Fagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik 23. årgang, nr. 4, Maj 2014
|
|
- Nora Paulsen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 FAMØS Fagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik 23. årgang, nr. 4, Maj 2014
2 Redaktion Nilin Abrahamsen, Søren Wengel Mogensen, Jonathan Mills, Jingyu She, Martin Patrick Speirs
3 Indhold 3 Indhold Sidste blad? Leder Viètes formel Lærer på et handelsgymnasium Er du frisk, skarp og god til mennesker? Sidste bloks præmie- og ekstraopgave Sidste bloks præmie- og ekstraopgave Løsning af præmie- og ekstraopgave fra Famøs årgang 23, nr Løsning af præmie- og ekstraopgave 23. årgang, nr. 4
4 4 Leder Sidste blad? Redaktionen Endnu et akademisk år er ved at være slut. I Famøs glæder vi os til sommerferien, men vi er også bekymrede for fremtiden. Vi kom nemlig for nylig til den erkendelse, at friske kræfter er nødvendige, hvis Famøs fortsat skal eksistere. Et par redaktionmedlemmer skal udenlands, andre bliver snart kandidater. Redaktionen er meget snart for lille til, at bladet fortsat er levedygtigt. Vi håber, at nogle nye redaktører vil melde sig, så vi kan fortsætte Famøs. Hvis det skulle have din interesse, så henvend dig til redaktionen. Din hjælp vil være værdsat. Det er tid til, at yngre årgange sætter deres præg på bladet. I redaktionen har vi gennem de sidste år haft mange tanker om, hvad Famøs kunne, skulle, ville og burde, og på det seneste har vi diskuteret muligheden for helt eller delvis at skifte over til et internetbaseret Famøs. Det ville den nuværende redaktion være begejstret for, men om et eller to år er ingen af os i redaktionen længere. Så hvem er? Famøs Maj 2014
5
6 6 Viètes formel Jens Siegstad Vi skal i denne artikel vise Viètes formel. Theorem 1 (Viètes formel) 2 2 π = 2 = k=1 a k hvor a n = 2 + a n 1 for n > 1 og a 1 = Ovenstående formel blev vist i 1593 af Francois Viète ( ). Formlen er interessant idet den er det første eksempel på et uendeligt produkt og derudover også er den første formel til at udregne π (kilde [1]). Viète gav et rent geometrisk bevis hvor han sammenlignede arealer af regulære polygoner, med hhv. 2 n og 2 n+1 sider, indskrevet i en cirkel. For typer med hang til klassisk geometri anbefales det at kaste et blik på de sidste sider i kapitel 16 i [2] hvor man vha. en række opgaver guides til et geometrisk bevis der er tættere på Viètes oprindelige bevis. Derudover findes der i førnævnte kapitel et bevis for at π er irrational 1. For de læsere der ikke før har stiftet bekendtskab med uendelige produkter vil vi i det følgende definere konvergens af et uendeligt produkt. 1 I Famøs 22-2 kan du ligeledes finde et bevis for irrationalitet af π. Famøs Maj 2014
7 Jens Siegstad 7 Definition 2 Lad (u n ) være en følge af komplekse tal. Betragt følgen af partielle produkter n p n = u 1 u 2 u n = u j. j=1 Hvis følgen (p n ) har en grænseværdi, forskellig fra nul, når n da siger vi at det uendelige produkt n j=1 u j er konvergent med værdi p og vi skriver da at p = u j. j=1 Hvis et uendeligt produkt ikke er konvergent kaldes det divergent. Inden vi viser Viètes formel viser vi et par påstande som viser sig at være pænt anvendelige i beviset for denne ædle formel. Påstand 1 ( ) x sin x = 2 n n sin 2 n k=1 ( ) x cos 2 k. Bevis. Ved gentagen anvendelse af halveringsformlen for sinus finder vi at ( ) ( ) x x sin x = 2 sin cos 2 2 ( ) ( ) ( ) x x x = 4 sin cos cos ( ) x = 2 n n sin 2 n k=1 ( ) x cos 2 k 23. årgang, nr. 4
8 8 Viètes formel som ønsket. Nøjeregnende typer gennemfører naturligvis et induktionsbevis 2. Påstand 2 Der gælder at sin x x = k=1 ( ) x cos 2 k Bevis. Vi viser først at ( ) x lim n 2n sin 2 n Vi ved at sin x lim x 0 x = 1. Derved finder vi at ( ) 1 x x lim n 2n sin 2 n Heraf følger det at = lim n = x. ( ) x lim n 2n sin 2 n = x. sin ( x 2 n ) x 2 n = 1. Ved at kombinere ovenstående med Påstand 1 finder vi at sin x x = k=1 ( ) x cos 2 k (1) som ønsket. 2 En frisk indføring i induktionsbeviser med udgangspunkt i Caféen? Domino kan du finde i FAMØS Famøs Maj 2014
9 Jens Siegstad 9 Sætter vi x = π 2 i (1) finder vi at ( ) ( ) ( ( ) 2 π π π π π = cos cos cos cos ) 2 j+1... Ved at bruge den trigonometriske additionsformel for cosinus samt idiotformlen vises det let at ( ) x 1 + cos x cos = 2 2 for alle x [0, π 2 ]. Specielt haves at ( ) π 2 cos = 4 ( ) π cos = 8 ( π cos = 16) Ved at indsætte ovenstående værdier i (1) fås Viètes formel. Fedt nok! Et godt spørgsmål er så hvor hurtigt det uendelige produkt i Viètes formel konvergerer. Det konvergerer rent faktisk pænt hurtigt. Mere præcist gælder følgende Theorem 3 Definer følgen v n := n k=1 2 ( ) π cos 2 k årgang, nr. 4
10 10 Viètes formel Da gælder der at Bevis. Se side i 144 i [3]. 0 < v n 2 π < 1 2π n < n. Betragtes værdierne af følgen (2vn 1 ) får man for n = 21 en værdi af π som er korrekt til 12. decimal (se s. 145 i [3]). Vi har således fundet en metode til at udregne π som er ret så effektiv. Ulempen er dog at man skal udregne ret så mange kvadratrødder, hvilket typisk vil være ret så trælst hvis man sidder på en øde ø uden strøm på computeren! Lad os sammenligne med 2 af de vel nok mest kendte rækkefremstillinger for π. Vi betragter først Leibniz s formel π 4 = ( 1) n = 2n + 1. n=0 Ovenstående formel kan geometrisk fortolkes således: En fjerdedel af forholdet mellem omkreds og diameter er det samme som summen af de reciprokke ulige tal med alternerende fortegn. En anden kendt rækkefremstilling der involverer π er Eulers række π 2 6 = 1 n 2. n=1 Ovenstående rækkefremstilling udtrykker at summen af alle de reciprokke kvadrattal er endelig. Vi minder om at summen af de reciprokke naturlige tal samt summen af alle de reciprokke primtal er uendelig. Nok er der uendeligt mange kvadrattal, men de Famøs Maj 2014
11 Jens Siegstad 11 fordeler sig mindre tæt blandt de reelle tal end de naturlige tal samt primtallene. Begge disse formler har den umiddelbare fordel at de er relativt nemme at huske, fortolke og ikke mindst at vise. De har dog den umiddelbare ulempe at de konvergerer meget langsomt. For Leibniz s række gælder at, hvis man skal udregne π således at afvigelsen er af størrelsesordenen 10 k, skal man medtage ca k led (se s 144 i [3]) og for Eulers række skal man medtage omkring omkring 100 millioner led for at finde en værdi af π der er korrekt op til 7 decimalers nøjagtighed (se s 148 i [3]). Skal man vha. computerkraft udregne π med drabeligt mange decimaler skal man have fat i nogle langt mere harske rækker. En af de hurtigt konvergerende rækkefremstillinger er Ramanujan 3 s rækkefremstilling Puha! 1 π = 12 k=0 ( 1) k (6k)!( k) (3k)!(k!) k+3/2. Litteratur [1] Kent E. Morrison Cosine Products, Fourier Transforms, and Random Sum. Amer. Math. Monthly, 102, 1995, [2] Michael Spivak. Calculus. Third Edition, Publish or Perish Inc Bogen kan findes her freitz/spivak_3rd_ed.pdf [3] H.-D. Ebbinghaus, H. Hermes, F. Hirzebruch, M.Koecher, K.Mainzer, J.Neukirch, A.Prestel, R.Remmert.Numbers.,Springer Srinivasa Ramanujan ( ): Relativt habil indisk matematiker! 23. årgang, nr. 4
12 12 Viètes formel [4] %CF%80 Famøs Maj 2014
13 Jobopslag og tanker om jobbet 13 Lærer på et handelsgymnasium Kristian Peter Poulsen Når sommerferien står får døren, kan jeg se tilbage på et ualmindeligt lærerigt år som gymnasielærer. Et år, hvor jeg føler jeg har gjort en markant forskel og taget mig tid til at stoppe op, zoome ud og overveje, hvor det er jeg vil hen med min uddannelse. Min situation i juni 2013 Det hele startede tilbage i juni 2013, hvor jeg midt i den håbløse eksamenslæsning bliver kontaktet af handelsgymnasiet i min gamle hjemby Frederikshavn. De forklarer mig, at de har været udsat for en lidt pludselig opsigelse og derfor har brug for en matematiklærer til skoleåret 13/14. Jeg siger, at jeg vil overveje det og ringe tilbage dagen efter. De næste fem timer kommer jeg frem til en masse gode grunde til at jeg bør sige ja til jobtilbuddet: 1. Jeg er egentlig lidt træt af at tyre igennem det ene kursus efter den andet uden at stoppe op og overveje, hvad det egentlig er jeg lærer og hvorfor jeg lærer det. 2. Min morfar er syg og ham vil jeg meget gerne nå at være i nærheden af, thi min bror og jeg har et meget tæt bånd til vores morfar. 3. Jeg føler (på trods af, at jeg virkelig holder af mine medstuderende), at jeg trænger til noget frisk luft. Et pusterum fra de, synes jeg selv, mange ting jeg er en del af: Revyen, Famøs, S01, madsøster samt diverse andre arrangementer jeg synes jeg bør deltage i. 4. Jeg trænger til nogle penge. 23. årgang, nr. 4
14 14 Lærer på et handelsgymnasium 5. Jeg trænger til noget decideret frisk luft, hvor der ikke er bilos og over 10 km til den nærmeste skov. Der er dog også noget, som går mig på. Jeg skal nemlig være rusvejleder for tredje gang, og jeg kan selvfølgelig godt se, at det bliver svært, hvis jeg render rundt oppe i Nordjylland, når de nye studerende starter her i København. Jeg får derfor talt med mine medvejledere samt studieintroduktionskoordinatoren og forklarer situationen. Jeg ender med at lave en aftale med handelsgymnasiet om, at jeg ikke kan undervise i uge 35, fordi jeg vil være til stede i København, når de nye studerende starter. Udover det aftaler vi, at jeg en gang i mellem må tage fri for at komme til de forskellige arrangementer i forbindelse med rusintroduktionen. Udover det faktum at jeg var rusvejleder, så var der en anden ting, som gik mig meget på: Jeg tænkte på mine virkelig gode venner og veninder, som jeg ikke havde lyst til at forlade. På trods af de lidt negative ting endte jeg med at sige ja til jobbet, og det har jeg været rigtig glad for. Handelsgymnasiet vs. det almene gymnasium På handelsgymnasiet er matematik C obligatorisk for alle. Den eneste forskel fra det almene gymnasium til handelsgymnasiet er, at der på C-niveau ikke er noget trigonometri. Til gengæld er der mere statistik, end der er i gymnasiet og derudover også et forløb om rentes- og annuitetsregning. 4 Når man kommer op på B-niveau er der mere fokus på teorien og vægt på at bevise sætninger. På handelsgymnasiet skal man på B-niveauet også beskæftige sig med lineær programmering, og der gås endnu mere i dybden 4 Annuitetsregning, synes jeg er nice. Her kommer kvotientrækker ind i billedet. Famøs Maj 2014
15 Kristian Peter Poulsen 15 med statistik. 5 Til gengæld har man ikke integralregning før man får matematik på A-niveau i handelsgymnasiet. På A-niveauet beskæftiger man sig også med vektorregning, differentialligninger samt en smule kvadratisk optimering. Alt i alt minder de to gymnasiers matematikpensum uhyggeligt meget om hinanden. Trigonometrien rører man bare ikke rigtig ved på handelsgymnasiet. Det, mener jeg, er ganske rimeligt, eftersom ingen af eleverne formentlig regner med at blive ingeniør. Jeg må indrømme, at jeg er svært glad for det gennemgående princip om brugbarhed, som er i handelsgymnasiet. Vi lærer ikke eleverne noget uden at fortælle, hvad det bruges til. Det kan godt være, at de ikke skal ud og lave lineær regression i en bank, men til gengæld ligger der noget meget dybere bag ved. Jeg mener det er sundt, at eleverne ved hvorfor de lærer det, de nu engang lærer. I øvrigt ser jeg handelsgymnasiet som et springbræt til matematikøkonomi- eller aktuarstudiet. Sammenlagt mener jeg, at handelsgymnasiet på mange punkter er mere forberedende til et universitetsstudium i matematik end gymnasiet er. De dele af det almene gymnasiestof, som man ikke har, er erstattet af noget bedre (efter min mening). Desuden kommer fagene på mange naturlige måder til at spille godt sammen, hvilket skaber en god synergi, så eleverne hurtigere forstår stoffet. Handelsgymnasiet Frederikshavn Handelsgymnasiet Frederikshavn er et forholdsvis lille handelsgymnasium med ca. 400 elever og lidt over 30 lærere. Handelsgymnasiet hører ind under virksomheden Frederikshavn Handels- 5 Man arbejder bl.a. med konfidensintervaller for sandsynlighedsparameteren og χ 2 -test. 23. årgang, nr. 4
16 16 Lærer på et handelsgymnasium skole, som også huser HG og en kursusafdeling. Der er en rigtig fin kantine, hvor man kan forsyne sig med et bredt udvalg af retter og sund mad. Jeg er rigtig glad for mine kolleger. Jeg fik en varm velkomst ved skoleårets start, hvor jeg blev taget rigtig godt imod. Udover at alle mine kolleger er yderst hjælpsomme, så er en af de to andre matematiklærere knyttet til mig som mentor. Når der er noget, jeg er i tvivl om, så spørger jeg i første omgang min mentor. Jeg spørger hende til råds, hvis jeg mangler et eksempel fra virkeligheden til at forklare et matematisk fænomen. Det er også hende, jeg spørger, angående diverse formelle ting omkring eksamen eller lønforhold, som jeg ikke er 100% inde i. Hvad mener jeg der skal til? Jeg er glad for, at jeg havde tre års studietid i bagagen. Selvom det er "nemt"stof, vi arbejder med, så er det klart en fordel, at jeg hurtigt kan gennemtænke dygtige elevers dybdegående spørgsmål til stoffet. Jeg er usædvanlig glad for at formidle, og jeg tænker tit over, hvordan jeg formulerer mig i undervisningen og uden for undervisningen. 6 Sidst men ikke mindst, mener jeg, at der skal en stor portion selvtillid til. Man står foran 30 unge mennesker i alderen år, hvor de fleste af dem er vældig meget fremme i skoene. Jeg har derfor følt, at det har været rart (og sjovt på den gode måde), når jeg kunne svare eleverne igen, når de kommer med spydige og sjove kommentarer. 7 6 Da Frederikshavn med sine indbyggere er forholdsvis lille sammenlignet med Købenavn, så møder jeg ind i mellem mine elever. Det kan selvfølgelig være en fordel, for så kan jeg gå hen til den travlt optagede ungarbejder i Netto og spørge, "Undskyld, hvad koster den her uden moms?". 7 De skulle bare vide, hvad jeg kunne finde på at sige, hvis jeg ikke havde lærerkasketten på! Famøs Maj 2014
17 Kristian Peter Poulsen 17 Kort sagt mener jeg, at man bør være skarp, god til at formidle/forklare og have en god portion selvtillid. Fordele og ulemper Af de mindre gode ting ved jobbet vil jeg nævne: 1. Rette afleveringer. Når man har rettet de første 10 afleveringer, så begynder det at ligne hinanden. Det er dog altid en fornøjelse at rette en rigtig god aflevering. 2. Sidde med matematikbøger, som man synes er noget bras og ikke nødvendigvis have tid til at lave alt materiale selv. 3. Være væk fra København og sine venner. Selvom man selvfølgelig kan besøge dem og omvendt. Af de gode ting vil jeg nævne: 1. Jeg har fundet ud af, at lærerjobbet (eller lignende) passer rigtig godt til mig! 2. Jeg gør en forskel for nogle unge mennesker. Det er en fantastisk følelse, når C-niveauelever kommer over til en og spørger efter nogle flere beviser, fordi de synes det med beviser var ret fedt. Jeg har endda oplevet en elev, som surgte, hvad man kunne blive, hvis man læste matematik. 3. Jeg har en alsidig arbejdsdag, hvor jeg har forskellige slags arbejdsopgaver. 4. Jeg har været på to studieture. En til Bruxelles og en til København. 5. Jeg laver rent faktisk matematik i min hverdag. 6. Jeg har været på et par kurser og mødt ældre matematiklærere og talt med dem. 7. Jeg er blevet bedre til at TEX e. Jeg TEX er alle afleveringer, besvarelser og noter. 23. årgang, nr. 4
18 18 Lærer på et handelsgymnasium 8. Jeg er blevet bedre til at skrive på tavle/whiteboard. Det gælder både skriften og ikke mindst overblik over, hvad der står hvor. 9. Jeg har været på en studie-/hyggetur med alle lærerene til Berlin, hvor "alt"var betalt. 10. Eleverne synes jeg er den vildeste lærer, de nogensinde har mødt. Jeg er overbevist om, at de aldrig glemmer deres matematiklærer fra skoleåret 13/ Der er et dejligt kollegialt sammenhold mellem lærerne, som jeg kommer til at savne. Konklusion Jeg vil klart anbefale et job som lærer på Handelsgymnasiet Frederikshavn. Især hvis man har gået med tanken om at blive gymnasielærer, men også hvis man vil have et job, hvor man stadig arbejder med matematik. Efter sommerferien er jeg der ikke længere, og der er derfor en stilling som matematiklærer ledig. Ledelsen vil godt have en kandidat eller en studerende, som blot har mod på at prøve kræfter med et spændende og lærerigt job. De vil være behjælpelig med at finde bolig, hvis det skulle være et problem. Kontakt mig, hvis du har spørgsmål. mail: Famøs Maj 2014
19 Sidste bloks præmie- og ekstraopgave 19 Sidste bloks præmie- og ekstraopgave Nilin Abrahamsen Tusind tak til Thor Baatrup Kampmann, Sune Precht Reeh og Jesper Baldtzer Liisberg for deres flotte besvarelser af sidste bloks præmieopgave! Til Jesper vanker et gavekort til GAMES. Mange tak også til Sune for hans løsning af ekstraopgaven. Inden vi går i gang med at mæske os i Sunes løsninger kan vi lige minde os selv om ordlyden af de to opgaver: Sidste bloks præmieopgave (23. årgang nr. 3) De reelle tal x, y, z opfylder: x + y + z = 3 x 2 + y 2 + z 2 = 5 x 3 + y 3 + z 3 = 7 Hvad er x 4 + y 4 + z 4? Se næste side for ekstraopgaven, der for øvrigt opstod som en misforståelse af en opgave i kurset differentialligninger. 23. årgang, nr. 4
20 20 Sidste bloks præmie- og ekstraopgave Sidste bloks ekstraopgave (23. årgang nr. 3) Vi siger, at f : R R er en løsning til den autonome differentialligning x = v(x) (1) hvis f (t) = v(f(t)) for alle t R. Sætning 1 Hvis v C 1 (dvs. kontinuert differentiabel) på f(r), så er to forskellige løsninger f og g til (1) faktisk forskellige i hvert eneste punkt t. Således løser f(t) = t 3 ikke (1) hvis v C 1 (R), for så skulle funktionen g(t) = 0 også løse (1), og de to ville være sammenfaldende i t = 0 i modstrid med sætningen. Spørgsmål: Hvilke begrænsede funktioner på R er løsning til en ligning som (1), hvor v er C 1 på hele R? Du kan nøjes med at betragte f C (R). Famøs Maj 2014
21 21 Løsning af præmie- og ekstraopgave fra Famøs årgang 23, nr. 3 Sune Precht Reeh Løsning af præmieopgaven Et polynomium i n variable p(x 1,..., x n ) er symmetrisk hvis enhver ombytning af de variable i p giver det samme polynomium p som vi startede med. F.eks. er x 2 + y 2 + z 2 symmetrisk i tre variable, mens x 2 + y + z ikke er symmetrisk. En speciel familie af symmetriske polynomier er de såkaldte elementarsymmetriske polynomier i n variable. For n faste variable er der n elementarsymmetriske polynomier e 1,..., e n som er defineret ved e k (x 1,..., x n ) := 1 i 1 <i 2 < <i k n x i1 x i2 x ik. For at danne e k tager vi således hvert produkt af k af de variable og lægger alle produkterne sammen. Polynomiet e k er oplagt symmetrisk i de n variable. Eksempel 1 Med tre variable x, y, z har vi de følgende tre elementarsymmetriske polynomier: e 1 (x, y, z) = x + y + z, e 2 (x, y, z) = xy + xz + yz og e 3 (x, y, z) = xyz. 23. årgang, nr. 4
22 22 Løsning af præmie- og ekstraopgave fra Famøs årgang 23, nr. 3 De elementarsymmetriske polynomier er gode at kende, idet en velkendt 8 sætning om symmetriske polynomier siger: Sætning 2 Ethvert symmetrisk polynomium i n-variable kan på entydig måde udtrykkes som et polynomium med hensyn til de elementarsymmetriske e 1,..., e n. Hvis p er symmetrisk i n variable, findes altså et andet (ikke nødvendigvis symmestrisk) polynomium q i n variable sådan at p = q(e 1, e 2,..., e n ). Når man skal løse en opgave med symmetiske polynomier er det derfor typisk nok at opskrive alle udtryk ved hjælp af de elementarsymmetriske polynomier. Eksempel 3 (generel løsning af præmieopgaven) I formuleringen af præmieopgaven indgår fire polynomier, lad os kalde dem p 1,..., p 4, hvor p k (x, y, z) = x k + y k + z k. De fire polynomier er alle symmetriske. Vi har med det samme at p 1 = e 1. Hvis vi dernæst udregner (e 1 ) 2, får vi (e 1 ) 2 = (x + y + z) 2 = p 2 + 2e 2 og altså p 2 = (e 1 ) 2 2e 2 eller e 2 = 1 2 (p 1) p 2. 8 Wikipedia har på nuværende tidspunkt, d. 28/3 2014, intet mindre end tre forskellige beviser for sætningen. Se Elementary_symmetric_polynomial Famøs Maj 2014
23 Sune Precht Reeh 23 Hvis man husker sin Pascals pyramide 9, så er (e 1 ) 3 = (x + y + z) 3 = (x 3 + y 3 + z 3 ) + 3(x 2 y + x 2 z + y 2 x + y 2 z + z 2 x + z 2 y) + 6xyz = p 3 + 3e 1 e 2 3e 3. Dermed er p 3 = (e 1 ) 3 3e 1 e 2 + 3e 3, eller alternativt e 3 = 1 3 p (e 1) 3 + e 1 e 2 = 1 3 p (p 1) p 1p 2. Til sidst ser vi på (e 1 ) 4 hvor vi (med nogle mellemregninger i hånden) får (e 1 ) 4 = p 4 + 4e 2 (e 1 ) 2 4e 3 e 1 2(e 2 ) 2. Nu isolerer vi p 4 og indsætter vores tidligere udregninger: p 4 = (e 1 ) 4 4e 2 (e 1 ) 2 + 4e 3 e 1 + 2(e 2 ) 2 = (p 1 ) 4 4( 1 2 (p 1) p 2)(p 1 ) 2 + 4( 1 3 p (p 1) p 1p 2 )p 1 + 2( 1 2 (p 1) p 2) 2 = 1 6 (p 1) 4 (p 1 ) 2 p p 1p (p 2) 2. I opgaven ved vi nu at der for x, y, z gælder at p 1 = 3, p 2 = 5 og p 3 = 7. Vi indsættelse ovenfor får vi dermed p 4 = = 9. 9 Ligesom Pascals trekant, bare for udregning af (x + y + z) k i stedet for (x + y) k. 23. årgang, nr. 4
24 24 Løsning af præmie- og ekstraopgave fra Famøs årgang 23, nr. 3 Løsning af ekstraopgaven Antag først at f : R R er en løsning til differentialligningen x = v(x), dvs. f (t) = v(f(t)) for alle t R, for passende valg af C 1 -funktion v : R R. Hvis dette skal give mening, må f i det mindste antages at være differentiabel. 10 Antag desuden at f er begrænset. Udtrykket v(f(t)) er en sammensætning af to differentiable funktioner, og er derfor differentiabelt med hensyn til t i ethvert punkt. Funktionen f er altså 2 gange differentiabel, med f (t) = v (f(t)) f (t) for alle t R. Da f er differentiabel, er f også kontinuert, så højresiden ovenfor er et produkt af kontinuerte udtryk; f er således en C 2 -funktion. Hvis der på noget tidspunkt gælder f (t 0 ) = 0, så er v(f(t 0 )) = 0, og dermed vil den konstante funktion t f(t 0 ) være løsning for samme v som f, og de to funktioner har punktet (t 0, f(t 0 ) til fælles. Per entydighedssætningen i opgaven vil forskellige løsninger (for et givet valg af v) være forskellige i ethvert punkt. Den eneste mulighed er dermed at f er lig den konstante funktion f(t) = f(t 0 ) overalt. De konstante funktioner t a vil omvendt altid løse differentialligningen hvor v : R R er nulfunktionen v(x) = 0. Vi antager derfor herefter at f ikke er konstant, og dermed at f (t) 0 overalt. Idet f er kontinuert, må der således gælde at f (t) > 0 for alle t R eller f (t) < 0 for alle t R. Lad os betragte tilfældet f (t) > 0 idet det andet tilfælde behandles analogt. 10 Opgaven tillader godt nok at vi antager at f er C, men hvor er det sjove i det? Famøs Maj 2014
25 Sune Precht Reeh 25 Funktionen f er begrænset, så både a := inf f(r) og b := sup f(r) definerer reelle tal. Fordi f er strengt voksende, ved vi desuden at a = lim f(t), og b = lim f(t). t t Da v er antaget at være C 1 på hele R, har vi yderligere grænseværdier: f (t) = v(f(t)) { v(a) v(b) f { (t) v f (t) = (a) v (f(t)) v (b) { for t { for t Da f er begrænset, må det desuden gælde at f (t) rent faktisk går mod 0 for t ±, dvs. at v(a) = v(b) = 0. Vi påstår nu at vi har fundet de egenskaber der kendetegner en løsning f. Lad os derfor antage at vi er givet en vilkårligt funktion f : R R der opfylder følgende krav: Funktionen f : R R er begrænset C 2 -funktion, og f (t) > 0 for alle t R. Der gælder lim t ± f (t) = 0 og begge grænseværdier f (t) lim t f (t) f (t) og lim t f (t) eksisterer og er endelige. Vi viser nu at under disse antagelser om f, vil f være en løsning til differentialligningen for passende valg af C 1 -funktion v : R R. For det første, idet f er begrænset og strengt voksende, kan vi definere a = lim t f(t) og b = lim t f(t) som tidligere. 23. årgang, nr. 4
26 26 Løsning af præmie- og ekstraopgave fra Famøs årgang 23, nr. 3 Funktionen f afbilder så R bijektivt over på intervallet (a, b). Lad g : (a, b) R være invers til f. Fordi f er C 1 og f (t) > 0 for alle t R, vil g også være C 1, og g (x) = 1/f (g(x)) > 0 for alle a < x < b. Vi definer dernæst en funktion η : (a, b) R givet ved η(x) := 1 g (x) = f (g(x)). Funktionen η er tydeligvis kontinuert på (a, b), og idet f er C 2 får vi endda η (x) = f (g(x)) g (x). Det ses at η er kontinuert, så η er i det mindste C 1 på intervallet (a, b). Nu skal vi bare udvide η til resten af R. Nu kommer antagelserne om grænseværdier i spil, for når x går mod a eller b, vil g(x) går mod henholdsvis og. Der gælder derfor at η(x) = f (g(x)) 0 for x a, b η (x) = f (g(x)) g (x) = f (g(x)) f (g(x)) { c d for x { a b hvor c og d er reelle tal. Vi kan således udvide η til en C 1 -funktion v på hele R: c (x a) for x a, v(x) := η(x) for a < x < b, d (x b) for x b. Af de udregninger vi allerede har lavet, ses at f (t) = η(f(t)) = v(f(t)) for alle t R. Famøs Maj 2014
27
28 FAMØS Famøs Maj 2014 Fagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik ved Københavns Universitet Illustrationer: Nilin Abrahamsen (Forside) Deadline for næste nummer: 1. oktober 2014 Indlæg modtages gerne og bedes sendt til gerne i L A TEX og gerne baseret på skabelonen som kan hentes på hjemmesiden. Famøs er et internt fagblad. Eftertryk tilladt med kildeangivelse. Fagbladet Famøs c/o Institut for Matematiske Fag Matematisk Afdeling Universitetsparken København Ø Oplag: 300 stk. Tryk: Frydenberg A/S ISSN: årgang, nr. 4, Maj 2014
Lærer på et handelsgymnasium Kristian Peter Poulsen
Jobopslag og tanker om jobbet 13 Lærer på et handelsgymnasium Kristian Peter Poulsen Når sommerferien står får døren, kan jeg se tilbage på et ualmindeligt lærerigt år som gymnasielærer. Et år, hvor jeg
Læs mereViètes formel Jens Siegstad
6 Viètes formel Jens Siegstad Vi skal i denne artikel vise Viètes formel. Theorem 1 (Viètes formel) π = = a k + + hvor a n = + a n 1 for n > 1 og a 1 =. +... Ovenstående formel blev vist i 1593 af Francois
Læs mereFagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik
FAMØS Fagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik ved Københavns Universitet Illustrationer: Nilin Abrahamsen (Forside) Deadline for næste nummer: 1. oktober 2014 Indlæg modtages gerne og bedes
Læs mereEn differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby
24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs merePotensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen
Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereUndervisningsevaluering Kursus
Undervisningsevaluering Kursus Fag: Matematik A / Klasse: tgymaauo / Underviser: Peter Harremoes Antal besvarelser: ud af = / Dato:... Elevernes vurdering af undervisningen Grafen viser elevernes overordnede
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereMeditation over Midterbinomialkoefficienten
18 Juleeventyr Meditation over Midterbinomialkoefficienten En rusrejse fra en fjern juletid Frederik Ravn Klausen, Peter Michael Reichstein Rasmussen Ved juletid for ikke så længe siden faldt tre russer
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen
Læs mereRustur, campusuge og frafald Søren Wengel Mogensen
4 Analyse Rustur, campusuge og frafald Søren Wengel Mogensen Den seneste tid har budt på studiestart, og først og fremmest skal der lyde et stort velkommen til de nye studerende. Det er ikke sikkert, at
Læs mereSupplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at
Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mere1: Hvilket studium er du optaget på: 2: Hvilke af nedenstående forelæsninger har du deltaget i?
1: Hvilket studium er du optaget på: 2: Hvilke af nedenstående forelæsninger har du deltaget i? 3: Hvis du har deltaget i mindre end halvdelen af kursusgangene bedes du venligst begrunde hvorfor har deltaget
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2013/14 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen 7Ama1V13
Læs mereTallet π er irrationalt Jens Siegstad
32 Tallet π er irrationalt Jens Siegstad At tallet π er irrationalt har været kendt i pænt lang tid Aristoteles postulerede det da han påstod at diameteren og radius i en cirkel er inkommensurable størrelser
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold December 2015 vinter VUC Vestegnen stx Mat A Gert Friis
Læs mereMatematiske metoder - Opgavesæt
Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2015 Institution VUC Vest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 14MACB11E14
Læs mereKomplekse tal og algebraens fundamentalsætning.
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes
Læs mereBesvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03
IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos
Læs mereUendelige rækker og Taylor-rækker
Uendelige rækker og Taylor-rækker Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 200 Thomas Bolander, FUKBH 0 s. /24 Forhold mellem endelighed
Læs mereMatematik for stx C-niveau
Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx
Læs mereMATEMATIK B. Videooversigt
MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.
Læs mereLokalt ekstremum DiploMat 01905
Lokalt ekstremum DiploMat 0905 Preben Alsholm Institut for Matematik, DTU 6. oktober 00 De nition Et stationært punkt for en funktion af ere variable f vil i disse noter blive kaldt et egentligt saddelpunkt,
Læs mereHer er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?
Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange
Læs mereDifferentialregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel
Læs mereDet er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.
Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår
Læs mereDer anvendes ikke blandet tal, men uægte brøker. Ikke så vigtigt (bortset fra beløb). Alle decimaler skal med i mellemregninger.
Faglige Områder Tal og brøker Der anvendes blandet tal. Der anvendes ikke blandet tal, men uægte brøker. Anvender brøker Anvender både blandet tal og brøker. Antal cifre Der skal afrundes til et passende
Læs mereGeometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit
Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer
Læs mereMatema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen
Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj, 2018 Institution Vid Gymnasier, Handelsgymnasium Rønde Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik
Læs merePolynomiumsbrøker og asymptoter
Polynomiumsbrøker og asymptoter Frank Villa 9. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 14/15 Hf
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 2009 Institution Silkeborg Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik, niveau
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 2014 Institution Vid Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik A Hasse Rasmussen
Læs mereKalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015
Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg GSK Matematik
Læs mereKomplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereMM502+4 forelæsningsslides
MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for
Læs mereNoter til Computerstøttet Beregning Taylors formel
Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Arne Jensen c 23 1 Introduktion I disse noter formulerer og beviser vi Taylors formel. Den spiller en vigtig rolle ved teoretiske overvejelser, og også
Læs mereIdenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig
Analyse : Eulers formel Sebastian rsted 9. maj 015 Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig for øje, hvor de matematiske resultater kommer fra, og hvad de baseres på;
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 5
ANALYSE, 204, Uge 5 Afleveringsfrist for Prøve 2 er Tirsdag den 20/5 kl 0:5. Forelæsninger Tirsdag Vi går videre med Afsnit 4 om uniform konvergens af Fourierrækker, hvor hovedsætningen er Sætning 4.3.
Læs mereFordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker
Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Arne Jensen 7. 11. marts 2005 1 Indledning I forbindelse med kurset i Reelle og Komplekse Funktioner afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj, 2015 Institution Vid Gymnasier, Rønde Handelsgymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik
Læs mereDifferentialkvotient af cosinus og sinus
Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises
Læs mereTaylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium
Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium
Læs mereUndervisningsmiljøvurdering
Undervisningsmiljøvurdering på Margrethe Reedtz Skolen 2014 Afviklet på Margrethe Reedtz Skolen i marts 2014 Spørgsmål af Anette Næsted Nielsen og Morten Mosgaard Tekst og grafik af Morten Mosgaard Ryde
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2018/19 Institution Vid Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik A Hasse Rasmussen
Læs mereDe rigtige reelle tal
De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereog til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.
Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereUndervisningsbeskrivelse for Matematik A 2. E 2011/2012
Undervisningsbeskrivelse for Matematik A 2. E 2011/2012 Termin Undervisningen afsluttes den 16. maj 2012 Skoleåret hvor undervisningen har foregået: 2011-2012 Institution Skive Teknisk Gymnasium Uddannelse
Læs merematx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring
mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten
Læs mereGruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.
Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2014 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 7Bma1S14
Læs mereIndhold. Litteratur 11
Indhold Forord ii 00-sættet 1 Opgave 1....................................... 1 Spørgsmål (a).................................. 1 Spørgsmål (b).................................. 1 Spørgsmål (c)..................................
Læs mereAnalyse 1, Prøve 2 Besvarelse
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet maj Analyse, Prøve Besvarelse Opgave (3%) (a) (%) Bestem mængden af x R for hvilke rækken ( + (x) n ) er konvergent og angiv sumfunktionen
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra
Tip til. runde af - Algebra, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en særlig teoretisk indføring, men der er i stedet fokus
Læs mereBesvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 23 Besvarelse, Eksamen Analyse, 23 Opgave Lad, for n N, funktionen f n : [, ) R være givet ved NB. Trykfejl. Burde være x. f n (x)
Læs mereHer skal du lære om 1. Talfølge og talrække 2. Afsnitssum 3. Konvergens 4. Konvergente rækker har små led 5. Regneregler
Oversigt [S] 8.2 Her skal du lære om. Talfølge og talrække 2. Afsnitssum 3. Konvergens 4. Konvergente rækker har små led 5. Regneregler Calculus - 2003 Uge 4. - Uendelig række Definition Givet en talfølge
Læs mereEn Maple time med efterfølgende elevgruppe diskussion og refleksionssamtale med lærer.
Bilag 5 En Maple time med efterfølgende elevgruppe diskussion og refleksionssamtale med lærer. Indledning Vi har som led i projektet observeret en del lektioner, med helt eller delvis fokus på Maple-brug.
Læs mereUddrag fra HE rapport
Uddrag fra HE rapport Tabel A viser elevernes vurdering af, om de føler de har oplevet et anderledes skoleår i forhold til deres tidligere skoleår i folkeskolen. Tabel A Føler du at du har oplevet et anderledes
Læs mereLektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.
Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).
Læs mereEvaluering af Styr Livet Kursus
Evaluering af Styr Livet Kursus 1. Skriv på et blad, hvad du har fået ud af kurset sæt det på plakaten! Jeg synes kurset indeholder mange gode redskaber til at lære sig selv at kende Jeg er blevet mere
Læs mereMatematiske metoder - Opgaver
Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.
Læs mereAvisforside. Vi har skrevet en avis om studier ved Aarhus Universitet
Avisforside Vi har skrevet en avis om studier ved Aarhus Universitet Vi vil meget gerne høre dine umiddelbare tanker om forsiden til avisen. Hvad forventer du dig af indholdet og giver den dig lyst til
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 11/12 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Matematik
Læs mereUGESEDDEL 10 LØSNINGER. = f
UGESEDDEL 10 LØSNINGER Theorem 1. Algoritme for løsning af max f(x, y) når g(x, y) c. Dan Lagrange-funktionen: L (x, y) = f(x, y) λ(g(x, y) c). Beregn de partielle afledte af L og kræv at de begge er nul:
Læs mereS: Mest for min egen. Jeg går i hvert fald i skole for min egen.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 Notater fra pilotinterview med Sofus 8. Klasse Introduktion af Eva.
Læs mereAnalyse 1, Prøve 4 Besvarelse
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 2011 1 Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse Lad Opgave 1 (50%) M = {T R 2 T er en åben trekant} og lad A : M R være arealfunktionen, dvs.
Læs mereEVALUERING FRA BESØGENDE ANTAL BESØGENDE 8.406 ANTAL BESVARELSER 3.523
EVALUERING FRA BESØGENDE ANTAL BESØGENDE 8.406 ANTAL BESVARELSER 3.523 ALLE BESØGENDE TOTAL : 8.406 4% 3% 13% 38% Økonomi, revision, business & marketing Jura, Politik & Samfund 30% 21% Studerende på 1.
Læs mereForslag til rosende/anerkendende sætninger
1. Jeg elsker dig for den, du er, ikke kun for det, du gør 2. Jeg elsker din form for humor, ingen får mig til at grine som dig 3. Du har sådan et godt hjerte 4. Jeg elsker at være sammen med dig! 5. Du
Læs mereAnalytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen
Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger
Læs mereπ can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af π
can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af. Oprindelsen til symbolet Første gang vi møder symbolet som betegnelse for forholdet mellem en cirkels omkreds
Læs mereTal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.
1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber
Læs mereVarmeligningen og cosinuspolynomier.
Varmeligningen og cosinuspolynomier. Projekt for MM50 Marts 009 Hans J. Munkholm 0. Praktiske oplysninger Dette projekt besvares af de studerende, som er tilmeldt eksamen i MM50 uden at være tilmeldt eksamen
Læs mereOpgave 1. Hvilket af følgende tal er størst? Opgave 2. Hvilket af følgende tal er mindst? Opgave 3. Hvilket af følgende tal er størst?
Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en teoretisk indføring, men der er i stedet fokus på at illustrere nogle centrale
Læs mereEgenskaber ved Krydsproduktet
Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereBilag 4: Elevinterview 3
Bilag 4: Elevinterview 3 Informant: Elev 3 (E3) Interviewer: Louise (LO) Interviewer 2: Line (LI) Tid: 09:01 LO: Hvordan er en typisk hverdag for dig her på gymnasiet? E3: Bare her på gymnasiet? LO: Mmm.
Læs mereSætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med
Oversigt [S] 3.5, 11.5 Nøgleord og begreber Kædereglen i en variabel Kædereglen to variable Test kædereglen Kædereglen i tre eller flere variable Jacobimatricen Kædereglen på matrixform Test matrixform
Læs mereAdditionsformlerne. Frank Villa. 19. august 2012
Additionsformlerne Frank Villa 19. august 2012 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereOm at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet
Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet Hans Hüttel 27. oktober 2004 Mathematics, you see, is not a spectator sport. To understand mathematics means to be able to do mathematics.
Læs mereMatematisk induktion
Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag
Læs mereaf koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning
EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens
Læs mereLineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger
enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Dec 2015 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B, halvårshold Dorte
Læs mere