Hvad e matematik? B, i og ISBN 978 87 766 494 3 Pojekte: Kapitel Pojekt.3 Lieæe Iteatiospocesse Idhold 1. Idledig... 1 2. Lieæ iteatio... 2 2.1 Lieæ vækst... 2 2.2 Ekspoetiel vækst... 2 2.3 Foskudt ekspoetiel vækst... 3 2.4 Retesegig... 5 2.5 Vækstmodelle i iologi iamatakatastofe... 7 2.6 odelleig på gudlag af data... 8 3. Ikke lieæ iteatio... 9 3.1 Klassisk logistisk vækst (Vehulst)... 11 1. Idledig I kapitel ha vi set på iteatiospocesse 1 f( ) hvo femskivigsfuktioe ka væe lieæ, dvs. på fome f () a, elle ikke lieæ, dvs. alt muligt adet, me typiske tilfælde e ikke lieæe iteatioe, hvo femskivigsfuktioe e et adegadspolyomium, dvs. på fome f () a celle e ude lieæ fuktio, dvs. på fome 2 a f (). I visse tilfælde ka disse ikke lieæe iteatioe ved hjælp af e sedig sustitutio føes c d tilage til de lieæe iteatio. Vi skal se eksemple på dette i det følgede. Alle de eksemple vi se på e kedetegede ved at vi ka fide e eksplicit løsigsfomel til iteatiosligige. De såkaldte kaotiske iteatiospocesse må ma defo læse om i et adet pojekt. e ide vi fo alvo gå i detalje med iteatiospocesse lægge vi mæke til, at vi også ka skive iteatiospocesse på fome 1 1 ( ) (med f () 1 () ) hvo () kaldes etetilskivige, såda som vi kede det fa f ekspoetiel vækst, hvo etetilskivige e kostat. Læg mæke til at etetilskivige e givet ved de elative tilvækst 1 ( ) Tilsvaede ka iteatiosligige skives på fome 1 g( ) (med f () g ()) hvo g () kaldes føsteodesdiffeese, de altså svae til de asolutte tilvækst. I det vi emæke at tilvækste fo idekset e givet ved ( 1) 1 ka vi også skive de sidste ligig på fome g ( ). E iteatiosligig kaldes defo også fo e diffeesligig og de fugee på mage måde som e disket udgave af e diffeetialligig. Vi gå i dyde med diffeetialligige i B oges kapitel 6 samt A oges kapitel 3. age af de esultate vi vise i det følgede gælde også fo de igtige diffeetialligige. e dels spille diffeesligige i sig selv e sto olle i mage modelle i økoomi og iologi, dels e de fa et matematisk syspukt meget emmee at udesøge. Det følgede pojekt ka defo også ses som e itoduktio til diskete vækstmodelle, hvo vi møde de samme modelle, de seee optæde som kotiuete vækstmodelle, dvs. de lieæe vækst, de ekspoetielle vækst, de foskudte ekspoetielle vækst og de logistiske vækst. 212 L&R Uddaelse A/S Vogmagegade 11 DK 1148 Køehav K Tlf: 43533 Email: ifo@lu.dk 1
Hvad e matematik? B, i og ISBN 978 87 766 494 3 Pojekte: Kapitel 2. Lieæ iteatio De lieæe iteatiosligig 1 a umme to vigtige specialtilfælde 1) 1, hvo a = 1 (såkaldt plus vækst) 2) 1 a, hvo = (såkaldt gagevækst) Dem udesøge vi føst, hvoefte vi til sidst se på de geeelle lieæe iteatiosligig. 2.1 Lieæ vækst Vi state med at gøe os fotolige med de simpleste vækstmodel: de lieæe vækst, hvo vi hele tide lægge de samme tilvækst til. Vi ka defo skive iteatiosligige på fome 1 elle med e passede statvædi Øvelse 1: Lieæ vækst a) Opskiv iteatiosligige 1 2 med statvædie 3 i dit CAS pogam og udesøg, hvoda tidsseiegafe komme til at se ud. Se også på de tilhøede tael ove sammehøede vædie fo og. Hvis du ha væktøje til at femige et we diagam så udesøg også hvoda we diagammet se ud. ) Gø ede fo hvofo løsige til diffeesligige 1 i almidelighed e givet ved løsigsfomle. Vik: Kig på taelle: 1 2 3 4 5 Hvad ske de, å vi gå 1 positio fem i taelle? 2.2 Ekspoetiel vækst Vi fotsætte med at gøe os fotolige med de æste simple vækstmodel: de ekspoetielle vækst, hvo vi hele tide lægge de samme pocetdel til. Vi ka defo skive iteatiosligige på fome 1 a (1 ),dvs. a1,med e passede statvædi. Øvelse 2: Ekspoetiel vækst a) Opskiv iteatiosligige 1 2 med statvædie 3 i dit CAS pogam og udesøg, hvoda tidsseiegafe komme til at se ud. Se også på de tilhøede tael ove sammehøede vædie fo og. Hvis du ha væktøje til at femige et we diagam så udesøg også hvoda we diagammet se ud. ) Gø ede fo hvofo løsige til diffeesligige 1 a i almidelighed e givet ved løsigsfomle a. Vik: Kig på taelle 1 2 3 4 5 Hvad ske de, å vi gå 1 positio fem i taelle? 212 L&R Uddaelse A/S Vogmagegade 11 DK 1148 Køehav K Tlf: 43533 Email: ifo@lu.dk 2
Hvad e matematik? B, i og ISBN 978 87 766 494 3 Pojekte: Kapitel 2.3 Foskudt ekspoetiel vækst De to idledede øvelse va i det væsetlige epetitioe af hvad vi alleede i foveje vidste om lieæ vækst (C oge kapitel 1) og ekspoetiel vækst (C oge kapitel 4). e å vi kigge på de geeelle lieæe iteatiosligig 1 a med a 1 og live det mee kompliceet! Øvelse 3: Foskudt ekspoetiel vækst a) Opskiv iteatiosligige 1 2 1 med statvædie 3 i dit CAS pogam og udesøg hvoda tidsseiegafe komme til at se ud. Se også på de tilhøede tael ove sammehøede vædie fo og. Gæt løsigsfomle, dvs. foskifte fo som fuktio af! ) Gø ede fo at løsige til diffeesligige 1 a ivolvee sumfomle fo e kvotietække 1 aa... a og at de geeelle løsigsfomel defo komme til at hedde 2 1 a 1 a 1 a 1 a. Vik: Kig på taelle: a 1 1 2 3 4 5 Hvad ske de, å vi gå 1 positio fem i taelle? c) Gø ede fo at de geeelle løsigsfomel etop passe med de specielle løsigsfomel du fadt i a)! Hvis du ikke kede sumfomle fo e edelig kvotietække ka du fide detaljee i C oge kapitel, afsit 2, sætig 4, elle C oge kapitel 4, pojekt 3 om Stoeæltoes fiasieig. Det e dog ikke sikket du fide de oveståede udledig helt simpel. Vi give defo e alteativ udledig: Øvelse 4: Foskudt ekspoetiel vækst detalje 1 a) Opskiv iteatiosligige 1 1 med statvædie 2 3 i dit CAS pogam og udesøg hvoda tidsseiegafe komme til at se ud. Se også på de tilhøede tael ove sammehøede vædie fo og. Gæt løsigsfomle, dvs. foskifte fo som fuktio af! ) Idfø u skydee fo a, og evt. statvædie (hvis ikke du fa state ka tække i statpuktet). Lad paametevædiee gå fa 2 til 2. Opskiv iteatiosligige 1 a og udesøg såvel tidsseiegafes opføsel såvel som we diagammet (spidelvævet). Hvilke olle spille det såkaldte fikspukt fo iteatioes opføsel? Vi omskive iteatiosligige til fome 1 a ( a1) ( ) hvo vi altså iddage etetilskivige a 1. He e højeside opygget som e multiplikativ poces med ete som fast fakto. e de e tale om e foskudt multiplikatio idet vi ha lagt / til vædie. Dee fomel vise at vækste gå i stå, hvis idet de asolutte tilvækst så e. Vi sige defo at e et fikspukt fo iteatiospocesse elle at e e statioæ løsig til iteatiosligige. e de asolutte tilvækst e e diffees, hvo foskydige gå ud. Det vise at vi med fodel ka sustituee u i iteatiosligige. I så fald omfomes ligige til 212 L&R Uddaelse A/S Vogmagegade 11 DK 1148 Køehav K Tlf: 43533 Email: ifo@lu.dk 3
Hvad e matematik? B, i og ISBN 978 87 766 494 3 Pojekte: Kapitel u1 u u u u u 1 u u dvs. foskydige gå helt ud af ligige. De foskudte vædi, dvs. u vædie, følge altså etop de ekspoetielle vækst model! De gælde defo u a u Sustituee vi tilage ige med u fås defo a a a a a 1 a 1 a a a1 e det e etop løsigsfomle fa øvelse 3! Øvelse 5: Løsigsfomle fo foskudt ekspoetiel vækst a) Gø ede fo detaljee i de oveståede udegige. ) Hvad ske de i tilfældet a 1? Illusté med gafe og taelle! Vi samle esultatee af de foegåede øvelse i de følgede ovesigt: Sætig 1: Lieæ iteatio De lieæe iteatiospoces dække ove te fome fo vækst: 1) Lieæ vækst med vækstligige 1 og de geeelle løsig. Tidsseiegafe e e et lije med hældigskoefficiet og statvædie. De lieæe vækstmodel omfatte også de statioæe vækstmodel med. 2) Ekspoetiel vækst med vækstligige 1 a og de geeelle løsig a. Tidsseiegafe e e ekspoetiel gaf med vækstfaktoe a og statvædie. De ekspoetielle vækstmodel omfatte også de statioæe vækstmodel med a 1. 3) Foskudt ekspoetiel vækst med vækstligige 1 a hvo a 1 og de geeelle løsig a 1 (1 ) 1 e givet ved a (1 ). Tidsseiegafe e e foskudt ekspoetiel vækstgaf a, idet de æme sig ligevægtsvædie ekspoetielt a1 1 a hvis a 1 og fjee sig fa ligevægtsvædie ekspoetielt hvis a 1. Hvis a 1 svige de omkig 1 a ligevægtsvædie. 212 L&R Uddaelse A/S Vogmagegade 11 DK 1148 Køehav K Tlf: 43533 Email: ifo@lu.dk 4
Hvad e matematik? B, i og ISBN 978 87 766 494 3 Pojekte: Kapitel Bemækig: Sumfomle fo e edelig kvotietække 2 1 a 1 1 aa... a a 1 vise etop, at hvis a ligge meget tæt på 1, dvs. etetilskivige e meget lille, så gælde med sto tilæmelse a 1 a 1 Løsigsfomle til de lieæe iteatio foekles da til a å a 1 elle I dette tilfælde opføe løsige sig altså som summe af e ekspoetiel vækst og e lieæ vækst. e i almidelighed lades de to vækstpocesse og det slå det lieæe vækstidag i stykke. Det vokse ikke lægee ku med et fast idag, me også på gud af etetilskivige (etes ete picippet). 2.4 Retesegig I C oges kapitel 4 ha vi udledt kapitalfemskivigsfomle K K (1 ) I C oges kapitel 4, pojekt 3: Alægsøkoomie i Stoeæltsoe hvoda afdages lå ha vi ehadlet polematikke omkig opspaig og afetalig af lå. He vil vi se på opspaig og afetalig af lå i lyset af de lieæe iteatiosmodelle mee specifikt vil vi vise, at på samme måde som kapitalfemskivig e et eksempel på e ekspoetiel vækstmode e såvel opspaig som afetalig af lå eksemple på foskudte ekspoetielle vækstmodelle. Eksempel: Opspaig Hvis vi hve temi idsætte et elø på e koto vil vi efte temie have opspaet eløet A. De gælde da følgede femskivig til +1 temie A 1 (1 ) A med statvædie A idet vi dels få tilskevet ete til det alleede opspaede elø, dels idskyde edu e fast opspaig på eløet. e det e jo etop e lieæ iteatiosligig. Øvelse 6: Fomle fo opspaigsauitete Gø ede fo at de må gælde de følgede fomel fo opspaigsauitete 1 (1 ) 1 A Vik: Bug de almee løsigsfomel fo de lieæe iteatiospoces og educé. Du ka fide eksemple på egig med fomle i det tidligee omtalte pojekt 4.3 fa C oge. Fomle ka også uges på adet ed opspaig: Øvelse 7: Atomlossepladse På e atom losseplads efide de sig 1 tos ladet adioaktivt affald, de i geemsit hefalde med 2.3% om ået. E gag om ået tilføes de ydeligee 1 tos adioaktivt affald til atomlossepladse. a) Hvad e etetilvækste? Hvad e det faste idskud? Hvad e statvædie? Hvoda se løsigsfomle ud i dette tilfælde? ) Femstil e tidsseiegaf og e tael fo dette lieæe iteatiossystem. (fotsættes) 212 L&R Uddaelse A/S Vogmagegade 11 DK 1148 Køehav K Tlf: 43533 Email: ifo@lu.dk 5
Hvad e matematik? B, i og ISBN 978 87 766 494 3 Pojekte: Kapitel c) Hvo læge ka ma live ved med at tilføe 1 tos yt adioaktivt affald om ået, hvis de maksimalt må efide sig 2 tos adioaktivt affald på lossepladse? d) Hvo mage tos ka ma deefte aftage åligt på atomlossepladse? Øvelse 8: Natulig adioaktivitet Det meste af de atulige aggudsstålig i voes huse komme fa udsivede Rado 222, de sive ud fa f etovægge og udegude. ægde af udsivede ado 22 vaiee selvsagt efte udegudes eskaffehed og hvilke mateiale huset e ygget af. Atag at vi efide os i et hus, hvo de sive 1 ado 22 kee ud i miuttet. Vi ka ege med at ca. 2% af adokeee fosvide pe miut på gud af adioaktivt hefald. a) Hvad e iteatiosligige, de egulee atallet af ado 222 kee miut fo miut. Opstil e tidsseiegaf aseet på (de uealistiske!) statvædi. Hvad live ligevægtsvædie fo adokeee i det pågældede hus? ) Atag u at vi istallee e udsugig i huset, de fjee 1 m 3 luft i miuttet, og at huset i alt umme 15m 3 luft. Hvoda vil det påvike koefficietee i iteatiosligige? Hvoda vil det påvike ligevægtsvædie fo adokeee i huset? Femstil e tidsseiegaf, de vise hvad de ske efte vi ha istalleet udsugige. Eksempel: Afetalig Hvis vi låe et elø G (fo gæld) og fopligte os til hve temi at afdage lået med ydelse y vil vi efte temie have educeet gælde til G. De gælde da de følgede femskivig til +1 temie: G 1 G (1 ) y med statvædie G G idet de dels tilskives ete til de eksisteede gæld, dels edskives gælde med eløet y. e det e jo etop e lieæ iteatiosligig. Øvelse 9: Afetaligsauitete a) Gø ede fo at de må gælde de følgede fomel fo estgælde (1 ) 1 G G(1 ) y Vik: Bug de almee løsigsfomel fo de lieæe iteatiospoces og educé. ) Gø ede fo, at hvis gælde etop e afdaget ove N temie gælde de sammehæge 1 (1 ) Gy c) Hvis ydelse e fo lille vil gælde aldig live afdaget. De kitiske gæld defiees som de statioæe gæld, hvo gælde hele tide ha samme støelse. Hvad live fomle fo de kitiske gæld? 212 L&R Uddaelse A/S Vogmagegade 11 DK 1148 Køehav K Tlf: 43533 Email: ifo@lu.dk 6
Hvad e matematik? B, i og ISBN 978 87 766 494 3 Pojekte: Kapitel Øvelse 1: Boliglå Boligete ha ikke altid væet så lav, som i disse å! Et ugt pa optog et oliglå på 375 k. til 9% ålig ete med e ålig ydelse på 36 k. a) Hvad e etetilvækste? Hvad e de lieæe tilvækst? Hvad e statvædie? Hvoda se løsigsfomle ud i dette tilfælde? ) Femstil e tidsseiegaf, et wediagam og e tael fo dette lieæe iteatiossystem. c) Hvo sto e de kitiske gæld? Hvo læge vil det uge pa væe om at afdage lået? Hvo sto e de samlede tilage etalig på lået? d) Hvoda udvikle afstade til de kitiske gæld sig som fuktio af atallet af å? Du ka fide flee eksemple på egig med fomle i det tidligee omtalte pojekt 4.3 fa C oge. 2.5 Vækstmodelle i iologi iamatakatastofe Vi ha i C oges kapitel 4, pojekt 1 set æmee på l.a. iamatakatastofe. He vil vi kot ehadle de på gudlag af de lieæe iteatiosmodelle, dvs. vi vil se æmee på meeskes optagelse og udskillelse af giftstoffe. Fo ekelheds skyld vil vi kocetee os om tugmetalle som kviksølv, ly og cadmium. Tugmetallee optages geem de mad, vi spise, geem det vad, vi dikke, og geem de luft, vi idåde. Tugmetalle e e uudgåelig estaddel af det omgivede miljø, om ed dees kocetatio e steget kaftigt i de seeste åtie på gud af meeskeskat foueig. Vi optage altså hele tide tugmetalle, og ude omale omstædighede ka vi (i geemsit) ege med at optage e kostat mægde hve dag. ægde af det optage tugmetal vokse defo lieæt med tide. Heldigvis e voes kop i stad til at udskille tugmetallee ige. Fo et estemt tugmetal vil koppe typisk hve dag kue udskille e estemt økdel af de totale mægde tugmetal i koppe. Udskillelse ske f geem yee og levee, de fjee e estemt økdel fa det lod, som stømme igeem. Koppe udskille defo tugmetallee ekspoetielt. De to afgøede paamete, de estemme, hvo meget tugmetal de et faktisk ophoes i koppe, e defo 1) de daglige optagelse af det pågældede tugmetal 2) de iologiske halveigstid fo det pågældede tugmetal ADI vædie fo geemsitlig Ogaisk Kviksølv Uogaisk Kviksølv Bly Cadmium tugmetaloptagelse µg/ kg legemsvægt,5,7 7 1 Biologisk halveigstid (dage) 7 6 3 9 Øvelse 11: Ophoig af uogaisk heholdsvis ogaisk kviksølv Vi foestille os at vi (helt uealistisk!) ikke ideholde uogaisk kviksølv til at egyde med og at vi på gud af foueige optage 2mg uogaisk kviksølv daglig. a) Hvo mage pocet udskilles p dag som følge af de ekspoetielle udskillelse? Hvo mage milligam optages p dag? Hvad e statvædie? Hvoda se løsigsfomle ud i dette tilfælde? ) Femstil e tidsseiegaf og e tael fo dette lieæe iteatiossystem. (fotsættes) 212 L&R Uddaelse A/S Vogmagegade 11 DK 1148 Køehav K Tlf: 43533 Email: ifo@lu.dk 7
Hvad e matematik? B, i og ISBN 978 87 766 494 3 Pojekte: Kapitel c) Hvad e ligevægtsvædie fo det uogaiske kviksølv? Hvo mage dage gå de fø vi ha passeet 9% af dee ligevægtsvædi? Vi foestille os deefte at vi (helt uealistisk!) ikke ideholde ogaisk kviksølv til at egyde med og at vi på gud af foueige optage 2mg ogaisk kviksølv daglig. d) Hvo mage pocet udskilles p dag som følge af de ekspoetielle udskillelse? Hvo mage milligam optages p dag? Hvad e statvædie? Hvoda se løsigsfomle ud i dette tilfælde? e) Femstil e tidsseiegaf og e tael fo dette lieæe iteatiossystem. f) Hvad e ligevægtsvædie fo det ogaiske kviksølv? Hvo mage dage gå de fø vi ha passeet de dødelige dosis på 1 mg p kg legemsvægt? Øvelse 12: iamatakatastofe a) Diskuté iamatakatastofe i lyset af de oveståede øvelse. 2.6 odelleig på gudlag af data I det foegåede ha vi opstillet iteatiosligige 1 f( ), som give dyamikke af systemet og så løst iteatiosligige umeisk, gafisk, symolsk. e ma ka også komme ud fo at ma ha givet e seie taeldata og så skal fitte med e lieæ iteatiosmodel. I A oges kapitel 9 vede vi tilage til egessiosmodelle fo lieæ vækst, ekspoetiel vækst og foskudt ekspoetiel vækst. De ka avedes, selv hvis data e imeligt mudede. e hvis data e imeligt pæcise, ka vi også fosøge at estimee femskivigsfuktioe f diekte ved at plotte 1 som e fuktio af, det såkaldte etuplot, de selvfølgelig ka udygges til et egetligt wediagam. Øvelse 13: USA s efolkig fa 179 til 189 Baseet på folketællige hvet tiede å ka vi følge udviklige i USA's efolkig i peiode fø vedeskigee: Åstal 179 18 181 182 183 184 185 186 187 188 189 Atal i mio. 3.929 5.38 7.24 9.638 12.866 17.69 23.192 31.443 38.56 5.16 62.95 Du ka hete data i et egeak he! a) Opstil et etuplot, 1 fo datasættet, 1,..., 1 Hvad live ligige fo de edste ette lije geem puktee?. Ligge puktee med imelighed på et lije? ) Opstil de tilhøede lieæe iteatiosligig: Hvoda ka ma fotolke de to koefficiete i ligige? Hvad live løsigsfomle fo de lieæe iteatiosmodel? c) Giv et ud på e passede statvædi. Opstil e tidsseiegaf og sammelig med de faktiske data. d) I følge de sidste folketællig oede de i 21 i alt 61.723 millioe meeske i USA. Hvoda passe det med de oveståede model? 212 L&R Uddaelse A/S Vogmagegade 11 DK 1148 Køehav K Tlf: 43533 Email: ifo@lu.dk 8
Hvad e matematik? B, i og ISBN 978 87 766 494 3 Pojekte: Kapitel Øvelse 14: Newtos afkøligslov Hvis du femstille e potte te med tempeatue 88C vil tempeatue aftage mod stuetempeatue. De følgede tael vise udviklige i tempeatue: Tid i miutte 5 1 15 2 25 3 Tempeatu i C 88. 85. 82.2 79.5 77. 74.5 72.2 Du ka hete data i et egeak he! ) Opstil et etuplot, 1 fo datasættet, 1,..., 6. Ligge puktee med imelighed på et lije? Hvad live ligige fo de edste ette lije geem puktee? Udyg etuplottet ved at tilføje diagoale y. Hvo skæe de lije høede til etuplottet? c) Opstil de tilhøede lieæe iteatiosligig 1 a. Omskiv iteatiosligige på fome u (1 ) u med u med a1. Hvoda ka ma fotolke de to koefficiete i ligige? Hvad live løsigsfomle fo de lieæe iteatiosmodel? d) Bug statvædie 88C. Opstil e tidsseiegaf og sammelig med de faktiske data. e) Et gammelt husåd sige at e vam kop te ka dikkes med velehag så læge tempeatue e midst 55C. Hvo læge ka ma med velehag dikke e kop te fa de oveståede potte? f) Hvo læge vil ma kue dikke e kop te med velehag, hvis ma i stedet havde e stattempeatu på 98C? g) Hvo læge vil ma kue dikke e kop te med velehag, hvis ma i stedet satte potte med stattempeatue 88C id ude e tehætte, så det u vaede 1 miutte fø tempeatue faldt til 7C? 3. Ikke lieæ iteatio De klassiske logistiske vækst e e modifikatio af de ekspoetielle vækstmodel. I de ekspoetielle vækstmodel atages det at vækstate e kostat, dvs. (dvs. ) I de klassiske logistiske vækst atages det u at vækste hæmmes å populatioe live sto, idet vækstate aftage lieæt med populatioes støelse og gå helt i stå i ligevægtsvædie/æeeve. Det e imidletid ikke etydigt, hvoda det skal fostås i e disket model. Umiddelat ville det kue ovesættes til e ligig på fome 1 dvs. 1 elle 1 1 1 a 1, hvo a1. a e i så fald live femskivigsfuktioe f () a 1 et adegadspolyomium i og a demed ikke mooto. Som vi skal se komplicee det dyamikke etydeligt! 212 L&R Uddaelse A/S Vogmagegade 11 DK 1148 Køehav K Tlf: 43533 Email: ifo@lu.dk 9
Hvad e matematik? B, i og ISBN 978 87 766 494 3 Pojekte: Kapitel Øvelse 15: Feigeaum iteatio a) Gø ede fo detaljee i de oveståede omskivige. e e paael med ul ) Gø ede fo at gafe fo femskivigsfuktioe f () a 1 a a pukte i og, de skæe diagoale y i og. De e imidletid også de mulighed at vi ovesætte det til e ligig på fome 1 1 hvo vi altså emse vækste i fohold til de kommede populatiosstøelse i stedet fo de uvæede populatiosstøelse. I så fald ka vækstligige omskives på fome 1 1 1 1 1 1 (1 ) a 1 1 1 1 Dee gag e femskivigsfuktioe a f () 1 altså e udde lieæ fuktio, som e mooto, idet de e voksede! Som vi skal se foekle det dyamikke etydeligt og det e faktisk muligt at fide e eksplicit løsigsfomel. Øvelse 16: Vehulst iteatio a) Gø ede fo detaljee i de oveståede omskivige. a ) Gø ede fo at gafe fo femskivigsfuktioe f () e e ligesidet hypeel med ulpukt i og vadet asymptote i y, de skæe diagoale y i og. 1 a 212 L&R Uddaelse A/S Vogmagegade 11 DK 1148 Køehav K Tlf: 43533 Email: ifo@lu.dk 1
Hvad e matematik? B, i og ISBN 978 87 766 494 3 Pojekte: Kapitel 3.1 Klassisk logistisk vækst (Vehulst) Vi tage udgagspukt i femskivigsfuktioe: a f () 1 De tilhøede iteatiosligig foekles u etydeligt, hvis vi vede øke a 1 1 1 1 1 1 a a a 1 e det vise jo etop at de ecipokke populatio u 1 følge e lieæ iteatiosmodel: 1 u 1 u A u B a a med 1 A og a B a e så ka vi jo oveføe løsigsfomle, hvoved vi fide: A 1 a 1 a 1 1 u A u B a u a u 1 a u a 1 A1 a a 1 1a Sustituee vi tilage fide vi defo løsigsfomle fo e klassisk logistisk vækst 1 1 u 1 1 ( a a 1) 1 1 a De ha alle de klassiske kedeteg fo de logistiske vækst: De foide to ekspoetielle vækstmodelle, idet de føst vokse ekspoetielt som k1 a og deæst øje af og æme sig ligevægtsvædie ekspoetielt, dvs. som k2 a. Øvelse 17: Løsigsfomle fo de klassiske logistiske vækst Gø ede fo detaljee i de oveståede udledig af løsigsfomle fo de klassiske logistiske vækst. Øvelse 18: Klassisk logistisk vækst 2 a) Opskiv iteatiosligige 1 med statvædie.25 i dit CAS pogam og udesøg, hvoda tidsseiegafe komme til at se ud. Se også på de tilhøede tael ove sammehø 1.1 ede vædie fo og. Hvis du ha væktøje til at femige et we diagam så udesøg også hvoda we diagammet se ud. ) Hvad live ligevægstvædie? Hvad live løsigsfomle? Hvoda se de tilhøede uhæmmede ekspoetielle vækstmodel ud? 212 L&R Uddaelse A/S Vogmagegade 11 DK 1148 Køehav K Tlf: 43533 Email: ifo@lu.dk 11
Hvad e matematik? B, i og ISBN 978 87 766 494 3 Pojekte: Kapitel De klassiske logistiske vækstmodel e givet e gudig ehadlig i B oges kapitel 6. He se vi lot på ogle typiske avedelse. Øvelse 19: USA s efolkig fa 179 194 som et eksempel på logistisk vækst Vi ha tidligee set på USA s efolkigstilvækst i øvelse 13. Vi udvide u datamateialet fo USA s efolkig fo at se æmee på hvoda e passede model u ka se ud: Åstal 179 18 181 182 183 184 185 186 Atal i mio. 3.929 5.38 7.24 9.638 12.866 17.69 23.192 31.443 Åstal 187 188 189 19 191 192 193 194 Atal i mio 38.56 5.16 62.95 75.99 91.97 15.71 122.77 131.67 Du ka hete datamateialet he. a) Opstil såvel et etuplot, 1 1 som et etuplot, fo det eci 1 pokke datasæt 1 1 1,,..., 1 1 1 fo datasættet, 1,..., 1. Afgø i egge tilfælde om puktee med imelighed ligge på et lije? Hvad live ligige fo de edste ette lije geem puktee? Hvilke model e de mest oveevisede? ) Opstil de tilhøede iteatiosligig: Hvoda ka ma fotolke de to koefficiete i ligige? Hvad live løsigsfomle fo iteatiosmodelle? c) Giv et ud på e passede statvædi. Opstil e tidsseiegaf og sammelig med de faktiske data. d) I følge de sidste folketællig oede de i 21 i alt 61.723 millioe meeske i USA. Hvoda passe det med de oveståede model? Øvelse 2: Vækste af e solsikkelomst De følgede tael vise højde af e solsikkelomst i 2 måedes itevalle: a) Opstil såvel et etuplot, ecipokke datasæt Atal uge 2 4 6 8 1 Højde i cm 11 4 122 19 238 255 1 fo datasættet, 1,..., 5 1 1 1,,..., 1 5 1 1 som et etuplot, fo det 1. Afgø i egge tilfælde om puktee med imelighed ligge på et lije? Hvad live ligige fo de edste ette lije geem puktee? Hvilke model e de mest oveevisede? ) Opstil de tilhøede iteatiosligig: Hvoda ka ma fotolke de to koefficiete i ligige? Hvad live løsigsfomle fo iteatiosmodelle? c) Giv et ud på e passede statvædi. Opstil e tidsseiegaf og sammelig med de faktiske data. 212 L&R Uddaelse A/S Vogmagegade 11 DK 1148 Køehav K Tlf: 43533 Email: ifo@lu.dk 12