersger man, om der gρlder V x ; V y V z for (x; y; z) i en nρrmere bestemt νaben mρngde A 3 : Er dette tilfρldet, ar man vist, at F 0 er en stamfuntion, og det givne vetorfelt er sνaledes et gradientfelt i A 3. Har man, omvendt, en formodning om, at der ie ndes stamfuntioner, br man primρrt sge at vise, at (6.8) ie er opfyldt. I nogle tilfρlde an det lade sig gre at nde en luet, styevis C 1 -urve K; sνaledes at Esempel. Givet vetorfeltet I V (x) dx 6 0: K V (x; y; z) y + yz ;x+ xz ; xyz ; (x; y; z) R 3 : Vi an benytte (ff; ; fl) (0; 0; 0) og danner frst ved indsρttelse fνas dernρst F 0 (x; y; z) Z x 0 V x (;0; 0) 0; V y (x; ; 0) x; V z (x; y; ) xy; 0d + Z y 0 x d + Z z 0 xy d [0] x 0 +[x ]y 0 + xy Λ z Vi sal nu gre prve og danner de partielle afledede af den fundne funtion: y + yz ; x + xz xyz: 0 xy + xyz : Prven stemmer, og F 0 er sνaledes en stamfuntion. Samtlige stamfuntioner fνas ved addition af en arbitrρr onstant til F 0. Alle regninger er gyldige for (x; y; z) R 3 : I dette tilfρlde er puntmρngderne A; A 1 ; A ; A 3 altsνa alle ens og lig med R 3. 6

6 Grundlaget for den ovenfor besrevne fremgangsmνade er flgende sρtning. Variant af stamfuntionssρtningen Lad V vρre et ontinuert vetorfelt pνa det νabne omrνade A R, og lad a vρre et fast punt i A. For vert punt x A vρlges en styevis C 1 -urve K fra a til x, sνaledes at KρA. Derefter dannes funtionen F 0 (x) Z K V (ο) dο 1. Hvis F 0 er differentiabel, dannes dens gradient, og vis der gρlder rf 0 (x) V (x) for alle x A; er V et gradientfelt. Samtlige stamfuntioner til V fνas som F 0 (x) +c, vor c er en arbitrρr onstant.. I modsat fald er V ie et gradientfelt. Som urve K an man benytte en trappelinie, altsνa (6.10) eller (6.11). Integration langs en ret linie er sρdvanligvis for uoversuelig, fordi man i (6.9) sal betragte alle vetoroordinater pνa én gang. Bemρr, at der sal gres prve. Integralet i sρtningen giver jo mening, uanset om V er et gradientfelt eller ie. 7

Relaterede dokumenter

Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side 1 af 10

Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side af 0 Bernoullis differentialligning Den logistise differentialligning er et esempel på en ie-lineær differentialligning Den logistise differentialligning