Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning Marianne Frank Hansen, Martin Eggert og Peter Stephensen

Transkript

1 Danmarks fremidige befolkning Befolkningsfremskrivning 27 Marianne Frank Hansen, Marin Egger og Peer Sephensen December 27

2 Indholdsforegnelse Danmarks fremidige befolkning... Befolkningsfremskrivning Indholdsforegnelse... Forord...4. Indledning...5. Opbygningen af befolkningsmodellen Viale begivenheder Befolkningsfremskrivningsmodellen Befolkningen fordel på alder og køn Befolkningen fordel på alder, køn og oprindelse Besemmelsen af viale begivenheder Eksogene og paramere i fremskrivningsmodellen Daa Primær daa Befolkningsfremskrivning Dødelighed og forvene leveid Lee-Carer meoden Esimaion af Lee-Carer modellen Valg af daaperiode Esimaionsresulaer Korrekioner af fremskrivningsmeoden Resulaer af fremskrivningen Udviklingen i dødeligheden for de enkele aldersgrupper Resleveid Definiion af resleveid Resleveidsudviklingen for mænd Resleveidsudviklingen for kvinder... 48

3 Side 2 af Fremidig udvikling i den aldersbeingede resleveid Sammenfaning af resulaer om resleveidssigning Fødsler og Ferilie Hisorisk udvikling i fødsler og ferilie Meode il fremskrivningen af aldersbeingede ferilieskvoiener Esimaion af den aldersbeingede ferilie for de sore grupper Besemmelse af ferilieskvoiener for de øvrige befolkningsgrupper Konvergens af ferilie på lang sig Fremskrivningsresulaer Udviklingen i den aldersbeingede ferilie Sammenligning med ferilieen i 24- og 26- befolkningsfremskrivningen Nyfødes fordeling på oprindelsesgrupper Indvandring, udvandring og sasborgerskab Indvandring fra mere og mindre udviklede lande Udviklingen i indvandringen Fremskrivning af indvandringen Indvandrere uden dansk sasborgerskab Aldersfordelingen af indvandringen af personer uden dansk sasborgerskab Genindvandring Udvandring Sasborgerskabsskif Resulaer Udviklingen i den samlede befolkning Indvandring og udvandring Befolkningsgrupperne Aldersfordeling Sammenligning med fremskrivning fra Udviklingen i den samlede befolkning... 96

4 Side 3 af Udvikling i forsørger- og ældrekvoe Sammenligning med Danmarks Saisiks befolkningsfremskrivning Referencer...4

5 Side 4 af 6 Forord DREAM har siden 999 årlig udarbejde landsdækkende befolkningsfremskrivninger. Daakilder, forudsæninger og beregningsmeode beskrives her sammen med de væsenligse resulaer af 27- fremskrivningen. Borse fra visse mindre ændringer er nærværende fremskrivning i så vid omfang som mulig en opdaering af fremskrivningen fra 26, hvor opdaeringen besår af den regisrerede udvikling i befolkningen frem il primo 27. Der laves sids i papire en sammenligning med fremskrivningen fra sidse år. Befolkningsudviklingen er i overenssemmelse med idligere år skreve år frem i iden. De skal undersreges, a usikkerheden på befolkningsfremskrivningen er hasig voksende i fremskrivningens længde. Der er så sor usikkerhed ved især de langsigede skøn, a resulae førs og fremmes skal forolkes som en illusraion af befolkningsudviklingen og dens sammensæning for de givne sæ anagelser, der anvendes. Peer Sephensen

6 Side 5 af 6. Indledning Befolkningsfremskrivninger har fåe en sadig mere fremrædende placering ved faslæggelse af den økonomiske poliik og ved cenrale besluninger i f.eks. privae pensionsselskaber. Derfor er der også i de senese år komme mere fokus på de anvende meoder og modeller. DREAM har udarbejde befolkningsfremskrivninger siden 999, og disse er løbende bleve dokumenere i forbindelse med beskrivelse af resulae af den akuelle fremskrivning. Der er gradvis ske en udbygning af de anvende meoder. Formåle med denne publikaion er a dokumenere de anvende meoder i DREAMs befolkningsfremskrivningsmodel og de daagrundlag, der ligger il grund for modellen. Endvidere præseneres resulaerne af dee års fremskrivning. Endelig sammenlignes dee års fremskrivning med fremskrivningen fra 26 og forskellene dekomponeres i effeker fra henholdsvis ændre ferilie, dødelighed og andre forhold. Dokumenaionen er organisere på følgende måde: I dee kapiel gives e førse overblik over modellen. I kapiel 2 opsilles den anvende befolkningsfremskrivningsmodel formel, og der redegøres for dimensionen af modellen sam de eksogene variable der faslægges ved esimaion på den hisoriske udvikling. I kapiel 3 præseneres de anvende daakilder og cenrale demografiske begreber defineres. Afsni 4 er en beskrivelse af udviklingen af dødeligheden i Danmark gennem de senese århundrede og af Lee-Carer meoden, der anvendes il esimaion af den fremidige udvikling i dødeligheder og dermed den aldersbeingede resleveid. Tilsvarende indeholder kapiel 5 en beskrivelse af udviklingen af i anal fødsler og i ferilieen gennem de senese århundrede og på denne baggrund præseneres fremskrivningen af den samlede ferilie. Fremskrivningen er basere på en anvendelse af Cubic Spline Smoohing eknikken som ligeledes beskrives i kapile. Endelig indeholder kapiel 6 en gennemgang af den hisoriske udvikling i indvandringen (siden 98) sam den anvende fremskrivningsmeode for henholdsvis indvandring og udvandring. Kapiel 7 præsenerer resulaerne af den samlede befolkningsfremskrivning Endelig sammenlignes fremskrivningen med fremskrivningen fra 26 i kapiel 8.

7 Side 6 af 6. Opbygningen af befolkningsmodellen Hel generel besår en befolkningsmodel af e sæ ligninger, der holder regnskab med udviklingen i befolkningen fra år il år. Demografiske regnskabsmodeller blev førse gang benye af Edwin Cannan (86-935) il a lave befolkningsfremskrivninger for England og Wales, mens amerikaneren Pascal K. Whelpon i e anal arikler fra omkring 2. verdenskrig opsillede en samle meode il befolkningsfremskrivning (Alho og Spencer, 25). Siden 963 har Danmarks Saisik producere befolkningsfremskrivninger, der ligeledes er basere på en regnskabsmodel for befolkningen (Danmarks Saisik, 978). Den grundlæggende meode bag demografiske regnskabsmodeller besår i, a en given udgangsbefolkning opdeles på e anal undergrupper, f.eks. køn, alder og oprindelse, der fremskrives é år ad gangen på baggrund af viale demografiske begivenheder: fødsler, dødsfald, indvandring, udvandring og nauralisering. Figur viser opbygningen af DREAMs model il befolkningsfremskrivning. Figur. En model il befolkningsfremskrivning er sammensa af en række delmodeller for de viale begivenheder, og regnskabsmodellen holder regnskab med udviklingen i befolkningen på baggrund af udviklingen i de enkele viale begivenheder. Model il befolkningsfremskrivning Model for viale begivenheder Model for Dødelighed Regnskabsmodel Model for Ferilie Model for Immigraion Model for Emigraion Model for Nauralisering De hel cenrale i enhver befolkningsfremskrivning er den fremidige udviklingen i ferilie, dødelighed, indvandring, udvandring og nauralisering. I de følgende gennemgås de anagelser og meoder, der benyes i DREAMs befolkningsfremskrivning..2 Viale begivenheder Regnskabsmodellen for befolkningen holder syr på ændringer i befolkningen (primo) mellem o år. Mekanismerne i udviklingen af

8 Side 7 af 6 Danmarks befolkning er relaiv få. Befolkningen vokser på grund af fødsler og indvandring og formindskes på grund af dødsfald og udvandring, mens sammensæningen af befolknings herkomsgrupper ændres gennem nauralisering (opnåelse af dansk sasborgerskab). Dødsfald Analle af døde i e give år fremskrives ved a age udgangspunk i befolkningen fordel på alder og køn og fremskrive dødshyppigheden fordel på disse grupper. Således anages de implici, a dødshyppigheden ikke er afhængig af befolkningens oprindelse. Dee skyldes, a der bland indvandrere og speciel eferkommere er få personer i de ældre aldersgrupper, hvor dødeligheden er højs. De er derfor ikke meningsfuld a lave oprindelsesopdel fremskrivning af dødelighed. I fremiden vil e forbedre daagrundlag med flere ældre indvandrere og eferkommere åbne for muligheden a lave dødelighedsfremskrivninger for hver oprindelsesgruppe. Esimaion af dødelighed For given aldersklasse og køn er dødelighed i en given periode definere som analle af dødsfald dividere med analle af personer der var udsa for dødsrisiko. Til esimaion af fremidige dødeligheder benyes Lee- Carer meoden, se Lee og Carer (992a, 992b), der en eksrapolaiv meode. Den grundlæggende ide i Lee-Carers meode er, a den fremidige udvikling i en given aldersbeinge dødelighed kan beskrives ud fra den hisoriske udvikling i de aldersbeingede dødeligheder. For a reducere dimensionen af probleme anages, a der er en beydelig regularie il udviklingen af de aldersspecifikke dødeligheder, således a de kan beskrives af 3 elemener: En aldersspecifik del, der er uafhængig af idspunke, e moraliesindeks, der er e idsafhængig mål for den samlede dødelighed og en (idsuafhængig) aldersprofil, der væger gennemslag af udviklingen i moraliesindekse på dødeligheden i de enkele aldersklasser. Meoden indebærer a forholde mellem væksraerne i dødeligheden for o forskellige aldersgrupper er konsan. Den fremidige udvikling i dødelighederne besemmes alene af udviklingen i moraliesindekse, der esimeres ved sandard meoder fra idsrækkeanalyse, se f.eks. Chafield (24). I kapiel 4 vil den anvende Lee-Carer meode blive gennemgåe. Fødsler De samlede anal fødsler findes som summen af børn fød af mødre i de enkele befolkningsgrupper. Da de nyføde børn ikke alid ilhører samme herkomsgruppe som deres mødre (børn af indvandrere karakeriseres f.eks. som eferkommere), defineres føde som udgangspunk efer moderens oprindelse. Fødslerne i en given befolkningsgruppe kan beregnes som den aldersbeingede ferilie muliplicere med kvinder i den givne befolkningsgruppe og med den givne alder. Fødsler opdeles på køn ved a anage a en konsan andel af alle nyføde er drenge. Andelen af drengebørn beregnes som gennemsnie over hele daaperioden.

9 Side 8 af 6 Nyfødes oprindelsesgruppe afhænger, som følge af definiionerne af oprindelsesgrupperne, både af faderens og moderens oprindelse. I DREAM er der derfor udvikle en meode, hvor børnene fordeles på oprindelsesgrupper på baggrund alene af moderens oprindelsesgruppe. Der konsrueres på basis af de hisoriske erfaringer en sandsynlighedsfordeling for barnes oprindelse give moderens. Denne sammenhæng anvendes i fremskrivningen il a fordele børnene på oprindelsesgrupper. I afsni 2.3 beskrives meoden il a ildele børn oprindelse på baggrund af moderens oprindelse. Esimaion af ferilie Den aldersfordele ferilie i en given periode er definere som analle af fødsler bland mødre med en given alder dividere med analle af poenielle mødre i den pågældende aldersklasse. Fremskrivningen af ferilie sker ved a fremskrive den aldersbeingede ferilie for hver befolkningsgruppe. I modsæning il esimaionen af dødeligheder esimeres den enkele aldersgruppes ferilie uafhængig af den samlede ferilie og den er derfor også uafhængig af de øvrige aldersgruppers ferilie. Udviklingen i den samlede ferilie i fremskrivningen fremkommer således som en sum af udviklingen i de enkele aldersgruppers ferilie. Der er hisorisk se sørre udsving i ferilie end i dødelighed, derfor besemmes udviklingen på kor sig på baggrund af den nuværende rend i ferilieen, mens ferilieen på lang sig konvergerer mod ligevægsniveau. På kor sig kan der således være sor forskel i udviklingen i ferilie for befolkningsfremskrivninger med forskellig basisår, mens den langsigede udvikling ikke ændres i samme grad ved a medage flere daaår. De er udelukkende for de re sørse befolkningsgrupper, a der er ilsrækkelig anal observaioner il a kunne esimere den aldersbeingede ferilie med e-års aldersrin. De re grupper er: Personer med dansk oprindelse, indvandrere fra mindre udviklede lande uden dansk sasborgerskab og indvandrere fra mere udviklede lande uden dansk sasborgerskab. For disse grupper uddrages for hver alder mellem 5 og 49 år renden af den hisoriske udvikling i ferilieen og den aldersbeingede ferilie fremskrives ved hjælp af disse rends. Trenden i den aldersbeingede ferilie udledes ved anvendelse af en meode benævn Cubic Spline Smoohing (CSS), se Hyndman, King og Billah (22). Meoden medfører en udglae konvergens mod e ligevægsniveau definere på baggrund af den hisoriske udvikling. I afsni 5.3 gennemgås Cubic Spline Smoohing meoden il esimaion af ferilie. De reserende befolkningsgrupper er små. De er problemaisk a fremskrive ferilieen for disse befolkningsgrupper af o grunde. Dels fordi de er små, hvilke giver en beydelig saisisk usikkerhed, dels fordi de kvindelige medlemmer af eferkommergrupperne hovedsagelig er under 25 år, hvilke beyder, a de er vanskelig/umulig a skønne over den aldersbeingede ferilie for den ældse halvdel af den fødedygige alder på grund af manglende daa. Derfor sammenlignes den aldersbeingede feriliesprofil for hver enkel af de små befolkningsgrupper med den

10 Side 9 af 6 ilsvarende aldersbeingede feriliesprofil for de 3 sore grupper. Ved hjælp af lineær regressionsanalyse på observaioner for de senese 5 år esimeres de små befolkningsgruppers aldersbeingede ferilie som e veje gennemsni af de re sore gruppers aldersbeingede ferilie. Herefer fremskrives den aldersbeingede ferilie for de små befolkningsgrupper på grundlag af fremskrivningerne af de 3 sore gruppers aldersbeingede ferilie. I afsni 5.4 beskrives meoden il esimaion af ferilie for de små befolkningsgrupper på baggrund af de 3 sore befolkningsgrupper. Når den korsigede udvikling i ferilie er besem for samlige befolkningsgrupper, da besemmes konvergensen mod langsigsudviklingen. Til dee benyes en Richards Curve, der i løbe af en given idsperiode væger mellem den korsigede og den langsigede udvikling i ferilie. I afsni 5.5 gennemgås denne meode il a sikre a langsigsudviklingen ikke ændres drasisk hver gang, der kommer e ny daaår. Immigraion Personer, der indvandrer il en given befolkningsgruppe, er opdel i o forskellige yper indvandring. For befolkningsgrupper uden dansk sasborgerskab er der en eksogen ilsrømning af indvandrere, mens der for alle andre befolkningsgrupper er gen-indvandring, der beregnes ud fra indvandringsfrekvensen. For indvandrere uden dansk sasborgerskab er indvandringen eksogen give. Der anages a den samlede indvandring fra hhv. mere og mindre udviklede lande i fremiden bliver på niveaue for sidse daaår. Disse indvandringsniveauer fordeles på køn og alder ved a bruge den gennemsnilige fordeling i de senese 3 daaår. Analle af personer, der i e give år gen-indvandrer il befolkningsgrupper med dansk sasborgerskab, beregnes ud fra indvandringsfrekvenser fordel på alder, køn og oprindelse. Frekvenserne beregnes som e gennemsni over de sidse 3 daaår. Emigraion Analle af personer, der i e give år udvandrer fra en given befolkningsgruppe beregnes ud fra udvandringsfrekvensen fordel på alder, køn og oprindelse. Frekvenserne beregnes som e gennemsni over de sidse 3 daaår. Sammenholdes denne anagelse med anagelsen om genindvandring, fås a neo-indvandringsfrekvensen il befolkningsgrupper med dansk sasborgerskab er konsan. De samme gælder ikke for neoindvandringen il befolkningsgrupper uden dansk sasborgerskab. Nauralisering Analle af personer fra befolkningsgrupper uden dansk sasborgerskab, der i e give år skifer sasborgerskab beregnes ud fra frekvensen for

11 Side af 6 sasborgerskabsskif fordel på alder, køn og oprindelse. Frekvensen beregnes som e gennemsni over de sidse 3 daaår. I afsni 2.3 sam kapiel 6 beskrives esimaion af den eksogene indvandring sam indvandrings-, udvandrings- og nauraliseringsfrekvenserne. Da hisoriske daa for sasborgerskabsskif ikke er ilgængelige, er der i DREAM udvikle en meode il a beregne dee på baggrund af hisoriske daa for primo befolkningen, fødsel, dødsfald, indvandring og udvandring.

12 Side af 6 2. Befolkningsfremskrivningsmodellen I dee afsni vil der blive redegjor for de regnskabsmæssige sammenhænge i modellen il fremskrivning af befolkningen. Som beskreve i forrige afsni er de regnskabsmæssige sammenhænge mellem viale begivenheder universelle for befolkningsmodeller, og de sore forskelle mellem befolkningsmodeller ligger i modellering af viale begivenheder, som vil blive behandle i senere afsni. Udviklingen i den samlede befolknings sørrelse fra e år il de næse afhænger af anal føde, anal døde og analle af ind- og udvandrede. hvor P = P + b + d + i e P er befolkningen (populaion) primo år, b er anal føde børn i år d er anal døde i år i er anal indvandrede (immigrans) i år e er anal udvandrede (emigrans) i år Der eksiserer ikke andre fakorer, der ændrer den samlede befolkning og derfor besår en befolkningsfremskrivning generel af ændringer i disse fire yper viale begivenheder i hver af de fremidige. For a kunne faslægge disse sørrelser vælger vi i DREAM a opdele befolkningen på e give idspunk efer dimensionerne alder, køn og oprindelse. 2. Befolkningen fordel på alder og køn Opdelingen på alder og køn fører il a udviklingen i befolkningen sørrelse beskrives for hver aldersgruppe og for hver køn for sig. Ovensående differensligning ersaes derfor e sæ af differensligninger give ved P = P d + i e for x,,..., 2} og g = x+, g x, g x+, g x+, g x+, g + { { m, f } = + for g = { m, f } P b d i e, g g, g, g, g hvor indeks m er mænd, mens indeks f er kvinder og x, g P er befolkningen med alder x og køn g primo år,

13 Side 2 af 6 g b er anal føde af køn g i år x g d, er anal døde med alder x og køn g i år x g i, er anal indvandrede med alder x og køn g i år x g e, er anal udvandrede med alder x og køn g i år Bemærk a aldersdaeringen af beholdninger og srømme er forskellige. x, g Befolkningen P er en beholdning og angiver analle af personer der den. januar havde alderen x. De reserende variable er srømme og er ulimo-daerede. x g i, angiver f.eks. analle af personer der indvandrede i løbe af åre, og som ved dee års afsluning havde alderen x. Denne lid specielle daeringseknik bruges ofe i demografiske sammenhænge, og har il formål a skaffe plads il ligningen der beskriver udviklingen i nyføde. 2.2 Befolkningen fordel på alder, køn og oprindelse I DREAM opdeles befolkningen ydermere efer oprindelse og efer om personerne har dansk sasborgerskab eller ej. Denne opdeling giver anledning il a befolkningen opdeles i 9 kaegorier efer oprindelse: Indvandrere fra mindre udviklede lande uden dansk sasborgerskab, iln Indvandrere fra mindre udviklede lande med dansk sasborgerskab, ild Indvandrere fra mere udviklede lande uden dansk sasborgerskab, imn Indvandrere fra mere udviklede lande med dansk sasborgerskab, imd Eferkommere uden dansk sasborgerskab hvis mor kommer fra mindre udvikle land, dln Eferkommere med dansk sasborgerskab hvis mor kommer fra mindre udvikle land, dld Eferkommere uden dansk sasborgerskab hvis mor kommer fra mere udvikle land, dmn Eferkommere med dansk sasborgerskab hvis mor kommer fra mere udvikle land, dmd

14 Side 3 af 6 Personer af dansk oprindelse (eller reserende befolkning), da. Definiionen af indvandrere, eferkommere og dansk oprindelse følger Danmarks Saisik og er give ved: Indvandrere: Personer, der er fød i udlande af forældre, der begge er udenlandske sasborgere eller er fød i udlande. Hvis der kun foreligger oplysninger om den ene forælder, defineres personen som indvandrer, hvis vedkommende er fød i udlande, og forælderen er udenlandsk sasborger eller fød i udlande. Hvis der ikke findes oplysninger om nogen af forældrene, og personen er fød i udlande, defineres personen ligeledes som indvandrer. Eferkommere: Personer, der er fød i Danmark af forældre, hvoraf ingen er både dansk sasborger og fød i Danmark. Hvis der ikke findes oplysninger om nogen af forældrene, og personen er udenlandsk sasborger fød i Danmark, berages vedkommende også som eferkommer. Dansk oprindelse: Personer, hvoraf minds en af forældrene er dansk sasborger og fød i Danmark, uanse personens ege fødeland og sasborgerskab. Hvis der ikke findes oplysninger om nogen af forældrene, berages vedkommende som værende af dansk oprindelse, hvis vedkommende er dansk sasborger fød i Danmark. Disse gruppedefiniioner er udømmende, dvs. alle personer i befolkningen ilhører en af de re grupper. Definiionerne er endvidere enydige, dvs. en given person placeres i én og kun én af de re grupper. Underopdelingen af indvandrere og eferkommere efer oprindelsesland følger FN definiion og giver anledning il følgende definiioner af landegrupperne: 2 De mere udviklede lande omfaer: Albanien, Ausralien, Belgien, Bosnien og Hercegovina, Bulgarien, Canada, Esland, Finland, Frankrig, Grækenland, Holland, Hviderusland, Irland, Island, Ialien, Japan, Kroaien, Leland, Liauen, Luxemburg, Mala, (Tidl. Jugoslaviske republik) Makedonien, Moldova, New Zealand, Norge, Polen, Porugal, Rumænien, Rusland, Schweiz, Serbien og Monenegro, Slovakie, Slovenien, Spanien, Sorbriannien, Sverige, Tjekkie, Tyskland, Ukraine, Ungarn og USA. De mindre udviklede lande er alle øvrige lande. Gruppen af personer af dansk oprindelse indeholder e anal personer uden dansk sasborgerskab. Børn fød i Danmark af disse personer kan derfor principiel bliver karakerisere som eferkommere, jf. definiionerne ovenfor. Da analle er mege begrænse er de valg a se bor fra denne mulighed. 2 Definiionen af landegrupperne findes på: hp://esa.un.org/unpp/definiion.hml

15 Side 4 af 6 Med opdelingen af befolkningen i de 9 oprindelsesgrupper bliver de differensligningssysem der giver anledning il befolkningsfremskrivningen give ved: P = P + i e + c d x+, g, o x, g, o x+, g, o x+, g, o x+, g, o x+, g, o + for x {,,...,2, da for g, hvor }, g { m f } og o { iln,ild,imn,imd,dln,dld,dmn,dmd, } P = bˆ + i e + c d, g, o g, o, g, o, g, o, g, o, g, o { m f } og o { iln,ild,imn,imd,dln,dld,dmn,dmd,da} c x, g, ild = c x, g, iln, c x, g, imd bˆ g, o = c x, g, imn, c x, g, dld = for o = c x, g, dln, c { iln,ild,imn,imd} x, g, dmd = c x, g, dmn, c x, g, da = og hvor x, g, o P er befolkningen med alder x, køn g og oprindelse o primo år, ˆ g, o b er anal føde af køn g og oprindelse o i år x, g, o i er anal indvandrede med alder x, køn g og oprindelse o i år x, g, o d er anal døde med alder x, køn g og oprindelse o i år x, g, o e er anal udvandrede med alder x, køn g og oprindelse o i år x, g, o c er anal der skifer il dansk sasborgerskab (ciizenship) (og dermed oprindelsesgruppe), med alder x, køn g og oprindelse o i år. Variablen for skif af sasborgerskab, x, g, o c hvis en person får dansk sasborgerskab, er regnes med foregn, således a x, g, o c negaiv i grupperne karakerisere ved personer, der ikke har sasborgerskab. Dvs. grupperne iln, imn, dln og dmn. Tilsvarende er variablen posiiv i grupperne karakerisere ved dansk sasborgerskab, dvs. ild, imd, dld og dmd. Der gælder derfor, a summen af alle sasborgerskabsskif er nul o c x, g, o =

16 Side 5 af 6 Endelig gælder, a indvandrere pr. definiion ikke kan være fød i Danmark., Fødselsvariablen, ˆg o b er derfor nul for disse grupper. 2.3 Besemmelsen af viale begivenheder I de følgende beskrives hvorledes de enkele viale begivenheder modelleres. Generel kan viale begivenheder modelleres enen ved e anal personer, der oplever en vial begivenhed, eller ved en frekvens, der beskriver andelen af en gruppe personer, der har være udsa for risiko, som ren fakisk oplever den viale begivenhed. Analle af personer der er udsa for risiko i løbe af e år en lang række beregninger i modellen og er defineres ved: x, g, o x, g, o {,, } E x, g, o x, g, o x, g, o x+, g, o E = P + i 2 for o { iln, imn} x, g, o x, g, o x+, g, o E = P + c 2 for o ild imd dld dmd E = P for o dln dmn da {,,, } benyes il Der er korrigere for srømme, som eksogen ilgår gruppen. For indvandrergrupper uden dansk sasborgerskab er der en eksogen ilsrømning af indvandrere. For alle andre grupper er indvandringen endogen besem (jf. nedenfor). For indvandrer- og eferkommergrupper med dansk sasborgerskab er der en eksogen ilsrømning af personer som skifer il dansk sasborgerskab. Dødelighed Analle af døde i e give år fremskrives ved a age udgangspunk i befolkningen fordel på alder og køn og fremskrive dødshyppigheden fordel på disse grupper. Principiel ignoreres herved muligheden for, a dødshyppigheden kan være afhængig af befolkningens oprindelse. 3 Dvs. der foreages en fremskrivning af sørrelsen m = d / E x+, g x+, g x, g hvor x g m, er dødshyppigheden for personer med ulimo-alder x og køn g i år, 3 Indvandrere og speciel eferkommeres nuværende aldersfordeling beyder, a der er få personer i de ældre aldersgrupper, hvor dødeligheden er højes. De er derfor ikke undersøg om præcisionen kunne øges ved a opdele dødshyppigheden efer oprindelse.

17 Side 6 af 6 E x, g er e mål for analle af personer der udsæes for dødsrisiko i den relevane periode, som beregnes ved: E x, g x, g ~ x+, g = P + i 2 hvor ~ + er den eksogene indvandring give ved x, g i ~ x+, g x+, g, iln x+, g, imn i = i + i Variablene x, g, imn i + og x, g, iln i + angiver indvandring af personer uden dansk sasborgerskab fra hhv. mere og mindre udviklede lande (se nærmere nedenfor). Da de anages a alle oprindelsesgrupper har samme dødelighed, følger de a analle af døde fordel på oprindelse beregnes ved hjælp af den x, g, o ovenfor beregnede dødshyppighed og E d = m E x+, g, o x+, g x, g, o Fødsler og ferilie De samlede anal fødsler findes som summen af børn fød af mødre i de enkele befolkningsgrupper. Da nyføde ikke i alle ilfælde ilhører samme befolkningskaegori som deres mødre (børn af indvandrere karakeriseres f.eks. som eferkommere) defineres føde som udgangspunk efer moderens oprindelse. Fødslerne i en given befolkningsgruppe kan skrives som den aldersbeingede ferilie muliplicere med kvinder i den givne befolkningsgruppe og med den givne alder, der har mulighed for a føde. Hvilke formel kan skrives som b = 49 o x, o x, f, o ϕ E x= 5 hvor o b er analle af børn fød af kvinder i befolkningsgruppe o il idspunk ϕ er den aldersbeingede ferilie for kvinder med alderen x fra x, o befolkningsgruppe o il idspunk E x, f, o er e mål for analle af kvinder i en given oprindelsesgruppe, der har mulighed for a føde i den relevane periode og beregnes ved medio befolkningen af kvinder:

18 Side 7 af 6 E = ( P + P + ) / 2 x, f, o x, f, o x, f, o + hvor P er analle af kvinder med alderen x fra befolkningsgruppe o il x, f, o idspunk Fødslerne opdeles på køn ved a anage, a en konsan andel γ af alle, føde er drenge. Dermed bliver analle af føde drenge, b m o og piger, b give ved henholdsvis f, o b m, o = γ b og o b f, o = ( γ ) b o Nyfødes fordeling på oprindelsesgrupper De følger af definiionerne af opdelingen af befolkningen efer oprindelse, a barnes oprindelse afhænger af såvel faderens som moderens oprindelse. Derfor konsrueres på basis af de hisoriske erfaringer en sandsynlighedsfordeling for barnes oprindelse give moderens. Denne sammenhæng anvendes i fremskrivningen il fordele børnene på oprindelsesgrupper. Til dee brug defineres ˆ ˆiln (,..., ˆdo b = b b ) som en rækkevekor af føde iln do fordel på barnes oprindelse og ilsvarende b = ( b,..., b ) som en rækkevekor af føde fordel på moderens oprindelse. Der gælder følgende sammenhæng b = A b ˆ hvor A er en 9x9 marice, hvor hver række er en sandsynlighedsfordeling over barnes oprindelse give moderens oprindelse Fordi rækkerne i A er sandsynlighedsfordelinger gælder, a relaionen sikrer, a de samlede anal føde ikke påvirkes af om disse opgøres efer moderens eller barnes oprindelse b = bˆ o g, o g, o o De er lang fra alle kombinaioner af oprindelse, der er mulige, f.eks. kan ingen føde være indvandrere. Maricen A indeholder derfor e beydelig anal nuller, jf. Tabel, som angiver sandsynligheden for barnes oprindelsesype give moderens oprindelsesype, hvilke svarer il elemenerne i A.

19 Side 8 af 6 Tabel. Fordelingen af barnes oprindelse give moderens oprindelse Barn Rækkesum iln ild imn imd dln dld dmn dmd da Moder iln ild λ λ iln, dln ild, dln λ iln, dld λ ild, dld imn imd dln λ dln, dln dln, dld λ λ imn, dmn imd, dmn λ λ imn, dmd imd, dmd λ λ iln, da λ ild, da λ imn, da λ imd, da λ dln, da dld dmn λ dmn, dmn λ dmn, dmd λ dmn, da dmd Da Førse række i abellen angiver mulighederne for barnes oprindelse, hvis moderen er indvandrer fra e mindre udvikle land uden dansk sasborgerskab. I dee ilfælde kan barne blive eferkommer fra e mindre udvikle land uden dansk sasborgerskab, hvis faderen er en indvandrer uden dansk sasborgerskab. Andelen af børn, der får denne oprindelse iln, dln kaldes λ. Hvis faderen er en indvandrer med dansk sasborgerskab, er der mulighed for, a barne bliver karakerisere som eferkommer fra mindre udvikle land med dansk sasborgerskab. 4 Andelen af børn med en moder, der er indvandrer fra e mindre udvikle land, som får denne oprindelse iln, dld beegnes λ. Den redje og sidse mulighed er, a barne bliver af dansk oprindelse. De er ilfælde, hvis faderen er fød i Danmark og har dansk sasborgerskab (dvs. hvis faderen enen er eferkommer med dansk sasborgerskab eller af dansk oprindelse). Den andel af børnene, hvis mødre er indvandrere, fra mindre udviklede lande, der får dansk oprindelse kaldes λ iln da. Give Danmarks Saisiks definiioner af befolkningens oprindelse vil alle børn, hvis moder er indvandrer fra e mindre udvikle land blive karakerisere ved en af disse re oprindelser. Der gælder således λ + λ + λ = iln, dln iln, dld iln, da 4 Dansk sasborgerskab kan fravælges.

20 Side 9 af 6 Udvandring Analle af personer, der udvandrer fra en given befolkningsgruppe i e give år er endogen besem og skrives som e = ε E x+, g, o x+, g, o x, g, o hvor ε er udvandringsfrekvensen for personer med alder x, køn g og x, g, o oprindelse o i periode. Frekvenserne beregnes som e gennemsni over de sidse 3 daaår. Indvandring Analle af personer, der gen-indvandrer il en given befolkningsgruppe i e give år skrives som x, g, o x, g, o x, g, o {, } i = ι E hvor o iln imn,, hvor ι x g o er indvandringsfrekvensen for personer med alder x, køn g og oprindelse o i periode. Frekvenserne beregnes som e gennemsni over de sidse 3 daaår. 5 For indvandrere uden dansk sasborgerskab er indvandringen eksogen give. De anages i nærværende prognose, a den samlede indvandring fra hhv. mere og mindre udviklede lande i fremiden bliver på niveaue for sidse daaår (25). Disse indvandrings niveauer fordeles på køn og alder ved a bruge den gennemsnilige fordeling i de senese 3 daaår. Sasborgerskab Analle af personer, der skifer sasborgerskab er endogen besem i grupper, som ikke har dansk sasborgerskab. De gælder her, a c = ψ E x+, g, o x+, g, o x, g, o,, hvor ψ x g o er frekvensen for sasborgerskabsskif for personer med alder x, køn g og oprindelse o i periode. Frekvenserne beregnes som e gennemsni over de sidse 3 daaår. 5 Sammenholdes anagelsen om en genindvandringssandsynlighed med anagelsen om, a udvandringen beskrives ved en udvandringssandsynlighed gange den samme besand, fås a de er neo-udvandringen der beskrives ved en sandsynlighed.

21 Side 2 af Eksogene og paramere i fremskrivningsmodellen For a kunne gennemføre en fremskrivning er de nødvendig eksogen a skønne over udviklingen i følgende eksogene sørrelser: x g m, : Dødelighed fordel på alder og køn. ϕ x, o : Ferilie fordel på alder og oprindelse. ε x, g, o : Udvandringssandsynlighed fordel på alder, køn og oprindelse. ι x, g, o : Gen-indvandringssandsynlighed fordel på alder, køn og oprindelse. ψ i x. g, o x, g, o : Sasborgerskabsskif-sandsynlighed fordel på alder, køn og oprindelse. for o { iln,imn} : Indvandring fordel på alder, køn og oprindelse (af personer uden dansk saborgerskab med oprindelse fra henholdsvis mere og mindre udviklede lande). Dødelighed og ferilie esimeres på basis af den hisoriske udvikling mens de øvrige fire yper paramere og variable ud fra de senese observaioner og en anagelse om a denne udvikling fasholdes i fremiden. I de eferfølgende afsni 4 il 6 gennemgås fremskrivningen af hver af disse 5 yper af eksogene variable i befolkningsmodellen.

22 Side 2 af 6 3. Daa DREAM har i udvikle deres egen individbaserede daabase. I denne findes demografisk relevane individ-oplysninger om hele den danske befolkning i perioden Ud fra denne individ-daabase dannes e daa-sæ der for perioden opdeler af befolkningen på de 9 befolkningsgrupper. For hver befolkningsgruppe indeholder daa-sæe følgende variable: Anal mænd og kvinder (fordel på alder) Anal døde mænd og kvinder (fordel på alder) Anal føde drenge og piger (fordel på moders alder) Anal indvandrede mænd og kvinder (fordel på alder) Anal udvandrede mænd og kvinder (fordel på alder) Endvidere indeholder daa-sæe en baby-daabase for perioden Samlige fødsler i perioden er regisrere, og for hver nyfød findes daa for: Barnes køn, sasborgerskab og gruppeilhørsforhold Moders og faders gruppeilhørsforhold, sasborgerskab og hjemland Ud over DREAMs befolkningsdaabase anvendes dødelighedsdaa fra Human Moraliy Daabase (HMD), som er en sor inernaional daabase, der vedligeholdes af forskere ved Universiy of California, Berkeley og Max Planck-Insiue for Demographic Research, Rosock 6. Daabasen er ilgængelig via Inernee og indeholder bl.a. dødelighedsdaa for Danmark fordel på alder og køn for hver år i perioden Den ekniske esimaion foregår på disse daa. Den endelige rapporering af resulaer i de eferfølgende kapiel og i de regneark med dødeligheder, der hører il befolkningsfremskrivningen er imidlerid korrigere og udglae, således a de er umiddelbar sammenlignelige med de af Danmarks Saisik offenliggjore værdier med den konvenion, a dødeligheder som Danmarks Saisik benævner 25/26, kaldes 26 svarende il Danmarks Saisiks egen konvenion i forbindelse med befolkningsfremskrivning. 6 som også indeholder dokumenaion meoden il konsrukion af daaserierne.

23 Side 22 af 6 Forskellen mellem de re daakilder besår i hvorvid dødelighederne er opgjor på såkalde A-, B- eller C-grupper. De er relaiv enkel a ranslaere dødelighed opgjor efer en af disse definiioner il en af de øvrige, hvorfor daa inden anvendelse i fremskrivningen kan bringes på approksimaiv ækvivalen form. 3. Primær daa Dødeligheder fra samlige år i den anvende daaperiode sammer fra dødelighedsavlerne i Human Moraliy Daabase og er definere som A- grupper. De reserende daa fra DREAMs daabase er definere som B-grupper. Figur 2. Daakonvenioner i HMD-Daabasen (A-grupper) og i DREAMs daabase (B-grupper). X+ A x, X B x, X Figur 2 illusrerer definiionen af daa opgjor efer henholdsvis A- og B- grupper i henhold il de konvenioner, der er gældende i HMD og DREAMs daabase. Den i diagramme særk oprukne firkan indikerer hvorledes døde x-årige på idspunk opgøres som en A-gruppe efer konvenioner gældende i HMD. Lad denne gruppe være benævn A x,. Definiion: En dødelighed for alder x opgjor på A-gruppe måler hvor mange personer, der i løbe af e år er døde med alderen x Parallelogramme med værgående eksur benævn B x, angiver den ilsvarende B-gruppedødelighed, som denne er definere i DREAMs befolkningsdaabase. Bemærk, a de er alderen ulimo år, der her angiver, hvilken aldersklasse B-gruppen ilhører. Definiion: En dødelighed for alder x opgjor på B-grupper måler hvor mange personer som havde alderen x- ved åres begyndelse, der er døde i løbe af e år.

24 Side 23 af Befolkningsfremskrivning Til brug for befolkningsfremskrivningen anvendes daa opgjor på e give idspunk (primo åre). Den relevane daa-definiion for dee formål er således B-grupper. Dødshyppigheder fremskrives på A-grupper, og de skal derfor konvereres il B-grupper før de kan benyes i modellen. Denne konverering ske ved approksimaionen B x A + A 2 x x, hvor A = Alle andre inpu-daa il befolkningsfremskrivningen er allerede på B- grupper og kan derfor benyes uden yderligere ilpasning.

25 Side 24 af 6 4. Dødelighed og forvene leveid Esimaion af dødelighed il befolkningsmodellen bygger på den af Lee & Carer (992) foreslåede meode il fremskrivning af aldersbeingede dødeligheder. Meoden er idligere bleve brug af Velfærdskommissionen og i DREAMs befolkningsfremskrivning 7 fra 26. I de senere år har den opnåe beydelig udbredelse, og anvendes af inernaionale insiuioner som f.eks. FN s Populaion Division, der foreager sammenhængende langsigede befolkningsfremskrivninger for alle verdens lande, jf. UN (23). Herudover anvendes meoden il befolkningsfremskrivninger i en række lande, f.eks. Sverige, jf. Saisiska cenralbyrån (23,25) 8, og endelig anvendes den også af en række forskergrupper. Den sigende udbredelse har beyde, a der en ganske omfaende afprøvning af meoden på forskellige lande og generel findes, a meoden har gode fremskrivningsegenskaber. 9 I DREAMs befolkningsfremskrivning fra 26 blev der lave en analyse der fokuserede på beydningen for esimaion og fremskrivning af a opdele den samlede hisoriske daaserie i delperioder. På den baggrund baseres fremskrivningen for 27 på en kor daaserie fra 99 og frem. De medfører a den korsigede udvikling i den aldersbeingede resleveid vil ligge i underkanen af den udvikling, der er observere i den senese periode, der har være dominere af høj væks. I denne fremskrivning vil væksen have en endens il a afage, således a den langsigede væks svarer il en længere daaserie. Se over fremskrivningsperioden som gennemsni beyder dee, a væksen i Danmark ligger under renden i grænsen for middelleveidsudviklingen på verdensplan. Ulempen ved denne fremskrivning er, a den anvende daaserie er så kor, a esimaerne på udviklingen i den aldersbeingede dødelighed bliver usikre og udviklingen for de enkele aldre påvirkes af udsving i den senese periode. Fordelen er a de senese 6 års væks i middelleveiden forsæer på kor sig, mens man ved brug af længere daaserier vil opnå en væsenlig lavere væks på kor sig. I de o førse afsni præseneres hovedrækkende i Lee-Carer meoden. I afsni 3 omales beydningen af valg af daaperiode, I afsni 4 præseneres esimaionsresulaer, mens juseringer il Lee-Carers fremskrivningsmeode præseneres i afsni 5. Dernæs præseneres udviklingen i den fremidige dødelighed. I afsni 8 og 9 præseneres en 7 Se Danmarks fremidige befolkning Befolkningsfremskrivning 26, DREAM for en evaluering af Lee-Carer meoden, sam dens udbredelse og i lierauren foreslåede udvidelser. 8 Norge anvender andre saisiske esimaionsmeoder, som har en mere kompleks srukur end Lee-Carer meoden, jf. Keilman, Pham & Heland (2). 9 En oversig over forskellige anvende meoder il befolkningsfremskrivning og en foregnelse over hvilke principper der anvendes i en lang række insiuioner findes i Andreev & Vaupel (26)

26 Side 25 af 6 definiion af resleveiden, der er konsisen med al offenliggjor af Danmarks Saisik. Kapiles reserende afsni er dedikerede il præsenaion af resulaerne vedrørende fremskrivning af resleveiden fordel på alder og køn. Hovedresulaerne i fremskrivningen er, a middelleveiden frem il år 2 siger med 2,9 år for mænd og, år for kvinder. Der er således sor se ale om en halvering af den absolue væks i forhold il erfaringerne fra de 2. århundrede. I forhold il argumenaionen i Oeppen & Vaupel (22), som peger på en konsan årlig absolu væks i middelleveiden, er der derfor ale om e mege forsigig skøn. En væsenlig del af forklaringen på den lavere væks i middelleveiden er, a beydningen af forsae redukioner i spæd- og småbørnsdødeligheden er mere begrænsede end i den hisoriske periode, fordi dødeligheden for disse grupper allerede er reducere beydelig. Berages i sede udviklingen i resleveiden for 6- årige, har forskellen mellem væksen i de 2. århundrede og den fremskrevne udvikling for de 2. århundrede de modsae foregn. I de 2. århundrede voksede resleveiden for 6-årige mænd med 4,5 år mens væksen var på 6,5 år for kvinder. I fremskrivningen fås, a den ilsvarende væks frem il 2 er 9,8 år for mænd og 8,8 år for kvinder. Dee afspejler de generelle resula, a fremidige redukioner i dødelighederne forvenes a få relaiv sørre effek på resleveiden for ældre. Relaiv il sidse års fremskrivning er der frem il år 2 ale om en mindre nedjusering i ændringen i mænds middelleveid og en opjusering for kvindernes vedkommende. Således var ændringen middelleveiden i 26-fremskrivningen,9 år for kvinder og 3,5 år for mænd. Resleveiden for 6-årige i år 2 ændredes i 26-fremskrivningen med, år for mænd og,9 år for kvinder. 4. Lee-Carer meoden Den grundlæggende ide i Lee-Carers meode er, a den fremidige udvikling i en given aldersbeinge dødelighed kan beskrives ud fra den hisoriske udvikling i de aldersbeingede dødeligheder. I denne fremskrivning på danske daa laves dee opdel på mænd og kvinder. For a reducere dimension i probleme anages, a der er en beydelig regularie i udviklingen af de aldersspecifikke dødeligheder, således a de kan beskrives ved hjælp af 3 elemener: En aldersspecifik del, der er Beregning af resleveid i både 26- og 27-fremskrivningen ager her udgangspunk i en maksimal levealder på år, hvilke således er konsisen med meoden fremlag i afsni 4.9. De anføre ændringer i forvenede leveider fra 26-fremskrivningen vil afvige fra de ændringer, der er beskreve i dokumenaionsrapporen knye il denne fremskrivning, ide beregningerne her var basere på en maksimallevealder på år.

27 Side 26 af 6 uafhængig af idspunke, en idsafhængig udvikling i e mål for den samlede dødelighed (kalde moraliesindekse) og e (idsuafhængig) gennemslag af udviklingen i moraliesindekse på dødeligheden i den enkele aldersgruppe. Konkre anages følgende sammenhæng: hvor x er alderen, er iden ln( m ( x, )) = a( x) + b( x) k( ) + e( x, ) m( x, ) er de alders- og idsafhængige niveau for dødeligheden a(x) er den aldersafhængige del som i praksis er e gennemsni over de logarimiske dødeligheder i esimaionsperioden k() er den idsafhængige udvikling i dødeligheden og b(x) væger gennemslage af k() på dødelighed for aldersgruppe x. e(x,) er e alders- og idsafhængig fejl-led. Parameeren a(x) angiver den grundliggende form på aldersprofilen over id og beregnes i praksis som gennemsnie over id af de logarimiske dødsraer. Den aldersafhængige parameer b (x) angiver afvigelser fra den generelle profil over id. Cenral for fremskrivningen er den aldersuafhængige parameer k (), der beskriver udviklingen over id i den generelle dødelighed og benævnes derfor moraliesindekse. Når de fælles niveau ændres over id væger parameeren b (x) således effeken på de aldersafhængige logarimiske dødelighedsraer. Ide indekse vil være afagende over id, indikerer en posiiv indgang i vekoren b (x), a dødeligheden for den pågældende aldersgruppe er afagende, mens en negaiv indgang indikerer de modsae. Afager moraliesindekse lineær, dvs. dk ( ) / d er konsan vil de logarimiske dødelighedsraer også afage lineær over id med proporionaliesfakoren b (x). Dee medfører, a dødelighedsraerne er eksponeniel afagende. Denne formulering indebærer bland ande, a forholde mellem væksraerne i dødeligheden for o forskellige aldersgrupper, x og y er konsan og lig med b(x)/b(y). Udviklingen i dødelighederne besemmes af udviklingen i moraliesindekse, k(). Denne esimeres i den oprindelige Lee-Carer arikel (992) som en random walk med drif. De beyder, a der i fremskrivningen anages en konsan fremidig væksrae i dødeligheden for en given årgang. For den konkree esimaionsprocedure henvises il f.eks. Haldrup (24).

28 Side 27 af Esimaion af Lee-Carer modellen I henhold il Lee & Carer (992) pålægges modellen resrikioner med de formål a besemme en enydig løsning af paramerene, a(x), b(x) og k(). Således anvendes følgende o resrikioner, hvor og n er henholdsvis førse og sidse daaår: n = x k( ) = b( x ) = Indledningsvis esimeres parameeren a(x) som gennemsnie over de logarimiske dødelighedsraer i daaperioden, dvs. aˆ( x) = n = ln( m( x, )) Eferfølgende beregnes en marix besående af de cenrerede logarimiske raer som n + ln( m( x, )) aˆ( x) hvorefer denne påføres en Singular Value Decomposiion fra hvilken esimaer for henholdsvis b(x) og k() kan uddrages. Således er funde e iniial bud på modellens paramere. Der er imidlerid ikke er nogen garani for, a denne esimaion resulerer i, a der for e give år opnås, a de anal døde, der kan beregnes fra esimaionen, svarer il de fakiske samlede anal døde. Derfor indeholder den oprindelige Lee- Carer formulering en eferfølgende opdaering af moraliesindekse, der sikrer dee. Haldrup (24) følger denne procedure. I nærværende fremskrivning er de i sede valg a opdaere moraliesindekse, så der for hver år i daaperioden opnås sammenfald med den fakiske levealder. Denne fremgangsmåde er ligeledes anvend i Lee & Miller (2). Årsagen il, a levealderen anvendes i sede for analle af døde er, a førsnævne vurderes som den mes relevane målvariabel. Ved anvendelse af de iniiale parameeresimaer for a(x) og b(x) besemmes moraliesindekse ved anvendelse af en Newon-Raphson algorime således, a forvene levealder i hele daaperioden opnås. Som de er fremgangsmåden i Haldrup (24) foreages eferfølgende en yderligere modifikaion. Ide de nye bud på moraliesindekse ages for

29 Side 28 af 6 give findes ved OLS regression af dee på de logarimiske dødelighedsraer opdaerede bud på de aldersafhængige paramere a(x) og b(x). Dee kan opfaes som førse rin i en ieraiv proces, der leder il værdier af a(x) og b(x), som er indbyrdes konsisene med k(). I denne analyse suppleres dee med ande rin i den ieraive proces, ide der med de opdaerede værdier for a(x) og b(x) beregnes e ny moraliesindeks, så der igen opnås sammenfald med fakisk levealder. E eksperimen omhandlende fremskrivningspræcisionen afslører, a ilføjelsen af dee eksra rin forbedrer præcisionen marginal. Samidig opnås ilpasning il den fakiske levealder. Paramerene i Lee-Carer modellen er nu faslag og dødelighedsraer kan esimeres inden for daaperioden. Den cenrale variabel for fremskrivningen af udviklingen i leveiden er udviklingen i moraliesindekse, k() over id. De er derfor cenral, a processen beskrivende udviklingen i dee indeks faslægges og er saisisk velspecificere. Denne faslæggelse baseres på saisiske es og suppleres med grafisk inspekion af serien. 4.3 Valg af daaperiode I forbindelse med Befolkningsfremskrivning 26 blev der lave en analyse af forskellige daaperioders beydning for fremskrivningen af dødelighed. Den hisoriske udvikling viser, a både de gennemsnilige fald i (logarimen il) dødelighederne og sammensæningen af falde på aldersgrupper har endens il a være konsan over lange perioder. A dee er ilfælde for sor se alle lande er neop årsagen il Lee-Carer meodens beydelige succes og udbredelse. Samidig viser analysen af dødelighedsudviklingen i Danmark, a der er givne forholdsvis korvarige perioder, hvor sabilieen i dødelighedsudviklingen ophører for herefer a blive geneablere med en ændre væksrae og en ændre aldersmæssig sammensæning. Lee-Carer meoden fører il, a fremskrivningen vil have endens il a forlænge de gennemsnilige observerede årlige fald i (logarimen il) dødelighederne igennem esimaionsperioden il fremskrivningsperioden. Samidig vil alderssammensæningen af falde i dødelighederne også have endens il a afspejle den gennemsnilige aldersfordeling af dødelighedsfalde. Analysen af den esimerede effek på falde i de aldersafhængige dødeligheder for mænd viser således, a esimaerne af b(x) og k() ikke er robuse over for valg af daaperiode. Valg af daaperiode vil derfor have afgørende effek på fremskrivningens resulaer. Baseres fremskrivningen på den senese periode, dvs. fra 995 og frem, vil de indebære, a den vil have endens il a forlænge den senese udvikling. Da daa indikerer, a srukuren i dødelighedsudviklingen fasholdes i længere perioder, er der grund il a forvene, a en fremskrivning basere på denne daaserie vil have de bedse fremskrivningsegenskaber på korere sig.

30 Side 29 af 6 Årsagen, il a de kan være relevan a inddrage længere daaperioder, er både den beydelige usikkerhed med hensyn il esimaerne og hensyne il de længere sig. Den senese periode er karakerisere ved a have de sørse fald i (logarimen il) dødelighederne mål over alle perioder i de 2. århundrede. Der er derfor en risiko for, a en kor daaserie vil have en endens il a overvurdere den årlige væks i middelleveiden på lang sig. De endelig valg af længden af daaserien er derfor e kompromis mellem den undervurdering af middelleveidsvæksen på korere sig, som en lang daaserie medfører, og den mulige fremidige overvurdering af middelleveidsvæksen, som anvendelsen af en kor daaserie kan føre il. I lighed med de generelle anbefalinger i lierauren er de derfor valg a basere fremskrivningens hovedforløb på en kor daaperiode, som hovedsagelig dækker perioden efer 995. Af hensyn il usikkerheden på de aldersbeingede esimaer er de nødvendig a udvide analle af observaioner. Valge af daaserie er efer denne procedure falde på perioden fra En fremskrivning basere på denne idsserie har for både mænd og kvinder den egenskab, a den langsigede væksrae i middelleveiden konvergerer mod væksraen for fremskrivningen basere på en længere daaperiode. På de kore sig indebærer denne fremskrivning en vis opbremsning i væksen i middelleveiden i forhold il den hisoriske rend. 4.4 Esimaionsresulaer I de følgende gennemgås esimaionsresulaerne for daaserien 99-26, der anvendes il fremskrivningen for både mænd og kvinder. Nedensående modeller for indekse for dødelighederne, k() findes efer es a være velspecificerede for fremskrivningerne for hhv. mænd og kvinder. Indeks frembrag på baggrund af daa fra findes a kunne beskrives ved følgende, hvor spredningen på de esimerede koefficiener er angive i parenes Mænd: Kvinder: k( ) = 2,3429 (,68) k( ) = 4, 843, 567 k( ) (,79) (,2294) Fremskrivningen af moraliesindekse er for mænd beskreve ved en random walk med drif process, mens den for kvinder er beskreve ved en. ordens auoregressiv proces med en rend. Drifen eller konsanledde i ovensående sammenhænge vil efer få perioder dominere således, a de fremskrevne indeks k () på sig vil følge e lineær rendforløb også for kvinder. De esimerede og fremskrevne

31 Side 3 af 6 værdier for k() er for mænd vis i Figur 3 og for kvinder vis i Figur 5. I figurerne er desuden vis 95%-konfidensinervalle som esimaionen af k() giver anledning il. Sammen med de esimerede værdier af gennemslage på de aldersbeingede dødeligeheder, b(x), af e give fald i dødelighedsindekse, k(), kan dee anvendes il a finde de aldersbeingede procenvise redukioner i dødelighederne i de o fremskrivninger. Bemærk a figurerne viser hvorledes beingelsen på k(), om n = k( ) =, er opfyld i esimaionsperioden. Figur 3. Esimerede og fremskrevne værdier for k(x), sam 95%- konfidensinervalle, mænd Figur 4. Esimerede værdier for a(x) og b(x), mænd I Figur 4 og Figur 6 er der for hhv. mænd og kvinder vis esimaionen af den gennemsnilige aldersbeingede dødelighed, a(x), sam den aldersbeingede vægningen, b(x), af ændringen i moraliesindekse, k(x). De ses a den gennemsnilige aldersbeingede dødelighed for både mænd og kvinder er forholdsvis gla og a flukuaioner forrinsvis indræffer i de aldersklasser med mege få dødsfald. Samidig ses de a Gomperz lov