LONGEVITY CHRESTEN DENGSØE OG JENS VESTERGAARD ATP'S AKTUARIAT

Transkript

1 LONGEVITY CHRESTEN DENGSØE OG JENS VESTERGRD TP'S KTURIT S:\KTU\Longevi\Rappor.doc /37

2 Indholdsforegnelse. Indledning 4. Rapporens indhold 4 3. Daamaeriale 4 4. Lexis diagrammer 5 5. Beskrivelse af daamaeriale ved hjælp af Lexis diagramme 5 6. Besemmelse af dødelighed , B- og C-grupper af døde Esimaion af dødsinensieen Besemmelse af anal dødsfald O x, Tilnærmelse af eksponeringen E x, Sammenligning af hisorisk dødelighed besem ud fra de re grupper (, B og C) Esimaion af fremidig dødelighed - populaionsmeoden 0 7. Sammenligning af forvene resleveid besem ved populaionsmeoden for hver af de re grupper (, B og C) Vurdering af populaionsmeoden - dødelighed 8. Kerneudglaning i forbindelse med esimaion af dødeligheden Validering ved anvendelse af back-esing Eksempel Forholde mellem esimerede og fakiske dødsinensieer Eksempel Forholde mellem esimerede og fakiske resleveider Vurdering af populaionsmeoden - hensæelser 7 0. Vurdering af populaionsmeoden - reneredukion 0. Vurdering af dødeligheden - besandsberagninger. Dødelighedens bedning for de samlede pensionsmæssige hensæelser Vurdering af populaionsmeoden besandsberagninger Populaionsmeoden - konklusioner 6 3. TP's nuværende dødelighedsgrundlag 6 4. De videre arbejde 8 5. Referencer 9 6. Formler m.v nden meode il besemmelse af eksponeringen Besemmelse af N ~ x, S:\KTU\Longevi\Rappor.doc /37

3 6.3 Besemmelse af forvene resleveid Besemmelse af livsvarig livrene SS-programmer 33 ppendiks 34 ppendiks 36 S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 3/37

4 . Indledning Danskerne bliver ældre og ældre. Lid mere eknisk formulere har middelleveiden i en længere periode være sigende i Danmark (som i en række andre lande). En sigende middelleveid kaldes også longevi. Den længere leveid har sor bedning for TP, hvis primære opgave er a de en livslang pension. TP har allerede foreage de førse (akuarekniske) skrid i relaion il longevi. Ved årsskife 998/999 overgik TP således il e dnamisk dødelighedsgrundlag, dvs. forudsæningerne vedrørende dødelighed opdaeres årlig svarende il den senese observerede dødelighed i TP's besand. Formåle med denne rappor er, a belse den overordnede udvikling i dødeligheden i perioden i Danmark vurdere behove for derligere (akuarekniske) skrid i relaion il longevi foreslå evenuelle fremidige ilag i TP Rapporen besår af følgende dele:. Rapporens indhold beskrivelse af de anvende daamaeriale diskussion af meoder il dødelighedsundersøgelse basere på dee maeriale analser af dødeligheden basere på daamaeriale evaluering af TP's dødelighedsgrundlag anbefalinger Vi har ilsræb en grundig dokumenaion af vores overvejelser og resulaer. Vi har bl.a. valg a afslue rapporen med e kapiel, som angiver, hvorledes anvende formler er udled, og hvilke (SS-) programmer, der er bene. 3. Daamaeriale Daamaeriale indeholder dels folkeal og dels anal dødsfald i Danmark fra 835 frem il og med 00. For e give kalenderår er daamaeriale opdel efer fødselsår og indeholder således for hver fødselsår (og for hver køn):. anal personer i befolkningen den. januar. anal dødsfald opdel i -års aldersinervaller S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 4/37

5 Daamaeriale fra 835 og frem il og med 995 er sille il rådighed af Peer Fledelius, men er oprindelig indsamle fra Danmarks Saisik af Kirill ndreev il brug for dennes Ph.d.-afhandling, se ndreev (999). Daamaeriale for perioden 996 il 00 er basere på befolkningsregnskaber indhene direke fra Danmarks Saisik. I resen af denne rappor vil vi bene beegnelsen kohore for fødselsår. 4. Lexis diagrammer Demografiske oplsninger (fx om dødelighed) beskrives ofe ved hjælp af Lexis diagrammer (inroducere af Lexis i 875). I Lexis diagramme (som de ofes benes i dag) udgøres abscissen af kalenderiden, mens ordinaen udgøres af alderen. De enkele individ er repræsenere ved en linie svarende il de aldre og den kalenderid, som vedkommende er under observaion. Linierne i Lexis diagrammer kan være brude, fx hvis de anvendes på befolkningen, hvor personer udvandrer og senere indvandrer igen. Se nedensående figur. alder + - x- x x+ kalenderid figur For en glimrende gennemgang af Lexis diagramme henvises il Keiding (990). 5. Beskrivelse af daamaeriale ved hjælp af Lexis diagramme Vi ager i førse omgang udgangspunk i e konkre kalenderår og en konkre kohore. Dee daamaeriale beskrives dernæs ved hjælp af Lexis diagramme. Eferfølgende formaliserer vi denne beskrivelse for vilkårlig kalenderår og vilkårlig kohore. For åre 994 er der regisrere følgende vedrørende kohore 943: S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 5/37

6 Kohore lder Populaion nal dødsfald Timing Kalenderår Disse regisreringer kan illusreres i e Lexis-diagram som følger (figur ): alder kalenderid figur (nalle under kolonne "populaion" vedrørende iming refererer il populaionen opgjor som de, der flder 5 år i løbe af 994. Se også nedensående fodnoe eller afsni 6..) Formalisere kan daamaeriale beskrives som følger: For e give kalenderår x er daamaeriale som nævn opdel kohorevis (for hver køn). For kohoren, der er fld år primo kalenderår x (dvs. kohoren x--), indeholder daamaeriale således (figur 3): ndreev (999) opgør populaionen på o forskellige måder: Dels populaionen pr.. e give kalenderår (iming ), dels populaionen, der flder en given alder i løbe af e give kalenderår (iming ). Denne opdeling har vi viderefør i daamaeriale, som ligger il grund for denne rappor. Rapporens analser er dog alene basere på populaionen for iming, dvs. populaionen opgjor den.. Vi bemærker, a ndreev (999) beegner populaionen for iming som "cross-ear populaion", mens den for iming beegnes "cross-age populaion". Se ndreev (999), s. 70, eller denne rappors afsni 6.. S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 6/37

7 alder D + + N x, D x, -..x..(x+)..(x+) kalenderid figur 3 Her er:. N : nal personer pr...x for kohoren x--. D : nal personer, som er død i alder i år x, for kohoren x-- 3. : nal personer, som er død i alder + i år x, for kohoren x-- D + Vi bener de angivne oppræfikser "" og "" vedrørende anal dødsfald for a bringe noaionen i overenssemmelse med ndreev (999). 6. Besemmelse af dødelighed Dødeligheden kan angives både som en sandsnlighed og som en inensie. Vi har valg a angive dødeligheden som en inensie, da de ofe er mere hensigsmæssig a arbejde med denne. 6. -, B- og C-grupper af døde Når vi ønsker a besemme dødeligheden ud fra de givne daamaeriale, er der i radiionel demografisk eori (se fx Mahiessen (970)) angive re forskellige måder a opgøre dødeligheden på: -grupper af døde: nalle af døde opgjor efer kalenderår og alder. B-grupper af døde: nalle af døde opgjor efer kohore og kalenderår. C-grupper af døde: nalle af døde opgjor efer kohore og alder. Nedenfor er de re grupper af døde illusrere i Lexis diagramme (figur 4): S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 7/37

8 -grupper af døde B-grupper af døde C-grupper af døde x x+ x+ x x+ x+ x x+ x+ figur 4 De re grupper illusrerer e valg imellem hvilke o af følgende re paramere. alder,. kohoren, eller 3. kalenderåre, som vi illægger sørs væg i analserne (de re parameres bedning for dødeligheden er indbrdes afhængige). Vi vil beegne grupperne af døde ved -, B- og C-grupper. I afsni 7. har vi sammenligne forvenede resleveider ved anvendelse af hver af de re grupper. 6. Esimaion af dødsinensieen De er velkend fra esimaionseorien (se fx Borgan (986)), a ved en fuldsændig observaionsplan er Maximum-Likelihood (ML) esimaoren for dødsinensieen, der anages skkevis konsan i hver alder, give ved occurence/exposure-raer (O/E-raer), dvs. O µ ˆ = (6..) E Her er µ dødsinensieen i alder, O de observerede anal dødsfald og E den samlede eksponeringsid i samme alder. Vi bener denne esimaor ved anvendelse af -, B- og C-grupperne, dvs. a dødsinensieen esimeres ved i O i µ ˆ =, i =, B eller C (6..) E i S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 8/37

9 Her refererer x og il de fremhævede område angive i figur 4 for den beragede gruppe af døde. Endvidere er, B eller C (med oplag idenifikaion) en kor skrivemåde for denne gruppe. Vi underforsår, a esimaoren afhænger af kønne. Denne manglende angivelse af kønne er også gennemfør nedenfor for de undersøge sørrelser, når de ikke er meningsforsrrende. Observerede anal dødsfald, i O - og -erne, se afsni 6.3. D Dx,, i =, B eller C, besemmes uanse grupper direke ud fra Da daamaeriale ikke indeholder idspunkerne for dødsfaldene, vil vi ilnærme eksponeringen i E, i =, B eller C, ved hjælp af -erne, se afsni 6.4. N x, 6.3 Besemmelse af anal dødsfald O x, Vi besemmer anal dødsfald ved: O + O = D D (6.3.) B = D + D (6.3.) C O D + Dx+, = (6.3.3) 6.4 Tilnærmelse af eksponeringen E x, Vi besemmer eksponeringen ved: E E = ½ (N + N ) (6.4.) x, x+, = ½ (N N ) (6.4.) B + x, x+, C E N x+, = (6.4.3) (vi har beskreve andre meoder for ilnærmelse af eksponeringen i afsni 6. og 6.). 6.5 Sammenligning af hisorisk dødelighed besem ud fra de re grupper (, B og C) Vi har foreage en numerisk sammenligning af dødsinensieen µ esimere ved anvendelse af hver af de re grupper (, B eller C). Sammenligningen viser, a vurdere ud fra gennemsnie over alle aldre og alle kalenderår regne fra 900 er relaionen mellem -erne for de enkele grupper følgende: µ x, µ (6.5.) C B x, µ µ Eller udrk ved e-årige overlevelsessandsnligheder: p B p p (6.5.) C S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 9/37

10 Vi opnår dee resula uvæge og ved anvendelsen af eksponeringen som væg sam både for mænd og kvinder hver for sig. Dødeligheden er alså (gennemsnilig) sørs, når vi anvender -grupper og minds, når vi anvender B-grupper. C Forholde angive i (6.5.) kan begrundes heurisisk med, a både og må være sørre end B µ, da personerne, der indgår i de o førsnævne grupper, i gennemsni er ca. ½ år ældre end personerne, der indgår i sidsnævne gruppe for samme kalenderår x og alder. Forholde C mellem og kan forklares med en longevi-effek, ide der ved anvendelse af - µ µ grupper indgår en ældre kohore/e idligere kalenderår end ved anvendelse af C-grupper. µ µ 7. Esimaion af fremidig dødelighed - populaionsmeoden Der findes forskellige meoder il esimaion af fremidig dødelighed. I denne rappor koncenrerer vi os om populaionsmeoden. Populær sag forudsæer denne meode, a den fremidige dødelighed svarer il den senese konsaerede dødelighed. Lid mere præcis vil vi beegne dødeligheden give ved (6..) for senese års observaioner som populaionsmeoden, når den benes som esimaor for den fremidige dødelighed. Vi bruger beegnelsen populaionsmeode, uanse om vi vælger -, B- eller C-grupper. Endvidere bener vi også beegnelsen populaionsmeode, når vi foreager kerneudglaning af dødeligheden give ved (6..). 7. Sammenligning af forvene resleveid besem ved populaionsmeoden for hver af de re grupper (, B og C) I dee afsni undersøger vi bedningen af a vælge, B eller C-grupper. Som sammenligningsgrundlag har vi valg a beregne forvenede resleveider med kerneudglaede dødeligheder (Kerneudglaningen er beskreve derligere i afsni 8.). S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 0/37

11 figur 5 Ovensående figur 5 viser forskel i resleveider for mænd basere på daa for kalenderåre 990. E ilsvarende billede ses for andre kalenderår og for kvinder (dvs. den angivne figur er repræsenaiv for andre kalenderår for både mænd og kvinder). De fremgår af figuren, a forskellen i forvene resleveid mellem gruppe og C er af mindre sørrelsesorden, max. ca. 0, år, mens forskellen mellem gruppe B og de o øvrige grupper er sørre (op il ca. 0,5 år). I de ældre aldre indsnævres forskellen mellem de re forskellige grupper. 8. Vurdering af populaionsmeoden - dødelighed Som nævn i indledningen er emne for denne rappor longevi (de forhold, a middelleveiden i en længere periode har være sigende). Populaionsmeoden forudsæer, a den fremidige dødelighed svarer il den senese konsaerede dødelighed. Hvis dødeligheden forsæer med a falde, vil populaionsmeoden ssemaisk undervurdere de fremidige signinger i levealderen. I de næse kapiler behandles dee forhold i dealjer. Vi har basere vores analser på en (december 003) endnu ikke offenliggjor arikel "Predicion of old-age morali" af Fledelius e al. (00). I ariklen undersøges de, hvilken derligere korrekion der hisorisk se ville have være behov for, såfrem den fremidige dødelighed havde være beskreve ved populaionsmeoden. Den valge meode har en række fordele. Her skal især nævnes, a den er mege udbred og forholdsvis nem a forså. Meoden lægger mege sor væg på hisoriske daa og modelarbejde er begrænse il en anelse kerneudglaning. Den væsenligse ulempe ved meoden er, a når vi vælger a illægge daa så sor væg, opsår der problemer i forhold il akualieen af resulaerne. Da vi har valg a se på de langsigede perspekiver, vejer fordelene dog lang ungere end ulemperne. S:\KTU\Longevi\Rappor.doc /37

12 8. Kerneudglaning i forbindelse med esimaion af dødeligheden Ved esimaion af den fremidige dødelighed ager Fledelius e al. udgangspunk i populaionsmeoden med anvendelse af -grupper, dvs. O µ ˆ = (8..) E O Her er anal dødsfald,, og eksponeringsid,, beskreve ved (6.3.) og (6.4.). Esimaoren (8..) modificeres dog således, a der foreages en kerneudglaning af både anal dødsfald, O, og eksponeringsiden,. E x, Den benede kerneudglaning er o-dimensionel over dels alder og dels kalenderid, og kernevægen er besem som de dobbele produk af Epanechnikov kernen. Epanechnikov kernen er give ved: K Epan. E (x) = 0,75 ( x ) I( x ) (8..) Når vindue b anvendes, er kernevægen for give ved: x ved udregning af den udglaede værdi i x derfor x x (x,x) = 0,75 ( ( ) ) I( x x b) (8..3) b b Epan. K b Heraf følger, a anvende kernevæg for kalenderår x og alder vedrørende den udglaede værdi i kalenderår x og alder er besem ved: 0,75 b b x x ( ( b Epan. K b Epan. (x,x ) K (, ) = b ) ) ( ( b ) ) I( x x b ) I( b ) (8..4) Og dermed er den kerneudglaede værdi vedrørende kalenderår x og alder for anal dødsfald, O, og eksponeringsiden, E, resp. faslag ved: Epan. Epan. O = K (x,x ) K (, ) O (8..5) x= 900 = x= 900 = 0 b b x, Epan. Epan. E = K (x,x ) K (, ) E (8..6) Derudover benes i udregningerne = b 6. b b = b x, S:\KTU\Longevi\Rappor.doc /37

13 Populaionsmeoden bene af Fledelius e al. er nu give som O µ ˆ = (8..7) E 8. Validering ved anvendelse af back-esing Fledelius e al. sammenligner den esimerede dødelighed med den fakiske konsaerede dødelig- senere i dee afsni). Denne pe af validering af en model beegnes back- hed (se eksempel esing. Valideringen udvides endvidere il a omfae funkioner af dødsinensieerne, herunder overlevelsessandsnligheder, forvenede resleveider og livrener. En given funkion basere på dødsinensieer besem ved populaionsmeoden sammenlignes således med samme funkion base- på fakisk dødelighed. re Fledelius e al. beregner både dødelighed ifølge populaionsmeoden og fakiske dødeligheder ved (8..7). Mere formel besemmes de esimerede dødsinensieer ved populaionsmeoden for kohoren, der har alder ' i år x', ved: O pop x', µ ˆ x', =, = ',..., 00 (8..) E x', Mens de fakiske dødsinensieer for samme kohore findes ved: O fak µ ˆ =, = ',, 00, og x = x' - ' + (8..) E (8..) og (8..) sammenlignes nu for hver, eller som funkioner af disse dødsinensieer. I forbindelse med back-esing er de væsenlig, a der ikke er sammenfald mellem de daa, der benes il esimaion og de daa, der indgår i besemmelse af de fakiske observerede dødsinensieer (back-esen). I vores konkree ilfælde er der e vis sammenfald mellem daa, der indgår il besemmelse af dødeligheden ifølge populaionsmeoden, og daa vedrørende fakisk dødelig- hed i de nærmese år efer åre, som populaionsmeoden er basere på. Dee skldes kerneudglaningen og analle af år, hvor der er sammenfald, afhænger af vinduesbredden. Vi vurderer, a sammenfalde er uden væsenlig bedning, ide en evenuel korrekion af (8..) og (8..) ikke vil ændre ved de konklusioner, vi drager på basis af den anvende back-es. 8.. Eksempel Fledelius e al. ager i alle deres eksempler udgangspunk i en 65-årig og anager desuden, a den maksimale alder er 00 år. S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 3/37

14 Ved anvendelse af populaionsmeoden i 960 il esimaion af den fremidige dødelighed for de 65-årige i dee år (dvs. kohore 895), findes denne som: O pop 960, 960, E960, µ ˆ =, = 65,..., 00 (8...) Denne dødelighed sammenlignes med den fakiske dødelighed for samme kohore ved back-es, dvs. (8...) sammenlignes med O fak E µ ˆ =, = 65,, 00, og x = (8...) I nedensående figur 6 er forskellen mellem de o dødeligheder også illusrere: alder Esimere (populaionsmeoden) Fakisk kalenderår figur Forholde mellem esimerede og fakiske dødsinensieer For en række kalenderår beregnes de esimerede fremidige dødeligheder ifølge populaionsmeoden for kohoren, som flder 65 år i de givne kalenderår. Disse esimerede dødeligheder sam- med de dødeligheder, som ren fakisk indraf i de eferfølgende år for denne kohore menlignes (jf. figur 6). Vi har valg a illusrere forholde mellem dødeligheden ifølge populaionsmeoden og den fakiske dødelighed ved kvoienen mellem disse o sørrelser, jf. eksemple herunder. S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 4/37

15 8.3. Eksempel Den fremidige dødelighed esimeres i 960 ved populaionsmeoden for kohoren, som er 65 år i dee kalenderår, dvs. kohore 895. De fakiske dødeligheder for denne kohore findes i kalenderårene 960 frem il 995, hvor kohoren bliver 00 år. I nedensående figur 7 er forholde mellem esimere og fakisk dødelighed angive for denne kohore (kvinder): figur 7 Fx angiver værdien på ca.,4 i alder 85, a populaionsmeoden har overvurdere den fakiske dødelighed med ca. 40 % i denne alder. Som de fremgår af figuren, er forholde for alle aldre sørre end, dvs. a populaionsmeoden i dee eksempel har esimere dødeligheden for høj i alle aldre fra 65 år il 00 år. 8.4 Forholde mellem esimerede og fakiske resleveider. På baggrund af de enkele års dødsinensieer kan vi beregne de forvenede resleveider for en 65-årig både ud fra populaionsmeodens dødeligheder og de fakiske dødeligheder. Disse o forvenede resleveider afbildes som funkion af kalenderåre, hvor kohoren flder 65 (dvs. kalenderåre afspejler både de år, den pågældende kohore flder 65 år, og åre for anvendelsen af populaionsmeoden il esimaion af den fremidige dødelighed for denne kohore). Vi har daa il og med år 00 og berager alene kohorer, hvor vi har regisreringer for den fakiske dødelighed frem il og med de flde 00 år. Den senese kohore, vi analserer, er derfor danskere fød i 90. Denne kohore flde 65 i åre 966. Ved hjælp af formlen (6.3.) kan den forvenede resleveid i år x for en 65-årig med dødelighed ifølge populaionsmeoden, ˆµ, jf. (8..), besemmes ved: pop S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 5/37

16 00 = 65 ˆ pop (exp( ) ( exp( ˆ pop µ x,u µ x, ))) (8.5.) ˆ pop µ u= 65 x, Tilsvarende er den forvenede resleveid i år x for en 65-årig besem ud fra den fakiske dødelighed, ˆµ, jf. (8..), give ved: fak 00 = 65 ˆ fak (exp( ) ( exp( ˆ fak µ x+ u 65,u µ x 65, ))) ˆ fak + (8.5.) µ u= 65 x+ 65, Resleveiderne give ved (8.5.) skal kor beegnes forvene resleveid for esimere dødelighed (da vi alene berager populaionsmeoden i denne rappor il esimaion af fremidig dødelighed, bør beegnelsen ikke give anledning il misforsåelser). Tilsvarende vil vi beegne (8.5.) for den forvenede resleveid for fakisk dødelighed. I figurerne 8 (kvinder) og 9 (mænd) nedenfor er den forvenede resleveid for esimere og fakisk dødelighed for de 65-årige opegne som funkion af kalenderåre (dvs. de år kohoren flder 65): figur 8 S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 6/37

17 figur 9 De overordnede billede for begge køn er, a den forvenede resleveid for fakisk dødelighed har være sigende gennem den beragede periode. Fx levede 65-årige kvinder i 966 ca. 4,4 år længere end deres jævnaldrende i 90, mens de ilsvarende al for mænd var,6 år. De fremgår også ved sammenligning af de o figurer, a 65-årige kvinder for alle årene har haf en højere fakisk forvene resleveid end mændene, og a denne forskel er øge gennem perioden. Med hensn il populaionsmeodens esimaion af forvene resleveid for fakisk dødelighed viser graferne følgende: For kvinder har populaionsmeoden frem il ca. 9 esimere den forvenede resleveid for fakisk dødelighed ilfredssillende. Herefer har populaionsmeoden for kvinder esimere forvene resleveid for fakisk dødelighed for lav. Forskellen mellem de o resleveider har være op il ca.,6 år (kalenderår 966). For mændene har populaionsmeoden sor se for alle årene undervurdere den forvenede resleveid for fakisk dødelighed. Forskellen mellem de o resleveider har være op il ca. 0,8 år (kalenderår 938). 9. Vurdering af populaionsmeoden - hensæelser Beregningen af pensionshensæelser er bl.a. basere på forudsæninger om den fremidige dødelighed. Når dødeligheden ændres, ændres derfor også hensæelserne. Ændring i dødelighed har sørs bedning for de livsvarige livrener bland de forskellige per af forsikringsproduker og lang den overvejende del af TP s hensæelser vedrører livsvarige livrener. I denne rappor fokuserer vi derfor udelukkende på livsvarige livrener, når vi undersøger den finansielle effek af longevi. I de eferfølgende sammenlignes livsvarige livrener basere på dødeligheden esimere ud fra populaionsmeoden med livsvarige livrener basere på den fakiske dødelighed. (Vi skal indskde, a den livsvarige livrene er en kor skrivemåde for den forvenede nuidsværdi af den koninuere bealingssrøm på kr., så længe forsikringsager lever. Vi skal endvidere bemærke, a en livsvarig livrene principiel dannes ved a ilføje diskoneringsfakorer il overle- S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 7/37

18 velsessandsnligheder. Dermed svarer forvene resleveid il en livsvarig livrene med en renefod lig nul). Ved hjælp af formel (6.4.3) kan livrener i år x for en 65-årig for esimere dødelighed, (8..), besemmes ved: pop ˆµ, jf. a 00 ˆ pop (exp( ( )) ( exp( ( ˆ pop = δ + µ x,u δ + µ x, )))) (9.) ˆ pop δ + µ pop x,65 = 65 u= 65 x, Her er δ = log( + i), hvor i er diskoneringsrenen. Tilsvarende er livrener i år x for en 65-årig for fakisk dødelighed, fak ˆµ, jf. (8..), give ved: a 00 ˆ fak (exp( ( )) ( exp( ( ˆ fak = δ + µ x+ u 65,u δ + µ x 65, )))) ˆ fak + (9.) δ + µ fak x,65 = 65 u= 65 x+ 65, Livrener for dels esimere og dels fakisk dødelighed er opegne som funkion af kalenderåre ved anvendelse af en 5 % diskoneringsrene i nedensående figur 0 (kvinder) og (mænd): figur 0 S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 8/37

19 figur Som vi havde forvene, minder figur 0 og mege om figur 8 og 9 (de generelle niveau er lavere som følge af anvendelse af diskoneringsrenen). Den sigende værdi vedrørende fakiske dødeligheder viser, a longevi-effeken har sor indfldelse på sørrelsen af den livsvarige livrene. Forskellen mellem livrenerne viser, a hisorisk se medfører populaionsmeoden ofes en undervurdering af sørrelsen af livrenen for fakisk dødelighed. Forskellen mellem livrener for fakisk og esimere dødelighed udgør således op il 0,6 (kalenderår 966) for kvinder og 0,3 (kalenderår 938) for mænd. S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 9/37

20 0. Vurdering af populaionsmeoden - reneredukion Til a beskrive forskellen mellem livsvarige livrener for esimere og fakisk dødelighed indfører Fledelius e al. en eksra forrenning udover diskoneringsrenen. Eksra forrenningen illægges således diskoneringsrenen ved beregning af livrener for fakisk dødelighed. Forskellen angives nu som den eksra forrenning, hvormed de o livrener er lig hinanden. De forekommer umiddelbar mere anvendelig a lade livrener for esimere dødelighed være udgangspunke svarende il beregningerne ved opgørelse af hensæelserne. I denne rappor anvendes derfor i sede en reneredukion il diskoneringsrenen. Med denne ilgang opgøres livrener for esimere dødelighed diskonere med diskoneringsrenen frarukke reneredukionen. Den reneredukion, hvormed de o livrener er ens, angiver så forskellen. Beskrives ovensående maemaisk, findes de ε, hvormed er lig a fak x,65 00 ˆ pop (exp( ( )) ( exp( ( ˆ pop = δi, ε + µ x,u δi, x, )))) ˆ pop ε + (0.) δ + µ pop,65, ε µ = 65 u= 65 i, ε x, x a, jf. (9.). Her er = log( + i ε). De er endvidere underforsåe, a ε afhænger af kalenderåre x. δi, ε De ε, der opflder, a (0.) og (9.) er lig hinanden, skal også kor beegnes den nødvendige reneredukion. I sede for a besemme de eksake ε har vi i førse omgang sammenligne (0.) med (9.) for forskellige passende værdier af ε. I figur (kvinder) og 3 (mænd) herunder har vi afbilde den livsvarige livrene som funkion af kalenderåre ved anvendelse af en 5 % diskoneringsrene med esimere og fakisk dødelighed ved forskellige reneredukioner. S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 0/37

21 figur figur 3 De fremgår af figur og 3, a den nødvendige reneredukion varierer noge gennem den beragede periode. De ses endvidere, a der har være perioder, hvor reneredukionen har være negaiv svarende il en signing i dødeligheden. Overordne berage sikrer e sikkerhedsillæg besående af en reneredukion på omkring 0,8 % for kvinder og 0,6 % for mænd, a livrenen beregne for esimere dødelighed er il den sikre side ved sammenligning med livrener for fakisk dødelighed. I figur og 3 har vi som nævn beregne hensæelserne for passende diskree værdier af reneredukionen ε. Herunder vil vi beregne den nøjagige reneredukion ved hjælp af numeriske meoder il løsning af ikke-lineære ligninger. Resulaerne fremgår af figur 4 for både kvinder og mænd: S:\KTU\Longevi\Rappor.doc /37

22 figur 4 Konklusionerne er naurligvis de samme ud fra figur 4 som ud fra figur og 3, men figur 4 er måske mere illusraiv end de o forrige figurer. De fremgår fx deligere af figur 4, a mænd og kvinder har forskellig forløb med hensn il den nødvendige reneredukion il sikring af ilsrækkelige hensæelser for livrener. I begndelse af den beragede periode var reneredukionen således sørre for mænd end for kvinder, men dee billede vende i resen af den beragede periode. Hidil har vi alene berage de 65-årige. I figur 5 har vi illusrere reneredukionen besem for forskellige udvalge aldre (for kvinder). figur 5 Figur 5 kræver nok lid nærmere forklaring. Berager vi kohoren af kvinder fra 885, vil den i kalenderåre 90 være 35 år. En sammenligning af pensionsforpligelserne for denne kohore på dee idspunk opgjor med esimere og fakisk dødelighed (svarende il figurerne og 4) fører il en reneredukion på ca. 0,5 %. Berages den samme kohore i kalenderåre 940, vil den på dee idspunk være 55 år. En sammenligning af pensionsforpligelserne for denne kohore på dee idspunk opgjor med esimere og fakisk dødelighed (igen svarende il figurerne og 4) fører nu il en reneredukion på ca. 0,7 %. Vi bemærker, a den maksimale reneredukion varierer en del med alderen. For de 35-årige er den over 0,8 % og for de 75- og 85-årige ca., %. Vi bemærker endvidere, a variaionen er krafigs for de 75- og 85-årige. Tilsvarende undersøgelse for mænd viser e lignende resula som figur 5 (dog er niveaue for reneredukionen lavere).. Vurdering af dødeligheden - besandsberagninger S:\KTU\Longevi\Rappor.doc /37

23 I kapilerne ovenfor har vi analsere dødsinensieer, resleveider og reneredukioner på kohoreniveau. I dee kapiel ønsker vi a analsere dødelighedseffeker på en hel forsikringsbesand.. Dødelighedens bedning for de samlede pensionsmæssige hensæelser Førs vil vi illusrere dødelighedens bedning for de pensionsmæssige hensæelser. De samlede pensionsmæssige hensæelser afhænger bl.a. af besandens sammensæning reneforudsæninger, og dødelighedsforudsæninger Da vi ønsker a analsere bedningen af ændringer i dødeligheden, har vi valg a fasholde forudsæningerne om besandens sammensæning og renen. Vi ager således udgangspunk i TP's samlede besand af livsvarige livrener ( 9-pensionsreigheder) ulimo 00 opdel på køn og kohorer og anager, a denne besand af reigheder har være gældende også hisorisk se. Renen holdes fas svarende il markedsrenen ulimo 00 (= 4,985 %). For perioden fra 84 il 00 esimerer vi ulimo hver år dødeligheden efer populaionsmeoden. På baggrund af fashold besand og rene beregner vi de samlede hensæelser ulimo hver år med den esimerede dødelighed, se nedensående figur 6. figur 6 I den beragede periode siger hensæelserne fra ca. 0 mia. kr. il ca. 00 mia. kr. Signingen har være forholdsvis jævn over hele perioden og der er kun ganske kore perioder, hvor hensæelserne er faldende. S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 3/37

24 . Vurdering af populaionsmeoden besandsberagninger I dee afsni ønsker vi a vurdere populaionsmeoden på besandsniveau. Vi bener samme besands- og reneforudsæninger som i afsnie ovenfor. For hver kalenderår ønsker vi a besemme den nødvendige reneredukion, dvs.: Vi beregner de samlede hensæelser for besanden med fakiske dødeligheder. Disse hensæelser sammenligner vi med hensæelserne for besanden opgjor ud fra populaionsmeodens dødelighed og med en redukion af renen. Den nødvendige reneredukion findes herefer som den reneredukion, for hvilke de o hensæelser er ens. For a lee sammenligningen har vi valg a foreage beregningerne for samme aldersgrupper for alle kalenderår. Maemaisk beskreve findes alså de ε i kalenderår x, hvormed 00 pop ( p00,,la,l, ε ) = ( 00,,l = xsen (00 00) l {k,m} = xsen (00 00) l {k,m } 00 p a fak,l ) x sen p 00, Her er x sen, de senese kalenderår, hvor vi besemmer en nødvendig reneredukion, dvs. de skal gælde, a x. Endvidere er de samlede ( 9-) pensionsreigheder ulimo 00 for alder, mens variablen l refererer il kønne (k/m). Jf. i øvrig formel (9.) og (0.). De ses af formlerne, a jo senere e kalenderår x sen vi vælger ved beregningen af den nødvendige reneredukion på besandsniveau, jo højere er mindsealderen for de kohorer, vi kan medage i beregningerne. Forklaringen på dee er, a vi kun berager kohorer, hvor vi har regisrere dødeligheden frem il alder 00. f figur 7 herunder fremgår de, a hovedparen af hensæelserne (beregne med 00-dødelighed for TP's besand) vedrører de midaldrende og ældre. 73 % af 9-hensæelserne vedrører således gruppen af de 50-årige og ældre. På baggrund af figuren har vi valg a analsere besande svarende il aldre sørre end eller lig 39, 49, 59, 69 og 79. lernaiv kan vi age udgangspunk i e kalenderår, x sen, og så gradvis anvende ngre og ngre aldre jo idligere kalenderår, vi sammenligner. Dvs. for, finder vi de ε, hvor: x x sen pop fak ( p00,,la,l, ε ) = ( p00,,la,l ) = x (00 00) l {k,m} = x (00 00) l {k,m } S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 4/37

25 figur 7 figur 8 f figur 8 fremgår resulaerne for de senese 0 års dødeligheder, vi kan analsere for besanden fra alder 49 frem il alder 00 (disse år omfaer kohorerne fra 79 frem il 90). For kalenderåre 930 er der på figuren angive en reneredukion på ca. 0,4 %. Dee resula beder, a hvis vi havde anvend populaionsmeoden i 930 og anvend en reneredukion på 0,4 % som sikkerhedsillæg il diskoneringsrenen, ville vi dermed have haf ilsrækkelige hensæelser il a indfri de fakiske udbealinger (i perioden 930 il 98) for besanden. De ilsvarende resulaer med hensn il besande for aldre sørre end eller lig 39, 59, 69 og 79, kan ses i appendiks. Vi har valg a summere resulaerne i følgende abel : Frakiler for den nødvendige reneredukion (i %) som funkion af mindsealderen, der indgår i beregningerne S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 5/37

26 Frakiler i % aldre 39 aldre 49 aldre 59 aldre 69 aldre ,6 0,6 0,6 0,73 0, ,58 0,59 0,57 0,68 0, ,44 0,46 0,43 0,56 0, ,33 0,3 0,9 0,33 0,3 50 0,6 0,5 0,3 0,9 0,8 5 0,0 0,7 0, 0,06-0,0 0 0,5 0,0 0,0-0,09-0, 5 0,4 0,07-0,0-0,3-0,45 0, 0,05-0,06-0,9-0,65 abel Tabellen skal læses på følgende vis: For besanden af pensionsreigheder med mindsealder 39 har der i 50 % af de beragede år være behov for en reneredukion på op il 0,6 % for a age højde for udviklingen i dødeligheden. Hvis vi ønsker en højere sikkerhed, øges den nødvendige reneredukion (som eksempel har 90 % sikkerhed hisorisk se kræve en reneredukion på 0,44 % for aldre over 39). De fremgår af abellen, a medianen (50 % frakilen) falder svag med sigende alder, men variaionen (og dermed de høje frakiler) siger med alderen.. Populaionsmeoden - konklusioner Undersøgelserne ovenfor indikerer, a populaionsmeoden esimerer den fremidige dødelighed ilfredssillende, ide der dog samidig er behov for a anvende en reneredukion il opgørelsesrenen/markedsrenen som e sikkerhedsillæg/finansieringsillæg. nalserne i de foregående kapiler giver os e billede af, hvilken grad af sikkerhed en given reneredukion ville have give hisorisk se på TP s nuværende besand. En reneredukion på 0,6 % havde hisorisk se give sikkerhed på ca. 95 %, en reneredukion på 0,5 % havde give sikkerhed på ca. 90 %, en reneredukion på 0,3 % en sikkerhed på ca. 75 % og en reneredukion på 0,5 % havde hisorisk se give sikkerhed på ca. 50 %. 3. TP's nuværende dødelighedsgrundlag TP anvender i dag e dnamisk dødelighedsgrundlag. De dnamiske besår i, a grundlage opdaeres årlig. I dee kapiel gennemgår vi kor principperne i TP s nuværende dødelighedsgrundlag og vurderer grundlage på baggrund af analserne i de foregående kapiler. TP's dnamiske dødelighedsgrundlag kan beskrives ved:. en årlig opdaering af dødelighedsforudsæningerne svarende il senese års konsaerede dødelighed. e sikkerhedsillæg/finansieringsillæg S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 6/37

27 Den årlige opdaering af dødeligheden foreages ved hjælp af meoder, der svarer il populaionsmeoden beskreve i de forrige kapiler. Sikkerheds- eller finansieringsillægge afhænger af, hvornår bidragene er indbeal. For bidrag indbeal fra og med 00 (den ne TP-ordning) besår illægge af en eksplici reneredukion på 0,5 %. For bidrag il og med 00 (den gamle TP-ordning) besår illægge af en aldersredukion på ½ år. Denne aldersredukion ækvivalerer p.. med en reneredukion på ca. 0, %. I appendiks har vi beskreve TP's dnamiske dødelighedsgrundlag mere dealjere. Vi har i denne rappor anskueliggjor, a populaionsmeoden i kombinaion med en reneredukion il opgørelsesrenen/markedsrenen som e sikkerheds- eller finansieringsillæg esimerer den fremidige dødelighed ilfredssillende. De er derfor vores konklusion, a TP's dødelighedsgrundlag er konsruere hensigsmæssig. TP besemmer som nævn de senese års dødelighed ved en meode, der grundlæggende svarer il populaionsmeoden. Vi kan derfor bene resulaerne i denne rappor vedrørende den nødvendige reneredukion direke il vurdering af sikkerhedsillægge i TP's dødelighedsgrundlag. S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 7/37

28 4. De videre arbejde Med denne rappor har vi afslue førse del af analserne vedrørende longevi. Vi er på nuværende idspunk ved a eablere e samarbejde med Københavns Universie vedrørende specialevejledning af suderende. Vi forvener, a de næse skrid vedrørende longevi bliver: nalser af dødelighed i de ældse aldre Kohoredødeligheder, dvs. analser af sammenhængen mellem dødeligheden i unge og i ældre aldre Fordele og ulemper ved a anvende (parameriserede) modeller S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 8/37

29 5. Referencer NDREEV, K (999). Demographic surfaces: Esimaion, ssessmen and Presenaion, wih applicaion o Danish Morali, Ph.D. Thesis. Universi of Souhern Denmark. BORGN, Ø. (986). Lecure noes in life hisor analsis. Preliminar version (Jul 986). Insiue of Mahemaics, Universi of Oslo. FLEDELIUS, P., NIELSEN, J. P. (00). Predicion of old-age morali. Ikke publicere (december 003). KEIDING, N. (990). Saisical inference in he Lexis diagram. Phil. Trans. R. Soc. Lond., 33, MTTHIESSEN, P. C. (970). Teoreisk Demografi. Københavns Universie. S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 9/37

30 6. Formler m.v. Nedenfor følger en række formelbesemmelser m.v. 6. nden meode il besemmelse af eksponeringen I afsni 6.3 ilnærmes eksponeringen ved hjælp af populaionen opgjor pr... I overenssemmelse med den ovenfor benede noaion skal denne populaion beegnes. I sede for anvendelse af N -erne kan eksponeringen også ilnærmes ved populaionen, som flder en given alder i løbe af kalenderåre. Lad denne populaion være beegne N ~. N I nedensående figur 9 er forskellen på N og N ~ x, illusrere: + + N x, N ~ - -..x..(x+)..(x+)..x..(x+)..(x+) figur 9 Med udgangspunk i N ~ x, -erne ilnærmes eksponeringen som følger: B C E ~ (N ~ N ~ = + + ) (6..) E ~ = N ~ (6..) E ~ (N ~ N ~ = + x+,+ ) (6..3) I de eferfølgende afsni 6. er angive formel il beregning af N ~ x,. 6. Besemmelse af N ~ x, I ndreev's Ph.d.-afhandling, s. 8, angives følgende formel il beregning af N ~ x, : N ~ x, = ((N D ) + (N x+, + D x, )) (6..) S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 30/37

31 Formlen efervises nedenfor: Hvis M beegner neoindvandringen, og denne opdeles svarende il anal dødsfald, så gælder de, a N ~ = N M (6..) D + De gælder endvidere, a N + x+, = N D D + M M (6..3) Når neoindvandringen er ligelig fordel, og dermed, så kan (6..3) også skrives M = M + M = N + D + N x+, D (6..4) dvs. M = ( N + D + N x+,+ D x, ) (6..5) (6..) følger nu af (6..) og (6..5). 6.3 Besemmelse af forvene resleveid For den reelle og posiive sokasiske variable Y R + er 0 EY = P(Y s)ds (6.3.) Når dødsinensieerne anages konsane i helårige aldersinervaller, gælder de derfor, a forvene resleveid i alder er give ved: E (Y Y ) = 0 P(Y P(Y + = = s Y P(Y s Y )ds = )ds = s Y (P(Y Y ) )ds = + P(Y s Y )ds) = S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 3/37

32 (exp( µ du) exp( = = = (exp( u= + u µ du)) = s + µ u ) [ exp( µ (s ))] ) = µ (exp( µ u ) ( exp( µ ))). (6.3.) µ u= 6.4 Besemmelse af livsvarig livrene Nuidsværdien i alder af en livrene, der er opsa il alder 65, er give ved s (65 ) 0 v I(Y + s)ds (6.4.) Her er v =, hvor i er diskoneringsrenen. + i Dermed er den livsvarige livrene (annuieen) i alder, ( 65 ) 0 a, besem ved (65 ) 0 s s E ( v I(Y + s)ds Y ) = v P(Y + s) Y )ds (6.4.) (65 ) 0 nager vi, a dødsinensieerne er konsane i helårige aldersinervaller, og sæes δ = log( + i), gælder de derfor, a s ( 65 ) 0 a = v P(Y + s Y ) ds = (65 ) 0 65 v s P(Y + = (65 ) = (65 ) ( v v s x s Y P(Y P(Y )ds = s Y Y )ds = ) + v s (exp( ( δ + µ )du) exp( = (65 ) = (65 ) = (65 ) (exp( + P(Y s Y u ( δ + µ )du)) = s )ds) = + ( δ + µ u )) [ exp( ( δ + µ ) (s ))] ) = ( δ + µ ) u= (exp( ( δ + µ u )) ( exp( ( δ + µ )))) (6.4.3) ( δ + µ ) u= S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 3/37

33 7. SS-programmer lle SS-programmer er placere i biblioeke "s:\aku\longevi\ss-programmer\" i passende underbiblioeker heril. Beregning af dødsinensieen for hver af de re grupper (, B og C) foreages i programme "O_E_raer.sas", der er placere i underbiblioeke "\Beregning af O-E-raer\". Sammenseds er placere SS-programmerne "Samln_a_b_c_numerisk.sas" og "Samln_a_b_c_grafisk.sas", der sammenligner dødsinensieen µ beregne for de nævne re grupper, jf. afsni 6.5 og figur 5. Figurerne 4 il i ariklen af Fledelius e al. (figurer 7 il 3 i denne rappor) dannes i SS-programmer, der er placere i underbiblioeke "\Genskabelse af Fledelius e al\". Underbiblioekerne heril er selvforklarende. Figur 4, 5 og 8 i denne arikel opegnes i SS-programmer, der findes i underbiblioeke "\Overbgning på Fledelius e al\". Figur 4 og 5 således ved hjælp af programme "Livrener_eksak.sas", mens figur 8 ved "Rene_hens.sas". Figur 6 og 7 dannes i programmerne "Hensaeelser.sas" og "Kumulaiv_hens.sas" resp. placere i underbiblioek "\Udvikling i TP's hensæelser". Endelig besemmes frakilerne i abel ved hjælp af SS-programme "Frakiler_rene.sas" i underbiblioeke "\Overbgning på Fledelius e al\". S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 33/37

34 ppendiks Nedenfor er opegne den nødvendige reneredukion vedrørende besanden for forskellige aldre. For aldre 39: For aldre 59: S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 34/37

35 For aldre 69: For aldre 79: S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 35/37

36 ppendiks TP's dnamiske dødelighedsgrundlag besår af. en årlig opdaering af dødelighedsforudsæningerne svarende il senese års dødelighed. e sikkerhedsillæg Nedenfor følger en maemaisk/eknisk beskrivelse af., dvs. TP's årlige opdaering af dødelighedsforudsæningerne svarende il senese års dødelighed. Beskrivelsen er hene fra TP's Pensions- og hensæelsesgrundlag. Eferfølgende redegøres også for., dvs. sikkerhedsillægge. Mænds og kvinders dødssandsnligheder q x, og q, anvend i år, beregnes med udgangspunk i den senes observerede dødelighed (år -) for den del af TP-besanden, som er bosa i Danmark for henholdsvis mænd og kvinder. Dødssandsnlighederne kerneudglaes som vis nedenfor: ~ N x q x, = ~, = T x, hvor K( ω) er definere ved 5 K ( ω ) ( ω ) 6 og hvor b = 6 = ω s = 6,.., 9 s = 6,.., 9 x s K( ) N b b x, s x s K ( ) T b b x, s ~ N x, ~ T x, = anal beregnede dødsfald bland x-årige mandlige medlemmer i år - = anal beregnede x-årige mandlige medlemmer i år - N x, s T x, s = konsaerede anal døde mandlige medlemmer i aldersinervalle [x-s;x+s] = observerede anal mandlige medlemmer i aldersinervalle [xs;x+s] For aldre over 90 il og med 9 beregnes dødeligheden lineær med udgangspunk i dødssandsnligheden for mænd i alder 90 med en årlig signing på 0,075: q x, q = 90, + 0,075 (x-90) for 90< x< 0 for x 0 S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 36/37

37 Med hensn il sikkerhedsillægge afhænger dee af ordningen 3. For den ne ordning i TP anvender vi en redukion i diskonerings-/markedsrenen på 0,5 % som sikkerhedsillæg. For den gamle ordning i TP besår sikkerhedsillægge af en aldersforskdning. ldersforskdningen indebærer, a hver medlem anages ½ år ngre end den fakiske alder. Teknisk se er denne forskdning i øvrig en konsekvens af anvendelse af B-grupper. 3 TP besår af o ordninger, den ne og den gamle ordning. Den ne ordning vedrører reigheder opjen for bidrag for 00 og senere, mens den gamle ordning vedrører reigheder opjen for bidrag il og med 00. S:\KTU\Longevi\Rappor.doc 37/37