DesignMat Uge Vektorrum Preben Alsholm Forår 200 Vektorrum. Definition af vektorrum Definition af vektorrum Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation med skalar. Vi forlanger, at disse to operationer opfylder a, b V = a + b V s L a V = sa V Desuden forlanger vi for alle a, b, c V og s, t L: a + b = b + a, (a + b) + c = a + (b + c) 0 V så a + 0 = a, a V så a + a = 0 s (ta) = (st) a, (s + t) a = sa + ta s (a + b) = sa + sb, a = a V er da et vektorrum over L. Hvis L = R er V et reelt vektorrum. Hvis L = C er V et komplekst vektorrum..2 Entydighed af nulelement og modsat element Entydighed af nulelement og modsat element Nulelementet er entydigt bestemt: Hvis 0 og 0 2 begge er nulelementer, altså opfylder a + 0 = a for alle a, så gælder 0 = 0 + 0 2 = 0 2 + 0 = 0 2 Hvis a + a = 0 og a + a 2 = 0 (begge er modsatte elementer til a), så fås a 2 = a 2 + 0 = a 2 + (a + a ) = (a 2 + a) + a = (a + a 2 ) + a = 0 + a = a
Det entydigt bestemte modsatte element til a betegnes med a. Det ses af ( a) + a = a + ( a) = 0 at a er modsat element til a altså, at ( a) = a. Sætning. a + x = b har den entydigt bestemte løsning x = b + ( a), sa = 0 s = 0 a = 0, ( ) a = a..3 Eksempler på vektorrum Eksempler på vektorrum Mængden af geometriske vektorer i rummet V 3 g. Mængden af geometriske vektorer i planen V 2 g. Mængden af talsæt R n med sædvanlig addition og multiplikation med skalar. Mængden R m n af reelle m n-matricer med sædvanlig addition og multiplikation med skalar. Mængden af reelle polynomier af højst n te grad P n (R). Sædvanlig addition af funktioner. Sædvanlig multiplikation med en skalar (en konstant!). Mængden af reelle kontinuerte funktioner defineret på intervallet I: C (I). Operationer som for polynomier.. Underrum, Linearkombination Underrum, Linearkombination Hvis U er en delmængde af vektorrummet V, og U med de arvede operationer selv er et vektorrum, så kaldes U et underrum af V. Sætning. Lad U V og U =. Så er U et underrum af V hvis og kun hvis a, b U = a + b U s L a U = sa U Trivielle underrum af vektorrum V er V selv og {0}. Ved en af linearkombination af vektorerne a, a 2,..., a p V forstås et udtryk af formen c a + c 2 a 2 +... + c p a p hvor c, c 2,..., c p L. Ved span ( a, a 2,..., a p ) forstås mængden af linearkombinationer af vektorerne a, a 2,..., a p. 2
.5 Lineær uafhængighed, basis Lineær uafhængighed, basis span ( a, a 2,..., a p ) er et underrum af V. Det er det mindste underrum, der indeholder a, a 2,..., a p. Vektorerne a, a 2,..., a p V siges at være lineært uafhængige hvis x a + x 2 a 2 +... + x p a p = 0 = x = x 2 =... = x p = 0 a, a 2,..., a p er altså lineært uafhængige, hvis x v + x 2 v 2 +... + x p v p kun kan være nul, når alle koefficienterne er nul. Hvis vektorerne a, a 2,..., a p ikke er lineært uafhængige, siges de at være lineært afhængige. En basis for et vektorrum V er et lineært uafhængigt system a, a 2,..., a n af vektorer, som udspænder V, altså V = span (a, a 2,..., a n )..6 Eksempel 0 Eksempel 0 Vektorerne e, e 2, e 3 i vektorrummet R 3 givet ved e = 0 0, e 2 = 0 0, e 3 = 0 0 er lineært uafhængige og udgør en basis for R 3 : Den kanoniske basis for R 3. (I bogen den sædvanlige basis i R 3 ). Polynomierne, x, x 2, x 3, x i vektorrummet P (R) af polynomier af grad højst er lineært uafhængige og udgør en basis for P (R): monomiebasen..7 Eksempel Eksempel Er vektorerne v, v 2, v 3 givet ved v = 2 3, v 2 = lineært uafhængige? 5 6 7 8, v 3 = Vi undersøger om x v + x 2 v 2 + x 3 v 3 = 0 er mulig uden at x = x 2 = x 3 = 0. Med A = [v v 2 v 3 ] og x = x x 2 kan vektorligningen skrives Ax = 0. x 3 9 0 2 3
Vektorerne v, v 2, v 3 er altså lineært uafhængige netop når Ax = 0 kun har den trivielle løsning x = 0. Resultatet udregnes nu ved Gausselimination. Se Maple for udregningerne. Vektorerne er lineært afhængige..8 Eksempel 2 Eksempel 2 Er vektorerne v, v 2, v 3 givet ved v = 2 3, v 2 = lineært uafhængige? 5 6 7 8, v 3 = 9 0 2 Med A = [v v 2 v 3 ] og x defineret som tidligere skal altså afklares om Ax = 0 kun har den trivielle løsning x = 0. Ved Gausselimination i Maple ses, at vektorerne er lineært uafhængige. Udgør de en basis for R? Vi mangler at undersøge, om span(v, v 2, v 3 ) = R. Vi skal altså undersøge, om der for enhver given vektor b R findes tal x, x 2, x 3 så x v + x 2 v 2 + x 3 v 3 = b. Dette er altså et spørgsmål om Ax = b kan løses for ethvert b R. Svar: Nej (se Maple)..9 Eksempel 3 Eksempel 3 Er vektorerne p, p 2, p 3, p P 3 (R) givet ved p = 2 x 2x 3, p 2 = 2 + x 2 x 3, p 3 = + x x 2 x 3 og p = lineært uafhængige? Vi skal undersøge om c p + c 2 p 2 + c 3 p 3 + c p = 0 for alle x R medfører, at c = c 2 = c 3 = c = 0. Ved indsættelse og omordning efter potenser af x kan ligningen omskrives til ( 2c + 2c 2 c 3 c ) + x ( c + c 3 ) + x 2 (c 2 c 3 ) + x 3 ( 2c c 2 c 3 ) = 0. Dette er opfyldt for alle x R hvis og kun hvis ligningssystemet kun har nulløsningen. 2c + 2c 2 c 3 c = 0 c + c 3 = 0 c 2 c 3 = 0 2c c 2 c 3 = 0
.0 Eksempel 3 (fortsat) Eksempel 3 (fortsat) Systemets koefficientmatrix er A = 2 2 0 0 0 0 2 0 Altså: Har Ac = 0 kun den trivielle løsning c = 0? Gausselimination viser, at dette er tilfældet. p, p 2, p 3, p er altså lineært uafhængige. Udgør de en basis for P 3 (R)? Vi mangler at undersøge, om span(p, p 2, p 3, p ) = P 3 (R). Findes der for enhver given vektor p P 3 (R) tal c, c 2, c 3, c så c p + c 2 p 2 + c 3 p 3 + c p = p? Søjlerne i A består af polynomiernes koefficienter! Lad b tilsvarende være koefficienterne i polynomiet p. Kan Ac = b løses for ethvert b R? Svar: Ja, med T = [A b] har vi ρ (T) = = ρ (A). 5