Elementær Mtemtik Trigonometri Ole Witt-Hnsen 11
Indhold 1. Vinkler...1. Sinus, osinus og tngens...3.1 Overgngsformler...4 3. Den retvinklede treknt...6 4. Den lmindelige treknt. Sinus og osinus reltionerne...8 4.1 Projektion på en linie...9 4. Kordeformlen. Sinusreltionerne...1 4.3 Cosinusreltionerne...1 4.3 Arelet f en treknt ved trigonometri...13 4.4 De 5 trekntstilfælde...14
Trigonometri 1 1. Vinkler To hlvlinier med fælles egyndelsespunkt siges t dnne en vinkel. Det fælles egyndelsespunkt kldes for vinklens toppunkt. Set fr toppunktet tler mn om vinklens venstre en og højre en. Det mest lmindelige måltl for vinkler er grdtl. Grdtllet estemmes ved t tegne en irkel med entrum i vinklens toppunkt og med en vilkårlig rdius. Denne irkel inddeles i 36 lige store stykker, og hvert stykke etegnes 1 (én grd). Hele irklen er således 36. Vinklen måles d ved det ntl grder, som den fskærer på irklen. Med denne definition er ligger en vinkel ltid mellem og 36. Bemærk, t 1 ikke er en længde, men fhænger f (fktisk proportionl med) irklens rdius. Lidt mere formelt kn mn sige, t grdtllet for vinklen er 36 gnge den røkdel, som uen udgør f irklens omkreds. v 36 r Vinklen mellem hlvlinierne l og m etegnes (lm). Vi vil nu indføre vinkler, som er negtive og som er større end 36. For t gøre dette tegner vi et koordintsystem og en enhedsirkel med entrum i (,). Vi indlægger d vinklen, så toppunktet er i (,) og l flder smmen med x-ksens positive retning. Vi indfører nu en omløsretning i plnen, således t en drejning mod uret regnes for positiv og modst negtiv. Begrundelsen for dette vlg kunne være, t jordens rottion set fr nordpolen er positiv. Smtidig indfører vi vinkler, som er større end 36 eller mindre end -36, ved drejninger som evæger sig mere end en gng rundt. Ved en retningsvinklen for en hlvlinie l, som hr egyndelsespunkt i O, forstår mn en drejning, der fører x-ksens positive hlvkse over i l. Liniens skæringspunkt med enhedsirklen, kldes for retningspunktet for vinklen.
Trigonometri Med udvidelse f vinkelegreet, ses det, t en hlvlinie hr uendelig mnge retningsvinkler. Hvis v er den numerisk mindste, så vil nemlig v + 36, v - 36, v + 36.osv., også føre x over i l. Smtlige retningsvinkler kn d skrives: (xl): v = v + p 36, p Z Med det udvidede vinkelegre, vil vi nu ved en vinkel (lm) mellem to linier l og m forstå en drejning, der fører l over i m. Smtidig vil der (indlysende) gælde (ml) = -(lm). Hvis u, v og w er retningsvinkler for (xl), (xm) og (lm), følger en indskudsreglen for vinkler. (xm) = (xl) +(lm) (lm) = (xm) (xl) w = v - u Vi hr her enyttet x-ksen som den ene hlvlinie, men det er underordnet. Hvis linierne er som vist på tegningen er sætningen indlysende. Der er også underordnet om retningsvinklerne er større eller mindre end 36. Hvis m ligger mellem x og l, vil der derimod gælde: (xl) = (xm)+(ml) (xl) = (xm)-(lm) (xm)=(xl)+(lm) (lm) =(xm) (xl) Vi ser, t såvel indskudssætningen, som udtrykket for en vinkel mellem l og m er uforndret det smme. Hvis linierne ligger i rækkefølgen m, l, x, vil der gælde: (xl) (mx) =(ml) + (lx)+ -(xm) = -(lm)-(xl) (xm)=(xl)+(lm) (lm) =(xm) På smme måde, kn mn vise, t ligegyldig, hvd pleringen er f x, l og m, så gælder indskudssætningen for vinkler, og t mn ltid kn finde en vinkel w mellem to hlvlinier med retningsvinkler u og v som w = v u Eksempel
Trigonometri 3 Når mn tler om vinklen mellem to linier, er det i lmindelighed den numerisk mindste vinkel. Vi vil estemme vinklen mellem de to linier l og m, som hr retningsvinklerne u = og v = -37. Vinklen er ifølge ovenstående: w = v u. w = -37 = -57. Den numerisk mindste vinkel er derfor (18-57 )=77.. Sinus, osinus og tngens Der er tegnet et koordintsystem med en enhedsirkel. Ld der være givet en vinkel med grdtl v (evt. større end 36 eller negtiv). Ld x-ksens positive hlvlinie udføre en drejning på v. Skæringspunktet mellem linien og enhedsirklen kldes for retningspunket P for v. Vi definerer herefter os v, (læses: osinus til v), og sin v, (læses: sinus til v), som henholdsvis sisse og ordint til vinklens retningspunkt. P(os v, sin v) v kldes for rgumentet til os v. Efter indførelsen f mtemtiske lommeregnere skriver mn ind imellem os v og sin v, med en prentes omkring rgumentet, som os(v) og sin(v). Det ses umiddelrt, t os = 1, sin =, os 9 =, sin 9 = 1, os 18 = -1, sin18 =, os 7 =, sin 7 = -1 Mn hr for vne, t skrive potenser f os v og sin v uden rug f prenteser. Således skriver mn (os v) som os v. Det må ikke forveksles med os v, d dette etyder, t mn tger osinus f kvdrtet på vinklen. Tilsvrende (sin v) 3 skrives sin 3 v.
Trigonometri 4 Det ses f figuren t OP =1. Udregnes OP med fstndsformlen mellem O(,) og P(os v, sin v), får mn. OP 1 (os v - ) (sin v - ) os v sin v 1 Denne vigtige reltion etegnes ofte som grundreltionen mellem osinus og sinus. Foruden sinus og osinus, definerer mn tn v (læses: tngens til v) og ot v (læses: otngens til v). De er defineret ved: sin v tn v, v 9 p 18, osv p Z osv ot v, v p 18, sin v p Z Foreholdene for vinklerne er gjort fordi nævnerne ikke må live nul. Der gælder t tn v ot v =1. I lmindelighed nvender mn nu om dge kun tngens. Vi vil vise, t tn v kn flæses, hvor forlængelsen f OP (vinklens ndet en) skærer irkeltngenten i E. Hældningskoeffiienten for denne linie kn nemlig udregnes ved de to punkter: O(,) og P(os v, sin v) smt punkterne O(,) og T(1,t) (som ligger på tngenten). (Se figuren ovenfor) sin v t osv 1 tn v t.1 Overgngsformler Vi vil nu vise nogle nyttige formler, der knytter sinus, osinus og tngens smmen med vinkler, der hr retningspunkter, der ligger symmetrisk med hensyn til koordintkserne. Sådnne formler kldes for overgngsformler.
Trigonometri 5 På den første figur er indtegnet vinklerne v og v. De to retningspunkter P og Q, hr ifølge definition f retningspunkt koordinterne (os v, sin v) og (os(- v), sin(- v)). D punkterne ligger symmetrisk mht. 1. ksen hr de smme sisse og modstte ordinter. Der gælder derfor: os(-v) = os(v) og sin(-v) = - sin v Når vinklen skifter fortegn er osinus uforndret mens sinus skifter fortegn. På den nden figur er indtegnet vinklerne v og 18 v. De to retningspunkter P og Q, hr ifølge definition f retningspunkt koordinterne (os v, sin v) og (os(18 - v), sin(18 - v)). Vinklen 18 - v kn opnås ved en drejning på 18 efterfulgt f en drejning på v. Punkterne ligger derfor symmetrisk mht.. ksen, og hr derfor smme ordint og modstte sisser. os(18 - v ) = - os(v) og sin(18 - v) = sin v To vinkler (som 18 v og v), som tilsmmen er 18 kldes for supplementvinkler. Ovenstående kn derfor formuleres: For supplementvinkler gælder det, t osinus skifter fortegn mens sinus er uforndret. På den første figur, ser vi på vinklerne v og 9 +v. De to retningspunkter P og Q, hr ifølge definition f retningspunkt koordinterne (os v, sin v) og (os(9 + v), sin(9 + v)). Vil søger smmenhængen mellem et punkt (x 1, y 1 ) og et punkt (x, y ), som er drejet 9 i forhold til det første. x 1 vil live drejet op på y-ksen, så y = x 1. y 1 liver drejet ned på x-ksens negtive side, så x = -y 1. Der gælder ltså: (x, y ) =(-y 1, x 1 ). Anvendes dette på koordinterne til de to retningspunkter får mn:
Trigonometri 6 os(9 + v ) = - sin(v) og sin(9 + v) = os v Af forskellige grunde nvendes ovenstående formler ikke så ofte, i stedet nvendes formler for v og 9 v. Disse kn imidlertid let opnås ved t ersttte v med v i formlerne ovenfor. os(9 - v ) = - sin(-v) og sin(9 - v) = os(- v) Ved t nvende de første f overgngsformlerne får mn så. os(9 - v) = sin v og sin(9 - v) = os v To vinkler (som v og 9 v), der tilsmmen er 9 kldes for komplementvinkler. Ovenstående overgngsformler, kn derfor formuleres: Når mn ersttter en vinkel med den komplementvinkel, liver sinus til osinus og omvendt. På den sidste figur, ser vi på vinklerne v og 18 + v. På helt tilsvrende måde som før finder vi: os(18 + v ) = - sin(v) og sin(18 + v) = - os v Formlerne kunne i øvrigt være opnået ved t ersttte v med v i fomlerne: os(18 - v ) = - os(v) og sin(18 - v) = sin v Ud fr definitionen f tngens, finder mn følgende overgngsformler for tngens. tn(-v) = -tn v, tn(18 v) = - tn v, tn(9 v) = ot v 3. Den retvinklede treknt Vi vil nu vise, hvorledes de trigonometriske funktioner sinus, osinus og tngens kn nvendes til t eregne de øvrige ukendte stykker i en retvinklet treknt, når to stykker, (dog ikke de to spidse vinkler) er kendte. Først emærker vi om vinklerne, d A + B + C =18 og C = 9 følger t A + B = 9.
Trigonometri 7 De to spidse vinkler i en retvinklet treknt er tilsmmen 9. Hvis A er kendt, kn mn finde B som B = 9 A og omvendt. På figuren er tegnet en retvinklet treknt ABC, hvor C = 9, og som hr kteterne og og hypotenusen. For retvinklede treknter gælder som ekendt Pythgors sætning: + =. Vi hr på den nden figur indlgt treknten i et koordintsystem, hvor der også er tegnet en enhedsirkel. P er her retningspunkt for vinkel A, så P hr koordinterne (os A, sin A) Det ses nu t treknterne ABC er ensvinklet med APQ. Herf følger t forholdet mellem ensliggende sider er konstnt. Dette udnytter vi til t opskrive: os A 1 sin A 1 sin A os A sin A Ved omformning, (idet mn husker, t tn A ), finder mn de tre grundlæggende os A trigonometriske formler for den retvinklede treknt. os A sin A tn A Der gælder nturligvis helt tilsvrende formler for vinkel B. os B sin B tn B Det er de færreste retvinklede treknter mn møder, hvor vinklerne hedder A, B og C. Af den grund er det meget vigtigt t kunne huske en mundtlig formulering f de 3 ligninger. Cosinus til en vinkel i en retvinklet treknt er lig med den hosliggende ktete divideret med hypotenusen. Sinus til en vinkel i en retvinklet treknt er lig med den modstående ktete divideret med hypotenusen. Tngens til en vinkel i en retvinklet treknt er lig med den modstående ktete divideret med den hosliggende. De tre reltioner kn omformes til: = os A = sin A = tn A I en retvinklet treknt er en ktete lig med hypotenusen gnge sinus til den modstående vinkel.
Trigonometri 8 I en retvinklet treknt er en ktete lig med hypotenusen gnge osinus til den hosliggende vinkel. I en retvinklet treknt er den ene ktete lig med den nden gnge tngens til den førstes modstående vinkel. Eksempler 1. I en retvinklet treknt er den ene ktete lig med 5 og hypotenusen er 7. Beregn de ukendte vinkler og sider. Bemærkning: den nden ktete kunne være eregnet med Pythgors, men det er ltid lettere, t nvende de trigonometriske formler. 5 Løsning: sin A A45,58, B9 A44,4, os A7os 45,48 4, 9 7 Mn kn kontrollere med Pythgors, t 5 4,9 7. En retvinklet treknt hr kteterne 3 og 5. estem hypotenusen og de ukendte vinkler. 3 3 Løsning: tn A A 3,96, B 9 A 59,4, 5, 83 5 sin A sin 3,96 Igen kunne mn hve eregnet hypotenusen med Pythgors, men det er lettere t ruge formlerne for retvinklet treknt. Som kontrol kn vi udregne: 3 5 5, 83. Eksempel. Speielle vinkler. I lmindelighed er mn henvist til en mtemtik-regner, når mn skl estemme sinus og osinus til en vinkel. For vinklerne 3, 45 og 6, kn mn dog opnå ekskte udtryk ved hjælp f de trigonometriske formler. I den viste retvinklede treknt er vinklerne 6 og 3, mens den ene ktete er 1. Ud fr den rette vinkel fsættes en linie med vinklerne 6 og 3. Herved liver såvel treknt ADC og BDC ligeenede. DC = DB og AD = CD, d vinklerne ved grundlinien i treknt CDB er 6, er den sidste vinkel også 6, så treknten er ligesidet. DC er derfor lig med 1 lig med AD. Hypotenusen er derfor og den nden ktete eregnes f Pythgors til 3. Vi nvender nu de trigonometriske formler på denne treknt. 1 sin 3 os 3 3 tn 3 1 3 3 3 sin 6 3 os 6 1 tn 6 3 1 3 For en vinkel på 45 emærker vi lot, t sin 45 = os 45, d vinklen 45 svrer til y = x, hvorefter det følger f grundreltionen: sin 45 + os 45 = 1 sin 45 = 1 sin 45 = 1 der gælder således: sin 45 = os 45 =. 4. Den lmindelige treknt. Sinus og osinus reltionerne Vi vil nu vise nogle trigonometriske formler, som gælder for lle treknter, og ikke kun for retvinklede
Trigonometri 9 4.1 Projektion på en linie Ved projektionen f et punkt på en linie, forstår mn nedfældning f den vinkelrette. Mn tegner (konstruerer) en (stiplet) linie, gennem punktet P vinkelret på linien l. Projektionen P l f P på linien l er d skæringspunktet mellem de to linier. Projektionen f et liniestykke AB på en linie l er liniestykket A l B l, som forinder projektionen f A og projektionen f B på l. Hvis AB er vinkelret på l, vil projektionen udrte til et punkt. For t få en mere generel formel for projektion, indfører vi en orientering f såvel linien l, som en orientering f liniestykket AB regnet positiv fr A til B. Hvis AB= AB, så er BA = - BA, således t BA = -AB. Når liniestykker regnes med fortegn, gælder følgende indskudssætning ufhængig f pleringen f punkterne A, B og C. AB = AC + CB Hvis punkterne er pleret i rækkefølgen A, C og B, så følger sætningen trivielt f, t AB = AC + CB. Hvis derimod punkterne f.eks. ligger i rækkefølgen: C, B og A, vil der som før gælde: CA = CB + BA -AC = CB AB AB = AC + CB Noget tilsvrende kn vises t gælde for lle øvrige pleringer f punkterne A, B og C. Når liniestykkerne regnes med fortegn, og v etyder drejningsvinklen mellem de positive retninger fr l til AB, vil vi d vise, t projektionen f AB på l er givet ved: A l B l = AB os v
Trigonometri 1 Hvis vi prllelforskyder AB vinkelret på linien l, så A ligger på l er projektionen f AB uforndret. Se figuren ovenfor. Hvis v < 9, ses ud fr den retvinklede treknt A l BB l, t A l B l = AB os v og dermed A l B l = AB os v. Hvis 9 < v < 18, vil der gælde: A l B l = AB os (18 -v). Idet A l B l = - A l B l (som følge f orienteringen) gælder som før: A l B l = AB os v. Når liniestykker regnes med fortegn, kn mn vise projektionssætningen: Summen f de med fortegn regnede projektioner f en rudt linie, er lig med projektionen f liniestykket, der forinder endepunkterne f den rudte linie. Sætningen følger f formlen for orienteret projektion på et liniestykke, smt f indskudssætningen f punkter på en linie. På figuren til venstre er det indlysende, t A l B =A l C l + C l B l, idet A l B l = A l C l + C l B l. I det ndet tilfælde gælder ligeledes: A l B l = A l C l + C l B l ifølge indskudssætningen. Men for længderne f liniestykkerne gælder der derimod: A l B l = A l C l - C l B l. Nu er C l B l =CB os(18-v), hvor v<9 er den numerisk mindste vinkel mellem l og CB, så C l B l er negtiv, som den skl være. (Se figuren) 4. Kordeformlen. Sinusreltionerne En korde i en irkel er som ekendt et liniestykke, der forinder to punkter f periferien. Rdius i irklen etegnes R. Længden f korden etegnes k. Den mindste f vinklerne, som korden fskærer f irklen etegnes v. Vi vil vise kordeformlen: k v R sin k v R sin En korde kn eregnes som gnge rdius i irklen gnge sinus til det hlve f den vinkel den spænder over.
Trigonometri 11 Cirklens entrum O forindes med kordens røringspunkter på periferien, hvorefter mn hr en ligeenet treknt med korden som grundlinie. Midtnormlen på korden går gennem entrum for irklen og hlverer vinklen v. Af den første figur ses, t den retvinklede treknt med ktete k og entervinkel v t: hvilket viser kordeformlen. k v R sin, Ld der være givet en vilkårlig treknt ABC. Trekntens omskrevne irkel hr rdius R. Hver f siderne, og i treknten er korder i den omskrevne irkel og hver f vinklerne A, B og C er periferivinkler. Fr geometrien ved vi t en periferivinkel måles ved den hlve ue den spænder over. Betegnes uen (entervinklen) svrende til A som v, så er A = v. Af kordeformlen følger så umiddelrt: ndre vinkler. Rsin Rsin A og Rsin B og Rsin C v Rsin A. Tilsvrende får mn for de to Herf følger sin A sin B sin C R sin A sin B sinc Det sidste udtryk etegnes som sinusreltionerne. De kn nturligvis også skrives som de omvendte forhold, hvilket er det mest lmindelige. sin A sin B sinc Sinusreltionerne nvendes, når mn vil eregne ukendte sider og vinkler i en lmindelig treknt, hvor to sider og en vinkel eller to vinkler og en side er kendte.
Trigonometri 1 4.3 Cosinusreltionerne På figurerne er vist to treknter ABC med sider, og. I det første tilfælde flder fodpunktet H for højden fr B mellem A og C. I det ndet tilfælde flder fodpunktet uden for AC. Vi vil imidlertid vise, t der i lle tilfælde gælder: projektionssætningen. os A osc. Dette er en konsekvens f I det første tilfælde følger dette umiddelrt idet = AC = AH + HB og ifølge projektionsformlen er AH = os A, og HB = os C. I det ndet tilfælde ses, t = AC = AH - HB. Som før er AH = os A, mens HB = os(18-c) = - osc, - HB = osc. Vi finder derfor igen os A osc. Vi emærker, t formlen er symmetrisk i og, så den vil være uforndret hvis H ligger til venstre for A. Vi smmenholder nu formlen os A osc os A osc sin A sinc med sinusreltionen:, som vi omskriver til: sin A sinc Begge ligninger kvdreres. os A osc os A osc os A os A os C
Trigonometri 13 sin A sin C sin A sin C sin A sin C Ved ddition f ligningerne: os A sin A os A os C sin C os A sin A os A os C sin C os A Den sidste f ligninger kldes for osinus-reltionen. Den skrives i lmindelighed, hvor mn hr yttet om på højre og venstreside. Der gælder tilsvrende reltioner for de to ndre sider. os A os B osc Cosinus-reltionerne kldes også for den udvidede pythgoræiske læresætning. Hvis nemlig C = 9, så er os C =, og den sidste osinusreltion redueres til Pythgors' sætning. Cosinus-reltionen kn nvendes til t finde en side, når mn kender de to ndre sider og den modstående vinkel. Den kn også nvendes til t estemme vinklerne i en treknt, når de tre sider er kendte. I dette tilfælde, omskriver mn ofte osinus-reltionerne lidt. os A os B osc 4.3 Arelet f en treknt ved trigonometri
Trigonometri 14 Ovenfor er vist to treknter. Vi viste I geometrien, t i egge tilfælde kn relet eregnes som T = ½h g (Arelet f en treknt er ½ højde x grundlinie) På figuren liver dette: T = ½h. Højden h fr B, er imidlertid ktete i den retvinklede treknt ABH, som hr hypotenusen og den modstående vinkel A. Ifølge formlerne for den retvinklede treknt, gælder derfor h = sin A, som indsættes i formlen T = ½h, så mn finder T =½ sin A Bemærk, t den udledte formel også gælder, hvis fodpunktet for højden flder udenfor AC. Ved ogstvomytning finder mn to tilsvrende formler for relet f treknten. T = ½ sin C T = ½ sin A T = ½ sin B Mn kn udlede sinusreltionerne f disse 3 formler. Dividerer mn nemlig udtrykket (T=) ½ sin A = ½ sin B = ½ sin C igennem med ½, får mn netop sinusreltionerne, (dog ikke smmenhængen med rdius i den omskrevne irkel) sin A sin B sinc 4.4 De 5 trekntstilfælde Når mn kender 3 stykker i en treknt, som ikke lle er vinkler, så kn de øvrige stykker eregnes ved hjælp f sinus- og osinusreltionerne. I geometrien ehndlede vi også de 5 trekntstilfælde og vi eskrev, hvorledes treknterne kn konstrueres ved hjælp f psser og linel. Det er en grundlæggende sætning for plngeometrien, t hvis en figur kn konstrueres ved hjælp f psser og linel, så kn de ukendte stykker også eregnes ved trigonometri og omvendt. Første trekntstilfælde: Givet de 3 sider, og. I geometrien, så vi t etingelsen for t opgven hr en løsning er, t < < +.
Trigonometri 15 Eksempel De 3 vinkler eregnes ved hjælp f de tre osinus-reltioner. os A os B os C 5 6 4 os A 5 6 4 6 5 os B 4 6 4 5 6 osc 4 5 3 A 41,41 4 7 B 55,77 48 5 C 8,8 4 Mn kontrollerer t A + B + C = 18. Andet trekntstilfælde: To sider og den mellemliggende vinkel er kendte. Opgven hr ltid netop 1 løsning. Eksempel A = 35, = 1, = 7. Siden eregnes f osinusreltionen: os A 1 7 1 7os35 34.3 5.86 For t eregne B eller C, skl vi nvende sinusreltionerne. Her støder vi imidlertid på det prolem, t sin v = t hr to løsninger (i intervller til 18 ), nemlig v og 18 v. Begge vinkler kn ikke være større end 9. Den mindste vinkel ligger overfor den mindste side, så den må være mindre end 9. Vi vælger derfor t eregne vinkel C, og udregner B = 18 (A + C). Ifølge sinusreltionerne: sinc sin A sin A sinc sin 35 sin C 7 C 43,5. B = 18 (35+43,5) = 11,75 5,86 Hvis vi i stedet hvde eregnet B ud fr sinusreltionerne, så ville vi hve fået vinklen 18 11,75 = 78,5. Tredje trekntstilfælde: Givet en vinkel, en hosliggende og en modstående side. Som det fremgår f nedenstående tegninger, hr opgven ingen, én eller to løsninger.
Trigonometri 16 Ingen løsninger < os A. Netop 1 løsning. = os A eller >. To løsninger: < os A og < Det ses, t i eksemplet med to løsninger er B 1 = 18 B, som det netop vil være tilfældet, når mn eregner B med sinusreltionerne. Eksempel A = 9, = 9 og = 13 B eregnes ud fr sinusreltionen: sin B sin A sin A sin B sin 9 sin B 13 B 1 44,45 B 18 44,45 135,55 9 Herf fås de to vinkler C 1 =18- (A+B 1 ) = 16,55 og C =18- (A+B ) = 15,45. 1 og eregnes ud fr sinusreltionen: sin C sin A sin C sin A 9 9 sin15,45 4,95 og 1 sin16,55 17,79 sin 9 sin 9 Fjerde Trekntstilfælde: Der er givet en side, og de to hosliggende vinkler. Opgven hr ltid netop én løsning. Den sidste vinkel findes ud fr A + B + C =18, og de to mnglende sider findes d f sinusreltionerne. Eksempel A = 3, C =69 og = 7 B = 18 (A + C) = 79. og estemmes f sinusreltionerne: A sin sin B sin A sin B 7 sin 3 sin 79 3,78 sin A sin B sinc sinc sin B sin C sin B 7 sin 69 sin 79 6,66 Femte trekntstilfælde: Givet en side, en hosliggende og en modstående vinkel. Femte trekntstilfælde redueres til fjerde trekntstilfælde ved t eregne den nden hosliggende vinkel ud fr A + B = C = 18.